哈密顿原理

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经典力学的哈密顿原理

经典力学的哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一项重要的基本原理，它为我们理解物理世界中的运动提供了一种非常独特而深入的视角。

它的提出与发展历程虽然百年有余，但对于理论物理学的研究和应用至今仍具有重要的价值。

哈密顿原理最早由法国数学家勒让德在19世纪初提出。

它与之前所熟知的拉格朗日动力学原理相似，都是描述力学系统的最优运动路径。

然而，哈密顿原理比拉格朗日原理更为普适，它通过引入哈密顿函数和广义动量，将力学系统的演化描述为在一个能量守恒的相空间中的运动。

哈密顿原理的核心思想是，物体的运动路径是使作用量取极小值的路径。

作用量是动力学系统在一段时间内的能量积累，它由广义坐标和广义动量构成的哈密顿量对时间的积分得到。

具体而言，对于一个自由度为N的力学系统，其哈密顿量可以表示为H = p*q - L，其中p是广义动量，q是广义坐标，L是拉格朗日量。

哈密顿原理的应用十分广泛。

当我们将系统的哈密顿量对广义坐标和广义动量求偏导数，可以得到系统的哈密顿方程，即dq/dt = ∂H/∂p，dp/dt = -∂H/∂q。

这两个方程描述了系统在相空间中的轨迹，可以用来推导出经典力学中的牛顿运动定律。

此外，哈密顿原理还被应用于统计力学、量子力学等领域，为研究其他物理理论提供了基础。

在实际应用中，哈密顿原理为我们提供了一种非常有效的数学工具，能够帮助我们推导出物体在复杂力场中的运动方程。

通过对作用量的最小化，我们可以获得物体的最优轨迹，从而预测和解释实验现象。

例如，当我们想要分析自由下落物体的运动时，哈密顿原理可以帮助我们求解出在重力场中物体的运动轨迹。

不仅如此，哈密顿原理的推广和拓展还给理论物理学的发展带来了多个重要的数学工具。

例如，哈密顿形式的动力学不仅适用于经典力学，还可以推广到场论、相对论和量子力学等更高级的物理理论中。

这种抽象的数学框架使得我们可以统一描述多个领域的力学系统，并且能够更深入地理解物理世界的规律。

总之，哈密顿原理在经典力学中具有重要的地位和价值。

物理学中的哈密顿原理

物理学中的哈密顿原理哈密顿原理是物理学中的一种基本原理，它指出了物理系统最小作用量的原则。

该原理由英国物理学家威廉·哈密顿在19世纪初提出，对于物理学的发展有着极为重要的意义。

一、哈密顿原理是什么？哈密顿原理可以理解为：一个物理系统从其初状态到终状态所需的时间最短路径，也就是最小作用量。

其中，“作用量”是一种测量物理系统运动状态的量，它等于系统中的所有运动量在时间上积分后的结果，即作为整体的瞬时动能与势能之和。

物理系统从一个状态到另一个状态的路径，就是使得其作用量最小的路径。

而这一路径就被称为系统的正解。

二、哈密顿原理的意义和应用哈密顿原理提供了一种优雅且彻底的求解物理问题的方法。

通过将物理系统的演化从初始状态到终态视为从一个定点到另一个定点的稳定性问题，可以轻松得到此类问题的数学表达式。

同时，哈密顿原理也可以用于描述量子系统和场论的稳定性问题，因此其适用范围非常广泛。

另外，哈密顿原理也有着广泛的实用价值。

利用哈密顿原理可以推导出物理系统的运动方程，揭示出物理系统运动的本质规律，对于科学家们的研究工作具有极为重要的帮助。

此外，哈密顿原理也被广泛应用于电磁场、相对论、统计力学等多个领域，成为了这些领域中不可或缺的工具。

三、哈密顿原理与其他热力学原理的联系哈密顿原理与热力学中的另外两个基本原理——熵增原理和能量守恒原理有着密切的联系。

从熵增角度来看，哈密顿原理可以看作是熵增原理的推广，熵增原理是指任何一个物理系统在宏观上总是趋向于熵增大的方向演化；而哈密顿原理则可以更加细致地说明物理系统整体的演化方向，并与熵增原理形成相互印证的关系。

