隐函数的求导方法PPT课件
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隐函数对数函数求导法则课件.ppt
y 33 (,) 22
yx2
y2 x
33 1.
(,) 22
所求切线方程为 y3(x3)
2
2
法线方 y程 3x为 3 22
即 xy30.
显然通过原点.
例3 设 x 4 x y y 4 1 , 求 y '在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 值 .
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
方程.
dy
解
dy dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
2
1 cos
1.
2
当 t 时 ,x a ( 1 ),y a .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1)
2
即yxa(2)
2
小结
隐函数求导法则: 方程两边对x求导; 对数求导法: 等式两边取以e为底对数,按隐函数 的求导法等式两边同对x求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
1 2x x 1 3 x x 2 4 x1 1x 12x1 3x 14
三、由参数方程确定的函数的导数
由参数方程
x y
t所确定的函数 t
y
f
x的导数
dy 为：
dx
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
''tt
dt
例8 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切线
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1; 4
( 1 )
二、对数求导法
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
隐函数的求导方法课件
函数的求方 件
• 隐函数求导的应用 • 隐函数求导的注意事项 • 隐函数求导的常见错误分析 • 隐函数求导的习题与解析
01
函数求
隐函数定义
隐函数
如果对于每一个$x$的值，$y$都 有唯一确定的值与之对应，那么 我们说$y$是$x$的隐函数。
举例
$x^2 + y^3 - 1 = 0$是一个隐函 数，因为对于每一个$x$的值， $y$都有唯一确定的值与之对应。
几何解释是理解隐函数求导的直观方 法。当我们对一个隐函数求导时，我 们实际上是在找到等值线的斜率。这 个斜率告诉我们函数值在各个点的变 化速度和方向。在解决各种实际问题 时，了解函数的几何意义可以帮助我 们更好地理解和应用求导的结果。
03
函数求的用
极值问题
极值问题
隐函数求导在求解极值问题中具有重 要应用。通过求导，我们可以找到函 数的最值点，进而确定函数的极值。
隐函数求导的几何意义
几何意义
总结词
详细描述
隐函数求导的几何意义在于找到等值 线的斜率。在二维平面上，等值线是 一组具有相同函数值的点组成的曲线。 通过求导，我们可以找到等值线的斜 率，从而了解函数值的变化趋势。
隐函数求导的几何意义是理解函数值 变化的关键。通过找到等值线的斜率， 我们可以更好地理解函数的性质和行 为。
习题三：求函数的极值
总结词
理解隐函数极值的求解方法
详细描述
通过求解一个具体的隐函数极值问题，掌握如何利用隐函数求导的结果来找到函数的极 值点，理解极值的判定条件和求解步骤。
感您的 看
THANKS
详细描述
在求隐函数导数时，复合函数的处理是关键。如果对复合函数的求导规则理解不准确，会导致求导结果错误。例 如，在处理复合函数时，没有正确地应用链式法则，或者在处理复合函数的变量替换时出现错误，都会导致求导 结果不准确。
• 隐函数求导的应用 • 隐函数求导的注意事项 • 隐函数求导的常见错误分析 • 隐函数求导的习题与解析
01
函数求
隐函数定义
隐函数
如果对于每一个$x$的值，$y$都 有唯一确定的值与之对应，那么 我们说$y$是$x$的隐函数。
举例
$x^2 + y^3 - 1 = 0$是一个隐函 数，因为对于每一个$x$的值， $y$都有唯一确定的值与之对应。
几何解释是理解隐函数求导的直观方 法。当我们对一个隐函数求导时，我 们实际上是在找到等值线的斜率。这 个斜率告诉我们函数值在各个点的变 化速度和方向。在解决各种实际问题 时，了解函数的几何意义可以帮助我 们更好地理解和应用求导的结果。
03
函数求的用
极值问题
极值问题
隐函数求导在求解极值问题中具有重 要应用。通过求导，我们可以找到函 数的最值点，进而确定函数的极值。
隐函数求导的几何意义
几何意义
总结词
详细描述
隐函数求导的几何意义在于找到等值 线的斜率。在二维平面上，等值线是 一组具有相同函数值的点组成的曲线。 通过求导，我们可以找到等值线的斜 率，从而了解函数值的变化趋势。
隐函数求导的几何意义是理解函数值 变化的关键。通过找到等值线的斜率， 我们可以更好地理解函数的性质和行 为。
习题三：求函数的极值
总结词
理解隐函数极值的求解方法
详细描述
通过求解一个具体的隐函数极值问题，掌握如何利用隐函数求导的结果来找到函数的极 值点，理解极值的判定条件和求解步骤。
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详细描述
在求隐函数导数时，复合函数的处理是关键。如果对复合函数的求导规则理解不准确，会导致求导结果错误。例 如，在处理复合函数时，没有正确地应用链式法则，或者在处理复合函数的变量替换时出现错误，都会导致求导 结果不准确。
高数课件25隐函数求导法则
隐函数的特点
