高考一轮复习专题3-13：方程与函数,函数的零点

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旧教材适用2023高考数学一轮总复习高考大题专题研究一三利用导数研究函数的零点问题课件

当 x→＋∞时，f(x)→＋∞，
所以要使
f(x)有两个零点，只要
f(ln
a)<0
即可，则
1＋ln
a>0，可得
1 a>e.
综上，若 f(x)有两个零点，则 a 的取值范围是1e，＋∞. 解法二：若 f(x)有两个零点，即 ex－a(x＋2)＝0 有两个解，
显然 x＝－2 不成立，所以 a＝x＋ex 2(x≠－2)有两个解，
则 φ′(x)＝ex＋14x－32．当 x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此 φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知 φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，即 h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，则 h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程 f(x)＝g(x)的根的个数为 2.
(2)求方程 f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．
解 (2)由(1)可知 h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－ x－x，x∈[0，＋∞)，而 h(0)＝0，则 x＝0 为 h(x)的一个零点．又 h(x)在(1，2)内有零点，因此 h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点． h′(x)＝ex－12x－12－1，记 φ(x)＝ex－12x－12－1，
综上可得，当 a＝1 时，函数 f(x)只有一个零点 x＝1；当 a>1 时，函数 f(x)有两个零点．
题型二由函数零点个数求解参数取值范围问题例 2 (2020·全国Ⅰ卷) 已知函数 f(x)＝ex－a(x＋2).
(1)当 a＝1 时，讨论 f(x)的单调性；
解 (1)当 a＝1 时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1. 令 f′(x)＜0，解得 x＜0；令 f′(x)＞0，解得 x＞0. 所以 f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞).

高考数学专题复习：函数的零点与方程的解

高考数学专题复习：函数的零点与方程的解一、单选题1．设函数()21,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()10f f x +=⎡⎤⎣⎦的零点个数是（） A ．2 B ．5 C ．4 D ．52．“0a ≥”是“函数ln ,0()2,0x x x f x a x >⎧=⎨+≤⎩有且只有一个零点”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2ln 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．设函数()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点，则实数t 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5．已知函数()e 1x f x x -=-+，则它的零点在所在区间为（） A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)6．已知()21,,2,.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩若集合()(){}0,x x f x f x >=-恰有2个元素，则a 的取值范围是（） A ．,0B ．[)0,2C ．[)0,4D ．[)2,47．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩（0a >且1a ≠）．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()()0,11,4⋃8．己知函数()()()1,1,ln ,1x e x f x g x f x a x x -⎧≤==+⎨>⎩，若()g x 存在两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,0-B ．()1,0-C ．()0,1D ．(]0,19．已知关于x 的方程22xx aa -=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（） A ．()0,2B ．()2,4C ．()2,+∞D ．()4,+∞10．己知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（） A ．10个B ．9个C ．8个D ．7个11．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x ---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0 ()2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（） A．[2-B．(,2-∞-C．(,2-∞+D．(0,2+12．已知函数()21,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()()12g x f f x =-的零点个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．直线3y =与函数26y x x =-图象的交点个数为________.14．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，12,1()2ln ,01x x f x x x -⎧->⎪=⎨⎪<≤⎩，关于x 的方程()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则实数a 的范围是________.15．若直线233y m m =+-与函数()||1f x x =+的图像有两个不同交点，则实数m 的取值范围是______．16．若32a =，2log 3b =，则函数2y x abx a =--的所有零点之和等于________.三、解答题17．已知二次函数23()28f x kx kx =+-，（1）若1是()f x 的一个零点，求实数k 的值；（2）若()0f x <对x R ∀∈恒成立，求实数k 的取值范围．18．已知函数()3xf x =，()2g x x a =+-（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数()()y f g x =是偶函数，求a ；（Ⅱ）若函数()()y g f x =存在两个零点，求a 的取值范围.19．已知函数()22()x x f x a a -=+⋅∈R ，且f （x ）的图像关于y 轴对称．（1）求证：f （x ）在区间[0,)+∞上是单调递增函数；（2）设函数()()2(2)h x f x f x m =+-，若()h x 在区间[1,)-+∞上有两个零点，求实数m 的取值范围．20．已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，满足()()x f x g x a +=，0a >且1a ≠，且()()1112f g -=-．（1）求实数a 的值，及()f x 和()g x 的表达式；（2）若关于x 的方程()()[2]3f x g x λ⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，求常数λ的取值范围．21．已知函数()()22,0log ,0x mx f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩在()0,+∞上有最小值1．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的方程()()()22210f x k f x k k ⎡⎤-+++=⎣⎦恰好有4个不相等的实数根，求实数k 的取值范围．22．已知函数()2()log 21()xf x kg x =++⋅（k 为常数，k ∈R ）.请在下面四个函数：①21()g x x = ②22()log g x x = ③3()g x x = ④4()2x g x =中选择一个函数作为()g x ，使得()f x 是偶函数.（1）请写出()g x 表达式，并求k 的值；（2）设函数211()log 2()22xh x a a x a R ⎛⎫=⋅-+∈ ⎪⎝⎭，若方程)(()f x h x =只有一个解，求a 的取值范围.参考答案1．C 【分析】解方程()10f f x +=⎡⎤⎣⎦，求出根即可得到结论. 【详解】令()1t f x =+，先解()0f t =，即100t t +=⎧⎨≤⎩或20log 0t t >⎧⎨=⎩，解得：t =-1或t =1.；当t =-1时，有120x x +=-⎧⎨≤⎩或20log 2x x >⎧⎨=-⎩，解得：3x =-或14x =；当t =1时，有100x x +=⎧⎨≤⎩或20log 0x x >⎧⎨=⎩，解得：1x =-或1x =；所以函数()10f f x +=⎡⎤⎣⎦的零点有4个. 故选：C 【点睛】求函数零点类问题分为两大类： (1)零点直接解出来：方程可解；(2)二分法估计：方程不可解，用零点存在定理判断零点存在范围，用二分法求近似值. 2．A 【分析】求出()f x 有且只有一个零点的条件，再根据充分必要条件的定义判断．【详解】首先()ln (0)f x x x =>已经有一个零点1，因此()f x 只有一个零点，则()2(0)x f x a x =+≤无零点，即2x a =-（0x ≤）无解，0x ≤时，120x -≤-<，所以1a <-或0a ≥，因此0a ≥是()f x 有且只有一个零点”的充分而不必要条件．故选：A ．3．B 【分析】因为()f x 为增函数，故代入区间端点逐个计算，左负右正即可. 【详解】因为()2ln 0y x x =>、()20y x x =->为增函数，所以()()2ln 20f x x x x =+->为增函数，且()1ln112120f +-=-<=，()2ln 2222ln 20f +-=2>=，()3ln3322ln310f =-2+=+>，()4ln 4422ln 420f =-2+=+>，根据零点存在性定理知()2ln 2f x x x =+-的零点在区间()1,2内. 故选：B 4．C 【分析】先求出分段函数在()1,1-上得解析式，进而根据解析式做出函数图象，由于函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点等价于函数()f x 的图象与直线2y t =在区间()1,1-内有且仅有两个公共点，数形结合即可求出结果. 【详解】若01x <<，则110x -<-<，所以()()111f x f x =+-，故(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，其图象如图：函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点等价于函数()f x 的图象与直线2y t =在区间()1,1-内有且仅有两个公共点，于是120t -<<，102t -<<. 故选：C. 5．D 【分析】根据零点的存在性定理判断即可得答案. 【详解】解：因为2(2)e 30f -=+>，(1)e 20f -=+>，(0)1120f =+=>，1(1)0f e=>,21(2)10f e =-<, 所以根据零点的存在性定理可知它的零点在所在区间为(1,2) 故选：D 6．B 【分析】分0a <，0a =和0a >三种情况，写出(),()f x f x -，再由()()f x f x =-讨论方程解的情况，从而可求出a 的取值范围【详解】解：当0a <时， ()21,,2,.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，而2yx 本身具有偶数的性质，所以集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a =时，()21,02,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则()2x f x -=，由22x x = 得2x =或4x =，恰好有两个解，所以0a =符合，当0a >时，当0x a <≤时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0x a -<<，1()22xx f x -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，由()()f x f x =-，得122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得0x =，不合题意，当x a >时，2()f x x =，0x a a -<-<<，则1()22xx f x -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，由()()f x f x =-，得2122xx x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得2x =或4x =，因为集合()(){}0,x x f x f x >=-恰有2个元素，所以02a <<，综上，02a ≤<，故选：B7．C【分析】根据原点对称的性质，求出当40x -≤<时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可【详解】当40x -≤<时，函数|3|y x =+关于原点对称的函数为|3|y x -=-+，即|3|,(04)y x x =--+≤≤，若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若1a >时，()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，满足条件；当4x =时，|43|1y =--+=-若01a <<时，要使()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，则要满足(4)1f <-，即1log 41log a a a -<-=，解得故114a <<；综上a 的取值范围是()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：C 8．A 【分析】由题可得()f x 的图像与y a =-的图像有2个交点，数形结合即可求出. 【详解】由题，()g x 存在两个零点，等价于()f x 的图像与y a =-的图像有2个交点，画出()f x 的函数图象如下：由数形结合知01a <-≤，即10a -≤<. 故选：A. 9．D 【分析】先判断0a =时不符合题意，再将问题转化为()21,0f t t t t a=->与直线1y =有3个不同的交点，判断0a <时()21f t t t a=-单调不符合题意，最后画0a >时的图象进行数形结合，利用12a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭解得参数范围即可.【详解】 0a =时，22x x a a -=即20x=无解，显然不符合题意； 0a ≠时，令()20x t t =>，则原方程等价于at a t -=，即211t t a-=，令()21f t t t a =-，则()21,0f t t t t a=->与直线1y =有3个不同的交点. 二次函数210y t t a=-=的根为a 和0，若0a <时，显然0t >时，210y t t a =->，且单调递增，即()21f t t t a=-单调，不可能与直线1y =有3个不同的交点若0a >时，作出()f t 的草图如图所示，又221124a at t t a a ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭，则只需满足2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭14a>，得4a >. 