相空间 刘维尔定理热力学.
热统第九章讲稿(1)
pi2 E ( yij ) i 1 2m i j
3N
求和要求i<j,是为了保证计算相互作用时不重复计算 如3个分子构成的系统 相互作用 (r12 ). (r13 ). (r23 ) 不能再出现 (r21 ). (r32 ). (r31 ) 如果出现了 (r21 ). (r32 ). (r31 ) ,则重复计算了相互作用
1
1.梅逸函数
fij e
( rij )
1 e
( rij )
fij 1
由于 r r0 (分子力程), (rij ) 0
由于分子是短程力1010 ~ 109 m 2.位形积分
fij 1 1 0
∴ fij 仅仅在很小的范围内不等于零
( E E ) 2 s ( Es E ) 2 s [ Es2 Es E EEs ( E ) 2 ]
s s
考虑一个偏导数
E s Es s s2e s
s e s s
s Es2 2 E s Es s ( E ) 2 E 2 2( E ) 2 ( E ) 2 E 2 ( E ) 2
qi H H , pi pi qi i 1.2.3... f
其中H为系统的哈密顿量 对孤立系,H就是系统的能量
H H (q1...q f , p1... p f )
由于H和H的微商是单值函数,由上式,经过相空间任何一点的轨道只能有一条. 系统从某一初态出发,表示点在相空间的轨道只能是一条封闭曲线或者是一条自 身永不相交的曲线. H (q1...q f , p1... p f ) E 对孤立系统, ∵E不随时间变化 在相空间中确定一个曲面 →能量面
刘维尔定理的物理意义
刘维尔定理的物理意义
1．刘维尔定理在经典统计力学和哈密顿力学中是一个关键定理。
它断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是恒定的，也就是说，给定一个系统点，与该点相邻的系统点的密度在相空间运动期间相对于时间是恒定的。
这种与时间无关的密度在统计力学中被称为经典先验概率。
因此，刘维尔定理表明，在相空间中，系统的点密度在运动过程中是恒定的。
2．刘维尔定理也可以被看作是一种数学结果，它是辛拓扑和遍历理论中的一部分。
从这个角度来看，刘维尔定理的意义在于它表明相点集的运动是不可压缩流体的运动，因此它是以法国数学家约瑟夫·刘维尔的名字命名的。
总之，刘维尔定理在经典统计力学和哈密顿力学中有着重要的应用，它可以被视为辛拓扑和遍历理论中的一部分，表明了相空间中系统的点密度在运动过程中的恒定性。
微正则分布的热力学公式热力学
V E 3 h
N
2m E3N / 2 N!3N / 2!
N 3N / 2
3N E E E 2 E
V 2m 3N 3 N / 21 E E 3 E E E h N!3N / 2! 2
H U pV G U pV TS
§9.3 微正则分布的热力学公式
三、应用：利用微正则分布处理单原子分子理想气体 以单原子经典理想气体为例：设气体含有N个单 原子分子
pi2 H i 1 2m
3N
1 E N! h 3 N
1 E H q , p E E
量子表达式
E H (q, p) E E (q, p) constant , H (q, p) E , H (q, p) E E (q, p) 0,
s
1
§9.3 微正则分布的热力学公式
§9.3 微正则分布的热力学公式 一、微观态数与热力学几率 1. 微观态数 考虑一个孤立系统A(0)： 它由微弱相互作用的两个 系统A(1) 和A(2)组成。 A(1)的微观状态数： A(2)的微观状态数： 系统总的微观状态数： Ω1(N1, E1, V1) Ω2(N2, E2, V2) Ω(0)= Ω1(E 1) Ω2 (E2)
S k ln ln m! m ln m m
V 3N 3N 3N 3/ 2 S Nk ln 3 2m E k N ln N N k ln 2 2 h 2
3N E k ln ln 2 E
热力学〃统计物理
回顾
Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理 §9.2微正则分布
热力学与统计物理教学大纲
《热力学与统计物理》教学大纲课程名称：《热力学与统计物理》英文名称：Thermodynamics and statistic p hysics课程性质：学科教育必修课课程编号：E121015所属院部：光电工程学院周学时:3学时总学时:45学时学分:3学分教学对象(本课程适合的专业和年级） :物理学专业(本科）2012级学生预备知识:高等数学、概率统计、普物课程在教学计划中的地位作用：《热力学·统计物理》课是物理专业学生的专业基础课,与理论力学、量子力学、电动力学共同构成物理专业重要的四门必修课，通常称为物理专业的四大力学课。