形象地说，熵增原理描述了自然界的宏观趋势，而哈密顿原理则揭示了物理系统的微观运动本质。

与能量守恒原理相比，哈密顿原理则是更进一步地明确了能量守恒关系。

应该指出的是，在哈密顿原理的框架下，能量守恒原理可以被视为系统的“可观测性”问题——也就是一个系统的可测量状态始终是相似的，换句话说，一个物理系统不会在不改变自身的能量条件下发生任何改变。

哈密顿力学

哈密顿力学《哈密顿力学》是现代力学的基础，回顾整个物理学发展史，其地位可谓不可替代。

它的发现者哈密顿用其独特的思维方法，对动能定律、动量定律等物理定律进行整体性概括，从而构建了物理学的新学科力学，为后来研究研究阿基米德力学等提供了坚实的基础。

哈密顿力学，又称“哈密顿原理”，指的是哈密顿研究运动学规律的结果，是现代物理学中对运动学定律进行系统综合的理论，属于力学的范畴。

它是由英国物理学家哈密顿在18世纪末发现的，是古典力学的基础理论。

它将动能定律和动量定律统一起来，将运动学的定律完整地表达出来，从而构建了力学的完整的理论体系。

哈密顿力学的基本原理是：某物体总把其完全内在的能量（总能量）保持恒定，即总能量守恒原理。

它能够比较准确地描述系统中每一粒粒子的运动轨迹，从而使物理定律具有了更高的普遍性、深刻性和准确性，可以精确地描述出在各种环境、各种物理条件下，物体形成的一系列运动模式。

在哈密顿力学的体系中，系统的总动量和总动能均保持不变，满足动量守恒定律和能量守恒定律。

哈密顿力学对物体运动的描述进一步概括，构成了动量定律、能量定律等力学定律。

这一理论，无论是从力学定律上还是从动量定律上，均有着极其重要的影响，这与哈密顿在力学史上的地位是一致的。

哈密顿力学的研究，为现代科学的发展做出了重要的贡献，它的发现为现代物理学的发展奠定了坚实的基础，为物理学家研究经典力学和量子力学奠定了基础。

它也为新物理学的发展提供了指导性的理论，这种理论指导可以帮助物理学家更好地理解复杂的物理现象，深入探究它们背后的奥秘，从而为新兴物理学的发展提供新的借鉴和灵感。

哈密顿力学是力学研究的基础，其发现使物理学从蒙古病变解脱出来，使力学取得了显著的发展，开启了物体运动规律和物性研究的新纪元。

哈密顿力学的研究在现代物理学发展史上具有重要的地位，它具有极大的价值，为促进现代物理学的发展做出了不可磨灭的贡献。

哈密顿积分原理

哈密顿积分原理
哈密顿积分原理是力学中的一个基本原理，它指出在不受外力作用的保守系统中，真实运动满足的作用量取驻值。

这个原理可以用来求解各种力学问题，包括质点和刚体的运动、弹性力学、流体力学等。

哈密顿原理的表述为：在N+1维空间中，任两点之间连线上动
势L的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。

这个原理可以表述为数学形式，即对于一个完整系统，其运动满足以下条件：
(H(q,p) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i \left(\frac{d^2
q_i}{dt^2}\right)^2 + V(q) = E)
其中(H(q,p))是拉格朗日函数，(q)和(p)分别是系统的广义坐标和广义动量，(m_i)是质点的质量，(V(q))是势能函数，(E)是常数。

哈密顿原理的应用非常广泛，它不仅可以用来求解各种力学问题，还可以用于电动力学、相对论力学等领域。

此外，哈密顿原理在量子力学中也有重要的应用，例如在薛定谔方程的推导中就使用了哈密顿原理。

哈密顿定理

哈密顿定理引言哈密顿定理，又称哈密顿-雅可比定理，是经典力学中的一条重要定理，由威廉·哈密顿于1835年提出。

它是质点力学中的一个基本定理，可以用来描述质点在势力场中的运动。

哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用。

定理表述哈密顿定理的表述如下：对于一个系统，其哈密顿函数H、广义坐标q和广义动量p之间满足以下关系：∂H/∂p = dq/dt∂H/∂q = -dp/dt其中，H是系统的哈密顿函数，q是广义坐标，p是广义动量，t是时间。