故选：D ．【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的情况)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：分类讨论直接求解方程得到方程的根；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 10．A 【分析】根据函数周期性，结合区间[1,1]-的解析式，函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象，求得交点个数即可. 【详解】函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象如下：因为(9)(1)1lg9,(11)(1)1lg11f f f f ==>==< 数形结合可知，两函数的图象交点有10个. 故选：A. 11．B 【分析】由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围．【详解】解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=-2()2g x x x ∴=-+故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得22m x x=--+又因为2222x x --+≤-=-x =(,2m ∞∴∈--．故选：B ． 12．B 【分析】设()f x t =，即()12f t =，解得12t =-或t =()12f x =-和()f x 数即为答案. 分0x ≤和0x >分别解出方程即可. 【详解】函数()()()12g x f f x =-的零点，即方程()()12f f x =的根.设()f x t =，()12f t =当0t ≤时，()112f t t =+=，解得12t =-，即()12f x =-当0x ≤时，()112f x x =+=-，解得32x =-当0x >时，()21log 2f x x ==-，解得x当0t >时，()21log 2f t t ==，解得t ()f x =当0x ≤时，()1f x x =+10x > (舍)当0x >时，()2log f x x =x = 所以函数()()()12g x f f x =-有3个零点.故选：B 13．4【分析】作出直线3y =与函数26y x x =-图象，然后数形结合分析即可.【详解】做出直线3y =与函数26y x x =-图象，如图：数形结合可知，直线3y =与函数26y x x =-图象的交点个数为4个，故答案为：4.14．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意作出()f x 的图象，令()t f x =，则方程为220t at b +-=，若方程()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则方程220t at b +-=有两个实数根，即可得出答案. 【详解】根据题意作出()f x 的图象，令()t f x =，则方程为220t at b +-=，若方程()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则方程220t at b +-=有两个实数根，所以其中一个根为0，且另一根在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()2222000102Δ40a b a a b ⎧+⨯-=⎪⎪-<-<⎨⎪⎪=-->⎩，解得102a <<，所以a 的取值范围10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.15．(,4)(1,)-∞-+∞ 【分析】画出()||1f x x =+的图像，由图像可知2331m m +->，从而可求出m 的取值范围【详解】解：1,0()11,0x x f x x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩，图像如图所示因为直线233y m m =+-与函数()||1f x x =+的图像有两个不同交点，所以2331m m +->，解得4m <-或1m ，所以实数m 的取值范围是(,4)(1,)-∞-+∞，故答案为：(,4)(1,)-∞-+∞ 16．1 【分析】先利用指对数互化得到3log 2a =，从而分析出2y x abx a =--由两个零点，利用根与系数的关系可得答案. 【详解】因为32a =，所以3log 2a =，所以23log og 31l 2ab =⨯=.函数2y x abx a =--即为23log 2y x x =--由两个零点，即为32log 2=0x x --的两根. 由根与系数的关系可得两根之和为1. 故答案为：117．（1）18；（2）(3,0)-.【分析】（1）把1直接代入即可求解；（2）根据()0f x <对x R ∀∈恒成立，列不等式组，求出实数k 的取值范围.【详解】（1）因为1是()f x 的一个零点，所以3(1)208f k k =+-=，解得：18k =.（2）对于二次函数二次函数23()28f x kx kx =+-，因为()0f x <对x R ∀∈恒成立，只需满足2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：30k -<<，所以实数k 的取值范围是(3,0)-. 18．（Ⅰ）0 ；（Ⅱ）2a <-. 【分析】（Ⅰ）利用偶函数的定义列方程即可求解；（Ⅱ）()()()232xf x a ag f x =+-=+-，若0a ≥时，不符合题意；当0a <时，写成分段函数的形式，判断单调性，得出有两个零点的条件即可求解. 【详解】（Ⅰ）()()23x a y f g x +-==为偶函数，则()()()()23x a f g x f g x -+--==，即2233x a x a -+-+-=，可得x a x a +=-+，所以()()22x a x a +=-+ 可得20ax =对于x ∈R 恒成立，所以0a =，（Ⅱ）()()()232xf x a ag f x =+-=+-，若0a ≥时，()()32xa g f x =+-在R 上为增函数，至多有一个零点，不符合题意；当0a <时，()()()()3332,log 3232,log x xx a x a g f x a a x a ⎧+-≥-⎪=+-=⎨---<-⎪⎩，则()()g f x 在()()3,log a -∞-单调递减，在()()3log ,a -+∞单调递增，所以()()()3mi lo n g 32220a a a a g f x -+-=-+-=-<=，当()3log x a <-时，3x a a --<-，所以20a -->，可得2a <-， 19．（1）证明见解析；（2）(6,11]. 【分析】（1）由于f （x ）的图像关于y 轴对称，所以可得f （x ）为偶函数，再利用偶函数的定义列方程可求出a 的值，然后利用单调性的定义证明即可；（2）由（1）得()22()22222x x x x h x m --=+++-，令22x x t -=+，将函数转化为224y t t m =+--，构造函数2()24,[2,)F t t t m t ∞=+--∈+，由函数()h x 在区间[1,)-+∞上有两个零点，求出t 的范围，从而可求出m 的取值范围【详解】（1）证明：∵f （x ）的图像关于y 轴对称，∴f （x ）为偶函数，()()0f x f x ∴--=，即()22220x x x x a a --+⋅-+⋅=，整理得()(1)220x x a ---=，上式对任意的x ∈R 均成立，故1－a ＝0， ∴1a =．任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()2211212222x x x x f x f x ---=+--121122122222222x x x x x x x x ++++--=()()12211221222x x x x x x ++--=．12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，12220x x ∴-<，()()1221210,x x f x f x +->∴>，即证得f （x ）在[0,)+∞上单调增．（2）解：()22()22222x x x xh x m --=+++-，令22x x t -=+．则()2()222422x x x x h x m --=+-++- 224t t m =+--．由（1）可得当[1,)x ∈-+∞时，[2,)t ∈+∞ 引入函数2()24,[2,)F t t t m t ∞=+--∈+．易知F （t ）在[2,)+∞上单调递增，F （t ）最多有一个零点．要使h （x ）在[1,)-+∞上有两个零点，则52,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以2524,2,2m t t t ⎛⎤=+-∈ ⎥⎝⎦，可得(6,11]m ∈，故实数m 的取值范围为(6,11]．20．(1)2a =，2222(),(),22x x x xf xg x x R ---+==∈；(2)15(,)8+∞.【分析】(1)取x =-1结合已知条件求出a 值，再由奇偶函数定义列式解方程即得；(2)利用(1)的结论，通过换元，令22||2x x t --=，问题转化为方程2321t t λ=--在3(0,)4t ∈时有唯一实根即可作答. 【详解】(1)令x =-1得1(1)(1)f g a --+-=，而函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则11(1)(1)2a f g -=-+=，解得2a =，此时()()2x f x g x +=，又()()2x f x g x --+-=，即()()2x f x g x --+=，于是得2222(),()22x x x xf xg x ---+==，所以2a =，2222(),(),22x x x xf xg x x R ---+==∈； (2)由(1)知()()222222[2]3||()322x x x xf xg x λλ---+⋅+=⇔⋅+=，依题意方程222222||()322x x x xλ---+⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，显然0x ≠，令22||2x xt --=(0||1)x <<，它为偶函数，且在(0,1)内单调递增，则304t <<，222222222()24x x x x t ---+-==，于是得22222212x xt -+=+，原方程化为：223(21)321t t t tλλ++=⇔=--，所以方程()()[2]3f x g x λ⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，等价于方程2321t t λ=--在3(0,)4t ∈时有唯一实根，因函数23()21h t t t =--在3(0,)4单调递减，则3(0,)4t ∀∈，234315()()32()14348h t h >=⋅--=，从而有158λ>，且λ在15(,)8+∞内每一个值，有唯一3(0,)4t ∈与之对应，所以常数λ的取值范围是15(,)8+∞. 21．（1）14m =；（2）()0,1. 【分析】（1）先研究0m ≤时，利用单调性判断不符合题意，再根据对勾函数性质得到最小值1，即解得参数；（2）先作出函数()f x 的图象，判断方程的根即()f x k =或()1f x k =+的根，再根据题意，结合直线y k =和1y k =+，进行数形结合得到111k k +>⎧⎨<⎩，即解得结果.【详解】解：（1）当0x >时，()2x m mf x x x x+==+，若0m ≤，则()f x 在()0,+∞上单调递增，无最小值，所以0m >，故由对勾函数性质可知，当x ()f x取到最小值1，所以14m =；（2）依题意，()()214,0log ,0x x f x x x x ⎧⎪⎪+>=⎨⎪-<⎪⎩，作出函数()f x 的大致图象如下：方程()()()22210f x k f x k k ⎡⎤-+++=⎣⎦，即()()10f x k f x k ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，故()f x k =或()1f x k =+，恰好有4个不相等的实数根.作直线y k =和1y k =+，则两直线与函数有4个交点，结合图象可知111k k +>⎧⎨<⎩，解得01k <<，故实数k 的取值范围为()0,1.22．（1）()g x x =，12k =-；（2）0a >或10a =--【分析】(1)根据偶函数的定义依次分析判断四个选项，得到()g x 的表达式及k 的值；（2）将不等式化简得到()21(1)10222x x a a ⋅-+⋅-=，利用换元法得到方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=只有一个解，接着对a 的取值进行分类讨论求解即可；【详解】（1）因为函数()2()log 21()xf x kg x =++⋅（k 为常数，k ∈R ）.若选择①21()g x x =，则()22()log 21x f x k x =++⋅，x ∈R因为()()2222()log 21()log 21()x x f x k x k x x f x --=++⋅-=++⋅-≠，故()f x 不是偶函数；若选择②22()log g x x =，则()22()log 21log xf x k x =++⋅，(0,)x ∈+∞，故()f x 不是偶函数；若选择③3()g x x =，则()2()log 21xf x k x =++⋅，x ∈R因为()()()22()log 21()log 211xx f x k x k x --=++⋅-=+-+⋅，当12k =-时，()21()log 21()2xf x x f x -=+-⋅=，故()f x 是偶函数；若选择④4()2xg x =，则()2()log 212x xf x k =++⋅，x ∈R因为()()221()log 212log 21()2x x xxf x k k x f x ---=++⋅=++⋅-≠，故()f x 不是偶函数；综上：()g x x =，12k =-；（2）若方程)(()f x h x =只有一个解，即()21log 212xx +-=211log 222x a a x ⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭只有一个解，整理得：()21(1)10222x x a a ⋅-+⋅-=，令2x t =得21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=，因为1(2)02xa ⨯->，所以a 与122x -同号，当0a >时，1202x->，则122x t =>，所以方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(,)2+∞上只有一个解，因为方程对应的二次函数21()(1)12m t a t a t =⋅-+⋅-图像是开口向上的，且(0)10m =-<，13()022m =-<，136()02m a a+=>，所以当0a >时方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(,)2+∞上只有一个解；当0a <时，2102x-<，则1(0,)22x t =∈，所以方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(0,)2上只有一个解，因为方程对应的二次函数21()(1)12m t a t a t =⋅-+⋅-图像是开口向下的，且(0)10m =-<，13()022m =-<，则21=14021112022a a a a ⎧⎛⎫∆++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<⎩解得102a a ⎧=-±⎪⎨<-⎪⎩所以当10a =--21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(0,)2上只有一个解；综上：当0a >或10a =--)(()f x h x =只有一个实根.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。

