北京四中2021~2021学年度九年级上期中考试数学试卷
北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析
北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析北京四中2020-2021学年度初三上学期期中数学试卷及参考答案一、选择题：本大题共10个小题,每小题2分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A ．6，7，8B ．2，3，4C ．3，4，6D ．6，8，10 2.下列各式中，运算正确的是（）A B ．3= C ．2+= D 2=-3.如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，点D 为AB 的中点，若2AC =，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．54.右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）A ．区域①处B ．区域②处C ．区域③处D ．区域④处 5.用配方法解方程2410x x --=，方程应变形为（）A ．()223x += B ．()225x += C ．()223x -= D ．()225x -= 6.下列条件中，不能．．判定一个四边形是菱形的是（）A ．一组邻边相等的平行四边形B ．一条对角线平分一组对角的四边形 C ．四条边都相等的四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形7.若a ，b ，c 满足0,0,a b c a b c ++=??-+=?则关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的解是（）A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无实数根8.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数.得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如下信息：则下列选项正确的是（） A ．可能会有学生投中了8个B ．五个数据之和的最大值可能为30C ．五个数据之和的最小值可能为20D ．平均数m 一定满足4.2 5.8m ≤≤之间9.如图1，将矩形ABCD 和正方形EFGH 的分别沿对角线AC 和EG 剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN ，中间空白部分的四边形KRST 是正方形.如果正方形EFGH 与正方形KRST 的面积分别是16和1，则矩形ABCD 的面积为（）A ．15B ．16C ．17D ．2510.如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D .设AE x =，矩形ECFG 的面积为y ，则y 与x 之间的关系描述正确的是（）A ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先增大再减小B ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先减小再增大C ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 一直保持不变D ．y 与x 之间不是函数关系二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.计算：已知x =y =xy = ．12.有意义的x 的取值范围是．13.如图，在平行四边形ABCD 中，2ED =，5BC =，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则CD 的长为．14.写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2，此方程可以是．15.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。
北京四中初三数学期中试题 (含答案)
初三数学试卷班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________ 考生须知1．本试卷共8页，共26道题，满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。
3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。
一、选择题（每题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22-的最小值是 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．2521y x =-+（） B ．25+21y x =+（） C ．2521y x =--（） D ．25+21y x =-（） 4. 如图， AB 为⊙O 的弦， 点C 为AB 的中点，AB =8，OC =3， 则⊙O 的半径长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数y=-(x -2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＜y 3＜y 2C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 1 6．如图，⊙O 中直径AB ⊥DG 于点C ，点D 是弧EB 的中点，CD 与BE 交于点F ．下列结论①∠A =∠E ，②∠ADB =90°，③FB=FD 中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3AB CO第2题图第4题图第6题图7．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x… 2- 1-0 1 23 … y…4-2 24-…下列结论：①抛物线开口向下； ②当−1<x <2时，y >0；③抛物线的对称轴是直线12x =； ④函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大值为2. 其中所有正确的结论为( )A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．①②③④ 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 0) (3，为圆心作⊙P ， ⊙P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C 2) (0，，Q 为⊙P 上 不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作 PE ⊥QA 于E ，PF ⊥QB 于F ．设点Q 的横坐标为x ，y PF PE =+22．当Q 点在⊙P 上顺时针从点A 运动到点B的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分．．图象是（ ）A. B.C.D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若抛物线26y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 .10．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB =140°， 那么∠ACB 的度数为 .11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y =x 2+bx +c(a ≠0)上的两个点， 则b = ．第8题图BCAO第10题图12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m ．13．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上， 过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 14. 已知关于x 的二次函数42++=bx ax y 的图象如右图所示，则关于x 的方程02=+bx ax 的根为_____________. 15.元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为（2，0），点D 在⊙A 上，且∠ODB ＝30°，求⊙A 的半径. 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.