线性规划单纯形法的矩阵表示
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单纯形法
max z = − 3 x1 + x3 + 0x4 + 0x5
化标准型
x1 + x 2 + x 3 + x4 − x5 −2 x1 + x2 − x3 s .t . 3 x2 + x3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5
=4 =1 =9 ≥0
max z = − 3 x1 + x3 + 0x4 + 0x5 − Mx6 − Mx7
13
单纯形法引例 Max Z=40X1 +50X2 X1 +2X2 +X3 3X1 +2X2 2X2 X1 … X5 ≥0 +X4 =30 =60
+X5 =24
14
解：(1)、确定初始基本可行解 、 B=(P3 P4 P5)=I
Z =0 +40X1+50X2 X3 =30-( X1+ 2X2 ) X4=60-( 3X1+ 2X2) X5 =24 令X1 = X2 =0 X(1) =(0, 0, 30, 60, 24)T Z(1) =0
线性规划的单纯形法
The Simplex Method
1
§4.1 线性规划模型的几种表示
1.标准形式 1.标准形式 max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + … a1j xj+ … + a1n xn a21 x1 + … a2j xj+ … + a2n xn …… am1 x1 + … amj xj + … + amn xn = bm x1 ， … , xj ，… ，xn ≥ 0 = b1 = b2
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
运筹学5-单纯形法
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1Hale Waihona Puke -x2+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50 (1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80 (2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60 (3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
4 2 -3 5
0
0 MM
CB XB
[ x1]
x2
x3
x4
x5
x6 x7 x8 b
M [ x7]
2
-1
1
2
-1 0 1 0 50
0 x6
3 0 -1 2
0
1 0 0 80
M x8
1 10
1
0
0 0 1 60
1 0 0 1 1 0 -1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
单纯形法
四、单纯形法的实现——单纯形表
例1：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 化为标准型 s.t. 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0 s.t. Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2 +x3 4x1 +5x2 3 x1 +10x2 x1 ,…,x5≥0 +x4 =360 = 200
•
“≥”型约束，减松弛变量；
练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 ⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 s.t.⎨ 3x1 + 10 x 2 ≤ 300 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
则约束化为
= 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ 1 3 x1 + 10 x 2 + x5 = 300 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
例4 下面为某线性规划的约束
=1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ + x4 = 3 ⎨2 x1 − x2 ⎪ x1 , , x4 ≥ 0 ⎩ 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
解：
本例中， A = ⎡1 2 1 0⎤，A中的2阶可逆子阵有 ⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎦ ⎣
问题：本例的A中一共有几个基？—— 6个。
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一般地，记松弛变量的向量为 X s，则
3.1单纯形法的矩阵描述
0 0 σj7 x115 x2来自0 x30 x4
0 x5 0 0 1
二、单纯形法矩阵描述 Page 9 bi 6 θi 6/1 8/2 3/1 0 3 3/1 2/1 — 45 的应用
1 检查计算是否正确
x3
x4 x5
1
1 0 7
1
2 1 15
1
0 0 0
0
1 0 0
8 3
0
-1 -2 1 -15 1 -2 1
