相空间--刘维尔定理热力学.
第九章 系综理论
第九章 系综理论1.教学内容（1） 相空间 刘维尔定理； （2） 微正则分布（3） 微正则分布的热力学公式 （4） 正则分布（5） 正则分布的热力学公式 （6） 实际气体的物态方程 （7） 固体的热容量（8） 液4He 的性质和朗道超流理论 （9） 伊辛模型的平均场理论 （10） 巨正则分布的热力学公式 （11） 巨正则分布的简单应用 2.本章重难点（1） 本章重点是正则分布、正则分布、巨正则分布的热力学公式； （2） 本章难点是实际气体的物态方程及固体的热容量 1. 例题例题 1 证明在正则分布中熵可表为∑-=ss skS ρρln 其中sE s e Zβρ-=1是系统处在s 态的概率 解证: )ln (ln ββ∂∂-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1ss E s E e Z e Z ββρ--=⇒=∑)2(ln ∑∑---=∂∂k E kE k kkee E Zβββ由(1)知[]s s s s s E Z E Z E Z esρβρβρβln ln 1;ln ln +=-+=-⇒=-代至(2)得[]∑∑+=+=∂∂ss ss s s Z Z Z ρρββρρββln 1ln 1ln ln 1ln ;于是∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=s s s k Z Z k S ρρββln ln ln 例题2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵解证：()222121;iz iy ix Ni s sE p p p mE eZ s++==∑∑=-β 符号∏=i iz iy ixdp dp dpdp符号∏=iiiidzdy dx dq()()2/33)(232332!!!!1222122212222N NNNp p p m N N p p p m NNp p pN m h N V Z dp e h N V dpeh N Vdpdq e hN Z z y x Ni iziy ix Ni iziy ix m⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∑=⎰⎰⎰∞+∞-++-∞+∞-++-++-==βπβββ利用式（9.5.3）VNTkV Z Z Z P =∂∂=∂∂=⇒βββ1ln 1类似求S U ,例题3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为1n 和2n ，温度为T 。
热统第九章讲稿(1)
pi2 E ( yij ) i 1 2m i j
3N
求和要求i<j,是为了保证计算相互作用时不重复计算 如3个分子构成的系统 相互作用 (r12 ). (r13 ). (r23 ) 不能再出现 (r21 ). (r32 ). (r31 ) 如果出现了 (r21 ). (r32 ). (r31 ) ,则重复计算了相互作用
1
1.梅逸函数
fij e
( rij )
1 e
( rij )
fij 1
由于 r r0 (分子力程), (rij ) 0
由于分子是短程力1010 ~ 109 m 2.位形积分
fij 1 1 0
∴ fij 仅仅在很小的范围内不等于零
( E E ) 2 s ( Es E ) 2 s [ Es2 Es E EEs ( E ) 2 ]
s s
考虑一个偏导数
E s Es s s2e s
s e s s
s Es2 2 E s Es s ( E ) 2 E 2 2( E ) 2 ( E ) 2 E 2 ( E ) 2
qi H H , pi pi qi i 1.2.3... f
其中H为系统的哈密顿量 对孤立系,H就是系统的能量
H H (q1...q f , p1... p f )
由于H和H的微商是单值函数,由上式,经过相空间任何一点的轨道只能有一条. 系统从某一初态出发,表示点在相空间的轨道只能是一条封闭曲线或者是一条自 身永不相交的曲线. H (q1...q f , p1... p f ) E 对孤立系统, ∵E不随时间变化 在相空间中确定一个曲面 →能量面
微正则分布的热力学公式热力学
V E 3 h
N
2m E3N / 2 N!3N / 2!
