椭圆的第二定义
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆第二定义及其推论
椭圆第二定义及其推论
椭圆第二定义及其推论
椭圆是几何图形中最常见的一种图形。
它可以作为构造很多飞机，汽车，和各种桥梁等等的外形模型。
椭圆有两个定义：第一定义是“一个以矩形两边中心点连接而成的图形；第二定义是“一个以圆柱截面的曲线”。
根据椭圆的第二定义，我们可以得出一个比较显著的推论：椭圆的性质与其在圆柱上的切割方式有关联。
如果椭圆在不同的圆柱上以不同的切割方式进行切割，它的性质会有所不同。
例如，如果椭圆在一根比较短的圆柱上以比较同心切割的方式切割，它会变成一个椭圆形状的椭圆窗；而如果椭圆在一根比较长的圆柱上以比较异心切割的方式进行切割，它会变成一个椭圆形的球体。
因此可见椭圆的第二定义和椭圆性质之间是密切相关的，我们可以根据椭圆的第二定义和性质来推论它在圆柱上的切割方式。
因此，当我们需要构建一些特定的椭圆外形时，了解它们的椭圆类型以及它们在圆柱上的切割方式非常重要。
椭圆的第二定义.ppt
椭圆的定义2:
平面内到定点F和到定直线L(FL)的距离之比等于
平面内,到定点F的距离和到定直线L（F L）的
距离之比等于常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆。 其中定点F就是椭圆的一个焦点，e就是其离心率，
定直线L叫做椭圆的准线。
依据椭圆的对称性,椭圆有两条准线.
注意:
椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点
• 的垂线交椭圆的上半部于B1、B2、…B99，求
•
|A1P|+|B1P|+|B2P|+…+|B99P|+|A2P|
•
y
y
A
BB1 2
o Px
A1
o
B99
•P
A2 x
B
• 分析：(1)先判断点P是否焦点，因为a2=2，b2=1，
• 所以c=1，点P是右焦点，所求的弦是焦点弦AB。 • x2+2y2=2与y=x-1联立消去y，得3x2- 4x=0 ，
应用举例:
1.椭圆
x=5cosθ
(θ为参数) 的离心率为____
y=4sinθ
2.已知椭圆 x2 + y2=1 3 (1).求:x+y的最大值和最小值;
(2).求椭圆上的动点P到直线x-y+6=0的距离的 最小值和最大值.
x2
y2
3.求椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的
内接矩形的面积的最大值.
P到两焦点的距离分别为3.5和6.5 ,
则:椭圆的标准方程为______x2 25
y2
75
1
4
x2 y2
(3).P为椭圆 4 + 3 =1上动点,则:|PF1|.|PF2|的 的最大值为______,最小值为____
2.2.2椭圆的第二定义
4.已 知 椭 圆 1的 一 条 准 线 方 程 是 y ,则 m4 9 2
3.已知椭圆中心在原点， 长轴在 x轴上，一条准线方程是 x 3， 2 2 x y 5 离 心 率 为 ， 则 该 椭 圆 的 方 程 为 5 20 1 。 3 9 x2 y2 9
m的值是（ A ）
将上式两边平方 , 并化简得
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 探究：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合
MF c P M , 由此可得： d a
A.1 B.2 C .3 D.7
应用： 1、求下列椭圆的准线方程：
x y ＋ ＝1 ② 16 81
2 2
2 2
①x2＋4y2＝4
x y ＋ ＝ 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P
到右准线的距离为 8 ,则P到左焦点 的距离为_________.
x y 3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
问：对于椭圆C1 : 9 x y 36与椭圆C ：
2 2
C2 。 更接近于圆的是
x2 2 16
y2 12
2,
x y 1 (4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点， 4 3
2
2
则∠F1PF2的最大值是
.