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那 么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数 ，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优 解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数 将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数 。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求 导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一 种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲 线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函 数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与 展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那 么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数 ，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优 解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数 将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数 。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求 导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一 种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲 线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函 数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与 展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4
《隐函数的求导》课件
通过二阶导数和隐函数表达式，求出三阶导数。
4. 以此类推，直到求出想要的阶数导数
通过以上方法，我们可以求出任意阶数的隐函 数导数。
举例
例1：$x^2+y^2=25$
解析一个关于圆的隐函数，通过 求导得到圆上某点的切线斜率。
例2：$xy=x+y$
研究一组直线的交点，通过求导 找到斜率和截距的关系。
例3：$sin(xy)=cos(x-y)$
解析一个三角函数的隐函数，通 过求导得到函数的性质。
求导过程中的注意事项
1 求导法则的运用
合理运用导数的基本法则，简化求导过程。
2 链式法则Βιβλιοθήκη 运用当隐函数中包含复合函数时，要运用链式法则。
3 积、商、加、减法则的运用
当隐函数的表达式包含多个运算符时，要适当运用相关法则。
总结
隐函数求导的基本方法
通过求导的步骤，我们可以 得到隐函数关于自变量的导 数。
《隐函数的求导》PPT课件
# 隐函数的求导 ## 前言 - 隐函数概述 - 隐函数存在的意义
隐函数求导的基本方法
1. 求一阶导数
通过求函数的一阶导数，找到隐函数关于自变 量的导数。
2. 利用一阶导数和式子本身求二阶导数
通过一阶导数和隐函数表达式，求出二阶导数。
3. 利用二阶导数和式子本身求三阶导数
求导过程中的注意事项
合理运用求导法则以及链式 法则，简化求解的过程。
练习题
通过练习题进一步巩固对隐 函数求导的理解与应用。
4. 以此类推，直到求出想要的阶数导数
通过以上方法，我们可以求出任意阶数的隐函 数导数。
举例
例1：$x^2+y^2=25$
解析一个关于圆的隐函数，通过 求导得到圆上某点的切线斜率。
例2：$xy=x+y$
研究一组直线的交点，通过求导 找到斜率和截距的关系。
例3：$sin(xy)=cos(x-y)$
解析一个三角函数的隐函数，通 过求导得到函数的性质。
求导过程中的注意事项
1 求导法则的运用
合理运用导数的基本法则，简化求导过程。
2 链式法则Βιβλιοθήκη 运用当隐函数中包含复合函数时，要运用链式法则。
3 积、商、加、减法则的运用
当隐函数的表达式包含多个运算符时，要适当运用相关法则。
总结
隐函数求导的基本方法
通过求导的步骤，我们可以 得到隐函数关于自变量的导 数。
《隐函数的求导》PPT课件
# 隐函数的求导 ## 前言 - 隐函数概述 - 隐函数存在的意义
隐函数求导的基本方法
1. 求一阶导数
通过求函数的一阶导数，找到隐函数关于自变 量的导数。
2. 利用一阶导数和式子本身求二阶导数
通过一阶导数和隐函数表达式，求出二阶导数。
3. 利用二阶导数和式子本身求三阶导数
求导过程中的注意事项
合理运用求导法则以及链式 法则，简化求解的过程。
练习题
通过练习题进一步巩固对隐 函数求导的理解与应用。
隐函数求导法【高等数学PPT课件】
同理,将各方程两边对y求偏导, 可得
例1 设
求
解 将所给方程的两边对x求偏导
例2. 设 函数
有连续的一阶偏导数 ,又 分别由下列两式确定 :
(2001考研)
解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
解得 因此
第5节 隐函数存在定理
一、一个方程的情形
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
隐函数存在定理1
若满足下列条件：
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
，并有
隐函数的求导公式
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
解: 令 ① ②
则 连续 ,
③
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
导数的另一求法 — 利用隐函数求导 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时
隐函数存在定理2
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一
例2. 设 解法1 利用隐函数求导
再对 x 求导
解法2 设 则
利用公式
两边对 x 求偏导
注:
也可确定y是x、z的函数，
及x是y、z的函数，此
时
例3 求 的全微分.