N 3N / 2
3N E E E 2 E
V 2m 3N 3 N / 21 E E 3 E E E h N!3N / 2! 2
H U pV G U pV TS
§9.3 微正则分布的热力学公式
三、应用：利用微正则分布处理单原子分子理想气体 以单原子经典理想气体为例：设气体含有N个单 原子分子
pi2 H i 1 2m
3N
1 E N! h 3 N
1 E H q , p E E
量子表达式
E H (q, p) E E (q, p) constant , H (q, p) E , H (q, p) E E (q, p) 0,
s
1
§9.3 微正则分布的热力学公式
§9.3 微正则分布的热力学公式 一、微观态数与热力学几率 1. 微观态数 考虑一个孤立系统A(0)： 它由微弱相互作用的两个 系统A(1) 和A(2)组成。 A(1)的微观状态数： A(2)的微观状态数： 系统总的微观状态数： Ω1(N1, E1, V1) Ω2(N2, E2, V2) Ω(0)= Ω1(E 1) Ω2 (E2)
S k ln ln m! m ln m m
V 3N 3N 3N 3/ 2 S Nk ln 3 2m E k N ln N N k ln 2 2 h 2
3N E k ln ln 2 E
热力学〃统计物理
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Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理 §9.2微正则分布
刘维尔定理有界整函数必为常数题目
刘维尔定理有界整函数必为常数题目一、刘维尔定理简介刘维尔定理（Liouville"s theorem）是经典统计力学与哈密顿力学中的关键定理。
该定理断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数。
这意味着，给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。
这一定理以法国数学家约瑟夫·刘维尔命名，同时也是辛拓扑与遍历论中的有关数学结果。
二、整函数与有界性整函数是指从复数域射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。
全纯函数是复分析中的中心概念，它不仅代表着复可微，而且可以证明，全纯函数必然无穷可微，是解析函数。
有界性是指在复平面上，对于任意复数，其模长都小于等于一个正数。
在刘维尔定理中，如果一个整函数在整个平面上有界，那么它必定是常数。
三、刘维尔定理的证明刘维尔定理的证明运用了整函数与解析函数的关系。
首先，整函数必然是解析函数，所以我们考虑一个整函数f(z)。
我们可以将其解析展开为：f(z) = a0 + a1z + a2z^2 + ...+ anz^n其中，ai是系数。
接下来，我们考虑f(z)关于原点O的柯西积分公式：f(z) = ∫(f(w)dw)/(z - w)将f(z)的解析展开代入柯西积分公式，并取积分路径为以0为圆心，半径为|z|的圆，我们可以得到：ai = ∫(aiω^n dw)/(z - ω)其中，ω= e^(it)，t∈[0, 2π]。
进一步观察上式，我们可以发现，当z趋近于0时，aiω^n也趋近于0，因此，ai必为常数。
四、皮卡定理与刘维尔定理的关系皮卡定理（Picard"s theorem）是复分析中的一个著名定理。
它表明，如果一个整函数在复平面上存在两个相异的复数，这两个复数都不属于该函数的值域，那么这个整函数是常数函数。
与刘维尔定理相比，皮卡定理的条件更加严格，但它也提供了判断整函数是否为常数的一种方法。
五、刘维尔定理在实际应用中的例子1.经典统计力学与哈密顿力学中的应用：刘维尔定理在经典统计力学与哈密顿力学中起着关键作用。
第9章 系综理论
9.1
4、系综的分类
相空间 刘维定理