热力学和统计物理的任务是研究热运动的规律，研究与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化.本课程的作用是使学生掌握热力学与统计物理的基本原理和处理具体问题的一些重要方法，并初步具有用这些方法解决较简单问题的能力。
教学方法:以板书手段为主要形式的课堂教学。
在课堂教学中，教师应精心组织教学内容,注重发挥学生在教学活动中的主体作用和教师的主导作用，注重采用多种教学形式提高课程教学质量。
注意在学习中调动学生积极性和创造性，注重各种教学方法的灵活应用。
教学目标与要求：要求学生初步掌握与热现象有关的物质宏观物理性质的唯象理论和统计理论，并对二者的特点与联系有一个较全面的认识同时注重对学生逻辑思维能力的培养，强调学生物理素养的生成和提高.课程教材:汪志诚主编. 热力学统计物理（第四版).北京：高等教育出版社，2010年参考书目：[1] 苏汝铿主编. 统计物理学。
上海:复旦大学出版社，2004年[2] 王竹溪主编。
热力学简程. 北京：高等教育出版社，1964[3] 王竹溪主编。
统计物理学导论. 北京：高等教育出版社，1956考核形式：考核方式为考试。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩不超过30%，期末成绩不少于70％。
编写日期：2012年5月制定课程内容及学时分配(含教学重点、难点):本课程内容主要包括：热力学的基本规律麦克斯韦关系及其应用,气体的节流膨胀与绝热膨胀,基本热力学函数，特性函数，平衡辐射热力学，磁介质热力学等。
刘维尔 经典力学
刘维尔经典力学？
答：刘维尔（Joseph Liouville）是一位19世纪的法国数学家，他在数学、力学和天文学等多个领域都有显著的贡献。
尽管他的工作主要集中在数学方面，尤其是数论和微分方程等领域，但他的一些研究也与经典力学有关。
在经典力学中，刘维尔的一个重要贡献是刘维尔定理（Liouville's theorem）。
这个定理是关于相空间（phase space）中流体体积的守恒定律。
相空间是一个抽象空间，用于描述物理系统的状态。
刘维尔定理指出，在哈密顿力学系统中，一团相空间流体的体积不会随时间变化。
这是因为在哈密顿系统中，相空间的演化是保辛的（symplectic），即保持相空间体积不变。
此外，刘维尔还在微分方程边值问题和数论中的超越数问题等方面有深入研究。
他的工作对后来的数学家和物理学家产生了深远的影响，为经典力学和数学的发展做出了重要贡献。
第9章 系综理论
9.1
4、系综的分类
相空间 刘维定理
微正则系综：粒子数N 体积V 能量E都确定的系统， （1）微正则系综：粒子数N 、体积V 、能量E都确定的系统，孤立系统 正则系综： 粒子数N 体积V 温度T都确定的系统， （2）正则系综： 粒子数N、体积V、温度T都确定的系统，封闭系统 巨正则系综：化学势µ 体积V 温度T都确定的系统， （3）巨正则系综：化学势µ、体积V、温度T都确定的系统，开放系统 二、刘维定理 1、稳定系综 不显含时间t 则该系综称为稳定系综，此时： 若ρ不显含时间t，则该系综称为稳定系综，此时： ）、稳定系综的<f>与时间无关 稳定系综的<f> （1）、稳定系综的<f>与时间无关 ）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综 处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。 （2）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。
（ 5）
由于相空间中不存在“ 由于相空间中不存在“源”与“壑”，因而代表点的总数必须守 因此， 则有： 恒。因此，由（2）和（4）式，则有：
∂ → div ρ v dΓ = − ∫ ρdΓ ∫ ∂t Γ Γ
∂ρ → ∫ ∂t + div ρ v dΓ = 0 （6） Γ
包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为： 包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为：
