高考数学函数比大小题型总结

合集下载

2024年高考复习数学知识点+题型05+4类比较函数值大小关系解题技巧

题型054类比较函数值大小关系解题技巧（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧（2022·全国·统考高考真题）例1．设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<【法一】分析法假设待证法比较大小→构造函数假设a b <成立，即0.10.110.1e0.9e 1ln 0.90.109<⇔<⇔+<令0.9x =，则等价证明：ln (1)0x x +-<，即证：ln 1x x <-（原式得证，略）假设a c <成立，即0.10.10.1e ln 0.90.1e ln 0.90<-⇔+<令0.1x =，则等价证明：e ln(1)0x x x +-<，(0,1)x ∈，证明略所以函数()e ln(1)x g x x x =+-在21)x ∈单调递增，所以(0.1)(0)g g >，即：0.10.1e ln 0.90+>，所以假设a c <不成立，即a c >，综上所述：c a b <<，故选：C 【法二】构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.（2023·河北·统考模拟预测）1．设ln102ln100a =-，151b =，tan 0.02c =，则（）A ．a c b>>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．c a b>>（2023·福建福州·模拟预测）2．1,ln1.1,tan 0.111a b c ===，则（）A ．c<a<bB ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c<<（2023·福建·二模）3．设1142112e 1,e 1,sin tan 44a b c ⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c>>D ．a c b>>技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧知识迁移1x e x ≥+，e e x x ≥，11ln 1x x x -＃-，ln ex x ≤例2．已知991001101,,ln 100100a b e c -===,则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b a c<<991009911100100e->-+=1011011ln 1100100100c =<-=【答案】C（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）4．已知()ln 1e a =+，e b =2e3c =，则（）A ．b a c>>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c b a>>（2023·河南开封·统考模拟预测）5．已知13a =，13e 1b =-，4ln 3c =，则（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．b<c<a（2023·江西赣州·统考模拟预测）6．已知3ln 2a =，23b =，12e c -=，则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．c a b<<D ．a c b<<技法03泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧知识迁移常见函数的泰勒展开式：（1）()231e 1e 1!2!3!!1!n n xxx x x x x n n θ+=+++++++ ，其中()01θ<<；（2）()()231ln 112!3!!nn n x x xx x R n -+=-+-+-+ ，其中()()11111!1n n n n x R n x θ++⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（3）()()35211sin 13!5!21!k k n x x x x x R k --=-+-+-+- ，其中()()211cos 21!k kn x R x k θ+=-+；（4）()()24221cos 112!4!22!k k n x x x x R k --=-+-+-+- ，其中()()21cos 2!kk n xR x k θ=-；（5）211()1n n x x x o x x=+++++- ；（6）22(1)(1)1()2!nn n x nx x o x -+=+++；（7）()3522tan 315n x x x x o x =+++⋅⋅⋅+；（8()2311112816nx x x o x =+-++⋅⋅⋅+．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：e 1x x ≥+，()21e 102xx x x ≥++≥，()31sin 06x x x x ≥-≥，21cos 12x x ≥-，ln 1≤-x x ，1e x x -≥，()31tan 03x x x x ≥+≥112x ≤+，()ln 1x x +≤．3．常见函数的泰勒展开式：结论1ln(1)(1)x x x +≤>-．结论2ln 1(0)x x x ≤->．结论311ln x x-≤（0x >）．结论4()1ln ln 11111x x x x x x x<⇒<+++-+．结论51x x e +≤；()111xe x x ≤<-；()()ln 111x x x x x≤+≤>-+．结论61()x e x x R ≥+∈；结论71()x e x x R -≥-∈结论8()111x e x x≥<-．结论9()111x e x x≤>-．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）例3．设0.10.1e =a ，19b =，ln 0.9c =-则（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<泰勒公式法：因为20.10.110.1 1.1052e ≈++=，所以0.110.10.11050.111119e b ≈<==，所以a b<因为2311()()1011111199ln 0.9ln ln(1)0.0060.10599923916221879c a =-==≈-+=-+≈-=<所以c a<综上所述：c a b <<故选：C（2022·全国·统考高考真题）7．已知3111,cos 4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．a c b>>（2021·全国·统考高考真题）8．设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（）A ．a b c<，ln 1)x x ><<，11ln ()(1)2x x x x <->，11ln ()(01)2x x x x>-<<，213ln 2(1)22x x x x >-+->，213ln 2(01)22x x x x <-+-<<2(1)ln (1)1x x x x ->>+，2(1)ln (01)1x x x x -<<<+放缩程度综合21112(1)131()ln 21(01)2122x x x x x x x x xx --<-<<<-+-<-<<+21132(1)1112ln ()1(12)2212x x x x x x x x x x --<-+-<<<-<-<<+21312(1)1121ln ()1(2)2212x x x x x x x x x x --+-<-<<<-<->+11e (1)1x x x x+<<<-，11e (1)1x x x x <+<>-（2022·全国·统考高考真题）例4-1．设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c<，所以10110919ln 0.9ln)0.1192910180c a =-=<=<<，即c a <综上所述：c a b <<，故选：C （2022·全国·统考高考真题）例4-2．已知3111,cos 4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a>>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b>>【法一】：不等式放缩一因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a>1114sin cos444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ==当114sin cos 44+142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos4ϕ==1cos sin 4ϕ==故1cos4=11sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A【法二】不等式放缩二因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．（2023·全国·校联考模拟预测）10．设1718a =，1cos 3b =，13sin 3c =，则下列正确的是（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．c b a>>（2023·云南大理·统考一模）11．已知 1.6a =，0.6e b =，1ln1.6c =+，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．c b a>>B ．a b c>>C ．b c a>>D ．b a c>>（2023·福建·校联考模拟预测）12．设221a =，1sin 10b =，11ln 10c =，则下列正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a<<D ．c b a<<参考答案：1．D【分析】依题意1ln 150a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，151b =，1tan 50c =，令()()tan ln 1f x x x =-+，()0,1x ∈利用导数说明函数的单调性，即可判断a 、c ，再令()ln 1h x x x =--+，()0,1x ∈，利用导数说明函数的单调性，即可判断a 、b ，即可得解.【详解】因为102511ln102ln100lnln ln 11005050a ⎛⎫=-===+ ⎪⎝⎭，151b =，1tan 0.02tan 50c ==，令()()tan ln 1f x x x =-+，()0,1x ∈，则()()222222cos sin 1111cos cos 1cos 11cos x x x xf x x x x x x x++-'=-=-=+++，令()21cos m x x x =+-，则()12cos sin 1sin 20m x x x x '=+=+≥，所以()m x 在()0,1上单调递增，()()00m x m >=，所以()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()()00f x f >=，则()()0.02tan 0.02ln 10.020f =-+>，即1tan 0.02ln 150⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即c a >，令()ln 1h x x x =--+，()0,1x ∈，则()1110x h x x x-'=-+=<，所以()h x 在()0,1上单调递减，则()()10h x h >=，则505050ln10515151h ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，即50501ln 1515151->-=，即511ln 5051>，所以a b >，综上可得c a b >>.故选：D【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数()()tan ln 1f x x x =-+，()0,1x ∈，()ln 1h x x x =--+，()0,1x ∈，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数值，从而判断函数值的正负，达到比较大小的目的.2．D【分析】令()()ln 11xf x x x =+-+，利用导数研究函数的单调性可得到()()0.100f f >=，即可判断a 、b 的大小关系；构造函数()()ln 1h x x x =+-判断ln1.1b =与0.1的大小，构造函数()tan m x x x =-判断0.1与tan0.1c =大小，从而可判断b 、c 大小．【详解】令()()ln 11x f x x x =+-+，()1,x ∈-+∞，则()()()2211111x f x x x x +'=-=++，所以当0x >时()0f x ¢>，即()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()0.100f f >=，即()0.1ln 0.1100.11+->+，即1ln1.111>，即b a >，令()()ln 1h x x x =+-，则()1111xh x x x -'=-=++，在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 为减函数，∴()()00h x h <=，即()ln 1x x +<；令()tan m x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2110cos m x x '=->，故()m x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为减函数，∴()()00m x m <=，即tan x x <；∴()πln 1tan ,0,2x x x x ⎛⎫+<<∈ ⎪⎝⎭，令0.1x =，则()ln 0.110.1tan0.1+<<，即0.1b c <<，∴b c <，所以a b c <<．故选：D ．【点睛】结论点睛：常用的不等式：πsin tan 02x x x x ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭，()()ln 10x x x +<>，()2ln 10x x x x x ≤-≤->，e 1x x ≥+，()e e 0x x x x ≥>>，()2e 0x x x >>.3．A 【分析】作差法判断a 、b 的大小，构造函数()()2e 1sin tan xf x x x =---,利用导数的单调性判断a 、c 的大小.【详解】21111124242e 12e 1e 2e 1e 10,b a ⎛⎫⎛⎫-=---=-⋅+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a ∴>，又14112e 1sin tan 44a c ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，所以令()()2e 1sin tan x f x x x =---，π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则21()2e cos cos x f x x x '=⋅--，令21()2e cos cos x g x x x=⋅--，则32sin ()2e sin cos x x g x x x '=⋅+-，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,2e 2,sin 0x x ⋅>>,33ππsin sin ,cos cos 66x x <>，所以33π2sin2sin 62πcos cos 6x x <=，故()0g x '>,故()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，又∵(0)0g =，∴当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()0f x g x '=>,故()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，故1()(0)04f f >=,即a c >，故b a c >>.故选:A.【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x 就有了函数的形式，如在本题中14112e 1sin tan 44a c ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，将14视为变量可以构造函数()()2e 1sin tan x f x x x =---.4．D【分析】构造函数()ln(1),0f x x x x =+->，利用导函数讨论其单调性和最值，可得ln(1)x x +<，从而可得1ln(1e)1e +<+，11e 211e e e+<<，即可比较,a b 的大小关系，再利用作差法比较,b c 大小关系.【详解】令()ln(1),0f x x x x =+->，则1()1011x f x x x-'=-=<++，所以函数()f x 在()0,∞+单调递减，且(0)0f =，所以()0f x <，即ln(1)x x +<，令1e x =，则有11ln(1)e e+<，所以11ln(1)ln e 1e e ++<+，即1ln(1e)1e+<+，又由11ln(1e e +<，可得11e 211e e e+<<，所以()ln 1e +<a b <，又因为2224e 4e e=e(1)099c b -=->，所以b c <，综上可得c b a >>，故选：D.5．C【分析】构造()()e 101x f x x x =--<<，利用导数判断其单调性可比较,a b 的大小关系.构造()()()ln 101g x x x x =+-<<，利用导数判断其单调性可比较,a c 的大小关系.【详解】13a =，13e 1b =-，41ln ln 133c ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，设()()e 101x f x x x =--<<，所以()e 10x f x '=->，所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()()00f x f >=，即()e 101x x x -><<.所以131e 13->，即a b <.设()()()ln 101g x x x x =+-<<，则()11011x g x x x-'=-=<++，所以()g x 在()0,1上单调递减，所以()()00g x g <=，即()()ln 101x x x +<<<.所以11ln 133⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即c a <.所以c<a，()()e 10x x g x x --=>，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出a 、12的大小，12e -、23的大小，利用不等式的基本性质可得出12e -、12的大小关系，由此可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】令()ln 1f x x x =--，其中1x >，则()1110x f x x x-'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故当1x >时，()()10f x f >=，则ln 1x x <-，所以331ln1222a =<-=，因为02<<，则121e2c -==>，当0x >时，证明e 1x x >+，令()e 1x g x x =--，其中0x >，则()e 10x g x '=->，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数，故当0x >时，()()00g x g >=，所以当0x >时，e 1x x >+，则1213122e >+=，所以122e 3-<，所以12312ln e 223-<<<，因此a c b <<.故选：D.7．A 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数()()21cos 1,0,2f x x x x ∞=+-∈+,利用导数可得b a >,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a>1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ=当114sin cos 44+142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos 4ϕ==1cos sin 4ϕ==故1cos 4=11sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+，241sin 10.250.2544sin 1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A.[方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．8．B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 11f x x =+,()()ln 121g x x =+，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系.【详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()2121x f x x -='=+，由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>()1x >+，()0f x ¢>，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011>，即a c >；令()()ln 121g x x =+，则()00g =，()212212x g x x -=+'，由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021<，即b <c ；综上，b<c<a ，故选：B.[方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,f f b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,g g a c =∴综上，b<c<a ，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.9．B【分析】通过构造()e 1,01x m x x x =--≤≤，()()ln 1,01n x x x x =+-≤≤，()sin ,01p x x x x =-≤≤三个函数，将三个数与12进行比较，得到a b ＞，a c ＞；再通过构造()()ln 1sin f x x x =+-，π06x <<，通过二次求导的方法比较b 和c 的大小即可得到答案.【详解】先比较a 和b 的大小：构造()e 1,01x m x x x =--≤≤，则()e 10x m x '=-≥对01x ≤≤恒成立，则()m x 在[]0,1单调递增，此时()()e 100x m x x m =--≥=，当且仅当0x =时取等，所以111022m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，则121a =>；构造()()ln 1,01n x x x x =+-≤≤，则()11011x n x x x -'=-=≤++对01x ≤≤恒成立，则()n x 在[]0,1单调递减，此时()()()ln 100n x x x n =+-≤=，当且仅当0x =时取等，所以131ln 0222n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，则31ln 22b =<；构造()sin ,01p x x x x =-≤≤，则()cos 10p x x '=-≤对01x ≤≤恒成立，则()p x 在[]0,1单调递减，此时()()00p x p ≤=，当且仅当0x =时取等，所以111sin 0222p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，则11sin 22c =<；则a b ＞，a c ＞；下面比较b 和c 的大小：设()()ln 1sin f x x x =+-，π06x <<，()11cos cos cos 11x x x f x x x x--'=-=++，设()1cos cos g x x x x =--，π06x <<，()()()sin cos sin 1sin cos g x x x x x x x x =--=+-'，易知()g x '在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()11062ππ62g x g '⎛⎫⎛⎫<=+- ⎪ ⎪⎭'⎝⎭⎝，所以()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()()00g x g <=，即()0f x '<在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，则()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，由1π0,26⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1002f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即31ln sin 22<，则b c <.综上b<c<a ，故选：B【点睛】方法点睛：本题考查通过导数的综合运用.比大小问题要熟悉各类常见的放缩，找出结构的相同之处，通过构造函数，运用导数这一工具，对数据进行大小的比较.10．D【分析】先利用导数证明当π(0,)2x ∈时，tan sin x x x >>，再分别利用作商，作差比较法可判断a ，b ，c 大小.【详解】先来证明当π(0,)2x ∈时，tan sin x x x >>.令()tan f x x x =-，π(0,)2x ∈，则()221cos 0cos x f x x-'=>，所以函数()f x 在π(0,)2上单调递增，可得()()00f x f >=，即得tan x x >；令()sin g x x x =-，π(0,)2x ∈，则()1cos 0g x x '=->，所以函数()g x 在π(0,2上单调递增，可得()()00g x g >=，即得sin x x >；所以当π(0,)2x ∈时，tan sin x x x >>.因为,0,0a b c >>>，由13sin133tan 13cos 3c b ==，因为1π(0,)32∈，所以11tan 33>，则13tan 13>，所以c b >，又171cos 183a b -=-2171(12sin 186=--2211112sin 2()0618618=-<⨯-=，所以a b <，所以c b a >>.故选：D.11．D【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定,,a b c 的大小关系.【详解】令()e 1x f x x =--，则()e 1x f x '=-，0x >，有()0f x ¢>.故函数()f x 在()0,∞+单调递增，故()()0.600f f >=，即0.6e 10.6->，所以0.6e 1.6>，即b a >，令()ln 1g x x x =+-，则()111x g x x x-'=-=，1x >，有()0g x '<.故函数()g x 在()1,+∞单调递减，故()()1.610g g <=，即ln1.61 1.60+-<，所以ln1.61 1.6+<，即a c >.综上：b a c >>.故选：D12．B【分析】根据题意，由π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2cos 12sin ,x x x x <>-，然后构造函数求导，即可判断.【详解】对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-<，即函数sin y x x =-在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，且0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <；当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2cos 12x x x ϕ=-+，则()sin x x x ϕ'=-+，且当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，sin x x <，则()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，则()()00ϕϕ>=x ，即2cos 12x x >-，先考虑函数()()sin ln 1f x x x =-+，[]01x ∈，，则()()()()()()()2221121211cos 101212121x x x x x x x f x x x x x x '+-+---+=->--==>++++.故()10010f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，从而b c >.再考虑函数()()21ln 1x g x x x -=-+，[)1,x ∞∈+，则()()()()()()22222141140111x x x g x x x x x x x '+--=-==≥+++.故()111010g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11211111210ln ln 011101021110⎛⎫- ⎪⎝⎭-=->+，故c a >.综上，b c a >>，故选：B.。