定理解释哈密顿定理可以理解为能量守恒的表述。

在一个力学系统中，系统的哈密顿函数代表系统的总能量。

根据哈密顿定理的第一部分，系统的总能量随时间的变化率与广义动量的变化率相等。

这意味着在系统中，能量的改变取决于动量的改变。

同样地，根据哈密顿定理的第二部分，系统的总能量的变化率与广义坐标的变化率的相反数相等。

这意味着在系统中，能量的改变取决于坐标的改变的相反方向。

这样，哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，进一步揭示了力学系统内部的运动规律。

哈密顿定理的应用1. 力学系统的轨迹预测哈密顿定理可以用来预测力学系统的轨迹。

通过已知的系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的初值，可以通过哈密顿定理计算出系统在不同时间点上的坐标和动量的数值。

这样，我们就可以通过数值计算的方式得到系统在未来的运动轨迹，从而对系统的行为进行预测。

这在航天器轨道计算、天体运动预测等领域有广泛的应用。

2. 力学系统的稳定性分析哈密顿定理还可以用来分析力学系统的稳定性。

通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以得到系统在不同状态下的能量。

通过计算能量的变化率，可以了解系统在不同状态下的稳定性。

如果能量变化率始终小于零，系统就是稳定的。

而如果能量变化率大于零，系统就是不稳定的。

这种稳定性分析可以帮助我们理解力学系统的运动特性，进一步用来设计控制系统、优化工程结构等。

3. 非保守系统的分析哈密顿定理也可以用来分析非保守系统。

哈密顿原理的应用例子

哈密顿原理的应用例子一、什么是哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一种变分原理，描述了自然界中各种物理系统的运动规律。

它起源于数学家威廉·哈密顿的研究，也称为最小作用量原理。

哈密顿原理通过对系统的所有可能路径进行比较，找到系统运动的真实路径，从而得到最小作用量原理。

二、哈密顿原理的应用例子1. 光的传播路径假设有一个具有两个不同介质的透明介质界面，光从一个介质传播到另一个介质。

根据哈密顿原理，光的传播路径满足最小作用量原理。

这里的作用量是指光在传播过程中光程的积分。

光的传播路径应满足以下条件：•光线传播的路径必须满足费马原理，即光线传播的路径是光程的极值路径；•光的传播路径必须满足最小作用量原理，即光的光程在所有可能路径中取得极值。

通过应用哈密顿原理，可以求解光的传播路径，从而揭示光在界面传播的规律。

2. 量子力学中的路径积分在量子力学中，粒子的运动可以用路径积分来描述。

路径积分是一种数学工具，通过将粒子在各个可能路径上的振幅相加，来得到粒子的全体运动。

哈密顿原理在量子力学中被拓展为路径积分的形式。

应用哈密顿原理的路径积分形式可以得到以下结论：•粒子在各个可能路径上的振幅相加，得到了粒子的全体运动；•粒子的运动路径满足最小作用量原理，即粒子的作用量在所有可能路径中取得极值。