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 11 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
x3 x1 x2 σj 解：
0
0
1 0 0 0
1
-1 1 0 -7
1 -2 1 -1
1 2 3
松弛变量的价值系数为0 x1、x2的价值系数设为c1、c2
1 0 0
0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 B ( B ) 0 1 2 0 1 2 p3 0 0 1 0 0 1
p1
p2
0 − c1 = −7
c1 = 7
0 +2c1−c2 = −1
故：
c2 = 15
目标函数值：
常数项：
1 1 1 6 1 1 X B B b 0 1 2 8 2 0 0 1 3 3
z C B B 1b 1 0 7 15 2 59 3
运筹学
( Operations Research )
( Duality Theory )
0 x5 0 0 1
二、单纯形法矩阵描述 Page 9 bi 6 θi 6/1 8/2 3/1 0 3 3/1 2/1 — 45 的应用
1 检查计算是否正确
x3
x4 x5
1
1 0 7
1
2 1 15
1
0 0 0
0
1 0 0
8 3
0
-1 -2 1 -15 1 -2 1
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 11 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
x3 x1 x2 σj 解：
0
0
1 0 0 0
1
-1 1 0 -7
1 -2 1 -1
1 2 3
松弛变量的价值系数为0 x1、x2的价值系数设为c1、c2
1 0 0
0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 B ( B ) 0 1 2 0 1 2 p3 0 0 1 0 0 1
p1
p2
0 − c1 = −7
c1 = 7
0 +2c1−c2 = −1
故：
c2 = 15
目标函数值：
常数项：
1 1 1 6 1 1 X B B b 0 1 2 8 2 0 0 1 3 3
z C B B 1b 1 0 7 15 2 59 3
运筹学
( Operations Research )
( Duality Theory )
第二章 单纯形法
运筹学
15
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学Leabharlann 16华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
25
华东交通大学工业工程与物流管理系
（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
15
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学Leabharlann 16华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
25
华东交通大学工业工程与物流管理系
（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
第3章05-单纯形表法
第3章05单纯形表法同学们大家好，前面我们讲了单纯形法的原理，它的整个过程看似很复杂，但实际上，单纯形法的全部计算过程，可以简单地在一张类似增广矩阵的表格上进行，这种表格我们称为单纯形表，所以，今天我们就来学习线性规划模型的单纯形表法。
给定一个可行基，可以画出一张单纯形表。
单纯形表的行标是n个变量以及右端项b，列标是m个基变量以及检验数行σ。
所以，用矩阵的形式把它表示出来，就如下表所示我们注意到，像B，所以，是与原方程组等价的。
最后一行是检验数C-C B B-1A，右下角是-C B B-1b，它恰好是这个基B所对应的可行解的目标函数值的相反数。
用单纯形表法求解线性规划模型时，有下面的步骤：单纯形表法求解线性规划问题的步骤：Step1.转换一般的线形规划模型为标准型，并写出A，b，C。
Step2找初始基本可行解，写出B，B-1，X B，C B。
Step3计算单纯形表中的各矩阵B-1A，B-1b，C-C B B-1A，-C B B-1b，并构造初始单纯形表。
Step4判断基本最优解。
Step5换基迭代，返回Step4。
第一步是将一般的线性规划模型转化为标准形，并写出约束矩阵A，右端项b，以及价值向量C。
第二步，找初始的基本可行解。
根据上一讲单纯形法的原理，你要注意的是，我们总是从约束矩阵A里面选一个单位阵出来作为初始基，在右端项非负的条件下，这样选出来的单位阵一定是可行基，也就是找到了初始的基本可行解。
而如果约束矩阵A中没有单位阵，我们将会通过引入人工变量构造出一个单位阵，这种构造方法我们将在后面进行详细介绍。
初始基选出来之后，我们就能写出B，B-1，以及基变量X B和基变量所对应的价值向量C B。
第三步，计算B-1A，B-1b，C-C B B-1A，-C B B-1b，这样就可以把初始单纯形表写出来。
第四步，判断当前的基本可行解是不是最优解？按照我们上一讲介绍的单纯形法的原理，如果检验数行中所有的检验数都小于等于0，当前的基本解就是最优解；如果有一个非基变量的检验数是正的，而且它所对应A中的列的项都小于等于0,那么这个时候是无界解。
线性规划-单纯形法
函数值增大，故要选检验数大于0的非基变量换到基变量中（称 之为入基变量）。若有两个以上的 σj＞0，一般选其中的 σj最大 者 本例中σ2=100
