沪教版八年级上册数学
沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计
沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计一. 教材分析《函数的概念及正比例函数》是沪教版数学八年级上册第18.1节的内容。
本节主要介绍函数的概念和正比例函数的定义、性质及图像。
通过本节的学习，学生应能理解函数的基本概念，掌握正比例函数的性质和图像，并为后续学习函数的其他类型打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的基础知识，具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
但是对于函数这一概念，学生可能还比较陌生，难以理解函数的本质。
因此，在教学过程中，需要通过具体实例让学生感受函数的意义，逐步引导学生理解和掌握函数的概念。
三. 教学目标1.了解函数的概念，知道函数的定义要素。
2.掌握正比例函数的定义、性质和图像。
3.能够运用函数的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.函数的概念及正比例函数的定义。
2.正比例函数的性质和图像。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体实例引入函数的概念，让学生感受函数的意义。
2.讲授法：讲解函数的定义、性质和图像，引导学生理解和掌握。
3.实践操作法：让学生动手绘制正比例函数的图像，加深对函数的理解。
4.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探索，提高学生的思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实例、图片、动画和练习题的PPT，辅助教学。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生应用函数的知识。
3.黑板、粉笔：用于板书和标注。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体实例引入函数的概念，如“汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶时间与所经过的路程之间的关系”。
让学生思考和讨论，引导学生感受函数的意义。
2.呈现（10分钟）讲解函数的定义，阐述函数的三个要素：定义域、值域、对应关系。
通过PPT 展示函数的图像，让学生直观地理解函数的概念。
3.操练（10分钟）讲解正比例函数的定义、性质和图像。
让学生动手绘制一些简单的正比例函数图像，加深对正比例函数的理解。
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沪科版八年级数学上册全册教学设计11平面直角坐标系 (1)11.1 平面内点的坐标 (1)11.2 图形在坐标系中的平移 (8)章末复习 (12)12一次函数 (16)12.1 函数 (16)12.2 一次函数 (31)12.3 一次函数与二元一次方程 (50)12.4 综合与实践一次函数模型的应用 (57)章末复习 (60)13三角形中的边角关系、命题与证明 (64)13.1 三角形中的边角关系 (64)13.2 命题与证明 (73)第13章三角形中的边角关系、命题与证明 (82)14全等三角形 (86)14.1 全等三角形 (86)14.2 三角形全等的判定 (90)章末复习 (106)15轴对称图形与等腰三角形 (109)15.1 轴对称图形 (109)15.2 线段的垂直平分线 (118)15.3 等腰三角形 (121)15.4 角的平分线 (127)11平面直角坐标系11.1 平面内点的坐标第1课时平面直角坐标系【知识与技能】理解和掌握平面直角坐标系的有关知识，领会其特征.【过程与方法】经历现实生活中有关有序实数对的例子，让学生充分体会平面直角坐标系是构建有序实数对的平台.【情感与态度】认识直角坐标系的作用，体现现实生活中的坐标的应用价值，激发学习的兴趣.【教学重点】重点是认识直角坐标系，感受有序实数对的应用.【教学难点】难点是对有序实数对的理解.一、创设情境，导入新知1.回顾交流.教师提问：什么叫做数轴？实数与数轴建立了怎样的关系？学生思考后回答：（1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.（2）数轴上的点同实数建立了一一对应的关系.教师引申：实际上这个实数可以称为这个点在数轴上的坐标.【教学说明】学生通过思考问题，复习旧知识，为新知识建立铺垫.2.问题提出.提问：请同学们观看屏幕投影片，你发现了什么？投影显示有关有序实数对的情境.【情境1】我们都有过去电影院看电影的经历.大家知道，影剧院对所有观众的座位都按“几排几号”编号，以便确定每一个座位在剧院中的位置，这样观众就能根据入场券上的“排数”和“号数”准确地“对号入座”.学生活动：通过观察，发现了电影院中的“几排几号”是有序实数对.【情境2】请以下座位的同学今天放学后参加英语口语测试：（1， 4），（2， 3），（5， 4），（2， 2），（5， 7）.【教学说明】教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现数学问题：确定一个位置需要两个数据，体会认识有序实数对的重要性.二、建立表象，数形结合新知探究：平面直角坐标系相关概念小明：音乐喷泉在中山北路西边50米，北京西路北边100米.小丽能根据小明的提示从图中用“·”标出音乐喷泉的位置吗？思考：1.确定平面上一点的位置需要什么条件？2.既然确定平面上一点的位置需要两个数，那么能否用两条数轴建立模型来表示平面上任一点的位置呢？【教学说明】教师在学生回答的基础上，边操作边讲出：为了确定平面上一个点的位置，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，这样就组成平面直角坐标系.确定水平的数轴称为x轴（横轴），习惯上我们取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴（纵轴），取向上方向为正方向；两轴交点为原点，这样就形成了坐标平面.有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示.引导观察：如下图中点P可以这样表示：由P向x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是-2，点P向y轴作垂线，垂足N在y轴的坐标是3，于是就说点P的横坐标是-2，纵坐标是3，把横坐标写在纵坐标前面记作（-2， 3），即P点坐标（-2， 3）.引导练习：写出点A、B、C的坐标.学生相互交流，得出正确答案.(强调点的坐标的有序性和正确规范书写)教师提问：请同学们想一想：原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点坐标有什么特点？学生观察发现：O的坐标（0， 0），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0.三、运用新知，深化理解1.（广西北海中考）在平面直角坐标系中，点M（-2，1）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在平面直角坐标系中，若点P（a-3，a+1）在第二象限，则a的取值范围为（）A.-1＜a＜3B.a＞3C.a＜-1D.a＞-13.如图为九嶷山风景区的几个景点的平面图，以舜帝陵为坐标原点，建立平面直角坐标系，则玉王宫岩所在位置的坐标为.4.写出图中点A、B、C、D、E、F的坐标.（注：每小格的长度代表单位“1”.）【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.【参考答案】1.B2.A3.（2， 4）4.解：A（-3， -2），B（-5， 4），C（4， -4），D（0， -3），E（2， 5），F（-3， 0）.四、师生互动，课堂小结本节课我们学习了平面直角坐标系.学习本节我们要掌握以下三方面的知识内容：1.能够正确画出直角坐标系.2.能在直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标.坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的.3.掌握象限内、x轴及y轴上点的坐标的特征：第一象限：（＋，＋）第二象限：（－，＋）第三象限：（－，－）第四象限：（＋，－）；x轴上的点的纵坐标为0，表示为（x， 0）；y轴上的点的横坐标为0，表示为（0， y）.4.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.课本第5页练习1、2、3.2.完成练习册中相应的作业.基于本节课内容的特点和学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合.通过学习使学生理解和掌握平面直角坐标系的有关知识，领会其特征，经历现实生活中有关有序实数对的例子，让学生充分体会平面直角坐标系是构建有序实数对的平台，体会现实生活中的坐标的应用价值，激发学习的兴趣.第2课时坐标平面内的图形【知识与技能】充分应用平面上点的坐标的有关知识，进一步认识坐标系中的图形.【过程与方法】经历由坐标描点，绘制图形，让学生体会数学之生动美感.【情感与态度】培养学生合作交流意识和探索精神，体验数、符号是描述现实世界的重要手段.【教学重点】重点是理解平面直角坐标形成的图形.【教学难点】难点是对平面上点的坐标的理解.一、回顾交流，检测所学1.在平面直角坐标系中，标出下列各点：(1)点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位的长度；(2)点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位的长度；(3)点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位的长度；(4)点D在x轴上方，位于原点右侧，距离原点3个单位长度；(5)点E在x轴上方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度，依次连接这些点，你能得到什么图形？2.在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点，标出它们的位置，看看它们在第几象限.(1)点M（x, y）的坐标xy<0;(2)点M（x, y）的坐标xy=0;(3)点M（x, y）的坐标xy>0.【教学说明】将上节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.二、范例学习，理解新知例1在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段顺次连接起来，说说你得到了什么图形，并计算它们的面积.(1)A（5， 2），B（2， 2），C（2，－2）.(2)A（－1，2），B（－2，－1），C（2，－1），D（3， 2）.【解】（1）得到的是一个直角三角形，如图①，它的面积是12×3×4=6.（2）得到的是一个平行四边形，如图②，它的面积是4×3=12.【教学说明】教师给出规范解答步骤，学生模仿，便于今后在解决数学问题时有章可循.例2 如图（1），正方形ABCD的边长为4，请建立一个平面直角坐标系，并写出四边形的四个顶点A,B,C,D在这个平面直角坐标系中的坐标.【解】如图（2），以顶点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.此时，正方形的四个顶点A,B,C,D的坐标分别为：A（0,0），B（4,0），C（4,4），D（0,4）.教师提问：你还能另建立一个平面直角坐标系吗？并写出A、B、C、D坐标.【教学说明】此题可以另建立平面直角坐标系，培养学生一题多解，从不同角度分析问题的习惯.三、运用新知，深化理解1.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，-1），（-1， 2），（3，-1），则第四个顶点的坐标为（）A.（2， 2）B.（3， 2）C.（3， 3）D.（2， 3）2.如图在正方形网格中，若A（1， 1），B（2， 0），则C点的坐标为（）A.（-3，-2）B.（3，-2）C.（-2，-3）D.（2，-3）3.已知点A（0， 4），B（0， 2），C（m， 5），且△ABC的面积为12，则m的值是 .4.（青海中考）如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（-2，-2），“马”位于点（1，-2），则“兵”位于点.5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形OABC的面积.【参考答案】1.B 2.B 3.±12 4.（-4， 1）5.解：分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，四边形OABC的面积=S△AOD+S梯形ABED+S梯形BCFE-S△COF＝12×2×4＋12（4＋6）×4＋12（6＋2）×2－12×8×2＝4＋20＋8－8＝24四、师生互动，课堂小结由学生自己归纳.(1)怎样理解平面直角坐标系中的图形?(2)四个象限点的特点？(3)如何描点，又如何找出点的坐标？1.课本第7页练习1.2.完成练习册中相应的作业.这是一节比较容易让学生感到乏味的课程，采用多媒体辅助教学的手段，让整节课生动起来，极大地提高了学生的学习兴趣.