→
∂ 3）
→
n
→ → 从表面的净流出为： 从表面的净流出为： ρ v⋅ ndσ ∫ σ
→
→
为表面元的速度矢量， v 为表面元的速度矢量， n 为 dσ 向外的法向单 位矢量。 位矢量。
热力学统计物理教学大纲
《热力学·统计物理》课程教学大纲课程名称：热力学·统计物理课程编码：学时：72 学分：4开课学期：第四学期课程类别：学科平台课程课程性质：必修课适用专业：应用物理学先修课程：力学、热学、原子物理，高等数学一、课程的性质、目的与任务热力学与统计物理是研究物质热现象和热运动规律理论的物理课程。
它是微观理论研究和宏观应用之间的一座桥梁，前者采用宏观的研究方法，后者采用微观的研究方法。
两种方法相辅相成，取长补短。
本门课程的学习内容主要有：热力学的基本规律；均匀物质的热力学性质；单元系的相变；多元系的复相平衡和化学平衡；；近独立粒子的最概然分布；玻耳兹曼统计；玻色统计和费米统计；系综理论；。
通过本门课程的学习，使学生能够掌握这两种研究方法，为今后的进一步学习与研究打下必要的基础。
二、教学内容及基本要求第一章热力学的基本规律教学目的和要求：了解热力学系统的平衡态及其描述、热平衡定律和温度、理想气体的内能和绝热过程、理想气体的卡诺循环、自由能和吉布斯函数理解物态方程、功、热力学第二定律、热容量和焓、热力学温标掌握热力学第一定律、卡诺定律、克劳修斯等式和不等式、熵和热力学基本方程、理想气体的熵、热力学第二定律的普遍表述、熵增加原理的的简单应用教学重点和难点：热力学第一定律和物态方程，克劳修斯等式与不等式，热力学基本方程。
教学方法与手段：传统教学与学生自学相结合第一节热力学系统的平衡状态及其描述第二节热平衡定律和温度第三节物态方程第四节功第五节热力学第一定律第六节热容量和焓第七节理想气体的内能第八节理想气体的绝热过程第九节理想气体的卡诺循环第十节热力学第二定律第十一节卡诺定理第十二节热力学温标第十三节克劳修斯等式与不等式第十四节熵和热力学基本方程第十五节理想气体的熵第十六节热力学第二定律的表述第十七节熵增加原理的简单应用第十八节自由能和吉布斯函数复习与作业要求：完成课后相关习题。
考核知识点：熵增加原理的应用，理想气体的熵。
刘维尔定理内容(一)
刘维尔定理内容(一)
刘维尔定理及其应用
1. 什么是刘维尔定理？
刘维尔定理是伟大的数学家刘维尔在19世纪提出的一条重要定理，它描述了随机过程中熵的增加。
熵可以理解为系统的不确定度或混乱
度的度量，刘维尔定理揭示了熵在自然世界中的普遍增加趋势。
2. 刘维尔定理的主要内容
•刘维尔定理表明，在一个孤立系统中，经过一段时间后，系统的熵将不断增加，系统将趋向于更高的混乱度或不确定度。
•刘维尔定理还指出，即使在微观层面上的过程是可逆的，也无法阻止熵的增加。
尽管在短时间内，系统的熵可能会减少，但长期
趋势却是熵增加。
•这一定理在热力学、信息论、统计力学等领域中有广泛应用，被视为自然界中一种普遍现象的数学表达。
3. 刘维尔定理的应用
刘维尔定理在许多领域都有重要应用，以下列举其中几个例子：•热力学：刘维尔定理揭示了热力学中的熵增加趋势，帮助解释了热平衡和热力学过程中的能量转化。
•信息论：刘维尔定理与信息熵密切相关，说明信息传输中的信息丢失以及数据压缩的限制。
•统计力学：刘维尔定理为统计力学提供了基本框架，解释了粒子运动和宏观现象之间的关系，如布朗运动、分子扩散等。
•生态学：刘维尔定理应用于生态系统分析中，帮助解释生物多样性和能量流动等生态现象。
•社会学：刘维尔定理的思想被应用于社会系统的研究，如群体行为、市场力学等。
4. 总结
刘维尔定理是一条描述系统熵增加的重要定理，揭示了自然界中系统混乱度或不确定度增加的普遍趋势。
它在热力学、信息论、统计力学、生态学和社会学等多个领域都有重要应用。
该定理的理解和应用为我们解释和探索自然界中各种现象提供了有力的工具。
刘维尔定理
根据哈密顿正则方程， 根据哈密顿正则方程，有：
& qi = ∂H ; ∂pi & pi = − ∂H ; ∂qi
=0
∂ ∂ ∂2H ∂2H & & − qi + pi = ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi ∂pi∂qi
∂ρ ∂ρ ∂ρ & & + ∑ qi + pi = 0 ∂t q ∂pi i ∂ i
& ρ q i dtdA
dΩ
q i + dq i
q
i