高考数学复习考点题型专题讲解38 构造函数比较大小

高考数学复习考点题型专题讲解专题38 构造函数比较大小最近几年构造函数比较大小已成为高考的热点，而且多以选择压轴题的形式出现，小巧而灵活，难度较大.类型一构造具体函数比较实数的大小一要注意实数的形式，二要分析实数间的关系才能恰当构造函数，利用其单调性比较大小.例1 (1)(2022·湖北七市调研)已知a＝e－0.02，b＝0.01，c＝ln 1.01，则( )A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a(2)(2022·苏州模拟)已知x＝2，y＝e 1e，z＝π1π，则x，y，z的大小关系为( )A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x 答案(1)C (2)D解析(1)由指数函数的性质得：e－0.02>e－12＝1e>13>0.01，设f(x)＝e x－1－x，则f′(x)＝e x－1>0在x>0时恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)是连续函数，因此f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(0.01)>f(0)，即e0.01－1－0.01>0，即e0.01>1.01，所以0.01>ln 1.01，所以a>b>c.故选C.(2)由x＝2，y＝e 1e，z＝π1π，得ln x＝12ln 2，ln y＝1eln e，ln z＝1πln π，令f(x)＝1xln x(x>0)，则f′(x)＝1－ln xx2(x>0)，当0<x<e时，f′(x)>0，当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，e)上递增，在[e，＋∞)上递减，又因ln x＝12ln 2＝14ln 4，e<π<4，且e，π，4∈[e，＋∞)，所以f(e)>f(π)>f(4)，即ln y>ln z>ln x，所以y>z>x.故选D.训练1 (1)已知a＝e－1，b＝3e4－34，c＝4－12ln 2，则( )A.b>c>aB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b(2)已知a＝e0.1－1，b＝sin 0.1，c＝ln 1.1，则( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a答案(1)C (2)D解析(1)令f(x)＝e x－1x，x>0，则a＝e－1＝f(1)，b＝e 43－34＝f⎝⎛⎭⎪⎫43，c＝4－1ln 4＝e ln 4－1ln 4＝f(ln 4)，又f′(x)＝e x＋1x2>0，所以f(x)在(0，＋∞)递增，又43≈1.33，ln 4＝2ln 2≈1.38，∴1<43<ln 4，∴a<b<c.故选C.(2)令f(x)＝e x－1－sin x，∴f′(x)＝e x－cos x，当x>0时，e x>1，∴e x－cos x>0，∴f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(0.1)>f(0)，即e0.1－1－sin 0.1>0，∴e 0.1－1>sin 0.1，即a >b ，令g (x )＝ln(x ＋1)－sin x ，∴g ′(x )＝1x ＋1－cos x ＝1－（x ＋1）cos x x ＋1＝1－x cos x －cos x x ＋1，令h (x )＝1－x cos x －cos x ，∴h ′(x )＝(x ＋1)sin x －cos x令φ(x )＝(x ＋1)sin x －cos x ，∴φ′(x )＝2sin x ＋(x ＋1)cos x ，当0<x <π6时，φ′(x )>0， ∴h ′(x )单调递增，∴h ′(x )<h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋1sin π6－cos π6＝π＋6（1－3）12<0， ∴h (x )在x ∈(0，0.1)上单调递减，故h (x )<h (0)＝0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在x ∈(0，0.1)上单调递减，∴g (0.1)<g (0)＝0，即ln 1.1－sin 0.1<0，∴c <b .综上：c <b <a .故选D.类型二构造具体函数比较代数式的大小1.要注意分析代数式的结构形式及相互联系，并注意分析有关量的范围，恰当构造函数.2.有些题目需要综合运用多种方法(如比差法等)解决.例2 (1)若a ，b ，c ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足a ＝cos a ，b ＝sin(cos b )，c ＝cos(sin c )，则( ) A.a b ，且ln a ·ln b >0，则下列不等式一定成立的是( )A.log a b <0B.a －1b >b －1aC.2ab ＋1<2a ＋bD.a b －1cos c ，构造g (x )＝x －cos x ，g ′(x )＝1＋sin x >0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， g (b )<g (a )＝0<g (c )，所以c >a >b .故选D.(2)因为a >b >0，y ＝ln x 为单调递增函数，故ln a >ln b ，由于ln a ·ln b >0，故ln a >ln b >0，或ln b <ln a <0，当ln a >ln b >0时，a >b >1，此时log a b >0；a －1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎪⎫1－1ab >0，故a －1b >b －1a；ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，2ab＋1>2a＋b；当ln b<ln a<0时，0<b<a<1，此时log a b>0；a－1b－⎝⎛⎭⎪⎫b－1a＝(a－b)⎝⎛⎭⎪⎫1－1ab<0，故a－1b<b－1 a ；ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，2ab＋1>2a＋b；故ABC均错误；D选项，a b－1b>1，还是0<b<a<1，均有(a－1)(b－1)>0，所以ln aa－1<ln bb－1，故只需证ln aa－1<ln bb－1即可，设f(x)＝ln xx－1(x>0且x≠1)，则f′(x)＝1－1x－ln x （x－1）2，令g(x)＝1－1x－ln x(x>0且x≠1)，则g′(x)＝1x2－1x＝1－xx2，当x∈(0，1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(1)＝0，所以f′(x)<0在x>0且x≠1上恒成立，故f(x)＝ln xx－1在(0，1)和(1，＋∞)分别单调递减，因为a>b，所以ln aa－1<ln bb－1，结论得证，D正确.训练2 (1)(2022·梅州质检)已知a，b，c∈(0，1)，且a－ln a＋1＝e，b－ln b＋2＝e2，c－ln c＋3＝e3，其中e是自然对数的底数，则( )A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c(2)(多选)(2022·八省联考)已知a，b∈R，满足e a＋e b＝1，则下列结论正确的是( )A.a＋b≤－2ln 2B.e a＋b<0C.ab≥1D.2(e2a＋e2b)≥1答案(1)D (2)ABD解析(1)由条件a－ln a＝e－1＝e1－1，b－ln b＝e2－2，c－ln c＝e3－3，可知a－ln ab>c，故选D.(2)e a＋e b＝1≥2e a e b，即e a＋b2≤12，所以a＋b2≤－ln 2，故a＋b≤－2ln 2，A选项正确；而0<e a，e b<1，∴a，b<0，e a＋b＝1－e b＋b，令f(x)＝1＋x－e x，f′(x)＝1－e x，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(b)<f(0)＝0，即1－e b＋b<0，B选项正确；当a＝b＝－ln 2时，ab＝ln22<1，C选项错误；2(e 2a ＋e 2b )≥(e a ＋e b )2＝1，D 选项正确，故选ABD.类型三构造抽象函数比较大小此类问题大多给出了关于某个抽象函数的不等式，要结合此不等式的特点及导数的运算法则，才能准确构造出含有抽象函数的函数，然后利用此函数的性质比较大小.例3(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且(x 2＋x )f ′(x )<(3x ＋2)f (x )恒成立，则必有( )A.f (3)>18f (1)B.f (2)<6f (1)C.3f (1)≥16f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12D.f (3)<3f (2) 答案 BD解析题中条件不等式可化为(x 3＋x 2)f ′(x )－(3x 2＋2x )f (x )<0，令h (x )＝f （x ）x 3＋x 2，则h ′(x )＝（x 3＋x 2）f ′（x ）－f （x ）（3x 2＋2x ）（x 3＋x 2）2<0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减.对A ，h (3)<h (1)，f （3）27＋9<f （1）2，所以2f (3)<36f (1)，即f (3)<18f (1)，不正确；对B ，h (2)<h (1)，f （2）8＋4<f （1）2，即f (2)<6f (1)，正确；对C ，h (1)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f （1）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1218＋14，所以38f (1)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即3f (1)<16f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，不正确；对D ，h (3)<h (2)，f （3）27＋9<f （2）8＋4，即f (3)<3f (2)，正确.训练3 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且2－2f （x ）x <f ′(x )，则f （1）－f （2）3与f (2)－1的大小关系为( )A.无法确定B.f （1）－f （2）3＝f (2)－1C.f （1）－f （2）3>f (2)－1D.f （1）－f （2）3<f (2)－1答案 D解析由题意得x ·f ′(x )＋2f (x )－2>0，令F (x )＝x 2·f (x )－x 2，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x＝x (2f (x )＋x ·f ′(x )－2)>0，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以F (2)>F (1)，所以4f (2)－4>f (1)－1，所以3f (2)－3>f (1)－f (2)，∴f (2)－1>f （1）－f （2）3，故选D.一、基本技能练1.已知函数f (x )的导函数f ′(x )满足x (1＋ln x )f ′(x )<f (x )对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是( )A.2f (1)>f (e)B.e 2f (1)>f (e)C.2f (1)<f (e)D.e f (1)<f (e)答案 A解析 ∵x (1＋ln x )f ′(x )－f (x )<0，∴(1＋ln x )f ′(x )－f （x ）x <0，令F (x )＝f （x ）1＋ln x ，则F ′(x )＝（1＋ln x ）f ′（x ）－1x f （x ）（1＋ln x ）2<0⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1e ，∴F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递减，F (1)>F (e)，∴f （1）1＋ln 1>f （e ）1＋ln e ，即f (1)>f （e ）2，2f (1)>f (e).故选A.2.(2022·中原名校联考)已知a ＝2ln 7，b ＝3ln 6，c ＝4ln 5，则() A.b <c <a B.a 2ln 7＝a ，对b ，c 取对数可得ln b ＝ln 3·ln 6，ln c ＝ln 4·ln 5，b 与c 的大小，即ln 6·ln 3与ln 5·ln 4的大小，即ln 6ln 5与ln 4ln 3的大小.令f (x )＝ln （x ＋1）ln x(x >1)，则f ′(x )＝1x ＋1ln x －1x ln （x ＋1）（ln x ）2＝1x （x ＋1）[x ln x －（x ＋1）ln （x ＋1）]ln 2x，再令g (x )＝x ln x (x >1)，显然g (x )单调递增，且g (1)＝0，∴g (x )>0(x >1)，∴g (x )<g (x ＋1)，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴ln 6ln 5<ln 4ln 3，b <c ，同理可得a 0)，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，故方程ln a ＝a －1的解为a ＝1；令h (x )＝x ln x －1，h ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，又h(1)＝－1<0，而h(b)＝b ln b－1＝0，故b>1；令g(x)＝x e x－1，g′(x)＝e x＋x e x>0(x>0)，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝e－1>0，g(0)＝－1<0，而c e c－1＝0，∴0<c<1.故选C.4.(2022·淮安模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f′(x)，若对任意x∈[0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0恒成立，则下列结论正确的是( )A.f(0)<0B.9f(－3)<f(1)C.4f(2)>f(－1)D.f(1)<f(2)答案 C解析令x＝0，则2f(0)＋0>0，∴f(0)>0，则A错误；令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，当x>0时，由2f(x)＋xf′(x)>0，∴g′(x)>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又因为偶函数f(x)的定义域为R，∴g(x)＝x2f(x)为偶函数，∴g(－3)＝g(3)>g(1)，即9f(－3)>f(1)，故B错误；∴g(2)>g(－1)，4f(2)>f(－1)，故C正确；由题意，不妨假设f(x)＝c>0(c为常数)符合题意，此时f(1)＝f(2)＝c，故D错误.5.已知a＝312，b＝(1＋e)1e，c＝413，则( )A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c 答案 D解析a＝(1＋2)12，b＝(1＋e)1e，c＝(1＋3)13，设f(x)＝ln（x＋1）x，f′(x)＝xx＋1－ln（x＋1）x2.令g(x)＝x1＋x－ln(1＋x)，g′(x)＝－x（1＋x）2<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又2<e<3，所以f(2)>f(e)>f(3)，即ln（1＋2）2>ln（1＋e）e>ln（1＋3）3，亦是ln(1＋2)12>ln(1＋e)1e>ln(1＋3)13，即a>b>c.6.已知a＝4＋25ln 2，b＝2＋21.2，c＝22.1，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b答案 D解析先比较b和c，因为b－c＝2＋21.2－22.1＝2＋2·20.2－22·20.1＝2[1－2·20.1＋(20.1)2]＝2(1－20.1)2>0，所以b >c ；再比较a 和c ，c －a ＝22.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋25 ln 2＝4×20.1－4－ln 20.4＝4×20.1－4－4ln 20.1＝4(20.1－1－ln 20.1)，令f (x )＝x －1－ln x (x >1)，f ′(x )＝1－1x >0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，因为20.1>1，所以f (20.1)>f (1)，即20.1－1－ln 20.1>0，所以4(20.1－1－ln 20.1)>0.所以c >a .综上，a <c <b .7.已知a ，b ，c ∈(0，1)，且a －4＝ln a 4，b －5＝ln b 5，c －6＝ln c 6，则() A.a <b <c B.a <c <bC.b <c <aD.c b>c.故选D.8.已知a＝2ln 3－2，b＝ln 5－5＋1，c＝3ln 2－22＋1，则a，b，c的关系是( )A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a答案 A解析a＝ln 9－9＋1，b＝ln 5－5＋1，c＝ln 8－8＋1，令g(x)＝ln x－x＋1，g′(x)＝1x－12x＝2－x2x<0在(4，＋∞)恒成立，所以g(x)在(4，＋∞)上单调递减，所以g(5)＝b>g(8)＝c>g(9)＝a.故选A.9.若y＝f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＋f(x)>0恒成立，对于任意正数a，b，若a<b，则( )A.af(b)<bf(a)B.bf(a)<af(b)C.af(a)<bf(b)D.bf(b)<af(b)答案 C解析令g(x)＝xf(x)，∵xf′(x)＋f(x)>0，∴g′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)>0，即g(x)在R上递增，∵a，b∈(0，＋∞)且a<b，∴g(a)<g(b)，即af(a)<bf(b)，选C.10.(2022·连云港一模)已知a>b>0，且a 1a＝b1b，则( )A.0<b<1eB.0<b<1C.1<b<eD.b>e 答案 C解析因为a 1a＝b1b>0，a>b>0，所以ln a 1a＝ln b1b，即ln aa＝ln bb.记f(x)＝ln xx，则f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)>0，解得0<x<e，令f′(x)<0，得x>e，所以函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减. 因为a>b>0，则f(a)＝f(b)时，有b<e，又因为当x>e时，f(x)＝ln xx>0，所以f(b)＝f(a)>0，因为f(1)＝0，所以f(b)>f(1)，所以b>1. 综上，1<b<e.11.已知a＝ln π，b＝πe，c＝π8ln 8，则( )A.b <a <cB.a 0，f (x )单调递增，当x ∈(e，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 因为e<π<2<e ，所以f (e)<f (π)<f (2)，所以2ln e e <2ln ππ<2ln 22＝2ln 83<2ln 88，所以ln e e <ln ππ<ln 88，所以ln e e ·π<ln ππ·π<ln 88·π，所以πe <ln π<π8ln 8，即b <a <c . 12.已知a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，＋∞，且－2a ＝e 2ln a ，－3b ＝e 3ln b ，则( ) A.1e <a <b <1 B.1e<b <a <1 C.1e 2<a <b <1e D.b <1e<a <1 答案 A解析构造函数f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝1＋ln x ，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增.∵－2a ＝e 2ln a ，－3b＝e 3ln b ， ∴－2e －2＝e －2ln e －2＝a ln a ，－3e －3＝e －3ln e －3＝b ln b ，即f (e －2)＝f (a )，f (e －3)＝f (b )，∵e －2，e －3∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ， ∴f (e －2)<f (e －3)，即f (a )<f (b )，又∵a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，＋∞， ∴a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞， ∴1e<a <b ，又∵当x ∈(0，1)时，f (x )<0，∴1e<a <b <1. 二、创新拓展练13.(2022·厦门质检)已知a ＝log b c ，b ＝log c a ，则( )A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.c <b <a答案 B解析 a ＝log b c ＝ln c ln b ，b ＝log c a ＝ln a ln c，则ln a ，ln b ，ln c 同号， ab ＝ln a ln b ，则ln b ＝ln a ab，b ln b ＝b ·ln a ab ＝ln a a，作出f (x )＝x ln x 与g (x )＝ln x x 的图象如下，∴0b 1⇒c >b 由b ＝log c a ⇒c b ＝a >c 1⇒a >c ⇒ a >c >b ，故选B.14.已知a ＝ln 22，b ＝1e ，c ＝2ln 39，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a答案 C解析因为a ＝ln 22，b ＝1e ＝ln e e ，c ＝2ln 39＝ln 99，构造函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝e 时，f (x )取最大值.a ＝ln 22＝2ln 24＝ln 44＝f (4)，b ＝f (e)，c ＝f (9)，f (e)>f (4)>f (9)，即b >a >c .故选C.15.设a＝12×106＋1102，b＝e0.01－1，c＝ln 1.02，则( )A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a1时，ln x>2（x－1）x＋1，c＝ln 1.02>2（1.02－1）1.02＋1＝2101，所以a<1100＋12×104<b<2199<2101<c.故选A.16.(多选)(2022·鄂东南三校适应性训练)下列大小比较中，正确的是( )A.3e<e3<πeB.e3<πe<eπC.πe<eπ<3πD.π3<eπ<3π答案ABC解析对于选项D，构造函数f(x)＝ln xx，所以f′(x)＝1－ln xx2，所以当0<x<e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.所以f(x)≤f(e)＝1e(当且仅当x＝e时取等号)，故ln π3>π，故π3>eπ，所以选项D错误；对于选项A，3e<πe，f(3)<f(e)，∴ln 33<ln ee，∴3e<e3，在f (x )≤1e 中，令x ＝e 2π，则ln e 2πe 2π<1e ，化简得ln π>2－e π，故eln π>e ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e π>2.7×⎝⎛⎭⎪⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，所以eln π>3，∴ln πe >ln e 3，∴πe >e 3.所以3e <e 3<πe ，所以选项A 正确；对于选项B ，在f (x )≤1e 中，令x ＝π，则ln ππ<ln e e，∴πe <e π，所以e 3<πe <e π，所以选项B 正确；对于选项C ，e π<3π，所以πe <e π<3π，所以选项C 正确.故选ABC.17.(多选)若实数t ≥2，则下列不等式一定成立的是( )A.(t ＋3)ln(t ＋2)>(t ＋2)ln(t ＋3)B.(t ＋1)t ＋2>(t ＋2)t ＋1C.1＋1t>log t (t ＋1)D.log t ＋1(t ＋2)>log t ＋2(t ＋3) 答案 ABD解析构造g (x )＝ln x x，则g ′(x )＝1－ln x x 2， g (x )在(e ，＋∞)单调递减，在(0，e)单调递增，因为t ≥2，t ＋3>t ＋2>e ，所以ln （t ＋3）t ＋3<ln （t ＋2）t ＋2，所以(t ＋2)ln(t ＋3)<(t ＋3)ln(t ＋2)，A 正确；同理ln（t＋1）t＋1>ln（t＋2）t＋2，所以(t＋2)ln(t＋1)>(t＋1)ln(t＋2)，B正确；令g(x)＝ln（x＋1）ln x(x≥3)，则g′(x)＝x ln x－（x＋1）ln（x＋1）x（x＋1）ln2x<0.故g(x)在[3，＋∞)上单调递减，且t＋1<t＋2. 所以g(t＋1)>g(t＋2)，所以ln（t＋2）ln（t＋1）>ln（t＋3）ln（t＋2），故log t＋1(t＋2)>log t＋2(t＋3)，D正确；对于C，当t＝2时，1＋12－log23＝32－log23＝log28－log29<0.故C错误.故选ABD.18.下列不等关系中正确的是( )A.ln 2＋ln 3>2ln 52B.13<ln 3－ln 2<12C.ln 2·ln 3>1D.ln 3ln 2<32答案 B解析对于A，ln 2＋ln 3－2ln 52＝ln 6－ln254＝ln2425，∵函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，∴ln 2425<ln 1＝0，则ln 2＋ln 3<2ln52，A不正确.对于B，ln 3－ln 2＝ln 32，因为e<278＝⎝⎛⎭⎪⎫323，e>94＝⎝⎛⎭⎪⎫322，即e13<32<e12，所以13<ln 3－ln 2<12，B 正确. 对于C ，易知，0<ln 2<ln 3，ln 2·ln 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 322＝(ln 6)2<(ln e)2＝1，C 不正确.对于D ，ln 3ln 2＝log 23>log 28＝32，D 不正确.。

幂、指、对数的大小比较-高考数学复习

B.a<c0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<cm>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a

完整版)高考数学函数比大小题型总结

完整版)高考数学函数比大小题型总结1.已知a=log2π，b=log1π，c=π-2，则a,b,c的大小关系为c<b<a。

2.设a=0.6，b=0.6，c=1.5×0.6^(1.5/0.6)，则a,b,c的大小关系是a<c<b。

3.2，3，log2 5三个数中最大数的是log2 5.4.设a=log3 7，b=2，c=0.8，则a,c<b的大小关系为c<a<b。

5.已知a=2^(1/3)，b=(1/2)^(-1.13)，c=2log5 2，则a,b,c的大小关系为c<a<b。

6.已知a=log3，b=(3/4)，c=log1/245，则a,b,c的大小关系为c>a>b。

7.已知a=log2e，b=ln2，c=log1/2，则a,b,c的大小关系为c>a>b。

8.设a=log3 6，b=log5 10，c=log7 14，则c>b>a的大小关系为c>b>a。

9.设a=log1/3 124，b=log1/23，c=log3，则c>b>a的大小关系为c>b>a。

10.已知a=2，b=3，c=25，则a<b<c的大小关系为a<b<c。

11.已知a=2，b=4，c=25，则a<b<c的大小关系为a<b<c。

12.若a>b>c>0，则loga c<logb c的大小关系为loga c<logb c。

13.若a>b>1>c>0，则ac<bc的大小关系为ac<bc。

14.已知定义在实数集上的函数 $f(x)=2|x-m|-1(m\in\mathbb{R})$ 是偶函数，记 $a=f(\log_{0.5}3)。

b=f(\log_25)。

c=f(2m)$，则 $a,b,c$ 的大小关系为？15.设 $f(x)=\ln x$，且 $\alpha<\beta$，若 $p=f(\alpha\beta)。

比较大小的方法高中数学

比较大小的方法高中数学
比较大小的方法高中数学有八种：
一、作商比较法。

要证a>b(b>0),则只要证a/b>1,这就是作商比较法。

二、作差比较法。

要证a>b，则只要证a-b>0.这就是“作差比较法”。

三、导数方法。

利用导数来研究函数的单调性可以比较数的大小。

四、图象法。

考查数形结合思想，合理使用中间值。

五、寻找中间变量（桥梁）法。

有些题型，我们常用1或2（或其它数~要因地制宜：具体情况具体分析）作为中间变量（联系的桥梁）来进行比较。

六、均值不等式法。

均值不等式法即利用不等式：
a+b≥2√ab
七、特殊值法。

此种题型，在满足题意的条件下，随意地取一组特殊值，以方便我们比较大小。

八、“极限”方法。

题型05 4类比较函数值大小关系解题技巧(解析版)

题型05 4类比较函数值大小关系解题技巧（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧例1．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b<<【法一】分析法假设待证法比较大小→构造函数假设b a <成立，即01.09.0ln 1e 9.091e1.01.01.0<+⇔<⇔<令9.0=x ，则等价证明：0)1(ln <-+x x ，即证：1ln -<x x （原式得证，略）假设c a <成立，即09.0ln e 1.09.0ln e1.01.01.0<+⇔-<【高考数学】答题技巧与模板构建令1.0=x ，则等价证明：0)1ln(e <-+x x x，)1,0(∈x 证明略所以函数()e ln(1)x g x x x =+-在)12,0(-∈x 单调递增，所以)0()1.0(g g >，即：09.0ln e 1.01.0>+，所以假设c a <不成立，即c a >，综上所述：b a c <<，故选：C【法二】构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.1．（2023·河北·统考模拟预测）设ln102ln100a =-，151b =，tan 0.02c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】D【分析】依题意1ln 150a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，151b =，1tan 50c =，令()()tan ln 1f x x x =-+，()0,1x ∈利用导数说明函数的单调性，即可判断a 、c ，再令()ln 1h x x x =--+，()0,1x ∈，利用导数说明函数的单调性，即可判断a 、b ，即可得解.【详解】因为102511ln102ln100lnln ln 11005050a ⎛⎫=-===+ ⎪⎝⎭，151b =，1tan 0.02tan 50c ==，令()()tan ln 1f x x x =-+，()0,1x ∈，则()()222222cos sin 1111cos cos 1cos 11cos x x x xf x x x x x x x++-'=-=-=+++，令()21cos m x x x =+-，则()12cos sin 1sin 20m x x x x '=+=+≥，所以()m x 在()0,1上单调递增，()()00m x m >=，所以()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()()00f x f >=，则()()0.02tan 0.02ln 10.020f =-+>，即1tan 0.02ln 150⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即c a >，令()ln 1h x x x =--+，()0,1x ∈，则()1110x h x x x-'=-+=<，所以()h x 在()0,1上单调递减，则()()10h x h >=，则505050ln 10515151h ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，即50501ln 1515151->-=，即511ln 5051>，所以a b >，综上可得c a b >>.故选：D【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数()()tan ln 1f x x x =-+，()0,1x ∈，()ln 1h x x x =--+，()0,1x ∈，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数值，从而判断函数值的正负，达到比较大小的目的.2．（2023·福建福州·模拟预测）1,ln1.1,tan 0.111a b c ===，则（）A ．c<a=，即可判断a 、b 的大小关系；构造函数()()ln 1h x x x =+-判断ln1.1b =与0.1的大小，构造函数()tan m x x x =-判断0.1与tan0.1c =大小，从而可判断b 、c 大小．【详解】令()()ln 11x f x x x =+-+，()1,x ∈-+∞，则()()()2211111x f x x x x '=-=+++，所以当0x >时()0f x '>，即()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()0.100f f >=，即()0.1ln 0.1100.11+->+，即1ln1.111>，即b a >，令()()ln 1h x x x =+-，则()1111xh x x x -'=-=++，在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 为减函数，∴()()00h x h <=，即()ln 1x x +<；令()tan m x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2110cos m x x '=->，故()m x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为减函数，∴()()00m x m <=，即tan x x <；∴()πln 1tan ,0,2x x x x ⎛⎫+<<∈ ⎪⎝⎭，令0.1x =，则()ln 0.110.1tan0.1+<<，即0.1b c <<，∴b c <，所以a b c <<．故选：D ．【点睛】结论点睛：常用的不等式：πsin tan 02x x x x ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭，()()ln 10x x x +<>，()2ln 10x x x x x ≤-≤->，e 1x x ≥+，()e e 0x x x x ≥>>，()2e 0x x x >>.3．（2023·福建·二模）设1142112e 1,e 1,sin tan 44a b c ⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A【分析】作差法判断a 、b 的大小，构造函数()()2e 1sin tan xf x x x =---, 利用导数的单调性判断a 、c 的大小.【详解】21111124242e 12e 1e 2e 1e 10,b a ⎛⎫⎛⎫-=---=-⋅+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a ∴>，又14112e 1sin tan 44a c ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，所以令()()2e 1sin tan xf x x x =---，π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则21()2e cos cos xf x x x'=⋅--，令21()2e cos cos xg x x x=⋅--，则32sin ()2e sin cos xxg x x x'=⋅+-，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,2e 2,sin 0x x ⋅>>,33ππsin sin ,cos cos 66x x <> ，所以33π2sin2sin 62πcos cos 6x x <=<，故()0g x '>,故()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，又∵(0)0g =，∴当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()0f x g x '=>, 故()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故1()(0)04f f >=,即a c >，故b a c >>.故选:A.【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x 就有了函数的形式，如在本题中14112e 1sin tan 44a c ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，将14视为变量可以构造函数()()2e 1sin tan x f x x x =---.技法02 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧知识迁移1e +≥x x ，x x e e ≥，1ln 11-≤≤-x x x ，eln x x ≤例2．已知 991001101,,ln100100a b e c -===, 则 ,,a b c 的大小关系为 ( )A. a b c << B. a c b << C. c a b <<D. b a c<< 991009911100100e->-+=1011011ln1100100100c =<-=【答案】 C1．（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）已知【答案】D【分析】构造函数()ln(1),0f x x x x =+->，利用导函数讨论其单调性和最值，可得ln(1)x x +<，从而可得1ln(1e)1e +<+， 11e 211e e e+<<，即可比较,a b 的大小关系，再利用作差法比较,b c 大小关系.【详解】令()ln(1),0f x x x x =+->，则1()1011x f x x x-'=-=<++，所以函数()f x 在()0,∞+单调递减，且(0)0f =，所以()0f x <，即ln(1)x x +<，令1e x =，则有11ln(1e e+<，所以11ln(1ln e 1e e++<+，即1ln(1e)1e +<+，又由11ln(1e e +<，可得11e211e e e+<<，所以()ln 1e +<a b <，又因为2224e 4ee=e(1)099c b -=-->，所以b c <，综上可得c b a >>，故选：D.【答案】C【分析】构造()()e 101xf x x x =--<<，利用导数判断其单调性可比较,a b 的大小关系.构造()()()ln 101g x x x x =+-<<，利用导数判断其单调性可比较,a c 的大小关系.【详解】13a =，13e 1b =-，41ln ln 133c ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，设()()e 101xf x x x =--<<，所以()e 10xf x '=->，所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()()00f x f >=，即()e 101xx x -><<.所以131e 13->，即a b <.设()()()ln 101g x x x x =+-<<，则()11011x g x x x-'=-=<++，所以()g x 在()0,1上单调递减，所以()()00g x g <=，即()()ln 101x x x +<<<.所以11ln 133⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即c a <.所以c<a，()()e 10xx g x x --=>，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出a 、12的大小，12e -、23的大小，利用不等式的基本性质可得出12e -、12的大小关系，由此可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】令()ln 1f x x x =--，其中1x >，则()1110x f x x x-'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故当1x >时，()()10f x f >=，则ln 1x x <-，所以331ln 1222a =<-=，因为02<<，则121e2c -==>，当0x >时，证明e 1x x >+，令()e 1xg x x =--，其中0x >，则()e 10x g x '=->，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数，故当0x >时，()()00g x g >=，所以当0x >时，e 1xx >+，则1213122e >+=，所以122e 3-<，所以12312ln e 223-<<<，因此a c b <<.故选：D.技法03 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧知识迁移例3．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设0.10.1e a =，19b =，ln 0.9c =-则（）A ．cb a <<B ．ab c <<C ．ba c <<D ．bc a <<泰勒公式法：因为105.121.01.0121.0=++≈e ，所以b e ==<≈11111.0911105.01.01.0，所以ba <因为ac <=-≈+-=+-≈+==-=105.0006.091218711621913)91(2)91(91)191ln(910ln 9.0ln 32所以ac <综上所述：b a c <<故选：C1．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a>>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．a c b>>泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+，241sin 10.250.2544sin 1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A.2．（2021·全国·统考高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（）A ．a b c<<B ．b<c<a C ．b a c <<D ．c<a<b[方法一]：由泰勒公式, 可知()()23123211ln 1,2311111.2816x x x x x x x x +≈-++-≈-+将 0.01,0.02,0.04x x x ===, 分别相应代入估算, 得 0.01990,0.019802,0.019804a b c ≈≈≈.由此可知 b c a <<.[方法二]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()21f x x ='=+，由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x+-+>()1x >+，()0f x '>，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011>，即a c >；令()()ln 121g x x =+，则()00g =，()212g x x ==+'，由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021<，即b <c ；综上，b<c<a ，故选：B.[方法三]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,f f b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,g g a c=∴综上，b<c<a ，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.3．（2023春·湖北·高三统考期末）已知1a -，3ln 2b =，1sin 2c =，则（）A ．b a c<<B ．b c a <<C ．a c b<<D ．c b a<<【答案】B 【分析】通过构造()e 1,01x m x x x =--≤≤，()()ln 1,01n x x x x =+-≤≤，()sin ,01p x x x x =-≤≤三个函数，将三个数与12进行比较，得到a b ＞，a c ＞；再通过构造()()ln 1sin f x x x =+-，π06x <<，通过二次求导的方法比较b 和c 的大小即可得到答案.【详解】先比较a 和b 的大小：构造()e 1,01x m x x x =--≤≤，则()e 10x m x '=-≥对01x ≤≤恒成立，则()m x 在[]0,1单调递增，此时()()e 100x m x x m =--≥=，当且仅当0x =时取等，所以111022m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，则121a =>；构造()()ln 1,01n x x x x =+-≤≤，则()11011x n x x x -'=-=≤++对01x ≤≤恒成立，则()n x 在[]0,1单调递减，此时()()()ln 100n x x x n =+-≤=，当且仅当0x =时取等，所以131ln 0222n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，则31ln 22b =<；构造()sin ,01p x x x x =-≤≤，则()cos 10p x x '=-≤对01x ≤≤恒成立，则()p x 在[]0,1单调递减，此时()()00p x p ≤=，当且仅当0x =时取等，所以111sin 0222p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，则11sin 22c =<；则a b ＞，a c ＞；下面比较b 和c 的大小：设()()ln 1sin f x x x =+-，π06x <<，()11cos cos cos 11x x x f x x x x--'=-=++，设()1cos cos g x x x x =--，π06x <<，()()()sin cos sin 1sin cos g x x x x x x x x =--=+-'，易知()g x '在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()11062ππ6g x g '⎛⎫⎛⎫<=+< ⎪ ⎪⎭'⎝⎭⎝，所以()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()()00g x g <=，即()0f x '<在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，则()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，由1π0,26⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1002f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即31ln sin 22<，则b c <.综上b<c<a ，故选：B【点睛】方法点睛：本题考查通过导数的综合运用.比大小问题要熟悉各类常见的放缩，找出结构的相同之处，通过构造函数，运用导数这一工具，对数据进行大小的比较.技法04 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧知识迁移⎪⎭⎫ ⎝⎛∈<<2π,0,tan sin x x x x )1(1ln >-<x x x x ，)10(1ln <<->x x x x ，)11(21ln >-<x x x x ，)10)(1(21ln <<->x x x x ，)1(23221ln 2>-+->x x x x ，)10(23221ln 2<<-+-<x x x x )1(1)1(2ln >+->x x x x ，)10(1)1(2ln <<+-<x x x x 放缩程度综合)10(1232211)1(2ln 11(21112<<-<-+-<+-<<-<-<-x x x x x x x xx x x x )21(11(211ln 1)1(223221112<<-<-<-<<+-<-+-<-x x x x x x x x x x x x )2(1)1(211ln 1)1(211232212>-<-<-<<+-<-<-+-x x x x x x x x x x xx)1(11e 1<-<<+x x x x ，)1(e 111><+<-x x xx例4-1．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A ．a b c <-<x xx x ，所以a c <<=-<=-=11.018019)109910(21910ln 9.0ln ，即a c <综上所述：b a c <<，故选：C例4-2．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b>>【法一】：不等式放缩一因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ==当114sincos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos 4ϕ==1cos sin 4ϕ==故1cos 4=11sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A【法二】不等式放缩二因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．1．（2023·全国·校联考模拟预测）设a 【答案】D 【分析】先利用导数证明当π(0,)2x ∈时，tan sin x x x >>，再分别利用作商，作差比较法可判断a ，b ，c 大小.【详解】先来证明当π(0,)2x ∈时，tan sin x x x >>.令()tan f x x x =-，π(0,2x ∈，则()221cos 0cos xf x x -'=>，所以函数()f x 在π(0,)2上单调递增，可得()()00f x f >=，即得tan x x >；令()sin g x x x =-，π(0,)2x ∈，则()1cos 0g x x '=->，所以函数()g x 在π(0,2上单调递增，可得()()00g x g >=，即得sin x x >；所以当π(0,2x ∈时，tan sin x x x >>.因为,0,0a b c >>>，由13sin 133tan 13cos 3cb ==，因为1π(0,)32∈，所以11tan 33>，则13tan 13>，所以c b >，又171cos 183a b -=-2171(12sin 186=--2211112sin 2()0618618=-<⨯-=，所以a b <，所以c b a >>.故选：D.2．（2023·云南大理·统考一模）已知 1.6a =，0.6e b =，1ln1.6c =+，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c>>【答案】D【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定,,a b c 的大小关系.【详解】令()e 1x f x x =--，则()e 1x f x '=-，0x >，有()0f x '>.故函数()f x 在()0,∞+单调递增，故()()0.600f f >=，即0.6e 10.6->，所以0.6e 1.6>，即b a >，令()ln 1g x x x =+-，则()111xg x x x -'=-=，1x >，有()0g x '<.故函数()g x 在()1,+∞单调递减，故()()1.610g g <=，即ln1.61 1.60+-<，所以ln1.61 1.6+<，即a c >.综上：b a c >>.故选：D【答案】B 【分析】根据题意，由π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2cos 12sin ,x x x x <>-，然后构造函数求导，即可判断.【详解】对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-<，即函数sin y x x =-在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，且0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <；当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2cos 12x x x ϕ=-+，则()sin x x x ϕ'=-+，且当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，sin x x <，则()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，则()()00ϕϕ>=x ，即2cos 12x x >-，先考虑函数()()sin ln 1f x x x =-+，[]01x ∈，，则()()()()()()()2221121211cos 101212121x x x x x x x f x x x x x x '+-+---+=->--==>++++.故()10010f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，从而b c >.再考虑函数()()21ln 1x g x x x -=-+，[)1,x ∞∈+，则()()()()()()22222141140111x x x g x x x x x x x '+--=-==≥+++.故()111010g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11211111210ln ln 011101021110⎛⎫- ⎪⎝⎭-=->+，故c a >.综上，b c a >>，。