通过学习使学生充分应用平面上点的坐标的有关知识，进一步认识坐标系中的图形，经历由坐标描点，绘制图形，让学生体会数学之生动美感，培养学生合作交流意识和探索精神，体验数、符号是描述现实世界的重要手段.11.2 图形在坐标系中的平移【知识与技能】在同一坐标系中，感受图形上的点的坐标与图形变化之间的关系.【过程与方法】经历图形在坐标系中的平移过程，培养学生形象思维能力和数形结合意识.【情感与态度】调动学生学习的主动性，培养合作探究的意识，体会坐标系中的图形平移的实际应用价值.【教学重点】重点是探究点或图形的平移引起的坐标变化的规律，另一个是研究图形上的点的坐标的某种变化引起的图形的平移变换.【教学难点】难点是对图形在坐标中的平移变化的理解.一、创设情境，导入新知1.复习回顾探究：根据下面条件画一副示意图，标出学校和小强家、小敏家、小刚家的位置.小刚家：出校门向东走150m，再向北走200m.小强家：出校门向西走200m，再向北走350m，最后向东走50m.小敏家：出校门向南走100m，再向东走300m，最后向南走75m.选取直角坐标系的方法很多，在让学生充分交流的基础上，引导学生选择最优方案，那就是：选学校所在位置为原点，分别取正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，并取比例尺1：10000（图中1cm相当于实际中10000cm即100m）.依题目所给的已知条件，取得小刚家的位置是（150， 200），类似地，小强和小敏家的位置分别是（－150， 350）和（300，－175）.2.教师归纳利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：(1)建立直角坐标系,选择一个适当的参照为原点，确定x轴、y轴的正方向.(2)依据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度.(3)在坐标平面的内部画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.二、问题牵引，引入研究【问题】如图,△ABC在坐标平面上平移后得到新图形△A1B1C1.（1）△ABC移动的方向怎样？（2）写出△ABC与△A1B1C1各点的坐标，比较对应点坐标，看有怎样的变化？（3）如果△ABC向下平移2个单位，得到△A2B2C2.写出这时各顶点坐标，比较两者对应点坐标，看有怎样的变化？观察比较△ABC与△A1B1C1：对应点的纵坐标都不变,横坐标移动后改变了，即：将横坐标都减去5可得到移动后的点的坐标.请同学们解答完第（3）个问题后，将图形向上平移2个单位再探究一下.【归纳结论】平移规律：描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标（x,y）的变化来表示.（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：（x,y）→(x±a, y)(a>0)(2)在坐标系内,上下平移的点的坐标规律：（x,y）→(x, y±b)(b>0)(3)在坐标系内，上下、左右平移的点的坐标规律：（x,y）→(x±a, y±b)（a＞0，b ＞0）三、范例学习，理解新知例1如图，将△ABC先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到△A1B1C1，写出各顶点变动前后的坐标.【解】得到结论有：A(-2, 6)→(4, 6)→A1(4, 4)B(-4, 4)→(2, 4)→B1(2, 2)C(1, 1)→(7, 1)→C1(7, -1)例2说出下列由点A到点B是怎样平移的？（1）A(x, y)B(x-1, y+2)（2）A(x, y)B(x+3, y-2)（3）A(x+3, y-2)B(x, y)【解】（1）点A向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B；（2）点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B；（3）点A向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B.【教学说明】逆向思维训练,给出变化的坐标，让学生了解点的位置的变化，会使学生更为清晰地掌握图形在平面上平移的意义.四、运用新知，深化理解1.将点A（-2， -3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在平面直角坐标系中，将点P（-2， 1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（）A.（2， 4）B.（1， 5）C.（1， -3）D.（-5， 5）3.已知线段AB的A点坐标是（3，2），B点坐标是（-2， -5），将线段AB平移后得到点A的对应点A′的坐标是（5，-1），则点B的对应点B′的坐标是 .4.如图，把△ABC放置在网格中，点A的坐标为（-3，1），现将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位后得到△A′B′C′，则点A′的坐标是.5.三角形ABC中，A（-2， 2），B（-4， -2），C（1， 0），把三角形平移后，三角形某一边上的点P（x， y）对应点为P′（x+4， y-2），求平移后所得三角形各顶点的坐标.【参考答案】1.D 2.B3.（0， -8）4.（1， 3）5.解：∵点P（x， y）的对应点为P′（x+4， y-2），∴平移变换规律为向右平移4个单位，向下平移2个单位，∵A（-2， 2），B（-4， -2），C（1， 0），∴平移后A的对应点坐标为（2， 0），B的对应点坐标为（0， -4），C的对应点坐标为（5，-2）.五、师生互动，课堂小结1.本节课学习了哪些内容？2.把平面直角坐标系中的一个图形，按下面的要求平移，那么图形上任一点的坐标（x, y）是如何变化的?①向左或向右移动a(a>0)个单位；②向上或向下移动b(b>0)个单位；③向左或向右移动a个单位，再向上或向下移动b个单位（a＞0，b＞0）.1.课本第14页练习2、3.2.完成练习册中的相应作业.本节课是在学生学习了平移的概念和性质的基础上，探究图形在坐标系内平移的变化规律.主要是引导学生运用分类思想，依次通过对点和图形的平移的观察、画图、猜想、验证、归纳、比较、分析等活动，最终探究出点的坐标变化与点平移的关系、图形各个点的坐标变化与图形平移的关系.然而，一堂课下来，我感触颇深，认为本节课离高效课堂“把课堂还给学生、激发学生自主学习的积极性、提高学生自主学习的能力、切实提高课堂教学效益”的要求还很远.章末复习【知识与技能】复习平面直角坐标系和图形在坐标系中的平移这两个内容.【过程与方法】理解和掌握坐标系有关概念，体会图形的变换规律，学会运用平移变换规律进行描点作图.【情感与态度】培养合作交流、数形结合的思想，体会坐标系的实际应用价值.【教学重点】重点是点的表示及描点方法、点的特征、平移的应用.【教学难点】难点是平移前后的坐标变化规律及点的坐标特征、应用.一、知识框图，整体把握平面直角坐标系概括有序数对坐标系画法平面内的点的坐标坐标应用表示地理位置平移【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立知识框图.二、释疑解惑，加深理解确定平面内点的位置的两种方法：（1）平面直角坐标系法建立平面直角坐标系时应注意以下几点：①建立平面直角坐标系的方法很多，由于坐标系的选择直接影响着计算的繁简程度，所以建立平面直角坐标系时，要以能简捷地确定平面内点的坐标为原则.②由点的坐标也可以确定点所在的平面直角坐标系，其方法是采用“逆向思维”，通过在已知平面直角坐标系中描点来寻求问题的解题思路.（2）方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离.用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.无论在平面内用何种定位法确定点的位置，一定要注意用两个数据表示，二者缺一不可.三、典例精析，复习新知1.利用点的坐标特点解题（1）利用坐标符号特征；（2）利用对称点的特征；（3）象限夹角平分线上点的坐标特点.例1（多媒体显示）已知A（a-1, 5）和B(2,b-1)关于x轴对称,求a+b的值.拓展练习：一变：改为“关于y轴对称”；二变：改为“关于原点对称”；三变：“直线AB平行x轴，求b”；四变：“A点在第二象限，求a范围”；五变：“B点在第一、三象限夹角平分线上，求b”.（学生独立完成，上黑板演示或口答）2.确定物体的位置(1)用平面内的坐标确定物体的位置；(2)用角度和距离确定物体的位置.例2（多媒体显示）教材第9页习题11.1第4题.拓展练习：一变：“书城在人民广场的什么位置”（方向和距离）；二变：“若用（2， 1）表示人民广场位置，则其余建筑位置如何确定”.3.动手操作题教材第12页例题（多媒体显示）拓展练习：一变：“将三角形ABC沿y轴正向平移2个单位，再向下平移3个单位”；二变：画出三角形ABC关于y轴对称的图形.【教学说明】复习平移规律，拓展学生视野与思维，培养动手能力.4.数形结合解题例3（多媒体显示）在坐标系中，点到x轴距离为2，到y轴距离为1，求该点坐标.变化题：点(m-1, m+1)到x轴距离为2，求m值.【教学说明】考察数形结合和分类讨论思想，指导学生学会分析、解决问题.四、复习训练，巩固提高1.在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（）A.（-1， 2）B.（1， -2）C.（-1， -2）D.（-2， -1）2.若点A（-2，n）在x轴上，则点B（n-1，n+1）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，那么点D的对应点D′的坐标是（）A.（0， 1）B.（6， 1）C.（6， -1）D.（0， -1）4.若点P（m-3， m-9）在第四象限，则m的取值范围是 .5.如图，平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为 .6.若点M（5-a，2a-6）在第四象限，且点M到x轴与y轴的距离相等，试求（a-2）2014-a-2015的值.7.（1）在直角坐标系中用线段依次连接点（1， 0），（1， 3），（5， 3），（5， 0），（1，0）和（0， 3），（6， 3），（3， 5），（0， 3），两组图形共同组成一个什么图形？（2）如果将上面各点的横坐标都加上1，纵坐标不变，那么同样方式连接相应各点，所得的图形发生了哪些变化？【参考答案】1.A 2.B 3.D4.3＜m＜95.26.解：由题意得，5-a+2a-6=0，解得a=1.所以，（a-2）2014-a-2015=（1-2）2014-1-2015=1-1=0.7.解：（1）如图，两组图形共同组成一个房子；（2）所得的图形向右平移了1个单位.五、师生互动，课堂小结让学生口述本节课的主要内容，教师帮助梳理成系统知识.1.课本第17~18页A组复习题第1~5题，B组1、2题.2.完成练习册中相应复习课的练习.本节复习课通过教师提问，学生独立思考，相互交流，回答问题的方式对本章知识进行了小结，回顾了平面直角坐标系及相关的基础知识和基本方法，以及它的简单应用.对于学生易出错、应该强调的问题，如果只是泛泛而谈，效果不大因此，在复习了本章的主要知识后，出了一组典型例题，通过具体的题目，强调有关问题，将给学生留下更深的印象，学习效果会更好.在教学中，关注学生是否认真思考，相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况，使学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系.12一次函数12.1 函数第1课时变量与函数【知识与技能】了解变量与常量，初步理解函数的概念.【过程与方法】经历函数概念的探索过程，感悟变量.【情感与态度】鼓励探索方式的多样化，培养激发学生学习的兴趣.【教学重点】重点是理解函数的意义，并会根据具体问题探究相应的函数关系式.【教学难点】难点是对函数意义的准确理解.一、创设情境，导入新知活动一：乘热气球探测高空气象用热气球探测高空气象，热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升.它上升过程中到达的海拔高度h(m)与上升时间t(min)的关系记录如下表：观察上表：（1）这个问题中，有哪几个量？（2）热气球在升空过程中平均每分钟上升的高度是多少？（3）你能求出上升3min\,6min时气球到达的海拔高度吗？【教学说明】学生通过思考问题，为新知识建立铺垫.活动二：用电负荷曲线图S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如图所示.看图回答（1）这个问题中，涉及哪几个量？（2）任意给出这天中的某一时刻x，能找到这一时刻的负荷y（×103兆瓦）是多少吗？（3）这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？活动三：汽车刹车距离汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.某型号的汽车在平整路面上的刹车距离s（m）与车速v（km/h）之间有下列经验公式：s＝v2/256（1）式中涉及哪几个量？（2）当刹车时速v分别是40、80、120km/h时，相应的滑行距离s分别是多少？【教学说明】教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现数学问题：哪些是常量，哪些是变量.从而为引出函数概念做铺垫.二、达成共识，构建新知新知探究：函数的概念［交流］：在活动一至三中，哪些量是常量？哪些量是自变量？哪些变量是因变量？与同伴交流.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b,那么b叫做当自变量为a时的函数值.