解法1 用公式,令
确定的函数
所以
解法2 将方程两边分别对x、y求偏导：
例4
由方程
《隐函数有求导法则》课件
隐函数的导数
1 什么是导数？
导数是衡量一个函数在某一点上的变化率。
2 隐函数导数的计算方法
通过隐函数求导法则，我们可以计算隐函数的导数，即求解隐函数中的未知变量在某点 的导数。
3 公式推导过程
隐函数导数的计算涉及隐函数的微分以及求导规则的应用，详细的推导过程可以在参考 资料中找到。
实际应用
等高线与导
《隐函数有求导法则》 PPT课件
隐函数有求导法则是微积分中的重要内容，本课件将介绍什么是隐函数、如 何计算隐函数的导数以及隐函数在实际应用中的意义。
什么是隐函数？
1 定义
隐函数是指在一个方程中定义的函数，其自变量与因变量之间的关系不是显式地表达出 来。
2 例子
一个常见的隐函数是圆的方程x^2 + y^2 = r^2，其中x和y两个变量之间的关系是不显式表 达的。
2 概念的运用
通过学习隐函数有求导法 则，我们可以将其应用于 实际问题的分析和求解。
3 学习建议
深入理解隐函数有求导法 则，并进行大量的练习和 应用，以巩固知识并提升 解决问题的能力。
参考资料书籍微积分教材Fra bibliotek数学分析参考书
网站
数学学习网站、在线课程平台
文献
相关研究论文和期刊
隐函数的导数在等高线的绘制 中起到重要作用，帮助我们理 解曲面在不同方向上的变化。
物理问题求解
隐函数的应用广泛，包括物理 问题的求解，如抛物线运动和 行星轨道。
工程实践中的应用
许多工程问题涉及隐含的关系， 通过求解隐函数并计算导数， 可以得到一些重要的工程参数。
总结
1 隐函数的重要性
隐函数在数学和应用领域 中具有重要性，帮助我们 理解复杂的关系。
《隐函数的求导方法》课件
隐函数与显函数的关系
显函数：由自变量和因变量通过等号 连接的函数，如y=f(x)。
隐函数不一定能通过等号转化为显函 数，但两者都表示了因变量与自变量 之间的关系。
隐函数的几何意义
隐函数在坐标平面上的表现是一条曲线。
通过对方程F(x,y)=0进行求导，可以确定曲线上各点的切线斜率，从而了解曲线的形状和变化趋势。
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程 ，再利用普通方程求导法则进行求导。
详细描述
对于由参数方程 $x = varphi(t), y = psi(t)$ 确定的隐函数，可以通过消去参数 $t$，将 其转化为 $y = f(x)$ 的形式，然后利用复合
函数求导法则和链式法则进行求导。
由极坐标方程确定的隐函数求导
乘积法则
总结词
乘积法则用于求解两个函数的乘积的导数，通过乘积法则可以将两个函数的导 数相加。
详细描述
乘积法则是链式法则的一种特殊形式，如果两个函数y=f(x)和u=g(x)的导数存 在，那么它们的乘积的导数为y的导数乘以u加上u的导数乘以y，即 dy*du=(dy/dx)*u+(u/dx)*y。
商式法则
顺序确定
在求导过程中，运算的顺序需要 确定，根据求导法则和运算优先 级进行判断。
顺序处理
在求导过程中，需要注意运算的 顺序处理，确保运算的正确性和 一致性。
顺序变换
在求导过程中，运算的顺序可能 会发生变化，需要根据求导法则 和运算优先级进行判断。
求导过程中的公式选择问题
公式选择
在求导过程中，公式的选择是关键，需要根据函数的 类型和求导法则进行选择。
02 隐函数的求导法则
链式法则
总结词
《隐函数求导公式》课件
对数函数的隐函数求导
对于形如 (y = log_{a}{f(x)}) 的函数， 其导数为 (dy/dx = frac{1}{x ln a} cdot f'(x))。
三角函数的隐函数求导
正弦函数的隐函数求导