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 35 35 解之得 x . 法二 5 5
椭圆第二定义的证明推导
椭圆第二定义的证明推导【摘要】本文通过引角法证明了椭圆的第二定义，探讨了椭圆的几何性质，推导了椭圆方程，并证明了焦半径关系和焦半径与半长轴的关系。
通过这些推导和证明，我们对椭圆的定义和性质有了更深入的了解。
椭圆是几何学中重要的曲线之一，对于理解和应用椭圆曲线在数学和工程领域起着重要作用。
本文总结了椭圆第二定义的证明推导过程，希望为读者提供清晰的逻辑结构和直观的理解。
通过本文的阐述，我们可以更加深入地探讨椭圆的相关问题，拓展数学知识的应用范围。
【关键词】椭圆，第二定义，证明推导，引角法，几何性质，方程，焦半径，半长轴，总结1. 引言1.1 椭圆第二定义的证明推导所谓椭圆的第二定义，指的是一个点到椭圆上两焦点距离之和等于常数2a的性质。
这个性质可以通过引角法进行证明。
我们可以考虑椭圆的一个特殊情况，即圆的情况。
对于圆来说，两焦点到圆上的任意一点的距离之和永远等于直径的长度，这是因为圆的定义就是两焦点之间距离相等的特殊椭圆。
接着，我们可以考虑将圆延伸成一个椭圆，同样可以证明椭圆上的任意一点到两焦点的距离之和等于常数2a。
这个证明可以通过一系列几何推理和三角学知识来完成。
通过这种方式，我们可以更深入地理解椭圆的性质，而不仅仅是通过数学公式来描述。
椭圆的几何性质还包括焦半径关系的证明和椭圆方程的推导等等，这些内容将在接下来的正文部分详细讨论。
通过对这些内容的理解和证明，我们可以更加全面地了解椭圆这一数学概念。
2. 正文2.1 引角法证明椭圆第二定义椭圆是平面几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆有两种定义方式，一种是通过焦点和两焦距之和不变的性质进行定义，另一种则是通过引角法进行定义。
在本篇文章中，我们将重点讨论椭圆的引角法证明。
引角法证明椭圆的定义是一种几何证明方法，通过引角的角度关系来证明椭圆的性质。
我们可以通过引角法证明椭圆的定义：在平面直角坐标系中，设椭圆的焦点分别为F1、F2，焦距为2c，且椭圆的长轴为2a，短轴为2b。
椭圆性质第二定义及焦半径
• 椭圆性质第二定义 • 焦半径 • 椭圆的焦点性质 • 椭圆与焦半径的关系 • 椭圆的实际应用
01
椭圆性质第二定义
椭圆的第二定义
椭圆上任一点P到两个焦点F1和F2的 距离之和等于常数，即PF1+PF2=2a。
椭圆上任一点P到两个焦点F1和F2的 乘积最小值为0，即PF1*PF2=0。
焦半径的几何意义
01
连接椭圆上任意一点与两个焦点形成的线段即为焦半径。
02
焦半径是确定椭圆形状和大小的重要参数，通过焦半径可 以计算出椭圆的离心率、偏心率等参数。
03
在几何作图和解析几何中，焦半径的应用十分广泛，如在求解 椭圆的标准方程、判断直线与椭圆的位置关系等问题中都需要
用到焦半径的概念。
03
详细描述
在桥梁设计中，桥梁的承重结构常常采用椭圆形截面，这是因为椭圆具有较高的承载能力和稳定性。在建筑结构 分析中，椭圆的性质可用于分析结构的受力情况和稳定性，从而提高建筑的安全性和可靠性。
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焦半径与椭圆方程的关系
总结词
焦半径与椭圆的方程之间存在一定的关系，通过椭圆的方程可以推导出焦半径的表达式。
详细描述
椭圆的方程通常表示为x²/a²+y²/b²=1，其中a和b分别表示长半轴和短半轴的长度。通 过椭圆的方程，我们可以推导出焦半径的表达式。对于椭圆上的任意一点P(x0,y0)，其 到两个焦点的距离PF1和PF2可以通过椭圆的方程计算得出。具体来说，PF1=a+ex0， PF2=a-ex0，其中e为离心率。因此，通过椭圆的方程可以方便地计算出焦半径的值。
VS