引导发现：热气球上升后到达的海拔高度h是自变量时间t的函数；用电负荷y是自变量时间t的函数；制动距离s是自变量车速v的函数.引导练习：1.说出下列各个过程中的变量与常量：（1）铁的质量m（g）与体积V（cm3）之间的关系式是m＝ρV.（ρ是铁的密度）（2）长方形的长为2cm，它的面积为S（cm2）与宽a（cm）的关系式是S=2a.2.已知函数y=3x-5，当x=2时，y= 1 .三、运用新知，深化理解1.寄一封质量在20g以内的市内平信，需邮资0.80元，则寄x封这样的信所需邮资y （元）.试用含x的式子表示y，并指出其中的常量和变量.2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10 cm，每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm，怎样用含有重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度y（cm）？【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.【参考答案】1.解：根据题意，得y=0.8x，所以0.8是常量，x、y是变量.2.y=0.5m+10四、师生互动，课堂小结掌握函数的概念，能根据问题背景确定函数关系式，会确定自变量的取值范围.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b,那么b叫做当自变量为a时的函数值.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.课本第23页练习1、2.2.完成练习册中相应的作业.函数第一课时主要讲的是函数及其有关概念，它是所有函数的基础.这节课是通过三个活动理解函数这一概念，在上课过程中对三个问题进行分析，分析问题中的变化过程，进而得知常量、变量、自变量、因变量，通过观察和计算发现因变量与自变量之间的对应关系，从而理解函数概念.情景设置激发学生学习兴趣，体现学生是数学学习的主人，教师是组织者、引导者与合作者.第2课时函数的表示方法——列表法与解析法【知识与技能】了解函数的表示方法：列表法、解析法，领会它们的联系和区别，进一步理解掌握确定函数关系式，会确定自变量取值范围.【过程与方法】学会用不同方法表示函数，会应用综合的思维、思想分析问题.【情感与态度】。
_沪教版(上海)八年级数学 知识点梳理(最新最全)
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0)).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax ²+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a---= , = ； △=24b ac -≥017.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 第十八章 正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =18.3 反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数18.4函数的表示法1．把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达------解析法2．把两个变量之间的依赖关系用图像来表示------图像法3．把两个变量之间的依赖关系用表格来表示------列表法第十九章 几何证明19.1 命题和证明1．我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明2．能界定某个对象含义的句子叫做定义3．判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4．数学命题通常由题设、结论两部分组成5．命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后是结论19.2 证明举例1．平行的判定，全等三角形的判定19.3 逆命题和逆定理1．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2．如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理19.4线段的垂直平分线1. 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
沪科版八年级数学上册教案全集
2021年八年级数学上册全册教案〔沪科版〕第11 章平面直角坐标系平面上点的坐标第1课时平面上点的坐标(一)教学目标【知识与技能】1.知道有序实数对的概念 , 认识平面直角坐标系的相关知识 , 如平面直角坐标系的构成 : 横轴、纵轴、原点等 .2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系, 能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标 . 点的坐标 , 能在平面直角坐标系中描出点 .3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置.【过程与方法】1.结合现实生活中表示物体位置的例子 , 理解有序实数对和平面直角坐标系的作用 .2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置.【情感、态度与价值观】通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的开展之间有联系, 感受到数学的价值 .重点难点【重点】认识平面直角坐标系 , 写出坐标平面内点的坐标, 坐标能在坐标平面内描出点 .【难点】理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系.教学过程一、创设情境、导入新知师: 如果让你描述自己在班级中的位置, 你会怎么说 ?生甲 : 我在第 3排第 5个座位 .生乙 : 我在第 4行第 7列.师:很好 ! 我们买的电影票上写着几排几号 , 是对应某一个座位 , 也就是这个座位可以用排号和列号两个数字确定下来 .二、合作探究 , 获取新知师:在以上几个问题中 , 我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置 , 这两个数量我们可以用一个实数对来表示 ,但是 , 如果 (5,3) 表示 5排3号的话 , 那么 (3,5) 表示什么呢 ?生:3 排5号.师:对, 它们对应的不是同一个位置 , 所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的 . 谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢 ?生: 用一个有序的实数对来表示.师:对. 我们学过实数与数轴上的点是一一对应的 , 有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢 ?生:可以 .教师在黑板上作图 :我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴 . 水平的数轴叫做x 轴或横轴 , 取向右为正方向 ; 竖直的数轴叫做 y轴或纵轴 , 取向上为正方向;两轴交点为原点 . 这样就构成了平面直角坐标系 , 这个平面叫做坐标平面.师:有了平面直角坐标系 , 平面内的点就可以用一个有序实数对来表示了.现在请大家自己动手画一个平面直角坐标系 . 学生操作 , 教师巡视 . 教师指正学生易犯的错误 . 教师边操作边讲解 :如图 , 由点 P分别向 x轴和 y轴作垂线 , 垂足 M在x轴上的坐标是 3, 垂足 N在y轴上的坐标是 5, 我们就说 P点的横坐标是 3, 纵坐标是 5, 我们把横坐标写在前 , 纵坐标写在后 ,(3,5) 就是点 P的坐标 . 在x轴上的点 , 过这点向 y轴作垂线 , 对应的坐标是 0, 所以它的纵坐标就是 0; 在y轴上的点 , 过这点向x轴作垂线 , 对应的坐标是 0, 所以它的横坐标就是 0; 原点的横坐标和纵坐标都是0, 即原点的坐标是 (0,0).教师多媒体出示 :师: 如图 , 请同学们写出 A、B、C、D这四点的坐标 .生甲 :A 点的坐标是 (-5,4).生乙 :B 点的坐标是 (-3,-2).生丙 :C点的坐标是 (4,0).生丁 :D点的坐标是 (0,-6).师: 很好 ! 我们已经知道了怎样写出点的坐标, 如果一点的坐标为(3,-2),怎样在平面直角坐标系中找到这个点呢?教师边操作边讲解 :在x轴上找出横坐标是 3的点 , 过这一点向 x轴作垂线 , 横坐标是 3的点都在这条直线上; 在y轴上找出纵坐标是-2 的点, 过这一点向y轴作垂线, 纵坐标是 -2 的点都在这条直线上 ; 这两条直线交于一点 , 这一点既满足横坐标为3, 又满足纵坐标为 -2, 所以这就是坐标为 (3,-2) 的点 . 下面请同学们在方格纸中建立一个平面直角坐标系 , 并描出A(2,-4),B(0,5),C(-2,-3),D(-5,6)这几个点.学生动手作图 , 教师巡视指导 .三、深入探究 , 层层推进师:两个坐标轴把坐标平面划分为四个区域 , 从x轴正半轴开始 , 按逆时针方向 , 把这四个区域分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.注意 : 坐标轴不属于任何一个象限 . 在同一象限内的点 , 它们的横坐标的符号一样吗 ?纵坐标的符号一样吗 ?生: 都一样 .师:对, 由作垂线求坐标的过程 , 我们知道第一象限内的点的横坐标的符号为 +, 纵坐标的符号也为 +. 你能说出其他象限内点的坐标的符号吗 ?生:能. 第二象限内的点的坐标的符号为 (-,+), 第三象限内的点的坐标的符号为 (-,-), 第四象限内的点的坐标的符号为 (+,-).师:很好 ! 我们知道了一点所在的象限 , 就能知道它的坐标的符号 . 同样的,我们由点的坐标也能知道它所在的象限 . 一点的坐标的符号为 (-,+),你能判断这点是在哪个象限吗?生: 能, 在第二象限 .四、练习新知师: 现在我给出几个点 , 你们判断一下它们分别在哪个象限.教师写出四个点的坐标 :A(-5,-4),B(3,-1),C(0,4),D(5,0).生甲 :A 点在第三象限 .生乙 :B 点在第四象限 .生丙 :C点不属于任何一个象限, 它在 y轴上 .生丁 :D点不属于任何一个象限, 它在 x轴上 .师:很好 ! 现在请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系 , 在上面描出这些点 .学生作图 , 教师巡视 , 并予以指导 .五、课堂小结师: 本节课你学到了哪些新的知识?生: 认识了平面直角坐标系 , 会写出坐标平面内点的坐标, 坐标能描点 , 知道了四个象限以及四个象限内点的符号特征.教师补充完善 .教学反思物体位置的说法和表述物体的位置等问题, 学生在实际生活中经常遇到,但可能没有想到这些问题与数学的联系 . 教师在这节课上引导学生去想到建立一个平面直角坐标系来表示物体的位置 , 让学生参与到探索获取新知的活动中 , 主动学习思考 , 感受数学的魅力 . 在教学中我让学生由生活中的实例与坐标的联系感受坐标的实用性 , 增强了学生学习数学的兴趣 .第2课时平面上点的坐标(二)教学目标【知识与技能】进一步学习和应用平面直角坐标系【过程与方法】通过探索平面上的点连接成的图形象思维能力 .【情感、态度与价值观】培养学生的合作交流意识和探索精神顶点 , 从而描述图形的方法 .重点难点【重点】, 认识坐标系中的图形 ., 形成二维平面图形的概念, 开展抽, 体验通过二维坐标来描述图形理解平面上的点连接成的图形, 计算围成的图形的面积.【难点】不规那么图形面积的求法 .教学过程一、创设情境 , 导入新知师: 上节课我们学习了平面直角坐标系的概念, 也学习了点的坐标,怎样在平面直角坐标系中把这个点表示出来. 下面请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系 , 并在上面标出 A(5,1),B(2,1),C(2,-3)这三个点.学生作图 .教师边操作边讲解 :二、合作探究 , 获取新知师: 现在我们把这三个点用线段连接起来, 看一下得到的是什么图形?生甲 : 三角形 .生乙 : 直角三角形 .师: 你能计算出它的面积吗 ?生: 能.教师挑一名学生 : 你是怎样算的呢 ?生:AB的长是 5-2=3,BC的长是 1-(-3)=4,所以三角形ABC的面积是× 3×4=6.师: 很好 !教师边操作边讲解 :大家再描出四个点 :A(-1,2),B(-2,-1),C(2,-1),D(3,2),并将它们依次连接起来看看形成的是什么图形?学生完成操作后答复 : 平行四边形 .师: 你能计算它的面积吗 ?生: 能.教师挑一名学生 : 你是怎么计算的呢 ?生:以BC为底 ,A 到BC的垂线段 AE为高 ,BC的长为 4,AE的长为 3, 平行四边形的面积就是 4×3=12.师:很好 ! 刚刚是点 , 我们将它们顺次连接形成图形 , 下面我们来看这样一个连接成的图形 :教师多媒体出示以下图 :: 如果我取 x正半上的点起始点 , 按逆序 , 你能出个形是由哪些点次接成的 ?生: 能.(6,0),(4,2),(4,4),(2,4),(0,6),(-2,4),(-4,4)⋯⋯: 很好 ! 你怎向另一个同学描述一个八角星, 他画出来呢 ?生: 在坐系里画出点(6,0),(4,2),(4,4),(2,4),(0,6),(-2,4),(-4,4),⋯⋯,然后把它次接成一个封的形 .三、新知: 我在已建立了点与形之的系, 能用点来表示形了 .