函数零点高考专题

函数零点例1：函数的零点所在的一个区间是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】，，，，，所以零点在区间上．例2：函数的零点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当时，直接解方程，即，解得，当时，为增函数，，，所以在有一零点，即在有一个零点，综上，函数有两个零点，故选C ．例3：已知函数与的图象有且仅有两个公共()2x f x e x =+-(2,1)--(1,0)-(0,1)(1,2)()22220f e --=--<()11120f e --=--<()00020f e =+-<()1120f e =+->()()100f f ∴<(0,1)()22,026lg ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩0x ≤()0f x =220x -=2x =-0x >()26lg f x x x =-+(1)40f =-<(10)150f =>()f x (1,10)()f x (0,)+∞()f x ()1xy a a =>()log 1a y x a =>1、判断零点所在区间2、判断零点的个数3、根据零点求参数的取值范围点，则实数的取值范围是（） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】因为函数与的图像关于对称，所以其公共点在上，由已知图像与直线有两个公共点．可转化为与有两个公共点，即有两解，即，即，令，所以，当，单调递增；当，单调递减，画出的图像，则只需，有两个公共点，解得，故选A ．一、选择题1．函数的零点所在的大致区间是（） a 11ea e <<1a e <<1ee a e <<a e >()1xy a a =>()log 1a y x a =>y x =y x =()log 1a y x a =>y x =y x =()1xy a a =>x x a =ln ln x x a =ln ln xa x=()ln x h x x =()21ln xh x x-'=()0,x e ∈()h x (),x e ∈+∞()h x ()hx 10ln a e <<11,ea e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()()23log 111f x x x x =+->-A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】易知在上是连续增函数，因为，，所以的零点所在的大致区间是，故选B ．2．已知函数，则函数的零点个数为（） A ．1 B ．3 C ．4 D ．6【答案】C【解析】令，则，令，若，解得或，符合；若，解得，符合．作出函数的图象，如下图，时，；时，；时，．结合图象，若，有3个解；若，无解；若，有1个解．所以函数的零点个数为4个，故选C ．1,2()2,3()3,4()4,5()f x ()1,+∞()22log 330f =-<()33202f =->()f x ()2,32log (1),(1,3)()4,[3,)1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩[]()()1g x f f x =-[]()()10g x f f x =-=[]()1f f x =()1f x =2log (1)1x +=1x =12x =-(1,3)x ∈-411x =-5x =[3,)x ∈+∞()f x (]1,0x ∈-[)()0,f x ∈+∞()0,3x ∈()()0,2f x ∈[3,)x ∈+∞(]()0,2f x ∈()1f x =1()2f x =-()5f x =[]()()1g x f f x =-3．已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为（） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】当时，设，则，易知当时，，即是减函数，∴时，，又时，且，而时，是增函数，．有两个零点，即的图象与直线有两个交点，函数的图象如下所示：所以，故选C ．()22,22,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩()()g x f x m =-m 28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦280,e ⎛⎫⎪⎝⎭[)28,4,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭2x ≥()22xx xh x e +=()()()2222222x xxx x e x x e x h x e e+-+-'==-2x >()0h x '<()h x 2x =()()2max 82h e h x ==x →+∞()0h x →()0h x >2x ≤()2f x x =+()24f =()()g x f x m =-()y f x =y m =()22,22,2xx xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩280m e <<4．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由，即与有三个交点，设，，故当时，；当时，；当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故，，故．故选D ．5．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．【答案】D1()xaf x xe x-=-a ()20,4e 220,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()20,2e 40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1210x xa xe a x e x---=⇒=y a =21x y x e -=21()x g x x e -=1()(2)x g x e x x -'=-(),0x ∈-∞()0g x '<()0,2x ∈()0g x '>()2,x ∈+∞()0g x '<()g x (,0)-∞(0,2)(2,)+∞(0)0g =4(2)g e =40a e<<()2xmf x xe mx =-+(0,)+∞m ()0,e ()0,2e (,)e +∞(2,)e +∞【解析】函数在上有两个零点，等价于与有两个不同的交点，恒过点，设与相切时切点为，因为，所以切线斜率为，则切线方程为，当切线经过点时，解得或（舍），此时切线斜率为，由函数图像特征可知：函数在上有两个零点，则实数的取值范围是，故选D ．6．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，当时，单调递减；当时，单调递增，，即函数存在唯一零点，即，，，即在有零点．①若，即，()2xmf x xe mx =-+(0,)+∞()x h x xe =1()()2g x m x =-()g x 1(,0)2()g x ()h x (,)a a ae ()(1)x h x e x '=+(1)a e a +(1)()a a y ae a e x a -=+-1(,0)21a =12a =-2e ()2xmf x xe mx =-+(0,)+∞m (2,)e +∞1x ()()1ln 2f x x x =+-+2x ()2244g x x ax a =-++121x x -≤a 2-1-2-1-()111022x f x x x +'=-=>++∴21x -<<-()()0,f x f x '<1x >-()()0,f x f x '>()10f -=()f x 11x =-211x --≤220x ∴-≤≤()g x []2,0-()244440Δa a =-+=2a =±此时的零点为，显然②（i ）若，即或，若在只有一个零点，则，；（ii ）若在只有两个零点，则，解得，即的最小值为，故选D ．二、填空题7．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由可得，令，则直线与函数的图象有两个交点．，当时，，此时，函数单调递增；当时，，此时，函数单调递减．所以，函数在处取得极大值，且极大值为．()g x a 2a =()244440Δa a =-+>2a <2a >()gx []2,0-()()200g g -≤1a ∴=-()g x []2,0-()()20002022g g a a a ⎧-≥⎪≥⎪⎨-<<⎪⎪-+⎩12a -≤<-a 1-()21x f x ae x =--a ⎛ ⎝()0f x =21xx a e +=()21x x g x e +=y a =()21xx g x e +=()12xx g x e -'=12x <()0g x '>()y g x =12x >()0g x '<()y g x =()y g x =12x =12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，；当时，．如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是，故答案为．三、解答题8．已知函数．（1）若，求的最大值；（2）当时，讨论函数零点的个数．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）当时，，求导得， 12x <-()0g x <12x >-()0g x>0a <<y a =()y g x =a ⎛⎝⎛⎝21()(2)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R 0a =()f x 0a ≥()f x 2-0a =()22ln (0)f x x x x =-+>22(1)()2x f x x x -'=-+=令，解得；令，解得， ∴在递增，在递减， ∴．（2）函数，，当时，由（1）可得函数，没有零点；当，即时，令，得或；，得，即函数的增区间为，，减区间为，而，所以当时，；当时，；当时，时，，所以函数在区间没有零点，在区间有一个零点；当，即时，恒成立，即函数在上递增，()0f x '>01x <<()0f x '<1x >()f x ()0,1(1,)+∞max ()(1)22ln12f x f ==-+=-21()(2)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R 22(2)2(1)(2)()(2)(0)ax a x x ax f x ax a x x x x-++--'=-++==>0a =()0f x <21>a02a <<(1)(2)()0x ax f x x --'=>01x <<2x a>(1)(2)()0x ax f x x --'=<21x a<<()f x (0,1)2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭21,a ⎛⎫⎪⎝⎭11(1)(2)2ln12022f a a a =-++=--<(0,1)x ∈()(1)0f x f <<21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2(1)0f f a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x →+∞()f x →+∞()f x 20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭21a 2a =2(1)(2)(1)(22)2(1)()0x ax x x x f x x x x-----'===≥()f x (0,)+∞而时，，所以函数在区间有一个零点；当，即时，令，得或；，得，即函数的增区间为，；减区间为，因为，所以，又时，，根据函数单调性可得函数在区间没有零点，在区间有一个零点．综上：当时，没有零点；当时，有一个零点．11(1)2220,22f a x =--=-⨯-<→+∞()f x →+∞()f x (0,)+∞201a <<2a >(1)(2)()0x ax f x x --'=>20x a <<1x >(1)(2)()0x ax f x x --'=<21x a<<()f x 20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,)+∞2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭2a >222222ln 22ln10f a a a a ⎛⎫=--+<--+< ⎪⎝⎭x →+∞()f x →+∞()f x ()0,1(1,)+∞0a =()f x 0a >()f x。

函数的零点与方程的解+课件——2025届高三数学一轮复习

f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根.
注意：①根据该定理，能确定 f(x)在(a，b)内有零点，但零点不一定唯一.
②若 f(x)在[a，b]上的图象是连续的，且是单调函数，f(a)f(b)＜0 ，则 f(x)在
(a，b)内有唯一零点.
③零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点
函数的零点与方程的解
小太阳☀7232
2024.06.11
目录
Contents
01
02
课前准备
理论基础
▪ 掌握函数图像的绘制
▪ 零点存在性定理
▪ 二分法
03
04
基础题型
综合运用
▪ 一元二次函数以及由常见函数组成的分段函数
▪ 由两个基本初等函数加减组成的函数
▪ 参变分离
▪ 分类讨论
01
课前准备
常函数
飘带函数
反比例函数
一元二次函数
一次函数
对勾函数

分段函数
幂函数
指数函数
掌握函数图像的画法
平移变换
对数函数
伸缩变换
正弦函数
对称
翻折
余弦函数
正切函数
求导
02
理论基础
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使
f(x)＝0
的实数x叫作函数y＝f(x)
的零点.
注意：函数y＝f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的实
数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y＝f(x)有零点 .

2025年高考数学一轮复习课件第二章函数-2.7函数的应用-第1课时函数的零点与方程的解

解：（方法一）令 =
1
0，得
3
= ln .作出函数 =
1
和
3
1
e
= ln 的图象如图所示.显然 = 在( ,1)内无零点，在 1, e 内
有零点.
1
e
1
3
1

（方法二）当 ∈ ( ,e)时，函数图象是连续的，且′ = − =
1
e
在( ，e)上单调递减.又
值范围是(
1
A.( ,+∞)
5
1
C.(−1, )
5
)
B. −∞, −1
√
∪
1
( ,+∞)
5
D. −∞, −1
解：显然 ≠ 0.因为在 −1,1 上为单调函数，且在区间 −1,1 上存在一个零点，
所以 −1 1 < 0，即 + 1 −5 + 1 < 0，解得 >
1
或
5
< −1.故选B.
1 = e + 1 − 9 < 0， 2 = e2 + 8 − 9 > 0，
可得 1 2 < 0，
所以函数的零点所在区间为 1,2 .故选B.
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2 + 2 − 3, ≤ 0,
4.函数 = ቊ
的零点个数为(
−2 + ln , > 0
A.0
B.1
)
C.2
√
D.3
连续不
（3）函数零点存在定理:如果函数 = 在区间[, ]上的图象是一条________
<0
断
___的曲线，且有_____________，那么，函数

高三数学总复习专题3函数(答案及解析)