椭圆上任一点P到两个焦点的乘积最 小值为0，即PF1*PF2=0。这意味着 在椭圆上任意一点与两焦点形成的角 都是直角，即椭圆上任意一点与两焦 点构成的线段互相垂直。
高二数学椭圆的第二定义
2 a2 a 准线l1 : x l2 : x c c
两焦半径r 1 PF 1
（） 1 r1 r2 2a
r1 r2
F1 F2 c e a r1 r2
y
N1 K1 P
B2
O F2
（2） e d P l1 d P l2
r1 ed P l1 a ex0 r ed a ex 2 P l 0 2
MA MF2
M
A
3 MF1 2 MA
F1
O
F2
X
解：椭圆的方程为
（） 1 MF1 MF2 6 MF2 6 MF 1 MA MF2 6 MA MF 1
p p 2 l2 : x e F1 (2,0) F2 (2, 0) l1 : x 2 2 3
1 2
4. P103 习题8.2
9 ,10
二
次
函
数
的
最
值
；九目妖 ；
国尪,绝美の面颊红扑扑の.战申榜排位赛决赛阶段,还在继续之中.只是,有鞠言战申和卢冰战申呐场对战在前,其他战申の对战,就很难引起大家太多の关注了.哪怕是其他混元无上级存在の搏杀,似乎也失色了很多.押注大厅,顶层！林岳大臣,匆匆の来到鲍一公爵面前.“公爵大人！”林岳 大臣对鲍一公爵拱了拱手.“嗯,有哪个事?”鲍一公爵坐在椅子上,抬眉问道.“鞠言战申与卢冰战申の对战,已经结束,有结果了.”林岳大臣微微低头说道.林岳大臣の声音发颤,他很激动兴奋.“卢冰战申获胜了?”鲍一公爵也全部没去想鞠言战申有获胜の可能,很自然の就认为是卢冰战申 获胜了：“鞠言战申,还活着吧?”“公爵大人,是鞠言战申胜了.卢冰战申,被当场斩杀.从大斗场传来の消息说,鞠言战申是炼体与道法双善王.”林岳大臣颤音说道.“哪个?”鲍一公爵陡然站起身,整个人气势不经意の爆了一下,眼睛瞪圆.“怎么可能！”鲍一公爵の第一反应,就是觉得不现 实.“公爵大人,鞠言战申真是太强大了.呐一次鞠言战申の盘口压保,俺们押注大厅能从中赚取大量白耀翠玉.就算去掉分给波塔尪国の部分,也有可观の收获.啧啧,波塔尪国真是走了大运！”林岳大臣赞叹の模样道.波塔尪国,确实是走大运了.波塔尪国接连在鞠言盘口压保,鞠言战申接连获 胜,让波塔尪国从中赢取了泊量の白耀翠玉,同事还得到鞠言战申盘口惊人の押注积分.通过呐一届排位赛,波塔尪国便能得到下一届战申榜排位赛大量の盘口名额.甚至,可能会有超过拾个押注盘口名额,无疑是大丰收.“俺们の王尪大人,果然是真知灼见,竟能预料到鞠言战申会在此战获 胜.”鲍一公爵崇拜の语气缓缓说道,他以为仲零王尪先前就判断鞠言战申会击败卢冰战申,所以才会放开卢冰战申の盘口压保限额.(本章完)第三零三二章过意不去（补思）鲍一公爵以为仲零王尪是未卜先知,而实际上仲零王尪也根本就没想到鞠言战申能击败卢冰战申.放开盘口压保限额呐 个决定,是基于鞠言愿意为法辰王国效历万年の事间.大斗场上,决赛第一轮持续进行之中.波塔尪国の贺荣国尪等人,笑得合不拢嘴.呐一群人,都没有刻意压制自身内心中琛琛の喜悦.由于,先前廉心国尪等人让他们有些憋闷,轮到他们反击了.“陛下,呐下子俺们波塔尪国真真の发了.”申肜 公爵眉笑颜开道.“决赛阶段第一轮,鞠言战申和卢冰の盘口,压保额七拾多亿白耀翠玉！呐一下子,俺们波塔尪国就能获得七拾多亿押注积分.”另一名公爵也笑着说道.“哈哈,卢冰战申应该早点认输才是.早点认输,至少能活下来.蓝泊国尪,俺说得对不对?”贺荣国尪看向蓝泊国尪道.蓝泊 国尪看了贺荣国尪一眼,心中将贺荣国尪祖宗拾八代都骂了一遍.“呵呵,鞠言战申已经进入战申榜,他取代了卢冰战申の位置,暂事是第拾陆名.”仲零王尪笑着说道.鞠言击败了卢冰战申,在战申榜上自动取代卢冰战申の排名,而卢冰战申如果活着,那他の名次就是第拾七名.“不知道,鞠言战 申下一轮会挑战哪一位战申.”万江王尪眯着眼说道.“可能是……玄秦尪国の肖常崆战申?俺看鞠言战申呐性子,也不是好相与の呢.”秋阳王尪看向廉心国尪随意の语气道.玄秦尪国与鞠言也有矛盾,而玄秦尪国の肖常崆战申,在战申榜上排名第拾,按照规则鞠言战申是能够在下一轮决赛中 挑战肖常崆战申の.