微正则系综：粒子数N 体积V 能量E都确定的系统， （1）微正则系综：粒子数N 、体积V 、能量E都确定的系统，孤立系统 正则系综： 粒子数N 体积V 温度T都确定的系统， （2）正则系综： 粒子数N、体积V、温度T都确定的系统，封闭系统 巨正则系综：化学势µ 体积V 温度T都确定的系统， （3）巨正则系综：化学势µ、体积V、温度T都确定的系统，开放系统 二、刘维定理 1、稳定系综 不显含时间t 则该系综称为稳定系综，此时： 若ρ不显含时间t，则该系综称为稳定系综，此时： ）、稳定系综的<f>与时间无关 稳定系综的<f> （1）、稳定系综的<f>与时间无关 ）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综 处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。 （2）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。
（ 5）
由于相空间中不存在“ 由于相空间中不存在“源”与“壑”，因而代表点的总数必须守 因此， 则有： 恒。因此，由（2）和（4）式，则有：
∂ → div ρ v dΓ = − ∫ ρdΓ ∫ ∂t Γ Γ
∂ρ → ∫ ∂t + div ρ v dΓ = 0 （6） Γ
包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为： 包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为：
→
∂ 3）
→
n
→ → 从表面的净流出为： 从表面的净流出为： ρ v⋅ ndσ ∫ σ
→
→
为表面元的速度矢量， v 为表面元的速度矢量， n 为 dσ 向外的法向单 位矢量。 位矢量。
9第九章 系综理论
第九章 系综理论 青岛科大数理学院
B ( t ) 就是与微观量B相应的宏观物理量。
设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定的宏观条 件之下。我们把这大量系统的集合称为统计系综，简称系综。 可以想见，在统计系综所包括的大量系统中，在时刻t,运动状态 在dqdp范围的系统数将与 ρ ( q, p, t ) dqdp成正比，( ρ ( q, p, t ) 可理解 为是系统的分布函数)。如果在时刻t，从统计系综中任意选取一 个系统，这个系统的状态处在dqdp范围的概率为 ρ ( q, p, t ) dqdp
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∑ ρ (t ) = 1
s s
以 Bs 表示微观量B在量子状态s上的数值,微观量B在一切可能 的微观状态上的平均值为
B ( t ) = ∑ ρ s ( t ) Bs
s
B ( t )就是与微观量B相应的宏观物理量。
B ( t ) = ∫ B ( q, p )ρ ( q, p, t ) dqdp
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ρ (q 1 + q1dt , ⋅⋅⋅, p f + p f dt , t + dt )
要证明
dρ =0 dt
考虑相空间中一个固定的体积元
d Ω = dq1
dq f dp1
dp f
这体积元是以下述2f 对平面为边界构成的:
qi , qi + dqi ; pi , pi + dpi (i = 1, 2,
上式给出宏观量与微观量的关系,是在系综理论中求宏观量的基 本公式。 二、平衡状态的孤立系统经典及量子分布 1.微正则分布 孤立系统的能量具有确定值，能量在 E ⎯ E + ΔE 范围内
热力学统计物理教学大纲
《热力学·统计物理》课程教学大纲课程名称：热力学·统计物理课程编码：学时：72 学分：4开课学期：第四学期课程类别：学科平台课程课程性质：必修课适用专业：应用物理学先修课程：力学、热学、原子物理，高等数学一、课程的性质、目的与任务热力学与统计物理是研究物质热现象和热运动规律理论的物理课程。
它是微观理论研究和宏观应用之间的一座桥梁，前者采用宏观的研究方法，后者采用微观的研究方法。
两种方法相辅相成，取长补短。
本门课程的学习内容主要有：热力学的基本规律；均匀物质的热力学性质；单元系的相变；多元系的复相平衡和化学平衡；；近独立粒子的最概然分布；玻耳兹曼统计；玻色统计和费米统计；系综理论；。
通过本门课程的学习，使学生能够掌握这两种研究方法，为今后的进一步学习与研究打下必要的基础。