解：如图2，连接BC. ∵∠BOC ＝90°，∴BC 是⊙A 的直径． （依据是___________________________________________）431254312OxyC BA 第13题图图1图2第12题图yx41-4O第14题图图2图1第15题图∵∠ODB ＝30°，∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°．（依据是_________________________________________）∴BC OB 21=．∵OB=2,∴BC ＝4．即⊙A 的半径为2．16．抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ⊥abc ＜0； ⊥20a b +=； ⊥4a −2b +c >0； ⊥若，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是 .三、解答题 (本题共68分,第17题每小题5分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分) 17. 解关于x 的方程.（1）0232=++x x ； （2）01222=--x x .18. 已知抛物线的顶点为（-2,2），且过坐标原点，求抛物线的解析式.19.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA .若AB = 4，CD =1，求⊙O 半径的长.0m n >>C D OAB第16题图20. 已知抛物线y=-x 2+2x +3，回答下列问题： (1)画出该函数图象(要求列表、2B 铅笔画图)；(2)当−3<x <3时，y 的取值范围是__________．21. 如图，⊥ABC 中AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE AC 于点E . 求证：（1）BD=DC ;（2）DE 是⊙O 的切线.22. 学生会要组织“四中杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？x … ... y …...23.在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数22||y x x =-的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数22||y x x =-的自变量x 的取值范围是________． （2）化简：当x >0时函数y =_________，当x <0时函数y =________.（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点， 画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+232y mx mx m =-+. （1） 求抛物线的对称轴；（2） 过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .求点M ，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内(不包括边界)恰有3个整点，求m 的取值范围．25. （1）已知等边三角形ABC ，请作出△ABC 的外接圆⊙O .在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC .①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.（2）已知⊙O ，请作出⊙O 的内接等腰直角三角形ABC ，∠C =90°.在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC.①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.26.在平面直角坐标系xOy 中，对于△ABC ，点P 在BC 边的垂直C ABO平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”.右图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”已知点P（0, 4），Q（a, 0）（1）如图1，a=4，在点A（1, 0）、B( 2, 2)、C( 2√3, 2√3) 、D( 5, 5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为.（2）如图2，a=4√3，①已知D(0 , 8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围;②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y=−√3x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围.图1图2初三期中测试数学学科参考答案：一、选择题1、D2、B3、A4、B5、B6、D7、A8、A 二、填空题9、9 10、110 11、-6 12、2 13、（2，1） 14、-3，0 15、90º的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等。
北京二一四中2021-2021学年上学期九年级数学期中考试试题
D E 试卷说明： 1．本试卷共 6 页，共五道大题，29 小题；2．本次考试卷面分值 120 分，考试时间为 120 分钟；度第一学期期中考试九年级数学试卷一、选择题（共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）1．已知3x = 4y , 则 x + y 的值为( )x - yA. 1B. 7 7C. 7D. 43 72．如图，点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 A′B′C′D′E′， A ′E ′ OA =10 ， OA ′=20 ，则 五边形 ABCDE 的 面积 与 五 边 形 A′B′C′D′E′的面积的比值是( ) O AE B ′B D ′C D C ′A ．2：1B ．1：2C ． 4：1D ．1：43．如图，D 是△ABC 的边 AC 上的一点，则下列条件中不能判定 A△ABC ∽△ADE 的是 ( ) A ． ∠ADE=∠B B ． AE = AD A C A BB CC ． ∠AED=∠CD ． AE = DEAC BC4．如图, A 、B 两地被池塘隔开, 小明通过下列方法测出了 A 、B 间 的距离: 先在 AB 外选一点 C , 然后测出 AC 、BC 的中点 M 、N , 并测量出 MN 的长为 12m, 由此他就知道了 A 、B 间的距离. 有关他这次探究活动的描述错误的是( ) C N BA. CM : MA = 1 : 2B. MN ∥ABC. △CMN ∽△CABD. AB =24m5.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 （ ）（第 5 题） A ． B ． C ． D ．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解A M班级姓名O y O x y O x y O xyO x析式可能为（ ）A ． y =- 1 x 2 2B ． y = - 1 (x +1)22C ． y = - 1 (x +1)2 -1 2D ． y = - 1(x -1)2-127．把二次函数 y = 3x 2 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）.A ． y = 3(x + 2)2 +1 B. y = 3(x + 2)2 -1 C. y = 3(x - 2)2 -1 D. y = 3(x - 2)2 +18. 在同一直角坐标系中，一次函数 y =ax +c 和二次函数 y =ax 2+c 的图象大致为（ ）.A. B. C. D.9．二次函数 y = ax 2 + bx + c ，其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 ……y …… 4 1 0 1 4 ……已知点 A （ x 1 ， y 1 ）、B （ x 2 ， y 2 ）在函数的图象上，若1 < x 1 < 2, 3 < x 2 < 4 时，则 y 1 与 y 2 的大小关系正确的是（ ）A ． y 1 > y 2 B. y 1 ≤ y 2 C. y 1 ≥ y 2 D. y 1 < y 2 AD10．如图，正方形 ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线 AC ，BD 相交于点 O ， 点 E ，F 分别从 B ，C 两点同时出发，以 1cm/s 的速度沿 BC ，CD 运动，到点 C ，D 时停止运动．设运动时间为 t (s)，△OEF 的面积为 S (cm 2)，则 S (cm 2)与 t (s)的函数关系可用图象表示为（ ）FB E CA B C D二．填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）11．