路径积分理论是现代量子力学的基石之一，它可以用来描述和计算微观粒子的行为。

3. 经典力学中的质点运动在经典力学中，物体的运动可以使用拉格朗日力学或哈密顿力学来描述。

哈密顿力学是经典力学中的一种有效工具，基于哈密顿原理进行建模和计算。

哈密顿原理在经典力学中的应用可总结为：•哈密顿原理可以用于描述质点在给定势能场中的运动；•通过求解哈密顿原理，可以得到物体的运动方程和运动轨迹。

哈密顿力学在物体的运动描述和机械系统分析中具有广泛的应用。

4. 量子场论中的路径积分在量子场论中，我们可以将经典场进行量子化，并通过路径积分来解析量子场的运动。

hamilton原理

hamilton原理Hamilton原理是经典力学中的一个重要原理，它提供了一种全新的描述物理系统演化的方法。

这个原理的提出者是爱尔兰数学家威廉·哈密顿（William Rowan Hamilton），他在19世纪提出了这个原理，并在此基础上建立了哈密顿力学。

Hamilton原理在物理学、工程学和其他领域都有着广泛的应用，对于理解和描述系统的运动和演化具有重要意义。

在经典力学中，物理系统的演化可以由拉格朗日方程或哈密顿方程来描述。

而Hamilton原理则提供了一种更加抽象和普遍的描述方式。

它的核心思想是系统的演化路径是使作用量（action）取极值的路径。

作用量是描述系统在一段时间内的整体行为的量，它是拉格朗日量与时间的积分。

根据Hamilton原理，系统的演化路径是使作用量取极值的路径，这就是著名的“最小作用量原理”。

Hamilton原理的表述可以通过数学形式来描述。

假设系统的演化路径可以用广义坐标$q_i(t)$来描述，其中$i=1,2,...,n$，$t$表示时间。

系统的作用量$S$可以表示为：$$S = \int L(q_i, \dot{q}_i, t) dt$$。

其中$L$是系统的拉格末朗日量，$\dot{q}_i$表示$q_i$对时间的导数。

Hamilton原理可以表述为，系统的演化路径使得作用量$S$取极值。

这个原理可以通过变分法来证明，即对于系统的演化路径做微小的变分，使得作用量的一阶变分为零。

Hamilton原理的重要性在于它提供了一种全新的描述系统演化的方法。

通过最小作用量原理，我们可以得到系统的运动方程，从而描述系统的演化。

在经典力学中，这个原理有着重要的应用，可以用来描述各种物理系统的运动，包括刚体运动、弹性体系、引力系统等等。

除了在经典力学中的应用，Hamilton原理也在其他领域有着重要的作用。

在量子力学中，哈密顿力学是描述微观粒子运动的重要工具，而Hamilton原理则为哈密顿力学提供了基础。

11哈密顿原理

牛顿三定律基础理论力的独立作用原理基本物理量基本方程研究特点
r F
d dt
r mv
r r (m v ) = F
L
d ∂L ∂L = 0 ⋅ − dt ∂ q ∂q
个体逐个研究（每个质点）矢量运算+几何出现约束，直观
整体研究（自由度）标量运算+代数 3 不出现约束，抽象
绪论
4
§11-1. 力学系统的约束与广义坐标一自由度与约束
&1, y &1 , z &n , y &n , z &1 ,..., x &n ; t) = 0 fβ(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn; x (β = 1,2,…,s)
7
如果在约束方程中不显含时间t,既约束不随时间而改变,这种约束称为定常约束. 如果在约束方程中显含时间t , 既约束随时间而改变, 这种约束称为非定常约束. 如左图圆周的半径随时间改变 , 约束方程为x2 + y2 = (r + at)2
δr
B B
δr A dr A
对于非定常约束 , 由于它的位置或形状随时间而改变 ,而虚位移与时间无关 , 实位移却与时间有关 ,所以微小的实位移不再是虚位移之一.
11
！虚位移是假想的，瞬时的，无限小的，符合约束条件的位置变更。 ※ 两者区别：实位移虚位移实际的只有一个需要时间假想的不止一个瞬时的
x i= xi (q1,q2,…,qk) yi = yi (q1,q2,…,qk) zi = zi (q1,q2,…,qk)
(i =1,2,…,n)
显然质点Mi的矢径ri也可表示为广义坐标的函数 ri=ri(q1,q2,…,qk) (i =1,2,…,n)

哈密顿原理

§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数；而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。

哈密顿原理推导运动方程

哈密顿原理推导运动方程引言：物理学中，哈密顿原理是描述系统运动的一种方法。

它通过将系统的运动路径与作用在系统上的力学量相联系，从而推导出系统的运动方程。

本文将以哈密顿原理为基础，推导出运动方程，并对其进行详细的阐述和解释。

一、哈密顿原理的基本概念哈密顿原理是基于变分原理的一种方法，它是由数学家威廉·哈密顿提出的。

它描述了一个力学系统的运动路径应当使作用在系统上的作用量取极值。

作用量是一个函数，描述了系统在其运动过程中所受到的作用力。

根据哈密顿原理，系统的运动路径可以通过使作用量取极值来确定。

二、哈密顿原理的数学表达在哈密顿原理中，作用量可以表示为一个积分形式：S = ∫L(q, q', t) dt其中，S表示作用量，L表示拉格朗日量，q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。

三、推导过程为了推导运动方程，我们需要使用变分法。

变分法是一种数学方法，可以求解函数的极值问题。

我们假设系统的运动路径为q(t)，然后对作用量进行变分，使其取得极值。

我们将作用量进行变分：δS = ∫(∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq') dt根据变分法的定义，我们可以将上式中的δq和δq'看作是独立的变量，因此可以分别对其进行求导：∂S/∂q = ∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q')∂S/∂q' = ∂L/∂q'根据哈密顿原理，作用量的变分应当为零，即δS = 0。