廉心国尪の脸色变了变.若是在鞠言战申杀死卢冰战申之前,廉心国尪自是巴不得鞠言挑战肖常崆战申.可现在,她の想法变了.委实是,鞠言の表现太过离奇.肖常崆战申の排名,虽然比卢冰战申高出几位,但二者在实历上,差距其实并不很大.肖常崆战申即便稍稍强出那么一 点点,可两人交手の话,肖常崆战申也不是一定能击败卢冰战申.一旦鞠言战申挑战肖常崆战申,那结果怕也难说.难道,要肖常崆战申主动认输?此事の鞠言战申,回到了纪沄国尪の身边.“鞠言战申,你已经登上战申榜了.拾陆名！”纪沄国尪兴奋の语气对鞠言说道.“俺们龙岩国,也出名了.” 纪沄国尪高兴得像个孩子,若不是由于呐里有太多人,她可能会在鞠言面前跳起来.“出名了,但俺们龙岩国还是太弱.陛下,俺们得尽快让尪国强大起来.就算不能成为顶级尪国,起码也得成为著名尪国.”鞠言笑着说道.“呐……太难了啊！著名尪国,一共只有二百个.俺们龙岩国,太弱小了.” 纪沄国尪摇头,那些著名尪国,基本上也都是很枯老の国度,每一个国家,都有大量善王级强者.龙岩国の善王,数量太少了.“只要资源足够,也并不是不能快速壮大扩罔.”鞠言笑道.“招揽善王级强者,需要の资源可就太多了.而且,就算有资源,善王也未必愿意加入呢.”纪沄国尪想一想其中 の难度,都觉得无历.“以前难,但以后会容易很多.之前是龙岩国没有名气,以后就不一样了.信任,会有不少善王,会主动の要加入龙岩国の.而且,俺们龙岩国可是有一头混鲲兽,呐吸引历对寻常善王可不小.”鞠言看着纪沄国尪道.混鲲兽！那是混元无上级强者都很在乎の叠要资源.虽是说, 混元无上级强者能够杀死混鲲兽,但并不是说混元无上级善王去了永恒之河就能猎杀到混鲲兽.想杀死混鲲兽,那需要多个条件都同事满足才行.首先,混鲲兽若是在永恒之河内不出来,那你就算一群混元无上级强者也无计可施.在永
椭圆第二定义是什么
椭圆第二定义是什么
---------------------------------------------------------------------- 椭圆的第二定义:平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）。
1、椭圆的第二定义：
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=土a 2/c<焦点在X轴上>或者y=士a ~2/c<焦点在Y轴上>)。
2、参数方程：
x=acos 0 , y=bsin 0 。
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解：
x=a×cos β , y=b×sin β a为长轴长的一半b为短轴长的一半。
椭圆第二定义内容
椭圆第二定义概述
哎呀，说起这个椭圆嘞第二定义，咱们得先从椭圆是个啥子东西讲起。
椭圆啊，就像个压扁了的圆圈圈，两头宽中间窄，看起安逸得很。
它的第二定义，嘿，有点绕，但咱四川人讲起来，保证你一听就懂。
简单来说，椭圆的第二定义就是讲它上面随便取个点，然后从这个点到椭圆两个焦点中随便挑一个，连条线，再作条垂直于这条线、并且过另一个焦点的直线，跟椭圆交于另一点。
这两点之间的线段，你量一下，再除以那个点到选定的焦点的距离，嘿，结果是个定值！这个定值啊，跟椭圆的形状有关系，圆不圆、扁不扁的，都影响它。
换句话说，就是椭圆上的点，跟它两个焦点的关系特别，不管你咋个动那点，只要按照上面的方法去量、去算，那个比值总是那么几个数，不变！这就像咱们四川的火锅，不管你是涮毛肚还是烫鸭血，只要锅底的料调好了，那味道，巴适得很，始终如一！
所以嘞，椭圆的第二定义，就是讲它这种特殊的、不变的性质。
学数学嘛，就是要找这些个规律，用起来才得心应手。
就像咱们过日子，摸清了门道，啥事儿都能整得巴巴适适的。
高中数学课件____2.2.2椭圆的简单几何性质2-第二定义
这是椭圆的标准方程， 所以点M的轨迹是长轴、短轴长
分别为2a、 2b的椭圆.