二、教学内容及基本要求第一章热力学的基本规律教学目的和要求：了解热力学系统的平衡态及其描述、热平衡定律和温度、理想气体的内能和绝热过程、理想气体的卡诺循环、自由能和吉布斯函数理解物态方程、功、热力学第二定律、热容量和焓、热力学温标掌握热力学第一定律、卡诺定律、克劳修斯等式和不等式、熵和热力学基本方程、理想气体的熵、热力学第二定律的普遍表述、熵增加原理的的简单应用教学重点和难点：热力学第一定律和物态方程，克劳修斯等式与不等式，热力学基本方程。
教学方法与手段：传统教学与学生自学相结合第一节热力学系统的平衡状态及其描述第二节热平衡定律和温度第三节物态方程第四节功第五节热力学第一定律第六节热容量和焓第七节理想气体的内能第八节理想气体的绝热过程第九节理想气体的卡诺循环第十节热力学第二定律第十一节卡诺定理第十二节热力学温标第十三节克劳修斯等式与不等式第十四节熵和热力学基本方程第十五节理想气体的熵第十六节热力学第二定律的表述第十七节熵增加原理的简单应用第十八节自由能和吉布斯函数复习与作业要求：完成课后相关习题。
考核知识点：熵增加原理的应用，理想气体的熵。
刘维尔定理内容(一)
刘维尔定理内容(一)
刘维尔定理及其应用
1. 什么是刘维尔定理？
刘维尔定理是伟大的数学家刘维尔在19世纪提出的一条重要定理，它描述了随机过程中熵的增加。
熵可以理解为系统的不确定度或混乱
度的度量，刘维尔定理揭示了熵在自然世界中的普遍增加趋势。
2. 刘维尔定理的主要内容
•刘维尔定理表明，在一个孤立系统中，经过一段时间后，系统的熵将不断增加，系统将趋向于更高的混乱度或不确定度。
•刘维尔定理还指出，即使在微观层面上的过程是可逆的，也无法阻止熵的增加。
尽管在短时间内，系统的熵可能会减少，但长期
趋势却是熵增加。
•这一定理在热力学、信息论、统计力学等领域中有广泛应用，被视为自然界中一种普遍现象的数学表达。
3. 刘维尔定理的应用
刘维尔定理在许多领域都有重要应用，以下列举其中几个例子：•热力学：刘维尔定理揭示了热力学中的熵增加趋势，帮助解释了热平衡和热力学过程中的能量转化。
•信息论：刘维尔定理与信息熵密切相关，说明信息传输中的信息丢失以及数据压缩的限制。
•统计力学：刘维尔定理为统计力学提供了基本框架，解释了粒子运动和宏观现象之间的关系，如布朗运动、分子扩散等。
•生态学：刘维尔定理应用于生态系统分析中，帮助解释生物多样性和能量流动等生态现象。
•社会学：刘维尔定理的思想被应用于社会系统的研究，如群体行为、市场力学等。
4. 总结
刘维尔定理是一条描述系统熵增加的重要定理，揭示了自然界中系统混乱度或不确定度增加的普遍趋势。
它在热力学、信息论、统计力学、生态学和社会学等多个领域都有重要应用。
该定理的理解和应用为我们解释和探索自然界中各种现象提供了有力的工具。
刘维尔定理
根据哈密顿正则方程， 根据哈密顿正则方程，有：
& qi = ∂H ; ∂pi & pi = − ∂H ; ∂qi
=0
∂ ∂ ∂2H ∂2H & & − qi + pi = ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi ∂pi∂qi
∂ρ ∂ρ ∂ρ & & + ∑ qi + pi = 0 ∂t q ∂pi i ∂ i
& ρ q i dtdA
dΩ
q i + dq i
q
i
同样，在dt时间内通过平面qi＋dqi走出体积元的粒子 同样， dt时间内通过平面q 时间内通过平面 数目为： 数目为：
∂ & & & dtdA= ρ qi + ρ qi dqi dtdA 流出 ρ ⋅ qi qi +dqi qi ∂qi
dA = dq1dq 2 L dq i −1dq i +1 L dq f dp1 L dp f
在dt时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以dA dt时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以dA 时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以 为底， & dt为高的柱体内 柱体内的代表点数为： 为高的柱体内。 为底，以 q i dt为高的柱体内。柱体内的代表点数为：
同理，可以得到经过一对平面（ 同理，可以得到经过一对平面（pi，pi＋dpi）净 进入体积元内的代表点数目为： 进入体积元内的代表点数目为：
dΩ
p i + dp i p
i
∂ ∂ & & − ρ p i ⋅ dp i dtdA = − ρ p i dtd Ω ∂pi ∂pi
热力学统计物理各章重点总结