因此，我们可以得到以下两个方程：∂S/∂q = 0∂S/∂q' = 0根据以上两个方程，我们可以得到两个重要的运动方程：∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') = 0∂L/∂q' = 0第一个方程又被称为欧拉-拉格朗日方程，它描述了系统的运动轨迹。

第二个方程则是哈密顿原理的直接结果，它描述了广义动量的守恒。

四、运动方程的物理解释欧拉-拉格朗日方程描述了系统在运动过程中的力学行为。

hamilton’s原理

hamilton’s原理Hamilton's Principle（哈密尔顿原理）哈密尔顿原理是固体力学和流体力学中的一种经典原理，它是由物理学家威廉·哈密尔顿于1834年提出的。

这一原理在分析力学和物理学研究中具有重要的地位和应用价值。

哈密尔顿原理描述了一个力学系统的运动轨迹可以通过最小化一个称为“作用量”的量来确定。

作用量是一个描述系统运动的物理量，它由系统的拉格朗日函数和时间间隔构成。

在哈密尔顿原理中，我们通过比较不同可能的运动路径的作用量来确定系统的真实运动轨迹。

哈密尔顿原理的核心思想是，对于一个力学系统，在给定初始和末态的情况下，真实的运动路径是使作用量取极值的路径。

具体来说，对于一个固定时间间隔的运动问题，哈密尔顿原理可以表述为：物理系统的真实运动轨迹是使作用量取极值的路径。

这个路径可以通过对系统的拉格朗日函数进行变分得到。

在哈密尔顿原理中，拉格朗日函数起着关键的作用。

拉格朗日函数是一个描述系统运动的函数，它由系统的动能和势能构成。

动能描述了系统的运动状态，势能描述了系统的相互作用。

通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到系统的运动方程，进而确定系统的真实运动轨迹。

哈密尔顿原理的应用范围广泛，涉及力学、物理学和工程学等多个领域。

在力学中，哈密尔顿原理可以用来推导运动方程和确定系统的平衡态。

在物理学中，哈密尔顿原理可以用来研究量子力学和统计力学问题。

在工程学中，哈密尔顿原理可以用来分析和设计复杂的力学系统。

哈密尔顿原理的重要性不仅在于它提供了一种处理力学问题的方法，更在于它揭示了自然界的一种基本原理。

通过最小化作用量，哈密尔顿原理能够描述系统的真实运动轨迹，从而揭示了自然界中的运动规律和物理定律。

哈密尔顿原理是固体力学和流体力学中的一种经典原理，它描述了一个力学系统的运动轨迹可以通过最小化作用量来确定。

哈密尔顿原理在物理学和工程学中具有广泛的应用价值，它不仅为力学问题的求解提供了一种方法，更揭示了自然界中的运动规律和物理定律。

哈密顿原理

哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一种非常重要的原理，它由爱尔兰数学家威廉·哈密顿在19世纪提出，被广泛应用于物理学和工程学的各个领域。