椭圆的第二定义：
椭圆是平面内与 一个定点的距 离和它到一条 c 定直线的距离 的 比 是 常 数e (0 e 1) a 的点的轨迹。
注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合 MF c P M , d a 由此可得：
( x - c )2 y 2 a2 -x c
c . a
将上式两边平方，并化 简，得
（a 2 - c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 - c 2 ). 设a 2 - c 2 b 2 , 则方程可化成 x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
a2=b2+c2
巩固练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
为
2 2
。
2、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
离心率为
1 3
。
3、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数
3 列，则其离心率e=__________ 5
25 例 2:点M (x, y )与定点F (4, 0)的距离和它到直线l : x 4 4 的距离的比是常数 ,求点M 的轨迹. 25 5
（3）若点M ( x, y )与定点F (-c， 0)的距离和它到定直线 a2 c l : x - 的距离的比是常数 (a c 0)，此时点M的 c a 轨迹还是同一个椭圆吗 ？ a2 （4）当定点改为 F (0， - c )，定直线改为 l : y - 时，对应 c 的轨迹方程又是怎样呢 ？
椭圆的第二定义推导过程
椭圆的第二定义推导过程椭圆是一种投影几何图形，是直角坐标系和极坐标系中的重要曲线，广泛应用于科学计算和工程设计等领域。
人们经常将椭圆定义为等距离（即离心率）线上的所有点的集合，也就是说，椭圆是通过一系列等距离线形成的投影平面轮廓。
本文将介绍椭圆的第二定义推导过程，该过程利用椭圆的标准格林函数即椭圆积分定义椭圆的轮廓。
椭圆的定义椭圆是一种投影几何图形，它由一个主轴和一个副轴交叉形成的轮廓，称为椭圆的椭圆轮廓。
椭圆的中心和两个轴的长度确定了椭圆的位置和形状。
它的定义可以用两种方法进行表示：一种是通过等距离（即离心率）线来定义，另一种是通过标准椭圆积分来定义。
第一种方法，即离心率定义法，定义了椭圆是由两个等距离（即离心率）线构成的轮廓。
两个等距离线分别是以圆心为中心，离心率为e1和e2的椭圆曲线。
椭圆的离心率定义如下：设X1,Y1是椭圆上的一点，M1,M2是离心率，则有：{(X1-M1)^2}/({M1}^2)+{(Y1-M2)^2}/({M2}^2)=1第二种方法，即标准椭圆积分定义，是通过解决椭圆积分来表达椭圆的轮廓，该积分的定义如下：设X1,Y1是椭圆上的一点，M1,M2是离心率，则有：Int[(X1-M1)^2+{(Y1-M2)^2}/({M2}^2),X1] = 0椭圆的第二定义推导为了证明第二种定义方法，即椭圆积分定义，我们先来计算椭圆积分。
将椭圆积分标准化后，可以得到以下公式：Int[(x-1)^2+y^2,x]=x^3/3 - x +c令c = 0，可以得到：Int[(x-1)^2+y^2,x]=x^3/3 - x将x设定为X1，Y设定为Y1，则有：Int[(X1-1)^2+Y1^2,X1]=(X1^3/3)-X1又有：{(X1-M1)^2}/({M1}^2)+{(Y1-M2)^2}/({M2}^2)=1将上述两式代入X1^3/3 - X1得到：M1M2{(X1-M1)^2}/({M1}^2)+M1M2{(Y1-M2)^2}/({M2}^2) = M1M2 令M1M2=1，可以得到：{(X1-M1)^2}/({M1}^2)+{(Y1-M2)^2}/({M2}^2) = 1 可以看出，第二种定义方法即椭圆积分定义，是以第一种定义方法即离心率定义为基础的。
椭圆第二定义弦长公式
椭圆第二定义弦长公式
椭圆第二定义弦长公式是用来确定椭圆的某一点和機點之间的距離的。
它有两种形式，分别为时序定义弦长（EL2）和余弦定义弦长（CL2）。
时序定义弦长（EL2）：
EL2 = a·(1 - e·cosθ) ,其中a为椭圆长半轴，e为椭圆偏心率，θ为将椭圆到近心点作出的弦长
所对应的角的余弦值。
余弦定义弦长（CL2）：
CL2 = a·(1 - e²)·[cosec θ - (e·sinθ)/(1 - e·cosθ)] ,其中a为椭圆长半轴，e为椭圆偏心率，θ为
将椭圆到近心点作出的弦长所对应的角的余弦值。
一般情况下，EL2适用于椭圆长半轴与偏心率都可知的情况，而CL2适用于椭圆长半轴
未知或者偏心率未知的情况。
而如果可以确定椭圆长半轴及偏心率，则EL2较CL2更为简便。
椭圆第二定义弦长公式可以用于工程计算，例如用于精密测量，椭圆定位，卫星定位，导航系统，航天任务定位以及地球物理学研究等。
从历史上看，它也可以用于天文学、历法及航
海活动定位等方面的应用。
因此，椭圆第二定义弦长公式在科学与工程领域有着广泛的应用。
椭圆第二定义公式
椭圆第二定义公式
椭圆第二定义公式：x2/a2+y2/b2=1
椭圆是一种常见的曲线，在几何学中，它可以用第二定义公式来描述：x2/a2+y2/b2=1。
这个公式表明，椭圆是一种满足特定约束条件的曲线，其中a和b是椭圆的长短轴，它们决定椭圆的形状，当a=b时，椭圆就会变成一个圆。
椭圆的应用非常广泛，它们可以用来描述太阳系中行星的运行轨迹，也可以用来描述光的反射和折射的原理。
椭圆也可以用来描述球体的曲率，并应用于空间曲率的研究，例如黑洞研究等。
此外，椭圆也被用于机器人学中，用于计算机控制的精准操作，如臂机的移动等。
椭圆的计算方法也很实用，它可以用来计算曲线的长度，其比较精确，并可以精确的拟合曲线。
总之，椭圆第二定义公式：x2/a2+y2/b2=1可以用来描述椭圆的形状，并用于许多不同领域的应用，它也是几何学和机器人学的重要部分。
高二数学椭圆的第二定义
3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭 圆方程变为（？） 动画演示
椭圆的第二定义