同样，在dt时间内通过平面qi＋dqi走出体积元的粒子 同样， dt时间内通过平面q 时间内通过平面 数目为： 数目为：
∂ & & & dtdA= ρ qi + ρ qi dqi dtdA 流出 ρ ⋅ qi qi +dqi qi ∂qi
dA = dq1dq 2 L dq i −1dq i +1 L dq f dp1 L dp f
在dt时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以dA dt时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以dA 时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以 为底， & dt为高的柱体内 柱体内的代表点数为： 为高的柱体内。 为底，以 q i dt为高的柱体内。柱体内的代表点数为：
同理，可以得到经过一对平面（ 同理，可以得到经过一对平面（pi，pi＋dpi）净 进入体积元内的代表点数目为： 进入体积元内的代表点数目为：
dΩ
p i + dp i p
i
∂ ∂ & & − ρ p i ⋅ dp i dtdA = − ρ p i dtd Ω ∂pi ∂pi
热力学统计物理各章重点总结
第一章概念1.系统：孤立系统、闭系、开系与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系；2.平衡态平衡态的特点:1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2。
热力学的平衡状态是一种动的平衡,常称为热动平衡;3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态.3.准静态过程和非准静态过程准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。
非准静态过程，系统的平衡态受到破坏4.内能、焓和熵内能是状态函数.当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关;表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。
这是态函数焓的重要特性克劳修斯引进态函数熵.定义:5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值定容热容量：定压热容量:6.循环过程和卡诺循环循环过程（简称循环）:如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。
系统经历一个循环后,其内能不变。
理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。
7.可逆过程和不可逆过程不可逆过程：如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。
可逆过程:如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状.8.自由能：F和G定义态函数：自由能F，F＝U－TS定义态函数:吉布斯函数G,G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1定律及推论1.热力学第零定律－温标如果物体A和物体B各自与外在同一状态的物体C达到热平衡,若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡.三要素：（1）选择测温质；(2）选取固定点；（3)测温质的性质与温度的关系。
热力学与统计物理--第七章-系综理论
Sr
k
ln r
)。因为
Es E0
1
，我们将ln r展开，只取
ln r
E0 Es
ln r
E0
ln r Er
Er E0
Es
ln r E0 Es
根据(7.2.9)式
ln r Er
Er E0
1 kT
T是热源的温度。既然系统与热源达到热平衡，T也就是系统
的温度。(7.3.3)式右方第一项对系统来说是一个常数,所以可以将
(7.2.9)式的积分给出空间中能壳 E H q, p E E 的体积．
N个全同粒子 每一粒于的自由度为r 则整个系统的自由度为Nr.
空间体积元 hNr
E E E 的体积除以 hNr
并考虑到全同粒子的不可分辨性，粒子的交换不引起新的微 观状态，再除以粒子的交换数N!