利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，小雪的身高是 1.6m ，他在阳光下的影长是 2.4m ， 在同一时刻测得某棵树的影长为 15m ， 则这棵树的高度约为m ．12．已知二次函数 y = (k - 3)x 2 + 2x +1的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围 . 13 如图，ABCD 中， E 为线段 AD 上一点，AE =4 ED ，CE 、BD 交于点 F ，若 DF =4cm ，则 BF 的长为 cm14. 已知点 P （-1，m ）在二次函数 y = x 2 -1的图象上，则 m 的值为 ；平移此二次函数的图象，使点 P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 .15. 在△ABC 中, AB =6, AC =4, E 是 AB 上一点, AE =2, 在 AC 上取一点 F , 使以 A 、E 、 F为顶点的三角形与△ABC 相似, 则 AF 的长为 .16．已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 满足：（1） a < b < c ；（2） a + b + c = 0 ；（3）图象与 x 轴有 2 个交点，且两交点间的距离小于 2；则以下结论中正确的有 ．① a < 0 ② a - b + c < 0 ③ c > 0 ④ a - 2b > 0 ⑤ - b < 1 2a 4三、解答题（共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）17．已知：如图，△ABC 中，D 是 AB 的中点，且∠ACD = ∠B ，若 AB=10，求 AC 的长．ADB C18.若二次函数图象的对称轴方程是 x=1，并且图象经过 A （0，-4），B （4，0），（1）直接写出此二次函数图象上点 B 关于对称轴 x=1 的对称点 B ' 的坐标；（2）求此函数的解析式．班级 姓名F D19．对于抛物线y=x 2－4x +3． y（1）将抛物线的解析式化为顶点式（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x（3）结合图像，当0<x <3时，y 的取值范围20．如图, 已知△ ABC 顶点的坐标分别为A (1, -1),B (4, -1),C (3, -4)．(1) 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°后,得到 △AB 1C 1 ． 在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB 1C 1, 并写出点 B 1的坐标 ；(2) 以坐标原点 O 为位似中心, 在第二象限内再画一个放大的△A 2B 2C 2, 使得它与△ABC 的位似比等于 2 : 1 ．A21、如图, 在 Rt △ABC 中, ∠C = 90︒, D 、E 分别为 AB 、AC边上的点, 且 AD = 3 , 连结 DE ．若 AC = 3, AB = 5． EAE 5B C求证：(1) △ABC ∽△AED ； (2) DE ⊥AB ．A D22、如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一点（DE >CE ），连结 AE ，并过点 E 作 AE 的垂线交 BC 于点 F ，若 AB =9， EBF =7，求 DE 长． B C四、解答题（共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）23．已知抛物线 y = (m -2)x 2 + 2mx + m +3 与 x 轴有两个交点．(1)求 m 的取值范围；．2 1 O x … …y … …(2)当m 取满足条件的最大整数时，求抛物线与x 轴有两个交点的坐标．24、百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖20 件，每件盈利40 元.为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：每件童装降价1 元，每天可多卖2 件. 要使每天盈利W 最多，每件应降价多少元？最大盈利额为多少元？A25．已知：如图，∆ABC 中，∠BAC= 90 ，AB=AC=1，点D是BC 边上一个动点（不与B、C 点重合），∠ADE= 45 E （1）求证：∆ABD ∽∆DCEB C（2）设BD= x ，AE= y ，求y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围（3）当点D 在线段BC 的什么位置时，AE 的长度最短？请说明理由，并求出AE 的最短长度是多少？26．阅读理解：如图1，若在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E（点E 与点A，B 不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2 中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，请直接写出BC的值．AB班级姓名图1 图2 图3五．综合运用（27、28 题7 分，29 题8 分，共22 分）27．已知抛物线y = (m -1)x2 - 2mx +m +1（m>1）．（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为 2，求m 的值；（3）若一次函数y =kx -k 的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式.28．如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角扳的一边交CD 于点F．另一边交CB 的延长线于点G．（1）直接写出线段EF 和EG 的数量关系；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，第（1）题中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，EF其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．EG29．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）D 是抛物线上的第三象限内的动点，求△BOD面积最大值，以及此时的点D 坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2 214 中期中考试答案一选择题共10 个小题，每小题 3 分，共30 分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C D D A B C A B D B二填空题共 6 个小题，每小题 3 分，共18 分11．1014．0 ，y =x2 - 2x12．k ≤ 4且k ≠ 315．3或4313. 2016. ①②③⑤17. AC=518. （1）（-2,0）（2）y =1x2 -x - 4 219. （1）y = (x -2)2 -1（3）-1 ≤y < 322. 623. （1）m < 6且m ≠ 2(2) x =-2, x =-41 2 324. (2) w =-2x2 +60x+80每件降价 15 元时获利最多，最大盈利额为 1250 元25.(2) AE =x2 - 2x +1(0 <x <2)(3)x =时，AE最短为12 226. (3)227.(1)（1,0）和（m +1，0）（2）2 (3)m -1y =-2x + 2b28. 过点E 分别作BC 和CD 的垂线（3）a29. （1）y=x2 + 2x（2）S 最大为27，M (-3, -3) 1 7（3）P ( , ), P (3,15) 8 2 4 1 3 9 22 3。