高三数学总复习--函数专题练习方法点拨函数是高考的必考内容，考查的题型主要有函数性质、函数图象、零点问题、指数幂的大小比较，与生活实际相关或函数文化结合的题．（1）函数性质的考查主要为奇偶性、单调性、对称性、周期性的综合考查，要求学生熟悉一些相关结论的由来与应用，例如由()()=f a x f a xf x关于x a+=-得到()对称．（2）对于函数图象的题型，我们一般优先考虑函数的奇偶性，或结合函数的平移、伸缩变换考虑函数的对称性，然后再考虑自变量取某些特殊值时，对应的函数值的一些特点，比如函数值的正负，最后考虑函数的单调性．（3）函数的零点问题一般可以转化成函数方程的根、函数图象与x轴的交点个数、函数图象与某条水平线的交点个数问题、函数图象与某条斜直线的交点问题，或两条曲线的交点个数问题等．（4）与生活实际相关或函数文化结合的题一般相对简单，要求学生耐心理解题目意思，知道题中每个量，每个公式所具有的意义．典型试题汇编一、选择题．1．（江西省南昌市2021届高三一模）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（,d r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v（,,h w v为变量），则下列说法：①w是v的函数②v是w的函数③h是w的函数④w是h的函数其中正确的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（河南省联考2021-2022学年高三一模）已知函数()34log ,042,03xx x f x x +>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则14log 9f f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（贵州省遵义市2021届高三一模）已知函数22,02()2(2),2x x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩，则(9)f =（） A ．16B ．8C ．8-D ．16-4．（福建省龙岩市2021届高三一模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()1,0211,112xe a b xf x bx x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩（e 为自然对数的底数），则a b -的值为（） A ．3- B ．2- C ．1- D ．05．（四川省资阳市2020-2021学年高三一模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()2f x +=()2021f =（）A ．3-或4B ．4-或3C ．3D ．46．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）已知函数())1ln f x x x=+，则函数()f x 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．7．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）函数()()ln x x f x e e x -=+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）函数sin 4xx xy e+=的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．9．（安徽省池州市2021届高三一模）设函数()f x 满足对x ∀∈R ，都有()()4f x f x -=，且在()2,+∞上单调递增，()40f =，()4g x x =，则函数()()2y f x g x =+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（江苏省连云港市灌云县第一中学2021-2022学年高三一模）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A ．1()|1|f x x =- B ．1()1f x x =- C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 11．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有0N 只，则大约经过（）天能达到最初的1800倍．（参考数据：ln1.060.0583≈，ln1.60.4700≈，ln18007.4955≈，ln80008.9872≈．） A ．129B ．150C ．197D ．19912．（广西柳州市2022届高三11月第一次模拟）5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ﹒信道内所传信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小．其中SN叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比卡SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则入的值约为（）(参考数据lg 20.3≈，396109120≈．) A ．9121 B ．9119 C ．9919 D ．1099913．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度．星体的视星等m ，绝对星等M ，距地球的距离d 有关系式05lg d M m d=+（0d 为常数）．若甲星体视星等为1.25，绝对星等为 6.93-，距地球距离1d ；乙星体视星等为1.15，绝对星等为1.72，距地球距离2d ，则12d d =（） A ． 1.7510B ． 1.7210C ． 1.6510D ． 1.621014．（江苏省苏州市八校2020-2021学年高三一模）若函数()f x 满足：对定义域内任意的()1212,x x x x ≠，有()()121222x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是（）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()ln f x x =C ．()()20f x x x =≥D ．()tan 02f x x x π⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭15．（四川省资阳市高中2021-2022学年高三一模）设3log πa =，2b =，1ln 24c =，则a ，b ，c 大小关系为（） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>16．（2020山东一模）已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，(3log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>17．（湖北省武汉市部分学校2020届高三一模）已知π4ln3a =，π3ln 4b =，34ln πc =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<18．（天津市河北区2020-2021学年高三一模）设0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 3b =，0.32c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>19．（江西省赣州市2021届高三一模）设函数3()sin x x f x a a b x c -=-++（0a >且1a ≠）．若()1f t -=，()3f t =，则c =（） A ．1B ．2C ．3D ．420．（江苏省2021年对口高考单招一模）若函数(),0()(2),0x x b x f x ax x x -≥⎧=⎨+<⎩，（a ，b ∈R ）为奇函数，则()f a b +的值为（） A ．2-B ．1-C ．1D ．421．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）已知函数()x f x xe =，则满足不等式()22f a a e -<的实数a 的取值范围是（）A ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2-22．（多选）（广东省普宁市勤建学校2021届高三一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，()2()f x f x +=-且()f x 在[]1,0-上是增函数，给出下列真命题的有（） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的图象关于直线2x =对称 C ．()f x 在[]1,2上是减函数D ．()()20f f =23．（辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上一模）指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在R上是减函数，则函数22()a g x x -=在其定义域上的单调性为（） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增24．（山东省烟台市2021届高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则（） A ．()20210f =B ．2是()f x 的一个周期C ．当()1,3x ∈时，()()31f x x =-D ．()0f x >的解集为()()4,42k k k +∈Z25．（山东省青岛胶州市2019-2020一模）已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>26．（吉林省长春市2022届高三一模）设函数()f x 的定义域为R ，且(21)f x -是偶函数，(1)f x +是奇函数，则下列说法一定正确的有（）①(8)()f x f x -=；②(1)(1)f x f x +=--；③(3)0f -=；④(2)(2)f x f x +=-． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个27．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,3x ∈时，()f x kx m =+，若()()032f f -=-，则()2022f =（） A ．2-B ．0C ．2D ．428．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）函数()()1ln 3x xf x x -=-的零点有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个29．（多选）（2021届高三下学期一模）若直线2y a =与函数1x y a =-（0a >，且1a ≠）的图象有两个公共点，则a 的取值可以是（） A ．14B ．13C ．12D ．230．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）若函数()323f x x x a =-+有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．()(),04,-∞+∞ B ．()(),80,-∞-+∞ C ．[]0,4D ．()8,0-31．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）设函数()21log ,020x x f x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩．若 14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()1f x k +=有唯一解，则实数k 的取值范围为（）A．(B．⎡⎣C ．()0,2D ．[)1,232．（四川省成都市新都区2021-2022学年高三一模）已知函数2()log f x x =，函数()g x满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有(π)2()g x g x +=；③当[0,π]x ∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4π]上的零点个数为（） A ．5B ．6C ．7D ．833．（2020届浙江省金华十校高三一模）已知函数()21,0ln ,0ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（） A ．当0a =，m ∈R 时，有且只有1个 B ．当0a >，1m ≤-时，都有3个C ．当0a <，1m <-时，都有4个D ．当0a <，10m -<<时，都有4个34．（山东省实验中学2021届高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩，则关于的函数()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为（） A ．21a -B ．21a --C ．12a -D ．12a --35．（安徽省滁州市定远中学2019-2020学年一模）已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为（） A ．[)3,3e + B ．()3,3e + C ．()3,+∞ D ．(]3,3e +二、填空题．36．（江苏省2021年对口高考单招一模数学）在平面直角坐标系中，函数()12x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则sin 2θ=________．参考答案一、选择题．1-21：BDDADBCABBABABDDBDBBB 22．【答案】ACD(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，4是它的一个周期，A 正确； (2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，函数图象关于点(2,0)对称，B 错； (1)(1)(1)f x f x f x +=--+=-，函数图象关于直线1x =对称，又()f x 在[1,0]-上递增，因此()f x 在[0,1]上递增，所以()f x 在[]1,2上是减函数，C 正确；(2)(0)0f f =-=，D 正确，故选ACD ． 23．【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<，函数()g x 的导函数：()()322'a g x x--=，当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，本题选择C 选项． 24．【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()2f x f x f x -==--，所以()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是4，故B 错误；()()202111f f ==，故A 错误；因为当[]0,1x ∈时，()3f x x =，()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，()()()322f x f x x =-=-，故C 错误；因为当()0,2x ∈时，()0f x >，()f x 的最小正周期是4，所以()0f x >的解集为()()4,42k k k +∈Z ，故D 正确，故选D ． 25．【答案】B【解析】(1)f x +是偶函数，得()(1)1f x f x +=-+，即()()2f x f x =-+，(1)f x -是奇函数，得()(1)1f x f x -=---，即()()2f x f x =---，()(2)2f x f x ---=-+，得8T =，由(1)f x -是奇函数，得()(01)10f f -=-=，因为()f x 在[1,1]-上单调递增，所以(0)0f >，()()()2019310f f f ==-=，()()()2020400f f f ==-<，所以(0)(2019)(2020)f f f >>，故选B ． 26．【答案】B【解析】由题意，函数(1)f x +是奇函数，可得()f x 的图象关于点(1,0)对称，所以(1)(1)0f x f x ++-=，所以②正确；令0x =，则(1)0f =，又由(21)f x -是偶函数，所以()2f x 的图象关于12x =-对称，所以()f x 的图象关于1x =-对称，则有(1)(1)f x f x --=-+，令2x =，则(3)(1)0f f -==，所以③正确；在(1)(1)f x f x --=-+中，将x 用7x -替换，则(8)(6)f x f x -=-，在(1)(1)f x f x +=--中，将x 用5x -替换，则(6)(4)f x f x -=--，所以(8)(4)f x f x -=--，再将x 用4x +替换，则(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以①正确；对于④中，由(2)(),(2)()f x f x f x f x -=-+=--，无法推出其一定相等，故选B ． 27．【答案】C【解析】因为()1f x -为奇函数，所以()1(1)f x f x --=--①；又()1f x +为偶函数，所以()1(1)f x f x -+=+②；令1x =，由②得：())0(22f f k m ==+，又()33f k m =+，所以()()032(3)2f f k m k m k -=+-+=-=-，得2k =，令0x =，由①得()()1(1)10f f f -=--⇒-=；令2x =，由②得()1(3)0f f -==，所以()6330f k m m =+=⇒=-，得[]1,3x ∈时，()26f x x =-，结合①②得，()2(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=-+=，所以函数()f x 的周期为8T =，所以()()()()()202225286622262f f f f =⨯+==-=-⨯-=，故选C ． 28．【答案】B【解析】由题意知函数()()1ln 3x x f x x -=-的定义域为()()0,33,+∞，由()()1ln 03x x f x x -==-，得()1ln 0x x -=，所以1x =，所以函数()()1ln 3x x f x x -=-的零点有1个，故选B ．29．【答案】AB【解析】（1）当1a >时，由题得021a <<，102a ∴<<，因为1a >，所以此种情况不存在；（2）当01a <<时，由题得021a <<，102a ∴<<，因为01a <<，所以102a <<，故选AB ． 30．【答案】A【解析】由题意知：2()36f x x x '=-，∴()0f x '>时，2360x x ->，得0x <或2x >；()0f x '<时，2360x x -<，得02x <<， ∴()f x 在(,0)-∞上递增，(0,2)上递减，(2,)+∞上递增，当0x =时，有极大值(0)f a =；当2x =时，有极小值(2)4f a =-， ∴只有当(0)0f a =<或(2)40f a =->时，函数()f x 有且仅有一个零点， ∴0a <或4a >，故选A ． 31．【答案】B【解析】因为函数()21log ,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≤⎩，所以23log (),12(1)1x x f x x ⎧+>-⎪+=⎨⎪≤-⎩，若14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，作出()1f x +的图象，结合图象可知方程()1f x k +=有唯一解，则1k ≤< 故选B ． 32．【答案】A【解析】因为函数2()log f x x =的定义域为()0,∞+，所以()()y f x g x =-在(],0-∞无零点；∵()()π2g x g x +=，故将()[],0,πy g x x =∈的图象向右平移π个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，∴在平面直角坐标系，()f x 的图象以及()g x 在[]0,4π上如图所示：又2223π5π7πlog 2,log 4,log 8222><<，故()f x 、()g x 在(]0,4π上的图象共有5个不同交点，故选A ． 33．【答案】B【解析】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时，若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =，即当0a =，m ∈R 时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误，故选B ．34．【答案】C【解析】∵0x ≥时，()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，即[)0,1x ∈时，()()(]12log 11,0x f x +=∈-；[]1,3x ∈时，()[]21,1x x f -∈-=； ()3,x ∈+∞时，()()4,1f x x =-∈-∞，画出0x ≥时，()y f x =的图象，再利用奇函数的对称性，画出0x <时，()y f x =的图象，如图所示：直线y a =与()y f x =共有5个交点，则方程()0f x a -=共有五个实根，最左边两根之和为6-，最右边两根之和为6， ∵[)0,1x ∈时，()0,1x -∈，∴()()12log 1f x x -=-+，又()()f x f x -=-，∴()()()()111222log 1log 1log 1x x x f x ---+===--，∴中间的一个根满足()2log 1x a -=，即12a x -=，得12a x =-， ∴所有根的和为12a -，故选C ． 35．【答案】D【解析】当0x ≤时，2(1)()2(1)x f x x e +'=+，()010f x x '>⇒-<≤；()01f x x '<⇒<-，则函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(]1,0-上单调递增，且0(1)1,(0)f e f e -===，当0x >时，22244()1x f x x x-'=-=，()02f x x '>⇒>；()002f x x '<⇒<<，则函数()f x 在(0,2)上单调递减，在()2,+∞上单调递增，4(2)2312f =+-=，函数()y f x a =-有四个不同的零点，即两函数()y f x =与y a =图象有四个不同的交点，如下图所示：由图可知，1a e <≤，12,x x 是方程2(1)x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根，所以(]12ln 11,0x x a -=-∈-，34,x x 是方程43x a x+-=的两根，即2(3)40x a x -++=的两根，所以343(4,3]x x a e +=+∈+，(]12343,3x x x x e ∴-++∈+，故选D ．二、填空题． 36．【答案】35-【解析】由题意，函数()12x f x a +=+，令10x +=，可得1x =-，此时()13f -=，即函数()f x 恒过定点()1,3P -，则r OP ==，根据三角函数的定义，可得sinθ=，cos θ=，所以3sin 22sin cos 5θθθ==-，故答案为35-．。

一轮复习课件--函数与方程-零点

海丰县实验中学
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)＜0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼
近零点，进而得到零点近似值的方法叫做
二分法．
海丰县实验中学
1．函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？
【提示】不是．函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(3)零点存在的判定方法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是
连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0
，那么函数y＝f(x)在区
间 (a，b) 内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得 f(x0)＝0 .
海丰县实验中学
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点0，∴m＞2或m＜－2.
【答案】 C
海丰县实验中
3．(2011·课标全国卷)在下列区间中，函数 f(x)＝学ex＋4x－3 的零
点所在的区间为( )
A．(－14，0)
B．(0，14)
C．(14，12)
D．(12，34)
【解析】显然 f(x)＝ex＋4x－3 的图象连续不间断，又 f(12)＝ e
海丰县实验中
2．若函数 y＝ln x 与 y＝2x的图象的交点为(x0，y学0)，则 x0 所在的
区间为( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(e,3) D．(e，＋∞) 【解析】令 f(x)＝ln x－2x(x＞0)，因为 f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－23＞0， ∴f(2)·f(3)＜0，又函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴函数 y＝f(x)的唯一零点 x0∈(2,3)．

高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析

高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

《一轮复习——函数的零点问题》教后记

《一轮复习——函数的零点问题》教后记
函数的零点问题是近年来高考的热点与难点问题，因此本节课的教学重点在于指导学生如何把握解决零点问题的技巧与方法。

本节课的复习教学中，主要我主要把握以下几个方面：
1、“一条主线”贯穿到底：函数的零点是什么；
2、“两个重点”：函数零点的定义与函数零点存在性定理；
3、“三个基本方法”：解方程法，图象法与零点存在性定理；（作为第一轮复习，在教学的过程中给定学生基本的解题思路是一种较好的学习方法）
4、“四种切换”：（1）作为备考复习，过于冗长的知识梳理或者思维导图已经不适用于高三学生，因此本节课直接给出例1（1），让学生在解题的过程中总结函数零点的定义；（2）当学生在解决例1（2）的过程中存在困难时，切换引入模式，先由教师提出函数零点存在性定理再由学生解决问题；（3）数与形之间的切换；（4）通过问题的变式呈现函数零点存在性定理的使用条件；
5、“五种解题境界”：应对高考，解题教学在高三教学中是关键。

在本节课的教学中，主要引导学生经历了以下的解题过程：（1）追根溯源，学生直接从函数零点的定义入手直接求解函数的零点；（2）学生独立思考，对于不同的零点问题自行摸索解题方法，做到“会解”；（3）学生展示成果，鼓励并引导学生学会表述问题及其解题思路，做到“会说”；（4）拓宽思路，做到“一题多解”；（5）针对不同的问题背景，在提供的多种解题方法中做到“会选”。

我认为在本节课的教学过程中，我的亮点在于针对学生在表述自己的解题思路与解决方法中所呈现的错误能及时提出反馈，让每位学生能及时意识到解决函数零点问题的误区与易错点，加深学生的印象。

函数的零点与方程的解-高考数学复习

微专题 5
课时跟踪检测
知识逐点夯实
PART
1
知识逐点夯实
课前自修
必备知识系统梳理基础重落实
目录
1. 函数的零点
（1）定义：对于一般函数 y ＝ f （ x ），我们把使
f （ x ）＝0 的
⁠
实数 x 叫做函数 y ＝ f （ x ）的零点；
（2）几个等价关系：方程 f （ x ）＝0有实数解⇔函数 y ＝ f （ x ）的
图象与 x 轴有公共点 ⇔函数 y ＝ f （ x ）有零点 .
⁠
提醒
函数 f （ x ）的零点不是一个点，而是一个实数，是方
程 f （ x ）＝0的根，也是函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴交点的
横坐标.
目录
2. 函数零点存在定理
（1）条件：①函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是一条连续
坐标系中画出两函数的图象如图所示，两图象的
交点个数即为 f （ x ）的零点个数.故函数 f （ x ）
在区间（0，1）内有且只有1个零点.
目录
函数零点的应用
考向1
【例3】
根据函数零点个数求参数
｜ − 3| − 1， ≥ 0，
已知函数 f （ x ）＝൝ 2
函数 g （ x ）＝
− + 2， < 0，
（ x ）＝log3 x ， h （ x ）＝－ x ＋2图象交点的横坐标
所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知 f （ x ）的
零点所在的区间为（1，2）.故选B.
目录
解题技法
1. 确定函数 f （ x ）的零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点存在定理：首先看函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ，