如果系统含有多种不同的粒子
比较(7.2.18)和(7.2.21)式,得
1 kT
S k ln
给出熵与微观状态数的关系 玻耳兹曼关系
A1 A2 不仅可以交换能量 而且可以交换粒子和改变体积
可以得到平衡条件为:
V1 V2 V0 , N1 N2 N0
ln 1 E1
N1 ,V1 ,E1 E1
ln 2 E2
N2 ,V2 ,E2 E2
⒉系综的分类
• 根据给定的宏观条件来分类：微正则系综：大
量的孤立系统即大量具有相同的N,V , E 系统的
集合。
• 正则系综：大量的封闭系统，即大量的具有相
同的 N,V ,T 系统的集合。
• 巨正则系综：大量的开放系统，即大量的具有
相同的化学势 ，体积V和温度的系统的集
合。以上三种系综的概率分布分别叫微正则分 布，正则分布和巨正则分布。
相空间 刘维尔定理
代表点密度：
Ν ( q , q ; p
1 f
1
,
p f ;t)
f
相空间体积元： d dq dq dp dp 1 f 1 满足：
N
( q1 , , q f ; p1 , , p f ; t ) d N
N : 所设想的系统的总数
刘维尔定理（
d dt
0
）
现在先考虑代表点密度 随时间 t 的变化。当时间 由 t 变到 t dt 时，在 q i 、 p i 处的代表点将运动到
在 dt 时间内通过 dA 进入d 的代表点必须位于
t 代表点需要通过这 2 f
dtd
(3)
以 dA 为底、以 q 和 p 为轴线，以 q i dt 为高的柱 体 内。柱体内的代表点数是 q i dtdA
同样，在 dt 时间内通过平面 q i dq i 走出 d 的代表点数为
同时显示坐标和动量（速度）
这就是 相图
相空间的研究及其应用
利用相空间压缩实现混沌与超混沌控制
图1 小角单摆的相图
图1 分别以 和d / dt 为横坐标和纵坐标，则相 图为一椭圆（无阻尼）。
单摆运动对应的相图
图2、一般单摆运动的相图
图3、有阻尼小角单摆相图
与图1相比可见，在小角度低能情况下，相轨迹 呈椭圆形。随着能量逐渐提高，椭圆轨迹变成左右 两端呈尖角枣核状，当振幅（摆角）±π时，轨线 上出现鞍点G、G’，实际上都对应于倒立摆的状态 ，是不稳定的双曲点。当能量再高时，相轨迹不再 闭合，摆将顺时针或逆时针转起来，不再往复摆动 。
q i q i dt , p i p i dt 处。在后一处的密度是
相空间刘维尔定理热力学
§9.1 相空间 刘维尔定理
（2）系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程
qi
H pi
p i
H qi
i 1,2,, f （9.1.1）
保守力系
L(q, qi ,t) T V
s
H ( p, q,t) L p q 1
q dp
L t
dt
§9.1 相空间 刘维尔定理
dH
s 1
H q
dq
H p
dp
H t
dt
dH
dt
s 1
H q
q
H p
p
H t
dH
dt
s 1
H q
H p
2 、刘维尔定理及其证明
1) 刘维尔定理
d 0
dt
如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相 空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改 变的常数。
2) 刘维尔定理的证明
§9.1 相空间 刘维尔定理
[证明] 现在考虑代表点密度ρ 随时间t 的变化．
当时间由t 变到t + dt 时，
在 (qi , pi ) 处的代表点将运动到 (qi qidt, pi pidt)
这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布．
相空间中的一个体积元 d dq1dq2 dq f dp1dp2 dp f
时刻t，运动状态在dΩ内的代表点数：
(q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f ;t)d
§9.1 相空间 刘维尔定理
热统第九章
t
dt d t
dtd
(9.1.7)
计算通过平面 qi 进入 d 的代表点数。 在平面 qi上的边界 d
面积为
dA dq1 dqi 1dqi 1 dq f dp1 dp f
在dt时间内通过dA 进入d 的代表点必须位在以 dA 为底，以 qi dt
(9.1.5)
d 0 dt
(9.1.6)