2021-2022学年北京四中璞瑅学校九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年北京四中璞瑅学校九年级（上）期中数学试卷1.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标是()A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (2,−1)D. (2,1)3.如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是()A. 40°B. 50°C. 60°D. 80°4.将抛物线y=−2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是()A. y=−2(x+1)2+3B. y=−2(x−1)2+3C. y=−2(x+1)2−3D. y=−2(x−1)2−35.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为()A. 4B. 6C. 8D. 106.在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O(0,0)为圆心，以5为半径的圆，那么点A(−3,−4)与⊙O的位置关系是()A. 在⊙O内B. 在⊙O上C. 在⊙O外D. 不能确定7.如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′.若∠A=40°，∠B′=110°，则∠BCA′的度数是()A. 90°B. 80°C. 50°D. 30°8.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为()A. y=60(300+20x)B. y=(60−x)(300+20x)C. y=300(60−20x)D. y=(60−x)(300−20x)9.小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是()A. B.C. D.10.如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y(单位：度)，点P运动的时间为x(单位：秒)，那么表示y与x关系的图象是()A.B.C.D.11.点P(−3,4)关于原点对称的点的坐标是______．12.如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD=70°，∠CDA=50°，那么∠ABC=______，∠BCD=______．13.⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是______．14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点为(1,0)，与y轴的交点为(0,3)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为______．15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AC⏜=CD⏜，则∠ACD的度数是______．16.定义：直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线．根据定义回答以下问题：(1)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线为y=x+2，则该抛物线的顶点坐标为______ ；(2)当a=1时，请写出抛物线y=ax2+bx与其关联直线所共有的特征(写出一条即可)：______ ．17.解方程：(1)x2+x−2=0；(2)5(x+3)2=1．218.已知：二次函数y=x2+bx−3的图象经过点A(2,5)．(1)求b；(2)将(1)中求得的函数解析式用配方法化成y=(x−ℎ)2+k的形式．19.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,3)，B(−4,0)，C(0,0)．(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；(3)在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．=0有两个不相等的实数根．20.已知关于x的方程x2+3x+3m4(1)求m的取值范围；(2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．21.已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠A=22.5°，CD=8cm，求⊙O的半径．22.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3)、B(4,3)、C(1,0)．(1)填空：抛物线的对称轴为直线x=______，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为______；(2)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象．(3)当1<x≤4时，y的取值范围是______．23.已知：如图，△ABC．(1)求作：△ABC的外接圆(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在______；(3)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为1，BC=6，求其外接圆的面积．24.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AF=AE，连接AF并延长交⊙O于点D．(1)求证：∠B=∠CAD；(2)若CE=2，∠B=30°，求AD的长．25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−8mx+16m−1(m>0)与x轴的交点分别为A(x1,0)，B(x2,0)．(1)求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；(2)若AB=2，求此抛物线的解析式．(3)已知x轴上两点C(2,0)，D(5,0)，若抛物线y=mx2−8mx+16m−1(m>0)与线段CD有交点，请写出m的取值范围．26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP(0°<∠ACP<45°)，将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，故选：D．根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．本题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.【答案】D【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．考查了二次函数的性质，顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．【解答】解：∵y=(x−2)2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是(2,1)．故选：D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理进行解答即可．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=100°，∠AOB=50°．∴∠ACB=12故选B．4.【答案】B【解析】解：将抛物线y=−2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是：y=−2(x−1)2+3．故选：B．直接根据二次函数图象平移的规律即可得出结论．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC=√OA2−OC2=4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选：C．先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB=2AC，进而可得出结论．本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵点A(−3,−4)，∴AO=√32+42=5，∵⊙O是以原点O(0,0)为圆心，以5为半径的圆，∴点A在⊙O上，故选：B．根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置．此题主要考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．7.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了旋转的性质，关键是熟练掌握旋转前、后的图形全等，进而可得到一些对应角相等．首先根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，即可得到∠A′=40°，再有∠B′= 110°，利用三角形内角和可得∠A′CB′的度数，进而得到∠ACB的度数，再由条件将△ABC 绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′可得∠ACA′=50°，即可得到∠BCA′的度数．【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，∵∠A=40°，∴∠A′=40°，∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°−110°−40°=30°，∴∠ACB=30°，∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，∴∠BCA′=30°+50°=80°．