哈密顿原理描述了一个系统的运动方程，它可以通过变分原理来推导出系统的运动方程，是经典力学中最重要的原理之一。

在哈密顿原理中，我们首先需要引入拉格朗日函数。

拉格朗日函数是描述系统动力学行为的一个函数，它通常由系统的动能和势能构成。

然后，我们定义哈密顿量，它是系统的总能量函数，可以用拉格朗日函数通过勒让德变换得到。

接下来，我们引入广义坐标和广义动量，它们是描述系统运动状态的变量。

通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到哈密顿原理的表达式。

哈密顿原理的本质是要使系统的作用量取极值。

作用量是描述系统在一段时间内的积累效应，它是系统运动的一个重要量。

根据变分原理，我们要使系统的作用量对于任意的变分都取极值，从而得到系统的运动方程。

这就是哈密顿原理的核心思想。

哈密顿原理在物理学中有着广泛的应用。

在经典力学中，我们可以用哈密顿原理来推导出系统的运动方程，比如著名的哈密顿正则方程。

在量子力学中，哈密顿原理也有着重要的地位，它可以用来描述量子系统的演化。

此外，在光学、流体力学、电磁学等领域，哈密顿原理也都有着重要的应用。

除了在物理学中的应用，哈密顿原理在工程学中也有着重要的地位。

在控制理论中，我们可以用哈密顿原理来设计系统的最优控制律，从而实现系统的最优控制。

在航天航空领域，哈密顿原理也可以用来分析飞行器的轨迹和姿态控制。

总之，哈密顿原理作为经典力学中的重要原理，不仅在物理学中有着广泛的应用，而且在工程学中也有着重要的地位。

它通过变分原理描述了系统的运动方程，是经典力学中不可或缺的一部分。

通过深入学习和理解哈密顿原理，我们可以更好地理解物理学和工程学中的许多现象，为实际问题的分析和解决提供重要的理论基础。

哈密尔顿原理

哈密尔顿原理哈密尔顿原理，又称为作用量原理，是经典力学中的一个基本原理，它描述了物理系统的运动方程。

这一原理由爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿于1834年提出，是经典力学的重要基础之一。

在经典力学中，物体的运动可以用拉格朗日函数来描述。

而哈密尔顿原理则是基于这一拉格朗日函数而建立的。

它的核心思想是，一个物理系统的运动轨迹，可以通过使作用量（action）取极值来确定。

作用量是一个在时间上积分的量，它是拉格朗日函数在某一时间段内的积分，描述了系统在这段时间内的整体运动情况。

具体来说，假设一个物体在时间t1时刻位于点A，在时间t2时刻位于点B。

根据哈密尔顿原理，物体的真实轨迹是使作用量取极值的轨迹。

也就是说，这个物体在这段时间内所经历的真实轨迹，是使作用量在所有可能的轨迹中取极值的那条轨迹。

哈密尔顿原理的提出，为经典力学提供了一种全新的描述物体运动的方法。

它不仅可以用来推导出牛顿力学中的运动方程，还可以推广到更为复杂的系统中，如相对论力学和量子力学中。

因此，哈密尔顿原理对于理解物理世界的运动规律具有重要意义。

在实际应用中，哈密尔顿原理也被广泛应用于各种物理问题的求解中。

例如，在天体力学中，可以利用哈密尔顿原理来研究行星的运动轨迹；在固体物理学中，可以利用哈密尔顿原理来研究晶格振动的性质；在量子力学中，哈密尔顿原理也被用来描述微观粒子的运动状态。