证明式（9.1.6） 考虑相空间中一个固定的体积元 :
d dq1 dq f dp1 dp f
qi , qi dqi ; pi , pi dpi (i 1, 2,, f )
这体积元是以下述2 f 对平面为边界构成的:
在时刻t，在d 内的代表点数为 d 。经过时间dt之后，有些代表点 走出了这个体积元，另有些代表点走进了这个体积元，使得在这个 固定的体积元中的代表点数变为:
qi pi 0 qi pi
(i 1, 2,, f )
因此得:
qi pi 0 t pi i qi
(9.1.10)
刘维尔定理
d qi pi dt t pi i qi
为高的柱体内。柱体内的代表点数是:
qi dtdA
同样，在 dt 时间内通过平面 qi dqi 走出 d 的代表点数为:
i )qi dqi dtdA ( qi ) qi i )dqi dtdA (q (q qi
两式相减，得到通过一对平面 qi 及 qi dqi 净进入 d 的代表点数为:
代入式 (9.1.5)即得 :
d 0 dt
9.1 相空间 刘维尔定理
§9.1 相空间 刘维尔定理
[证明] 现在考虑代表点密度ρ 随时间t 的变化． 当时间由t 变到t + dt 时，
在 (qi , pi ) 处的代表点将运动到 (qi q i dt, pi p i dt)
(q1 q1dt , , q f q f dt; p1 p1dt , , p f p f dt , t dt )
当时间由t变到tdtdt全微分91相空间刘维尔定理考虑相空间中一个固定的体积元边界是2f对平面dpdpdpdqdqdq时刻td内的代表点数时刻tdtd内的代表点数经dt时间后d内代表点数的增加91相空间刘维尔定理代表点需要通过2f对边界平面才能进入或走出体积元d进入d的代表点数d在平面q上的边界面积在dt时间内通过da进入d的代表点必须位于以da为为高的柱体内
S k (ln ln ln )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
§9.1 相空间 刘维尔定理
Chap.9 系综理论
回顾：近独立粒子
平衡态统计物理的普遍理论—系综理论 应用系综理论可以研究互作用粒子组成的系统． §9.1 相空间 刘维尔定理 如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？
i ) ( q i ) qi dqi dtdA ( q i ) qi ( q dqi dtdA 走出 qi
( qi ) ( qi ) dqi dtdA dtd qi qi
类似的讨论可得，在dt 时间内通过一对平面 pi和pi +d pi净进入dΩ的代表点数为
它是 q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f 的函数,存在外场时 还是外场参量的函数, 不是时间t 的显函数。
相空间..刘维尔定理热力学PPT共41页
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
热力学与统计物理 系综理论
p, q,t d
p,q,t
分布函数
表示概率密度，其意义是在 t 时刻，系
统微观运动状态代表点出现在 p, q 处，
单位体积中的概率。
p, q,t d 1
5
如果系统微观状态的代表点出现在 d 中时，微观量 B
的数值是Bq, p，那么微观量 B在一切可能的微观状态的
最概然分布理论认为宏观物理量是微观物理量在最概然分布下 的数值，而系综理论认为宏观物理量是在给定宏观条件下一切可 能的微观状态上的平均值。
9
等概率原理的经典表述为
p, q 常数
p, q 0
E H p,q E E
H p,q E, H p,q E E
等概率原理的量子表述： 如果用 表示在 E E E 能量范围
TT T
d ln dE dV dN
dk ln kdE kdV kdN
S k ln
1 kT
p kT
kT
15
四、微正则系综理论的简单应用
设理想气体含有N个单原子分子，若只考虑平动能量，
则系统的哈密顿量
3 N
H
pi2 ,试求系统对应的
i 2m
E
并求出其他的热力学量。
解：目的是要求出 E H E E 能量壳层中的微观状
E2 N! 3N !
2
2
E E E
E
18
E
3N 2
V
h3
N
3N 3N 1
2m 2 E 2
N! 3N !
E
V h3
N
3N 3N
2m 2 E 2
N! 3N !