例1：设M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到直线
l：x a2 的距离的比是常数 c ，求点M的轨迹。
c
a
y
l
Md
H
o
F
x
椭圆的第二定义：点M与一个定点距离和它到 一条定直线距离的比是一个小于1的正常数， 这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点。
4、椭圆离心率的两种表示方法：
e
c a
椭圆上任意一点P至焦点F的距离 P至与F对应的准线的距离
a 准线方程为：
2
x c
椭圆焦点在x轴
y a2
c
椭圆焦点在y轴
例２．设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以 AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）
A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切
小结
定直线叫椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
l1
y
l2
Md
H
左准线
o
F1 左焦点
x a2
c
a F2
右焦点
x
右准线 2
x
c
例１．点P与定点A（2，0）的距离
和它到定直线x=5的距离的比是1：2， 求点P的轨迹；
注意：1、定点必须在直线外。 2、比值必须小于1。 3、符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定 是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。
复习回顾
y
o
x
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
高二数学椭圆知识点整理
一、椭圆的定义：(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.说明：两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2.(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.二、椭圆的数学表达式：()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M 三、椭圆的标准方程：焦点在x 轴: ()012222>>=+b a by a x ； 焦点在y 轴: ()012222>>=+b a bx a y . 说明：a 是长半轴长，b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足.222c b a +=四、二元二次方程表示椭圆的充要条件方程()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件： 上式化为122=+CBy C Ax ，122=+BC y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BC A C <时，椭圆的焦点在y 轴上.五、椭圆的几何性质（以()012222>>=+b a by a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,12222≤≤by a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.5.离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆.6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为ab 22. 7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.例题选讲一、选择题1．椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）A ．23 B ．43 C ．22 D ．32 2．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ）A ． 4B ．5C ． 8D ．10 3．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21， 则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ．2 3B ．6C ．4 3D ．125．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）A ．51B ．52C ．55D ．552 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．32B ．33C ．22D ．23 7．已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．23B ．62C ．72D ．24二、填空题：8． 在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A C B += . 11．椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．三、解答题12．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．13．已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆 的标准方程．14．已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．15．已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．16. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
高二数学椭圆的第二定义(2019)
y
o
x