2024高考数学常考题型导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造()xxx f ln =比较大小此函数定义域为()+∞,0，求导()2ln 1x xx f -='，当()e x ,0∈时，()0>'x f ，故()x f 为增函数，当()+∞∈,e x 时，()0<'x f ，故()x f 为减函数，当e x =时，()x f 取得极大值为()ee f 1=，且()()222ln 42ln 244ln 4f f ====，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若1ln 2ln 3,,e 23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】A 【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数()ln xf x x=，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：1ln e ln 2ln 4ln 3,,e e 243a b c =====，设()()2ln 1ln ,x x f x f x x x -'==，则e x >时，()0f x '<，故()f x 在()e,∞+上单调递减，则()()()3e 4f f f >>，即ln e ln 3ln 4e34>>，所以a c b >>．故选：A.【例2】（2023·全国·高三专题练习）设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（）A ．a c b <时,()0f x '<,函数单调递减,当0e x <<时,()0f x '>,函数单调递增,故当e x =时,函数取得最大值()1e ef =,因为()2222e ln 22ln22e e e 22a f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()()4ln2l e n 4e 1,24b f c f =====,2e 42e << ,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,可得()()2e 4e 2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:C【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（）①ln 32<；②ln π<；③15<；④3e ln 2>．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以构造函数()ln x f x x =，然后通过导数计算出函数()ln xf x x=的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数()ln xf x x=的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，e x >时，()0f x '<，所以函数()ln xf x x=在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以当e x =时()f x 取得最大值1e，ln 322ln 2ln 22<⇔⇔，2e <<可得()2ff <，故①正确；lnπ<⇔e <<，可得f f <，故②错误；ln 2ln 4152ln1524<⇔<⇔<<，因为函数()ln xf x x=在()e,+∞上递减，所以()4f f<，故③正确；因为e >，所以(()e f f <，ln ee <1e <，则3e <即3e ln 2<④错误，综上所述，有2个正确.故选：B ．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 55ln a a =，ln 66ln b b =，ln 77ln c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，函数()F x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为765e >>>，所以()()()765f f f <<，因为a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 5ln 5a a =，ln 6ln 6b b =，ln 7ln 7c c=，所以()()()f a f b f c >>，所以a b c >>，故选：B.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设ln 28a =，21e b =，ln 612c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】B 【解析】【分析】根据a 、b 、c 算式特征构建函数()2ln xf x x =，通过求导确定函数单调性即可比较a 、b 、c 的大小关系.【详解】令()2ln x f x x =，则()42ln 0x x xx x f x '-==⇒=因此()2ln xf x x =在)∞+上单调递减，又因为ln 2ln 4(4)816a f ===，22ln e1=(e)e e b f ==，ln 612c f ===，因为4e >>>a b c <<．故选：B ．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若ln212ln3,,29e a b c ===，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】令()ln xf x x=，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a 、c ，即可得解；【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max ln e 1e e e f x f ===，所以1e ln22>又94ln22ln39ln 24ln 3ln 2ln 3ln 512ln 91029181818----===>所以ln22ln329>，即b a c >>.故选：A2.（2022·浙江台州·高二期末）设24ln 4e a -=，ln 22b =，c =，则（）A ．a b c <，可得21ln ()x f x x -'=，所以()0f x '>有0e x <<，则(0,e)上()f x 递增；()0f x '<有e x >，则(e,)+∞上()f x 递减；又2e 43e 2>>>，故c a b >>.故选：B3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1ln 32）43ln 34<e （3）ee ππ>.三个不等式中，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】【分析】根据题目特点，构造函数()ln x f x x =，则可根据函数()ln xf x x=的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数()ln xf x x=，则()21ln xf x x -'=，令()0,f x '>解得0e x <<，令()0,f x '<解得e x >，故()ln xf x x=在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,+∞单调递减，所以，（1）ff <ln 3>，则正确；（2）()43e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即4343lne ln33e <，即43e ln 34⋅>，则错误；（3）()()πf e f >，即e e e e e e ππππππln ln ln ln ln ln >⇒>⇒>，所以，e e ππ>，则正确故选：C.4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若ln 33a =，1eb =，3ln 28c =，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A 【解析】【分析】设函数ln (),(0)xf x x x=>，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 递减，当e x =时，函数取得最小值，由于e 38<<，故lne ln 3ln 8e 38>>，即b a c >>，故选：A5.（2022·山东日照·高二期末）π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e 3，3e ，33，e e ，πe ，3π，π3，e π八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】e e π3【解析】【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e 以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数()ln xf x x=的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e .函数3x y =是增函数，且e 3π<<，∴e 3π333<<；函数e x y =是增函数，且e 3π<<，e 3πe e e <<；函数πx y =是增函数，且e 3π<<，e 3ππ<；函数e y x =在()0,∞+是增函数，且e 3π<<，e e e e 3π<<，则八个数中最小的数是e e 函数πy x =在()0,∞+是增函数，且e 3<，ππe 3<，八个数中最大的数为3π或π3，构造函数()ln xf x x=，求导得()21ln xf x x -'=，当()e,x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞是减函数，()()3πf f >，即ln 3ln π3π>，即πln 33ln π>，即π3ln 3ln π>，π33π∴>，则八个数中最大的数是π3.故答案为：e e ；π3．6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设24ln41,,e ea b c -===,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设ln ()(0)xf x x x=>，则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2(2)2c f ===，又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>.故选：D7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <，构造函数ln (),(0)xf x x x=>，判断01x <<时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b 的大小，即可得答案.【详解】由ln ln ln 0e a a b cb c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a <<，所以e 1>>a a ，所以ln ln e a aa a>，故()()ln ln ln e =>∴>a a b a f b f a b a ，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx证明：设()1--=x e x f x，所以()1-='xe xf ，所以当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，所以()x f 为减函数，当当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，所以()x f 为增函数，所以当0=x 时，()x f 取得最小值为()00=f ，所以()0≥x f ，即1+≥x e x2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x=+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知910a =，19eb -=，101ln 11c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <+≠，从而得到11b a>，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到111ln 1010<和c a >，即可得到答案.【详解】解：设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x ¢<，()f x 单调递减，()0,x ∞∈+，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=，即e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==，0,0a b >>，故11b a >，所以b a <；设()ln 1g x x x =-+，()111xg x x x-'=-=，令()0g x ¢=，解得1x =.()0,1∈x ，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠，故11111ln 1101010<-=，又1011011lnln ln ln1011101110c a -=+>+==，所以c a >，故b a c <<.故选：B.【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知0.01e a =， 1.01b =，1001ln 101c =-，则（）．A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->，在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以e 1(0)0x x f -->=，即e 1x x >+，0x >，∴0.01e 1.01>，又ln1.010>，∴ln1.01e 1ln1.01>+，即1001.011ln 101>-，所以a b c >>．故选：C ．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若8ln 7a =，18=b ,7ln 6c =，则（）A ．a c b <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可比较得出a 、b 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c 、a 的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数()1ln 1f x x x=+-，其中1x >，则()221110x f x x x x -'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故()()10f x f >=，则88781ln 1ln 077878f ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，即a b >，78lnln 67> ，因此，b a c <<.故选：D.【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解.【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A 【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设ln1.01a =， 1.0130e b =，1101c =，则（）A ．a b c <），证明ln 1≤-x x ，令 1.01x =，排除选项A,B,再比较,a b 大小，即得解.【详解】解：构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），()10f =，()111xf x x x-'=-=，所以()f x 在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减，所以max ()(1)0,ln 10,ln 1f x f x x x x ==∴-+≤∴≤-，令 1.01x =，则 ln a x =，30e x b =，11c x=-，考虑到ln 1≤-x x ，可得11ln 1x x ≤-，1ln 1x x -≥-等号当且仅当 1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除选项A ，B.下面比较,a b 大小，由ln 1≤-x x 得 1.01ln1.01 1.0130e<<，故b a >，所以c a b <<.故选：D.2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-，设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>，所以115sincos 55>，故c a >综上，c a b >>故选：D.3（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x =+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知1ln 22a a -=，1ln 33b b -=，e ln e cc -=，其中12a ≠，13b ≠，e c ≠，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c a b <，并求()f x '，利用函数()f x 的图象去比较a b c 、、三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得11ln ln 22a a -=-，11ln ln 33b b -=-，ln e ln e c c -=-，构造函数()()ln 0f x x x x =->，()111x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，函数()f x 的大致图象如图所示．因为()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()e f c f =，且12a ≠，13b ≠，e c ≠，则由图可知1b a >>，01c <<，所以c a b <<．故选：A ．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设 1.01e a =，3eb =，ln 3c =，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】可判断 1.012e a =>，e32b =<，ln 32c =<，再令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解： 1.012e a =>，e 32b =<，ln 32c =<，令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，11()0e e e x f x x x-'=-=<，故()f x 在[e ，)∞+上是减函数，故()()e 3f f <，即3ln 30e-<，故 1.013l e e n 3<<，即c b a <<，故选：D ．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知ln 32a =，1e 1b =-，ln 43c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件构造函数ln ()e)1xf x x x =≥-，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数ln ()(e)1x f x x x =≥-，求导得()211ln ()1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--，则()210,(e)xg x x x -'=<≥，故()11ln g x x x =--，(e)x ≥单调递减，又()111ln101g =--=，故()0,(e)g x x <≥，即()0,(e)f x x '<≥，而e 34<<，则(e)(3)(4)f f f >>，即1ln 3ln 4e 123>>-，所以b a c >>，故选：A【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设110a =，ln1.1b =，910ec -=，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质可比较,a c 的大小，再构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出,a b ，从而可比较出三个数的大小【详解】因为e x y =在R 上为增函数，且9110-<-，所以9110e e --<，因为11e 10-<，所以9101e 10-<，即a c <，令()ln(1)f x x x =-+（0x >），得1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，令0.1x =，则0.1ln1.1>，即1ln1.110>，即a b >，所以b a c <<，故选：D【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A ．c a b <>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈时，e 1xx x x<-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)上单调递增，1)x ∀∈，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c a b <<.故选：A 【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．b a c>>【答案】B 【解析】【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>.【详解】2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π306f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且ππ30124f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>.故选：B【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--，()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln 81ln 8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln 98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若0.2e a =，b =ln 3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】B 【解析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln 3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴0.20.21 1.2e a b >+=>=，0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln 3.2c =，∵()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，∴ 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x xx g x x x x x +--=-=≥++'，所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+，∴()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.1211.613950--=+>+=>=++，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<<，∴ 1.1c b >>，故a c b >>.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式()e 10xx x >+>与()21ln (1)1x x x x ->>+进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a =0.9，b =9ln e10c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，()g x x =-.【详解】令()ln 1f x x x =--，因为11()1x f x x x'-=-=所以，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以(0.9)0.9ln 0.91(1)0f f =-->=，即90.9ln 0.91ln(e)10>+=，a c >；令()g x x =()1g x '=-所以，当114x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0.9)(1)g g <，即0.90<，0.9a b <.综上，c a b <<.故选：B2.（2022·山东青岛·高二期末）已知ln 3a π=，2b =，1sin 0.042c ⎫=-⎪⎪⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c>>C ．b a c>>D ．a c b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数得出,a b 大小，又0c <即得出结论.【详解】构造函数()()()2ln 212ln 1f x x x x x =--=-+，则a b f -=，()1210f x x ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭在()1,+∞上恒成立，则()y f x =在()1,+∞上单调递减，故()10a b f f -=<=，则0b a >>，()π103x x =+>，则()π30121100433.x .-+-=>=，由对于函数()πsin 02g x x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭-，()πcos 1002g x x ,x ⎛⎫'=<<< ⎪⎝⎭-恒成立，所以，()()sin 00g x x x g =<=-即sin x x <在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.所以，1sin0.04sin sin 02x x x ⎫<=<-<⎪⎭（注：004009020305.x .,...<<<<）所以，b a c >>故选：C3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设253e 4a =，342e 5b =，35c =，则（）A ．b c a < ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断出a b >.记()()e 2,01xg x x x =-<<，推理判断出b c >.【详解】24452533e23e 542e e 534a b ==.记()()e ,01x f x x x =<<，则()()2e 10x xf x x -'=<，所以()e xf x x =在()0,1上单调递减.所以2354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >.433422e e 5325354b c ⎛⎫-= ⎪⨯⎝--⎭=.记()()e 2,01x g x x x =-<<，则()e 2xg x '=-.所以在()0,ln 2x ∈上，()0g x '<，则()g x 单调递减；在()ln 2,1x ∈上，()0g x '>，则()g x 单调递增；所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20g x g ==-⨯=->，所以()min 304g g x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即3422e 0534b c ⨯⎛⎫-> ⎪⎝⎭=-.所以b c >.综上所述：c b a <<.故选：C4.（2022·福建宁德·高二期末）已知a ，R b ∈，且221a b >>，则（）A ．ln ln a b a b -<-e eB ．ln ln b a a b <C ．e a b ba->D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D 【解析】【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e xy x'=-，故12|20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除；B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=，所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减；故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除；C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增，所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除；D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增，所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设 1.01e a =，3eb =，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】分析可得2a >，(1,2)b ∈，(1,2)c ∈，令()ln ,[e,)e xf x x x =-∈+∞，利用导数可得()f x 的单调性，根据函数单调性，可比较ln 3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得 1.011e e 2a =>>，3(2e 1,)b =∈，ln 3(1,2)c =∈，令()ln ,[e,)exf x x x =-∈+∞，则11e ()0e ex f x x x -'=-=≤，所以()f x 在[e,)+∞为减函数，所以(3)(e)f f <，即3eln 3ln e 0e e-<-=，所以3ln 3e<，则 1.013e ln 3e >>，即a b c >>.故选：D6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A 【解析】【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知212ln 204a a -=>，22122ln 0eb b --=>，221ln 303c c -=>，则（）A ．c b >>，对三个式子变形可得2211ln ln 44a a -=-，222211ln ln e eb b -=-，2211ln ln 33c c -=-，设函数()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=.由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x <，得01x <<,则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为211101e 43<<<<，所以222b a c >>,所以c a b <<.故选：AC.8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知01x y z ∈、、（，），且满足2e 2e x x =，3e 3e y y =，4e 4e z z =，则（）A ．x y z <<B ．x z y<<C ．z y x<<D ．z x y<<【答案】C 【解析】【分析】先对已知条件取对数后得到ln ln22x x -=-，ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.根据式子结构，构造函数()ln m x x x =-，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由2e 2e x x =得2ln ln2,x x +=+即ln ln22x x -=-.同理得：ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.令()ln ,m x x x =-则()111xm x x x-=-='.故()m x 在()0,1上单调递增，1∞+（，）上单调递减.所以z y x <<.故选：C.。

数学-指对幂比较大小6大题型(学生版)

指对幂比较大小6大题型命题趋势函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。

这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。

满分技巧比较大小的常见方法1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3.中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4.估值法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值；5.构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律(1)对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；(2)有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。

6.放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩；(4)“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数(主要是整数多一些)，那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。