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
单纯形法
单纯形法一、单纯形法的原理线性方程组的解：⎩⎨⎧=----=+-+-4322425432154321x x x x x x x x x x （1） 5个未知数，两个方程组。
方程的解多于1个。
两种初等变换：51）方程组的任一方程乘上一个不为零的数。
2）方程组的任一方程两边同乘上一个常数，分别加到另一个方程的两边。
式（1）做变换得到：（①×-1）⎩⎨⎧=-+-=+-+-2322242543254321x x x x x x x x x （2） 式（2）做变换得到：（②×2）⎩⎨⎧=-+-=---232642354325431x x x x x x x x （3）方程组（1）、（2）、（3）同解，可令0543===x x x 。
得到：61=x ，22=x 。
选择3x ，4x ，5x 不同的值，相应地有不同的1x 和2x 的值，因此方程组有多组解。
基本变量：如果变量i x 的系数在某一个方程为1，而在其它所有方程为0，则称i x 为该方程组中的基本变量。
非基本变量：凡不是基本变量的变量都叫做非基本变量。
1x ，2x 为基本变量；3x ，4x ，5x 为非基本变量。
旋转运算：运用初等变换，可使一给定变量化为基本变量，这一运算，成为旋转运算。
基本变量的个数，与方程的个数相同。
基本解：设非基本变量为0，求得相应的基本变量的值，得到一组解，这组解称为基本解。
基本可行解：基变量的值为非负时的基本解称为基本可行解。
单纯形法的思路；1）先不考虑目标函数，从满足约束条件开始，寻求一个初始基本可行解； 2）求具有较佳目标函数值的另一个基本可行解，以改进初始解；3）对目标函数做有限次的改善。
当某一个基本可行解不能再得到改善时，即求得最优解，单纯形法结束。
二、单纯形算法例：54321325max x x x x x Z +-++= 约束条件为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥≥=+++=+++0,0,0,0,0743********53214321x x x x x x x x x x x x x （5） 以上线性规划问题中，具有： 1）全部变量非负；2）全部约束条件都是等式；5 3）右端常数都是正的。
单纯形法解法的矩阵描述及灵敏度分析讲解
1.5 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
2 x2 3 / 2 0 1 0 1/ 4 3 / 2
cj zj 0 0 0 1/8 9/ 4
对变化后的单纯形表继续迭代
c j 1.5 2 0 0
0
CB X B b x1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2
2
-2
-2
B的逆阵 B-1
知识点1
• 目标函数为max时，判断最优的准则为 б≤0；
• 目标函数为min时，迭代过程与max一样 ，判断最优的准则为σ≥0。
知识点2
• 性质6：线性规划的原问题与其对偶问题 之间存在一对互补的基解；其中原问题 的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶 问题的剩余变量对应原问题的变量；这 些互相对应的变量如果在一个问题的解 中是基变量，则在另一个问题的解中是 非基变量；将这对互补的基解分别代入 原问题和对偶问题的目标函数有z=ω。
单纯形法解法的矩阵描述及 灵敏度分析
张林刚 经济与管理学院
单纯形解法的矩阵描述
• 线性规划问题
max z CX
s.t.
AX b X 0
• 引入松弛变量Xs,化为标准型：
max z CX 0X s
s.t.
AX IX X 0, X
s s
b 0
单纯形解法的矩阵描述
2
x1 x1
x2 2x3 4x3 4
2
x1, x2, x3 0
加入松弛变量x4、x5，对上述模型进行标准化处理
max z 6x1 2x2 3x3 0x4 0x5
2
第七章线性规划
第七章 线性规划7.1 基本数学原理线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。
线性规划问题的标准形式是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=0,,,min 21221122222121112121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a bx a x a x a x c x c x c z或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j nj i j ij n j j j ,...,2,1,0,...,2,1,min 11写成矩阵形式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥==0min X b AX CXz其中，0为n 维列向量。
线性规划的标准形式要求目标函数最小化，约束条件取等式，变量非负。
不符合这几个条件的线性模型要首先转化成标准形。
线性规划的求解方法主要是单纯形法（Simple Method ），该法由Dantzig 于1947年提出，以后经过多次改进。
单纯形法是一种迭代算法，它从所有基本可行解的一个较小部分中通过迭代过程选出最优解。
其迭代过程的一般描述为：1． 将线性规划化为标准形式，从而可以得到一个初始基本可行解x (0)(初始顶点)，将它作为迭代过程的出发点，其目标值为z(x (0))。
2． 寻找一个基本可行解x (1)，使z(x (1))≤z(x (0))。
