高考平面向量、立体几何难题集锦

M

A C 一、平面向量

1. 已知平面向量α，β（α≠0，α≠β）满足|β|=1，且α与β–α的夹角为120°，则|α|的取值范围是 ．

2. 设向量a ，b ，c 满足|a |=|b |=1，a ·b = –21

， a –c 与b –c 的夹角为60︒，则|c |的最大值

等于 （ ）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．1

3. 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a –c )•(b –c )=0，则|c |的最大值是 （ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D 2

4. 设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b =0，则(a –c )·(b –c )的最小值为 （ ）

A ．–2

B ．2–2

C ．–1

D ．1–2

5. 如图在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同两点M 、N ，若AB →=mAM → ，AC →=nAN → ，则mn 的最大值是 .

6. 如图所示，在△ABC 中，AO 是BC 上的中线，K 为AO 上一点，且AO →=2AK →，过点K 的直线

分别交直线AB 、AC 于不同的两点M ，N ，若AB →=mAM → ，AC →=nAN → ，则m +n = .

7.在△ABC 中，AC =2,BC =4,O 为△ABC 内的点,且OA →+2OB →+3OC →=0→，则OC →·(BA →+BC → )= .

8.若非零向量，a b 满足+=a b b ，则 （ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b Ｄ．22<+b a b

二、立体几何

1.判断正误

(1) 若直线a 垂直与直线b 在平面α内的射影，则直线a b ⊥

(2) 若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ

(3) 已知m 、l 是一面直线，则必存在平面β，过m 且与l 垂直

(4) 已知m 、l 是一面直线，则必存在平面α，与m 、l 所成的角相等

(5) 若直线,,a b c 两两成一面直线，则一定存在直线与,,a b c 都相交

(6) 若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥

(7) 过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条

(8) 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行

(9) 对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行

(10) 对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等

(11) 在四面体ABCD 中，分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点

(12) 在四面体ABCD 中，若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面

(13) 在四面体ABCD 中最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱

(14) 设αβ，是两个不同平面，,a b 是两条不同直线，若,a b a α⊥⊥,则b ∥α

(15) 设αβ，是两个不同平面，,a b 是两条不同直线，若a b ⊥,a α⊥,b β⊥,则αβ⊥

2. 若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ）.

3. 如图5，动点P 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的

直线，与正方体表面相交于M 、N ．设BP=x ，MN=y ，则函数y=f(x)的图象大致是（ ）。

4. 一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西

向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平面上的P 点以南的40米处，汽车在桥上Q 点以西的30米处（其中PQ ⊥水平面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.

5. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 （ ）

（A ）48 （B ） 18 （C ） 24 （D ）

36 （A ） （B ） （C ） （D ）