对于形如 (y = sin{f(x)}) 的函数，其导数 为 (dy/dx = cos{f(x)} cdot f'(x))。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
商式法则是隐函数求导的基本法则之一，其基本思想是将两个函数的导数相减， 得到商的导数。具体来说，如果两个函数分别为u和v，那么它们的商的导数为 u'/v-uv'/v^2。
反函数求导法则
总结词
反函数求导法则用于求解反函数的导数，通过反函数求导法则可以将对反函数的求导转化为对原函数的求导。
详细描述
实践应用
建议学习者多做练习，通过解决实际问题来提高应用这些公式的熟练 度和准确性。
持续更新
提醒学习者隐函数求导公式并非一成不变，随着数学理论的发展，这 些公式可能会被改进或更新，需要保持关注和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习。
跨学科应用
强调这些公式在其他学科（如物理、工程等）中的应用价值，鼓励学 习者尝试将这些公式应用到其他领域中。
VS
余弦函数的隐函数求导
对于形如 (y = cos{f(x)}) 的函数，其导数 为 (dy/dx = -sin{f(x)} cdot f'(x))。
参数方程的隐函数求导
参数方程的隐函数求导
对于参数方程 (x = x(t), y = y(t)) 描述的曲线，其导 数为 (dy/dx = frac{y'(t)}{x'(t)})。
参数方程的隐函数求导的应用
对于形如 (y = log_{a}{f(x)}) 的函数， 其导数为 (dy/dx = frac{1}{x ln a} cdot f'(x))。
三角函数的隐函数求导
正弦函数的隐函数求导
对于形如 (y = sin{f(x)}) 的函数，其导数 为 (dy/dx = cos{f(x)} cdot f'(x))。
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THANKS
详细描述
商式法则是隐函数求导的基本法则之一，其基本思想是将两个函数的导数相减， 得到商的导数。具体来说，如果两个函数分别为u和v，那么它们的商的导数为 u'/v-uv'/v^2。
反函数求导法则
总结词
反函数求导法则用于求解反函数的导数，通过反函数求导法则可以将对反函数的求导转化为对原函数的求导。
详细描述
实践应用
建议学习者多做练习，通过解决实际问题来提高应用这些公式的熟练 度和准确性。
持续更新
提醒学习者隐函数求导公式并非一成不变，随着数学理论的发展，这 些公式可能会被改进或更新，需要保持关注和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习。
跨学科应用
强调这些公式在其他学科（如物理、工程等）中的应用价值，鼓励学 习者尝试将这些公式应用到其他领域中。
VS
余弦函数的隐函数求导
对于形如 (y = cos{f(x)}) 的函数，其导数 为 (dy/dx = -sin{f(x)} cdot f'(x))。
参数方程的隐函数求导
参数方程的隐函数求导
对于参数方程 (x = x(t), y = y(t)) 描述的曲线，其导 数为 (dy/dx = frac{y'(t)}{x'(t)})。
参数方程的隐函数求导的应用
隐函数的导数.ppt
x)
cos(1
x) (1)
所以
y
y
12 2x
3
1 3(x
5)
2 x
cot(1
x)
(2x 3)6 3 x x2 sin(1 x)
5
12 2x
3
1 3(x
5)
2 x
cot(1
x)
练习：用对数求导法求下列函数的导数
（1） y sin x tan x
（2）
y 3 x(x 1) (2 x)(x 3)
(含导数 y的方程)
例1 求由方程y2+3y2x2+xln3=0所确定的函数y=f(x) 的导数yx.
