1701 【树状数组】数星星(POJ2352 star) 1702 【树状数组】矩阵(POJ 2155)
树状数组
第二题：火柴排队（贪心+逆序对）对距离公式化简得：∑(ai-bi)^2=∑(ai^2-2aibi+bi^2)=∑ai^2+∑bi^2-2∑aibi要求∑(ai-bi)^2最小，就只需要∑aibi最大即可。
这里有个贪心，当a1<a2<…<an,b1<b2<..<bn时，∑aibi最大。
证明如下：若存在a>b,c>d,且ac+bd<ad+bc，则a(c-d)<b(c-d),则a<b，与a>b 矛盾，所以若a>b,c>d，则ac+bd>ad+bc将此式子进行推广：当a1<a2<a3<...<an ,b1<b2<...<bn的情况下∑aibi最大，即∑(ai-bi)^2最小。
然后，将两个序列分别排序，确定每对数的对应关系，明显，同时移动两个序列中的数等效于只移动一个序列中的数，那么，我们就保持一个序列不动，然后根据另外那个序列中的数对应的数的位置，重新定义一个数组，求逆序对个数，就是答案。
例如：对于数据：42 3 1 43 2 1 4先排序:1 2 3 41 2 3 4保持序列1不动，那么序列2中的3就对应序列1中的2位置，2就对应序列1中的1位置，1就对应序列1中的3位置，4就对应序列1中的4位置，那么重定义数组为：2 13 400这个序列的逆序对为(2,1),所以答案是1。
求逆序对方法：1.归并排序2.把数组扫一遍，顺序把每个数加入BIT或者是线段树等数据结构中，同时查询比这个数大的数有几个，加入答案。
复杂度: O(n log n)代码（C++）（树状数组）：#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;#define MAXN 100010#define lowbit(x)(((~(x))+1)&x)#define MAX 99999997struct saver{int v,t;};saver a[MAXN],b[MAXN];bool cmp(saver x,saver y){return x.v<y.v;}int n,r[MAXN],ans=0;int t[MAXN];void Add(int x){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) t[i]++;}int Sum(int x){int rec=0;for(;x;x-=lowbit(x)) rec+=t[x];return rec;}int main(){scanf("%d",&n);for(int i=0;i++<n;)scanf("%d",&a[i].v),a[i].t=i;for(int i=0;i++<n;)scanf("%d",&b[i].v),b[i].t=i;sort(a+1,a+n+1,cmp),sort(b+1,b+n+1,cmp);for(int i=0;i++<n;) r[a[i].t]=b[i].t;for(int i=n;i;i--) ans+=Sum(r[i]),Add(r[i]),ans%=MAX;printf("%d\n",ans);return 0;}2.这道题明显可以用类似最长上升子序列的动态规划求解，易得思路如下：用f(i,0)表示以i为结尾的且最后一段上升的子序列最大长度，f(i,1)表示表示以i为结尾的且最后一段下降的子序列最大长度，那么答案明显就是max{f(i,0),f(i,1)} 方程：f(i,0)=max{f(j,1)}+1 0<=j<i且h[j]<h[i]f(i,1)=max{f(j,0)}+1 0<=j<i且h[j]>h[i]边界：f(0,0)=f(0,1)=0如果直接DP毫无疑问复杂度是O(n^2)，会TLE，但是，考虑到我们每次取最值时候取得都是一个区间里的数，如f(i,0)=max{f(j,1)}+1 0<=j<i且h[j]<h[i]取得就是区间[0,h[i]-1]里的最值，所以可以使用线段树或者是BIT（树状数组）来优化，这样复杂度就是O(n log n)，可以过全部数据。
苏教版科学二年级上册第6课《数星星》说课稿9
苏教版科学二年级上册第6课《数星星》说课稿9一. 教材分析《数星星》是苏教版科学二年级上册第6课的内容。
本节课通过数星星的活动，让学生感知到数的产生和数的运用，培养学生的数感和逻辑思维能力。
教材以学生的生活经验为基础，设计了一系列的操作活动，让学生在实际操作中感受数的产生和运用，提高学生的数学素养。
二. 学情分析二年级的学生已经具备了一定的数数能力，对数的概念有了一定的了解。
但他们对于数的产生和数的运用还不是很清楚，需要通过具体的操作活动来进一步理解和掌握。
此外，学生对于星星的认知也存在差异，有的学生对星星的了解比较多，有的学生可能不太了解。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能参与到课堂活动中来。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生会数星星，理解数的产生和运用，培养数感。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、交流等活动，学会用数来描述和表达现实世界中的事物和现象。
3.情感态度与价值观：学生体验数星星的乐趣，培养对数学的兴趣和好奇心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生会数星星，理解数的产生和运用。
2.教学难点：学生用数来描述和表达现实世界中的事物和现象。
五. 说教学方法与手段本节课采用情境教学法、游戏教学法和小组合作学习法。
情境教学法通过数星星的活动，让学生在实际操作中感受数的产生和运用；游戏教学法通过趣味性的游戏，激发学生的学习兴趣；小组合作学习法让学生在小组讨论和合作中，提高解决问题的能力。
