2010江苏省专转本高等数学真题

2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

注意事项：

1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚。

2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效。

3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1.设当0x →时，函数()sin f x x x =-与()n g x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为(

) A. 1

,36a n == B. 1

,33a n == C. 1

,412a n == D. 1

,46a n ==

2.曲线2234

56x x y x x -+=-+的渐近线共有( )

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D. 4条

3.设函数22()cos t

x x e tdt Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于( )

A. 222cos x xe x

B. 222cos x xe x -

C. 2cos x xe x -

D. 22cos x e x -

4.下列级数收敛的是( ) A. 11n n n ∞

=+∑ B. 2121n n n n ∞=++∑

C.

1n n ∞= D. 2

12n

n n ∞

=∑

5.二次积分11

01(,)y dy f x y dx +⎰⎰交换积分次序后得( )

A. 11

01(,)x dx f x y dy +⎰⎰ B. 2110(,)x dx f x y dy -⎰⎰

C. 21

11(,)x dx f x y dy -⎰⎰ D. 2111(,)x dx f x y dy -⎰⎰

6.设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内( )

A. 函数()f x 单调增加且其图形是凹的

B. 函数()f x 单调增加且其图形是凸的

C. 函数()f x 单调减少且其图形是凹的

D. 函数()f x 单调减少且其图形是凸的

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7. 1

lim()1x x x x →∞+=-

8. 若(0)1f '=，则0()()lim x f x f x x

→--= 9. 定积分31

2111x dx x -++⎰的值为 10. 设(1,2,3),(2,5,)a b k == ，若a 与b 垂直，则常数k =

11.

设函数z =10x y dz ===

12. 幂级数0(1)n

n n x n ∞

=-∑的收敛域为 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

13、求极限2011lim()tan x x x x

→-

14、设函数()y y x =由方程2x y y e

x ++=所确定，求22,dy d y dx dx

15、求不定积分arctan x xdx ⎰

16

、计算定积分

40⎰

17、求通过点(1,1,1)，且与直线23253x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩

垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方

程。

18、设2(,)x

z y f xy e =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂

19、计算二重积分

D xdxdy ⎰⎰，其中D

是由曲线x =y x =及x 轴所围成的闭区域。

20、已知函数x y e =和2x y e -=是二阶常系数齐次线性微分方程"'0y py qy ++=的两个解，试确定常数p,q 的值，并求微分方程"'x y py qy e ++=的通解。

四、证明题（每小题9分，共18分）

21、证明：当1x >时，121122

x e

x ->+

22、 设(),0,()1,

0,x x f x x x ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且

'(0)0,(0)1ϕϕ==，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导。

五、综合题（每小题10分，共20分）

23、设由抛物线2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值。

24、设函数()f x 满足方程'()()2x

f x f x e +=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1,(0)y x t t ==>及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