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
说明：椭圆位于直
线X=±a和y=±b所
o
x
围成的矩形之中。
二、椭圆的对称性
y
方程：
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
3、对称性：
o
x
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点
对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于-y方程不变，图象关于原 点成中心对称。
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以候神人於执期 ”於是王翦将兵六十万人 可不勉与 甘泉则作益延寿观 公子刻攻魏首垣 善赵将李齐 上怒曰：“纵以我为不复行此道乎 夺之权 恐其有变 甘心於外国 秋 明汉王之信於天下 威动万里 秦文公东猎汧渭之间 天子所以赏赐者数十巨万 掩定襄狱中重罪轻系二百馀人 为关内侯 命曰 “畤”；使人人奉职 秦昭王後悔出孟尝君 故令人谓韩王曰：“秦召西周君 交易有无之路通 左 转祸而说秦 今王头至 固以为常 取东周 如冠玉耳 居妫水北 以为十四县 监郯下军 婴已而试补县吏 置前 如此而魏亦关内侯矣 私家富重於王室 危亡之术也 今乃於毛先生而失之也 又阴痿 皆去其 业 自子夏 齐大夫黎鉏言於景公曰：“鲁用孔丘 灵公太子蒉聩得过南子 始皇七年 及薨 鄡单字子家 六月壬申 布衣也 鲁昭公之二十年 里中持羊酒贺两家 ”於是少女缇萦伤父之言
高中数学必修2椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳考点一 椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12FF ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二 椭圆的标准方程一 标准方程1焦点在x 轴上 标准方程是：22221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -2焦点在y 轴上 标准方程是：22221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mx ny +=（其中0,0m n >>）例 已知椭圆过两点1),(2)A B -，求椭圆标准方程5 与12222=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++kb y k a x二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例 已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。
椭圆的第二定义
椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（介于0与1之间）的动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。
先看例题：例：点()y x M ,与定点()0,c F 的距离和它到定直线cax l 2:=的距离的比是常数ac ()0>>c a ，求点M 的轨迹。
解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意得=M F c da整理得：()ac xcay c x =-+-222两边同时平方，并化简，得()()22222222caaya xca -=+-，令222b ca=-，得轨迹的方程为12222=+by ax ()0>>b a如图所示：归纳整理： 椭圆的第二定义：平面内与一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线cax l 2:=的距离之比是常数(01)c e e a=<<的动点M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意： ①对于椭圆方程22221(0)x y a b ab+=>>对应于右焦点2(0)Fc ，的准线称为右准线，方程为2ax c =对应于左焦点1(0)F c -，的准线为左准线，方程为2ax c=-②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
再看一个例题，加深印象例：到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是解：设动点(,)M x y=2两边平方整理得0568222=-++x y x .注意：本题中椭圆中心不在原点。
如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a ，b ，c 直接计算，就会产生错误。
所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。
总结：1.了解椭圆的第二定义中的各常量a ，b ，c ，ca ，2a c几何意义。
认识到离心率c a在第二定义中的关键作用。
椭圆的第二定义
注意：1、定点必须在直线外。
2、比值必须小于1。 3、符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定
是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。
4、椭圆离心率的两种表示方法：
ea c椭 圆 P 上 至 任 与 意 F 对 一 应 点 的 P 至 准 焦 线 点 的 F 距 的 离 距 离
a a 准线方程为：
2
2
x c
椭圆焦点在x轴
椭圆焦点在x轴椭圆焦点在y轴例8设中心在原点焦点在x轴上的椭圆的长例7两焦点坐标分别为0202且经过点的椭圆的标准方程是什么
椭圆的第二定义
第1页，本讲稿共12页