故选B．8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．根据降价x元，则售价为(60−x)元，销售量为(300+20x)件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【解答】解：降价x元，则售价为(60−x)元，销售量为(300+20x)件，根据题意得，y=(60−x)(300+20x)，故选B．9.【答案】A【解析】【分析】根据90°的圆周角所对的弧是半圆，从而得到答案．本题考查了圆周角定理、圆周角的概念．【解答】解：根据90°的圆周角所对的弧是半圆，显然A正确，故选：A．10.【答案】B【解析】解：如图所示，当点P在OC上自O向C运动时，∠APB自90°逐渐减小到45°；∠AOB=45°，为定值；当点P在CD⏜上运动时，∠APB=12当点P在DO上自D向C运动时，∠APB自45°逐渐增大到90°；符合以上变化规律的只有B选项，故选：B．当点P在OC上自O向C运动时，∠APB自90°逐渐减小到45°；当点P在CD⏜上运动时，∠APB=1∠AOB=45°，为定值；当点P在DO上自D向C运动时，∠APB自45°逐渐增大2到90°，据此求解即可．本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是掌握圆周角定理及圆的基本性质．11.【答案】(3,−4)【解析】解：根据中心对称的性质，得点P(−3,4)关于原点对称的点的坐标是(3,−4)．本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．12.【答案】130°110°【解析】解：连接OB，OC，∵OB=OA，OC=OD，∴∠OBA=∠BAD=70°，∠OCD=∠CDA=50°，∴∠AOB=40°，∠COD=80°，∴∠COB=60°，∴△COB是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=70°+60°=130°，∠BCD=∠BCO+∠OCD=60°+50°=110°，故答案为：130°，110°．连接OB，OC，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=∠A=70°，∠OCD=∠D=50°，推出△COB是等边三角形，于是得到结论．本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13.【答案】相离【解析】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d=5cm，∴r<d，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故答案为：相离．根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d<r时，直线和圆相交．14.【答案】x1=1，x2=−3【解析】【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+ c=0(a≠0)的解是解题的关键．根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为(1,0)且对称轴为直线x=−1，得抛物线与x轴的另一个交点为(−3,0)，从得出答案．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为(1,0)，且对称轴为直线x=−1，则抛物线与x轴的另一个交点为(−3,0)，∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x1=1，x2=−3，故答案为x1=1，x2=−3．15.【答案】60°【解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴AC⏜=AD⏜，∵AC⏜=CD⏜，∴AC⏜=CD⏜=AD⏜，×360°=120°，即AC⏜、CD⏜、AD⏜的度数是13×120°=60°，∴∠ACD=12故答案为：60°．根据垂径定理求出AC⏜=CD⏜，求出AC⏜、CD⏜、AD⏜的度数，即可求出答案．本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出AD⏜的度数是解决此题的关键．16.【答案】(1)(−1,−1)；(2)(1,1+b)．【解析】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx(a ≠0)的关联直线为y =x +2，∴a =1，b =2，∴抛物线解析式为y =x 2+2x =(x +1)2−1，∴抛物线顶点坐标为(−1,−1)，故答案为：(−1,−1)；(2)当a =1时，抛物线解析式为y =x 2+bx ，则关联直线解析式为y =x +b ， ∴当x =1时，函数值都为1+b ，∴抛物线及其关联直线都过点(1,1+b)，故答案为：过点(1,1+b)．(1)由关联直线的定义可求得a 和b 的值，可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；(2)由关联直线的定义可求得关联直线解析式，可写出其共有特征．本题主要考查二次函数的性质，理解好题目中所给关联直线的解析式与抛物线解析式之间的关系是解题的关键．17.【答案】解：(1)x 2+x −2=0，(x −1)(x +2)=0，x −1=0，x +2=0，解得x 1=1，x 2=−2；(2)5(x +3)2=12，(x +3)2=110，x +3=±√1010， 解得x 1=−3−√1010，x 2=−3+√1010．【解析】(1)利用因式分解法解方程即可求解；(2)根据直接开平方法解方程即可求解．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解一元二次方程−直接开平方法．18.【答案】解：(1)∵二次函的图象经过点A(2,5)，∴4+2b−3=5，解得b=2，∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3；(2)y=x2+2x−3=x2+2x+1−1−3=(x+1)2−4．【解析】(1)直接把A点坐标代入y=x2+bx−3可求出b，从而确定二次函数的解析式；(2)利用配方法求解．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2B2O即为所求；,0)．(3)如图，点P即为所求，P点的坐标(134【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可；(3)作点A2关于x轴的对应点A′，连接A′A1交x轴于点P，点P即为所求．本题考查作图−平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．20.【答案】解：(1)∵关于x 的方程x 2+3x +3m 4=0有两个不相等的实数根， ∴△=32−4×1×3m 4=9−3m >0， ∴m <3；(2)∵m <3，∴符合条件的最大整数是2，∴原方程为x 2+3x +32=0，解得：x 1=−3+√32，x 2=−3−√32．【解析】(1)先根据方程有两个不相等的实数根可知△>0，由△>0可得到关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可；(2)由(1)中m 的取值范围得出符合条件的m 的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x 的值．本题考查的是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△的关系及求根公式，是一个综合性的题目，难度适中．21.【答案】解：连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CE =DE =12CD =4cm ， ∵∠A =22.5°，∴∠COE =2∠A =45°，∴△COE 为等腰直角三角形，∴OC =√2CE =4√2cm ，即⊙O 的半径为4√2cm ．【解析】连接OC，由圆周角定理得出∠COE=45°，根据垂径定理可得CE=DE=4cm，证出△COE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案．此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．22.【答案】2(2,0)−1≤y≤3【解析】解：(1)∵点A(0,3)、B(4,3)关于直线x=2对称，∴对称轴为直线x=2，∵C(1,0)关于直线x=2对称点为(3,0)，∴点D坐标为(3,0)，故答案为：2；(3,0)．(2)将A(0,3)、B(4,3)、C(1,0)代入y=ax2+bx+c得{3=c3=16a+4b+c 0=a+b+c，解得{a=1b=−4 c=3，∴y=x2−4x+3．图象如下：(3)∵抛物线对称轴为直线x=2，且4−2>2−1，∴x=2时，y取最小值为y=22−2×4+3=−1，x=4时，y取最大值为y=42−4×4+3=3，∴−1≤y≤3．