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数的零点与方程的解

§2.11函数的零点与方程的解考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案A解析由图象可知，B ，D 选项中函数无零点，A ，C 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点．2．函数y ＝3x －ln x 的零点所在区间是()A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)答案B解析因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y ＝3x在(0，＋∞)上单调递减；y ＝－ln x 在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y ＝3x －ln x 为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，又当x ＝2时，y ＝32－ln 2>0；当x ＝3时，y ＝1－ln 3<0，两函数值异号，所以函数y ＝3x －ln x 的零点所在区间是(2,3)．3．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案B解析由f ′(x )＝e x ＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)答案B解析由题意得，f (x )＝ln x ＋2x －6，在定义域内单调递增，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，则f (2)f (3)<0，∴零点在区间(2,3)上．延伸探究用二分法求函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n ，故有12n ≤0.1，解得n ≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模拟)已知x 1＋12x＝0，x 2＋log 2x 2＝0,33x -－log 2x 3＝0，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 2<x 3<x 1答案A解析设函数f (x )＝x ＋2x ，易知f (x )在R 上单调递增，f (－1)＝－12，f (0)＝1，即f (－1)f (0)<0，由函数零点存在定理可知，－1<x 1<0.设函数g (x )＝x ＋log 2x ，易知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，＝－12，g (1)＝1，即(1)<0，由函数零点存在定理可知，12<x 2<1，设函数h (x )－log 2x ，易知h (x )在(0，＋∞)上单调递减，h (1)＝13，h (x 3)＝0，因为h (1)>h (x 3)，由函数单调性可知，x 3>1，即－1<x 1<0<x 2<1<x 3.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)(多选)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案AD解析f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e－1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )－12log |x |的零点个数是()A ．5B ．4C ．3D ．2答案D解析在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝12log|x|的图象如图所示，则y＝f(x)－12log|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2023]上根的个数为() A．404B．405C．406D．203答案C解析因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2023]内包含202个周期，故f(x)在[0,2020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2020,2023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个．故f(x)在[0,2023]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0,2023]上有406个根．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)x|，x>0，x2－2x，x≤0，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为() A．3B．7C．5D．6答案B解析根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图如图所示，由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为7.(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f (x )－x 2，x ≤2，3(x －1)，x >2，g (x )＝kx －3k ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为()A ．(22－6,0)B ．(23－6,0)C ．(－2,0)D ．(25－6,0)答案D解析作出函数f (x )－x 2，x ≤2，3(x －1)，x >2的图象，如图所示，设与y ＝4－x 2相切的直线为l ，且切点为P (x 0,4－x 20)，因为y ′＝－2x ，所以切线的斜率为k ＝－2x 0，则切线方程为y －4＋x 20＝－2x 0(x －x 0)，因为g (x )＝kx －3k 过定点(3,0)，且在切线l 上，代入切线方程求得x 0＝3－5或x 0＝3＋5(舍去)，所以切线的斜率为k ＝25－6，因为函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，由图象知，实数k 的取值范围为(25－6,0)．命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.－∞，43 B.0，43C ．(－∞，0) D.43，＋∞答案B解析由f (x )＝3x －1＋ax x＝0，可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)因此实数a 思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <3B ．1<a <3C ．1<a <2D ．a ≥2答案A解析因为函数y ＝2x ，y ＝－2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －2x－a 在(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内得，f (1)×f (2)＝(2－2－a )(4－1－a )＝(－a )×(3－a )<0，解得0<a <3.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f (x )x >0，2x ，x ≤0，若g (x )＝f (x )－a 有3个零点，则实数a的取值范围为()A ．(－1,0)1C.0{－1}答案B解析设h (x )＝ln xx(x >0)，则h ′(x )＝1－ln xx 2，令h ′(x )>0，得0<x <e ，令h ′(x )<0，得x >e ，所以函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e.因为函数g (x )＝f (x )－a 有3个零点，所以方程f (x )＝a 有3个解．作出函数y ＝f (x )和y ＝a 的图象如图所示，所以a 1课时精练1．(2022·焦作模拟)设函数f (x )＝2x ＋x3的零点为x 0，则x 0所在的区间是()A ．(－4，－2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(2,4)答案B解析易知f (x )在R 上单调递增且连续，f (－2)＝14－23，f (－1)＝12－13>0，所以x 0∈(－2，－1)．2．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为()A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0,0.5)，f (0.375)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25)答案D解析因为f (0)f (0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x 0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算f f (0.25)．3．函数f (x )2－2x －3，x ≤0，2x －3x ＋4，x >0的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析当x ≤0时，令f (x )＝x 2－2x －3＝0，得x ＝－1(x ＝3舍去)，当x >0时，令f (x )＝0，得log 2x ＝3x －4，作出y ＝log 2x 与y ＝3x －4的图象，如图所示，由图可知，y ＝log 2x 与y ＝3x －4有两个交点，所以当x >0时，f (x )＝0有两个零点，综上，f (x )有3个零点．4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则实数m 的取值范围为()－53，(0，＋∞)－∞，－53∪(0，＋∞)D.－53，答案D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，1)<0，3)≥0，<0，＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是－53，5．已知函数f (x )－x ，x <0，＋|x －1|，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)答案A 解析因为函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，所以函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，1<m ≤2，即m 的取值范围是(1,2]．6．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 2答案C 解析函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点，即为y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的交点的横坐标，作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示．可知x 2<x 3<x 1.7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是()A ．1B ．2C ．4D ．6答案ABC 解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )x ，x ∈[0，π]，sin x ，x ∈ π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝12x＋1D．f(x)＝|log2x|－1答案BCD解析选项A，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B，若f(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)＝x0，则12x＋1＝x0，可得x20－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝3＋52，故该函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，故该函数是“不动点”函数．9．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________．答案1解析由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.10．(2023·苏州质检)函数f (x )满足以下条件：①f (x )的定义域为R ，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )；③当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x )恰有两个零点，请写出函数f (x )的一个解析式________．答案f (x )＝x 2－1(答案不唯一)解析因为∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，因为当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (x )恰有两个零点，所以f (x )图象与x 轴只有2个交点，所以函数f (x )的一个解析式可以为f (x )＝x 2－1(答案不唯一)．11．已知函数f (x )2x ，x >0，x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．如图，在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y轴上的截距．由图可知，当a ≤1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )有两个交点，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．12．已知函数f (x )x －1|，x ≤1，－2)2，x >1，函数y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则123422x x x x ++＝________.答案12解析y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，即y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝a的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x 3＋x 4＝4.因为1－12x ＝22x－1，所以12x ＋22x ＝2，故123422x x x x ++＝12.13．已知函数f (x )＝|e x －1|＋1，若函数g (x )＝f 2(x )＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点，则实数a 的取值范围是()A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案A 解析令t ＝f (x )，则函数g (t )＝t 2＋(a －2)t －2a ，由t 2＋(a －2)t －2a ＝0得，t ＝2或t ＝－a .f (x )＝|e x －1|＋1x ，x ≥0，－e x ，x <0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，当t ＝2时，方程f (x )＝|e x －1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f (x )＝|e x －1|＋1＝－a 必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a <2，即－2<a <－1.14．已知函数f (x )＝x ＋1x －sin x －1，x ∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f (x )的所有零点之和为________．答案0解析因为函数f (x )＝x ＋1x－sin x －1＝1x －sin x ，所以f (x )的对称中心是(0,0)，令f (x )＝0，得1x＝sin x ，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x，y ＝sin x 的图象，如图所示，由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f (x )有8个零点，由对称性可知，零点之和为0.15．(2023·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，若关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为()D ．(0，e －1)答案B 解析∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )关于直线x ＝1对称，又f (x )为定义在R 上的偶函数，∴函数f (x )关于直线x ＝0对称，作出函数y ＝f (x )与直线y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，要使关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有5个交点，m >e －1，m <e －1，即e －16<m <e －14.16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案，4e 2解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2ex .令h (x )＝x 2ex ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e h (2)＝4e2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ，4e 2.。

高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章函数第9节函数与方程

f( )= -lo +1= -log23=log2 -log2 <0,

f( )= -lo +1= >0,

所以函数 f(x)=x-lo x+1 的零点所在的区间为( , ).故选 C.

(2)(2024·广东深圳模拟)定义开区间(a,b)的长度为b-a.经过估
对于B,因为f(1)=-1<0,f(2)=log32+2-2=log32>0,即f(1)f(2)<0,
所以∃x0∈(1,2),使得f(x0)=0,B正确;对于C,D,当x>2时,f(x)>f(2)>0,
所以f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点,C错误,D错误.故选B.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图
象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间
(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是
否有交点来判断.
[针对训练]
(1)(2024·云南昆明模拟)函数f(x)=x- lo x +1的零点所在的区
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函
数的图象,然后数形结合求解.
角度二
求函数零点之和
[例4] (2024·江西新余模拟)函数f(x)=2-
-
-

2025高考数学一轮复习隐零点问题

当x∈(x0，＋∞)时，g(x)>0，h′(x)>0.
故h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，从而h(x)的最小值为h(x0). 考虑到x0∈(2，3)为g(x)的零点，故ln(x0＋1)＝x0－1，故 h(x)min＝h(x0)＝（x0＋1）ln（xx00＋1）＋x0＋1 ＝（x0＋1）（xx00－1）＋x0＋1＝x20＋x0 x0＝x0＋1∈(3，4). 又k<h(x)min＝x0＋1，故满足条件的整数k的最大值为3.
1234
3.已知实数 a 满足 a≥ e＋ 1e－2，且函数 f(x)＝ln x＋x22－(a＋2)x 恰有一个极小值 m 和极大值 M，求 m－M 的最大值.
由于 f′(x)＝1x＋x－(a＋2)＝x2－（a＋x 2）x＋1，x>0，设正数 x1，x2 是 x2－(a＋2)x＋1＝0 的两个相异实根，即方程 a＋2＝x＋x1， x>0有两个相异正根，不妨设x1<x2，由于当0<x<x1时，f′(x)>0，当x1<x<x2时，f′(x)<0，当x>x2时，f′(x)>0，
规律方法
已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，需根据题意对参数进行分类讨论.
训练2
(2023·福州质检节选)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－ax＋a.若x>1，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.
由题意得，f′(x)＝ln x＋1x＋1－a，令 h(x)＝ln x＋x1＋1－a，x∈(1，＋∞)，则 h′(x)＝x－x21，因为x∈(1，＋∞)，所以h′(x)>0，所以f′(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)>f′(1)＝2－a. ①当a≤2时，f′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

高三数学一轮复习函数与方程、函数模型及应用课件新人教B版

• 四、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的符号与系数之间的关系 • 1．方程有两个不相等的正实数根⇔
• 2．方程有两个不相等的负实根⇔
• 五、一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问题 • 研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑： • 1．一元二次方程根的判别式； • 2．对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)若f(x0)· f(b0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间 (x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0. 1 第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝ 2 (a1＋b1)，重复第二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在区间(an，bn)中．第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间 (an，bn)内的任何一个值就是方程f(x)＝0的一个近似根．注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
解析：(1)设投资x万元时，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x， 1 1 由图知f(1)＝4，∴k1＝4. 5 5 又g(4)＝2，∴k2＝4. 1 5 从而f(x)＝ x(x≥0)，g(x)＝ x(x≥0)． 4 4
• 解析：(1)当0<x≤100时，f(x)＝60； • 当100<x≤600时，f(x)＝60－(x－100)×0.01＝61－ 0.01x.
60 ∴f(x)＝ 61－0.01x
0<x≤100 . 100<x≤600
• • • • •
(2)设利润为y元，则0<x≤100时， y＝60x－50x＝10x， ∴x＝100时，ymax＝1000元．当100<x≤600时， y＝(61－0.01x)·x－50x＝11x－0.01x2