此外，利用多媒体课件和实物模型辅助教学，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示夜空中的星星，引导学生观察星星的数量，激发学生数星星的兴趣。
2.数星星：学生分组数星星，记录数星星的结果。
教师巡回指导，帮助学生解决数星星过程中遇到的问题。
3.讨论数的产生和运用：学生汇报数星星的结果，教师引导学生讨论数的产生和运用，让学生理解数的作用。
4.游戏：学生参与数星星的游戏，巩固对数的理解和运用。
树状数组简单易懂的详解
树状数组简单易懂的详解1 什么是树状数组树状数组（Fenwick Tree），也叫做树形数组，是一种支持单点修改、区间查询的数据结构。
这种数据结构可以在O(log n)的时间复杂度内实现单点修改和区间查询，相较于线段树，树状数组实现较为简单。
2 树状数组的实现原理树状数组的核心思想是利用二进制中的位运算来维护前缀区间和。
假设有一个数组a[]，其前缀和为sum[]，那么对于每个下标i，只需要维护[1,i]这个区间的和，即sum[i]。
这样，当需要查询区间[1,r]的和时，只需要计算sum[r]即可，不需要遍历每一个元素。
对于单点修改操作，假设我们要将数组a[]的第i个元素修改为x，我们只需要将第i个元素的值改为x，并且要将[1,i]这个区间内所有的sum数组的值都加上x-a[i]，即将差值x-a[i]加到了[1,i]区间中。
3 树状数组的实现细节3.1 树状数组的初始化树状数组需要初始化为0，因为我们需要维护的是每个元素的前缀和，如果没有初始化为0，其前缀和也就变得不可预测了。
查询区间[1,r]的和时，只需要计算sum[r]即可。
具体实现过程为：从r开始向前跳，每一个位置的前缀和都加到一个答案变量ans中，直到跳到0为止。
可以使用以下的代码实现：```C++int query(int x){int ans = 0;while(x > 0){ans += tree[x];x -= lowbit(x);}return ans;}```修改操作也很简单，只需要将第i个位置的值改为x，然后将[1,i]这个区间内所有的sum数组的值都加上x-a[i]，即将差值x-a[i]加到了[1,i]区间中，可以使用以下的代码实现：```C++void update(int x, int val){while(x <= n){tree[x] += val;x += lowbit(x);}}```4 树状数组与线段树的比较相对于线段树，树状数组的实现更为简单，而且更加省空间。
数据结构之树状数组
数据结构之树状数组咱今天来聊聊数据结构里一个特别有趣的家伙——树状数组。
要说这树状数组啊，就像是我们生活中的小帮手，能帮我们解决好多看似复杂的问题。
我想起之前有一次，学校组织数学竞赛，其中有一道题可把好多同学都难住了。
题目是这样的：给定一个整数数组，要快速计算出某一段区间内数字的和。
当时好多同学都用最笨的办法，一个个数字去加，费了好大劲还容易出错。
这时候，树状数组就派上用场啦！它就像一个聪明的小管家，能快速又准确地算出我们想要的结果。
树状数组的原理其实不难理解。
想象一下，我们把数组里的数字看成是一棵棵小树苗，这些小树苗按照一定的规则排列成了一片小树林。
通过巧妙的设计，我们能快速找到想要的那一片小树苗的总和。
比如说，我们有一个数组 1, 3, 5, 7, 9 ，用树状数组来表示的话，就会有一番特别的构造。
它可不是简单地把数字罗列，而是通过一些巧妙的计算和存储方式，让我们在查找区间和的时候能够迅速得到答案。
树状数组的更新操作也挺有意思。
就好比我们在小树林里新种了一棵小树苗，或者给某一棵小树苗又长高了一些，我们得及时更新整个树林的状态，让它能准确反映出最新的情况。
而且，树状数组在解决实际问题的时候，那叫一个高效。
比如计算一个班级学生某一段时间内的考试成绩总和，或者统计一个月内某种商品的销售总量在不同时间段的情况。
再想想，如果把树状数组比作一个神奇的魔法盒子，我们输入一些数字，它就能按照特定的魔法规则，迅速给我们吐出我们想要的结果。
总之啊，树状数组虽然看起来有点神秘，但只要我们深入了解它，就会发现它其实特别有趣又实用。
就像我们在生活中，遇到各种难题，只要找到了合适的方法和工具，就能轻松解决。
希望大家都能跟树状数组成为好朋友，让它帮助我们在数据的世界里畅游，解决更多有趣的问题！。
树状数组
树状数组武钢三中 吴豪【引言】在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。
但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。
可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。
当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。
因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。
【理论】为了对树状数组有个形 象的认识，我们先看下面这张图。
如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。
这里，C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数，或者说是i用2的幂方和表示时的最小指数。
( 当然，利用位运算，我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) ）同时，我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。
