哈密顿原理
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哈密顿原理
文件排版存档编号:[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
牛顿质点动力学
1 牛顿第二定律 dt
d p
f
从三个方面来应用:
全局性研究:对称性、守恒律、稳定性; 局部研究:平均值、动量定理、动能定理; 瞬时研究:极限求导、奇异性、突变性;
2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题;
3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势
4 五大类典型模型 概括:
一个原理:哈密顿原理(稳定性与对称性原理); 二种建模方法:动力学方法、能量法;
三类研究方法:对称性方法(全局)、平均值方法(局部) 求极限、求导、突变及奇异性研究方法(瞬时);
四大重点问题:矢量性(矢量空间法)、连续性(微元动力学法)、相对性(相对速度公式法)、非惯性(等效性法);
五项典型模型:准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。(科学计算技术与研究式的学习模式)
哈密顿原理、对称性和稳定性
1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L
对于一个物理系统,可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q
q L i i 来描述,其中i q 是广义坐标,=i q
dt dq i /是广义速度;广义坐标与通常所说的坐标区别在于,广义坐标是针对系统的自由度确定的,譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动,其坐标显然有x 、y 、z 三个,但广义坐标只有φθ,两个,其中ϕθcos sin R x =
,
θϕθcos ,sin sin R z b R y ==;一般由于运动受到约束,坐标与广义
坐标的数量是不相等的,仅在无约束条件下,坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。
在保守力作用下,系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差;
U T L -=
哈密顿量H
物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述,在保守力作用下,哈密顿量定义为系统的动能与势能之和
),,(t p q H i i =U T +(i=1,2…s )
其中
)(/i i q
L p ∂∂=是广义动量,哈密顿量是广义坐标和广义动量的函数,在直角坐标下对于质点运动的广义动量可写成v p m =。作用量I 定义为
⎰=2
1
t t Ldt I
其中,积分上下限是质点初末态I q 、F q 对应的时间。 2.哈密顿原理及轨道稳定性
哈密顿原理指出:当系统由I q 演化到F q ,其真实的轨道总是满足作用量I 取极值的条件。具体来讲,当给予广义坐标和速度一个无穷小扰动i q δ、)/(dt dq i
δ,而作用量十分稳定,不受扰动,即δI =0。
因此哈密顿原理的实质就是轨道的稳定性原理,质点从I q 运动到F q 总是选择一条最稳定的轨道。
其次,I 在扰动下是不变量,所以哈密顿原理也是一个对称性原理;总之哈密顿原理是物理学的最高原理。
考察空间平移的对称性,设一个系统由两个粒子组成,它们只限于在具有空间平移对称性的x 轴上运动,设两粒子坐标为x1和x2,系统的势能
),(21x x E E P P =,当体系发生一平移x ∆时,两粒子坐标变为:x x x x x x ∆+='∆+='2211
,,但两粒子的相对距离未变,即x x x x x x =-='-'='1212
,空间平移对称性意味着势能与x ∆无关。此外,两粒子在相互作用势能下,所受的力
x
E x x x E x E f P
P P ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂=
111 x
E x x x E x E f P
P P ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂-=222 所以
021=+f f ,即作用力等于反作用力的牛顿第三定律成立,故有动
量守恒。
一般可以表述为:系统的哈密顿量在空间坐标平移下保持不变,称系统具有空间平移对称性,它对应着动量守恒律。
3.哈密顿正则方程
当以变数),(i i p q 为参数时,由哈密顿原理可以得到一组哈密顿正则
方程:
i i q H dt dp ∂-∂=// i i p H dt dq ∂∂=//
例如一个一维弹簧振子的哈密顿量
2/2/2
2kx m p H += 正则方程为:
kx x H dt dp -=∂-∂=// m p p H dt dx ///=∂∂=
其中m p dt
dx //=即动量的定义,而kx dt dp -=/是一维简谐振
子的牛顿方程;一般情况下,哈密顿正则方程组的第一个方程是牛顿方程,第二个方程是动量的定义。
例1、弹簧连接体:如右图所示,用轻弹簧联接的两个质量同为m 的滑块放置在光滑的水平桌面上,试用能量法建立动力学方程。 解: 系统的动能
P m P T 2/2/2
22
1
+=11x m P =、22x m P =分别为两滑块的动量
系统的弹性势能 2
1
2)(2
1l x x k U --= , 其中k 是弹簧的劲度系数,l 是弹簧的原长;
哈密顿量 正则方程
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=∂∂=---=∂∂-==∂∂=--=∂∂-=m P P H dt dx l x x k x H dt dP m P P H dt dx l x x k x H dt dP 2
221
2221111211),(,)(2122221)(2122l x x k m P m P H --++=1
2