解 按题设，所给方程确定y是关于x的函数， x是自变量，y=f(x)，y2就相当于[f(x)]2， 这样，y2对x求导数时，需用复合函数的导数法则 将方程两端同时对x求导数，得 (y2+3y2x2+xln3)x=(0)
3x2 +ex (1y2 +x2yy ) +(siny) y =0
解出y ，得
y 3x2 ex y2 2xy sin y
学生练习：1.由下列方程确定y是x的函数，求y′
（1） b2 x2 a2 y2 a2b2 0
（2） x y 2 2xey
（3） x2 sin(x y) ln xy
y
b a
2 2
x y
y
1 2e y 2xey 1
y y 2x2 y sin( x y) x3 y cos(x y) x3 y cos(x y) x
例3 求由方程lny=xysinx+1所确定的函数y=f(x)
的导数y及y | x=0
《隐函数导数》课件
计算方法
高阶隐函数导数的计算方法与一阶导数类似，需要使用复合函数的求导法则和链式法则。具体来说，对于形如 (y = f(x)) 的隐函数，其高阶导数 (y^{(n)}) 可通过逐阶求导得到。例如，二阶导数 (y'') 可通过对 (y') 求导得到。
应用
高阶隐函数导数在解决一些实际问题中非常有用，如物理学中的振动分析、经济学中的最优控制问题等 。通过对高阶导数的分析，可以深入了解函数的局部性质，从而更好地解决实际问题。
要点三
应用
隐函数组的导数在解决一些实际问题 中非常有用，如几何学中的曲线和曲 面分析、物理学中的场论等。通过对 隐函数组的导数进行分析，可以深入 了解多个函数之间的关系，从而更好 地解决实际问题。
隐函数与参数方程的导数
01
定义
参数方程是一种描述曲线或曲面形状的方式，其中参数的 变化决定了曲线或曲面的变化。而隐函数与参数方程的导 数则是研究参数变化对曲线或曲面形状的影响。
极值问题
隐函数导数在求解极值问题中具有重要应用。通过求导数并令其为零，可以找到函数极值点，进而确定函数的最 大值和最小值。
条件极值
在某些约束条件下求解极值问题，可以利用隐函数导数将约束条件转化为等式或不等式，简化问题求解过程。
曲线的切线与法线
切线斜率
隐函数导数表示函数在某点的切线斜 率，通过求导数可以得到切线的斜率 。
举例
$z = f(x, y)$，在一定条件下，$z$是 $x$和$y$的函数，即$z$的值由$x$ 和$y$唯一确定，则称$z = f(x, y)$是 $x$和$y$的隐函数。
隐函数导数的定义
定义
对于一个隐函数$z = f(x, y)$，如果它在某点处的偏导数$frac{partial f}{partial x}$和$frac{partial f}{partial y}$都存在且不等于0，则称该点为该隐函数的可导 点，并称这两个偏导数为该隐函数的偏导数。
高阶隐函数导数的计算方法与一阶导数类似，需要使用复合函数的求导法则和链式法则。具体来说，对于形如 (y = f(x)) 的隐函数，其高阶导数 (y^{(n)}) 可通过逐阶求导得到。例如，二阶导数 (y'') 可通过对 (y') 求导得到。
应用
高阶隐函数导数在解决一些实际问题中非常有用，如物理学中的振动分析、经济学中的最优控制问题等 。通过对高阶导数的分析，可以深入了解函数的局部性质，从而更好地解决实际问题。
要点三
应用
隐函数组的导数在解决一些实际问题 中非常有用，如几何学中的曲线和曲 面分析、物理学中的场论等。通过对 隐函数组的导数进行分析，可以深入 了解多个函数之间的关系，从而更好 地解决实际问题。
隐函数与参数方程的导数
01
定义
参数方程是一种描述曲线或曲面形状的方式，其中参数的 变化决定了曲线或曲面的变化。而隐函数与参数方程的导 数则是研究参数变化对曲线或曲面形状的影响。
极值问题
隐函数导数在求解极值问题中具有重要应用。通过求导数并令其为零，可以找到函数极值点，进而确定函数的最 大值和最小值。
条件极值
在某些约束条件下求解极值问题，可以利用隐函数导数将约束条件转化为等式或不等式，简化问题求解过程。
曲线的切线与法线
切线斜率
隐函数导数表示函数在某点的切线斜 率，通过求导数可以得到切线的斜率 。
举例
$z = f(x, y)$，在一定条件下，$z$是 $x$和$y$的函数，即$z$的值由$x$ 和$y$唯一确定，则称$z = f(x, y)$是 $x$和$y$的隐函数。
隐函数导数的定义
定义
对于一个隐函数$z = f(x, y)$，如果它在某点处的偏导数$frac{partial f}{partial x}$和$frac{partial f}{partial y}$都存在且不等于0，则称该点为该隐函数的可导 点，并称这两个偏导数为该隐函数的偏导数。
隐函数的求导公式 共28页PPT资料
d2y dx2
x 0 3
7
定理2 若函数 F(x,y,z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0,y0,z0)0 ③ F z(x0,y0,z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
26.01.2020
8
则
F (x ,y ,f(x ,y )) 0
两边对 x 求偏导
F x Fz
0
z Fx x Fz
同样可得
26.01.2020
9
例2 设 x2y2z24z0,求 解法1 利用隐函数求导
2
x
z
2
.