2025届高考数学一轮复习教案：函数-函数的零点与方程的解、二分法

第七节函数的应用第1课时函数的零点与方程的解、二分法【课程标准】1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解.【考情分析】考点考法:高考命题常以基本初等函数及其图象为载体,考查函数零点是否存在、存在的区间及个数,利用零点的存在情况求参数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y =f (x ),我们把使f (x )=0的实数x 叫做函数y =f (x )的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )有零点⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f (a )f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的解.【微点拨】函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.函数f(x)=2x的零点为0B.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点C.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点D.图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0【解析】选BD.B函数y=f(x)的零点,即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.×D f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件.×2.(必修一P144T2·变形式)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)=0在(0,+∞)上只有一个根,且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2).的零点个数为()3.(2022·北京高考)函数f(x)=2+-2,≤0,-1+ln,>0A.3B.2C.7D.0【解析】选B.由≤0,2+-2=0或>0,-1+ln=0,解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点.4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是[-1,-12].【解析】依题意函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,所以k≠0,函数f(x)在定义域上是单调函数,所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,解得-1≤k≤-12.【巧记结论·速算】1.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.2.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.【即时练】1.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.433-7424.5-36.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选B.依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据函数零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.2.函数f(x)=e x+3x的零点有1个.【解析】f(x)在R上单调递增,又f(-1)=1e-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点.【核心考点·分类突破】考点一函数零点所在区间的判定[例1](1)(2023·唐山模拟)函数f(x)=1-x log2x的零点所在的区间是() A.(14,12)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.因为y=1与y=log2x的图象只有一个交点,所以f(x)只有一个零点.又因为f(1)=1,f(2)=-1,f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=1-x log2x的零点所在的区间是(1,2).(2)(一题多法)设函数f(x)=13x-ln x,则函数y=f(x)()A.在区间(1e,1),(1,e)内均有零点B.在区间(1e,1),(1,e)内均无零点C.在区间(1e,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间(1e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点【解析】选D.方法一(图象法):令f(x)=0,得13x=ln x.作出函数y=13x和y=ln x的图象,如图,显然y=f(x)在(1e,1)内无零点,在(1,e)内有零点.方法二(函数零点存在定理法):当x∈(1e,e)时,函数图象是连续的,且f'(x)=13-1=-33<0,所以函数f(x)在(1e,e)上单调递减.又f(1e)=13e+1>0,f(1)=13>0,f(e)=13e-1<0,所以函数在区间(1e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点.【解题技法】确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【对点训练】1.(2023·荆州模拟)若x0是方程(12)x=13的根,则x0属于区间()A.(23,1)B.(12,23)C.(13,12)D.(0,13)【解析】选C.构造函数f(x)=(12)x-13,易知函数f(x)在R上单调递减,且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,易知f(0)=(12)0-0=1>0,f(13)=(12)13-(13)13f(12)=(12)12-(12)13<0,f(23)=(12)23-(23)13<0,f(1)=12-1=-12<0,结合选项,因为f(13)·f(12)<0,故函数f(x)的零点所在的区间为(13,12),即方程(12)x=13的根x0属于区间(13,12).2.根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为()x12345ln x00.6931.0991.3861.609x-2-10123A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【解析】选C.设f(x)=ln x-x+2=ln x-(x-2),易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续,由题中表格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)=ln3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln4-2=1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0,即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点,即方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(3,4).3.[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程ln x+3x-15=0的根,则[x0]=()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.设f(x)=ln x+3x-15,显然f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,故f(x)=0只有一个根,又f(4)=ln4-3=2ln2-3<2(ln2-1)<0,f(5)=ln5>0,所以x0∈(4,5),故[x0]=4.考点二函数零点个数的判定[例2](1)(一题多法)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.方法一:因为f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.方法二:设y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)=2-2,≤0,1+1,>0,则函数y=f(x)+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.令f(x)+3x=0,则≤0,2-2+3=0或>0,1+1+3=0,解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.(3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2024x+log2024x,则函数f(x)的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.作出函数y=2024x和y=-log2024x的图象如图所示,可知函数f(x)=2024x+log2024x在x∈(0,+∞)上只有一个零点,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在x∈(-∞,0)上只有一个零点,又f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数是3.【解题技法】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点:令f(x)=0,有几个解就有几个零点.(2)函数零点存在定理:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.(3)利用图象交点个数:作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.【对点训练】1.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由2x|log0.5x|-1=0得|log0.5x|=(12)x,作出y=|log0.5x|和y=(12)x的图象,如图所示,则两个函数图象有2个交点,故函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点.2.(一题多法)(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=|ln|,>0,-2(+2),≤0,则函数y=f(x)-3的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.方法一(直接法):由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x>0时,得ln x=3或ln x=-3,解得x=e3或x=e-3;当x≤0时,得-2x(x+2)=3,无解.所以函数y=f(x)-3的零点个数是2.方法二(图象法):作出函数f(x)的图象,如图,函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数,作出直线y=3,由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点,故函数y=f(x)-3的零点个数是2.3.函数f(x)=36-2·cos x的零点个数为6.【解析】令36-x2≥0,解得-6≤x≤6,所以f(x)的定义域为[-6,6].令f(x)=0,得36-x2=0或cos x=0,由36-x2=0得x=±6,由cos x=0得x=π2+kπ,k∈Z,又x∈[-6,6],所以x为-3π2,-π2,π2,3π2.故f(x)共有6个零点.考点三函数零点的应用【考情提示】函数的零点问题充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰富的数形结合思想,因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点,且形式逐渐多样化,各种题型均可考查,属于中档题.角度1根据函数零点个数求参数[例3](1)(多选题)(2023·廊坊模拟)已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|,则下列结论正确的是()A.若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0)B.若f(x)恰有2个零点,则a∈(1,5)C.若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5D.若f(x)恰有4个零点,则a∈(5,+∞)【解析】选AC.当x=0时,f(0)=1≠0,所以x=0不是f(x)的零点;当x≠0时,由f(x)=0,整理得a=|x+1+3|,令g(x)=|x+1+3|,则函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|x+1+3|的图象与直线y=a的交点个数,作出函数g(x)=|x+1+3|的大致图象(如图).由图可知,若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0),故A正确;若f(x)恰有2个零点,则a∈{0}∪(1,5),故B不正确;若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5,故C正确;若f(x)恰有4个零点,则a∈(0,1)∪(5,+∞),故D不正确.(2)已知函数f(x)=e,≤0,ln,>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出函数f(x)的图象,并平移直线y=-x,如图所示,由图可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点.角度2根据函数零点范围求参数[例4](1)若函数f(x)=2x-2-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)【解析】选C.因为函数f(x)=2x-2-a在区间(1,2)上单调递增,且函数f(x)=2x-2-a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.(2)(2023·北京模拟)已知函数f(x)=3x-1+B.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是()A.(-∞,43)B.(0,43)C.(-∞,0)D.(43,+∞)【解析】选B.由f(x)=3x-1+B=0,可得a=3x-1,令g(x)=3x-1,其中x∈(-∞,-1),由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域.由于函数y=3x,y=-1在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x-1<g(-1)=3-1+1=43,又g(x)=3x-1>0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为(0,43).因此实数a的取值范围是(0,43).【解题技法】已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求已知函数零点情况的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.【对点训练】1.已知函数f(x)=log2(x+1)-1+m在区间(1,3]上有零点,则m的取值范围为()A.(-53,0)B.(-∞,-53)∪(0,+∞)C.(-∞,-53]∪(0,+∞)D.[-53,0)【解析】选D.因为函数y=log2(x+1),y=m-1在区间(1,3]上单调递增,所以函数f(x)在(1,3]上单调递增,由于函数f(x)=log2(x+1)-1+m在区间(1,3]上有零点,则(1)<0,(3)≥0,即<0,+53≥0,解得-53≤m<0.因此,实数m的取值范围是[-53,0).2.已知关于x的方程ax+6=2x在区间(1,2)内有解,则实数a的取值范围是()A.(-4,-1)B.[-4,-1]C.(-2,-12)D.[-2,-12]【解析】选A.根据题意可得ax=2x-6,故转化为函数y=ax和y=2x-6的图象的交点.易知y=2x-6的图象上的两个点为(1,-4)和(2,-2),如图所示,当直线y=ax过(1,-4)时,a=-4,当直线y=ax过(2,-2)时,a=-1.所以a的取值范围是(-4,-1).3.(2023·济南模拟)已知函数f(x)=,≤0,|2-3|,>0,g(x)=f(x)-12x+a,若g(x)存在3个零点,则实数a的取值范围为[0,34).【解析】函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与y=12x-a的图象有3个交点.画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如图所示.根据图象易知,要使函数f(x)和y=12x-a的图象有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<34.【重难突破】复合函数的零点、方程的根的综合【本质】复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和化归转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点.【常见方法】先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.类型一判断复合函数零点的个数[例1]已知函数f(x)=ln-1,>0,2+2,≤0,则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是() A.2 B.3 C.4D.5【解析】选D.令t=f(x)+1=ln-1+1,>0,(+1)2,≤0.当t>0时,f(t)=ln t-1,则函数f(t)在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln2-12>0,所以由函数零点存在定理可知,存在t1∈(1,2),使得f(t1)=0;当t≤0时,f(t)=t2+2t,由f(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0.作出函数t=f(x)+1的图象,直线t=t1,t=-2,t=0如图所示,由图象可知,直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点.综上,函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5.【解题技法】求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t被几个x对应,将x的个数汇总后即为y=f(g(x))的根的个数,即“从外到内”.【对点训练】已知f(x)=|lg|,>0,2||,≤0,则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是5.【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.由图象知y=12与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.类型二由复合函数零点情况求参数[例2]已知函数f(x)=B+3,≥0,(12),<0,若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是()A.[0,+∞)B.[1,3]C.(-1,-13]D.[-1,-13]【解析】选C.因为f(f(x))-2=0,所以f(f(x))=2,所以f(x)=-1或f(x)=-1(k≠0).(ⅰ)当k=0时,作出函数f(x)的图象如图①所示,由图象可知f(x)=-1无解,所以k=0不符合题意;(ⅱ)当k>0时,作出函数f(x)的图象如图②所示,由图象可知f(x)=-1无解且f(x)=-1无解,即f(f(x))-2=0无解,不符合题意;(ⅲ)当k<0时,作出函数f(x)的图象如图③所示,由图象可知f(x)=-1有1个实根,因为f(f(x))-2=0有3个实根,所以f(x)=-1有2个实根,所以1<-1≤3,解得-1<k≤-13.综上,k的取值范围是(-1,-13].【解题技法】已知复合函数y=f(g(x))零点的个数,求参数的取值范围的问题的方法(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由零点个数结合t=g(x)与y=f(t)的图象特点,从而确定t的取值范围,进而决定参数的范围,即“从内到外”.此法称为双图象法(换元法+数形结合).【对点训练】已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=+14,>0,+1,≤0.若方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是[1,54).【解析】令f(x)=t(t<1),则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)时有2个不同的解,则原方程有4个不同的实数根等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象如图,由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是[1,54).。