故答案为：−1≤y≤3．(1)根据二次函数图象的对称性可得抛物线对称轴为直线x=2，由点C坐标为(1,0)可得点D坐标为(3,0)．(2)由待定系数法求函数解析式，然后根据解析式作出图象．(3)由抛物线开口方向及对称轴可确定x=2时y取最小值，x=4时y取最大值．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数解析式的方法，掌握二次函数图象的性质．23.【答案】斜边的中点【解析】解：(1)如图1，则⊙O就是求作的图形；(2)∵90°的圆周角所对的弦是直径，∴斜边是直径，∴圆心在斜边的中点，故答案是：斜边的中点；(3)如图2，∵OD⊥BC，BC=3，∴BD=12∴OB2=BD2+OD2=10，=π⋅OB2=10π．∴S圆O(1)作BC和AC的垂直平分线，交点是圆心；(2)根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得出圆心的位置；(3)根据“垂径“定理和勾股定理求出半径，进而求出面积．本题考查了圆的有关性质，直角三角形性质，线段垂直平分线的判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆的基础知识．24.【答案】(1)证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠BAE=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠CAE=90°，∠BAC+∠B=90°，∴∠B=∠CAE，∵AF=AE，∠ACB=90°，∴∠CAD=∠CAE．∴∠B=∠CAD；(2)解：连接BD．∵∠ABC=∠CAD=∠CAE=30°，∴∠DAE=60°，∵∠BAE=90°，∴∠BAD=30°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴cos∠BAD=ADAB，∴ADAB =√32，∵∠ACE=90°，∠CAE=30°，CE=2，∴AE=2CE=4，∵∠BAE=90°，∠ABC=30°，∴cot∠ABC=ABAE ，即√3=AB4，∴AB=4√3，∴4√3=√32，∴AD=6．【解析】本题考查了切线的性质圆周角定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形熟练掌握性质定理是解题的关键．(1)根据切线的性质和圆周角的定理∠BAE=∠ACB=90°，进而求得∠B=∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠CAD=∠CAE，即可证得结论；(2)连接BD，易证得∠BAD=30°，解直角三角形求得AE，进而求得AB，然后即可求得AD．25.【答案】(1)证明：△=64m2−4m⋅(16m−1)=4m，∵m>0，∴△>0，∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；(2)根据题意，x1、x2为方程mx2−8mx+16m−1=0的两根，∴x1+x2=−−8mm =8，x1⋅x2=16m−1m，∵|x1−x2|=2，∴(x1+x2)2−4x1⋅x2=4，∴82−4⋅16m−1m=4，∴m=1，∴抛物线的解析式为y=x2−8x+15；=4，(3)抛物线的对称轴为直线x=−−8m2m∵抛物线开口向上，∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，∴4m−16m+16m−1≥0，∴m≥1．4【解析】(1)证明△>0即可；(2)利用抛物线与x轴的交点问题，则x1、x2为方程mx2−8mx+16m−1=0的两根，，再变形|x1−x2|=2得到(x1+利用根与系数的关系得到x1+x2=8，x1⋅x2=16m−1m=4，然后解出m即可得到抛物线解析式；x2)2−4x1⋅x2=4，所以82−4⋅16m−1m(3)先求出抛物线的对称轴为直线x=4，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，于是得到4m−16m+16m−1≥0，然后解不等式即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．26.【答案】解：(1)如图所示：(2)结论：AD+BE=DE．理由：延长DA至F，使DF=DE，连接CF．∵AD⊥CP，DF=DE，∴CE=CF，∴∠DCF=∠DCE=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ECB=45°，∵∠DCA+∠ACF=∠DCF=45°，∴∠FCA=∠ECB，在△ACF和△BCE中，{CA=CB∠ACF=∠BCE CF=CE，∴△ACF≌△BCE(SAS)，∴AF=BE，∴AD+BE=DE．【解析】(1)根据要求作出图形即可．(2)结论：AD+BE=DE.延长DA至F，使DF=DE，连接CF.利用全等三角形的性质解决问题即可．本题考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2021北京四中初三(上)期中数学试卷含答案
2021北京四中初三（上）期中数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣22．（2分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（）A．83°B．84°C．86°D．87°3．（2分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定4．（2分）将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2（x+1）2﹣5C．y＝2（x﹣1）2+5 D．y＝2（x+1）2+55．（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．2x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x﹣1＝0 D．3x2＝5x﹣26．（2分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OAC＝40°时，∠B的度数是（）A．100°B．120°C．130°D．140°7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．28．（2分）已知O⊙，如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；⑧BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝．10．（2分）半径为1，圆心角是120°扇形的弧长为．11．（2分）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1的最大值为．12．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：a ＝，b＝．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为．14．（2分）在⊙O中，弦AB所对圆心角为140度，则弦AB所对的圆周角为°．15．（2分）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．16．（2分）如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
北京四中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