我来看一个例子 , △ ABC三个点的坐分A(-1,1),B(4,1),C(6,4),求△ ABC的面.教找一名学生板演 , 其余学生在下面做 , 然后集体正得到 :由可知 , △ABC的面 S=×5×3=.四、堂小: 我今天学了哪些新知?有什么收 ?生: 我今天学了由点接成的形, 求封形的面 .教充完善 .教学反思本开始我出三点的坐 , 学生自己建立平面直角坐系 , 并且在其中描出些点 , 既复了上的内容 , 又引出了本所要的知 . 在画出三角形和平行四形后 , 我引学生去利用网格算封形的面 . 通八角星的例子引学生自己去学找点的位置和它的坐之的关系 , 形成数形合的思想 , 用数字特征去描述它之的关系.形在坐系中的平移教学目【知与技能】研究在同一坐标系中 , 图形的平移与点的坐标变化之间的关系 , 开展学生的数形结合思想和意识 .【过程与方法】经历图形的平移过程 , 探究图形的平移与点的坐标变化之间的关系.【情感、态度与价值观】让学生体验探究图形的平移与坐标变化之间的关系, 感受数学与图形的平移、物体的运动等有实际意义的事情之间的关联, 体会数学在现实生活中的用途 .重点难点【重点】经历图形平移和坐标变化的过程, 开展学生的数形结合思想和意识.【难点】归纳出图形平移与坐标变化之间的关系.教学过程一、创设情境 , 导入新知师: 在上一节课 , 我们把平面直角坐标系中的点连接成了封闭的图形,,现在 A(-2,4),B(-4,3),C(1,1),用线段把这三点连接成一个封闭图形是什么形状的图形 ?生: 三角形 .师:对. 这节课我们把这个图形在同一坐标系中平移 , 探究平移后的顶点坐标与原顶点坐标之间的关系 .教师板书课题 .二、合作探究 , 获取新知教师边操作边讲解 : 我们把这个三角形在平面直角坐标系中向右平移 2 个单位 , 看看得到的图形与原图形的顶点坐标之间会有什么关系 .生: 横坐标增加了 2, 纵坐标不变 .师: 对. 假设是向左平移 2个单位呢 ?坐标会有什么变化 ?生: 横坐标减 2, 纵坐标不变 .师:很好 ! 假设把这个三角形向上平移 3个单位 , 这个三角形的顶点坐标又有什么改变 ?生: 横坐标不变 , 纵坐标加 3.师: 对. 向下平移 3个单位呢 ?生: 横坐标不变 , 纵坐标减 3.师:同学们答复得很好 ! 一个图形的顶点坐标和它发生的位移 , 即它移动的方向和距离 , 我们根据刚刚得出的结论 , 可以写出它位移后的顶点的坐标 , 画出它位移后的图形 . 如果位移前的图形和位移后的图形 ,你能写出它的位移过程吗?教师边操作边讲解 :平移前的三角形三个顶点的坐标分别是(-3,4),(-2,7),(1,2),平移后顶点的坐标是 (0,2),(1,5),(4,0),请同学们写出它平移的过程.教师找一名学生板演 , 其余同学在下面写 .师: 我们可以分别看横、纵坐标的变化, 横坐标都增加了 3, 所以在沿 x 轴方向上发生了怎样的位移?生: 向右平移了 3个单位 .师:对, 你们观察一下纵坐标的变化 , 说一说它在沿 y轴方向上发生了怎样的位移 ?生: 纵坐标减少了 2, 向下平移了 2个单位 .师: 对. 所以我们得出它位移的过程是先向右平移 3个单位再向下平移 2 个单位 , 或者是先向下平移 2个单位再向右平移 3个单位 .三、例题讲解【例】如图 , 将△ ABC先向右平移 6个单位 , 再向下平移 2个单位得到△ A1B1C1. 写出各顶点变动前后的坐标 .解:用箭头代表平移 , 那么有 : A(-2,6) →(4,6)→A1(4,4),B(-4,4) →(2,4) →B1(2,2),C(1,1) →(7,1) →C1(7,-1).教师多媒体出示 :点(x,y) 向平移 a(a>0) 个单位 ?平移后的坐标为师:任意一点 (x,y) 向某一个方向平移后点的坐标会是怎样的呢 ?请同学们思考以上四个小题 .学生思考交流后 , 得到结论 :点(x,y) 向左平移 a(a>0) 个单位 ?平移后的坐标为 (x-a,y);点(x,y) 向右平移 a(a>0) 个单位 ?平移后的坐标为 (x+a,y);点(x,y) 向上平移 a(a>0) 个单位 ?平移后的坐标为 (x,y+a);点(x,y) 向下平移 a(a>0) 个单位 ?平移后的坐标为 (x,y-a).四、练习新知师: 我们现在来做一道题目 , 练习一下 .教师多媒体出示 :三角形 ABC,它的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(-5,3),(-2,4),(0,2),它平移后的三角形为△ A'B'C',A'点的坐标是(3,-1),求B'点和C'点的坐标.教师找一名学生板演 , 其他同学在下面做 , 然后集体订正得到 :B' 点的坐标为 (6,0),C'的坐标为(8,-2).五、课堂小结师: 你今天学习了哪些新知识?有什么收获 ?生: 学习了图形的平移和位移变化之间的关系.师: 你还有哪些疑问 ?学生提问 , 教师解答 .教学反思图形由静到动 , 静时我们用顶点坐标来描述它 , 动后我们也可以描述这个过程 . 在学生的前置性学习局部 , 通过让学生观察把一个的三角形向右平移后得到新的三角形 , 并比拟平移前后三个顶点的坐标的变化 , 使学生亲身经历了知识的形成过程 , 不但改变了学生死记硬背的学习方式 , 还培养了他们自主探究、合作交流等学习习惯 , 进一步激发了学生学习数学的兴趣 . 本节课是在学生学习了平移的概念和性质的根底上 , 探究图形在坐标系内平移的变化规律的 . 主要是引导学生运用分类思想 , 依次经过点和图形的平移的观察、画图、猜测、验证、归纳、比拟、分析等活动 , 最终探究出点的坐标变化与点平移的关系以及图形上各个点的坐标变化与图形平移的关系 .第12章一次函数函数第1课时函数(一)教学目标【知识与技能】1.掌握常量、变量的概念 .2.能区分一个关系中的常量和变量、自变量和因变量 .3.能识别一个关系式是不是函数 .【过程与方法】1.经历观察、分析、思考、总结的过程 , 开展观察推理能力和清晰地表达自己观点的能力 .2.感知变量对数学问题的描述、研究的作用 .3.理解一个简单的实际应用问题的数学表达方式 , 使学生将实际问题和数学相联系 .【情感、态度与价值观】1. 通过让学生共同思考实际生活中的例子让学生参与到教学活动中来,培养学生的集体意识 .2.让学生自己思考贴近生活的例子 , 激发学生的学习兴趣 .3.让学生感受数学与生活息息相关 .4.通过变量、常量概念的引入 , 让学生意识到数学是在不断开展的 , 意识到事物是不断开展变化的 .重点难点【重点】理解常量、变量的概念 , 判断一个数量关系是否是函数.【难点】理解函数的概念 .教学过程一、创设情境 , 导入新知师: 你还记得汽车在匀速行驶时, 路程和速度、时间之间的关系吗?生: 记得 , 路程 =速度×时间 .师: 好. 我们现在来看这样一个问题.教师多媒体出示 ( 问题 1): 汽车以 50千米 / 时的速度匀速行驶 , 它行驶的路程用 s表示 , 时间用 t 表示 , 根据刚刚那个公式 , 你能得到 s和t 的什么数量关系 ?生:s=50t.师: 对. 这里面有哪些量 ?生: 路程、速度和时间 .师: 这道题中 , 速度是具体的一个量 , 是多少呢 ?生:50.师: 对. 这里面有三个量 : 路程、 50和时间 .二、合作探究 , 获取新知教多媒体出示 (2):01234567⋯t/min海拔高18001830186018901920195019802021⋯度h/m同学看个和相的表格, 上面反映的有几个量 ?学生思考后答复 : 两个 .: 哪两个 ?生甲 :.生乙 : 气球上升到达的海拔高度.: 同学答复得很好 ! 你再察一下 , 气球在个上升程中 , 平均每分上升了多少米 ?生:30 米.: 你能算出当 t=3min 和t=6min 气球到达的海拔高度?生:能,3 分 1 890 米,6 分 1 980 米.: 很好 .教多媒体出示 (3):: 在个中 , 有哪几个量 ?生: 两个 , 和荷 .: 你能出一天中任意一个刻的荷是多少 ?如果能的 , 和20h的荷分是多少 ?学生量后答复 : 能. 是 10×103兆瓦 ,20h 是 17×103兆瓦 .: 用科学数法怎表示 ?生:是× 104兆瓦,20h 是× 104兆瓦 .: 同学答复得很好 ! 你是怎么找到的数据的呢?生: 根据的荷得到的.师:很好 ! 这一天的用电顶峰和用电低谷时的负荷分别是多少 ?它们各是在什么时刻到达的 ?学生测量后答复 : 用电顶峰时的负荷是×104兆瓦 , 在时到达 ; 用电低谷4时的负荷是× 10 兆瓦, 在时到达 .师: 我们再来看这样一个例子.汽车在行驶过程中由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住.某型号的汽车在路面上的刹车距离sm与车速 vkm/h之间有以下经验公式 :s=这个式子中涉及了哪几个量?生甲 : 刹车距离、车速 .生乙 :256.师: 当车速为 60km/h时的刹车距离是多少呢 ?结果保存一位小数 .学生计算后答复 :.师: 在第一个问题中 , 速度一直是 50千米 / 时 , 我们把不变的 50称为常量 ; 变化的 s和t 称为变量 , 其中 t 是自变量 ,s 是随着时间 t 的变化而变化的 ,s 是因变量 . 下面我们看看其他三个问题中 , 哪些是常量 , 哪些是自变量 , 哪些是因变量 ?生甲 : 第二个问题中 ,30 是常量 , 时间是自变量 , 海拔高度是因变量 .生乙 : 第三个问题中 , 没有常量 , 时间是自变量 , 负荷是因变量 .生丙 : 第四个问题中 ,256 是常量 , 车速是自变量 , 刹车距离是因变量 .师: 很好 ! 自变量和因变量之间有没有对应的关系呢?生:有.师:由前面的探究 , 我们能得出自变量和因变量在数量上有怎样的对应关系 ?生: 自变量取一个值 , 根据它们之间的关系 , 因变量就有相应的一个值.师:很好 !教师板书并口述定义 :一般地 , 设在一个变化过程中有两个变量 x、y, 如果对于 x在它允许的取值范围内的每一个值 ,y 都有唯一确定的值与它对应 , 那么就称 x是自变量,y 是x函数 .师:在这个定义中 , 我们要注意“唯一确定〞这四个字 , “唯一〞要求只有一个 , “确定〞要求它们的关系是确定的 , 不能是未明确的、模糊的 .根据函数的定义 , 你能说出以上四个问题中哪一个量是哪一个量的函数吗?生甲 ; 问题 1中行驶路程 s是行驶时间 t 的函数 .生乙 : 问题 2中热气球到达的海拔高度h是时间 t 的函数 .生丙 : 问题 3中负荷 y是时间 t 的函数 .生丁 : 问题 4中刹车距离 s是车速 v的函数 .师: 大家答复得很好 !三、练习新知师: 我们现在来看这样一个例子.教师多媒体出示并口述 :以下等式中 ,y 是x的函数的有22学生思考后答复 , 然后集体订正 . y是x的函数的有①②③⑤⑦ ..?⑥x=|y|;⑦y=;⑧y2=4x.四、课堂小结师: 你今天学习了哪些新知识?有什么收获 ?生: 学习了常量、变量、自变量、因变量、函数.教师补充完善 .教学反思课程改革的关键是教师观念的改变 , 重视学生的主体作用 , 强调让学生经历学习的过程 , 让学生真正成为学习的主人 . 教师不应该仅仅是课程的实施者 , 而且应该成为课程的创造者和开发者 . 通过让学生回忆小学学过的一个公式 , 引入本节课 , 同时带着学生更深入地认识两个量之间的关系 , 并引入常量、变量、自变量、因变量等概念 . 而函数是两个变量之间的关系,它们之间是怎样的一种关系呢 ?对自变量取的一个值 , 因变量有唯一确定的值与之对应 . 这点要向学生讲清楚 , 学生理解了就能判断一个变量是不是另一个变量的函数 .第2课时函数(二)教学目标【知识与技能】1.会用列表法表示函数 .2.会将一个简单的实际应用问题抽象成函数 .3.会求函数自变量的取值范围 .4.给定自变量 , 能求出函数值 .【过程与方法】1.经历用列表法和解析法表示函数的过程 .2.通过将一个简单的实际应用问题抽象成数学问题使学生将理论和实际相联系 .【情感、态度与价值观】1.通过让学生选用适宜的方法表示两个变量之间的关系 , 让学生发挥主观能动性 , 独立思考 .2.让学生参与到教学活动中来 , 激发学生的参与感和集体意识 .3.让学生观察、描述发现的问题 , 培养学生表述自己思想和归纳概括、收集信息的能力 .4.让学生思考贴近生活的例子 , 激发学生的学习兴趣 .重点难点【重点】用解析法表示函数 , 求函数自变量的取值范围.【难点】建立一个实际问题的数学模型.教学过程一、创设情境 , 导入新知师:上节课 , 我们学习了一个重要的概念——函数 , 同学们还记得它的内容吗 ?学生答复 .师:大家说得很好 , 函数是一个重要的数学概念 , 这节课我们将更深入地研究它 .二、合作探究 , 获取新知教师多媒体出示上节课的问题2:上节课我们在问题2中用表格表示热气球上升到的海拔高度与时间数值之间存在的关系, 这种通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法 .学生熟记 .教师多媒体出示上节课的问题 4.这是另一种表示函数的方法 , 是用 s和v之间的函数关系式来表示的 , 这种用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法 . 你从中读出了什么信息? 你能把问题 2中表格反映的情况用语言表达一下吗 ?学生思考后答复 : 能. 热气球的初始海拔高度是 1 800 米, 每分钟上升 30米.师: 很好 ! 它是匀速上升的吗 ?生:是.教师多媒体出示上节课中的问题 1.你能仿照这个匀速运动的例子写出热气球到达的海拔高度h和时间之t间的关系吗 ?注意 : 这里 h是初始高度和上升高度的和 , 上升高度相当于热气球上升的路程 .学生思考后答复 : 能.h=1 800+30t.师:很好 ! 一般地 , 我们按自变量的降幂排列 , 就是写成 h=30t+1 800. 这说明同样一个问题 , 它的描述方式可以不止一种 , 我们可以选用适当的方式来表示 , 也可以把一种表示方式描述的问题用另一种表示方式来写 .