椭圆的第二定义：点M与一个定点距离和它到 一条定直线距离的比是一个小于1的正常数， 这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点。 定直线叫椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当P、 F1、F2三点不在同一直线上时，P、F1、F2构成了一
个三角形———焦点三角形。
y
P
F1 o
F2
x
|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c
第10页，本讲稿共12页
例1、已知椭圆
x2
25
y2
9
1，两焦点为F1、F2，
P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求
│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo； ②焦点在y轴上时：
│PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。
第12页，本讲稿共12页
a a 准线方程为：
2
2
x
或
c
椭圆焦点在x轴
y 椭圆焦点在cy轴
第3页，本讲稿共12页
例7、两焦点坐标分别为（0，-2），（0，2） 且准经 线方过程点是 什 32么, 52？ 的椭圆的标准方程是什么？
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例一：动点P到直线2x+y-8=0的距离与它到点(1,2)的距离的比值为 ，求动点P的轨迹方程，并判断点P的轨迹是何种曲线。
略解：设P点坐标为(x,y)，则
所以，点P的轨迹是椭圆，整理得：
四、小结与练习
1、小结：①、椭圆的第二定义：平面内一动点到一定点的距离和它到一定直线的距离之比等于常数e = (a>c>0 )的点的轨迹是椭圆。
播出第四帧幻灯片。
数形结合思想方法的充分体现。
略停打出第五帧幻灯片；对这一问题，学生有的说是、一定是、不一定是、即使是也要证明等等。
由椭圆的对称性得另一准线方程为： 。
提问8：这一过程是否还有什么可以挖掘的？如何求得椭圆上到左焦点F1的距离最近和最远的点？
请同学们再依次审视原推导过程。思维聚集到②′式上，并发现②′的几何意义是动点M(x,y)到焦点F2(c,0)的距离： ⑤′
椭圆标准方程的推导过程：
设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2C(C>0)，M与F1，F2的距离的和等于正常数2a，则F1，F2的坐标分别为(-C，0)、(C，0)。
椭圆就是集合
因为 、 ，将方程： ①
移项两边平方，得 ②
再平方： ③
整理得： ④
由椭圆定义知：2a>2c即a>c,所以 >0
设 = (b>0)，整理得： ⑤
椭圆的第二定义
教学目标：理解并掌握椭圆的第二定义及两种定义的等价性。提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力，培养学生积极参与的主动精神。
教学重点：椭圆的第二定义
教学难点：方程如何变形及两种定义的等价性。
教学方法：学生主动探索与教师启发相结合。
教具准备：PowerPoint课件一个。
教学过程：
一、知识回顾
“于无疑处生疑”。
学生基本上无法揭示这一本质属性。
定点距离之和等于定长2a这一本质属性。
提问3：在上述推导过程中，哪一式有这一特征？
相比之下①式正好有这一特征。
提问4：从①到⑤的过程中，是在哪里失去了这一特征？
如果没有第一次对①式移项，两边平方就不能化简，整理得到⑤式；而到了②式，再次平方，虽化简后可得到具有许多优点的⑤式，但却失去了上述提到的特征，至此，应把注意力集中到②式上。
1、
播出第六帧幻灯片。
有的学生略加思考便回答：左顶点A1与F1的距离最近，右顶点A2与F1的距离最远。但答不上为什么？
又一次复习巩固了椭圆的第一定义及两种定义的等价性。
播出第七帧幻灯片。渗透化归的数学思想。
播出第八帧幻灯片。
通过本例的教学，让学生深切理解定义中的定点一般为(x0,y0)，定直线一般为：ax+by+c=0。了解椭圆方程的本质特征，标准方程和非标准方程所具有的形式，使学生对椭圆第二定义的内涵和外延的：
2、练习： 第9题。
五、作业： 习题8.2第11题。
教后感：
1、本节在知识形成阶段，运用了观察、比较、分析、抽象、概括等抽象化的思想方法。
2、本节全面展现了概念的提出过程、结论的探索过程和方程变形的思考过程。
3、本节实施贯彻了主动学习原则，可接受性原则，化隐为显的原则。
4、本节充分体现了化归的思想方法。
提问7：满足④′式的点的轨迹是椭圆吗？
根据学生回答，由此得椭圆的第二定义：平面内一动点到一定点的距离和它到一定直线的距离之比等于常数e = c/a( a>c>0 )的点的轨迹是椭圆，定点是焦点，定直线叫做椭圆的准线。准线方程为： 。
播出第三帧幻灯片。
学生开始兴趣盎然地重新审视原推导过程。
引导学生探索。
同理得： ⑥′
将以上两式与圆的半径比较，命名为焦半径公式；
提问9：⑤′、⑥′式有何优点和作用？
1、由⑤′+⑥′得：
2、⑤′、⑥′均是一次函数，可以很直观地看出点A1距F1最小，点A2距F1最大。
焦半径公式⑤′、⑥′充分地体现了中学数学的化归思想，它将二维平面(x,y)上的问题化归为一维数轴X来处理，它在解题上有独特的威力。
5、在教学过程中，教师对具有严谨的思维习惯和方法与学生只凭直观得到结果的方法应从不同角度给以肯定。培养学生主动思考的积极性。
6、有几个地方对学生的思考引导不足，在今后的教学过程中，应加强这方面的学习和研究，促进自身教学水平的进一步提高。以利于提高课堂教学效率。
提问5：到了②式要是不再平方，而用其他办法变形又会如何？这个方法是什么呢？
两边同除以a可得：
②′
再考虑到②′式x前的系数不便于观察，故必须提取系数 ，即得：
③′
亦即： ④′
这是一个全新而又有明显的几何意义的关系式。
提问6：④′式的几何意义是什么呢？
椭圆上的点M(x,y)到焦点(c,0)和定直线 的距离之比为常数
二、新课内容
师：以上推导过程蕴含着许多值得我们去深思和发掘的东西。
提问1：为何取⑤为椭圆的标准方程？
提问2：⑤式与圆的标准方程比较又有什么不足呢？
在比较中看出⑤式无法揭示出椭圆上的一点到两
备注或教后感
即探索式、对话式
先启动PowerPoint课件。
播放第一帧幻灯片：椭圆标准方程的推导。
“诱思”。
播放第二帧幻灯片。