热点题型解读【题型1利用单调性比较大小】【例1】(2022秋·福建宁德·高三统考期中)设a =0.30.3,b =0.30.5,c =0.50.3,d =0.50.5，则a ,b ,c ,d 的大小关系为()A.b >d >a >cB.b >a >d >cC.c >a >d >bD.c >d >a >b【变式1-1】(2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习)若a =0.40.5,b =0.50.4,c =log 324，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a b >cB.a a >cD.c >a >b【变式1-3】(2023·全国·高三专题练习)已知a =0.30.5,b =0.30.6，c =2512，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <a <cD.c 32.7B.3747<4737C.log 1213<log 312 D.1.70.2>0.92.1【题型2作差作商法比较大小】【例2】(2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知a =e 13，b =ln2，c =log 32，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a【变式2-1】(2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习)若a=sin4，b=log53，c=lg6，d=e0.01，则()．A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.b<c<d<aD.a<d<b<c【变式2-2】(2022·全国·高三专题练习)已知m5=4，n8=9，0.9p=0.8，则正数m，n，p的大小关系为( )A.p>m>nB.m>n>pC.m>p>nD.p>n>m【变式2-3】(2022·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知a=log45，b=54，c=log56，则a、b、c这三个数的大小关系为()A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【变式2-4】(2022秋·四川内江·高三校考阶段练习)已知a=30.2,b=log67,c=log56，则()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b【题型3中间值/估值法比较大小】【例3】(2023·全国·模拟预测)已知a=0.54，b=log50.4，c=log0.50.4，则a，b，c的大小关系是()A.b>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c【变式3-1】(2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习)已知a=log23，b=20.4，c=13-13，则a，b，c的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a【变式3-2】(2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习)已知a=4e，b=log34lnπ，c=131.7，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a【变式3-3】(2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习)设a=20.2，b=0.50.5，c=log0.50.2，则( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c【变式3-4】(2022秋·江西·高三校联考阶段练习)已知a=22，b=e，c=22.5，则a，b，c的大小关系是()(参考数据：ln2≈0.693)A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【变式3-5】(2022·全国·高三专题练习)已知a=ln40.25，b=4ln0.25，c=0.250.25，则()A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c【变式3-6】(2023·全国·高三专题练习)(多选)已知a=log2x，b=2x，c=3x，其中x∈1,2，则下列结论正确的是()A.a>log b cB.a b>b cC.a bb>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b【变式4-1】(2022·全国·高三专题练习)设0<θ<π2，a=sin2θ，b=2sinθ，c=log2sinθ，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b【变式4-2】(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习)已知f x =2022x-2022-x-ln x2+1-x，当0<x<π2，a=cos x，b=lncos x，c=e cos x，试比较f a ，f b ，f c 的大小关系()A.f a <f c <f bB.f b <f c <f aC.f c <f a <f bD.f b <f a <f c【变式4-3】(2023·全国·高三专题练习)已知x∈π4,π2且a=2sin2x+1e2sin2x，b=cos x+1e cos x，c=sin x+1e sin x，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b【题型5构造函数比较大小】【例5】(2023·广西桂林·统考一模)已知a、b、c∈1,+∞，2e a ln3=9a，3e b ln2=8b，2e c-2=c，则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b【变式5-1】(2022秋·广东广州·高三校考期中)函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时f(x)+xf(x)>0(其中f (x)是f(x)的导函数)，若a=30.3⋅f(30.3)，b=logπ3⋅f(logπ3)，c=ln19⋅f ln19，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【变式5-2】(2022秋·四川成都·高三校考阶段练习)已知a=2022，b=2121，c=2220，则()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b【变式5-3】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.7e0.4,b=e ln1.4,c=0.98，则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b【变式5-4】(2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习)设a=12×106+1102，b=e0.01-1，c=ln1.02，则a,b,c的大小关系为()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c【变式5-5】(2022·全国·高三专题)设a=110,b=e111-1,c=1110ln1110，则a，b，c大小关系是_____．【题型6数形结合法比较大小】【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知y=x-mx-n+2022(m<n)，且α,β(α<β)是方程y=0的两根，则α,β,m,n的大小关系是()A.α<m<n<βB.m<α<n<βC.m<α<β<nD.α<m<β<n【变式6-1】(2023秋·陕西西安·高三统考期末)已知a=log32，b=log43，c=log54，则a，b，c的大小关系为()A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a【变式6-2】(2022秋·江苏扬州·高三期末)已知正实数a，b，c满足e c+e-2a=e a+e-c，b=log23+ log86，c+log2c=2，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a【变式6-3】(2023·全国·高三专题)已知a=eπ,b=πe,c=2eπ，则这三个数的大小关系为()A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022·全国·高三专题练习)log 23，log 812，lg15的大小关系为()A.log 23<log 812<lg15B.log 812<lg15<log 23C.log 23>log 812>lg15D.log 812<log 23<lg152.(2022·四川资阳·统考二模)设a =1.02，b =e 0.025，c =0.9+20.06sin ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c <b <aB.a c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c5.(2022·全国·高三专题练习)已知a =0.50.6，b =0.60.5，c =log 65，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b >cB.b >c >aC.b >a >cD.c >b >a7.(2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知a =1012，b =1111，c =1210，则a ，b ，c 的大小关系为()A.b >c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c8.(2022秋·山东·高三校联考阶段练习)若a =e 0.1,b = 1.2,c =-0.9ln ，则a ，b ，c 的大小关系为()．A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >b >a9.(2022·四川南充·统考一模)设定义R 在上的函数y =f x ，满足任意x ∈R ，都有f x +4 =f x ，且x ∈0,4 时，xf x >f x ，则f 2021 ，f 2022 2，f 2023 3的大小关系是()A.f 2021 <f 2022 2<f 20233B.f 2022 2<f 2021 <f 20233C.f 2023 3<f 20222<f 2021 D.f 2023 3<f 2021 <f 2022210.(2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)若a =2 1.01ln ln ,b =3πln2ln ,c =232ln ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.a <b <cC.c y >xB.x >z >yC.y >x >zD.y >z >x13.(2022秋·广东·高三校联考阶段练习)已知实数a =23log ，b =π4cos ，c =32log ，则这三个数的大小关系正确的是()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.a >c >b14.(2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习)设a =38log ,b =21.1,c =0.81.1，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b <a <cB.c c >bB.c >b >aC.b >a >cD.a >b >c17.(2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知a =1.11.2，b =1.21.1，c = 1.21.1log ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >b >a18.(2022秋·四川成都·高三校考期中)已知函数f x =e -x -e x 2，且a =-f 1π1πln ，b =f 1e ，c =f πe x，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c19.(2022·四川宜宾·统考模拟预测)已知a=2.525，b=75 57，c=313，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a20.(2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考期中)若a=26ln4，b=2ln3ln，c=22πln4，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c。

高考数学函数比较大小方法介绍与解题方法

函数1.比较大小【高考真题】1．（2022·新高考全国I 卷）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当021x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，当211x -<<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当021x <<-时，()0h x <，所以当021x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 方法二：比较法解： 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ， ① ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ，故 ()f x 在 (0,0.1] 上单调递减，可得 (0.1)(0)0f f <= ，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ； ① 0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ，令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >> ，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c > 故 .c a b <<2．（2021·新高考全国II 卷）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a <> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国甲卷理数）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【答案】A 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数()()21cos 1,0,2f x x x x ∞=+-∈+,利用导数可得b a >,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a > 1114sin cos 17sin 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且14sin ,cos 1717ϕϕ==当114sin cos 1744+=时，142πϕ+=，及124πϕ=-此时14sin cos 417ϕ==，11cos sin 417ϕ== 故11cos 417=411sin 4sin 4417<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+， 241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．5．（2021·全国乙卷理数）设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =．则（） A ．a b c << B ．b<c<a C ．b a c << D ．c<a<b【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 1141f x x x =+-++,()()ln 12141g x x x =+-++，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系. 【详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 1141f x x x =+-++，则()00f =，()()()214122114114x x f x x x x x +--=-+'=+++，由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>，即()141x x +>+，0fx ，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.01 1.041>-，即a c >；令()()ln 12141g x x x =+-++，则()00g =，()()()21412221214114x x g x x x x x +--=-=++++'，由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.02 1.041<-，即b <c ；综上，b<c<a ，故选：B. [方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()()10.0410,ff b c +<=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()()10.0410,gg a c +=∴综上，b<c<a ，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.6．（2020·全国I 卷理数）若242log 42log a ba b +=+，则（）A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B【分析】设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.7．（2020·全国II 卷文/理数）若2233x y x y ---<-，则（） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8．（2020·全国III 卷文数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（） A ．a c b <==，所以a c b <<. 故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.9．（2020·全国III 卷理数）已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a ，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.10．（2019·全国I 卷文理数）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则（）A ．a b c <=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 11．（2019·全国II 卷理数）若a >b ，则（） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．【基础知识】1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a 0，b >0，且ab >1⇒a >b ；a >0，b >0，且ab <1⇒a <ba 2>b 2且a >0，b >0⇒a >b应用范围同号两数比较大小或指数式之间比较大小要比较的两数(式)中有根号步骤①作商②变形③判断商值与1的大小①乘方②用作差比较法或作商比较法④下结论3．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1图象性质定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数5．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数【题型方法】一、作法法1．若0,10a b <-<<，则下列不等关系正确的是（） A ．2ab ab a >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2a ab ab >>【答案】A【分析】利用作差法比较即可得到答案.【详解】因为0,10a b <-<<，所以0ab >，10b ->，10b -<，10+>b所以()210ab ab ab b -=->，即2ab ab >，()()()221110ab a a b a b b -=-=+->，所以2ab ab a >>. 故选：A2．（多选）已知a b >，则下列不等式正确的是（） A ．22a b > B ．11a b> C ．22ac bc ≥ D ．22a b c c > 【答案】CD【分析】由作差法可逐项判断.【详解】对A ，()()22a b a b a b -=+-，无法确定a b +的正负，故A 项错误；对B ，11b aa b ab--=，无法确定ab 的正负，故B 项错误；对C ，()2220ac bc a b c -=-≥，所以C 项正确；对D ，2220a b a bc c c--=>，所以D 项正确. 故选：CD3．（多选）已知实数a 、b 、c 满足23121a b c ==>，则下列说法正确的有（） A ．20a b -> B ．20b c -> C ．211a b c+=D ．322a bc+≥+ 【答案】BCD【分析】令23121a b c k ===>，则2log a k =，3log b k =，12log c k =，利用作差法可判断AB 选项；利用换底公式可判断C 选项；利用换底公式结合基本不等式可判断D 选项.【详解】令23121a b c k ===>，则2log a k =，3log b k =，12log c k =且0a >，0b >，0c >．对于A ，()2323lg 3lg 2lg lg lg 2log 2log log log 0lg 2lg 3lg 2lg 3k k k a b k k k k --=-=-=-=<⋅，所以A 错误：对于B ，()312323lg lg 23lg 3lg lg 2log 2log log log 0lg 3lg 23lg 3lg 23k k kb c k k k k --=-=-=-=>⋅，即20b c ->，所以B 正确；对于C ，2112log 2log 3log 12k k k a b c +=+==，所以C 正确：对于D ：()()2223232312log log log 12log 12log 32log 32log k ka b c k++==+=⨯+⨯ 23233log 32log 232log 32log 2322=++>+⨯=+，所以D 正确．故选：BCD.二、作商法1．设()121p a a -=++，21q a a =-+，则（）．A ．p q >B ．p q <C ．p q ≥D ．p q ≤【答案】D【分析】首先配方判断p 、q 均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】()1222110132411p a a a a a -==>⎛⎫++⎪⎭+⎝=+++， 22131024q a a a ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，则()()()222121111a a a a a a a q a p --+-++++=+= ()()222222111a a a a =+-=++≥.故p q ≤，当且仅当0a =时，取等号，故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 2．若实数m ，n ，p 满足354m e =，235n e =，218p e =，则（） A ．p m n <，①m p >； ①p m n <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型. 3．已知41291log ,log ,0.90.8204p m n ===，则正数,,m n p 的大小关系为（） A ．p m n >> B ．m n p >> C ．m p n >> D ．p n m >>【答案】A【分析】根据对数式与指数式之间的互化，以及作商法比较大小，即可比较,m n 的大小，由对数函数的单调性以及中间值法即可比较三者的大小. 【详解】由49log 20m =，得992010422m ==<，由121log 4n =，得1412,n =91111199942020202020201155555420444442561123432431212m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======> ⎪⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，即2m n >>；由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是p m n >>，所以正数,,m n p 的大小关系为p m n >>. 故选:A.三、单调性法1．下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．3377( 2.1)( 2.2)--<- D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】利用函数的单调性进行判断即可.【详解】解：对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115( 2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377( 2.1)( 2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.2．已知函数()e e x x f x -=-，则0.60.60.4(0.4),(0.6),(0.4)a f b f c f ===的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b <<【答案】D【分析】利用幂函数的性质比较0.60.20.60.216=、0.40.20.40.16=、0.40.4大小，再由()f x 单调性比较a 、b 、c 大小. 【详解】由0.630.20.20.6(0.6)0.216==，0.420.20.20.4(0.4)0.16==，即0.20.20.160.216<，所以0.40.60.40.6<，又0.60.40.40.4<，所以0.60.40.60.40.40.6<<，而()e e x x f x -=-递增，故0.60.40.6(0.4)(0.4)(0.6)a f c f b f =<=<= 故选：D3．已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin (sin )a αα=，sin (cos )b αα=，cos (sin )c αα=，则（）A ．c b a <,sin sin (sin )(cos )αααα<；a c ∴>，ab <,即c<a>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【分析】通过观察三个数的特征可知，很难化成同底形式，所以可通过构造幂函数0.6y x =，利用其单调性即可比较得出结果.【详解】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.5．已知235log log log 0x y z ==<，则2x、y 、5z 的大小排序为（）A ．235x y z<< B ．325y x z<< C ．523z x y<< D ．532z y x<< 【答案】A【分析】首先设235log log log x y z k ===，利用指对互化，表示2x，3y ，5z ，再利用对数函数的单调性判断大小.【详解】x y z ，，为正实数，且235log log log 0===<x y z k ，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k k kx y z ---=>=>=>，．即10k -> ，因为函数1k f x x -=（）单调递增，①235x y z<<. 故选：A.6．已知e 是自然对数的底数，451e a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15b =，5ln 6c =-，则（） A ．c b a <>=⎪⎝， 56lnln 65c =-=， 151ln e 5b ==，因为56e 2.488325⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以156e 5>，所以156ln e ln5>，即b c >，所以c b a <<. 故选：A.四、中间量法1．已知lg9a =，0.12b =，1ln 3c =，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】C【分析】通过中间值，将三个数与0和1进行比较即可判断大小关系. 【详解】因为0lg1lg9lg101=<<=，所以()0,1a ∈，因为0.10122>=，()1,b ∈+∞，因为1ln ln103<=，(),0c ∈-∞，综上所述得b a c >>．故选：C2．若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（）． A ．a b c d <<，50log 31,0lg 61b c <=<<=<，只需比较,b c 的大小，而 ()()5lg31lg 2lg 2lg3lg3lg3lg5lg 6log 3lg 6lg 6lg5lg5lg5--+-⋅-=-==()lg 21lg 60,lg5b c ⋅-+=<∴<，综上a b c d <<<.故选：A【点睛】指对数比较大小时，一般采用介值法，通过分别和0,1比较大小判断，当遇到同一范围内的数时，可以通过作差或者作商的办法比较两数大小关系.3．若正实数a ，b ，c 满足0.1e a =0.51log 5b =，2314c =，则（）A ．a a c b >B ．log log c b a a <C ．log log a b b c >D ．11a c c b --<【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的计算，利用中间量法进行估算，即可得解. 【详解】①0.10ee 1a =>=．①1a >，①0.50.50.51log 10log 1log 0.55b =<=<=， ①0.51b <<，①2314c =，①18c =，①00.41c b a <<<<<，①a a c b <，log log c b a a >，log 0log a b b c <<，①A ，B ，C 项错误； ①10a ->，10c -<，①1101a c c b --<<<，D 项正确．故选：D ．五、导数法1．已知1162411e sin ,e ,e sin 224a b c ππ---===，则（）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】A【分析】由所给数据可构造函数()e sin()e sin x x f x x x =-=-，利用导数判断函数单调性可比较,a c ，再由不等式性质可比较,a b ，利用作商法比较,b c 大小.【详解】设()e sin()e sin x x f x x x =-=-，则()πe sin e cos 2e sin 4x x xf x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎝'⎪⎭，当3ππ44x -≤≤时，()0f x '≤，所以函数在π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，1π24->-，1π()()24f f ∴-<-，即a c <， 1162110ee ,0sin 22--<<<<，116211e sin e 22--∴<，即a b <，11163π261212π4e e e 16422eb c -⨯--⎛⎫⎛⎫==>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b c ∴>，综上，b c a >>. 故选：A2．设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（） A ．a b c <+，令0.3x =，可以判断出 1.6c =最小；利用作商法比较出b a <，即可得到答案.【详解】设()e 1xf x x =--.因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当x ∈R ，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+．所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e13e 33b a -==<<，所以b a <．综上可知，c b a <<．故选：B3．已知e ππe e ,π,2a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系中作出()2xy =与y x =的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c ，即可求解【详解】令()()ln ,0xf x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>，由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以eln ππlne <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；()()ee ππ2=2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出()2xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有()2xx >，又2π4<<，所以()ππ2>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且()ππ2>所以()()eπe πeπ2=2⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A六、特殊值法1．若()2021202120222022,x y x yx y R --->-∈，则（）A ．33x y >B ．ln ln x y >C ．11x y< D ．221111x y <++ 【答案】A【分析】构造函数()20212022x xf x -=-，分析函数()f x 的单调性，可得出x y >，再利用函数的单调性以及特殊值法可判断各选项的正误.【详解】构造函数()20212022x x f x -=-，因为函数12021x y =为R 上的增函数，函数22022xy -=为R 上的减函数，故函数()20212022x xf x -=-为R 上的增函数，因为2021202120222022x y x y --->-，则2021202220212022x x y y --->-，即()()f x f y >，则x y >.对于A 选项，函数()3g x x =为R 上的增函数，故33x y >，A 对；对于B 选项，若0y x <<，则ln x 、ln y 均无意义，B 错；对于C 选项，取1x =，1y =-，则11x y>，C 错；对于D 选项，取1x =，1y =-，则221111x y =++，D 错. 故选：A.2．若a b >，则下列选项中正确的是（） A ．()ln 0a b -> B ．33a b < C ．330a b -> D ．a b >【答案】C【分析】对于ABD ，举反例即可排除；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断. 【详解】因为a b >，对于A ，令0,1a b ==-，则()ln ln10a b -==，故A 错误；对于B ，令0,1a b ==-，则0111,33333b a -====，即33a b >，故B 错误；对于C ，因为幂函数3y x =在R 上单调递增，故33a b >，即330a b ->，故C 正确；对于D ，令0,1a b ==-，则01a b =<=，故D 错误. 故选：C.3．若0a b >>，则下列不等式恒成立的是（） A ．35a b D ．tan tan a b >【答案】C【分析】取特殊值可判断ABD ，利用幂函数12y x x ==的单调性可判断C 【详解】选项A ，令4,2a b ==，则381525a b =>=，故A 错误；选项B ，令2,1a b ==，则1213log log 21log log 10b a a b ++==>==，故B 错误；选项C ，由于幂函数12y x x ==在(0,)+∞单调递增，0a b >>，故a b >恒成立，故C 正确；选项D ，令,4a b ππ==，则tan 0tan 1a b =<=，故D 错误故选：C【高考必刷】1．设,R a b ∈且0ab ≠，若a b <，则下列不等式成立的是（） A ．22a b ，故A 错误；对于B ，若a b <，则0b a ->，所以()22ab a b ab b a -=-，又0ab ≠，则()ab b a -的正负不能确定，即2ab 与2a b 的大小不确定，故B 错误；对于C ，若a b <且0ab ≠，，则0a b -<，所以2222110a bab a b a b --=<，即2211ab a b <，故C 正确；对于D ，若a b <且0ab ≠，则0b a ->，所以ab 与b a +正负不能确定，则()()22b a b a b a b a a b ab ab-+--==的符号不能确定，故b a与ab 的大小不确定，故D 错误.故选：C.2．若0c b a >>>，则（） A ．b c c b a b a b > B ．2ln ln ln b a c <+ C ．cc a b ab->- D ．log log a b c c >【答案】A【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.【详解】解：选项A 中，由于1b cb c b c c b c b a b a a b a b b ---⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以b c c b a b a b >成立；故A 正确；选项B 中，22ln ln b b =，ln ln ln a c ac +=，2b 与ac 大小不能确定，故B 错误；选项C 中，由于()10c c c a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫---=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D 中，令1c =，则log log 0a b c c ==，故D 错误. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查转化能力，属于基础题. 3．已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <>D ．b<c<a【答案】B【分析】由已知，根据题意给出的式子，先进行化简，得到222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后根据幂函数23y x =的单调性，即可做出判断.【详解】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B.4．设0.60.4a =，0.80.6b =，0.40.8c =，则（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【答案】B【分析】先由指数运算得出555c a b >>，再由幂函数的单调性得出大小关系.【详解】因为5354520.40.064,0.1296,0.640.60.8a b c ======，所以555c a b >>，又函数5y x =在()0,∞+上单调递增，所以c b a >>. 故选：B5．三个数33342233,,224a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭之间的大小关系是（）A ．a c b <，利用函数的单调性比较大小.【详解】332432624a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3322322,44b c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设32(),(0)f x x x =>，此函数在定义域内是单调递增的， ①22326444<<①22326()()()444f f f << ①c b a <<. 故选：C.6．下列比较大小正确的是（） A 12433332π--->> B ．12433332π--->> C ．12433332π--->> D ．21433323π--->>【答案】C【分析】根据指数幂的运算法则及幂函数的性质判断即可. 【详解】解：因为()2242333πππ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()213333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，23π>>，所以()22233323π---<<，所以12433332π--->>. 故选：C7．对于任意的,a b ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（）A ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．20232023log log a b >C ．11a b <D ．20232023a b >【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数、反比例函数和幂函数的定义域和单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；对于B ，当0b a <<时，原式无意义，B 错误；对于C ，当0a b >>时，11a b>，C 错误；对于D ，2023y x =在R 上单调递增，20232023a b ∴>，D 正确.故选：D.8．已知 5.10.9m =，0.8log 5.1n =， 5.10.8p =，则m 、n 、p 的大小关系为（） A ．p ＜n ＜m B ．n ＜p ＜m C ．m ＜n ＜p D ．n ＜m ＜p【答案】B【分析】根据幂函数 5.1y x =，对数函数0.8log y x =的单调性判定即可. 【详解】由于幂函数 5.1y x =在[0,)+∞单调递增，故 5.1 5.10.90.8m p =>=，又1 5.15.000.8p >==， 5.1 5.1110.9m =>=， ①0＜p ＜m ＜1，由对数函数0.8log y x =在(0,)+∞单调递减，故0.80.8log 5.1log 10n =<=，①n ＜p ＜m ．故选：B9．若实数a ，b 满足01a b <<<，则下列式子正确的是（） A ．b b a b -->. 因为幂函数b y x =在()0,∞+上为增函数，所以b b a b -->，A 错；对B ，因为幂函数a y x =在()0,∞+上为增函数，所以a a a b <成立，B 对；对C ，因为1a aaa -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1aa b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，且幂函数a y x =在()0,∞+上为增函数，所以a a a b -->，C 错；对D ，因为幂函数b y x =在()0,∞+上为增函数，所以b b b a >，D 错；故选：B.10．设,a b R ∈，若a b >，则下列不等式不恒成立的是（） A ．11a b +>+ B ．22a b > C ．33a b > D ．sin 4sin 4a b >【答案】D【分析】根据不等式的性质可判断A;根据指数函数2,R x y x =∈的单调性判断B;根据幂函数3,R y x x =∈的单调性判断C ，可举特例说明D 中不等式不恒成立，即可得答案.【详解】对于A,由于a b >，根据不等式性质可知11a b +>+恒成立；对于B,由于函数2,R x y x =∈是单调增函数，故若a b >，则22a b >恒成立；对于C ，由于函数3,R y x x =∈是单调增函数，故若a b >，则33a b >恒成立；对于D ，不妨取ππ,=2a b = ，则sin 4sin 40a b ==，即a b >时，sin 4sin 4a b >不恒成立，故选：D11．设0.83a =，0.8b π=，e13c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c<a>，则有0.80.80.8311π>>=，指数函数1()3x y =在R 上单调递减，而e 0>，于是得e 011()()133<=，从而有e 0.80.81()133π<<<，所以c<a<b . 故选：A12．已知定义在R 上的幂函数()mf x x =（m 为实数）过点(2,8)A ，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()c f m =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <>，即得解. 【详解】由题得3382,22,3,()m m m f x x =∴=∴=∴=. 函数3()f x x =是R 上的增函数.因为0.50.5log 3log 10<=，220log 5log 83m <<==，所以20.5log 5log 3m >>，所以20.5()(log 5)(log 3)f m f f >>，所以a b c <<. 故选：A【点睛】方法点睛：比较对数式的大小，一般先利用对数函数的图象和性质比较每个式子和零的大小分成正负两个集合，再利用对数函数的图象和性质比较同类数的大小. 13．已知幂函数()()2242(1)mm f x m x m R -+=-∈，在()0,∞+上单调递增.设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c -=，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系是（）A ．()()()f b f a c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】A【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出m ，在根据指数函数与对数函数的单调性得到b a c -<<，根据幂函数的单调性得到()()()f b f a f c -<<，再结合偶函数可得答案. 【详解】根据幂函数的定义可得2(1)1m -=，解得0m =或2m =，当0m =时，2()f x x =，此时满足()f x 在()0,∞+上单调递增，当2m =时，2()f x x -=，此时()f x 在()0,∞+上单调递减，不合题意. 所以2()f x x =.因为5log 4(0,1)a =∈，0.200.50.51c -=>=，155log 3log 3(0,1)b -=-=∈，且a b >-，所以b a c -<<，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()f b f a f c -<<，又因为2()f x x =为偶函数，所以()()f b f b -=，所以()()()f b f a c <<. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的概念和性质、指数函数与对数函数的单调性是解题关键. 14．设a ，R b ∈，且a b >，则（） A ．33a b > B ．22a b > C ．||||a b > D ．1>a b【答案】A【分析】对于选项A,B,C,利用函数的单调性分析得解，对于选项D 可以利用作差法判断. 【详解】由于函数3()f x x =在R 上为增函数，由a b >得33a b >，故选A . 由于函数2yx 在定义域内不单调，所以a b >不能得到22a b >，故选项B 错误；由于函数||y x =在定义域内不单调，所以a b >不能得到||||a b >，故选项C 错误； 1a a b b b--=符号不确定，所以选项D 错误. 故选：A。

