全等三角形辅助线之倍长中线法

全等三角形辅助线之倍
长中线法
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全等三角形辅助线之倍长中线法
倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．
当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：
与倍长中线法类似的辅助线作法
M A
B
C
D
E
MD E MD=DE CE BDM CDE BM CE
∆≅∆延长至，使，连接可证，AD ABC ∆为的中线
D
C B
A
E
AD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似；　
当连接、，则为平行四边形
AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CD
ADC EDB(SAS)AC BE
∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中
，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线
D C
B A
E
举例：
如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中
D C
B A
E
AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CD
ADC EDB(SAS)
AB-BE AE AB+BE AE <AD<∆∆∠∠∆≅∆<<<<延长至使，连接在和中
，，故即２８１４
FE G FE=GE EGC ()
EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F E
D
C
B
A G
如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF=∠EAF．
F E
D
C
B
A 321
M
A B
C
D E
F
1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．
（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．
（3）求证：AB+AC >2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求证：AB=AC．
3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．
求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．
4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE
的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．
5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB
于点G ，BG =CF ．
求证：AD 为△ABC 的角平分线．
6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是
CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =，AE =BE =5，求CE 的长．
G
F
E D
B A
E D C
B A
F E
D
B
A
G
F
E D
B A
G
D
A
F
E D
C
B A
7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且
EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．
【参考答案】
课前预习
1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；
直角，HL
（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图
∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO
在△AOC 和△BOD 中
AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B
在△AOC 和△BOD 中
A B AO BO
AOC BOD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AOC ≌△BOD （ASA ） 典型题型 1. 解：（1）如图，
（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD
21B
C D
A
在△BDE 和△CDA 中
12BD CD ED AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD
在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，
AB BE <AE <AB +BE
由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5
3<AE <5+3
∴2<2AD <8 ∴1<AD <4
2. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE
在△ADC 和△EDB 中
CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC
2
1E
D
C
B
A
∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC
3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF
∴CF =2CD
∵CD 是△ABC 的中线
∴BD =AD
在△BDF 和△ADC 中
BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中
CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD
CB 平分∠DCE
4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM
∵D 是BC 边的中点
∴BD =CD
在△ADC 和△MDB 中
CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF
5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM
∵点E 是BC 的中点
∴BE =CE
在△CFE 和△BME 中
3
21
A
F
G 321M
A
B
C
D
E
F
FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF
∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3
即AD 为△ABC 的角平分线
6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G
∵AD ∥BC ∴∠3=∠G
∵点F 是CD 的中点
∴DF =CF
在△ADF 和△GCF 中
3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△GCF （AAS ）
∴AD =CG ∵AD =
∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG CG
=5 =
7. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M
由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°
∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG
在△FGE 和△DGM 中
1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG
∵△FEB 是等腰直角三角形
M
2
134
G
F
D
A
在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC
∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG
∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG
三角形全等之倍长中线（实战演练）
1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________． 思路分析：
①画出草图，标注条件：
②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；
③倍长之后证全等：__________≌___________（ ），证全等转移边：______=_______； ④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．
2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，
BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少
G F
E
A
D B
C
【参考答案】
1. 3<AB <13
①图略
②中线AD 倍长中线 延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略
2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，
平行夹中点；
AG =BH ，GE =HE ；
到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE
在△AGE 和△BHE 中，
AEG BEH AE BE
GAE HBE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3
三角形全等之倍长中线（作业）
例题示范
例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，
DF =AC ．
求证：AE 平分∠BAC ．
【思路分析】
读题标注：
见中线，要倍长，倍长之后证全等．
结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：
（这个过程需要考虑倍长之后具体要
连接哪两个点）
倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】
证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．
在△DEF 和△CEG 中，
ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE
A D C
E
F
A B D
C
E F
？？G
G
？
？F
E
C
D
B
A ？？F
E C
D B A A B D
C
E F
？？G
∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC
巩固练习
1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．
2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．
求证：AB =EF ．
3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直
角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°． 求证：EF =2AD ．
4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，
交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．
5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD
D C
B
A
F E D
C
B
A
F
E
B A
G F
E
D C
B
A
D
A
的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．
思考小结
1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．
求证：AB =AC ．
比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：
如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中
BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：
如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2
在△BDE 和△CDA 中
2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC
2
1E
C
D
B A 2
1E
C
D
B A D
B
A
相同点：
两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：
倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等． 2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等
于斜边的一半．请你尝试进行证明．
已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 1
2
AB ．
【参考答案】
巩固练习 1. 2
2. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）
3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）
4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）
5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） 思考小结 1. 倍长中线 SAS AAS
角
2. 证明略
D
C
B A。