教师多媒体出示上节课介绍的函数的定义:一般地 , 设在一个变化过程中有两个变量 x、y, 如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值 ,y 都有唯一确定的值与它对应 , 那么就说 x是自变量,y 是x的函数 .师:同学们, 这里要求在自变量的允许范围内, 就是说自变量是有范围的, 在哪些情况下自变量不是所有实数都可以取呢 ?谁能说说我们学习过的式子中哪些式子的取值有限制 ?生: 分母不能为零 , 开平方时被开方数应该大于等于零.师:对. 所以我们在用解析法表示时 , 要考虑自变量的取值范围 . 在实际应用中 , 除了要保证这个式子有意义 , 还要求它有实际意义 .三、练习新知教师多媒体出示 :【例 1】求以下函数中自变量x的取值范围:(1)y=2x+4;(2)y=-2x2;(3)y=;(4)y=.解:(1)x 为全实体实数 .(2)x 为全实体实数 .(3)x ≠2.(4)x ≥3.【例 2】当x=3时,求以下函数的函数值: (1)y=2x+4;(2)y=-2x 2;(3)y=;(4)y=.解:(1) 当x=3时,y=2x+4=2 ×3+4=10.(2) 当x=3时,y=-2x 2=-2 ×32=-18.(3) 当x=3时,y===1.(4) 当x=3时,y===0.【例 3】33一个游泳池内有水 300m,现翻开排水管以每小时 25m的排出量排水 .3(1) 写出游泳池内剩余水量 Qm与排水时间 th 间的函数关系式 ;(2) 写出自变量 t 的取值范围 ;(3) 开始排水后的第 5h末, 游泳池中还有多少水 ?3(4) 当游泳池中还剩 150m时 , 已经排水多少小时 ?解:(1) 排水后的剩水量 Q是排水时间 t 的函数 , 有Q=300-25t=-25t+300.(2)33全部排完只需 300÷25=12(h),由于池中共有 300m水, 每小时排 25m,故自变量 t 的取值范围是 0≤t ≤12.(3)3当t=5 时, 代入上式 , 得Q=-5×25+300=175(m), 即第 5h末, 池中还有3水175m.(4)当Q=150时, 由150=-25t+300, 得t=6(h),3池中还剩水 150m时, 已经排水6小时 .四、课堂小结师: 今天你学习了什么新的内容?生: 学习了函数的两种表示方法、自变量的取值范围、求函数值.教师补充完善 .教学反思。
沪教版八年级数学上册-函数的概念
函数的概念知识点1：常量与变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量。
点拨：变量和常量最大的区别在于表示量的数值变还是不变，此外，还要注意，区分变量和常量，要结合具体问题进行具体分析，如在火车行驶的问题上，火车在启动阶段，速度v就不是常量，而是变量。
知识点2：在某个变化过程中有两个变量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x 叫做自变量，y叫做因变量。
理解函数的概念，要注意以下三点：其一：函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系，至于这两个变量是否一定要用字母x、y来表示，不一定。
其二：自变量x虽然可以任意取值，但在很多问题中，自变量x的取值是有范围的，如x表示时间则x一般在正数范围内取值；自变量允许取值的范围叫做函数的定义域。
其三：对自变量x在定义域内的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应。
这里确定与对应对理解函数概念是非常重要的关键词，至于唯一确定是中学阶段对函数概念的一种界定。
知识点3：函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。
如果y是x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。
符号“y=f(x）”表示y是x的函数，f表示y随x变化而变化的规律。
函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。
如函数y=x+10（4<x<10）,它的值域是14<y<20重点：函数概念，函数的定义域和值域。
难点：函数概念，函数的定义域和值域。
1、妈妈有7块糖，想平均分给三个孩子，但又不愿把余下的糖切开，妈妈怎么办好呢？例题一：（1）瓜子每千克12元，买x 千克瓜子需付款y 元，用x 的代数式表示y ，并指出这个问题中的变量和常量。
解：y=12x 。
在这个问题中，单价12元是常量，瓜子的重量x 千克、付款金额y 元是变量。
几何证明(4个概念2个性质3个判定2个定理2个应用2种思想方法1个轨迹)八年级数学上册沪教版
2 个性质3个判定
考点05 线段的垂直平分线
7.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
(D )
8.已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
(2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其
他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真
命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
考点04 互逆定理
6. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是
①同旁内角互补，两直线平行
①④ .
②等边三角形是锐角三角形
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析
中后一种添加辅
助线的方法，写
出它的证明过程
吗？
考点06 角 平 分 线
AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
15.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，
AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
A
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
B
F
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，
上海沪教版八年级数学上下册知识点梳理完整版
上海沪教版八年级数学上下册知识点梳理 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质二次根式1．二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2．二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：(c ≥0)=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a-+--= , = ； △=24b ac -≥0一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3．实际问题：设，列，解，答第十八章 正比例函数和反比例函数．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数反比例函数的定义域是不等于零的一切实数3．反比例函数(0)k y k k x=≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。
沪科版八年级上册数学教学工作计划(11篇)
沪科版八年级上册数学教学工作计划（11篇）沪科版八年级上册数学教学工作计划（精选11篇）时间过得飞快，又将迎来新的工作，新的挑战，让我们对今后的教学工作做个计划吧。
但是教学计划要写什么内容才能让人眼前一亮呢？以下是小编整理的沪科版八年级上册数学教学工作计划，仅供参考，欢迎大家阅读。
沪科版八年级上册数学教学工作计划 1新学期已到来，我们又要投入到紧张、繁忙而有序地教育教学工作中，怎样做好这些艰巨而富有重大意义的工作，使自己今后的教学工作中能有效地、有序地贯彻新的教育精神，提高自身的业务能力，围绕我校新学期的工作计划要求制定初一数学教学计划：一、指导思想：教育学生掌握初中数学学习常规，掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。
会用归纳演绎、类比进行简单的推理。
使学生懂得数学来源于实践又反过来作用于实践。
提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。
顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。
培养学生应用数学知识解决问题的能力。
二、学情分析从学生的成绩来看，比较理想。
两个班的优生只有二十个，仅占百分之十，而学困生接近百分之四十大部分同学的数学成绩不理想，大部分学生数学基础差，底子薄给教学带来了一定的困难，所以今年的教学任务较重。
所以要根据实际情况，面对全体，因材施教，对于学习较差的.同学今年进行小组辅导，对特别差的学生可以进行个别辅导三、在教学过程中抓住以下几个环节1、发挥集体智慧，认真进行集体备课。
新的学期，初中数学课课节较少，怎么能在有限的时间里提高学习效率是所有数学老师面对的问题？在这里，学校给我们明确了方向。
加强集体备课，发挥集体智慧，认真研究教材及课程标准，争取每节课前，与同组同仁们讨论、研究确定教学的重点、难点、教学目标、教法、学法，精心设计教学过程，重视每一章节内容与前后知识的联系及其地位，甚至例题的选用，作业的布置等等，让每一节课上出实效，让每位学生愉悦的获得新知。
沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计
沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计一. 教材分析《函数的概念及正比例函数》是沪教版数学八年级上册第18.1节的内容。
本节课主要介绍了函数的概念，以及正比例函数的定义和性质。
教材通过具体的例子让学生理解函数的意义，并通过数学语言和符号来表示函数关系。
同时，通过正比例函数的学习，让学生掌握如何求解函数的值，以及如何判断两个函数是否成正比例。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对数学符号和概念有一定的理解。
但是，对于函数的概念和正比例函数的性质，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握函数的概念，以及正比例函数的性质。
三. 教学目标1.理解函数的概念，能够用数学语言和符号表示函数关系。
2.掌握正比例函数的定义和性质，能够求解正比例函数的值。
3.能够判断两个函数是否成正比例，并能够应用正比例函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.函数的概念和表示方法。
2.正比例函数的定义和性质。
3.判断两个函数是否成正比例的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握函数的概念和正比例函数的性质。
2.利用数形结合的方法，通过图形和表格展示函数关系，帮助学生直观地理解函数的意义。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中，共同探索和解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料和课件，包括函数的定义和表示方法，正比例函数的性质和图形的展示。
2.准备一些实际问题，用于引导学生应用正比例函数解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考函数的意义。
例如，提问：“如果一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，那么它在3小时内行驶的距离是多少？”让学生认识到，函数可以用来描述两个变量之间的关系。
2.呈现（10分钟）介绍函数的概念，以及如何用数学语言和符号表示函数关系。
沪教版八年级数学上册 命题和证明
证明：“相等的两个角是对顶角”是假命题。
证明：如图，∠1=30°，∠2=30°， 但∠1与∠2不是对顶角。
1 2
判断下列命题是真命题还是 假命题，如果是假命题，请 （证1）明若：∣a∣=∣b∣,则a=b；
（2）如果ab>0，那么a、b都是正数；
（3）互为补角的两个角都是锐角。
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
E
∴∠A+∠B+∠ACB=180° B
12
CD
注意:辅助线应该用虚线表示
证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∵ CE∥BA
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
判断一个句子是不是命题的关键是什么？
观察下列命题，你能发现这些命题 有什么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边相等， 那么这两个三角形全等；
（2）如果一个三角形是等腰三角形， 那么这个三角形的两个底角相等；
（3）如果一个四边形的对角线相等， 那么这个四边形是矩形；
命题的结构：
在数学中，许多命题是由 题设(条件) 和结论 两部分组成的. 题设是已知事项 ， 结论 是由 已知事项推出的事项 . 这种命题常可写成 “如果 …，那么…”
的形式,“如果”开始的部分是题设,“那么” 开始的部分是结论.