(完整版)高考数学函数比大小题型总结,推荐文档

函数比大小（基础题）1．（2014天津4）已知则的大小关系为2212log ,log ,a b c πππ-===,,a b c A ．c <b <a B ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a2．（2015山东3）设，则的大小关系是0.61.50.60.6,0.6, 1.5a b c ===,,a b c A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b <<b a c <<b c a<<3．（2015北京10），，三个数中最大数的是．32-1232log 54．（2014安徽）设，，，则3log 7a = 1.12b = 3.10.8c =A ．B ．C ．D ．c a b <<b a c <<a b c <<bc a <<5．（2012天津4）已知，，，则的大小关系为122a ⋅=0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭52log 2c =,,a b c A ．c >b a c>>c b a>>c a b>>7．(2018天津5)已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为2log e =a ln 2b =121log 3c =A ． B ． C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．（2013新课标8）设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>9．（2011重庆6）设，则11333124log ,log ,log 233a b c ===A ．c b a >> B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>10．（2016全国III6）已知，则4213332,3,25a b c ===A ． B ． C ．D ．b a c<<a b c<>01c <<A ． B ．C ．D ．log log a b c c <log log c c a b<cca b <a bc c>13．(2016全国I8) 若，，则1a b >>01c <<A ．B ．C ．D ．c c a b <c c ab ba <log log b a a c b c <log log a b c c<14．（2015天津7）已知定义在上的函数(为实数)为偶函数，R ||()21x m f x -=-m 记，，，则,的大小关系为0.5(log 3)a f =2(log 5)b f =(2)c f m =,,a b c A ．B ．C ．D ．a b c <<c a b <<a c b <<c b a <<15．（2015陕西10）设，，若，，()ln f x x =0a b <p r q =16．（2017天津6）已知奇函数在R 上是增函数，．若，()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-，，则a ，b ，c 的大小关系为0.8(2)b g =(3)c g =A ．B ．C ．D ．a b c <<c b a <<b a c <>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>19．（2012全国11）设，则125ln ,log 2,a b c eπ-===A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>20．（2017新课标Ⅰ11）设为正数，且，则,,x y z 235xyz==A ． B ． C ． D ．235x y z <<523z x y <<352y z x <<325y x z<<21. (2018全国卷Ⅲ12) 设，，则0.2log 0.3a =2log 0.3b =A ．B ．0a b ab +<<0ab a b <+<C ．D ．0a b ab +<<0ab a b<<+22．（早期全国6）设，则ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===A ．c b a >>B ．C ．a c b >>D ．a b c>>b a c >>23．（2010安徽7）设，则232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>24.（2014湖南9）若，则1201x x <<<A ． B ．2121ln ln xxe e x x ->-2121ln ln xxe e x x -<-C ．D ．1221xxx e x e >1221xx x e x e<25．（早期江西）已知满足等式下列5个关系,a b 11,23ab ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭① ② ③ ④ ⑤.0;b a <<0;a b <<0;a b <<0;b a <<0a b ==其中不可能成立的关系有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26.（2007天津9）设均为正数，且则（,,a b c 11222112log ,log ,log .22bcaa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）A ．B ．C ．D ．a b c <<b a c <<c b a <<c a b<<。

高考数学知识点：函数比较大小(解析版)

函数比较大小专项突破一指数式、对数式，幂式比较大小1.已知a=log2e，b=ln2，c=1e，其中e为自然对数的底数，则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【解析】∵log2e>log22=1=ln e>ln2>ln2=12>1e，∴a>b>c.故选：A.2.设a=325，b=25 3，c=log325，则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知a=325>30=1，0<b=253<250=1，c=log325<log31=0，∴a>b>c，故选：A.3.已知a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，则( )A.a<b,c<dB.a<b,c>dC.a>b,c<dD.a>b,c>d【解析】因为a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，所以a=1,b=log32<1，故a>b，c=12 2=14,d=13 2=19，所以c>d.故选：D.4.若a=50.3，b=0.35，c=ln sin22020，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b【解析】a=50.3>1，b=0.35∈0,1，0<sin22020<1，所以c=ln sin22020<0，所以a>b>c 故选：A5.已知a=12 13，b=53 12，c=log2352，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】a=1213<12 0=1，b=53 12>53 0=1，c=log2352<log231=0，∴b>1>a>0>c.故选：C.6.已知a=30.5，b=log32，c=tan56π，则( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b【解析】∵30.5>30=1=log33>log32>log31=0>-33=tan5π6，∴a>b>c.故选：A.7.已知幂函数f x 的图象经过点A3,27与点B t,64，a=log0.1t，b=0.2t，c=t0.1，则( ) A.c<a1，所以a<b<c，故选：B8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0,+∞)，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0(x1≠x2)，a=f log 1312，b =f log 213 ，c =f 512，则( )A.a >b >c B.c >a >b C.b >a >c D.c >b >a【解析】因为对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(x 1≠x 2)，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )=f (-x )因为log 1312=log 32，又0=log 31<log 32<log 33=1所以log 1312∈0,1 ，又1=log 22<log 23<log 24=2，512=5>2所以0<log 1312<log 23<512，所以f log 1312 <f log 23 =f -log 23 =f log 213 <f 512 所以c >b >a .故选：D .9.已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =xe x ，则下面结论正确的是( )A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =xe x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6 ，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<ln e 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .10.已知定义在R 上的函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，且函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，a =0.23，b =30.2，c =log 0.20.3，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A.f (a )>f (b )>f (c )B.f (c )>f (a )>f (b )C.f (b )>f (c )>f (a )D.f (c )>f (b )>f (a )【解析】因为函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，所以y =f (x )的图象关于点(0，0)对称,即函数y =f (x )为奇函数，所以a =0.23=0.008，b =30.2>30=1，c =log 0.20.3=log 0.20.09>log 0.20.2=12，故b >c >a >0，又函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以f (b )>f (c )>f (a )，故选：C .11.已知a =ln12，b =ln lg2 ，c =lg ln2 则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >b >cD.b >c >a【解析】先比较a ,b ，易知lg2<12,故ln (lg2)<ln 12，即b <a ，又e <10，故x >1时ln x >lg x ，0<x <1时ln x <lg x ，故lg 12>ln 12，而ln2>12，故lg (ln2)>lg 12>ln 12，有c >a ，故选：A ，12.已知x ∈1,2 ，则下列说法正确的是( )A.ln22x>2ln2x >x 2ln2 B.x 2ln2>ln22x>2ln2x C.2ln2x >x 2ln2>ln22xD.2ln2x >ln22x>x 2ln2【解析】∵x 2ln2=ln2x 2，2ln2x =ln 2x 2，∴比较2x 2，2x 2，22x的大小关系即可．1、当x ∈1,2 时，x 2<2x ，x 2<2x ，故2x 2<22x，2x 2<2x 2，故x 2ln2<ln22x，x 2ln2<2ln2x ．2、令2x =t ∈2,4 ，则2x 2=t 2，22x =2t ．由2t <t 2，即22x <2x 2，则2ln2x >ln22x．综上，2ln2x >ln22x>x 2ln2.故选：D ．13.(多选)已知a ,b ,c ∈R ，且ln a =e b =1-c ，则下列关系式中可能成立的是( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【解析】设ln a =e b =1-c =t ,t >0，则a =e t ,b =ln t ,c =1-t ，在同一直角坐标系中分别画出函数y =e x ,y =ln x ,y =1-x 的图像，当0<t <1时，a >c >b ，当t =1时，a >c =b ，当t >1时，a >b >c ，故AB 正确.14.(多选)若b >c >32，13<a <12，则( )A.b log c a <c log b aB.bc a <cb aC.b a >c aD.log b a <log c a【解析】对于A 选项，因为b >c >32，13<a <12，则log c a <0，log b a <0，b b >b c >c c >1，b log c a c log b a =b lg a lg c ⋅lg b c lg a =lg b blg c c>1，所以，b log c a <c log b a ，A 对；对于B 选项，bc a cba =bc ⋅b c -a =b c 1-a >b c 0=1，则bc a >cb a ，B 错；对于C 选项，b a >c a ，C 对；对于D 选项，log b a log c a =lg a lg b ⋅lg c lg a =lg clg b<1，所以，log b a >log c a ，D 错.故选：AC .15.已知a =2-13，b =log 213，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为___________.【解析】因为y =2x 在R 上为增函数，且-13<0，所以0<2-13<20=1，即0<a <1，c =log 1213=log 23因为y =log 2x 在(0,+∞)上为增函数，且0<13<1<2<3，所以log 213<log 21<log 22<log 23，即log 213<0<1<log 23，即b <0<1<c ，所以b <a <c ，16.若a =log 23，b =log 48，c =log 58，则a ,b ,c 的从大到小顺序为______________.【解析】由于b =log 48=12log 28=log 28<log 29=a ，即a >b .由b =log 48=1log 84>1log 85=c ，即b >c .所以a >b >c .17.已知a =35 25，b =25 35，c =2525，则a ，b ，c 的大小关系为____.(用“<”连接)【解析】由于函数y =25 x 在R 上是减函数，且35>25，∴c =25 25>b =2535，由于函数y =x 25在0,+∞ 上是增函数，且35>25，∴a =35 25>c =2525，故a ，b ，c 的大小关系是b <c <a .18.1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8的大小关系是________.【解析】因为y =1.1x 单调递增，所以1.10.9>1.10=1；因为y =log 1.1x 在0,+∞ 上单调递增，所以log 1.10.9<log 1.11=0；因为y =log 0.7x 在0,+∞ 上单调递减，所以0=log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7=1；所以1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.19.已知a >b >0，且a +b =1，x =1a b ，y =log ab 1a +1b ，z =log b 1a，则x ，y ，z 从大到小为__________.【解析】∵a >b >0，a +b =1，∴1>a >12>b >0，∴1<1a <1b，∴x =1a b >1a 0=1，y =log (ab )1a +1b =log (ab )1ab =-1，z =log b 1a >log b 1b=-1.∴x >z >y .20.已知55<84，134<85，设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则a ，b ，c 的大小关系是______.(用“<”连接)【解析】由题意，知a ,b ,c ∈0,1 .因为a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg82 2=lg3+lg82lg5 2=lg24lg25 2<1，所以a 4，可得c >45，综上所述，a ，b ，c 的大小关系是a <b <c .21.已知x ,y ,z 分别满足下列关系：18x =19,19y =20,log 1918z =2019，则x ,y ,z 的大小关系(从小写到大)_______.【解析】因为18x=19,19y=20,log 1918z =2019，所以x =log 1819,y =log 1920,z =1918 2019，x -y =log 1819-log 1920=ln19ln18-ln20ln19=ln19 2-ln20⋅ln18ln18⋅ln19ln20⋅ln18<ln20+ln182 2=ln3602 2<ln36122=ln19 2，所以x -y >0即x >y ，z =1918 2019>1918，z x >1918log 1819=1918⋅ln18ln19=ln1818÷ln1919>1所以z >x ，故有y <x <z22.设a ,b ,c 均为正数，且2a =log 12a ,12b =log 12b ,12 c=log 2c ，则a ,b ,c 的大小关系为______________．【解析】a ,b ,c 分别是函数y =2x ,y =log 12x 的交点，函数y =12x,y =log 12x 的交点，函数y =12x,y =log 2x 的交点，做出三函数图像，由图像可知a 13，∴25 0.3>130.3；(2)∵y =x -1在-∞，0 上是减函数，又-23<-35，∴-23 -1>-35 -1；(3)∵y =x 0.3在0,+∞ 上为增函数，∴由25>0.3，可得250.3>0.30.3，①又y=0.3x在(-∞,+∞)上为减函数，∴0.30.3>0.325，②由①②知250.3>0.325.24.比较下列几组值的大小：(1)(-2.5)23和(-2.5)45；(2)25 -12和(0.4)-32；(3)13 -12和32 -12；(4)0.4-2.5，2-0.2，2.51.6．【解析】(1)由于(-2.5)23=2.523，(-2.5)45=2.545．∵y=2.5x在R上为增函数，且45>23，∴2.545>2.523，即(-2.5)45>(-2.5)23；(2)由于(0.4)-32=25 -32．∵y=25 x在R上为减函数，且-12>-32，∴25 -12<(0.4)-32；(3)∵y=13 x在R上为减函数，y=32 x在R上为增函数，且-12<0，∴13 -12>1，32 -12<1，∴13 -12>32 -12；(4)∵0.4-2.5=2.52.5，y=2.5x在R上为增函数，且2.5>1.6>0>-0.2∴2.52.5>2.51.6>1>2.5-0.2，∴0.4-2.5>2.51.6>2-0.2．25.已知正实数x，y，z满足3x=4y=6z．(1)求证：1z-1x=12y；(2)比较3x,4y,6z的大小．【解析】(1)证明：令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化知x=log3m，y=log4m，z=log6m则1x=log m3，1y=log m4，1z=log m6∴1z-1x=log m6-log m3=log m2=12y.(2)3x<4y<6z，证明：因为正实数x，y，z，∴3x>0,4y>0,6z>0，∴3x4y=3log3m4log4m=3lg mlg34lg mlg4=34×lg4lg3=34log34=log3464又464<3，∴log3464<1，∴3x<4y∴4y6z=4log4m6log6m=4lg mlg46lg mlg6=23×lg6lg4=23log46=log236又36<2，∴log236<1，∴4y<6z，∴3x<4y<6z．专项突破二构造函数比较大小1.已知f (x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且满足xf (x)+f(x)>0对任意的x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是( )A.f(1)>f(2)2 B.f(1)2>f(2) C.f(1)<f(2)2 D.f(1)2<f(2)【解析】令F x =xf x ，则F x =xf (x)+f(x)>0，故F x 为R上的增函数，所以F2 >F1 即2f2 >f1 ，故选：D.2.若a=ln33，b=e-1，c=5ln2010(e为自然对数的底数)，则实数a，b，c的大小关系为( )A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】令f(x)=ln xx，则f (x)=1-ln xx2，故当x∈(0,e)时，f(x)>0；当x∈(e,+∞)时，f (x)<0；而a=ln33=ln33=f(3)，b=e-1=ln ee=f(e)，c=5ln2010=ln2525=f25，而e<3<25，故b>a>c，故选：B3.已知a=ln33，b=1e，c=ln55，则以下不等式正确的是( )A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a【解析】令f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当0<x<e时,f x >0,f x 单调递增,当x>e时,f x <0,f x 单调递减,因为e<3<5,所以f e >f3 >f5 ,所以b>a>c，故选:C 4.设a=3e2ln e23，b=1e，c=ln22，则a，b，c的大小顺序为( )A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c【解析】令f x =ln xx x>0，则f (x)=1-ln xx2，当x>e时，f (x)<0，函数单调递减，当0<x<e时，f (x)>0，函数单调递增，故当x=e时，函数取得最大值f e =1 e，因为a=3e2ln e23=f e23，c=ln22=f2 ，b=1e=f e ，∵2<e23<e，当0<x<e时，函数f x 单调递增，可得f2 <fe23<f e ，即c<a<b．故选：B．5.已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【解析】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D6.已知实数a，b满足a=log23+log86，5a+12a=13b，则下列判断正确的是( )A.a>2>bB.b>2>aC.b>a>2D.a>b>2【解析】a=log23+log86=log23+13log22×3=43log23+13>43log222+13=43×32+13=73>2，所以a>2；由5a+12a=13b且a>2，所以5a+12a>25+144=169，所以b>2，令f x =5x+12x-13x，x>2，令t=x-2>0，则x=t+2，则f x =5x+12x-13x，x>2等价于g t =25×5t+144×12t-169×13t，t>0；又g t =25×5t+144×12t-169×13t<169×12t-169×13t<0，所以当x>2时，f x =5x+12x-13x<0，故5a+12a=13b<13a，所以a>b>2.故选：D.7.设a=20202022，b=20212021，c=20222020，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【解析】∵ln a ln b =2022ln20202021ln2021=ln20202021ln20212022，构造函数f x =ln x x +1x ≥e 2，f x =x +1-x ln x x x +1 2，令g x =x +1-x ln x ，则gx =-ln x <0，∴g x 在e 2,+∞ 上单减，∴g x ≤g e 2 =1-e 2<0，故f x <0，∴f x 在e 2,+∞ 上单减，∴f 2020 >f 2021 >0，∴ln aln b =f 2020 f 2021>1∴ln a >ln b .∴a >b ，同理可得ln b >ln c ，b >c ，故a >b >c ，故选：A 8.设a =23e1.5，b =23(4-ln2)，c =e 33，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.b <c <aB.c 0得函数f (x )在(2,+∞)单调递增所以f (3)<f 32即c <a ；②再比较b ,c ：由①知f min (x )=f (2)=e 24<f (3)=c ，而b =2232-12ln2 =232+ln 12 12，设h (x )=23(ln x +2)x ，h (x )=-23(ln x +1)x 2当0<x <1e ，h (x )>0，h (x )单调递增，当x >1e，h(x )<0，h (x )单调递减，所以b =h 12 <h max (x )=h 1e =23e ，而23e <e 4.e =e 24<f (3)=c ，所以b <c ，故选：A9.已知a ,b ,c ∈(0,1)，且a 2-2ln a +1=e ，b 2-2ln b +2=e 2，c 2-2ln c +3=e 3，其中e 是自然对数的底数，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【解析】设f x =x 2-2ln x ,g x =e x -x ，则f a =g 1 ,f b =g 2 ,f c =g 3 ，又g x =e x -1>0x >0 ，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g 3 >g 2 >g 1 ，即f c >f b >f a ，因为fx =2x -2x =2x 2-1 x<0x ∈0,1 ，所以f x 在0,1 上单调递减，所以a >b >c ，故选：A 10.设a =e 1.3-27,b =4 1.1-4,c =2ln1.1，则( )A.a 33，∴e 1.3<27，∴a <0；b -c =4 1.1-4-2ln1.1=22 1.1-2-ln1.1 ，令f x =2x -2-ln x ，∴f x =1x-1x =x -1x ，∴当0<x <1时，f x <0，f x 单调递减；当x >1时，f x >0，f x 单调递增；∴f (x )min =f 1 =0，∴f 1.1 >0，即2 1.1-2-ln1.1>0，∴c 2ln1=0，∴a <c <b ．故选：B ．11.已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =xe x ，则下面结论正确的是( )A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =xe x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6 ，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<ln e 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .12.设a =10099，b =e 0.01，c = 1.02，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b【解析】令f x =e x -x +1 ，则f x =e x -1，所以当x <0时f x <0，当x >0时f x >0，所以f x 在0,+∞ 上单调递增，在-∞,0 上单调递减，所以f x ≥f 0 =0，即e x -x +1 ≥0恒成立，即e x ≥x +1(当x =0时取等号)，所以e 0.02>1+0.02⇒e 0.01> 1.02，∴b >c ，又e -x ≥1-x (当x =0时取等号)，所以当x <1且x ≠0时，有1e x >1-x ⇒e x <11-x ，∴e 0.01<11-0.01=10099，∴a >b ．故选：A13.已知a =e 0.1-1，b =sin0.1，c =ln1.1，则( )A.a 0时，e x >1，∴e x -cos x >0，∴f x >0，f x 单调递增，∴f 0.1 >f 0 ，即e 0.1-1-sin0.1>0，∴e 0.1-1>sin0.1，即a >b ，令g x =ln x +1 -sin x ，∴g x =1x +1-cos x =1-x +1 cos x x +1=1-x cos x -cos xx +1，令h x =1-x cos x -cos x ，∴h x =x +1 sin x -cos x 令φx =x +1 sin x -cos x ，∴φ x =2sin x +x +1 cos x ，当0<x <π6时，φ x >0，∴h x 单调递增，∴h x <h π6 =π6+1 sin π6-cos π6=π+61-3 12<0∴h x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴h x <h 0 =0，∴g x <0，∴g x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴g 0.1 <g 0 =0，即ln1.1-sin0.1<0，∴c 0时，xf x -f x <0，记a =f 20.2 20.2，b =f 0.22 0.22，c =f log 25log 25，则错误的有( )A.a 0时，xf x -f x <0，得g x <0，g x 在0,+∞ 上单调递减，又log 25>log 24=2，1<20.2<2，0<0.22=0.04<1，可得log 25>20.2>0.22，故g log 25 <g 20.2 <g 0.22 ，故c <a bB.a ≤bC.a <2bD.a ≥2b【解析】设f x =13x+log 13x ，则f x 在0,+∞ 为减函数，因为13 a +log 13a =19 b +2log 19b =19 b +log 13b ,所以f a -f b =13 a +log 13a -13 b+log 13b =19 b +log 13b -13 b +log 13b =19 b -13 b =13 2b -13 b ，因为2b >b >0,所以13 2b <13 b ，所以13 2b -13b<0，即f a <f b ，从而a >b ,所以A 正确，B 错误；而f a -f 2b =13 a +log 13a -13 2b +log 132b =13 2b +log 13b -13 2b +log 132b =log 13b -log 132b >0,所以f a >f 2b ,所以a <2b ，所以C 正确，D 错误.故选：AC .16.(多选)已知定义在0,π2上的函数f (x )的导函数为f (x )，且f (0)=0，f (x )⋅cos x +f (x )sin x <0，则下列选项中正确的是( )A.f π6<62f π4B.f π3>0 C.f π6>3f π3D.f π4>2f π3【解析】令g (x )=f (x )cos x ，x ∈0,π2 ，则g(x )=f(x )cos x +f (x )sin x cos 2x.因为f (x )cos x +f (x )sin x <0，所以g(x )=f (x )cos x +f (x )sin x cos 2x<0在0,π2 上恒成立，所以函数g (x )=f (x )cos x 在0,π2 上单调递减，所以g π6 >g π4 ，即f π6 cos π6>f π4 cos π4，f π6 >62f π4，故A 错误；又f (0)=0，所以g (0)=f (0)cos0=0，所以g (x )=f (x )cos x≤0在0,π2 上恒成立，因为π3∈0,π2，所以f π3 ≤0，故B 错误；又g π6 >g π3 ，所以f π6 cos π6>f π3cosπ3，即f π6 >3f π3 ，故C 正确；又g π4 >g π3 ，所以f π4 cos π4>f π3cosπ3，即f π4 >2f π3 ，故D 正确.故选：CD .17.若a =2ln (ln1.01),b =ln ln3π 2,c =23ln2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．【解析】因为b =ln ln 3π 2=2ln ln 3π =2ln ln π3 ，c =23ln2=2ln213，所以构造函数f x =2ln x ，由对数函数的性质知，f x 在0,+∞ 上单调递增，所以只需比较ln1.01，ln π3，213的大小，由于1.01×3=3.03<π，故π3>1.01,所以ln1.01<lnπ3<1<213,所以a=2ln(ln1.01)<b=2ln ln π3<2ln213=23ln2=c,故答案为：a<b<c18.已知f x 是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f x1-x1f x2x1-x2<0，记a=f4.10.24.10.2，b=f0.42.10.42.1，c=f log0.24.1log0.24.1，则a，b，c的大小关系__________．【解析】设0<x1<x2，因为x2f x1-x1f x2x1-x2<0，则x2f x1-x1f x2>0，即f x1x1>f x2x2，所以函数g x =f xx在0,+∞上单调递减．因为f x 是定义在R上的奇函数，所以g-x=f-x-x=-f x-x=f xx=g x ，所以g x 是定义在-∞,0∪0,+∞上的偶函数，因此a=f4.10.24.10.2=g4.10.2<g1 ，b=f0.42.10.42.1=g0.42.1>g0.42>g0.5，c=f log0.24.1log0.24.1=g log0.24.1=g log54.1∈g1 ,g12，即a<c<b．。

