全等三角形辅助线之倍长中线法

全等三角形辅助线之倍

长中线法

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全等三角形辅助线之倍长中线法

倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．

当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：

与倍长中线法类似的辅助线作法

M A

B

C

D

E

MD E MD=DE CE BDM CDE BM CE

∆≅∆延长至，使，连接可证，AD ABC ∆为的中线

D

C B

A

E

AD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似；　

当连接、，则为平行四边形

AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CD

ADC EDB(SAS)AC BE

∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中

，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线

D C

B A

E

举例：

如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中

D C

B A

E

AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CD

ADC EDB(SAS)

AB-BE AE AB+BE AE

，，故即２８１４

FE G FE=GE EGC ()

EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F E

D

C

B

A G

如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF=∠EAF．

F E

D

C

B

A 321

M

A B

C

D E

F

1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．

（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．

（3）求证：AB+AC >2AD．

（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：AB=AC．

3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．

求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．

4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE

的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．

5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB

于点G ，BG =CF ．

求证：AD 为△ABC 的角平分线．

6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是

CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =，AE =BE =5，求CE 的长．

G

F

E D

B A

E D C

B A

F E

D

B

A

G

F

E D

B A

G

D

A

F

E D

C

B A

7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且

EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．

【参考答案】

课前预习

1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；

直角，HL

（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图

∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO

在△AOC 和△BOD 中

AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B

在△AOC 和△BOD 中

A B AO BO

AOC BOD ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

∴△AOC ≌△BOD （ASA ） 典型题型 1. 解：（1）如图，

（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD

21B

C D

A

在△BDE 和△CDA 中

12BD CD ED AD =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD

在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，

AB BE

由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5

3

∴2<2AD <8 ∴1

2. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE

在△ADC 和△EDB 中

CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC

2

1E

D

C

B

A