指出下列命题的题设和结论: 1、如果两条直线相交，那么它们只
有一个交点； 题设：两条直线相交
结论：它们只有一个交点
沪教版数学八年级上册19.3《勾股定理》教学设计
沪教版数学八年级上册19.3《勾股定理》教学设计一. 教材分析勾股定理是八年级数学的重要内容，也是古代中国数学的瑰宝。
沪教版教材通过引入几何图形，引导学生探索并证明勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
本节课的内容包括勾股定理的发现、证明及应用，通过学习，学生能理解勾股定理的含义，并能运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形、直角三角形等基础知识，对数学图形有一定的认识。
但勾股定理的证明和应用还需要学生具备一定的逻辑推理能力和空间想象能力。
此外，学生可能对古代数学文化感兴趣，可以从这方面激发学生的学习积极性。
三. 教学目标1.理解勾股定理的含义，掌握勾股定理的证明方法。
2.能够运用勾股定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，激发学生对古代数学文化的兴趣。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的证明方法。
2.难点：如何引导学生理解和证明勾股定理，并运用到实际问题中。
五. 教学方法1.讲授法：讲解勾股定理的定义、证明方法及应用。
2.启发式教学：引导学生通过观察、思考、讨论，自主探索勾股定理的证明方法。
3.案例教学：通过具体例子，让学生学会运用勾股定理解决实际问题。
4.小组合作：分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.课件：制作勾股定理的相关课件，包括勾股定理的定义、证明方法及应用实例。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.板书设计：设计板书，突出勾股定理的关键信息。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入古代中国数学家毕达哥拉斯的故事，激发学生对勾股定理的兴趣。
同时，让学生了解到勾股定理在数学发展史上的重要性。
2.呈现（10分钟）展示勾股定理的定义，引导学生理解直角三角形三边之间的关系。
然后，通过动画演示勾股定理的证明过程，让学生初步掌握勾股定理的证明方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个证明方法，用自己的语言描述证明过程。
八年级上册数学沪科版教材
八年级上册数学沪科版教材一、三角形。
1. 三角形的概念与分类。
- 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
- 按边分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等），其中等边三角形是特殊的等腰三角形（三边都相等）。
2. 三角形的性质。
- 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
- 三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
- 三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3. 三角形中的重要线段。
- 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。
- 角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
三角形的三条角平分线相交于一点。
- 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
二、全等三角形。
1. 全等三角形的概念与性质。
- 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
- 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2. 全等三角形的判定。
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
三、轴对称图形。
1. 轴对称与轴对称图形的概念。
- 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第19讲 勾股定理及两点间的距离公式(解析版)
本章节主要讲解两部分内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛．1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．勾股定理及两点间的距离公式知识结构模块一：勾股定理的证明及应用例题解析知识精讲内容分析【例1】 （1）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，则AB =_________； （2）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =3，则AC =_________．【答案】（1）2；（2）223．【解析】（1）由直角三角形性质推论即可得结论；（2）设x BC AC ==，则由勾股定理可得：2223=+x x ，解得：223=x ， ∴223=AC ． 【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的综合应用．【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【答案】（1）349；（2）15．【解析】（1）作出等边三角形的高，则可得高为323，则三角形的面积为349； （2）作底边上的高，由三线合一性质和勾股定理可得底边上的高为15 【总结】考察等腰三角形的三线合一和勾股定理的综合运用．【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________； （3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【答案】（1）5或7；（2）512；（3）215．【解析】（1）3和4可以是两直角边长，也可以是一个直角边和斜边； （2）由勾股定理可得：斜边长为5，则由等面积法可知：三角形斜边上的高为512543=⨯；（3）∵2、2、4不能构成三角形，所以三角形的三边长为4、4、2， 作等腰三角底边上的高，则由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可得：底边上的高为15，则由等面积法可知：此三角形腰上的高为2154152=⨯． 【总结】考察等腰三角形的性质和勾股定理的应用，注意分类讨论．【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N +1，N +2，N +3则N 的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【答案】（1）2；（2）24．【解析】（1）由题意有：()()()222321+=+++N N N ，解：2=N （负值舍去）；（2）可设直角三角形的三边长分别为N -2，N ，N +2 ∴()()22222+=+-N N N ，∴8=N∴三角形的周长为243=N【总结】考察勾股定理的应用．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长． 【答案】324+．【解析】∵∠ACB =90°，D 是斜边AB 的中点，∴AB AD CD BD 21===．∵∠B=60°，∴△BDC 是等边三角形，∴BC CD =．∵∠ACB =90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴4=AB ．∵AB AD CD BD 21===，∴2=CD ．∵∠ACB =90°，BC =2，4=AB ，∴322422=-=AC ，∴3243222+=++=++=AC CD AD C ADC △ 【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的运用．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【答案】17120．【解析】设9AC x AB x ==+，， ∵222CB AC AB +=，∴()222159+=+x x ，解得：8=x∴817AC AB ==，由等面积法可知：1712017158=÷⨯=÷⋅=AB BC AC CD ． 【总结】考察勾股定理和等面积法的应用．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【答案】52．【解析】∵斜边上的中线为2，所以斜边长为4．A BCDBC D∵直角三角形的周长为4+26，∴两直角边之和为26． ∵斜边长为4，则两直角边的平方和为16，∴设两直角边分别为x y ，，则有⎩⎨⎧=+=+261622y x y x ，解得：()()52222=+-+=y x y x xy ，∴直角三角形的面积为25． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意方法的运用．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路， 请你求出这条小路的长（结果保留根号）． 【答案】3100100+．【解析】根据垂线段最短，过C 作垂线的垂线段是最短的． 过C 作CD ⊥MN ，垂足为D ，过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ． 由题意可知：︒=∠30CAB ，︒=∠75CBM ，∴︒=∠45BCA ．在Rt △ABE 中，︒=∠30CAB ，400=AB ，∴20021==AB BE ．∴由勾股定理可得：3200=AE在Rt △CBE 中，︒=∠45BCA ，200=BE ，∴200=CE ∴2002200+=+=CE AE AC在Rt △ACD 中，︒=∠30CAB ，3200200+=AC ，∴3100100+=CD ．【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用．【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒? 【答案】24秒．【解析】过A 做AB ⊥MN ，垂足为B ．A BCM M ND ME M APQ MNB在Rt △ABP 中，∠QPN =30°，160=AP ，∴8021==AP AB∵80<100，所以学校会受到噪音的影响．假设在C 处开始受到噪音影响，在D 处开始不受影响， ∴100100==AD CA ，由勾股定理可得：60==BD CB∴受影响的路程为120米=0.12千米∴学校受影响的时间为秒2436001812.0=⨯．【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意对题意的分析．【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积． 【答案】10．【解析】∵AB DC ∥，ACF DCA ∠=∠，∴CAF ACF ∠=∠，∴FC AF = 设x FC AF ==，则x FB -=8∵222CF BF BC =+，∴()22284x x =-+，解得：5=x∴10452121=⨯⨯=⋅⋅=CB AF S AFC △ 【总结】考察翻折图形的性质和勾股定理的应用．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）． 【答案】10万元．【解析】延长AC 至点E ，使得CE =AC ，连接EB 交CD 于一点，，则此时铺设水管费用最低． 过E 作EF ∥CD ，交BD 延长线于F ∵四边形CEFD 是长方形，∴1==DF CEABCDEFABC D AB C D PEF∵34EF BF ==，，∴由勾股定理可得：5=BE 此时5==+=+BE BP EP PB AP ∴总费用为1025=⨯万元．【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．【例12】 如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 是BC 上的两点，且∠EAF =45°，求证：222+=BE CF EF ． 【答案】见解析【解析】过C 作CG ⊥BC ，使CG CE =，连接AG 、FG ．∵∠BAC =90°，AB =AC ， ∴45B BCA ∠=∠=．∵CG ⊥BC ， ∴45ACG BCA ∠=∠=， ∴ACG B ∠=∠． ∵AB =AC ，BE =CG ， ∴AEB AGC △≌△∴AE AG BAE CAG =∠=∠，． ∵︒=∠45EAF ， ∴︒=∠+∠45CAF BAE ，∴45CAF CAG ∠+∠=︒，即45FAG ∠=︒， ∴GAF EAF ∠=∠∵AF AF =，AE AG =， ∴AFG AFE △≌△， ∴EF GF =．在Rt CFG 中，由勾股定理，可得：222GF CG CF =+， 又EF GF =，CG CE =，∴222+=BE CF EF ．【总结】本题综合性较强，本质上是对三角形的旋转，同时结合了勾股定理进行解题．ABC EFG2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例13】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形 【答案】C【解析】A 答案中：C A B ∠=∠+∠，且C A B ∠-︒=∠+∠180，∴︒=∠90C ，所以是直角三角形；B 答案中：222c b a -=，∴222b c a =+，所以是直角三角形；C 答案中：x A x C x B 5,4,3=∠=∠=∠，∴︒=++180543x x x ，∴︒=15x ，∴︒=∠75C ， ∴不是直角三角形；D 答案中：设543a m b m c m ===，，，∵222c b a +=，所以是直角三角形． 【总结】考察判断直角三角形的方法．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形． 【答案】（1）直角三角形；（2）等腰三角形或直角三角形．【解析】（1）直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，三边也满足勾股定理，所以得到的三角形是直角三角形；（2）由题意有：b a =或222c b a =+，∴三角形为等腰三角形或直角三角形． 【总结】考察勾股定理的应用．【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．【答案】（1）24米；（2）15米．【解析】（1）由题意可知：折断的旗杆的部分长度为1512922=+，则旗杆长为9+15=24米；（2）由题意可得：可达到建筑物的高度为1581722=-． 【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．【例16】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++， 判断△ABC 的形状．【解析】∵222506810a b c a b c +++=++，∴()()()0543222=-+-+-c b a ，∴345a b c ===，，．∵222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形．【总结】考察完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的运用．【例17】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ． （1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【答案】（1）10=AE ；（2）15AE =．ABCDE E’【解析】（1）设25AE x BE x ==-，则，∴()222222152510ED x EC x =+=-+，，∵EC ED =，∴()2222102515+-=+x x ，∴10=x ，即10=AE ．（2）找出C 点关于AB 的对称点F ，联结DF 交AB 于点E '， 则此时的E '满足C 、D 两村到E 站的距离和最小， 设x BE x AE -==25，，∴()222222152510ED x EF x =+=-+，， ∵225252522=+=DF ，∴()2251025152222=+-++x x ，解得：15x =，∴15AE =【总结】考察勾股定理的应用，注意最小值的求法．【例18】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB的度数． 【答案】135°． 【解析】连接AC∵AB =BC =2，∠B =90°，∴222222=+=AC ，︒=∠45BAC ． ∵2213AC AD CD ===，，，∴222CD AC AD =+， ∴︒=∠90DAC ，∴︒=∠+∠=∠135BAC DAC DAB ． 