3N 2
E E
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知识回顾： §8.5金属中的自由电子气体
T>0K时金属中自由电子的性质 T>0K时电子气体热容量的估计（能量均分定理，N有效） 金属中自由电子对热容量的贡献约为：
e 1
(e
1)
l
al
1
所谓“弱简并条件”即气体的
e 1
n3 1
e
Z1 V 2mkT 3 / 2 ( ) 2 N N h
很大
n3 很小，但不可忽略！
知识回顾： §8.2弱简并理想玻色和费米气体
Bose气体 Fermi气体 Boltzmann气体
Fermi分布
知识回顾： §8.5金属中的自由电子气体
T=0K下自由电子的性质
Fermi能级
2 N (0) 3 2m V U ( 0) 3 ( 0) N 5 2 U ( 0) 2 p ( 0) n ( 0) 3 V 5
0K时电子气体的压强为3.8×1010帕。这是一个极大 的数值．它是泡利不相容原理和电子气体具有高密 度的结果．常称为电子气体的简并压.
弱简并条件下的系统 内能的差异
3 1 3 U NkT 1 n 2 4 2g
（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能， 弱简并的情况下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 —等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 ---等效的d c
3
l
al
1 e
l
1
V d U ( , T )d 2 3 / kT 普朗克公式 c e 1
V 2 U ( , T ) d kTd 低频极限： 2 3 c 瑞利(1900)-金斯(1905)公式 V 3 / kT d 高频极限： U ( , T )d 2 3 e c 维恩(1896)公式
4. Bose-Einstein 凝聚
T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚， 这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。 Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0
5. Bose-Einstein 凝聚的条件：
n 2.612
3
知识回顾：§8.4 光子气体
知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式
Bose 系统
l [1 e
l l l l
Fermi系统
]
l [1 e
l l l l
]
N
ln
U ln Y 1 1 ln P ln y V
ω m与温度T成正比---维恩位移定律(1893)
知识回顾：§8.4 光子气体
光子气体的热力学函数
ln l ln(1 e l )
l
2V 1 ln 45c 3 3
2k 4 V 4 U ln T 3 3 15c 1 2k 2 4 p ln T 3 3 V 45c
知识回顾：§8.3 Bose –Einstein 凝聚
1.理想Bose气体的化学势 0
2 2 2/3 2.临界温度（凝聚温度）： Tc n 2/3 (2.612) m k
3. T<Tc时：
1/ 2 2 d n0 (T ) 3 (2m)3 / 2 n 0 h e kT 1
S k (ln ln ln )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
知识回顾： §8.2弱简并理想玻色和费米气体
Chap.8 玻色统计和费米统计 Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：
S k ln
S Nk (ln Z1 ln Z1 ) k ln N!
F NkT ln Z1
满足经典极限条件 的玻色和费米系统
F NkT ln Z1 kT ln N!
知识回顾
Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 抛弃粒子轨道的概念 （1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制
知识回顾：§8.4 光子气体
空窖辐射的内能
V 3d U 2 3 / kT c 0e 1
k 4 U VT 15c 3 3
2 4
u aT 4
V d U ( , T )d 2 3 / kT c e 1
3
斯特藩-玻耳兹曼定律
x m / kT 2.822
1 p u 3
4 2k 3 V 4 S k ln ln T 3 3 45 c
T 0; S 0
知识回顾：§8.5金属中的自由电子气体
讨论强简并的 Fermi气体的特性
T>0K时自由 电子的性质
e 1
n3 1
低温极限（T＝0K） 时自由电子的性质
热力学·统计物理
回顾
Chap.7 玻尔兹曼统计 Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 §8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体 §8.3 Bose –Einstein 凝聚 §8.4 光子气体 §8.4 光子气体 Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理
新课
知识回顾
Chap.7 玻尔兹曼统计 粒子的配分函数Z1
基本热力学函数、内能、 物态方程、熵、自由能
系统的全部平衡性质
知识回顾
N e
U e
e
l l
l l
l
e Z1
N ln Z1
e
l
l
Z1 l e l
l
N p ln Z1 V S Nk (ln Z1 ln Z1 )