所以,当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。
另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。
不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。
接着，我们考察这两种操作下标变化的规律：首先看修改操作：已知下标i，求其父节点的下标。
我们可以考虑对树从逻辑上转化：如图，我们将子树向右对称翻折，虚拟出一些空白结点（图中白色），将原树转化成完全二叉树。
有图可知，对于节点i，其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。
因而父节点下标 p=i+2^k (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂，即i为根节点子树的规模)即 p = i + i&(i^(i-1)) 。
接着对于求和操作：因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂，所以我们要求子树i的前一棵树，只需让i减去2的最小幂即可。
树状数组题目总结
POJ 2481 Cows
树状数组离散化，按照题目要求构造，排序方法为：以y坐标(e)从大到小排序，相同y以x从小到大排序，利用树状数组统计比当前cow猛的牛，并把当前牛加入树状数组。注意牛的s和e都相等的时候需要特殊处理。离散化应该注意使得一维排序，另一维能够从小到大计算(树状数组特性)。
POJ 2155 Matrix
二维树状数组变通。对于二维区间翻转可以使用奇偶性判断，使用树状数组在这个二维区间内加，统计某点翻转的次数MOD 2即为所求。注意在利用二维树状数组的时候，C操作相当于4个操作，利用容斥原理；而且存储结构需要变化，修改为-=LOWBIT ， 求和为+=LOWBIT ，因此，Q操作相当于单纯一次求和。
查询a[i]相当于使用树状数组求和b[1....n],更新区间a[x ~ y]每个值加上d相当于树状数组修改b[x]加d并且b[y + 1]减d
POJ 2352 Stars
一维树状数组应用，对于每个星星按y坐标从小到大排序，相同y坐标按x坐标从小到大排序（貌似题目中数据已经有序），设数组a[x]初始为0，表示在x坐标处星星的个数，则求和a[0] ~ a[x]则为该星星的等级，逐个处理每个星星，求出等级后将a[x] + 1 ，注意坐标可能出现0，而树状数组下标一般从1开始，为0会时陷入死循环
这两天把树状数组的题目总结了一下，下面简单的写两笔，o(∩_∩)o…
HOJ 1867 经理的烦恼
基本的一维树状数组，统计范围区间内素数的个数，根据操作变化，进行相应的加一减一操作
HOJ 2430 Counting the algorithms
基本的一维树状数组使用，从前向后(或者从后向前)删除相同元素，统计元素区间的个数
树状数组习题（一本通）
树状数组习题（⼀本通）1535：【例 1】数列操作模板题#include<iostream>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#include<stack>#include<cstdio>#include<queue>#include<map>#include<vector>#include<set>using namespace std;const int maxn=101000;const int INF=0x3fffffff;typedef long long LL;#define lowbit(x) ((x)&(-x))int tree[maxn];int n,m;void add(int x,int d){while(x<=n){tree[x]+=d;x+=lowbit(x);}}LL getsu(int x){LL ans=0;while(x>0){ans+=tree[x];x-=lowbit(x);}return ans;}int main(){scanf("%d %d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++) {int x;scanf("%d",&x);add(i,x);}int k,a,b;while(m--){scanf("%d %d %d",&k,&a,&b);if(k==0) printf("%lld\n",getsu(b)-getsu(a-1));else add(a,b);}return 0;}1536：【例 2】数星星 Stars//⼆维的树状数组bushi//认真读题呀看给出数据的特征，是按照纵坐标从⼩到⼤排序的，纵坐标相同的是横坐标从⼩到⼤给出的//也就是说，我们可以不管纵坐标，按照它给出的横坐标依次插⼊，并统计当前星星之前的横坐标⼩于它的星星个数。
树状数组(C++版)
树状数组第01讲什么是树状数组？树状数组用来求区间元素和，求一次区间元素和的时间效率为O(logn)。
有些同学会觉得很奇怪。
用一个数组S[i]保存序列A[]的前i个元素和，那么求区间i,j的元素和不就为S[j]-S[i-1]，那么时间效率为O(1)，岂不是更快？但是，如果题目的A[]会改变呢？例如：我们来定义下列问题：我们有n个盒子。
可能的操作为1.向盒子k添加石块2.查询从盒子i到盒子j总的石块数自然的解法带有对操作1为O(1)而对操作2为O(n)的时间复杂度。
但是用树状数组，对操作1和2的时间复杂度都为O(logn)。
第02讲图解树状数组C[]现在来说明下树状数组是什么东西？假设序列为A[1]~A[8]网络上面都有这个图，但是我将这个图做了2点改进。
（1）图中有一棵满二叉树，满二叉树的每一个结点对应A[]中的一个元素。