【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．【例19】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值． 【答案】5：3． 【解析】连接ED ，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴ED AE = 设2==BC AB ，x ED AE ==，则x BE -=2∵222ED BD BE =+，∴()22212x x =+-，解得：45=x ． 则434522=-=-=x BE ， ABCD AB CD EF∴3:543:45:==BE AE ． 【总结】考察勾股定理和线段垂直平分线性质的综合运用．【例20】 如图，∆ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数．【答案】150°．【解析】在BC 的下方作︒=∠60PBD ，在BD 上截取一点D ，使得BD=BP ，连接CD 、PD∵︒=∠+∠60PBC ABP ，︒=∠+∠60PBC DBC ∴CBD ABP ∠=∠∵BC AB =，CBD ABP ∠=∠，BP BD = ∴CBD ABP ≌△△，∴3==AP CD∵︒=∠60PBD ，BP BD =，∴△BPD 为等边三角形，∴4==BP DP ． ∵435DP DC PC ===，，，∴222PC DC DP =+，∴︒=∠90PDC ∴︒=∠+∠=∠150PDC BDP BDC ∵CBD ABP ≌△△， ∴︒=∠=∠150BDC APB【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．【例21】 如图，P 是凸四边形内一点，过点P 作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，已知AH =3，DH =4，DG =1，GC =5，CF =6，BF =4，且BE -AE =1， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】34．【解析】由勾股定理可得：22222PE AE PH AH AP +=+=， 22222PF BF PE BE BP +=+=， 22222PG CG CF PF CP +=+=， 22222PH DH GP DG DP +=+=，等式相加后代入数据可得：2222222454163+++=+++AE BE ，ABCDEFGHPBAP CD整理得：2211BE AE -=，即()()11BE AE BE AE +-=，∵BE -AE =1， 解得：65BE AE ==，． 所以周长为：3415646534+++++++=． 【总结】考察勾股定理的应用，注意解题方法的合理选择．【例22】 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ． 求证：（1）c h a b +>+；（2）以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【解析】（1）由等面积可知：ch ab =，∵222c b a =+，∴()ch c b ab a b a 222222+=++=+，()ch h c h c 2222++=+． ∵ch h c ch c 22222++<+，∴()()22h c b a +<+，∴c h a b +>+．（2）∵()ch h c h c 2222++=+；()ab b a h b a h 222222+++=++，222c b a =+，ch ab = ∴()()222b a h h c ++=+，∴以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【总结】考察勾股定理及其逆定理的应用、等面积法的综合应用．3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -；（2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．例题解析模块三：两点间的距离公式知识精讲AB CD【例23】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ． 【答案】（1）10；（2）()30C ，． 【解析】（1）()()10125222=-+-=AB ；（2）设()0C x ，， ∵AC =BC ，∴()()22221522+-=+-x x ，3=x ，∴()30C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例24】 （1）已知A （x ，3）、B （3，x +1）之间的距离为5，则x 的值是_________；（2）已知点P 在第二、四象限的平分线上，且到Q （2，-3）的距离为5，则点P 的坐标为_________．【答案】（1）16-=或x ；（2）()66P -，或()11P -，． 【解析】（1）由题意有：()()513322=--+-x x ，∴16-=或x ；（2）设()a a P -，，∴()()53222=+-+-a a ，∴16-=或a ，∴()66P -，或()11P -，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例25】 （1）以点A （1，2）、B （-2，-1），C （4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A （0，3）、B （0，-1），△ABC 是等边三角形，则点C 的坐标是_______．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）()1C 或()1C -．【解析】（1）∵233322=+=AB ，60622=+=BC ，233322=+=AC ，∴222BC AC AB =+，AC AB =， ∴该三角形为等腰直角三角形； （2）()C a b ，，（3）∵4=AB ，∴()4322=-+=b a AC ，()4122=++=b a BC ，解得：a =±，1b =，∴()1C 或()1C -． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例26】 已知直角坐标平面内的点A （4，1）、B （6，3），在坐标轴上求点P ，使P A =PB ． 【答案】()70P ，或()07P ，． 【解析】①当点P 在x 轴上时，设()0P x ，，∵P A =PB ，∴()()22223614+-=+-x x ，7=x ，∴()70P ，②当点P 在y 轴上时， 设()0P y ，，∵P A =PB ，∴()()22226341+-=+-y y ，7=y ，∴()07P ，∴满足条件的P 点的坐标为()70P ，或()07P ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，由于点P 在坐标轴上，注意分类讨论．【例27】 已知直角坐标平面内的点P （4，m ），且点P 到点A （-2，3）、B （-1，-2）的距离相等，求点P 的坐标．【答案】845P ⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】由题意可知：()()22225263++=+-m m ，解得：58=m ，∴845P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例28】 已知点A （2，3）B （4，5），在x 轴上是否存在点P ，使得PA PB +的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，最小值为172．【解析】找出A （2，3）关于x 轴对称的点为()23C -，，连接BC ，则PA PB +的值最小值为1728222=+=BC ． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例29】 已知直角坐标平面内的点A （4，32）、B （6，3），在x 轴上求一点C ，使得 △ABC 是等腰三角形．【答案】10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【解析】设()0C x ，， 当CA =CB 时，∴()()222236234+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ，16107=x ，∴10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当CA =AB 时，∴()2222223234+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ，62或=x ，∴()60C ，或()20C ，； 当CB =AB 时，∴()222222336+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-x ，方程无解，所以不存在．综上，满足条件的点C 的坐标为：10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，注意分类讨论．【例30】 已知点A （4，0）、B （2，-1），点C 的坐标是（x ，2-x ），若△ABC 是等腰三角形，求C 的坐标．【答案】7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或662622C ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222C ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或()11C -，或()42C -，． 【解析】由两点间距离公式，可得：22(42)15AB =-+=，22(4)(2)AC x x =-+-，22(12)(2)BC x x =---+-．当CA =CB 时，即()()()()222221224x x x x +--+-=-+-，解得：27=x ，∴7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当CA =AB 时，即()()22221224+=-+-x x ，解得：266266-+=或x ，∴662622C ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222C ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，；当CB =AB 时，即()()222221212+=+--+-x x ，解得：14x x ==或，所以()11C -，或()42C -，． 综上，满足条件的C 点的坐标为：7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，或662622⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 或()11-，或()42-，． 【总结】本题主要考察两点之间距离公式及勾股定理的应用，由于题目中并没有说明斜边是哪条边，因此要分类讨论．随堂检测【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A ． 2、4、8B ．4、8、10C ．6、8、10D ．8、10、12【答案】C【解析】只有C 答案满足勾股定理逆定理． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【答案】D【解析】∵587322=+=AB ，51222=+=BC ，616522=+=AC ，∴222BC AC AB ≠+，∴该三角形不是直角三角形，也不是等腰三角形． 【总结】考察两点之间的距离公式的应用．【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________． 【答案】（1）2，22或22，；（2）13或119．【解析】两题目中的边长可能为两直角边或一条直角边和一条斜边． 【总结】考察勾股定理的应用．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长． 【答案】3=CE ．【解析】由翻折性质，可知：10==AF AD ，∴622=-=AB AF BF ，∴4610=-=-=BF BC CF ． 设x DE EF x EC -===8，∵222EF CF CE =+，∴()22284x x -=+，解得：3=x ．∴3=CE ．A BCDEF【总结】考察勾股定理的应用．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积．【答案】2333．【解析】联结AC ，过C 作CE ⊥AD∵AB ⊥BC ，AB = 9，BC =12，∴15=AC ．∵CD =15，15=AC ，152，∴222CD AC AD +=， ∴ACD 为直角三角形．∴1122ABC ADC ABCD S S S AB BC AD EC =+=⋅⋅+⋅⋅△△四边形111523339121522222=⨯⨯+⨯⨯=． 【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC的面积． 【答案】6．【解析】延长AD 至E ，使得DF=AD ，联结CE∵CD BD =，CDE ADB ∠=∠，DF=AD ， ∴CDE ABD ≌△△，∴5==CE AB∵345AC AE CE ===，，，∴222CE AE AC =+， ∴︒=∠90DAC ，∴321=⋅⋅=AC AD S ADC △． ∵CD BD =，∴62==ADC ABC S S △△．【总结】考察勾股定理逆定理的应用和等底同高的面积相等的应用．AB CDABDCE【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【答案】直角三角形．【解析】由题意可知：()[]()024222=+-+-ab c b a ，∴222c b a =+，∴这个三角形为直角三角形． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ． 【答案】20=PM ．【解析】设x MQ x PM -==27，，∵MB MA =，∴()2222242715+-=+x x ，解得：20=x ， ∴20=PM ．【总结】考察勾股定理的应用及对最小值的应用．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．【答案】()066C +，或()066C -，或1902C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1304C ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【解析】设()0C y ，，则24(8)AC y =+-，21(4)BC y =+-，22345AB =+=．当222AB BC AC =+时，则()()222222431428+=+-++-y y ， 解得：6666y y =+=-或，∴()066C +，或()066C -，； 当222BC AB AC =+时，则()()222222144328+-=+++-y y ，解得：219=y ， ∴1902C ⎛⎫⎪⎝⎭，；当222AC AB BC =+时，则()()222222284314+-=+++-y y ，解得：413=y ， ∴1304C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．∴综上所述，满足条件的C 点的坐标为：()066C +，或()066C -，或1902C ⎛⎫⎪⎝⎭，或 1304C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】考察两点之间的距离公式的运用，注意分类讨论．ABQPM【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==，，是ABC ∆内一点，且312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【答案】135°．【解析】在过点C 作CD ⊥CM 于点C ，在CD 上截取一点D ，使得CD=CM ，连接BD∵︒=∠+∠90DCA ACM ，︒=∠+∠90BCM ACM ∴BCM DCA ∠=∠∵BC AC =，BCM DCA ∠=∠，CM CD = ∴BCM ACD ≌△△， ∴1==AD BM∵︒=∠90MCD ，CM CD =， ∴22=DM ，︒=∠45CDM ∵1223DA DM AM ===，，， ∴222AM DM DA =+， ∴︒=∠90ADM∴︒=∠+∠=∠135CDM ADM ADC ∵BCM ACD ≌△△， ∴︒=∠=∠135ADC BMC【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．