高考数学复习考点题型专题讲解题型12初等函数的应用比较大小解析版

D. log2 3 log2 5 log3 2
【解析】： log2 5 2 log2 3 1 log3 2 ，选 A。
5.(高考题)设 P log2 3 ， Q log3 2 ， R log2 log3 2，则 (
)
A. R Q P
B. P R Q
C. Q R P
D. R P Q
高考数学复习考点题型专题讲解题型: 初等函数的应用（比较大小）
【考点题型一】：比较大小。
【题型 1】：同底或同指（或可化简为同底与同指）比较大小。
『解题策略』：构造指、对数及其它函数，利用增减性比较大小。
1.(2013 年新课标全国卷 II8)设 a log3 6 ， b log5 10 ， c log7 14 。则 (
80.48
21.44
，
y3
1 2
1.5
21.5
，选
D。
4.(高考题)已知 a log2 3.6 ， b log4 3.2 ， c log4 3.6 ，则 (
)
A. a b c B. a c b
C. b a c
D. c a b
【解析】： log2 3.6 log4 3.62 ，选 B。
7 / 13
14.(高考题)三个数 60.7 ， 0.76 ， log0.7 6 的大小关系为
。
【解析】：分区间： 60.7 1 ，1 0.76 0 ， log0.7 6 0 ，得 60.7 0.76 log0.7 6 。
15.(2013 年新课标全国卷 II)设 a log3 2 ， b log5 2 ， c log2 3，则 (
C. b c a
D. c a b
【解析】：可知

高考数学比大小压轴总结

高考数学比大小压轴总结
本文将为大家总结高考数学中常见的比大小压轴题型。

这些题型在高考中出现的频率较高，涉及的知识点也比较广泛，掌握好这些题型对于考生来说至关重要。

1. 比大小：
涉及知识点：数列、函数、不等式
比大小题主要考查考生对于数列、函数、不等式等知识的掌握程度。

在解题时，需要注意对于数列或函数的单调性、奇偶性等概念的理解，以及对于不等式的化简、变形等方法的熟练掌握。

2. 比较大小：
涉及知识点：三角函数、指数函数、对数函数、幂函数等
比较大小题主要考查考生对于各种函数的性质及其在不同定义
域内的表现的掌握程度。

在解题时，需要注意对于函数图像的分析及其在不同定义域内的表现的理解，以及对于函数基本性质的掌握。

3. 比例大小：
涉及知识点：比例、相似、几何图形等
比例大小题主要考查考生对于比例、相似、几何图形等知识的掌握程度。

在解题时，需要注意对于比例的概念理解，以及对于几何图形的分类、相似性质等的掌握。

总体上来说，比大小压轴题型是高考数学中比较重要的一类题型，需要考生在备考中加强复习。

在解题时，需要注意对于知识点的理解和应用，提高解题的效率和准确率。

高考数学复习考点题型专题讲解1 幂指对三角函数值比较大小

高考数学复习考点题型专题讲解第1讲幂指对三角函数值比较大小【题型一】临界值比较：0、1临界【典例分析】设0.2515log 4,log 4,0.5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <，从而可得出答案. 【详解】因为5550log 1log 4log 51=<<=，所以01a <<；因为11555log 4log 4log 4b -===-，所以10b -<<；又0.200.50.51c -=>=，所以b a c <<.故选：B. 【变式演练】 1.已知120212022202212022,log 2021,log 2021a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b【答案】A【分析】利用指数函数及对数函数的性质即得.【详解】∵102021202221022a >==，2022202220220log 1log 2021log 20221b =<=<=，202220221log log 102021c =<=， ∴a b c >>.故选：A.2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（） A ．a =，2000.30.31<<=，即1a >，01c <<；因为2221142log log 0.3log <<，所以12222log log 0.3g 2lo 2--<<，即221log 0.3<<--，即21b -<<-，又.2031log 2log 0.3=，所以0.311log 22-<<-，即112d -<<-，即a c d b >>>，故选：C3.9.01.17.01.1,9.0log ,8.0log ===c b a 的大小关系是（）A. c a b >>B. a b c >>C. b c a >>D.c b a >> 【答案】A试题分析：0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=，而1.11.1l o g 0.9l o g 10<=，对于0.901.1 1.11>=所以c a b >>，故选A【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）【典例分析】已知3422,log e a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】B 【分析】首先求出4a 、4b ，即可判断a b >，再利用作差法判断4432b ⎛>⎫⎪⎝⎭，即可得到32b >，再判断32c <，即可得解；【详解】解：由342a b ==，所以449,8==a b ，可知a b >，又由44381478021616⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭b ，有32b >，又由28e <，有322e <=，可得23log 2<e ，即32c <，故有a b c >>.故选：B【变式演练】1.已知6ln a π=，3ln 2b π=，4ln1.5c π=，则a b c 、、大小关系为（） A ．c b a <在()0,∞+上是增函数，对数函数ln y x =在()0,∞+上是增函数可得答案. 【详解】66ln ln a ππ==，33ln 2ln 2b ππ==，44ln1.5ln1.5c ππ==，因为3428 1.5 5.0625ππππ=>=，所以3ln 24ln1.5b c ππ=>=，即b c >，因为6666π=>=，66683.26635222222ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，66>，所以632ππ>，所以6ln 3ln 2a b ππ=>=，即a b >，所以c b a <<.故选：A. 2.已知0.350.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <， ∴ 1b >，10.300.70.70.7<<，故0.71c <<，所以a c b <<．故选：A ． 3.若0.60.590.5,0.6,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性分别比较0.60.50.5,0.5和0.50.50.5,0.6的大小，即可比较,a b ，再根据91log 32c ==，即可得出答案. 【详解】解：因为函数0.5x y =是减函数，所以0.60.50.50.50.5<<，又函数0.5y x =在()0,∞+上是增函数，所以0.50.50.50.6<，所以0.60.50.50.6<，即12a b <<，91log 32c ==，所以c a b <<.故选：B.【题型三】差比法与商比法【典例分析】已知实数a b c ､､满足13266,log 3log 4,51213b b c a b ==++=，则a b c ､､的关系是（） A ．b a c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】C 【分析】利用幂函数的性质知2a <，利用对数的运算性质及作差法可得20b ->，再构造1313c b -，根据指数的性质判断其符号，即可知,b c 的大小. 【详解】1133682a =<=；()2226222log 3log 312log 3log 4log 3201log 31log 3b b ⋅-=+=+-=>++，，2b >；2221351251213c b b =+>+=，2c >；222222222222131351213551212131351212121313c b b b b b b b b b b -------=+-=⋅+⋅-⋅<⋅+⋅-⋅2222222212(512)131313(1213)0b b b b ----=+-⋅=-<，∴b c >，综上，b c a >>.故选：C【变式演练】1.已知0.40.8a -=，5log 3b =，8log 5c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B 【分析】应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得222ln 3ln8(ln 3ln8)ln 54ln 5b c ⋅+=<可知b 、c 的大小，再结合指对数的性质可知a 、c 的大小. 【详解】25228log 3ln 3ln 8(ln 3ln 8)1log 5ln 54ln 5b c ⋅+==<=<，即b c <， ∵0.410.8c a -<<=，∴综上，b c a <<.故选：B2.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【详解】因为310log 35c =，又24log 3.41,log 3.61><，231010lg3.4lg3lg 2lglg 6.8lg3-lg 2lg3lg 2lg 10lg 6.8lg3lg 233log 3.4log =03lg 2lg3lg 2lg3lg 2lg3----==>（），所以23410log 3.4log 1log 3.6,3>>>324log 0.3log 3.4log 3.61555⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a c b >>3.已知3610a b ==，则2，ab ，a b +的大小关系是（） A ．2ab a b <+=，6log 101b =>，∴2ab >；又11lg3lg6lg181a b ab a b+=+=+=>∴ a b ab +>，∴2a b ab +>>.故选：D. 【题型四】利用对数运算分离常数比大小【典例分析】已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4e e ，p ＝e 13-，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（） A ．p ＜n ＜m B ．m ＜n ＜p C ．n ＜m ＜p D ．n ＜p ＜m【答案】C 【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m ，n ，12的大小关系，再由指数的性质有p ＝e 1312->，即知m ，n ，p 的大小关系.【详解】由题意得，m ＝log 4ππlg lg lg 41lg 4lg 4lg lg 4lg πππππ===-++，4lg lg lg 4log 1lg 4lg 4lg lg 4lg e e e n e e e e====-++， ∵lg4＞lgπ＞lg e ＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lg e ，∴lg 4lg 4lg 4111lg 4lg 4lg 4lg lg 4lg eπ->->-+++，∴12n m <<，而p ＝e 1312-=>，∴n ＜m ＜p ．故选：C ．【变式演练】1.2log 3､8log 12､lg15的大小关系为（） A ．28log 3log 12lg15<> D ．82log 12log 3lg15<< 【答案】C 【分析】应用对数的运算性质可得2321log 31log 2=+、8321log 121log 8=+、321lg151log 10=+，进而比较大小关系. 【详解】22232331log 3log (2)1log 122log 2=⋅=+=+，88832331log 12log (8)1log 122log 8=⋅=+=+，32331lg15lg(10)1lg 122log 10=⋅=+=+，∵3332220log 2log 8log 10<<<， ∴28log 3log 12lg15>>，故选：C. 2.已知b 0,b 1a a >>=，若()21,log ,2a b x y a b z a b ==+=+，则()log 3x x ，()log 3y y ，()log 3z z 的大小关系为（）A ．()()()log 3log 3log 3x y z x y z >>B ．()()()log 3log 3log 3y x z y x z >>C ．()()()log 3log 3log 3x z y x z y >>D ．()()()log 3log 3log 3y z x y z x >>【答案】D 【分析】先化简33333log (3)111log (3)1,log (3)1,log (3)1log log log log x y z x x y z x x y z ==+=+=+，再根据,,x y z 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系．【详解】因为33333log (3)111log (3)1,log (3)1,log (3)1log log log log x y z x x y z x x y z==+=+=+，函数31log y x =在(0,1)和(1,)+∞上均单调递减，又b 0,b 1a a >>=，所以1,0 1.a b ><<而21,log (),2a b x y a b z a b==+=+, 所以0x <1,1,22y z <>>，即,y x z x >>，可知log (3)x x 最小．由于222221log ()log ,2log 2log 4a ay a b a z a a⎛⎫=+=+=== ⎪⎝⎭，所以比较真数1a a +与4a 的大小关系.当1a >时，14aa a+<，所以1z y >>, 即331111log log y z+>+. 综上,log (3)log (3)log (3)y z x y z x >>．故选：D ．3.已知3log 15a =，4log 40b =，23c =，则（） A ．a c b ＞＞ B ．c a b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞【答案】C 【分析】把c 用对数表示，根据式子结构，转化为比较10323log 5log 4log 2、、的大小，分别与1和32比较即可. 【详解】3333log 15=log 3log 5=1log 5a =++，4444log 40=log 4log 10=1log 10b =++，由23c =得，223log 31log 2c ==+. 因为353,104,22>><，所以323log 51log 2>>，423log 101log 2>>，即,a c b c ＞＞. 下面比较a 、b 的大小关系：32333log 5log 32<=（其中323 5.2≈），324443l og 10l o g 8=l o g 4=2>，所以34log 5log 10< 所以b a ＞所以b a c ＞＞.故选：C.【题型五】构造函数：lnx/x 型函数【典例分析】设24ln 4e a -=，1e b =，ln 22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】B 【分析】设()ln xf x x =，利用导数判断单调性，利用对数化简2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e b f =，()()24c f f ==，再根据单调性即可比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】设()ln x f x x =，则()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x，当()1,e x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()222222e ln 2ln e ln 24ln 4e 2e e e 22a f -⎛⎫-==== ⎪⎝⎭，()1ln e e e eb f ===，()ln 222c f ==，所以()e b f =最大，又因为()()24c f f ==，2e e 42<<，所以()2e 42a f f c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以b a c >>，故选：B.【变式演练】1.已知a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，则下列选项正确的是（） A ． cB ．cC ．cD ． c【答案】D 对同除，转化为之间的比较，构造函数 =，利用导数研究函数的单调性，得到答案. 【详解】===，，，的大小比较可以转化为的大小比较．设 =ln，则 =ln，当 = 时， = ，当时，，当时，在上单调递减， 3lnlnln=ln，，故选：D ．2.以下四个数中，最大的是（）A ．B ．1eC ．ln ππD 【答案】B 【详解】由题意，令()ln x f x x=，则()21xf x x-'=，所以e x >时，()0f x '<，∴()f x 在(,)e +∞上递减，又由315e π<<<，∴()()()3(15)f e f f f π>>>，则111113315ln ln3ln ln ln15ee πππ>>>>>，即1ln e ππ>>>，故选：B ． 3.下列命题为真命题的个数是ln3 3ln ； lnπ；； 3 ln A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 本题首先可以构造函数 =，然后通过导数计算出函数 =的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数 =的单调性即可比较出大小。

高中数学一轮复习重难点微专题一构造函数比较大小问题

取x= 190 ,有 190 -1>ln 190 ⇔-ln 190 >1- 190 ,即10b>10a,故b>a.
比较b与c,
b= 19 = 190 -1,c=-ln 0.9=ln 190 ,
利用x-1≥ln x(当且仅当x=1时取等号),
取x= 10 ,即得b>c.
9
比较a与c,
构造函数h(x)=xex+ln(1-x),x∈[0,0.1],
'(x)= x(x 1)2
x
(x>e2),令g(x)=x+1-xln
x(x>e2),
则g'(x)=-ln x<0,
所以g(x)在(e2,+∞)上单调递减,又g(e2)=e2+1-2e2=-e2+1<0,
所以当x∈(e2,+∞)时,g(x)<0,所以f '(x)<0,所以f(x)在(e2,+∞)上单调递减,
答案 A
2
6.(2023安徽淮南一模)若7a=5,8b=6, ec=2+e2,则实数a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>c>b B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c
答案 B
7.(多选)(2023安徽蚌埠教学质量检测)已知a>b>1,则下列结论正确的是 ( )
A.ea-b>
故选C.
答案 C
例2 (2022全国甲,12,5分)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 ( )
A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

专题01-利用函数值解决比较大小问题归类(解析版)