方法是通过消去法将产生x (0)的典范形式化为产生x (1)的典范形式。
3． 继续寻找较好的基本可行解x (2)，x (3)，…，使目标函数值不断改进，即z(x (1))≥z(x (2)) ≥z(x (3)) ≥…。
当某个基本可行解再也不能被其它基本可行解改进时，它就是所求的最优解。
运筹学概论
Max Z CB B b (CN CB B N ) X N ( LP) X B B 1b B 1 NX N S .T . XB, X N 0
1 1
单纯形法的矩阵描述 最优基判别定理 设B是(LP)的一个基,若基B满足: (1) B-1b0 (2) CN－CBB-1N 0 则B是(LP)的最优基. 检验数 可证明：CN－CBB-1N 0等价于C－CBB-1A 0
运筹学模型
运筹学研究的模型主要是抽象模型——数学模型。数学模型
的基本特点是用一些数学关系（数学方程、逻辑关系等）来描述 被研究对象的实际关系（技术关系、物理定律、外部环境等）。
模型的分类 模型：真实事物的模仿，主要因素、相互关 系、系统结构。 形象模型：如地球仪 模拟模型：如用温度计模拟温度的改变。 数学模型：用符号或数学工具描述现实系统。 V=F(xi,yj,uk) G(xi,yj,uk)≥0
则 A=(B,N)，X＝(XB,XN)T，C＝(CB,CN)
目标函数 约束条件
XB Z CX (C B , C N ) X N XB AX ( B, N ) X N
1
1
CB X B C N X N
X B B b B NX N
BX B NX N b
解：将此问题列成图表如下：
桌子 4 木工 （小时） 2 油漆工 椅子 3 1 总工时 （小时） 120 50
50 价格 （元/个）
30
数学模型
max Z=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120 2x1+ x2 50 x1,x2 0 线性规划数学模型三要素： 决策变量、约束条件、目标函数
2.3 线性规划的图解法
1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法”
线性规划是研究线性不等式组的理论，或者 说是研究（高维空间中）凸多面体的理论，是线 性代数的应用和发展。
线性规划问题的一般形式： Max(Min)S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn (=, )b1
20
10
10
20
Q1（25，0） 30 40
x1
解的讨论：
无界解：
例：max S=x1+x2 s.t. -2x1+x2 40 x1-x2 20 x1,x2 0
x2 50
40 30
该可行域无界，目标函 数值可增加到无穷大， 称这种情况为无界解或 无最优解。
20
10
10
20
30
40
x1
例2.1的数学模型 max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120 2x1+x2 50 x1,x2 0
x2 50 由 4x1+3x2 120 x1 0 40 30 x2 0 围成的区域
20
10
4x1+3x2 120
10
20
30
40
x1
x2 50
40 30
x2 50
40 30
20 可行域 10
目标函数是同约束 条件：4x1+3x2 120 平行的直线 x2 = S/30-（4/3）x1
10
20
30
40
x1
x2 50
40 30
当S的值增加时，目 标函数同约束条件： 4x1+3x2 120
第2章 线性规划及单纯形法1-2节
2x1+ x2 400
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
单纯形法
z z0 j x j
j m 1
n(1.2.21)称 j ( j m 1 ,, n ) 为检验数。
定理1.2.1 设（1.2.17）和（1.2.21）是最大
化线性规划问题关于当前基本可行解x*的两个典式。
若关于非基变量的所有检验数σ j≤0成立，则当前
基本可行解x*就是最优解。 将σ j≤0称为最大化问题的最优性准则。显然， 对于最小化问题最优性准则应是σ j≥0。
30x1 + x3 = 160 - 20x2 5x1 = 15 - x2 - x4 （1.2.6） x1 + x5 = 4 进一步分析，用消元法将（1.2.6）中x1的系数列向量 （30,5,1）T 化成(1.2.3)中x4的系数矩阵（0,1,0）T
的形式。得到：
x3 = 70 - 14x2 + 6x4 x1 = 3 - 1/5x2 - 1/5x4
(b'1, b'2, … , b'm ,0 , …, 0)T是当前基本可行解。若有一个非
基变量xm+t的检验数σ
m+t>0，且xm+t对应的系数列向量
P'm+t=(a'1,m+t,a'2,m+t,„，a'm,m+t)中，所有分量a'i,m+t≤0，则该 线性规划问题具有无界解（或称无最优解）。
1.2.2 单纯形表
x2= 5 - 1/14x3 + 3/7x4
x1 = 2 + 1/70x3 - 2/7x4
（1.2.11）
x5 = 2 - 1/70x3+ 2/7x4
将（1.2.11）代入目标函数式，得到用非基变 量x 3
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
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y1 y1 y2 y2 y 3
min cT x s.t. Ax b, Bx a, x 0.
max bT y1 aT y2 s.t. AT y1 BT y2 c 对偶 y1无限制, y2 0.