总之，哈密尔顿原理是经典力学中的重要原理，它描述了物理系统的运动轨迹是使作用量取极值的轨迹。

通过这一原理，我们可以更深入地理解物体的运动规律，推导出系统的运动方程，并在实际应用中得到广泛的应用。

第18章_哈密顿原理

第18章_哈密顿原理哈密顿原理是力学中的一个重要原理，它是由物理学家威廉·哈密顿（William Hamilton）于19世纪提出的。

这一原理在动力学、量子力学和泛函分析等领域中都有广泛的应用。

哈密顿原理是一种优美而重要的方法，用于描述力学系统的运动。

它是以最小作用量原理为基础的，即物理系统在可行的轨迹中，其作用量的变分为零。

作用量是指系统在一段时间内受到的力的总和。

因此，哈密顿原理可以用数学的形式表示为：在给定初态和末态下，作用量的变分为零。

具体而言，哈密顿原理可以分为两个步骤：第二步是利用变分法来求解哈密顿原理。

通过对作用量进行变分，我们可以得到运动方程以及相应的边界条件。

具体而言，我们对作用量进行变分，得到一组关于位置和动量的偏导数等于零的方程。

这些方程被称为哈密顿方程，它们描述了系统随时间演化的规律。

哈密顿原理的优势在于，它可以将系统的动力学问题转化为一个几何问题，可以简化动力学问题的求解过程。

此外，哈密顿原理还可以解决具有多个约束条件的力学系统。

在这种情况下，我们可以使用拉格朗日乘子来处理约束条件，从而得到正确的运动方程。

除了力学系统，哈密顿原理还可以应用于其他物理学领域。

例如，在量子力学中，哈密顿原理可以用于导出薛定谔方程，这是描述量子力学系统演化的方程。

在泛函分析中，哈密顿原理还可以用于最优控制问题的求解。

总之，哈密顿原理是力学中的一个重要原理，它提供了一种简洁而优雅的方法来描述和求解力学系统的运动。

它不仅可以应用于力学系统，还可以应用于量子力学和泛函分析等领域。

通过哈密顿原理，可以将系统的动力学问题转化为一个几何问题，简化动力学问题的求解过程。

哈密顿原理变分法

哈密顿原理变分法引言：哈密顿原理是经典力学中的一种数学工具，用于描述物体在空间中的运动。

它是由法国数学家和物理学家嗣洛·哈密顿于19世纪提出的，被广泛应用于许多物理学领域，如量子力学、相对论等。

本文将介绍哈密顿原理的基本概念、原理和应用，并探讨其在理论物理学中的重要性。

一、哈密顿原理的基本概念1. 变分法变分法是一种数学方法，用于求解泛函（函数als）极值问题。

在物理学中，我们经常遇到求解由泛函表示的物理量的极值问题，变分法就是解决这类问题的有效工具。

2. 哈密顿原理哈密顿原理是变分法在经典力学中的应用。

它表述了一个物体在给定时间间隔内，其运动轨迹使作用量（action）取极值的路径就是实际发生的路径。

作用量是由拉格朗日量（Lagrangian）和时间变量组成的积分，表示了物体在给定时间内所经历的所有可能的路径对系统的总贡献。

二、哈密顿原理的原理和推导1. 哈密顿原理的原理哈密顿原理的核心思想是“自然界的真实路径是使作用量取极值的路径”。

作用量S可以表示为：S = ∫(L - H)dt其中L是拉格朗日量，H是哈密顿量。

根据变分法的原理，我们可以通过对作用量的变分求解，得到真实路径。

2. 哈密顿原理的推导我们假设系统的状态由广义坐标q和广义速度q'描述，拉格朗日量可以表示为：L = L(q, q', t)根据拉格朗日方程，我们可以得到：d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0将哈密顿量H定义为：H = ∑(q'∂L/∂q' - L)则拉格朗日方程可以写为：d/dt(∂L/∂q') = ∂H/∂q对作用量S进行变分，可以得到：δS = ∫(∂L/∂qδq + ∂L/∂q'δq' - ∂H/∂qδq)dt根据变分法的原理，δS = 0，我们可得到哈密顿正则方程：∂H/∂q = -d/dt(∂L/∂q')∂H/∂q' = d/dt(∂L/∂q')三、哈密顿原理的应用1. 经典力学哈密顿原理在经典力学中有广泛的应用。

哈密顿原理

Ldt
t1
——主函数或作用函数或作用量。
L T V
——拉格朗日函数。
表明：对一个受理想、完整约束的力学体系，在保守力的作用下从一个位形移动到另一个位形，对于在相同时间内发生的一切可能运动中，只有沿 t1 到 t 2 的轨道运动的作用函数 S 具有极值。即对真实运动来说，作用函数的变分为零。
为等时变分。如： (
dx dt
)
d dt
。 ( x )
2
二、哈密顿原理： 1、几个概念：设由 n 个质点组成的力学体系，受 k 个约束，有 s 个自由度， s 个广义坐标 q 1 、、… q ，它的运动规律为： q2 s
q1 q1 ( t ) ,
q 2 q 2 (t ) ,......, q s q s (t )
q
B (t 2 )
A(t1 )
q
真实轨道：力学体系真正运动的位形轨道（实线AB）。
比较轨道：约束许可的位形轨道（虚线AB）。
4
2、哈密顿原理：对真实的的位形轨道，作用函数S有极值，即：
S
S 式中：

t2
Ldt 0 ........( 6 . 83 )
t2
t1
——哈密顿原理
q
B
A
q
.......( 1)
s
（1）、位形空间：以广义坐标 q 为坐标轴的位形点：位形空间内的一个点。位形轨道：位形点在位形空间内随时间变化所描绘的一条曲线。
维空间。
相空间：以广义坐标 q 、广义动量空间。
p
为坐标轴的 2 s维
3
（2）真实运动，可能运动：
真实运动：力学体系在所受约束及主动力作用下真实实现的运动。可能运动：约束许可的运动（不遵从运动规律）。