2x2zz4z0 x x
再对 x 求导
26.01.2020
16
例 3 求由方程组
x y u v 1,
x
2
y2
u2
v2
2,
确定的函数 u(x, y)和v(x, y) 的偏导数 u ， u ， v 和 v . x y x y
分析： 此题可以直接用课本中的公式（6）求解，
但也可按照推导公式（6）的方法来求解. 下面用后一种方法求解.
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sy i e n x x y 1 0 ,y y ( x )
两边对 x 求导
y x 0
ex y cosyx
(0,0)
两边再对 x 求导
siyn (y)2co yy s
令 x = 0 , 注意此时 y0,y1
《隐函数的求导法则》课件
对数求导法则
对数求导法则
对于形如 `y = f(g(x))` 的复合函数，其导数为 `dy/dx = (d(g)/dx) * (df/dg) * (dg/dx)`。
应用
对数求导法则在处理复杂函数的求导问题时非常有用，特别是当需要计算复合 函数的导数时。
04
隐函数在实际问题中的应用
经济模型中的应用
通过求导法则，可以分析工程系统中 的动态特性，例如稳定性、响应时间 等。
05
隐函数求导的注意事项
初始条件的确定
01 初始条件是隐函数存在的前提，必须先确定初始 条件才能进行求导。
02 初始条件通常由实际问题或实验数据给出，是隐 函数求导的基础。
03 在确定初始条件时，需要充分考虑隐函数的性质 和特点，确保初始条件的合理性和准确性。
参数的取值范围
01
在对隐函数进行求导时，需要考虑参数的取值范围。
02
参数的取值范围会影响到隐函数的形状和性质，进而影响到求
导的结果。
在确定参数的取值范围时，需要充分考虑隐函数的实际背景和
03
意义，确保取值范围的合理性和准确性。
多重解的情况
1
对于某些隐函数，可能存在多个解的情况。
2
在求导过程中，需要特别注意多重解的情况，并 采取适当的措施进行处理。
3
处理多重解的方法包括筛选、验证和比较等，需 要根据具体情况选择合适的方法进行处理。
06
总结与展望
隐函数求导的总结
隐函数求导的定义
隐函数是一类特殊的函数，其函数值由方程决定，而非显 式地给出。求隐函数的导数需要使用特定的求导法则。
求导法则的应用
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数，如经济模型、物 理现象等。掌握隐函数求导法则对于解决这些问题至关重要。
隐函数求导公式.pptx
x y
解：记F ( x, y, z) x ( y),
zz
则Fx
1， z
Fy
( y)
z
1 z
z Fx x Fz x
, Fz
z
y
(
y
)
,
x z2
z y
( y)
z Fy
Fz
( z
y)
2
,
z
(
y
)
z
x y ( y)
,
z
z
于是x z y z z .
x
y 第13页/共23页
12
思路： 把z看成 x, y的函数对 x求偏导数得 z ， x
把 x看成z, y的函数对 y 求偏导数得x ， y
把 y 看成 x, z的函数对 z 求偏导数得y . z
解 令 u x y z, v xyz,
则 z f (u,v),
9
第10页/共23页
z f (u,v), u x y z, v xyz,
3
第4页/共23页
例2
已知ln
x2 y2 arctan y ，求
dy
.