（2）C[i]为A[i]对应的那一列的最高的节点。
现在告诉你：序列C[]就是树状数组。
那么C[]如何求得？C[1]=A[1];C[2]=A[1]+A[2];C[3]=A[3];C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[5]=A[5];C[6]=A[5]+A[6];C[7]=A[7];C[8]= A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];以上只是枚举了所有的情况，那么推广到一般情况，得到一个C[i]的抽象定义：因为A[]中的每个元素对应满二叉树的每个叶子，所以我们干脆把A[]中的每个元素当成叶子，那么：C[i]=C[i]的所有叶子的和。
现在不得不引出关于二进制的一个规律：先仔细看下图：将十进制化成二进制，然后观察这些二进制数最右边1的位置：1 --> 000000012 --> 000000103 --> 000000114 --> 000001005 --> 000001016 --> 000001107 --> 000001118 --> 000010001的位置其实从我画的满二叉树中就可以看出来。
树状数组的算法原理
树状数组的算法原理宝子！今天咱来唠唠树状数组这个超酷的东西。
树状数组啊，就像是一个魔法小助手，能帮我们快速解决好多关于数组的问题呢。
你想啊，要是有一个长长的数组，里面有好多好多数字，我们要对它做一些统计操作，比如说求某个区间的和之类的，要是用普通的方法，那可就太麻烦啦。
咱先说说树状数组的结构。
它看起来有点像一棵树，但又不是那种特别复杂的树。
它的每个节点都和数组里的元素有着神秘的联系。
你可以把它想象成是一群小精灵在守护着数组。
这些小精灵们可不是乱站的，它们有着自己独特的排列方式。
比如说，对于一个普通的数组，树状数组的节点是怎么对应的呢？树状数组的每个节点实际上是对应着原数组的一段区间。
这就很神奇啦，就好像每个小精灵都负责看守数组里的一块小天地。
而且呢，这些区间还有重叠的部分，就像小精灵们的地盘有时候会有交叉一样。
那它是怎么构建的呢？这就像是搭积木一样。
我们从最基础的元素开始，一点点地构建出这个树状结构。
最开始的时候，每个元素就像是一个小种子，然后随着构建的过程，它们慢慢组合起来，形成更大的节点。
这个过程其实并不复杂，只要按照一定的规则，就像按照一个小魔法咒语一样，就能轻松构建出来。
再说说它的查询操作。
这可是树状数组的拿手好戏。
当我们想要知道某个区间的和的时候，树状数组就像一个超级计算器一样，迅速给出答案。
它不是傻乎乎地一个一个数字去加哦，而是利用它的树状结构，巧妙地跳跃式计算。
就好比我们要找从第3个元素到第7个元素的和，树状数组不会从3加到7，而是根据它的节点关系，快速地找到对应的几个节点，把它们的值加起来就好啦。
这速度，就像闪电一样快。
还有更新操作呢。
如果我们改变了原数组里的一个元素的值，树状数组也能很快地做出调整。
它不会把整个树状结构都重新构建一遍，而是像一个聪明的小工匠，只对受到影响的部分进行修改。
这就像在一个大城堡里，有一块小砖头坏了，工匠只需要修补那一块，而不是把整个城堡都拆了重建。
树状数组在很多实际的问题里都特别有用。
Zjoi2017树状数组
Zjoi2017树状数组2.1 题⽬描述漆⿊的晚上，九条可怜躺在床上辗转反侧。
难以⼊眠的她想起了若⼲年前她的⼀次悲惨的 OI ⽐赛经历。
那是⼀道基础的树状数组题。
给出⼀个长度为 n 的数组 A，初始值都为 0，接下来进⾏ m 次操作，操作有两种：• 1 x，表⽰将 Ax 变成 (Ax + 1) mod 2。
• 2 l r，表⽰询问 ( ∑r i=l Ai) mod 2。
尽管那个时候的可怜⾮常的 simple，但是她还是发现这题可以⽤树状数组做。
当时⾮常 young 的她写了如下的算法：1: function Add(x)2: while x > 0 do3: Ax ← (Ax + 1) mod 24: x ← x − lowbit(x)5: end while6: end function7:8: function Find(x)9: if x == 0 then10: return 011: end if12: ans ← 013: while x ≤ n do14: ans ← (ans + Ax) mod 215: x ← x + lowbit(x)16: end while17: return ans18: end function19:20: function Query(l, r)21: ansl ← Find(l − 1)22: ansr ← Find(r)23: return (ansr − ansl + 2) mod 224: end function其中 lowbit(x) 表⽰数字 x 最վ的⾮ 0 ⼆进制位，例如 lowbit(5) = 1, lowbit(12) = 4。
进⾏第⼀类操作的时候就调⽤ Add(x)，第⼆类操作的时候答案就是 Query(l, r)。
如果你对树状数组⽐较熟悉，不难发现可怜把树状数组写错了：Add ， Find 中 x 变化的⽅向反了。
因此这个程序在最终测试时华丽的爆 0了。
树状数组简介
树状数组简介江苏省常州高级中学曹文一、前言我们平日里总是会遇到一些动态的求和问题，一些朴素的方法时间速度上很难让人满意，因此我们需要设计一些算法来解决所遇到的问题。
1、 基本问题我们下面设法解决这个动态求和问题。
我们定义 N 个整型变量组成的数组 v[1..N]，每次操作有两种：（1） 将v[idx] 增加 det（2） 求 ∑=idxi i v 1][2、 朴素解决朴素的解决这个问题，我们用数组记录当前的数值，然后依次求和。