hamilton 原理

hamilton 原理Hamilton原理，也称作Hamilton-Jacobi原理，是经典力学中非常重要的一个原理。

它描述了物理系统的运动方式，可以用于解决很多经典力学问题，如质点、刚体等的运动问题。

Hamilton原理的基本思想是：在一个物理系统中，某个物理量的变化率是由其他物理量的变化率导致的。

这个物理量可以是能量、动量、角动量等。

在Hamilton原理中，物理系统的运动被描述为一条曲线，叫做Hamilton特征函数。

这个曲线的斜率告诉我们物理系统的速度。

如果我们知道Hamilton特征函数，就可以通过求导来计算物理系统的速度和位置。

Hamilton特征函数的形式取决于物理系统的特性，例如质量、力等。

Hamilton原理还有一个重要的应用，即Hamilton-Jacobi方程。

这个方程描述了物理系统在一定条件下的运动方式。

通过求解这个方程，我们可以得到物理系统的Hamilton特征函数和运动方式。

这个方法在解决复杂的力学问题时非常有用，尤其是在量子力学和相对论中。

除了在经典力学中应用广泛，Hamilton原理还可以用于描述其他自然现象。

例如，在光学中，Hamilton原理被用于描述光线的传播方式。

在电动力学中，Hamilton原理被用于描述电磁波的传播方式。

因此，Hamilton原理不仅有助于我们理解物理学中的运动方式，还可以用于解决其他自然现象的问题。

Hamilton原理是经典力学中非常重要的一个原理，它可以用于描述物理系统的运动方式，解决很多经典力学问题。

同时，它也可以应用于其他自然现象的描述和解决。

掌握Hamilton原理的应用，对于理解物理学中的各种现象和问题都有很大的帮助。

哈密顿原理

哈密顿原理哈密顿原理，又称“哈密顿总动量定理”，是物理学的重要定理之一，由英国物理学家威廉哈密顿（William Hamilton）发现，它提供了一种有效而可靠的方式来描述许多现象，并且在现代物理学中仍然被广泛使用。

本文将以详细的介绍介绍哈密顿原理，并讨论它在现代物理学中的作用。

哈密顿原理（Hamilton Principle），也称为哈密顿总动量定理（Hamilton Principal of the Conservation of Momentum），是物理学中的重要理论，它提供了一种有效的方法来描述物质受给力作用时的运动行为。

它的主要思想是，在某些确定的物理系统中，物体在接受给力的过程中所承受的瞬态动量必须是系统整体的总动量的最小值。

因此，哈密顿原理可以用来求解某些物理系统的运动行为，但它仅适用于确定的物理系统。

哈密顿原理表明，当受力物体在系统中发生变形时，它的总动量变化（即动量矢量）越小越好。

因此，受力物体的运动行为满足哈密顿原理的条件，即最优化其总动量矢量的条件。

哈密顿原理也可以用来推导某些重力场的运动规律。

例如，对于受力物体在引力场中发生运动，哈密顿原理可以用来推导出物体受到引力时在无惯性参考系下的运动方程式，即质量*加速度=引力，从而解释山岳问题、月球问题等。

另外，哈密顿原理还可以应用于一些重要的物理现象，如超声波传播、灰尘环形等。

例如，对于超声波传播，哈密顿原理指出，超声波在介质中可以存在，且其传播的速度和传播的方向都是介质的性质决定的。

此外，哈密顿原理还可以用来求解受力物体在各种复杂运动体系中的运动行为，如基本动力学、现代力学等。

在基本动力学中，它可以用来推导受力物体的位移、速度、加速度等关系，从而求解受力物体的运动问题。

在现代的力学中，哈密顿原理也可以用来求解某些复杂的动力学问题，如振动动力学、热传导等问题。

总之，哈密顿原理是物理学的重要定理，它提供了一种有效而可靠的方式来描述许多物理现象，并且在现代物理学中仍然被广泛使用。

哈密顿原理的推导

miai ri
i 1
k d j1 dt
T q j
T q j
q j
(9)
n
n
n
k
Fi ri miai ri 0 (2)
Fi ri Q jq j (3)
i 1
i 1
i 1
j 1
将此成果代入(2)式中得：
k d
j1 dt
T q j
T q j
Q j q j
0
(10a)
当主动力有势力时：式中得：
0
(11a)
V 广义力：Q j q j 代入(11a)式中，而拉格朗日
函数L=T-V(质点系旳动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又能够写为：
k
j 1
d dt
L q j
q j
L q j
q
j
0
V q j
0 (11b)
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2 t1
mi ri 2 2
n
miai ri
i 1
n
miai
i1
k j 1
ri q j
q
j
k j 1
n i 1
miai
ri q j
q j
ma ri q j
d dt
q j
mi ri 2 2
q
j
mi ri 22(来自)将此成果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
T n mi ri2
i1 2
n
q j
ri
q
2ri q t
k 2ri j1 q q j
q j
另一方面，直接由矢径 ri 对某一广义坐