椭圆与双曲线的经典性质100条讲课稿
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椭圆与双曲线的经典性质100条
椭圆与双曲线的对偶性质100条
椭 圆
1．12||||2PF PF a +=
2．标准方程：22
221x y a b
+=
3．11
||
1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.
9．椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行
的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
☆ 10．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是
00221x x y y
a b
+=. ☆ 11．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为
P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
★ 12．AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中
点，则2
2OM AB b k k a
⋅=-.
13．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
+=+.
16．若椭圆221a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为
1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22
2211A B a b
+=+;(2) 2222L a A b B =
+. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：
22
2
2
2
2
222
()a b b x a y ab a b
-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M(2222
002222(,)a b a b x y a b a b
---++.
(ii)对2C 上任一点'''000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都
经过'0P 点.
★ 18．设000(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22
221x y a b
+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲
线C 的动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2
12211m b k k m a
+⋅=-⋅-.
★ 19．过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补
的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =（常数）.
★ 20．椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意
一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为
122
tan 2
F PF S b γ
∆=，2
tan )2b P c γ . 21．若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦
点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22
a c co a c αβ
-=+.
★ 22．椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =- (1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
23．若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为
L ，则当
0＜e ≤1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
24．P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一
定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.