那么操作（1）的复杂度是 O(1)，操作（2）的复杂度是 O(idx)，令询问数为 Q ，则在最坏情况下为 O(QN)。
这样的复杂度非常不理想，我们要对之优化！二、倍增，分割和优化很多时候在处理区间问题的时候，倍增思想都是非常常用的，比如 RMQ 和LCA 问题，而分割方法也是一个有用的工具，比如线段树。
我们知道线段树是能够解决上面这个基本问题的，但是考虑到线段树的代码比较复杂，这里我们讨论更轻松的方法。
1、 第一个想法我们发现，在朴素算法中，操作（2）用了很多的时间，我们试着优化这个操作的算法。
参照RMQ 的思想，我们可以将一个区间分成一些长度为2的整次幂的小区间。
我们定义f[i][j] 表示区间 [I, i+2^j-1] 的和∑=-+jk k i v 21]1[，那么如果我们能够得到所有 f[i][j] ，那么我们就能够在 O(log N) 的时间里计算出我们需要的和。
具体方法如下：对于区间 [L,R]，我们找到最大的 p ，使得 2^p <= R-L+1，而 sum[L,L+2^p-1] =f[L][p]，于是我们只要继续计算 [L+2^p,R]就可以了。
由于每次找最大的 p，因次至多计算 log N 次就能得到结果——这就是倍增思想的应用。
但是很不幸，我们再观察操作（1）的时候，我们发现由于和某一个位置相关的 f[i][j] 实在太多了，所以操作（1）的时间就花的过多了，问题并没有得到解决。
树状数组(二叉索引树)理解与分析
树状数组（二叉索引树）理解与分析文/龚健飞说起树状数组，或许很多人会对这个名称或者这个概念感兴趣。
但仅仅通过文字上的描述，初学者会比较难地理解到这个数据结构这个算法。
我凭自己的认识来阐述一下对这个数据结构的理解，希望给其他初学者一个参考的同时也给自己一个机会更好地认识它。
引言先用一个问题来引导出树状数组的概念。
给定一个n 个元素的的数组n A A A A ......210、、，对其进行操作。
按照情况，sum(n)表示计算n 0~A A 的和，add(x,d)表示让x A 加上d 。
显然，对于第一种操作，利用较为简单的前缀和数据可以在O(1)的时间内解决单次问题。
但对于第二种操作，前缀和在n 足够大的情况下显得无能为力。
那么，树状数组能否解决这个问题？要回答这个问题首先得弄清，什么是树状数组。
树状数组树状数组，顾名思义，即是将所有的数据排列成一棵树的形式，利用分支和源头（更确切地讲，是tree 。
）掌握数据信息以及进行操作，体现了一点分治的思想。
要特别指出，排列成树的依据并不是数据本身，而是数据的索引，即是index 。
程序如下：#include <iostream> using namespace std ;int a[10000]; int c[10000]; int n ;int lowbit(int x){ return x& -x ;//求出lowbit }int sum(int x){ int ret = 0 ; while(x > 0){ ret += c[x]; x -= lowbit(x) ; } ret += c[0] ;return ret ;//求和函数}void add(int x , int d){while(x <= n ){c[x] += d ;x += lowbit(x);//加法操作}}int main(){cin >> n ;for(int i = 0 ; i < n ; ++i) cin >> a[i] ;c[0] = a[0] ;for(int i = 1 ; i < n ; ++i){for(int j = i - lowbit(i) + 1 ; j <= i ; ++j)c[i] += a[j] ; //预处理}int ch ;cout << "select the operation" << endl << "1 for sum" << endl << "2 for add " << endl ;while(cin >> ch){if(ch == 1 ) {int x ;cin >> x ;cout << sum(x - 1) << endl ;}else {int x , d ;cin >> x >> d ;add(x - 1 , d) ;}cout << "select the operation" << endl << "1 for sum" << endl << "2 for add " << endl ;}return 0 ;}lowbit(x)某些书上定义lowbit(x)为，x的二进制表达式中最右边的1以及后面的0组成的数（显然，这些lowbit只能是1、2、4、8......n2）。
树状数组应用
树状数组应用
树状数组是一种高效的数据结构，常用于解决一些序列问题。
树状数组可以支持单点修改、区间查询等操作，时间复杂度为O(logn)。
树状数组最常见的应用是求解前缀和问题，即对一个序列进行多次查询其前缀和，同时支持单点修改。
具体实现是将每个元素的值存储在树状数组中，同时维护一个前缀和数组。
当需要查询某个前缀和时，只需要求出该前缀和对应的树状数组上的索引，然后返回前缀和数组中对应的值即可。
当需要对某个元素进行修改时，只需要在树状数组上进行相应的更新操作，同时更新前缀和数组。
另一个常见的应用是求解逆序对问题。
逆序对指的是在一个序列中，存在一对数(i,j)，满足i<j且a[i]>a[j]。
求解逆序对问题可以使用归并排序的思想，同时使用树状数组维护已经排序好的序列的信息。
具体实现是将序列从中间分为两部分，对每一部分进行递归排序，并记录两个指针，分别指向两个部分中已经排序好的元素的最后一个。
然后使用树状数组统计逆序对数目，即在归并两个已经排序好的序列的过程中，比较两个指针所指向的元素的大小关系，若
a[i]>a[j]，则将逆序对数目加上第二个部分中i之后的元素的个数。
除此之外，树状数组还可以应用于求解区间最值、区间求和等问题。