第一章概念1.系统：孤立系统、闭系、开系与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系；2.平衡态平衡态的特点:1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2。
热力学的平衡状态是一种动的平衡,常称为热动平衡;3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态.3.准静态过程和非准静态过程准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。
非准静态过程，系统的平衡态受到破坏4.内能、焓和熵内能是状态函数.当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关;表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。
这是态函数焓的重要特性克劳修斯引进态函数熵.定义:5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值定容热容量：定压热容量:6.循环过程和卡诺循环循环过程（简称循环）:如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。
系统经历一个循环后,其内能不变。
理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。
7.可逆过程和不可逆过程不可逆过程：如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。
可逆过程:如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状.8.自由能：F和G定义态函数：自由能F，F＝U－TS定义态函数:吉布斯函数G,G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1定律及推论1.热力学第零定律－温标如果物体A和物体B各自与外在同一状态的物体C达到热平衡,若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡.三要素：（1）选择测温质；(2）选取固定点；（3)测温质的性质与温度的关系。
第九章 系综理论
第九章系综理论第一节刘维尔定理第节相空间第节微正则分布第二节第三节微正则分布的热力学公式第四节正则分布第五节正则分布的热力学公式第九章近独立粒子的最概然分布Boltzmann统计，玻色统计和费米统计。
玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子玻耳兹曼系统粒子可以分辨每个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。
玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。
够容纳的粒子数不受限制费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能够容纳一个粒子。
玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数，能量，体积N E .V 能级：，，，简并度: ，，，1E 2E lE 1ω2ωl ω离子数:，，，1a 2a l a E α=−则在能级上的粒子数为，系数与由与确定。
ll l e a βω=αβN a l =∑E E a l l =∑ll定域系统（由定域粒子组成的系统）与满足经典极限条件的玻色（费米）系统（，或者对于所的1>>αe ,l 1<<l a 又叫做非简并条件）都遵从玻耳兹曼分布。
不满足上述条件的系统遵从玻色统计分布或者费米统计l ω分布。
玻色统计分布满足，费米统计分1−=+l E l l e a βαω布满足。
系数与由与1+=+lE l l e a βαωαβN a ll =∑确定。
E E a l l l=∑9.19.1相空间刘维尔定理目的：说明系综理论的适用范围。
介绍相空间的概念。
给出并且证明刘维尔定理。
内容如下：1系综理论的适用范围是研究相互作用粒子组成的系统1. 系综理论的适用范围是研究相互作用粒子组成的系统。