考点14函数的零点与方程的解(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型新高考版

考点14函数的零点与方程的解（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．【知识点】1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y ＝f (x )，我们把使的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f (x )＝0有实数解⇔函数y ＝f (x )有 ⇔函数y ＝f (x )的图象与有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y ＝f (x )在区间内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得，这个c也就是方程f (x )＝0的解．2．二分法对于在区间[a ，b ]上图象连续不断且的函数y ＝f (x )，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号【核心题型】题型一　函数零点所在区间的判定确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【例题1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程33log 1xx ×=的两根为1x ，()212x x x <，则A ．101x <<，23x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．124x x +>【变式1】（2023·河北·模拟预测）已知函数()36xf x x =+-有一个零点0x x =，则0x 属于下列哪个区间（）A ．1,12æöç÷èøB ．31,2æöç÷èøC ．3,22æöç÷èøD ．52,2æöç÷èø【变式2】（2023·海南·模拟预测）函数()123x f x x -=+-的零点所在的区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数()26log f x x x=-零点所在的一个区间 .题型二　函数零点个数的判定求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．【例题2】（2024·天津·二模）已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-，关于()f x 有下面四个说法：①()f x 的图象可由函数()2g x x =的图象向右平行移动π8个单位长度得到；②()f x 在区间ππ,44éù-êúëû上单调递增；③当ππ,62x éùÎêúëû时，()f x的取值范围为；④()f x 在区间[]0,2π上有3个零点．以上四个说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数()f x 满足()()8f x f x +=，()()80f x f x +-=，当[)0,4x Î时，()πln 1sin 4f x x æö=+ç÷èø，则函数()()()3F x f x f x =-在()0,8内的零点个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【变式2】．（2024·青海西宁·二模）记()x t 是不小于x 的最小整数,例如()()()1.22,22, 1.31t t t ==-=-,则函数()()128x f x x x t -=--+的零点个数为.【变式3】（2024·北京西城·一模）关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题：①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3题型三　函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.命题点1　根据零点个数求参数【例题3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()22e 21e 2x xf x a x a a x =-+++（其中e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A ．a $ÎR ，使函数()f x 恰有1个零点B ．a $ÎR ，使函数()f x 恰有3个零点C ．a "ÎR ，函数()f x 都有零点D ．若函数()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围为()e 2,e -【变式1】（2024·安徽黄山·二模）若函数()()14f x k x =--有两个零点，则实数k 的取值范围是.【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程2ln 0ax x -=在()1,+¥上有两个不同的根，则a 的取值范围为（）A ．10,2e æöç÷èøB ．1,e æö-¥ç÷èøC ．()1,e D ．(),2-¥【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中122()log 2xf x x +=-.(1)求证：()y f x =是奇函数；(2)若关于x 的方程()12()log f x x k =+在区间[3,4]上有解，求实数k 的取值范围.命题点2　根据函数零点的范围求参数【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()()πcos 04f x x w w æö=+>ç÷èø在区间π,π3æöç÷èø上单调递减，且()f x 在区间()0,π上只有1个零点，则w 的取值范围是（）A ．10,4æùçúèûB ．13,24æùçúèûC ．13,44æùçúèûD ．15,44æùçúèû【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数()2231f x ax x =+-在区间()1,1-内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为（）A ．{}|12a a -<<B ．9{|8a a =-或12}a -<<.C ．{|12}a a -££D ．9{|8a a =-或12}a -££.【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为 .【变式3】（2023·全国·模拟预测）将函数()(0)f x x w w =>的图像向右平移3w p 个单位长度得到函数()g x 的图像．若()g x 在区间π5π,36æöç÷èø内有零点，无极值，则w 的取值范围是．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·浙江宁波·一模）已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x æö=+=-=+ç÷èø的零点分别为,,a b c ，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．b c a>>2．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数()()224424e e x x f x x x a --=-++有唯一零点，则实数=a （）A ．2B ．12C ．4D ．13．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数()24xf x =，若存在12x x <，使得()()120f x f x <，则下列结论不正确的是（）A ．11<x B ．21x >C ．()f x 在()12,x x 内有零点D ．若()f x 在121,2x x x +æöç÷èø内有零点，则1202x x f +æö>ç÷èø4．（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,25．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()ππ2sin 222f x x j j æö=+-<<ç÷èø的图像关于点π,03æöç÷èø中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36æö-ç÷èø，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212éù-êúëû，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点二、多选题6．（2024·甘肃定西·一模）已知函数()()221,42x f x a g x x x a =--=-+-，则（）A ．当()g x 有2个零点时，()f x 只有1个零点B ．当()g x 有3个零点时，()f x 只有1个零点C ．当()f x 有2个零点时，()g x 有2个零点D ．当()f x 有2个零点时，()g x 有4个零点7．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数2()()e ln x f x x x x =++的零点为0x ，下列判断正确的是（）A ．012x <B ．01ex >C ．00e ln 0x x +<D ．00ln 0x x +<三、填空题8．（2024·重庆·模拟预测）若12πw <£，则关于x 的方程sin x x w =的解的个数是．9．（2023·河北·模拟预测）已知1e ln ()2x x xxf x +-=，0x 是该函数的极值点，定义x 表示超过实数x 的最小整数，则()0f x 的值为.四、解答题10．（2023·四川成都·一模）已知函数()2cos sin 1f x ax x x x =-+-.(1)若1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若1a =时，求函数()f x 的零点个数；(3)若对于任意π0,2x éùÎêúëû，()12³-f x a 恒成立，求a 的取值范围.11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数()πsin (03)4f x x w w æö=-<<ç÷èø，π8x =是()f x 的零点．(1)求w 的值；(2)求函数π1π828y f x f x æöæö=-++ç÷ç÷èøèø的值域．12．（2023·四川绵阳·模拟预测）函数()()()222f x x m x m =+-+．(1)若()f x 为奇函数，求实数m 的值；(2)已知()f x 仅有两个零点，证明：函数()3y f x =-仅有一个零点．综合提升练一、单选题1．（2023·吉林长春·一模）方程3log 2x x +=的根所在区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ÎR ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-，设0x为函数()33log 1f x x x =-+的零点，则[]0x =（）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2023·宁夏银川·三模）函数()22log f x x x m =++在区间()2,4上存在零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(),18-¥-B ．(5,)+¥C ．(5,18)D ．()18,5--4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()()ππ3cos 022f x x w j w j æö=+<-<<ç÷èø，的最小正周期为π，在区间ππ,66æö-ç÷èø上单调递减，且在区间π0,6æöç÷èø上存在零点，则j 的取值范围是（）A ．ππ,62æöç÷èøB ．3π,2πæù--çúèûC ．ππ,32éö÷êëøD ．π0,3æùçúèû5．（2023·内蒙古赤峰·二模）记函数()()sin 0,02f x x p w j w j æö=+><<ç÷èø的最小正周期为T .若()f T =，6x p =为()f x 的零点，则w 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．66．（2024·安徽芜湖·二模）在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A ．26B ．63C ．57D ．257．（2023·四川南充·模拟预测）函数()ln 1f x x x =-的零点为1x ，函数()()e 1e xg x x =--的零点为2x ，则下列结论正确的是（）A ．221e ln ex x ×=B ．2111e2x x -+>C ．12ln 1x x -=D ．21121ln x x +£+8．（2024·山西吕梁·模拟预测）用[a ]表示不大于实数a 的最大整数，如[1.68]=1，设12,x x 分别是方程24x x +=及ln(1)4x x +-=的根，则12[]x x += （）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数()324f x x x ax =++-有3个不同的零点123,,x x x ,且23122x x x =，则（）A ．4a =-B ．()0f x <的解集为()1,2-C ．7y x =-是曲线()y f x =的切线D ．点()1,0-是曲线()y f x =的对称中心10．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数()()()0f x x w +j w >的最小正周期πT <，1π5f æö=ç÷èø，且()f x 在π10x =处取得最大值.下列结论正确的有（）A ．sin j =B ．w 的最小值为152C ．若函数()f x 在ππ,204æöç÷èø上存在零点，则w 的最小值为352D ．函数()f x 在13π11π,2015æöç÷èø上一定存在零点11．（2023·江西·模拟预测）已知函数2(e 21)xax x f x -+=，则下列结论正确的是（）A ．对于任意的a ÎR ，存在偶函数()g x ，使得e ()()x y f x g x =+为奇函数B ．若()f x 只有一个零点，则1a =C ．当1a =时，关于x 的方程()f x m =有3个不同的实数根的充要条件为340e m <<D ．对于任意的a ÎR ，()f x 一定存在极值三、填空题12．（2023·广东深圳·一模）定义开区间(),a b 的长度为b a -．经过估算，函数()1312x f x x =-的零点属于开区间（只要求写出一个符合条件，且长度不超过16的开区间）．13．（2024·河南南阳·一模）已知函数()()232ln 13f x x x a x =-+-+在区间()1,2上有最小值，则整数a 的一个取值可以是．14．（2023·山西阳泉·模拟预测）已知函数()e 2x f x x =+-的零点为1x ，函数()2ln g x x x =--的零点为2x ，给出以下三个结论：①12e e 2e x x +>；②1234x x >；③2112ln ln 0x x x x +<.其中所有正确结论的序号为 .四、解答题15．（2023·全国·模拟预测）已知函数()||f x x a =-.(1)若不等式()()1f x f x m -+£恒成立，求实数m 的最大值；(2)若函数1()()g x f x a=+有零点，求实数a 的取值范围.16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()ln R f x x x ax a =+Î.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当1a =-时，方程()f x m =有两个解，求参数m 的取值范围.17．（2023·江苏·三模）将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1w（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．(1)若2w =，求函数()y g x =在区间ππ,44éù-êúëû上的最大值；(2)若函数()y g x =在区间ππ,42æöç÷èø上没有零点，求ω的取值范围．18．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()21321e 2316x af x x x x x -=-+-++．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．(2)设函数()()2131e 3x g x f x x ax -=-+，若()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围．19．（2023·福建福州·模拟预测）设1a >-，函数()()()1ln 11f x x x a x =++-+．(1)判断()f x 的零点个数，并证明你的结论；(2)若0a ³，记()f x 的一个零点为0x ，若11sin x a x +=，求证：10ln 0x x -£．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·山西晋城·二模）将函数π()2sin 34f x x æö=+ç÷èø的图象向右平移j （0j >）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(0,)j 上恰有两个零点，则j 的取值范围是（）A ．5π3π,124éö÷êëøB ．3π13π,412éö÷êëøC ．5π3π,124æùçúèûD ．3π13π,412æùçúèû2．（2024·全国·模拟预测）设函数()πcos 4f x x w æö=+ç÷èø在区间π0,2æöç÷èø上恰有3个零点、2个极值点，则w 的取值范围是（）A ．79,22æùçúèûB ．911,22æùçúèûC ．913,22æùçúèûD ．713,22æùçúèû3．（2023·北京·模拟预测）已知函数()e e x xf x -=-，下列命题正确的是（）①()f x 是奇函数；②方程()22f x x x =+有且仅有1个实数根；③()f x 在R 上是增函数；④如果对任意()0,x Î+¥，都有()f x kx >，那么k 的最大值为2.A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④4．（2023·四川南充·一模）已知函数2()ln 2f x x m x=-+-（03m <<）有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），下列关于1x ，2x 的说法正确的有（）个①221e m x x < ②122x m >+ ③121x x >A ．0B ．1C ．2D ．35．（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程22log 1x x ×=的两根为1x ，()212x x x <，则（）A ．101x <<，22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二、多选题6．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数()1cos cos2,02f x x x x w w w w =->，则下列结论正确的是（）A ．()()0,1,f x w "Î在ππ,64éù-êúëû上单调递增B ．若1w =且()()122f x f x -=，则12min πx x -=C ．若()1f x =在[]0,π上有且仅有2个不同的解，则w 的取值范围为54,63éö÷êëøD ．存在()0,1w Î，使得()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()24,0,log 2,0x x x f x x x ì+>ï=íï--<î的图象与直线y a =的交点的横坐标分别为()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则（）A ．4a >B ．124x x =C ．344x x =D ．341x a x æö+ç÷èø8．（2023·河南焦作·模拟预测）已知函数()(),0e ln ,0424,4x xx xf x x x f x x ì£ïïï=<£íï->ïïî，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在()*(44e)k k k +ÎN ，上单调递增B ．函数()f x 在()*(4e 44)k k k ++ÎN ，上单调递减C ．若方程()(1)f x a x =<有两个实数根1x ，2x ，则12x a x =D ．当方程()(08)f x bx x =££的实数根最多时，b 的最小值为ln 28三、填空题9．（2024·全国·模拟预测）已知()()4sin sin 1f x x x x =+相邻的两个零点分别为12,x x ，则12cos x x -=.10．（2024·四川成都·三模）若函数()2e x f x kx =-大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为．四、解答题11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()x f x e =，()a g x x =．(1)当1a =时，求()()f x g x -的最小值；(2)讨论函数()y f x =和()y g x =的图象在(0,)+¥上的交点个数．12．（2024·重庆·模拟预测）已知函数()()()23e ln R ,x f x x a x a x æö=-++Îç÷èø(1)若过点()2,0的直线与曲线()y f x =切于点()()1,1f ，求a 的值；(2)若()f x 有唯一零点，求a 的取值范围．。

2023年高考数学一轮复习课件——利用导数研究函数零点

教师备选
(2022·淄博质检)已知 f(x)＝13x3＋32x2＋2x，f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f(x)的极值；
因为f′(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
x (－∞，－2) －2 (－2，－1) －1 (－1，＋∞)
当x∈(0，e)时，f′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2.
(2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－3x零点的个数.
由题意知 g(x)＝f′(x)－3x＝1x－xm2－3x(x>0)，令 g(x)＝0，得 m＝－13x3＋x(x>0). 设 φ(x)＝－13x3＋x(x>0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.
综上所述，当 m>23时，函数 g(x)无零点；当 m＝23或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0<m<23时，函数 g(x)有两个零点.
题型二利用函数性质研究函数零点
例2 已知函数f(x)＝x－aln x(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间；
在(－1，＋∞)上单调递减，所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞时， φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→0，
所以
0<1a<e，解得
1 a>e.
所以 a 的取值范围是1e，＋∞.
教师备选
已知函数f(x)＝xex＋ex. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；