总之，树状数组是一种非常有用的数据结构，在解决一些序列问题时可以发挥出非常高的效率。
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6.数星星-苏教2017版二年级科学上册教案
数星星-苏教2017版二年级科学上册教案教学目标•能够熟练使用数学方法数星星；•能够观察星空，感受自然之美；•能够培养兴趣，激发对科学的好奇心；学习内容1. 数星星的方法数星星是天文学中的一项基本技能，通常使用肉眼、望远镜等工具，根据星星亮度、分布等信息进行计数。
但在二年级的科学教育中，我们要教给学生的是使用常见的数学方法进行星星计数。
具体方法如下：1.观察星空，寻找1、2、3、4等较小数量的星星；2.用手指指向每一个星星，边指边念数；3.几个星星就数几下，最后得到星星的数目。
2. 观察星空观察星空是进行数星星计数的前提，同时也是让学生了解自然、感受自然之美的好机会。
在教学中，我们应该引导学生注意以下几个方面：•时间选择：最好在晴朗的夜晚进行观察，而且最好选择晚上8点到10点左右，这个时间段的星星最多；•地点选择：选择没有灯光干扰，能够看到较好的视野地方进行观察；•注重安全：观察时要避免走路或者活动的过分弯曲，以免发生意外事件。
3. 学生活动让学生进行观察行动，并进行数星星练习，进行数学思维的刺激，同时培养了学生的自然观察能力，兴趣爱好和良好的科学素养。
具体步骤如下：1.分组出队，在指导老师的指导下进行观察最少需要10分钟以上；2.进行简单总结，筛选出每组观察到的星星数量；3.每个小组分别向全班报告自己观察到的星星数量。
4.指导学生使用数学方法，互相交流讨论后得出正确答案。
4. 教学重点•学习使用数学方法进行数星星；•培养对自然的观察和体验。
5. 教学难点•数学方法的灵活运用；•能够在观察环境下获取足够的科学信息。
教学方法本节课主要采用教师讲解、小组观察、讨论总结的教学方法，最大化提升学生的学习效果和兴趣。
教学过程•第一步：采用课前活跃气氛，引发学生兴趣，例如让学生看视频、图片等；•第二步：进行数星星方法的介绍和演示，让学生在课堂上练习；•第三步：组织学生小组观察，每个小组观察时间不少于10分钟；•第四步：每个小组向全班报道星星的数目，并讨论差异；•第五步：指导学生使用数学方法进行计数，互相交流讨论；•第六步：课堂总结，梳理重点，提醒学生注意事项。
树状数组详解
树状数组详解在我们考虑到要对⼀个区间进⾏操作的时候，第⼀解法就是想到运⽤暴⼒⼤法，但是难免会⾯临着超时的危险。
有没有⼀种⽅法可以很好的解决这种区间操作呢？⾸先先考虑⼀下这三个问题：问题⼀：(1)有⼀个机器，⽀持两种操作，在区间[1,10000]上进⾏。
操作A:把位置x的值+k操作B:询问区间[l,r]所有数字之和区间的初始值全部为0现在你要充当这个机器，操作A和操作B会被穿插着安排给你，要求对于所有操作B，给出正确的答案。
怎样做才能最节省精⼒？问题⼆：(2)有⼀个机器，⽀持两种操作，在区间[1,10000]上进⾏。
操作A:把区间[l,r]的值全都+x操作B:询问位置x的值。
区间的初始值全部为0现在你要充当这个机器，操作A和操作B会被穿插着安排给你，要求对于所有操作B，给出正确的答案。
怎样做才能最节省精⼒？问题三：(3)有⼀个机器，⽀持两种操作，在区间[1,10000]上进⾏。
操作A:把区间[l,r]的值全都+x操作B:询问区间[l,r]所有数字之和区间的初始值全部为0现在你要充当这个机器，操作A和操作B会被穿插着安排给你，要求对于所有操作B，给出正确的答案。
怎样做才能最节省精⼒？三个问题中操作的数量都可以认为是10000（甚⾄有可能会更⼤）注意:1.举个例⼦，进⾏这种类似的操作:从⼀⾏任意打乱的数字中找⼀个数字不能认为⼀瞬间就可以找到，在这⾥所花费的精⼒和数字的总数具有线性关系。
2.我们认为将数据转换为⼆进制不需要任何时间。
对于问题1，如果我们每种操作都暴⼒进⾏，那么显然总的时间复杂度为O(mA+n*mB),n表⽰区间长度，mA表⽰操作A执⾏的次数，mB表⽰操作B执⾏的次数。
那么有没有⼀种更加轻松的办法呢？我们将引⼊⼀种数据结构，叫做<树状数组>。
⾸先了解⼀下在整个树状数组知识中起到⾮常重要的作⽤的⼀个东西，可所谓是树状数组的核⼼，应⽤的却说很巧妙。
lowbit(x)=x&((~x)+1) (为了少引⼊补码的概念，我们这⾥稍微⿇烦了⼀下，其实x&-x就⾏)它的作⽤是什么呢？它只保留“从低位向⾼位数，第⼀个数字1”作为运算结果⽐如⼆进制数00011100，执⾏这个函数后，结果就是00000100，也就是4。
二维数点 树状数组
二维数点树状数组二维数点是一种用于处理二维数组中数据统计的算法，而树状数组是一种用于高效计算前缀和的数据结构。
二维数点树状数组结合了这两种概念，可以在二维数组中快速计算某个子矩阵中元素的和。
我们来了解一下树状数组的基本原理。
树状数组是一种基于二进制表示的数据结构，它可以在O(logn)的时间复杂度内完成单点更新和区间查询操作。
树状数组的核心思想是利用二进制表示中的低位1来表示区间的长度，从而实现高效的前缀和计算。
在树状数组中，我们需要定义两个基本操作：单点更新和区间查询。
单点更新是指将某个位置上的元素加上一个值，而区间查询是指查询某个区间内的元素和。
为了实现这两个操作，我们需要预处理出一个辅助数组bit，用来保存每个位置的前缀和。
接下来，我们将树状数组应用到二维数组中。
假设我们有一个n x m的二维数组arr，我们希望能够在O(logn * logm)的时间复杂度内完成以下两个操作：给某个位置加上一个值和计算某个子矩阵的和。
为了实现这个目标，我们可以采用二维树状数组的思想。
首先，我们需要构建一个n x m的二维辅助数组bit，用来保存每个位置的前缀和。
然后，我们可以通过一系列的区间查询和单点更新操作来实现给某个位置加上一个值和计算某个子矩阵的和。