x
dx
另解: 两边对x求导
1 2x 2 y y 2 x2 y2
1
1 (y
)2
yx x2
y
x
dy x y . dx y x
4
第5页/共23页
2. F( x, y, z) 0 z z( x, y), 如何求 z , z ?
y cos xy y z x cos xy z x
x y
x y
20
第21页/共23页
习题8 4 P32
《隐函数的求导》课件
案例二：物理学中的热传导问题
总结词
在解决物理学中的热传导问题时，隐函数求导可以用于 分析温度分布和热流密度。
详细描述
在研究热传导问题时，常常需要建立描述温度分布的隐 函数方程，如$T(x,y,z,t) = f(x,y,z,t)$，其中$T$表示温度 ，$(x,y,z)$表示空间坐标，$t$表示时间。通过对隐函数 $f(x,y,z,t)$求导，可以分析温度随时间和空间的变化情 况，以及热流密度的分布和变化。
02
隐函数的求导法则
链式法则
链式法则
当一个复合函数的内函数是隐函数时，其导数可以通过链式法则进行求解。链式法则是求导中的基本法则之一， 用于求解复合函数的导数。具体来说，如果一个复合函数 y = f(u) 的内函数 u 是隐函数 u = g(x)，则复合函数 的导数 dy/dx 可以表示为 f'(u) * du/dx。
多重隐函数求导问题
总结词
隐函数求导中，多重隐函数求导是一个复杂 的问题。
详细描述
当一个函数由多个隐函数组成时，每个隐函 数都需要单独求导。在求导过程中，需要特 别注意各个隐函数之间的相互依赖关系，以 及它们对导数的贡献。解决多重隐函数求导 问题通常需要使用复合函数的求导法则和链 式法则。
隐函数在约束优化问题中的应用
物理问题中的应用
力学系统分析
隐函数可以用于描述物理中的力学系统，如弹簧振荡、流体动力学等，通过求 导可以分析系统的动态特性。
热传导方程
隐函数可以用于表示热传导方程，通过求导可以求解温度分布和热传导过程。
工程问题中的应用
控制工程
隐函数可以用于描述控制系统中的传递函数，通过求导可以分析系统的稳定性、时域和 频域特性。
Байду номын сангаас
《隐函数导数》课件
在进行隐函数求导时，需 要特别注意函数的定义域 和值域，以及函数的性质 和特点，以确保求导的准 确性和有效性。
2023
PART 03
隐函数导数的应用
REPORTING
导数与极值
导数与极值的关系
导数等于0的点可能是极值点，但也可能不是，需要 进一步判断。
判断极值点的方法
除了导数等于0外，还需要检查该点的左右两侧导数 的符号，以确定是否为极值点。
y=f(x)对x的导数为y'*u'。
应用场景
02
当一个复合函数的内层函数是可微的，外层函数也是可微的，
那么这个复合函数的导数可以通过链式法则来求解。
注意事项
03
链式法则的应用需要保证内外层函数都是可微的，否则无法使
用链式法则。
偏导数与全导数
偏导数
全导数
应用场景
注意事项
对于一个多元函数，如果一个 自变量变化，而其他自变量保 持不变，那么该函数对变化自 变量的导数称为偏导数。
二元函数的隐函数导数实例
总结词
通过具体的二元函数隐函数导数实例，展示 隐函数导数的计算方法和应用。
详细描述
介绍二元函数隐函数的概念，并给出几个典 型的二元函数隐函数的导数计算过程，如 $z = x^2 + y^2$，$z = sin(x) + sin(y)$ 等。通过这些实例，说明隐函数导数的计算 方法和应用，如求方向导数、求梯度等。
在等价变换过程中，需要掌握一些常 用的技巧，如变量代换、恒等变换、 因式分解等。这些技巧可以帮助我们 更好地处理复杂的导数表达式。
在进行等价变换时，需要注意变换的 等价性和合法性。等价变换不能改变 表达式的值，同时变换过程需要符合 数学的规则和定理。
隐函数和参数式函数的求导法课件
对x2 2 y2 8两边关于x求导得 :
2x 4 y y 0, y (2,
2)
1. 2
再对x2 2 2 y两边关于x求导得 :
2 x 2 2 y, y (2, 2) 2. 即证.
二、对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍
对数求导法,
它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
x
4
2 a, 2
y
4
2 a
2
四、相关变化率
x x(t ) , y y(t )为两可导函数
x , y 之间有联系
相关变化率解法三步骤
dx , d y 之间也有联系
dt dt 称为 相关变化率
(1) 找出相关变量的关系式
F(x, y) 0
对t 求导
(2) 相关变化率
dx 和d y 之间的关系式 dt dt
y 3 (x 3)
2
2
即 x y 3 0.