北京四中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图标中，是中心对称的是( )A ．B ．C ．D ． 2．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（﹣2，3）C ．（2，3）D ．（﹣2，﹣3） 3．已知3x=2y ,那么下列式子中一定成立的是（ ）A ．x+y=5B ．32x y =C ．23x y =D ．32x y = 4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =6，BD =2，AE =9，则EC 的长是A ．8B ．6C ．4D ．35．如图，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90° ，得到''A B C ∆，连接'AA ，若∠1=25°，则∠BAC 的度数是( )A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 6．已知二次函数y ＝－3x 2＋1的图象如图所示，将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的表达式为( )A ．y ＝－3x 2－1B ．y ＝3x 2C ．y ＝3x 2＋1D ．y ＝3x 2－1 7．将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．28．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x =－2时，y 取最大值；③当m <4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =m 必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c (k ≠0)经过点A ，C ，当kx+c> ax 2＋bx ＋c 时，x 的取值范围是－4<x <0；其中推断正确的是 （ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④二、填空题 9．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，－1）的抛物线的表达式：______ 10．若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则ac _____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．11．如图，在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则△AEF 与△ABC 的面积之比为 ．12．点A （-1，1y ）、B （1，2y ）在二次函数221y x x =--的图象上，则1y 与2y 的大小关系是1y ______2y ．（用“＞”、“＜”、“=”填空）13．如图是小孔成像原理的示意图,根据图中标注的尺寸,如果物体AB 的高度为18cm ,那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为______cm ．14．北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华． 经测算发现, 太和殿,中和殿, 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD （北至保和殿, 南至太和门,西至弘义阁, 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH 为相似形, 若比较宫院与台基之间的比例关系, 可以发现接近于9:5, 取“九五至尊”之意． 根据测量数据, 三大殿台基的宽(EF )为40丈, 请你估算三大殿宫院的宽(AB )为_________丈．15．已知二次函数22y ax bx =+-自变量x 的部分取值和对应的函数值y 如下表，则在实数范围内能使得y ＞1成立的x 的取值范围是__________．16．如图，点A 是抛物线24y x x =-对称轴上的一点，连接OA ，以A 为旋转中心将AO 逆时针旋转90°得到AO ′，当O ′恰好落在抛物线上时，点A 的坐标为______________．三、解答题17．已知二次函数y=x2+bx-3的图象过点(1,0)．求该二次函数的解析式和顶点坐标．18．如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上。
北京四中初三上册期中考试数学(含解析).docx
北京四中初三上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为（ ）． A ．直线1x = B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =-2．已知反比例数ky x=的图象过点(2,1)，下列各点也在反比例函数图象上的点是（ ）． A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．1(2,)2D ．1(4,)23．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则OC 的长为（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数解析式为（ ）． A ．23(2)1y x =-+ B ．23(2)1y x =+- C ．23(2)1y x =--D ．23(2)1y x =++5．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若35ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）． A ．20︒ B ．40︒ C ．60︒ D ．70︒6．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象可能为下列中的（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，P 是反比例函数图象上的一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，若PAO △的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ ）． A ．4y x = B ．4y x =-C ．8y x=D ．8y x=-xOyxOyxO yxO yOCABO DC BAPA xOy8．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．A ．0a >B ．不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<C ．0a b c -+>D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大9．若抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，则t 的取值范围为（ ）．A ．13t -<<B ．13t -<≤C ．534t << D ．1t -≥ 10．如图，ACB △中，60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，若弦EF 的最小值为1，则AB 的长为（ ）．A ．22B ．263 C ．1.5D ．433二、填空题（每空4分，共24分）11．已知双曲线3y x=，如果1(1,)A b -，2(2,)B b 两点在该双曲线上，那么1b __________2b ．（比较大小）12．将抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，则旋转后抛物线的解析式为__________．13．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x … 2- 1- 0 1 2 3 … y…5 03-4-3-…当函数值0y <时，x 的数值范围是__________．14．已知：如图，⊙O 是的内切圆，分别切BC 、AB 、AC 于点D 、E 、F ，ABC △的周长为24cm ，10cm BC =，则AE =__________cm ．15．已知：如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知8cm BC =，2cm DE =，则AD 的长为__________cm ．52OxyFE OCDABFEDCB A OCAE D B16．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)和1(,0)x ，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点，下列结论：①0b >；②214ac b <；③a b >；④2a c a -<<-．其正确结论的序号是__________．三、解答题（本题共18分，每题6分）17．若二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点，求此二次函数的解析式．18．已知；如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(1,2)A -、(2,)B n 两点． （1）求出上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出当m kx b x+≥时x的取值范围．19．已知抛物线212(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），对称轴为直线1x =-． （1）m 的值为__________；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x … … 1y……（2）若直线2y kx b =+过点B 且与抛物线交于点(2,3)P --，根据图象直接写出当x 取什么值时，21y y ≤．yxOBA1221yxO20．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形． 