具体来说，对于给某个位置加上一个值的操作，我们可以将其转化为给一个子矩阵加上一个值的操作。
假设我们需要给位置(i, j)加上一个值k，那么我们可以通过给子矩阵(1, 1)-(i, j)加上一个值k，然后再给子矩阵(1, 1)-(i, j-1)加上一个值-k，最后再给子矩阵(1, 1)-(i-1, j)加上一个值-k，这样就相当于给位置(i, j)加上了一个值k。
而对于计算某个子矩阵的和的操作，我们可以通过一系列的区间查询操作来实现。
假设我们需要计算子矩阵(i1, j1)-(i2, j2)的和，那么我们可以通过计算子矩阵(1, 1)-(i2, j2)的和减去子矩阵(1, 1)-(i1-1, j2)的和减去子矩阵(1, 1)-(i2, j1-1)的和再加上子矩阵(1, 1)-(i1-1, j1-1)的和，就可以得到子矩阵(i1, j1)-(i2, j2)的和。
《数星星》教学课件
《数星星》教学课件xx年xx月xx日•教学目标与重点难点•教学内容与教学方法•教学过程与活动设计•教学资源与教学工具目•教学反思与总结录01教学目标与重点难点教学目标能力目标提高学生的观察能力、思维能力、操作能力和创新能力。
知识目标使学生掌握数星星的方法和技巧。
情感目标培养学生学习数学的兴趣和自信心。
价值观目标让学生认识到数学的美和实用性，以及它在现实生活中的应用价值。
态度目标培养学生认真、仔细、负责的学习态度。
数星星的正确方法和步骤。
重点难点重点如何数出数量较多的星星，避免漏数或重复数。
难点通过讲解、演示和实践，使学生掌握数星星的技巧和方法，同时加强实践练习，让学生在实践中掌握数星星的正确方法和步骤。
解决方法02教学内容与教学方法教学内容教学目标：让学生了解基础的星座知识，能够认识和命教学内容名常见的星座，并掌握基础的星空观察技巧。
星座的定义和基本概念常见星座的介绍和识别方法星空观察的基本技巧和方法星星的亮度、颜色和命名等基本知识教学方法通过提问和讨论方式，了解学生对星座和星空的基本认知情况。
激活学生的前知教学策略学生活动教学材料采用讲解、示范、小组讨论和案例分析相结合的方式，帮助学生掌握相关知识和技能。
组织学生进行星座识别、星空观察等实际操作，加深对知识的理解和掌握。
使用PPT、图片、模型等辅助教学工具，增强学生对星座和星空的直观认识。
03教学过程与活动设计老师会出一个谜语，比如“天黑黑来黑黑天，空中划过一条线，亮闪闪来闪闪亮，眨眼功夫不见啦！”，让学生猜这是什么。
猜谜语老师会问学生“你们有没有看过夜晚的星星？你们觉得星星像什么？”等问题，引发学生的思考和讨论。
问问题导入环节认识星星老师会介绍星星的基本概念，包括星星的定义、分类、特点等，并且会展示一些星星的图片，让学生更加直观地了解星星。
数星星的方法老师会介绍数星星的方法，包括如何确定观测时间、如何选择观测地点、如何使用望远镜等，并且会进行一些示范，让学生更加清楚地了解数星星的过程。
最长上升子序列树状数组优化
最长上升子序列树状数组优化序列问题一直是计算机科学领域的研究热点之一，其中最长上升子序列问题是一个经典的例子。
在解决这个问题的过程中，我们可以利用树状数组进行优化，以提高算法的效率和性能。
树状数组是一种高效的数据结构，用于处理一维数组的前缀和问题。
利用树状数组，我们可以在O(logN)的时间复杂度内完成单点更新和前缀和查询操作。
这使得树状数组成为解决最长上升子序列问题的理想工具。
在解决最长上升子序列问题时，我们首先需要定义一个辅助数组dp，用于保存以当前元素为结尾的最长上升子序列的长度。
然后，我们可以利用树状数组来快速更新dp数组，并在更新过程中找到最长的上升子序列长度。
具体的算法流程如下：1. 初始化树状数组和dp数组，将dp数组中的所有元素初始化为1，表示以当前元素为结尾的最长上升子序列长度至少为1。
2. 对于序列中的每个元素，依次进行以下操作：a. 在树状数组中查询当前元素之前的最长上升子序列长度，并将其保存到临时变量max_len中。
b. 将当前元素的值更新到树状数组中，同时更新dp数组中以当前元素为结尾的最长上升子序列长度。
c. 如果当前元素的最长上升子序列长度大于max_len，则更新max_len。
3. 遍历dp数组，找到其中的最大值，即为序列的最长上升子序列长度。
通过利用树状数组进行优化，我们可以在O(NlogN)的时间复杂度内解决最长上升子序列问题，相比传统的动态规划算法，大大提高了算法的效率和性能。
最长上升子序列问题是一个经典的序列问题，通过树状数组的优化，我们可以更加高效地解决这个问题。
树状数组不仅可以用于解决最长上升子序列问题，还可以应用于其他一维数组相关的问题。
在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择合适的数据结构和算法，以提高解决问题的效率和性能。
通过本文的介绍，希望读者能够对最长上升子序列问题以及树状数组的优化有一个更深入的了解，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。
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【树状数组】数星星（POJ2352 star）
Time Limit:1000MS Memory Limit:65536K
Total Submit:23 Accepted:16
Description
天文学家经常观察星象图。
星象图中用平面上的点来表示一颗星星，每一颗星星都有一个笛卡尔坐标。
设定星星的等级为其左下角星星的总数。
天文学家们想知道星星等级的分布情况。
比如上图，5号星星的等级为3（其左下角有编号为1、2、4的星星共三颗）。
2号星星和4号星星的等级为1。
在上图中只有一颗星星等级为0，两颗星星等级为1，一颗星星等级为2，一颗星星等级为3。