法线方程
y 3 x 3 即 y x, 通过原点.
2
2
利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.
如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,
称这两条曲线是
正交的.
如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族
中的所有与它相交的曲线均正交,
称这 两个曲线族
(1) tan h F ( , h) 0
(2)
500
两边对 t求导得 sec2
d
1
dh 500
(3)
dh 140米 / 秒, dt
dt 500 dt
当 h 500时, tan 1, sec2 2
d 1 1 140 0.14(弧度 / 分)
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0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
则
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例2 x y2 ez z z z(x, y),求 z , z x y
方法一（公式法）
F (x, y, z) x y2 ez z
Fx 1 Fy 2 y Fz ez 1
z Fx 1 x Fz ez 1
隐函数的求导方法
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
什么是隐函数？
显函数:
y 3x2 sin 2x 5ex
y 4x ln(x 1)
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隐函数: F (x, y) 0
二元方程
如
x2 y2 1
有时可以将隐函数显化：
x2 y2 1
或者
y y(x) 一元隐函数
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例2 x y2 ez z z z(x, y), 求 2 z xy
z 1 z 2y ,
x ez 1 y ez 1
2z xy
y
( z ) x
1
( ez
) 1
'
y
(ez 1) 'y (ez 1)2
ezzy (ez 1)2
2 yez (ez 1)3
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(y5 2y x 3x7)' 0 5y4 y ' 2 y '1 21x6 0
1 21x6 y'
5y4 2
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例1 y5 2 y x 3x7 0 y y(x),求 dy dx
方法三（微分法） 方程两边同时微分
d ( y5 2 y x 3x7 ) d (0)
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x3 y3 6xy
在不同的范围内，此方程（或者它代表的图形） 可以确定三个不同的单值函数
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定理1. 设函数
在点 P(x0, y0 )的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
z y
Fy Fz
2y ez 1
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例2 x y2 ez z z z(x, y),求 z , z x y
方法二（求偏导）
方程两边对 x 求偏导，把 z 视为函数，y 视为常数。
(x y2 ez ) 'x zx 1 0 ezzx zx
1 zx ez 1
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x y2 ez z z z(x, y) 无法显化，无法写成显函数
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定理2 .若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ;
② F(x0 , y0, z0) 0 ; ③ Fz (x0 , y0, z0) 0 ,
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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例1 y5 2 y x 3x7 0 y y(x),求 dy dx
Fxx
Fy Fyx Fy2
Fx
Fxy Fy Fy y Fx Fy2
(
Fx Fy
)
Fxx Fy 2
2Fxy Fx Fy Fy3
Fy y Fx2
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由一个三元方程确定的隐函数 二元显函数：
z 3x2 y sin xy 5exy z xy
ln(x y)
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二元隐函数：
F (x, y, z) 0
z z(x, y)
三元方程
二元隐函数：
如 x2 y2 z2 R2
z z(x, y)
可以显化
x2 y2 zLeabharlann R2z R2 x2 y2
z R2 x2 y2
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x2 y2 z2 R2 z R2 x2 y2 z R2 x2 y2
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
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例2 x y2 ez z z z(x, y),求 z , z x y
方法三（微分法） 方程两边同时微分 d (x y2 ez ) dz
dx 2 ydy ezdz dz
dz dx 2 ydy 1 ez
z 1 x ez 1
z 2 y y ez 1
y y(x)
y 1 x2
y 1 x2
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x2 y2 1 y 1 x2
y 1 x2
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又如 x3 y3 6xy 但很难显化
y y(x)
笛卡尔叶形线
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x3 y3 6xy
y y(x)
在切线不平行于y轴的点附近 曲线可以局部地确定一个单值函数
课内练习
设x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
5y4dy 2dy dx 21x6dx 0
解出：
dy 1 21x6
dx 5 y4 2
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还可求隐函数的 二阶导数 :
dy Fx dx Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
方法一（公式法） F (x, y) y5 2 y x 3x7
Fx 1 21x6 Fy 5y4 2
dy dx
Fx Fy
1 21x6
5y4 2
1 21x6
5y4 2
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例1 y5 2 y x 3x7 0 y y(x),求 dy dx
方法二（直接求导法） 方程两边对 x 求导，把 y 视为函数。