用对偶单纯形法求下列线性规划问题
min s.t.
x4
x5
右端项
-f x4 x1
0 3 0 1
-3 -2 4/3 1/3
3 1 1/3 -2/3
0 1 0
1 0 2/3 -1/3
-2 0
2/3
2/3
基变量
x1 0 0 1
x2 -3 4/3 1/3
x3 3 1/3 -2/3 x3 15/4 1/4 -3/4
x4 0 1 0 x4 9/4 3/4 -1/4
两阶段
min a s.t. 2 x1 2 x2 x3 x4 2, 3 x1 x2 2 x3 x5 a 2, xi 0, i 1, ,5, a 0.
第一阶段 k=1
基变量
-f
x4 a
x1 -3 0 2 3
x2 -1 0 2 1
x3 2 0 -1 -2
1
无穷多个最优解：cN
且其中有一个检验数=0 无最优解(无有界解)：
cN cB B N
1
有一个变量是负数,且该变量所在列向量是非正的.
4（1）用单纯形法求下列线性规划问题.
max 5 x1 6 x2 4 x3 s.t. 2 x1 2 x2 5, 5 x1 3x2 4 x3 15, x1 x2 10,
T
T
max b y s.t. A yc y0
s.t.
T
T
A b A , b b A B a
max bT y1 bT y2 aT y3 AT y1 AT y2 BT y3 c y1 0, y2 0, y3 0.
-2/3
x4 0 1
0
x5 0 2/3
-1/3
a 1 -2/3
1/3
0 2/3 2/3
基变量
-f x4 x1
x1 0 0 1
x2 0 4/3 1/3
x3 0 1/3 -2/3
x4 0 1 0
x5 0 2/3 -1/3
a 1 -2/3 1/3
右端项
0 2/3 2/3
第二阶段 k=1
基变量
x1
x2
x3
x2 0 1 0 0
x3 0 0 1 0
x4 5, x5 15,
x4 3/2 1/2 -3/8 -1/2
x5 1 0 1/4 0
x6 0 0 0 1
右端项
-f x2 x3 x6
s.t.
45/2 5/2 15/8 15/2
min 5 x1 6 x2 4 x3 2 x1 2 x2 5 x1 3x2 4 x3 x1 x2 xi 0, i 1, , 6.
x4 0 1 0
x5 0 0 1
x6 0 0 0
右端项
0 5 15
x6
1
1
0
0
0
1
10
基变量
x1 -5 2 5 1 x1 1 1 2
x2 -6 2 3 1 x2 0 1 0
x3 -4 0 4 0 x3 -4 0 4
x4 0 1 0 0 x4 3 1/2 -3/2
x5 0 0 1 0 x5 0 0 1
0 1 0
15/4 1/4 -3/4
9/4 3/4 -1/4
3/2 1/2 -1/2
-1/2
1/2
1/2
最优解(1/2,1/2,0), 最优值0.5.
对偶单纯形法
基变量
-f xB
基变量
xN cN N
xB cB B
右端项
0 b
右端项
xN cN- cB B-1N B-1N
-f xB
0
I
xB 0
-cB B-1b B-1b
右端项
-2 1/2
1/2
-1/2
大M方法 基变量 x 1
-f
x2 0 1
x3 15/4 1/4
x4 9/4 3/4
x5 3/2 1/2
a
M-5/2
右端项
x2
x1
0 0
-1/2 1/2
-1/2 1/2
1
0
-3/4
-1/4
-1/2
1/2
两阶段法
基变量
x1
x2
x3Βιβλιοθήκη x4x5右端项-f x2 x1
0 0 1
min 3 x1 2 x2 x3 s.t. 2 x1 2 x2 x3 x4 2, 3 x1 x2 2 x3 x5 a 2, xi 0, i 1, ,5, a 0.
min 3 x1 2 x2 x3 Ma s.t. 2 x1 2 x2 x3 x4 2, 3 x1 x2 2 x3 x5 a 2, xi 0, i 1, ,5, a 0.