给定一个星象图，请你写一个程序计算各个等级的星星数目。
Input
输入的第一行包含星星的总数N (1<=N<=15000)。
接下来N行，描述星星的坐标（X,Y）（X和Y用空格分开，0<=X,Y<=32000）。
星象图中的每个点处最多只有一颗星星。
所有星星按Y坐标升序排列。
Y坐标相等的星星按X坐标升序排列。
Output
输出包含N行，每行一个整数。
第一行包含等级0的星星数目，第二行包含等级1的星星数目，依此类推，最后一行包含等级为N-1的星星数目。
Sample Input
5
1 1
5 1
7 1
3 3
5 5
Sample Output
1
2
1
1
∙const maxn=60000;
∙var i,n,x,y,k:longint;
∙a:array[0..15000] of longint;
∙c,stars:array[0..60000] of longint; ∙procedure add(p,d:longint);
∙begin
∙ while p<=maxn do begin
∙ c[p]:=c[p]+d;
∙ p:=p+p and (-p);
∙ end;
∙end;
∙function sum(p:longint):longint;
∙var res:longint;
∙begin
∙ res:=0;
∙ while p>0 do begin
∙ res:=res+c[p]; p:=p-p and (-p); ∙ end;
∙ exit(res);
∙end;
∙begin
∙readln(n);
∙for i:=1 to n do begin
∙ readln(x,y);
∙ add(x+1,1);
∙ k:=sum(x+1)-1;
∙ stars[k]:=stars[k]+1;
∙end;
∙for i:=0 to n-1 do writeln(stars[i]); ∙end.
【树状数组】矩阵（POJ 2155）
Time Limit:3000MS Memory Limit:65536K
Total Submit:13 Accepted:8
Description
给你一个N*N的矩阵A，其元素为0或1。
A[i,j]代表在第i行第j列的数字。
最初A[i, j] = 0 (1 <= i, j <= N)。
我们按照如下规则改变矩阵。
给定一个矩形，其左上角为（x1, y1），其右下角为（x2，y2）。
我们对矩形内的所有元素执行“not”操作（也就是将“0”变为“1”，将“1”变为“0”）。
为了维护矩阵的信息，请你写一个程序接受并执行两种操作。
1. C x1 y1 x2 y2 (1 <= x1 <= x2 <= n, 1 <= y1 <= y2 <= n)对左上角为（x1，y1），右下角为（x2，y2）的矩形执行“not”操作。
2. Q x y (1 <= x, y <= n) 询问A[x, y]。
Input
第一行为一个整数X (X <= 10) 代表测试数据的组数。
接下来X块数据，每块数据代表一组测试数据。
每组测试数据的第一行包含两个数N和T (2 <= N <= 1000, 1 <= T <= 50000) 。
N 代表矩阵的大小。
接下来T行，每行有一条指令，按照格式“Q x y”或者“C x1 y1 x2 y2”。
Output
对于每个查询，输出一行代表A[x,y]。
注意连续两组测试数据的输出之间要有一个空行。
Sample Input
1
2 10
C 2 1 2 2
Q 2 2
C 2 1 2 1
Q 1 1
C 1 1 2 1
C 1 2 1 2
C 1 1 2 2
Q 1 1
C 1 1 2 1
Q 2 1
Sample Output
1
1
∙var
∙ n,k,i,j,t:longint;
∙ ch:char;
∙ c:array[0..1000,0..1000] of longint; ∙procedure add(x,y:longint);
∙var i,j:longint;
∙begin
∙ i:=x;
∙ while i<=n do begin
∙ j:=y;
∙ while j<=n do begin
∙ inc(c[i,j]);
∙ j:=j+j and (-j);
∙ end;
∙ i:=i+i and (-i);
∙ end;
∙end;
∙
∙procedure qc;
∙var x1,x2,y1,y2:longint;
∙begin
∙ readln(x1,y1,x2,y2);
∙ add(x1,y1);
∙ add(x1,y2+1);
∙ add(x2+1,y1);
∙ add(x2+1,y2+1);
∙end;
∙
∙function sum(x,y:longint):longint;
∙var v:longint; i,j:longint;
∙begin
∙ v:=0; i:=x;
∙ while i>0 do begin
∙ j:=y;
∙ while j>0 do begin
∙ v:=v+c[i,j];
∙ j:=j-j and (-j);
∙ end;
∙ i:=i-i and (-i);
∙ end;
∙ exit(v);
∙end;
∙
∙procedure qq;
∙var x,y:longint;
∙begin
∙ readln(x,y);
∙ writeln(sum(x,y) mod 2); ∙end;
∙begin
∙ readln(k);
∙ for i:=1 to k do begin
∙ fillchar(c,sizeof(c),0); ∙ readln(n,t);
∙ for j:=1 to t do begin ∙ read(ch);
∙ if ch='C' then qc
∙ else qq;
∙ end;
∙ writeln;
∙ end;
∙end.
∙。