2020届高三一轮复习专题：函数的零点问题及相关题型

函数的零点问题 (1)函数的零点的概念对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)函数的零点与方程的根的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )满足：⇔在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；⇔f (a )·f (b )＜0；则函数y ＝f (x )在(a ，b )上存在零点，即存在c ⇔(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．零点区间的判断题型结构特征：判别零点区间1.函数f （x ）=e x + x - 2 的零点所在的一个区间是（） A. （-2,-1） B. （-1,0） C.（0,1） D.（1,2）【答案】C2.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间A.(,)a b 和(,)b c 内B.(,)a -∞和(,)a b 内C.(,)b c 和(,)c +∞内D.(,)a -∞和(,)c +∞内【答案】A零点个数的判断题型结构特征：判别零点在区间上的个数问题 3.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B4.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为( )A. 1B. 2C.3D.4 【答案】A5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B6.已知函数f (x )是R 上的偶函数，且满足f (5＋x )＝f (5－x )，在[0，5]上有且只有f (1)＝0，则f (x )在[－2 015，2 015]上的零点个数为( )A ．808B ．806C ．805D ．804【答案】C零点存在性确定的参数范围问题题型结构特征：已知零点的个数存在性确定参数范围 7.函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2) 【答案】C8.[2015湖南文14]若函数f （x ）=| 2x -2 | - b 有两个零点，则实数b 的取值范围是___ 【答案】0<b<29.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是____【答案】194≤<a 10已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有三个零点，则实数k 的取值范围是（）A. B ．C ． D. 【答案】C)(x f )()1(x f x f -=+)(x f ]1,0[∈x 2)(x x f =]3,1[-k kx x f x g --=)()()41,0(]21,0()21,41(]31,41[11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，求m 的取值范围．解析：作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，⇔要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.12.已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（）A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）【答案】：C解答：⇔存在个零点，即与有两个交点，的图象如下：要使得与有两个交点，则有即，⇔选C.零点分布问题题型结构特征：根据零点的分布区域进行零点相关运算或不等关系的判断13.已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)2(,1)2(21)(x x x x f .若关于x 的方程0)()(2=++b x af x f 有三个不同的实根321,,x x x ，求232221x x x ++的值为（）e 0()ln 0x xf x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()()g x f x x a =++2()y f x =y x a =--)(x f y x a =--)(x f 1a -≤1a ≥-A. 10 B .12 C. 14 D.16 【答案】C二次函数零点区间讨论法题型结构特征：已知二次函数的零点存在区间求参数范围14已知a 是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a 的取值范围【答案】a>1或253--≤a 15已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围【答案】（1）（2165--，）（2）），（2121-- 16已知函数22||,2()(2)x 2x x f x x ≤⎧=⎨->⎩，,函数()3(2)g x f x ,则函数y ()()f x g x 的零点的个数为A. 2B. 3C.4D.5 【答案】A17. 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解析：法一：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，⇔x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0，即a 2＋a －2＜0， ⇔－2＜a ＜1.18已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ⇔R)满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，则实数b 的取值范围为____()a x ax x f --+=3222()x f y =[]1,1-【答案】⎪⎭⎫⎝⎛75,51 19.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ⇔R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为____ 【答案】920.已知二次函数f(x)＝x 2－ax ＋3 - a 的两零点均为正数的实数，则实数a 的取值范围是_____ 【答案】2<a<321.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3)B ．[－3，－1]C ．[－3,3)D ．[－1,1)【答案】A22.已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧54sin ⎝⎛⎭⎫π2x 0≤x ≤1⎝⎛⎭⎫14x＋1x >1，若关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ⇔R )有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫54B ．[0,1]⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫54C ．(0,1]⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫54D.⎝⎛⎦⎤1，54⇔{0} 解析：作出f (x )＝⎩⎨⎧54sin ⎝⎛⎭⎫π2x 0≤x ≤1⎝⎛⎭⎫14x＋1x >1的大致图象如图所示，又函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，且关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ⇔R )有且仅有6个不同的实数根，等价于f (x )＝65和f (x )＝a (a ⇔R )有且仅有6个不同的实数根．由图可知方程f (x )＝65有4个不同的实数根，所以必须且只需方程f (x )＝a (a ⇔R )有且仅有2个不同的实数根，由图可知0<a ≤1或a ＝54.故选C.【答案】：C23.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．解析：若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则方程2a ＝|x －a |－1只有一解，即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解，故2a ＋1＝0，所以a ＝－12.【答案】：－1224.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：问题可转化为y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10. 【答案】：1025.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________．解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1，作出y ＝f (x )，y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2.【答案】：226.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1x ≥221≤x ＜2，若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时，a ＝12，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图象相切时，a ＝－1＋52，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1过点A (1,2)时，a ＝1，满足方程恰有一个解．故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12⇔⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1.【答案】：⎝⎛⎭⎫0，12⇔⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，127.对于函数f (x )和g (x )，设α⇔{x |f (x )＝0}，β⇔{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B ．⎣⎡⎦⎤2，73 C.⎣⎡⎦⎤73，3D ．[2,3]解析：函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，⇔0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3的图象过点(－1,4)，⇔要使其零点在区间[0,2]上，则g ⎝⎛⎭⎫a 2≤0，即⎝⎛⎭⎫a 22－a ·a 2－a ＋3≤0，解得a ≥2或a ≤－6(舍去)，易知g (0)≥0，即a ≤3，此时2≤a ≤3，满足题意．【答案】D28.设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＜33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个D ．67个解析：依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0得，πx 0＝k π，k ⇔Z ，即x 0＝k ，k ⇔Z .当k 是奇数时，f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝sin π⎝⎛⎭⎫k ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝－1，|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝|k |－1＜33，|k |＜34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝sin π⎝⎛⎭⎫k ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝1，|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝|k |＋1＜33，|k |＜32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65(个)，选C. 【答案】C29.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x <11x ＋1－1，－1<x <0，设函数g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥14或m ＝－1B ．m ≥14C ．m ≥15或m ＝－1D ．m ≥15【答案】C30.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C．2 D．3解析：当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝1x－1＝1－xx，所以x⇔(0,1)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；x⇔(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．因此，当x>0时，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y＝f(x)与y＝e x的大致图象，如图，观察到函数y＝f(x)与y＝e x的图象有两个交点，所以函数g(x)＝f(x)－e x(e为自然对数的底数)有2个零点．故选C.【答案】C31.已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x有两个零点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(0,1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，1＋ee2 D.⎝⎛⎭⎫0，1＋ee2解析：依题意，关于x的方程ax－1＝ln xx有两个不等的正根．记g(x)＝ln xx，则g′(x)＝1－ln xx2，当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)在区间(0，e)上单调递增；当x>e时，g′(x)<0，g(x)在区间(e，＋∞)上单调递减，且g(e)＝1e，当0<x<1时，g(x)<0.设直线y＝a1x－1与函数g(x)的图象相切于点(x0，y0)，则有⎩⎨⎧a1＝1－ln x0x20a1x0－1＝ln x0x0，由此解得x0＝1，a1＝1.在坐标平面内画出直线y＝ax－1(该直线过点(0，－1)、斜率为a)与函数g(x)的大致图象，结合图象可知，要使直线y＝ax－1与函数g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是(0,1)，选B.【答案】B32.已知f′(x)为函数f(x)的导函数，且f(x)＝12x2－f(0)x＋f′(1)ex－1，g(x)＝f(x)－12x2＋x，若方程g⎝⎛⎭⎫x2a－x－x＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)⇔{1}B ．(－∞，－1]C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：⇔f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，⇔f (0)＝f ′(1)e －1，f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)e x －1，⇔f ′(1)＝1－f ′(1)e －1＋f ′(1)e 1－1，⇔f ′(1)＝e ，⇔f (0)＝f ′(1)e －1＝1，⇔f (x )＝12x 2－x ＋e x ，⇔g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝12x 2－x ＋e x －12x 2＋x ＝e x，⇔g ⎝⎛⎭⎫x 2a －x －x ＝0，⇔g ⎝⎛⎭⎫x 2a －x ＝x ＝g (ln x )，⇔x 2a －x ＝ln x ，⇔x 2a ＝x ＋ln x ．当a >0时，只有y ＝x2a(x >0)和y ＝x ＋ln x 的图象相切时，满足题意，作出图象如图所示，由图象可知，a ＝1，当a <0时，显然满足题意，⇔a ＝1或a <0，故选A. 【答案】A33.已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( )A.1e＜x 1x 2＜1 B ．1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10D ．e ＜x 1x 2＜10解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1⇔(0,1)，x 2⇔(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1⇔(e－1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2⇔(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)⇔(－1，0)，于是有e －1＜x 1x 2＜e 0，即1e ＜x 1x 2＜1，故选A. 【答案】A34.已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设函数f (x )＝sgn 1－x ＋12·f 1(x )＋sgn x －1＋12·f 2(x )，其中f 1(x )＝x 2＋1，f 2(x )＝－2x ＋4.若关于x 的方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，94)B ．(－∞，94]C ．[2，94]D ．(2，94)解析：⇔若x ＞1，则f (x )＝－1＋12·f 1(x )＋1＋12·f 2(x )＝－2x ＋4.⇔若x ＝1，则f (x )＝0＋12·f 1(x )＋0＋12·f 2(x )＝x 2－2x ＋52＝2.⇔若x ＜1，则f (x )＝1＋12·f 1(x )＋－1＋12·f 2(x )＝x 2＋1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＜1，2，x ＝1，－2x ＋4，x ＞1，作出其图象如图所示．若要使方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根，令t ＝f (x )，则关于t 的方程t 2－3t ＋m ＝0需有两个不相等的实数根，故Δ＝9－4m ＞0，得m ＜94.数形结合知1＜f (x )＜2，所以函数g (t )＝t 2－3t ＋m 在(1,2)上有两个不同的零点，又函数g (t )图象的对称轴为t ＝32⇔(1,2)，所以需⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，g 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3＋m ＞0，22－3×2＋m ＞0，得2＜m ＜94，故选D.【答案】D35.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜0|12x 2－2x ＋1|，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11)解析：首先作出函数f (x )的图象(如图)，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧b ＞01－a ＋b ＜04－2a ＋b ＞0，画出可行域(图略)，计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值范围为(3,11)．【答案】D36.已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ⇔(0,1]．【答案】(0,1]37.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．解析：当x ＞0时，令ln x －x 2＋2x ＝0，得ln x ＝x 2－2x ，作y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 图象，显然有两个交点．当x ≤0时，令4x ＋1＝0， ⇔x ＝－14.综上共有3个零点．【答案】338.已知函数f (x )＝|x －a |－2x ＋a ，a ⇔R ，若方程f (x )＝1有且只有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝|x －a |＋a ，h (x )＝2x ＋1，作出函数h (x )＝2x ＋1的图象，易知直线y ＝x 与函数h (x )＝2x ＋1的图象的两交点坐标为(－1，－1)和(2,2)，又函数g (x )＝|x －a |＋a 的图象是由函数y ＝|x |的图象的顶点在直线y ＝x 上移动得到的，且当函数h (x )＝2x ＋1的图象和g (x )＝|x －a |＋a 的图象相切时，切点为(2，1＋2)，(－2，1－2)，切线方程为y ＝－x ＋22＋1或y ＝－x －22＋1，又两切线与y ＝x 的交点分别为(1＋222，1＋222)，(1－222，1－222)，故a ＝1±222，结合图象可知a 的取值范围是(－∞，1－222)⇔(1＋222，2)．【答案】(－∞，1－222)⇔(1＋222，2)39.若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，⇔方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域(图略)，可知14<b －2a －1<1.【答案】⎝⎛⎭⎫14，140.已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B ．18C ．－78D ．－38解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.【答案】：C41.已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：易知函数f (x )＝e |x |＋|x |为偶函数，故只需求函数f (x )在(0，＋∞)上的图象与直线y ＝k 有唯一交点时k 的取值范围．当x ⇔(0，＋∞)时，f (x )＝e x ＋x ，此时f ′(x )＝e x ＋1＞0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x ＞f (0)＝1，所以要使函数f (x )在(0，＋∞)上的图象与直线y ＝k 有唯一交点，只需k ＞1，故所求实数k 的取值范围是(1，＋∞)．【答案】(1，＋∞)42.已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1＜f (x 1)＜x 2，则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b＝0的实数根的个数不可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，又x 1＜f (x 1)＜x 2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5，故选D.【答案】D43.设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0【答案】A44.已知λ⇔R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是_________．【答案】13λ<≤或4λ>.45.已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .【答案】46.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A.3B.2C.1D.0 【答案】B()4,8。