ABCMD【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【解析】方法一：如图，△CDE ≌△ADE ，且B 、C 、D 在一条直线上，联结AE∵△CDE ≌△ADE ，∴CED ACB ∠=∠∵︒=∠+∠90CED ECD ，∴︒=∠+∠90CED ACB ，∴︒=∠90ACE∴梯形ABDE 的面积为()()22121221c ab b a b a +⨯=++整理得：222a b c +=，即得证．方法二、如图，由四个△ABC 拼成以下图形， 则四边形BCEG 和四边形ADFH 都为正方形∵四边形BCEG 的面积为2c ，∴四边形ADFH 的面积为()22214b a c ab +=+⨯，整理得：222a b c +=，即得证．【总结】本题主要考查学生对勾股定理的理解及通过几何说理方法说明定理的正确性．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】（1）（2）正确，（3）错误，分锐角三角形和钝角三角形两种情况．故选C ． 【总结】考察三角形全等的判定．【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______． 【答案】22．【解析】根据勾股定理得A 的面积等于另外两正方形面积之差． 【总结】考察勾股定理的应用．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________． 【答案】2．【解析】222=1+1=2AB BC AC ++． 【总结】考察勾股定理的应用．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________． 【答案】()()33313B B ---，或，． 【解析】设()3B m -，，∵BA =10，∴()106522=++m ，解得：133-=或m ，∴()()33313B B ---，或，． 【总结】考察两点之间的距离公式的应用．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，点C与点E 重合，已知AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.课后作业5072A【答案】23=CD ． 【解析】由翻折性质，可得：3==AE AC ，∴2=BE ．设4CD DE x DB x ===-，则，∵222BD BE DE =+，∴()22242x x -=+，解得：23=x ，∴23=CD ． 【总结】考察翻折性质及勾股定理的综合应用．【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是____________．【答案】直角三角形．【解析】∵12=++AC BC AB ，22AB BC AC AB BC +=-=，， 联立方程，解得：534AB BC AC ===，，． ∵222CB AC AB +=，∴ABC ∆为直角三角形． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D两点的距离为_______. 【答案】13-=AD 或13+．【解析】∵CD BD AC AB ==，，∴DA 垂直平分BC ．设DA 交BC 于E ，∵等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，∴1=AE∵DBC ∆为等边三角形，∴根据勾股定理和直角三角形的性质可得：3=DE 当A 点在DBC ∆内部时，13-=AD ； 当A 点在DBC ∆外部时，13+=AD ．【总结】考察勾股定理和直角三角形的性质的综合运用，注意分类讨论．【作业8】 已知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________. 【答案】63．【解析】设AC 与PQ 相交于D由题意可得：︒=∠30BAO ，︒=∠30PAD ，1==AB AP ∵︒=∠90P ，︒=∠30PAD ，∴设2PD x AD x ==，ABCQPD∴()2221x x =+，解得：33=x ． ∴6321=⋅⋅=PD AP S APD △． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的综合运用．【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状. 【答案】直角三角形．【解析】P 点的运动路程为10厘米，则此时P 与D 重合；Q 点的运动路程为14厘米，此时BQ =4厘米． ∵534===BP PQ BQ ，，∴△BPQ 为直角三角形，且︒=∠90BQP ，即︒=∠90AQP ． ∴APQ ∆的形状为直角三角形．【总结】考察动点背景下勾股定理逆定理的运用，注意对动点运动路线的判断．【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状. 解：222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B ) 222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.【答案】（1）C ；（2）两边同时除一个不为零的数，等式成立．（3）直角三角形或者等 腰三角形．【解析】C 步骤应该为：222220c a b a b =+-=或， 所以应为直角三角形或者等腰三角形．ABCDQP【总结】考察因式分解和勾股定理的综合应用．【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【答案】满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米． 【解析】设其中的一段长为x cm ，则另一段长为()cm x -70∴()2225070=-+x x ，解得：4030或=x ．∴满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米． 【总结】考察勾股定理的应用，注意两个点的考虑．【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标. 【答案】()05P ，或()01P -，或302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或2302P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()50P ，或()10P -，或2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【解析】当点P 在y 轴上时，设()0P y ，， 当222AB BP AP =+，∴()22222246541+=+-++y y ，解得：15-=或y ， ∴()05P ，或()01P -，； 当222BP AB AP =+，∴()22222254461+-=+++y y ，解得：23-=y ，∴302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当222AP AB BP =+，∴()22222214654+=+++-y y ，解得：223=y ，∴2302P ⎛⎫⎪⎝⎭，；当点P 在x 轴上时，设()0P x ，， 当222AB BP AP =+，∴()()222222464501+=+-+++x x ，解得：15-=或x ， ∴()50P ，或()10P -， 当222BP AB AP =+，∴()()222222454601+-=++++x x ，解得：1-=x ，∴()10P -，当222AP AB BP =+，∴()()222222014645++=+++-x x ，解得：323=x ，∴2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 综上所述：满足条件的点P 的坐标为：()05P ，或()01P -，或302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或2302P ⎛⎫⎪⎝⎭，或 ()50P ，或()10P -，或2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【总结】考察勾股定理的运用和两点之间的距离公式的综合应用，本题综合性较强，要进行多角度的分类讨论．。
沪教版数学八年级上册19.3《勾股定理》教学设计
沪教版数学八年级上册19.3《勾股定理》教学设计一. 教材分析勾股定理是数学中的重要定理之一，对于八年级学生来说，是学习几何的重要基础。
沪教版数学八年级上册19.3《勾股定理》一课，通过介绍勾股定理的来历、证明及应用，使学生了解并掌握这一定理。
教材内容主要包括：勾股定理的定义，勾股定理的证明，勾股定理的应用以及勾股定理在实际问题中的应用。
二. 学情分析学生在学习本课之前，已经掌握了相似三角形的性质、三角形面积计算等知识，但对于勾股定理的理解和应用还需进一步引导。
学生应具备观察、分析、推理的能力，能够运用勾股定理解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解勾股定理的来历、证明及应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现并证明勾股定理。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学规律的热情。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握勾股定理的定义、证明及应用。
2.难点：引导学生理解并证明勾股定理。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考、探究，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
3.小组合作学习：鼓励学生之间相互讨论、交流，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作含有丰富图片、动画和例题的教学PPT。
2.教学素材：准备一些与勾股定理相关的实际问题作为教学素材。
3.板书设计：提前准备好勾股定理的板书设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、房屋建筑等，引导学生观察并思考这些三角形中是否存在某种特殊的关系。
2.呈现（10分钟）介绍勾股定理的来历，如古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，引导学生了解勾股定理的历史背景。
3.操练（10分钟）引导学生通过观察、分析、推理等方法，发现并证明勾股定理。
可以分组讨论，每组选取一个实例进行证明。
沪教版上海初二(上册)数学知识点总结
《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o等 二、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意:a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三、二次根式计算1、含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2、性质：（1）)0()(2≥=a a a)0(≥a a（2）==a a 2)0(<-a a（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab （)0,0(≥≥=•b a ab b a ）（4）)0,0(>≥=b a bab a （)0,0(>≥=b a baba ） 3、化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。
2024年秋学期沪科版初中数学八年级上册教学计划教学进度表
2024年秋学期沪科版初中数学八年级上册教学计划和教学进度表一、学情分析本学期由我担任八年级（1）班初中数学教育教学工作。
本班共47人，其中男生23人，女生24人。
学生能联系生活经验，具备了一些数学基础知识，掌握了一些常用的研究方法，学习热情高，好奇心强。
但大多数学生还是以形象思维为主，感性认识较匮乏，抽象思维能力较弱。
对疑难问题突破缺方法、掌握不扎实，探究、扩展、创新能力有待改善和提高。
个别学生自制能力和学习能力偏弱。
在本学期教育教学工作中要注重以一些感性认识为依托，借助实验、生活情境、学生操作、类比迁移等方法深化认知，提升思维的广度和深度。
注重对难点精讲多练，搭建完整的知识体系。
二、教学内容与教材分析本册教学内容包括：平面直角坐标系，一次函数，三角形中的边角关系、命题与证明，全等三角形，轴对称图形与等腰三角形，总复习，共6章。
平面直角坐标系单元要求通过引导学生观察现实生活中的平移现象，自觉地加以数学分析，从而探索出有关画图的操作技巧，探索出图形之间在平面直角坐标系中的平移关系，感受图形上的点的坐标变化与图形的变化之间的关系，建立数形结合的思想。
一次函数单元要求掌握一次函数的定义，一次函数的三种表示方法，一次函数及其图像，正比例函数图像及其性质，一次函数的图像与性质，会求一次函数的表达式，能应用一次函数，掌握一次函数与二元一次方程组的关系，会利用一次函数解二元一次方程组，在综合与实践：一次函数模型的应用活动中深化认知，培养应用意识和能力。
三角形中的边角关系、命题与证明单元要求学生能够掌握比较全面的三角形基本概念及边角关系，感受几何语言的逻辑性和严谨性，同时也为后面全等三角形、四边形、相似形等3内容的学习奠定基础。
因此，本章的重点是三角形的边角关系，及区分一个命题的题设和结论，综合法证明一个几何命题的方法和步骤。
全等三角形单元要求掌握全等三角形的概念、表示方法及性质，掌握SAS、ASA、SSS、AAS、HL，会灵活应用。
2020最新沪教版八年级数学上册电子课本课件【全册】
第一节 二次根式的概念和性质
2020最新沪教版八年级数学上册电 子课本课件【全册】
2020最新沪教版八年级数学上册 电子课本课件【全册】目录
0002页 0020页 0046页 0061页 0086页 0112页 0123页 0127页 0141页 0177页 0179页 0199页 0248页 0250页 0275页 0277页 0306页
第十六章 二次根式 16．1 二次根式 第二节 二次根式的运算 本章小结 第十七章 一元二次方程 17．1 一元二次方程的概念 17．2 一元二次方程的解法 第三节 一元二次方程的应用 本章小结 探究活动 数字世界一个“平方和”等式宝塔的构建 第一节 正比例函数 18．2 正比例函数 18．3 反比例函数 18．4 函数的表示法 探究活动 生活中的函数 第一节 几何证明 19．2 证明举例
八年级上沪教版数学欧拉
八年级上沪教版数学欧拉
（原创实用版）
目录
1.欧拉公式
2.欧拉公式的应用
3.欧拉公式的推广
正文
在八年级上沪教版数学中，欧拉公式是一个重要的内容。
欧拉公式，也叫做欧拉 - 费马定理，是数论中的一个基本定理。
欧拉公式的内容是：如果 a^n + b^n = c^n，那么这个等式就没有正整数解。
欧拉公式在数学中有广泛的应用。
它可以用来解决许多数论问题，例如判断一个整数是否为素数。
此外，欧拉公式还可以用来求解一些代数问题，例如求解一些多项式的值。
除了基本的欧拉公式，还有一些欧拉公式的推广。
例如，欧拉 - 费马定理的推广，即如果 a^n + b^n = c^n，那么这个等式最多只有有限个正整数解。
这个推广的定理在数论中有着广泛的应用，是许多数论问题的基础。
总的来说，欧拉公式是八年级上沪教版数学中的一个重要内容。
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沪教版寒假作业八年级数学答案_沪教版八年级上
册数学
第22~24页一、810076
二、不懂三、(1)Y=10X+30(2)是，因为它是一条不经过原点的直线
五、A1(4，0)E1(1,0)B1(4,3)D1(1,3)
第25~27页一、(-3，2)(-3，-2)(3，-2)二、26三、ADBDB
四、因为∠ABD>∠CBD,∠ADB>∠CDB，所以AB+AD>BC+CD五、1、AD=AB+BD=AC+CD=AB+BC+CD2、AB=AD-BD=AC-BC=AD-BC-CD3、
BC+CD=AD-AB4、BD-CD=BC
课外拓展
1、(1)1、
2、
3、
4、5(2)Y=n(3)100
第28~30页一、1、62、8
二、=-x+5+4x+5x-4+2x^2=x^2+9x-1三、BDCDDB
四、解：BE=DE=1.7cm
课外拓展2、3分=180秒他们相遇5次
第31~33页一、1、误差<1mX约等于6误差<0.1mX约等于5.32、(2)2×3-1×2×0.5×2-1×3×0.5=6-2-1.5=2.5二、CD三、2、4
四、证明：因为OP是∠AOD和∠BOC的平分线所以
∠AOP=∠DOP,∠BOP=∠COP
即∠AOD-∠BOP=∠DOP-∠COP所以∠AOB=∠COD在三角形AOB和三角形COD中
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD所以三角形AOB全等于三角形COD所以AB=CD
课外拓展1、(2)S=2×16×2=642、(1)4种(2)20种
第34~36页一、CDBB二、略三、1、22、5。