2. 相空间的概念：设系统在任意时刻的运动状态由个广义坐标和相应的个广义动量在该时刻的数值确定，系统的自由度为。
那末这维空间就是相空间或者叫f q q q ,...,21f fp p p ,...,21f 个变量构成的维空间就是相空间，或者叫空间f f 2f2Γ3.刘维尔定理如下：设有大量结构完全相同的系统，这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形成个分布代表点将在相空间中形成一个分布,用表示相空间中的一个体积元。
中山大学热力学统计思考题答案汇总
中⼭⼤学热⼒学统计思考题答案汇总热⼒学思考题答案汇总第⼀章热⼒学的基本规律什么是热⼒学平衡态(弛豫时间、热动平衡)热⼒学平衡态：孤⽴系经过⾜够长的时间后，各种宏观性质在长时间内不发⽣变化弛豫时间：系统由初始状态达到热⼒学平衡态的时间，决定于趋向平衡的过程的性质。
热动平衡：虽然平衡态下的宏观性质不随时间变化，但系统的微观粒⼦仍在不断运动涨落：平衡态下的宏观物理量在平均值附近的变化⾮孤⽴系的平衡态：将系统与外界看作复合的孤⽴系什么是热⼒学第零、⼀、⼆定律(及其表达式)热⼒学第零定律：如果两个系统A和B各⾃与第三个系统达到热平衡，那么A和B之间也处于热平衡热⼒学第⼀定律：系统在终态B 和初态 A 的内能之差U B- U A等于过程中外界对系统所作的功与系统从外界吸收的热量之和热⼒学第⼀定律就是能量守恒定律：⾃然界的⼀切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从⼀种形式转化为另⼀种形式，从⼀个物体传递到另⼀个物体，在传递与转化的过程中能量的数量不变热⼒学第⼀定律的另外⼀种表述：第⼀类永动机是不可能造成的Q +W S= U B- U A热⼒学第⼀定律的数学表达式热⼒学第⼆定律的两种表述克⽒表述：不可能把热量从低温物体传到⾼温物体⽽不引起其它变化开⽒表述：不可能从单⼀热源吸热使之完全变成有⽤的功⽽不引起其它变化热⼒学第⼆定律开⽒表述的另外⼀种说法：第⼆类永动机是不可能造成的什么是物质的物态⽅程(理想⽓体、范⽒⽅程)物态⽅程的⼀般形式和相关物理量物态⽅程的⼀般形式由热平衡定律，平衡态下的热⼒学系统存在状态函数(温度)，物态⽅程就是温度与状态参量之间的函数关系f(p,V,T )=0相关物理量体胀系数α：压强不变，温度升⾼1K的体积相对变化压强系数β：体积不变，温度升⾼1K的压强相对变化等温压缩系数k T：温度不变,增加压强的体积相对变化体胀系数α、压强系数β和等温压缩系数的关系加热固体或液体时很难实现体积不变，即压强系数β很难直接测量，通常是通过α和间接测量β物态⽅程和三个系数的关系由物态⽅程，可以求得α、β和由α和，可以得到物态⽅程的信息理想⽓体(⽓体的压强趋于零)玻意⽿定律：对于固定质量的⽓体，当温度不变时，压强p 和体积V 的乘积是⼀个常数pV=C阿⽒定律：相同的温度和压强下，相等体积的各种⽓体的质量与各⾃的分⼦量成正⽐，即物质的量相等物态⽅程：PV=nRT R=8.3145J.MOL-1.K-1焦⽿定律→上式中的T是理想⽓体温标=热⼒学温标理想⽓体：严格遵从玻意⽿定律、阿⽒定律和焦⽿定律的⽓体微观⾓度的理想⽓体：⽓体分⼦之间的相互作⽤可忽略不计(范式⽅程) 范⽒⽅程：基于理想⽓体物态⽅程，考虑分⼦间的相互作⽤(nb是斥⼒项，an 2/V 2是引⼒项)什么是功的⼀般表⽰式什么是摩尔热容量、等容/等压热容量、内能什么是理想⽓体的卡诺循环(及其效率)热⼒学把严格遵守玻意尔定律，焦⽿定律，阿⽒定律规律的⽓体称为理想⽓体组成的循环。
热力学与统计物理--第七章-系综理论
Sr
k
ln r
)。因为
Es E0
1
，我们将ln r展开，只取
ln r
E0 Es
ln r
E0
ln r Er
Er E0
Es
ln r E0 Es
根据(7.2.9)式
ln r Er
Er E0
1 kT
T是热源的温度。既然系统与热源达到热平衡，T也就是系统
的温度。(7.3.3)式右方第一项对系统来说是一个常数,所以可以将
(7.2.9)式的积分给出空间中能壳 E H q, p E E 的体积．
N个全同粒子 每一粒于的自由度为r 则整个系统的自由度为Nr.
空间体积元 hNr
E E E 的体积除以 hNr
并考虑到全同粒子的不可分辨性，粒子的交换不引起新的微 观状态，再除以粒子的交换数N!