单纯形法的矩阵表示
基变量
-f xB
基变量
xN cN N
xN
xB cB B
xB 0 I
右端项
0 b
右端项
-f xB
cN- cB B-1N B-1N
-cB B-1b
B-1b 0
基变量
xN cN- cB B-1N B-1N
1
xB 0 I
右端项
-f xB 最优解：
-cB B-1b
B-1b 0
c N cB B N 0 cB B N 0
0 1 0 x5
x6 0
0 0 1 x6
右端项
-f
x2 x5 x6 k=3
基变量
15
5/2 15/2 15/2
右端项
-f x2 x3
x6
3 1 0.5
0
0 1 0
0
0 0 1
0
3/2 1/2 -3/8
-1/2
1 0 1/4
0
0 0 0
1
45/2 5/2 15/8
15/2
基变量
x1 3 1 0.5 0
最优解为(0,5/2,15/8) 最优值为-45/2.
x6 10, 最大目标函数值为45/2.
max 5 x1 6 x2 4 x3
min 3 x1 2 x2 x3 s.t. 2 x1 2 x2 x3 2, 3 x1 x2 2 x3 2, x1 0, x2 0, x3 0.
min s.t. 3x1 2 x2 3x3 3 2 x1 x3 5 x1 0, x2 0, x3 0.
9 x1 5 x2 3x3
9 x1 5 x2 3x3 3x1 2 x2 3x3 x4 3 2 x1 x3 x5 5 xi 0, i 1,,5.
（2）
min 3 x1 2 x2 x3 s.t. 2 x1 2 x2 x3 x4 2, 3 x1 x2 2 x3 x5 2, xi 0, i 1, ,5.
min 3 x1 2 x2 x3 s.t. 2 x1 2 x2 x3 x4 2, 3 x1 x2 2 x3 x5 a 2, xi 0, i 1, ,5, a 0.
x6 0 0 0 1 x6 0 0 0
右端项
-f x4 x5 x6 k=2 -f x2 x5
基变量
0 5 15 10
右端项
15 5/2 15/2
x6
0
0
0
-1/2
0
1
15/2
基变量
x1 1
1 2 0 x1
x2 0
1 0 0 x2
x3 -4
0 4 0 x3
x4 3
1/2 -3/2 -1/2 x4
x5 0
-f
x1 x2 x3 x4 3-3M -2-M 1+2M 0 0 4/3 1/3 1 1 0 1/3 -3 -2/3 3 0 0
x5 M 2/3 -1/3 1
a 0 -2/3 1/3 M-1
右端项
-2M 2/3
2/3 -2
基变量
-f x4 x1
x1 0 0
1
x2 -3 4/3
1/3
x3 3 1/3
右端项
-f x4 x5 -f k=2
0 -3 -5 0
右端项
基变量
x1 9 -9 2 3
x2 5 -2 0 5
x3 3 0 1 0
x4 0 1 0 0
x5 0 3 -1 3
x4 0 1 0
x5 1 0 0 -1
a 0 1 0 1
右端项
-2 0 2
2
基变量
-f x4
a
x1 -3 2 3
x2 -1 2 1
x3 2 -1 -2
x4 0 1 0
x5 1 0 -1
a 0 0 1
右端项
-2 2 2
右端项
k=2
-f x4 x1
基变量
x1 0 0
1
x2 0 4/3
1/3
x3 0 1/3
min 5 x1 6 x2 4 x3 s.t. 2 x1 2 x2 5 x1 3x2 4 x3 x1 x2 xi 0, i 1, , 6. x4 5, x5 15, x6 10,
k=1 x1 0, x2 0, x3 0. 基变量 x x2 x3 1 -f x4 x5 -5 2 5 -6 2 3 -4 0 4