专题01 利用函数值解决比较大小问题归类一、重点题型目录【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小【题型】五、作差法比较大小【题型】六、作商法比较大小【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小【题型】八、构造函数法比较大小【题型】九、放缩法比较大小【题型】十、中间量法比较大小二、题型讲解总结【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小例1．（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜b ＜a【答案】C【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答. 【详解】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3()5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<．故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）已知311434333(),(),,552a b c ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是________.【答案】c b a <<或a b c >>【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可【详解】因为35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数，且11034-<-<，所以11034333555--⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1a b >>，因为32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的增函数，且304-<，所以30433122-⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1c <，所以c b a <<故答案为：c b a <<或a b c >>【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小例2．（2022·广西柳州·模拟预测（理））若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】A【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小. 【详解】因为lg0.3lg10<=，所以a<0；因为3355log 2log 10,log 4log 10>=>=，所以0,0b c >>，42211log 5log 5log 2c ===21log 3b =，而22log 3log >所以11b c >，即b c <. 故选：A.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知正数,,x y z 满足3815x y z ==，则下列说法正确的是（） A ．230x y -> B ．230x y -< C ．50x z -> D ．50x z -<【答案】AD【分析】设38151x y z k ===>，可得3log x k =，8log y k =，15log z k =；根据对数运算法则和换底公式可表示出23x y -和5x z -，根据对数函数单调性可确定结果.【详解】,,x y z 为正数，∴可设38151x y z k ===>，则3log x k =，8log y k =，15log z k =；对于AB ，3821232log 3log log lg lg 2x y k k k k ⎛⎫-=-=-=⎪⎭，lg 2>1lg 2>，又lg lg10k >=，230x y ∴->，A 正确，B 错误；对于CD ，31535log 5log log lg x z k k k k k ⎛⎫-=-=-=，5lg 243><lg lg10k >=，50x z ∴-<，C 错误，D 正确.故选：AD.【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小例5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知实数()(),,00,m n ∈-∞+∞，且m n <，则下列结论一定正确的是（） A ．5533m n > B ．65m n > C ．22n mm n < D ．142m n n m-->【答案】D【分析】根据幂函数的单调性可判断AD 选项，利用特值法可判断BC 选项. 【详解】因为53y x =为增函数，且m n <，故5533m n <，故A 错误；令1m =，2n =，此时65m n <，故B 错误；令2m =-，1n =，故214n m =，22m n =-，故22n m m n >，故C 错误；因为0n m ->，故n m y x -=在第一象限为增函数，则11424m n n mn m--->=，故D 正确；故选：D.例6．（2022·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））122a =，133b =，166c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】C【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同，然后由幂函数的单调性比较大小．【详解】116228a ==，113639b ==，16y x =是增函数，689<<， ∴c<a<b 故选：C ．例7．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知302a =，203b =则a ，b 中较大的数是___________. 【答案】b【分析】利用指数的性质有10108,9a b ==，结合幂函数的单调性即可判断大小关系. 【详解】由101030203892a b =<===，所以a b <，较大的数是b . 故答案为：b .【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小例8．（2022·全国·高三专题练习）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（） A ．sin3sin2sin1＜＜ B ．sin3sin1sin2＜＜ C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【答案】B【分析】利用诱导公式化简后，再利用正弦函数的单调性比较即可. 【详解】sin 2sin(π2),sin3sin(π3)=-=-，因为π0π31π22<-<<-<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以sin(π3)sin1sin(π2)-<<-，所以sin3sin1sin2<<，故选：B例9．（2022·四川·模拟预测（文））设1cos662a =︒︒，22tan131tan 13b ︒=+︒，c =则有（） A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b << D ．b<c<a【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a ，利用倍角公式化简,b c ，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】()1cos 66sin 306sin 242a ===︒-︒︒︒︒，2222tan132sin13cos13sin 261tan 13cos 13sin 13b ︒︒︒︒︒==︒︒=++，sin 25c ===︒. 因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，所以a c b <<.故选：C.例10．（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中成立的是（） A ．34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin507sin145<C ．3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin4cos4<【答案】ABD【分析】利用三角函数的单调性判断.【详解】解：因为余弦函数cos y x =是偶函数，比较3cos 10π⎛⎫ ⎪⎝⎭与4cos 9π⎛⎫⎪⎝⎭即可，因为3401092πππ<<<，所以34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确； sin507sin147=，正弦函数sin y x =，在（90，180）上单调递减，且90145147180<<<，所以sin147sin145<，即sin507sin145<，B 正确；因为32752，且tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，所以3tan <tan 75ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；因为53442ππ<<，则sin4cos40<<，D 正确．故选：ABD例11．（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）设2sin38cos38a =︒︒，22tan 351tan 35b ︒=-︒，c =） A ．c b a <︒=>︒=-︒，sin 76sin 60a c =︒>︒==，所以c<a C ．ln ln a b b a < D ．ln ln a a b b >【答案】BC【分析】作差法判断选项A ；利用对数函数单调性判断选项B ；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C ；举反例排除选项D.【详解】选项A ：()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b-+--=-== 由01b a <<<，可得lg lg 0b a <<，则lg lg 0b a >，lg lg 0b a -<，lg lg 0b a +< 则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b-+>，则log log a b b a >.判断错误；选项B ：由01a <<，可得log a y x =为(0,)+∞上减函数，又0b a <<，则log log 1a a b a >=.判断正确；选项C ：由01a <<，可知x y a =为R 上减函数，又b a <，则a b a a > 由0a >，可知a y x =为(0,)+∞上增函数，又b a <，则a a b a <，则b a a b >又ln y x =为(0,)+∞上增函数，则ln ln b a a b >，则ln ln a b b a <.判断正确；选项D ：令211e e a b ==，，则01b a <<<，e ln l 111e n e a a =-=，222ln ln 112e e eb b =-=则22122e0e ln eln e a a b b --+==<-，即ln ln a a b b <.判断错误.故选：BC例13．（2023·全国·高三专题练习）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+ C ．n m m n > D ．log log m n n m <【答案】AC【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D.【详解】由01n m <<<知，0n m -< ，故110,1(1)1n n n m n n m m m m m m +-+-=<<+++，A 正确；由01n m <<<得0m n ->，110mn -<，所以()11110m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11m n m n+<+，故B 错误；因为指数函数x y m =为单调减函数，故n m m m >，由幂函数m y x = 为单调增函数知m m m n > ，故n m m n >，故C 正确；根据, 01n m <<<对数函数log ,log m n y x y x == 为单调减函数, 故log log 1log log m m n n n m n m >==>，故D 错误，故选：AC【题型】六、作商法比较大小例14．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（） A ．若20352049x y =，则0x y == B ．若22x x <，则12x <<C ．若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0∞-单调递减，且()20f =，则满足0xf x ≤（）的x 的取值范围为][()22∞∞--⋃+，，D ．若25log 3m =，log n =0mn m n <+<【答案】BD【分析】对于A ，令()203520490x yt t ==>，将指数式转化为对数式即可判断；对于B ，作出函数2,2x y y x ==的图像，结合图像即可得判断B ；对于C ，根据函数的奇偶性不等式()0xf x ≤即为0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩，解之即可判断C ；对于D ，分别判断,m n 的符号，再利用作商法比较,m n mn +即可判断D.【详解】解：对于A ，令()203520490x yt t ==>，则20352049log ,log x t y t ==，当且仅当1t =时，0x y ==，当1t ≠时，x y ≠，故A 错误；对于B ，作出函数2,2x y y x ==的图像，又当1x =时，1221=⨯，当2x =时，2222=⨯，所以若22x x <，则12x <<，故B 正确；对于C ，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，因为()f x 在(),0∞-单调递减，所以函数在()0,∞+也单调递减，因为()20f =，所以()()220f f -=-=，则当()(),20,2x ∈-∞-时，()0f x >，当()()2,02,x ∈-+∞时，()0f x <，若()0xf x ≤，则0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩，所以0x =或2x ≤-或2x ≥，所以满足()0xf x ≥的x 的取值范围为[][){}22,0-⋃∞+∞⋃,-，故C 不正确；对于D ，2255log 31l 5og 2m =<=-，225525log 3log 24m m =>==-，所以()2,1m ∈--，221log log 2n ==，22log log 21n =<=，所以1,12n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0m n +<，0mn <，由331128log log 55m n mn m n +=+=+=，因为380log 15<<，所以1m n mn +<，所以m n mn +>，所以0mn m n <+<，故D 正确. 故选：BD.【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小例15．（2023·全国·高三专题练习）已知2510a b ==，则（） A ．111a b+>B ．2a b >C ．4ab >D ．4a b +>【答案】BCD【分析】根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解.【详解】252510,log 10,log 10,a ba b ==∴==对于A ，lg lg lg lg log log lg lg lg lg a b +=+=+=+251111112510101010101025log log log log =+===⨯101010102255101，故A 不正确；对于B ，log ,log log log a b ====2255510221010100，342328,216,525,5125====log log log ;log log log a b <<⇒<<<<⇒<<222555816342510012522103，2a b >，故B 正确；对于C ，()()lg lg lg lg lg lg log log log log lg lg lg lg ab ++=⋅=⋅=⋅=++102525251025101015122525log log log log log log =+++⋅=++25252515252252log log ,log log ab >=>=∴>++=22555422102204，故C 正确；对于D ，由B 知，,,a b b a b <<<<∴<<∴<+<311342231422，故D 正确；故选：BCD.【题型】八、构造函数法比较大小例16．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）下列大小关系正确的是（）． A ．2 1.91.92，()f x 递增，而0 1.92e <<<，所以(1.9)(2)f f <，即ln1.9ln 21.92<，2 1.9ln1.9ln 2<，即2 1.91.92<，A 正确；2.9322288.41 2.9<=<=，B 正确；770log 4log 12<<，所以222777777(log 4log 12)(log 48)(log 49)log 4log 121444+⋅<=<=，所以71271log 4log 7log 12<=，C 正确；10102264(2)102410==>，76107823543104=<<，7107710log 4log 417=>，所以77log 40.710>=， 472401=，341217287=<，所以3412124log 7log 713=>，123log 70.754>=，所以712log 4log 70.70.75 1.45+>+=D 错．故选：ABC ．例17．（2022·河南河南·一模（文））已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（） A ．c b a <，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c ，即可求解【详解】令()()ln ,0xf x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>，由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以eln ππlne <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπe πeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A【题型】九、放缩法比较大小例18．（2023·上海·高三专题练习）设0.21e 1,ln1.2,5a b c =-==，则,,a b c 的大小关系为___________.（从小到大顺序排）【答案】b<c<a【分析】方法一：构造函数()e 1x f x x =--和()ln 1g x x x =-+，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法记()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，故0.20.2(0.2)(0)e 0.210e 10.2f f >⇒-->⇒->，故a c >，记()ln 1g x x x =-+，则11()1xg x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '<，故()g x 在()1+∞，单调递减，故(1.2)(1)0ln1.2 1.210ln1.20.2g g <=⇒-+<⇒<，故b c <，因此a c b >>．故答案为：b<c<a [方法二]：泰勒公式放缩0.2110.210.2a e c =->+-==，由函数切线放缩ln(1)x x +<得()ln 10.20.2b c =+<=，因此a cb >>.故答案为：b<c<a【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．【题型】十、中间量法比较大小例19．（2022·天津北辰·高三期中）已知0.12a =，0.3log 0.5b =，0.5log 0.2c =，则（） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的性质，与中间量1，2比较大小即可得到结果．【详解】因为0.10.51222a <=<<，0.30.3log 0.5log 0.31b =<=，0.50.5log 0.2log 0.252c =>=，所以c a b >>．故选：C ．例20．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】A【分析】通过0ln 21<<，所以判断出01a <<；又对122b =，133c =进行化简，得到121628b ==，131639c ==，从而判断出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】ln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c << ∴a b c <<三、题型模拟演练一、单选题1．（2022·山东·济南市历城第二中学高三阶段练习）已知集合{}{}231,340x A x B x x x =≥=-->，则A B =（）A ．{}1x x <-B ．{}04x x <≤C ．{}4x x >D ．{10x x -<≤或}4x >【答案】C【分析】利用指数函数图象可得[)0A =+∞，，根据一元二次不等式可得B =4∞∞（，+)(-,-1)，进而求出A B ⋂.【详解】[)0A =+∞，，B =4（，+)(-，-1)∞∞，A B =4+∞（，）故选：C.2．（2022·云南·高三阶段练习）已知0.11.1a -=，ln3b =，c = ） A ．a b c <= ，所以a c b <<；故选：B.3．（2022·陕西·交大附中高一期中）已知12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭4log 8b =，π32c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】A【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.【详解】因为122a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，32443log 8log 42b ===，π33122c -⎛⎫⎛⎫=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b c >>. 故选：A.4．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足13440a b +⨯-=1=()()25log 3R a c x x x =+-+∈，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >>D ．a c b >>【分析】对题意进行化简，利用函数的单调性即可判断大小【详解】由13440a b +⨯-=可得034144b a-=<=，所以0b a -<即b a <，1=y =R 上的增函数，可得b c <，因为221113124x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以由()()25log 3R a c x x x =+-+∈可得()255log 3log 10a c x x -=-+>=，所以a c >，故a c b >>．故选：D5．（2022·山东省青岛第九中学高三阶段练习）已知函数 ()3xf x = ，且函数 ()g x 的图像与 ()f x 的图像关于 y x = 对称，函数 ()x ϕ 的图像与 ()g x 的图像关于 x 轴对称，设 12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， 12b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 12c ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】D【分析】根据函数图像的对称关系可以得到()g x ，()x ϕ的解析式，代入后跟特殊值0比较可得b 最小，然后构造函数，利用特殊值和函数的单调性比较a ，c 的大小即可.【详解】因为()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称，所以()3log g x x =，又因为()x ϕ的图像与()g x 关于x 轴对称，所以()3log x x ϕ=-，1210312a f -⎛⎫<=-=< ⎪⎝⎭，311log 022b g ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，33110log log 2122c ϕ⎛⎫<==-=< ⎪⎝⎭，所以b 最小；1a =221log 32log c== 构造()22log h x x x =-，则()2ln 221ln 2ln 2x h x x x -'=-=，当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，因为0ln 21<<，所以22ln 2>，令2x =，得()20h =，所以()20h h >=，22112log 02log a c>⇒>>，又因为0a >，0c >，所以c a >，综上所述c a b >>. 故选：D.【点睛】比较对数、指数、幂的大小的方法：∴利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小； ∴借助特殊值“0”、“1”或其它的数值比较大小； ∴根据两数之间的关系，构造函数来比较大小.6．（2022·广西南宁·高三阶段练习（理））设e 3a =，πe b =，3πc =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】D【分析】利用e e 3ππ3m c a <=<==，构造ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞研究单调性比较ln ,ln b m 大小，构造()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞研究单调性判断函数值符号比较ln ,ln b c 的大小，即可得结果.【详解】由e e 3ππ3m c a <=<==，因为ln πlne b =，ln eln πm =，则ln ln e e πeb =，ln ln πe ππm =，令ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞，则21ln ()0x f x x -'=<，则()f x 递减，所以(e)(π)f f >，即ln e ln πe π>，则ln ln b m >，故b m a >>；因为ln πb =，ln 3ln πc =，由ln ln π3ln πb c -=-，令()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞，则3()0x g x x-'=>，则()g x 递增；故3e (3)33ln 3ln 027g =-=<，4e (4)43ln 4ln 064g =-=<，而3π4<<，所以(π)π3ln π0g =-<，则ln ln b c <，即>c b ，综上，c b a >>. 故选：D【点睛】关键点点睛：利用中间值得到e e 3ππ3m c a <=<==，构造ln ()xf x x=利用导数研究单调性比较ln ,ln b m ，作差法并构造()3ln g x x x =-研究函数值符号比较ln ,ln b c 大小.二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（） A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c <【答案】CD【分析】根据()1,2x ∈求出()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，借助指数函数与对数函数的单调性分别判断选项即可.【详解】因为()1,2x ∈，所以()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，且b c <，所以log 1b c a >>，故A 错误；因为()0,1ba ∈，1cb >，即bc a b <，故B 错误，C 正确；因为log 0a b <，log 0b c >，即log log a b b c <，故D 正确. 故选：CD.8．（2023·全国·高三专题练习）已知x ，y ∈R 且3344x y y x -<-，则（） A ．x y D ．133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】将原不等式转化为3344x x y y +<+，结合函数的单调性可得x y <，再根据指对幂函数的性质逐个判断即可【详解】因为x ，y ∈R 且3344x y y x -<-，即x ，y ∈R ，且3344x x y y +<+，设()34f x x x =+，因为函数3y x =在R 上单调递增，函数4y x =在R 上单调递增，所以函数()34f x x x =+在R 上单调递增，A ，由3344x x y y +<+，得()()f x f y <，所以x y <，故选项A 正确；B ，因为x ，y ∈R ，所以当x =0或y =0时，3x -，3y -没意义，故选项B 错误；C ，因为x y <，而只有当1y x ->时，()lg 0y x ->才能成立，故选项C 错误；D ，因为x y <，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故选项D 正确．故选：AD三、填空题9．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））设32log 2a =，9log 15b ，13c -=，则a ，b ，c 大小关系为___________. 【答案】a b c >>【分析】根据对数的运算及对数函数的单调性，结合指数的运算即可求解.【详解】由题意可知，332log 2log 4log a ===，293331log 15log 15log 15log 152b ，当1a >时，log a y x =在()0,+∞上单调递增，因为3331615,log 16log 15log 31，即1a b >>.11313c -==<，所以a b c >>. 故答案为：a b c >>.四、解答题10．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >且1a ≠，()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，()h x(1)求()()()f x g x h x ++的定义域D ；(2)已知0x D ∈，请比较()0f x 与()0g x 的大小关系. 【答案】(1)()0,1；(2)当1a >时，()()00f x g x >；当01a <<时，()()00f x g x <.【分析】(1)根据对数函数真数大于零，分母不为零，偶次开根根号下非负即可列出不等式组求D ；(2)根据a 的范围，根据对数函数单调性即可判断． (1)依题意，x 应满足10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪>⎩，解得01x <<，∴函数()()()f x g x h x ++的定义域D =()0,1； (2)当()00,1x ∈时，有0011x x +>-，∴当1a >时，函数log a y x =单调递增，∴()()00f x g x >； ②当01a <<时，函数log a y x =单调递减，∴()()00f x g x <．。

2022年高考数学比较大小方法总结【学生版】

高考数学比较大小方法总结高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.【方法归纳】（一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）()1,+∞()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>1113423,4,5()()()11111143634212121233,44,55===2log 32221log 2log 3log 42=<<=2log 3nm mna a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）（3）（4）换底公式：进而有两个推论：（令）（二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则：（1）（2） 3、常见描述单调性的形式（1）导数形式：单调递增；单调递减（2）定义形式：或：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行log log log a a a M N MN +=log log log a a aM M N N-=()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>log log log c a c bb a=1log log a b b a =c b =log log m n a a nN N m=()f x [],a b []()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x =+()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()'0f x f x >⇒()()'0f x f x <⇒()()12120f x f x x x ->-()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦比较（三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2019全国Ⅰ卷理数】已知，则（） A ． B ． C ．D ．例2.【2019全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │例3.【2019全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）()f x x a =(),a +∞()f x x a =(),a +∞0.20.32log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. B. C. D.例6.【2019天津理数】已知，，，则的大小关系为（） A ． B ． C ．D ．【最新模拟】1．（2020·福建高三（理））设12a e -=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．c b d a >>>B ．c d a b >>>C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =，7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =a b c <<c b a <<b a c <<b c a <<()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b <+<+()21log 2a b a a b b +<+<()21log 2a ba b a b +<+<5log 2a =0.5og 2.l 0b =0.20.5c =,,a b c a c b <<a b c <>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>7．（2020·河南高三月考（文））己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>8. （2020·广东高三月考（文））已知3log 8a =，0.80.25b -=，c = ）A ．a b c <B ．0,0b c >>C ．0,0b c ><D ．0,0b c <<10.（2020·云南高三（理））已知1t >，235=log ,log ,=log x t y t z t =，则A ．235x y z <时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断一定正确的是（）A ．()()523e f f <- B ．()()523f e f <- C ．()()523e f f ->D ．()()523f e f -<12. ．（2020·海南中学高三月考）已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>13. （2020·黑龙江实验中学高三开学考试（文））若2log 3a =，4log 8b =，5log 8c =，则,,a b c 的从大到小顺序为 .14、（2020·山东高三月考）已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的条件 . （填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）15. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））已知||()2x f x x =，3(log a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则,,a b c 的从大到小顺序为 .16. （2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数()32cos f x x x =+,若a f =(2),b f =2(log 7),c f =则,,a b c 的从小到大顺序为 .。

高考数学复习：比较大小关系题型

高考数学复习：比较大小关系题型题型一：选取中间值：0与1型解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础的是以正负划分，正数则以1为区间端点划分，负数多以-1为分界点划分。

1.设3log a π=，2b =，1ln 2c=4，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c>>D ．b a c>>2.定义在R 上的函数()sin 2f x x x =+，若12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b f =，13e c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则比较a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>4.已知0.812a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122log 3b =，0.34c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a<<D ．c b a<<题型二：选取中间值：临界值型寻找非0、1的中间变量，中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。

然后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。

1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值3.利用幂指对等函数计算公式进行适当的放缩转化1.若3log 2a =，πlog 3b =，8log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．a c b<<2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（）A ．a >B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>对数函数1a >01a <<图象性质（1）定义域：()0,∞+_.（2）值域：R （3）过定点()1,0，即x =_1_时，y =0（4）在_()0,∞+上增函数（4）在()0,∞+上是减函数（5）1,log 0a x x >>；01,log 0a x x <<<（5）1,log 0a x x ><；01,log 0a x x <对数比较大小①同底数对数比较，用单调性比较；②同真数对数比较，画图像比较；③不同底也真对数比较，借助媒介“0和1”.④对数与指数之间比较，一般借助媒介“0和1”.1.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A．a b c >>B．a c b >>C．b c a >>D．c a b >>2.已知5log 2a =，8log 3b =，32c =，则下列判断正确的是（）A．c b a <<B．b a c <<C．a c b<<D．a b c<<3.若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，231log 3c =，则（）A．c a b <<B．a b c <<C．b a c <<D．b c a <<4.已知0.3log 0.7a =，0.30.7b -=，7log 3c =则（）A．a c b <<B．c a b <<C．c b a<<D．a b c<<指数函数1a >01a <<图象性质（1）定义域：()0,∞+_.（2）值域：R （3）过定点()1,0，即x =_1_时，y =0（4）在_()0,∞+上增函数（4）在()0,∞+上是减函数（5）1,log 0a x x >>；01,log 0a x x <<<（5）1,log 0a x x ><；01,log 0a x x <指数幂比较大小①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较；②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较；③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”.1.设1898a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1989b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1778c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则下列关系正确的是（）A．c b a <<B．a c b <<C．b a c <<D．b<c<a2.已知0.60.40.612,2,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A．a b c <<B．c a b <<C．c b a <<D．a c b<<3.若0.22023a =，0.2log 2023b =，20230.2c =，则（）A．a b c >>B．b a c >>C．a c b >>D．c a b>>4.设43e a -=，ln 3b =，231log 3c -+=，则（）A．c<a<b B．b a c<<C．a c b<<D．a b c<<三角函数图像与性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R{x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z}值域[－1，1][－1，1]R单调性[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z)上递增；[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z)上递减[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)上递增；[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上递减(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z)上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z)时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k π，0)(k ∈Z)(π2＋k π，0)(k ∈Z)(k π2，0)(k ∈Z)对称轴方程x ＝π2＋k π(k ∈Z)x ＝k π(k ∈Z)周期2π2ππ三角函数与三角函数值比较大小：1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当x ∈(0，π2)时，sinx x <3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小1.下列选项中两数大小关系错误的是（）A．sin1cos1>B．sin 2tan 2>C．3π3πsin sin75<D．3ππtan tan 75⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin a αα=，()tan sin b αα=，()sin tan c αα=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A．a b c <<B．b a c <<C．<>B．sin1.5tan1.5cos1.5>>C．sin1.5cos1.5tan1.5>>D．tan1.5cos1.5sin1.5>>4.a ，tan95tan35tan35b ︒︒︒=-︒，n 4sin 391si 5c ︒=︒，则a ，b ，c 的大小关系是（）A．a b c <<B．a c b <<C．b<c<a D．c b a<<题型六：比大小基本方法：做差比较法差比法：作差，变形，判断正负。

导数利器——导数比大小十三种题型(精简版)