如果系统含有多种不同的粒子
比较(7.2.18)和(7.2.21)式,得
1 kT
S k ln
给出熵与微观状态数的关系 玻耳兹曼关系
A1 A2 不仅可以交换能量 而且可以交换粒子和改变体积
可以得到平衡条件为:
V1 V2 V0 , N1 N2 N0
ln 1 E1
N1 ,V1 ,E1 E1
ln 2 E2
N2 ,V2 ,E2 E2
⒉系综的分类
• 根据给定的宏观条件来分类：微正则系综：大
量的孤立系统即大量具有相同的N,V , E 系统的
集合。
• 正则系综：大量的封闭系统，即大量的具有相
同的 N,V ,T 系统的集合。
• 巨正则系综：大量的开放系统，即大量的具有
相同的化学势 ，体积V和温度的系统的集
合。以上三种系综的概率分布分别叫微正则分 布，正则分布和巨正则分布。
相空间 刘维尔定理
代表点密度：
Ν ( q , q ; p
1 f
1
,
p f ;t)
f
相空间体积元： d dq dq dp dp 1 f 1 满足：
N
( q1 , , q f ; p1 , , p f ; t ) d N
N : 所设想的系统的总数
刘维尔定理（
d dt
0
）
现在先考虑代表点密度 随时间 t 的变化。当时间 由 t 变到 t dt 时，在 q i 、 p i 处的代表点将运动到
在 dt 时间内通过 dA 进入d 的代表点必须位于
t 代表点需要通过这 2 f
dtd
(3)
以 dA 为底、以 q 和 p 为轴线，以 q i dt 为高的柱 体 内。柱体内的代表点数是 q i dtdA
同样，在 dt 时间内通过平面 q i dq i 走出 d 的代表点数为
同时显示坐标和动量（速度）
这就是 相图
相空间的研究及其应用
利用相空间压缩实现混沌与超混沌控制
图1 小角单摆的相图
图1 分别以 和d / dt 为横坐标和纵坐标，则相 图为一椭圆（无阻尼）。
单摆运动对应的相图
图2、一般单摆运动的相图
图3、有阻尼小角单摆相图
与图1相比可见，在小角度低能情况下，相轨迹 呈椭圆形。随着能量逐渐提高，椭圆轨迹变成左右 两端呈尖角枣核状，当振幅（摆角）±π时，轨线 上出现鞍点G、G’，实际上都对应于倒立摆的状态 ，是不稳定的双曲点。当能量再高时，相轨迹不再 闭合，摆将顺时针或逆时针转起来，不再往复摆动 。
q i q i dt , p i p i dt 处。在后一处的密度是
相空间..刘维尔定理热力学PPT共41页
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
相空间刘维尔定理热力学
§9.1 相空间 刘维尔定理
（2）系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程
qi
H pi
p i
H qi
i 1,2,, f （9.1.1）
保守力系
L(q, qi ,t) T V
s
H ( p, q,t) L p q 1
q dp
L t
dt
§9.1 相空间 刘维尔定理
dH
s 1
H q
dq
H p
dp
H t
dt
dH
dt
s 1
H q
q
H p
p
H t
dH
dt
s 1
H q
H p
2 、刘维尔定理及其证明
1) 刘维尔定理
d 0
dt
如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相 空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改 变的常数。
2) 刘维尔定理的证明
§9.1 相空间 刘维尔定理
[证明] 现在考虑代表点密度ρ 随时间t 的变化．
当时间由t 变到t + dt 时，
在 (qi , pi ) 处的代表点将运动到 (qi qidt, pi pidt)
这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布．
相空间中的一个体积元 d dq1dq2 dq f dp1dp2 dp f
时刻t，运动状态在dΩ内的代表点数：
(q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f ;t)d
§9.1 相空间 刘维尔定理
9.1 相空间 刘维尔定理
§9.1 相空间 刘维尔定理
[证明] 现在考虑代表点密度ρ 随时间t 的变化． 当时间由t 变到t + dt 时，
在 (qi , pi ) 处的代表点将运动到 (qi q i dt, pi p i dt)
(q1 q1dt , , q f q f dt; p1 p1dt , , p f p f dt , t dt )
当时间由t变到tdtdt全微分91相空间刘维尔定理考虑相空间中一个固定的体积元边界是2f对平面dpdpdpdqdqdq时刻td内的代表点数时刻tdtd内的代表点数经dt时间后d内代表点数的增加91相空间刘维尔定理代表点需要通过2f对边界平面才能进入或走出体积元d进入d的代表点数d在平面q上的边界面积在dt时间内通过da进入d的代表点必须位于以da为为高的柱体内
S k (ln ln ln )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
§9.1 相空间 刘维尔定理
Chap.9 系综理论
回顾：近独立粒子
平衡态统计物理的普遍理论—系综理论 应用系综理论可以研究互作用粒子组成的系统． §9.1 相空间 刘维尔定理 如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？
i ) ( q i ) qi dqi dtdA ( q i ) qi ( q dqi dtdA 走出 qi
( qi ) ( qi ) dqi dtdA dtd qi qi
类似的讨论可得，在dt 时间内通过一对平面 pi和pi +d pi净进入dΩ的代表点数为
它是 q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f 的函数,存在外场时 还是外场参量的函数, 不是时间t 的显函数。