1导数技巧：比大小对数函数基础构造1：x ln x 型【典例分析】1(2022·全国·高三专题练习)已知a ,b ,c ∈1e ,+∞ ，且ln5a =-5ln a ，ln3b=-3ln b ，ln2c =-2ln c ，则()A.b <c <aB.c 0，此时f (x )单调递增，当x ∈0,1e,f (x )<0，此时f (x )单调递减，由题ln5a =-5ln a ，ln3b=-3ln b ，ln2c =-2ln c ，得a ln a =15ln 15,b ln b =13ln 13,c ln c =12ln 12=14ln 14，因为15<14<13<1e ，所以15ln 15>14ln 14>13ln 13，则a ln a >c ln c >b ln b ，且a ,b ,c ∈1e ,+∞ ，所以a >c >b .故选：A .【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)已知a =810，b =99，c =108，则a ，b ，c 的大小关系为()A.b >c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c答案D解析【分析】构造函数f x =18-x ln x ，x ≥8，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造f x =18-x ln x ，x ≥8，f x =-ln x +18x -1，f x =-ln x +18x -1在8,+∞ 时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e 2=54-2<0，所以f x =-ln x +18x-1<0在8,+∞ 恒成立，故f x =18-x ln x 在8,+∞ 上单调递减，所以f 8 >f 9 >f 10 ，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a >b >c .故选：D2.(2022·四川宜宾·二模(文))已知a =1010，b =911，c =119，则a ,b ,c 的大小关系为()A.c <a <bB.b <a <cC.a f (10)>f (11)，即11ln9>10ln10>9ln11,ln911>ln1010>ln119，可得911>1010>119，即c <a c >bB.c >b >aC.b >a >cD.a >b >c答案D2解析【分析】构造函数f x =14+x ln 14-x ，利用函数f x 的导数讨论函数f x 的单调性.【详解】令f x =14+x ln 14-x ，x ∈-1，1 ，则f x =ln 14-x -14+x 14-x <ln15-1315<0，所以f x =14+x ln 14-x 在-1，1 上单调递增，所以f -1 <f 0 <f 1 ，即13ln15<14ln14<15ln13，所以，a >b >c 故选：D【题型二】对数函数基础构造2：x ln x型【典例分析】2(2022·全国·模拟预测)已知1<a e abe ；③a a <e abe ；④a b <e abe ，则其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析【分析】构造f x =ln xx，x ∈1,e ，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础上得到④的正误，根据g x =a x 的单调性及④得到③的正误..【详解】设f x =ln x x ，x ∈1,e ，则f x =1-ln x x 2>0在x ∈1,e 上恒成立，所以f x =ln xx 在x ∈1,e 上单调递增，因为1<a <b <e ，所以ln a a <ln bb，即b ln a <a ln b ，因为y =ln x 单调递增，所以a b <b a ，①正确；ln b b <ln e e =1e ，即a ln b <abe ，因为y =ln x 单调递增，所以b a <e ab e ，②错误；因为a b <b a ，所以a b <e abe ，④正确；因为g x =a x 单调递增，1<a <b <e 所以a a <a b ，所以a a <e ab e ，③正确.故选：C【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)a =3(2-ln3)e2,b =1e ,c =ln33，则a ，b ，c 的大小顺序为()A.a <c <bB.c <a <bC.a 1)，利用导数确定g (x )>0，进而得到ln x 2-ln x 1x 2-x 1>2x 2+x 1，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令f (x )=ln x x ，则a =f e 23 =lne 23e23，b =f (e )=ln e e ，c =f (3)=ln33，而f(x )=1-ln x x 2且x >0，即0<x <e 时f (x )单调增，x >e 时f (x )单调减，又1<e 23<e <3，∴b >c ，b >a .若t =ln x x 有两个解x 1,x 2，则1<x 1<e <x 2，t ∈0,1e ，即t =ln x 2-ln x 1x 2-x 1，x 1+x 2=ln x 1x 2t，令g (x )=ln x -2(x -1)x +1(x >1)，则g(x )=(x -1)2x (x +1)2>0，即g (x )在(1,+∞)上递增，∴g (x )>g (1)=0，即在(1,+∞)上，ln x >2(x -1)x +1，若x =x 2x 1即ln x 2-ln x 1x 2-x 1>2x 2+x 1，故t >2tln x 1x 2，有x 1x 2>e 23∴当x 2=3时，e >x 1>e 23，故f e 23<f (x 1)=f (3)，综上：b >c >a .故选：A 2.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知a =4ln5π,b =5ln4π,c =5lnπ4，则a ,b ,c 的大小关系是()A.c <a <bB.a f 4 >f 5 ，即lnππ>ln44>ln55，可得4lnπ>πln4，5ln4>4ln5，所以lnπ4>ln4π，5πln4>4πln5，所以5lnπ4>5ln4π，5ln4π>4ln5π，即c >b ，b >a .所以a b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a答案A解析【分析】由于ln a ln b=ln20202021ln20212022，所以构造函数f x =ln x x +1x ≥e 2，利用导数判断其为减函数，从而可比较出f 2020 >f 2021 >0，进而可比较出a ,b 的大小，同理可比较出b ,c 的大小，即可得答案【详解】∵ln a ln b =2022ln20202021ln2021=ln20202021ln20212022，构造函数f x =ln x x +1x ≥e 2，f x =x +1-x ln x x x +1 2，令g x =x +1-x ln x ，则gx =-ln x <0，∴g x 在e 2,+∞ 上单减，∴g x ≤g e 2 =1-e 2<0，故f x <0，∴f x 在e 2,+∞ 上单减，∴f 2020 >f 2021 >0，∴ln aln b =f 2020 f 2021>1∴ln a >ln b .∴a >b ，同理可得ln b >ln c ，b >c ，故a >b >c ，故选：A【题型三】指数函数基础构造【典例分析】3设正实数a ，b ，c ，满足e 2a =b ln b =ce c =2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a 0)，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得b =e c ，得b ,c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.【详解】设f (x )=xe x (x >0)，x >0时，f x =x +1 e x >0恒成立，f (x )在(0,+∞)单调递增，x ∈12,1时，f (x )∈e2,e，而e 2<2，所以c ∈12,1 ，b ln b =ln b ⋅e ln b =ce c ，故ln b =c ，即b =e c ∈(e ,e )，而a =ln22<12，所以a <c a>bB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c答案A解析【分析】根据指数函数值域可确定c>1，a,b∈0,1；构造函数f x =2xln x0<x<1，利用导数可知f x 在0,1上单调递减，利用2aln a=3bln b<2bln b可知b<a，由此可得结果.【详解】∵3b>0，2a>0，2c>0，∴ln b<0，ln a<0，ln c>0，∴0<b<1，0<a<1，c>1；∵3b>2b>0，ln b<0，∴2a ln a=3b ln b<2b ln b，令f x =2xln x0<x<1，则f x =2x ln2⋅ln x-2x xln x2=2x ln2⋅ln x-1xln x2，当0<x<1时，ln x<0，-1x<0，∴f x <0，∴f x 在0,1上单调递减，∵2a ln a<2b ln b，即f a <f b ，∴b<a，∴c>a>b.故选：A.2.已知a+2a=2,b+3b=2，则b lg a与a lg b的大小关系是()A.b lg a<a lg bB.b lg a=a lg bC.b lg a>a lg bD.不确定答案C解析【分析】令f x =x+2x,g x =x+3x，结合题意可知0<b<a<1，进而有a b>b b>b a，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令f x =x+2x,g x =x+3x，则当x>0时，g x >f x ，当x<0时，g x <f x ；由a+2a=2,b+3b=2，得f a =2,g b =2考虑到f a =g b =2得0<b<a<1，∴a b>b b>b a由a b>b a，得lg a b >lg b a ，即b lg a>a lg b故选：C3.已知实数a=32e12，b=43e23，c=87e67，(e为自然对数的底数)则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c答案A解析【分析】由已知实数的形式构造函数f(x)=x+1x ex-1x，即有a=f(2),b=f(3),c=f(7)，利用导数研究f(x)的单调性，再比较对应函数值的大小即可.【详解】由题意，令f(x)=x+1x ex-1x，则a=f(2),b=f(3),c=f(7)，而f (x)=e x-1xx3，所以x>0时f(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴f(2)<f(3)<f(7)，即a<b<c，故选：A【题型四】“取对数”法45【典例分析】4(2023·全国·高三专题练习）已知a =2ln7，b =3ln6，c =4ln5，则()A.b <c <aB.a <b <cC.b <a <cD.a <c <b答案B解析【分析】对a ，b ，c 取对数，探求它们的结构特征，构造函数f x =ln x ⋅ln 9-x (2≤x ≤4)，借助导数判断单调性即可作答.【详解】对a ，b ，c 取对数得：ln a =ln2⋅ln7，ln b =ln3⋅ln6，ln c =ln4⋅ln5，令f x =ln x ⋅ln 9-x (2≤x ≤4)，f x =ln 9-x x -ln x9-x =9-x ln 9-x -x ln x x 9-x ，令g (x )=x ln x ,x >1，g (x )=ln x +1>0，即g (x )=x ln x 在(1,+∞)上单调递增，由2≤x ≤4得，9-x ≥5>x >1，于是得9-x ln 9-x >x ln x ，又x 9-x >0，因此，f x >0，即f x 在2,4 上单调递增，从而得f 2 <f 3 <f 4 ，即ln2ln7<ln3ln6<ln4ln5，ln a <ln b <ln c ，所以a <b <c .故选：B【变式演练】1.(2021·全国·高三专题练习)已知实数a ,b ,c ∈0,e ，且3a =a 3，4b =b 4，5c =c 5，则()A.c <b <aB.b <c <aC.a <c <bD.a <b <c答案A解析【分析】将已知的等式两边取对数可得ln33=ln a a ，ln44=ln b b，ln55=ln c c .设函数f x =ln x x ，求导，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．【详解】由3a =a 3，4b =b 4，5c =c 5得a ln3=3ln a ，b ln4=4ln b ，c ln5=5ln c ，因此ln33=ln a a ，ln44=ln b b，ln55=ln cc .设函数f x =ln xx，则f 3 =f a ，f 4 =f b ，f 5 =f c ，f x =1-ln xx2，令f x =0，得x =e ，所以f x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，所以f 3 >f 4 >f 5 ，即f a >f b >f c ，又a ,b ,c ∈0,e ，所以a >b >c ，故选：A .2.(2022·全国·高三专题练习)已知a =3.93.9,b =3.93.8,c =3.83.9,d =3.83.8，则a ,b ,c ,d 的大小关系为()A.d <c <b <aB.d <b <c <aC.b <d <c <aD.b <c <d <a答案B解析【分析】构造函数f x =ln xx，利用导数判断函数的单调性，可得f 3.9 <f (3.8)，从而可得3.93.8<3.83.9，再由y =x 3.8在0,+∞ 上单调递增，即可得出选项.【详解】构造函数f x =ln x x ，则f x =1-ln xx 2，当x ∈e ,+∞ 时，f x <0，故f x=ln xx在x ∈e ,+∞ 上单调递减，所以f 3.9 <f (3.8)，所以ln3.93.9<ln3.83.8，3.8ln3.9<3.9ln3.8所以ln3.93.8<ln3.83.9，3.93.8<3.83.9，因为y =x 3.8在0,+∞ 上单调递增，所以3.83.8<3.93.8，同理3.83.9<3.93.9，所以3.83.8<3.93.8<3.83.9<3.93.9，故选：B3.已知55<84，134<85，设a =log 53，b =log 85，c =log 138，找出这三个数大小关系答案a 34，83<54也取对数后，可把a ,b ,c 与中间值比较大小，从而得出结论．【详解】6由已知a =lg3lg5，b =lg5lg8，c =lg8lg13，又55<84，则5lg5<4lg8，∴b =lg5lg8<45，134<85，则4lg13<5lg8，c =lg8lg13>45，又53=125>81=34，∴3lg5>4lg3，a =lg3lg5<34，而83=512<625=54，∴3lg8<4lg5，b =lg5lg8>34，综上有a <b <c ．故答案为：a <b <c ．【题型五】指数切线构造：e x -x +1【典例分析】5(2022·江西·南昌市八一中学三模(理))设a =1101，b =ln1.01，c =e 0.01-1，则()A.a 1 ，则f x =e x -1>0，所以f x 在(1，+∞)单调递增，所以f x >f 1 =e 2-2>0⇒e x -x +1 >0⇒e x >x +1⋯①，所以e x -1>x ⋯②，由①，x >ln x +1 ⇒x -1>ln x ⇒1x -1>ln x -1⇒1x -1>-ln x ⇒ln x >1-1x⋯③，由②，x -1>ln x ⋯④，由②④，e x -1-1>x -1>ln x ，则c >b ，由③，b >a ，所以c >b >a .故选：A .【提分秘籍】基本规律指数和对数切线放缩法基础图【变式演练】71.(2022·河南·模拟预测(理))已知a =1.2,b =119,c =e 0.2，则()A.a 0 ，g (x )=(x +1)e -x -(1-x )e x (0<x <1)，利用导数研究函数的单调性，得出f x ，g x 的单调性，得出e x >x +1(x >0)，令x =0.2，可得出a <c ，再由得出的e 2x <1+x1-x(0<x <1)，令x =0.1，得出c x +1(x >0)，令f (x )=e x -x -1x >0 ，则f (x )=e x -1>0，可知f x 在0,+∞ 上单调递增，所以f x >f 0 =0，即e x >x +1(x >0)，令x =0.2，则e 0.2>1.2，所以a <c ；再证e 2x <1+x1-x(0<x <1)即证(x +1)e -x >(1-x )e x ，令g (x )=(x +1)e -x -(1-x )e x (0<x <1)，则g x =x e x -e -x >0，所以g x 在0,1 上单调递增，所以g x >g 0 =0，即e 2x <1+x1-x(0<x <1)，令x =0.1，则e 0.2<119，所以c b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b答案D解析【分析】利用导数可求得e x >x +1，ln x ≤x -1；分别代入x =0.1和x =1.1，整理可得a ,b ,c 的大小关系.【详解】令f x =e x -x -1x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0，即e x >x +1，∴e 0.1>1.1，∴e 0.05> 1.1，即a >c ；令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，∴当x ∈0,1 时，g x >0；当x ∈1,+∞ 时，g x <0；∴g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，∴g x ≤g 1 =0，∴ln x ≤x -1(当且仅当x =1时取等号)，∴ln x ≤x -1，即ln x 2+1≤x (当且仅当x =1时取等号)，∴ln1.12+1< 1.1，即b <c ；综上所述：a >c >b .故选：D .3.(2022·全国·高三专题练习)已知a =1101,b =e -99100,c =ln 101100，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a x +1x ≠0 ，从而得到b =e-99100>-99100+1=1100>1101=a ，设g x =ln x -x +1，利用导数得到ln x <x -1x ≠1 ，从而得到b >c 和c >a ，即可得到答案.【详解】设f x =e x -x -1，f x =e x -1，令f x =0，解得x =0.x ∈-∞,0 ，f x <0，f x 为减函数，x ∈0,+∞ ，f x >0，f x 为增函数.所以f x ≥f 0 =0，即e x -x -1≥0，当且仅当x =0时取等号.所以e x >x +1x ≠0 .故b =e -99100>-99100+1=1100>1101=a ，即b >a .设g x =ln x -x +1，g x =1x -1=1-xx，令g x =0，解得x =1.x ∈0,1 ，g x >0，g x 为增函数，x ∈1,+∞ ，g x <0，g x 为减函数.所以g x ≤g 1 =0，即ln x -x +1≤0，当且仅当x =1时取等号.所以ln x <x -1x ≠1 .所以c =ln 101100<101100-1=1100，又因为b >1100，所以b >c .8又因为-ln x >-x +1x ≠1 ，所以c =ln 101100=-ln 100101>-100101+1=1101=a ，即c >a ，综上b >c >a .故选：B【题型六】对数切线构造【典例分析】6(2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测)已知a >12且2a =e a -12，b >13且3b =e b -13，c >14且4c =e c -14，则()A.ln a bc <ln b ac <ln cabB.ln a bc <ln c ab<ln bac C.ln c ab <ln b ac <ln a bc D.ln b ac <ln a bc <ln c ab答案A解析【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a 、b 、c 的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.【详解】由已知条件，对于2a =e a -12，两边同取对数，则有ln2+ln a =a -12，即a -ln a =12+ln2=12-ln 12，同理：b -ln b =13-ln 13；c -ln c =14-ln 14构造函数f x =x -ln x ，则f a =f 12 ，f b =f 13 ，f c =f 14 .对其求导得：f x =x -1xx >0∴当0<x <1时，f x <0，f x 单调递减；当x >1时，f x >0，f x 单调递增；又∵a >12，b >13，c >14∴1<a 0∴当0<x <1e 时，g x <0，g x 单调递减；当x >1e时，g x >0，g x 单调递增；∴g a <g b <g c 即：a ln a 0∴ln a bc <ln b ac <ln cab .故选：A .【提分秘籍】基本规律指数和对数放缩法基础图【变式演练】1.(2022·山西运城·高三期末(理))已知a ,b ,c ∈0,+∞ ，且e a -e -12=a +12，e b -e -13=b +13，e c -e -15=c +15，则()A.a 0，即得.【详解】由题可得e a -a =e-12+12，e b -b =e -13+13，e c -c =e -15+15.令f x =e x -x ，则f x =e x -1，令fx =0，得x =0，∴x ∈0,+∞ 时，f x >0，f x 在0,+∞ 上单调递增，x ∈-∞,0 时，f x <0，f x 在-∞,0 上单调递减，又f a =f -12，f b =f -13 ，f c =f -15 ，a ,b ,c >0，由-12<-13<-15，可知f -12 >f -13 >f -15 即f a >f b >f c ，∴c 0)，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解.【详解】令函数f (x )=x -ln x (x >0)，则f (x )=1-1x =x -1x，则有f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且x 趋近于0和趋近于正无穷大时，f (x )值都趋近于正无穷大，由a -4=ln a4≠0得，a -ln a =4-ln4，即f (a )=f (4)，且a ≠4，显然0<a <1，若a ≥1，而f (x )在(1,+∞)上单调递增，由f (a )=f (4)必有a =4与a ≠4矛盾，因此得0<a <1，同理，由b -5=ln b5≠0得f (b )=f (5)，且b ≠5，并且有0<b <1，由c -6=ln c6≠0得f (c )=f (6)，且c ≠6，并且有0<c <1，显然有f (4)<f (5)<f (6)，于是得f (a )<f (b )<f (c )，又f (x )在(0,1)上单调递减，所以c 2-ln2，再设函数g x =xe -ln x ，利用导数判断单调性，得g 2 >0，再比较b ,c 的大小，即可得到结果.【详解】设f x =x -x e ，f x =12x-1e ，10当0≤x <e 24时，f x >0，函数单调递增，当x >e 24时，f x <0，函数单调递减，a =f 3 ,b =f 2 ，e 24<2<3时，f 3 <f 2 ，即a 0，函数单调递增，所以当x =0时，函数取得最小值，f 0 =0，即e x ≥x +1恒成立，即e2-1>2，令g x =x e -ln x ，g x =1e -1x，x ∈0,e 时，g x <0，g x 单调递减，x ∈e ,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，x =e 时，函数取得最小值g e =0，即g 2 >0，得：2e >ln2，那么2-2e<2-ln2，即e 2-1-ln2>2-ln2>2-2e，即b <c ，综上可知a <b <c 故选：A 【题型七】反比例构造:ln x <2(x -1)x +1型【典例分析】7(2022·江苏·金陵中学二模)设a =e 1.1-27，b = 1.4-1，c =2ln1.1，则()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b答案A解析【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，a 利用基本不等式判断b 的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出c 的范围，进而得出结果.【详解】由e 3<28，得e 3<28，即e 32<27，所以e 1.1<e 1.5=e 32，所以e 1.1<27，则e 1.1-27<0，即a <0；由 1.4-1= 1.41.2×1.2-1<1.41.2+1.22-1<0.184，即b <0.184；设f (x )=ln x -2(x -1)x +1(x >0)，则f(x )=1x -4(x +1)2=(x -1)2x (x +1)2≥0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f (1)=0，所以当x ∈(1,+∞)时f (x )>0，即ln x >2(x -1)x +1，当x ∈(0,1)时f (x )<0，即ln x <2(x -1)x +1，又1.1>1，则ln1.1>21.1-11.1+1≈0.095，所以c =2ln1.1>0.19，即c >0.19，综上，a b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >b >a答案B解析【分析】构造函数f x =e x -x -1x >0 ，利用导数可得a =e 0.2>1.2>b ，进而可得e 1.2>3.2，可得a >c ，再利用函数g x =ln x -2x -1x +1，可得ln3.2>1.1，即得.【详解】令f x =e x -x -1x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴a =e 0.2>0.2+1=1.2> 1.2=b ，a =e 0.2>1.2=ln e 1.2，c =ln3.2，∵e 1.2 5=e 6> 2.7 6≈387.4,3.2 5≈335.5，∴e 1.2>3.2，故a >c ，设g x =ln x-2x-1x+1，则g x =1x-2x+1-2xx+12=x-12x x+12≥0，所以函数在0,+∞上单调递增，由g1 =0，所以x>1时，g x >0，即ln x>2x-1x+1，∴ln3.2=ln2+ln1.6>22-12+1+21.6-11.6+1=1539>1550=1.1，又1<1.2<1.21,1<b= 1.2<1.1，∴c>1.1>b，故a>c>b.故选：B.2.(2022·江西·模拟预测(理))设a=4(2-ln4)e2，b=1e，c=ln44，则a，b，c的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c 答案A解析【分析】根据a、b、c的结构，构造函数f x =ln xx，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案.【详解】因为a=4(2-ln4)e2=ln e24e24，b=1e=ln ee，c=ln44构造函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，a=fe24，b=f(e)，c=f4 ，f(x)在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减.则有b=f(e)最大，即a<b，c<b.若t=ln x x有两个解，则1<x1<e<x2,t∈0,1e，所以ln x1=tx1,ln x2=tx2,所以ln x1-ln x2=tx1-tx2,ln x1+ln x2=tx1+tx2,即t=ln x2-ln x1x2-x1,ln x1x2=t x1+x2,令g x =ln x-2x-1x+1x>1，则g x =x-12x x+1>0，故g x 在1,+∞上单增,所以g x >g1 =0，即在1,+∞上，ln x>2x-1x+1.若x=x2x1，则有lnx2x1>2x2x1-1x2x1+1，即ln x2-ln x1x2-x1>2x2+x1.故t>2tln x1x2，所以x1x2>e2.当x2=4时，有e24<x1<e，故fe24<f x1 =f4所以a<c.综上所述：a<c<b.故选：A【题型八】“零点”构造法【典例分析】8(2022·广东广州·高三开学考试)设a=ln1.1，b=e0.1-1，c=tan0.1，d=0.4π，则()A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b 答案B解析【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑a x =ln x+1，b x =e x-1，c x =tan x，d x =4πx在x=0.1时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0的大小关系即可.【详解】设a x =ln x+1，b x =e x-1，c x =tan x，d x =4πx，易得a0 =b0 =c0 =d0 .设y=d x -b x =4πx-e x+1，则令y =4π-e x=0有x=ln4π，故y=d x -b x 在-∞,ln4π上单调递增.①因为4π10>43.210=54 10=2516 5>2416 5=32 5>e，即4π 10>e，故10ln4π>1，即ln4π>0.1，故d0.1-1112b 0.1 >d 0 -b 0 =0，即d >b .②设y =b x -c x =e x-1-tan x ，则y=e x-1cos 2x =e x cos 2x -1cos 2x，设f x =e x cos 2x -1，则f x =e x cos 2x -2sin x =e x -sin 2x -2sin x +1 .设g x =x -sin x ，则g x =1-cos x ≥0，故g x =x -sin x 为增函数，故g x ≥g 0 =0，即x ≥sin x .故f x ≥e x -x 2-2x +1 =e x -x +1 2+2 ，当x ∈0,0.1 时f x >0，f x =e x cos 2x -1为增函数，故f x ≥e 0cos 20-1=0，故当x ∈0,0.1 时y =b x -c x 为增函数，故b 0.1 -c 0.1 >b 0 -c 0 =0，故b >c .③设y =c x -a x =tan x -ln x +1 ，y =1cos 2x -1x +1=x +sin 2xx +1cos 2x ，易得当x ∈0,0.1 时y >0，故c 0.1 -a 0.1 >c 0 -a 0 =0，即c >a .综上d >b >c >a 故选：B【变式演练】1.(2020·北海市北海中学高三)已知x 1=ln 12，x 2=e -12，x 3满足e -x 3=ln x 3，则下列各选项正确的是A.x 1<x 3<x 2B.x 1<x 2<x 3C.x 2<x 1<x 3D.x 3<x 1<x 2答案B解析【详解】因为函数y =ln x 在0,+∞ 上单调递增，所以x 1=ln 12<ln1=0；0<x 2=e -12=1e12=1e=e e <1；因为x 3满足e -x3=ln x 3，即x 3是方程1ex-ln x =0的实数根，所以x 3是函数f x=1ex -ln x 的零点，函数f (x )在定义域内是减函数，因为f 1 =1e ，f e =1ee-1<0，所以函数有唯一零点，即x 3∈1,e .所以x 1<x 2<x 3.“跨界”构造：切、弦、指、对构造【典例分析】9(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，其中e =2.71828⋯为自然对数的底数，则()A.c >a >bB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c答案B解析【分析】观察a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，发现都含有0.2，把0.2换成x ，自变量在(0,1)或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较a ,b ,c 的大小.【详解】令f (x )=e x-1-tan x =cos x e x -cos x -sin x cos x ，0<x <π4，令g (x )=cos x e x -cos x -sin x ，g (x )=(-sin x +cos x )e x +sin x -cos x =(e x -1)⋅(cos x -sin x )，当0<x <π4时，g (x )>0，g (x )单调递增，又g (0)=1-1=0，所以g (x )>0，又cos x >0，所以f (x )>0，在0,π4成立，所以f (0.2)>0即a >c ，令h (x )=ln (x +1)-x ，h (x )=1x +1-1=-x x +1，h (x )在x ∈0,π2为减函数，所以h (x )<h (0)=0，即ln (x +1)<x ，令m (x )=x -tan x ，m (x )=1-1cos 2x，m (x )在x ∈0,π2 为减函数，所以m (x )<m (0)=0，即x <tan x ，所以ln (x +1)<x <tan x ，x ∈0,π2成立，令x =0.2，则上式变为ln (0.2+1)<0.2<tan0.2，所以b <0.2<c 所以b <c ，所以b <c <a .13故答案为：B .【提分秘籍】基本规律比较难，需要结合数据寻找合适的构造函数。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

函数比大小
（基础题）
1．（2014天津4）已知则的大小关系为
2
212
log ,log ,a b c πππ
-===,,a b c A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a
2．（2015山东3）设，则的大小关系是
0.6 1.50.6
0.6,0.6, 1.5
a b c ===,,a b c A ．
B ．
C ．
D ．a b c <<a c b <<b a c <<b c a
<<3．（2015北京10），，三个数中最大数的是．
3
2-1
2
32log 54．（2014安徽）设，，，则3log 7a = 1.1
2b = 3.1
0.8c =A ．
B ．
C ．
D ．c a b <<b a c <<a b c <<b
c a <<5．（2012天津4）已知，，，则的大小关系为
12
2a ⋅=0.2
12b -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
52log 2c =,,a b c A ．c >b a c
>>c b a
>>c a b
>>7．(2018天津5)已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为2log e =a ln 2b =1
2
1
log 3
c =A ． B ．
C ．
D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b
>>8．（2013新课标8）设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a c b >>
D ．a b c
>>
9．（2011重庆6）设，则1
133
3124
log ,log ,log 23
3a b c ===A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >>
D ．a b c
>>10．（2016全国III6）已知，则
421
33
3
2,3,25a b c ===A ． B ． C ．
D ．b a c
<<a b c
<>01c <<A ． B ．
C ．
D ．log log a b c c <log log c c a b
<c
c
a b <a
b
c c
>13．(2016全国I8) 若，，则
1a b >>01c <<A ．
B ．
C ．
D ．c c a b <c c ab ba <log log b a a c b c <log log a b c c
<14．（2015天津7）已知定义在上的函数(为实数)为偶函数，
R ||
()2
1x m f x -=-m 记，，，则,的大小关系为
0.5(log 3)a f =2(log 5)b f =(2)c f m =,,a b c A ．
B ．
C ．
D ．
a b c <<c a b <<a c b <<c b a <<15．（2015陕西10）设，，若，，()ln f x x =0a b <p r q =16．（2017天津6）已知奇函数在R 上是增函数，．若，
()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-
，，则a ，b ，c 的大小关系为0.8(2)b g =(3)c g =A ．
B ．
C ．
D ．a b c <<c b a <<b a c <<b c a
<<17．（2017天津6）已知奇函数在上是增函数．若，
()f x R 21
(log )5
a f =-，，则的大小关系为
2(log 4.1)b f =0.8(2)c f =,,a b c A ． B ． C ． D ．a b c <> B ．b c a >> C ．a c b >>
D ．a b c >> 19．（2012全国11）设，则
1
2
5ln ,log 2,a b c e
π-===A ．c b a >> B ．b c a >>
C ．a c b >>
D ．a b c >>20．（2017新课标Ⅰ11）设为正数，且，则
,,x y z 235x
y
z
==A ． B ． C ． D ．235x y z <<523z x y <<352y z x <<325y x z
<<21. (2018全国卷Ⅲ12) 设，，则
0.2log 0.3a =2log 0.3b =A ．B ．0a b ab +<<0ab a b <+<C ．D ．0a b ab
+<<0ab a b
<<+22．（早期全国6）设，则ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==A ．c b a >>
B ．
C ．a c b >>
D ．a b c
>>b a c >>23．（2010安徽7）设，则23
2
5
5
5
322,,555a b c ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=== ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a c b >>
D ．a b c
>>24.（2014湖南9）若，则
1201x x <<<A ． B ．2121ln ln x
x
e e x x ->-2121
ln ln x
x
e e x x -<-C ． D ．1221x x x e x e >12
21x
x x e x e
<25．（早期江西）已知满足等式
下列5个关系
,a b 11,23a
b
⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭① ② ③ ④ ⑤.
0;b a <<0;a b <<0;a b <<0;b a <<0a b ==其中不可能成立的关系有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
26.（2007天津9）设均为正数，且则（
,,a b c 11222
112log ,log ,log .22b
c
a
a b c ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）
A ．
B ．
C ．
D ．a b c <<b a c <<c b a <<c a b
<<。