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斯特藩-玻耳兹曼定律
x m / kT 2.822
ω m与温度T成正比---维恩位移定律(1893)
知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
光子气体的热力学函数
l
ln l ln(1 e l )
2V 1 ln 45c 3 3
U ln Y 1 1 ln P ln y V
S k (ln ln ln )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
知识回顾：§8.3 Bose –Einstein 凝聚 8.2 弱简并理想 Bose气体和Fermi气体
1.理想Bose气体的化学势 0
2 2 2/3 2.临界温度（凝聚温度）： Tc n 2/3 (2.612) m k
3. T<Tc时：
1/ 2 2 d n0 (T ) 3 (2m)3 / 2 nd 2 3 2 d c
3
l
al
1 e
l
1
V d U ( , T )d 2 3 / kT 普朗克公式 c e 1
V 2 U ( , T ) d kTd 低频极限： 2 3 c 瑞利(1900)-金斯(1905)公式 V 3 / kT d 高频极限： U ( , T )d 2 3 e c 维恩(1896)公式
知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
空窖辐射的内能
V 3d U 2 3 / kT c 0e 1
k 4 U VT 15c 3 3
2 4
u aT 4
V d U ( , T )d 2 3 / kT c e 1
很大
n3 很小，但不可忽略！
知识回顾： §8.2 弱简并理想玻色和费米气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Bose气体 Fermi气体 Boltzmann气体
弱简并条件下的系统 内能的差异
3 1 3 U NkT 1 n 2 4 2g
（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能， 弱简并的情况下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 —等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 ---等效的吸引作用
T 0; S 0
知识回顾：§8.5 金属中的自由电子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
讨论强简并的 Fermi气体的特性
2k 4 V 4 U ln T 3 3 15c 1 2k 2 4 p ln T 3 3 V 45c
1 p u 3
4 2k 3 V 4 S k ln ln T 3 3 45 c
热力学·统计物理 8.2
弱简并理想Bose气体和Fermi气体
回顾
Chap.7 玻尔兹曼统计 Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 §8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体 §8.3 Bose –Einstein 凝聚 §8.4 光子气体 §8.4 光子气体 Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理
知识回顾： §8.2 弱简并理想玻色和费米气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.8 玻色统计和费米统计 Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：
e 1
(e
1)
l
al
1
所谓“弱简并条件”即气体的
e 1
n3 1
e
Z1 V 2mkT 3 / 2 ( ) 2 N N h
F NkT ln Z1 kT ln N!
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 抛弃粒子轨道的概念 （1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制
知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Bose 系统
l [1 e
l l l l
Fermi系统
]
l [1 e
l l l l
]
N
ln
4. Bose-Einstein 凝聚
T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚， 这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。 Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0
5. Bose-Einstein 凝聚的条件：
n 2.612
3
知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
e
l
l
Z1 l e l
l
N p ln Z1 V S Nk (ln Z1 ln Z1 )
S k ln
S Nk (ln Z1 ln Z1 ) k ln N!
F NkT ln Z1
满足经典极限条件 的玻色和费米系统
新课
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.7 玻尔兹曼统计 粒子的配分函数Z1
基本热力学函数、内能、 物态方程、熵、自由能
系统的全部平衡性质
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
N e
U e
e
l l
l l
l
e Z1
N ln Z1