求OAD OCD ∠+∠的度数．21．如图，PB 切⊙O 于点B ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C ，连结BC 、AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）若6BC =，:1:2AD FD =，求⊙O 的半径r 的长．22．已知21(2)y x kx k k =-+->．（1）求证：抛物线21(2)y x kx k k =-+->与x 轴必有两个交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若tan 3OAC ∠=，求此抛物线的解析式；（3）以（2）中的抛物线上一点(,)P m n 为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 分别取何值时，x 轴与⊙P 相离、相切、相交．xy O –1–21234–1–2123423．对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ．现有点(2,0)A 和抛物线E 上的点(1,)B n -，请完成下列任务： 【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为__________． （2）点A __________（填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为__________．【发现】通过（2）或（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为__________． 【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．24．如图，ABC △外接圆⊙O 半径为r ，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 、BE 交于点K ，AK r =．求BAC ∠的度数．K E OCADB25．如图，在平面直角坐标系中有Rt ABC △，90A ∠=︒，AB AC =，(2,0)A -、(0,1)B 、(,2)C d ． （1）求d 的值；（2）将ABC △沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B '、C '正好落在某反比例函数图象上，请求出这个反比例函数和此时的直线B C ''的解析式；（3）在（2）的条件下，直线B C ''交y 轴于点G ．问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图象上的点P ，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．C'B'A'GBCAyOx北京四中初三上期中数学试卷答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBDDBDBBB二、填空题（每空4分，共24分）题号 1112 13 14 15 16 答案 <21y x =--13x -<<2213②④三、解答题（本题共18分，每题6分）17．解：二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点， ∴031423a b a b =++⎧⎨-=++⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩． ∴二次函数的解析式为243y x x =-+．18．解：（1）∵(1,2)A -在my x=上， ∴2m =-．∴反比例函数的解析式是2y x =-． ∵点(2,)B n 在2y x=-上， ∴212n =-=-，即(2,1)B -．∵(1,2)A -，(2,1)B -在y kx b =+上， ∴221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩．∴一次函数的解析式是1y x =-+．（2）由函数图象可知，x 的范围为1x -≤或02x <≤．19．解：（1）由题意得12b a -=-，即2(2)12m +-=-， ∴1m =-．∴抛物线解析式为：2123y x x =+-． 令10y =，得13x =-，21x =． 列表如下：x … 3- 2-1- 0 1 … 1y…3-4-3-…描点画图如图所示：（2）如图所示，易知，当2x -≤或1x ≥时，21y y ≤．1221y xOPB1221y xO20．解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴180B D ∠+∠=︒．∵四边形OABC 为平行四边形， ∴AOC B ∠=∠． 又∵2AOC D ∠=∠， ∴60D ∠=︒．连结OD ，可得AO OD =，CO OD =． ∴OAD ODA ∠=∠，OCD ODC ∠=∠．∴60OAD OCD ODA ODC D ∠+∠=∠+∠=∠=︒．21．（1）证明：如图，连接OB ． ∵PB 是⊙O 的切线， ∴90PBO ∠=︒．∵OA OB =，BA PO ⊥于D ， ∴AD BD =，POA POB ∠=∠． 又∵PO PO =， ∴PAO △≌PBO △． ∴90PAO PBO ∠=∠=︒． ∴直线PA 为⊙O 的切线．（2）解：∵OA OC =，AD BD =，6BC =， ∴132OD BC ==． 设AD x =．∵:1:2AD FD =，∴2FD x =，23OA OF x ==-．在Rt AOD △中，由勾股定理，得222(3)23x x -=+． 解之得，14x =，20x =（不合题意，舍去）． ∴4AD =，235OA x =-=． 即⊙O 的半径的长5．22．（1）证明：∵22()41(1)(2)k k k ∆=--⨯⨯-=-， 又∵2k >， ∴20k ->．∴2(2)0k ->，即0∆>．∴抛物线21y x kx k =-+-与x 轴必有两个交点．（2）解：∵抛物线21y x kx k =-+-与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，有210x kx k -+-=． 解得：1x k =-或1x =． ∵2k >，点A 在点B 的左侧， ∴(1,0)A ，(1,0)B k -． ∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴(0,1)C k -．∵在Rt AOC △中，tan 3OAC ∠=，∴tan 311OAC OC k OA ∠=-==，解得4k =． ∴抛物线的表达式为243y x x =-+．（3）解：当22m <-或22m >+时，x 轴与⊙P 相离． 当22m =-或2m =或22m =+时，x 轴与⊙P 相切． 当222m -<<或222m <<+时，x 轴与⊙P 相交．23．解：（1）将2t =代入抛物线E 中，得：2222(32)(12)(24)242(1)2y x x x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-； （2）点A 在抛物线E 上，理由如下：∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线E 上． （3）∵点(1,)B n -在抛物线E 上，∴将1x =-代入抛物线E 的解析式中，得：(132)(1)(24)6n t t =+++-+=． 【发现】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+， ∴抛物线E 必过定点(2,0)、(1,6)-． 【应用】不是，理由如下：∵将1x =-代入2352y x x =-++，得66y =-≠， ∴二次函数2352y x x =-++的图象不经过点B ．∴二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的“再生二次函数”．24．解法一：如图1，连接CO 并延长，交⊙O 于点N ，连接AN ，BN ． ∵CN 为⊙O 直径， ∴90NAC NBC ∠=∠=︒， ∵AD BC ⊥，BE AC ⊥， ∴AN BE ∥，NB AD ∥． ∴四边形ANBK 为平行四边形． ∴NB AK r ==，在Rt NBC △中，2NC r =， ∴1cos 2NB NBC NC ∠==， ∴60BNC ∠=︒， ∴60BAC BNC ∠=∠=︒．解法二：如图2，连接OA ，过点O 作OF AB ⊥于点F ． ∵90AOF OAF ∠+∠=︒，90KAE C ∠+∠=︒， 且AOF C ∠=∠， ∴OAF KAE ∠=∠．又∵OA KA r ==，90AEK AFO ∠=∠=︒， ∴AFO △≌AEK △． ∴AF AE =， ∴2AB AE =．图1NK E O CADB F图2K E O CADB∴在Rt ABE △中，60BAC ∠=︒．25．解：（1）作CN x ⊥轴于点N ． 在Rt CNA △和Rt AOB △中， ∵2NC OA ==，AC AB =， ∴Rt CNA △≌Rt AOB △（HL ）．∴1AN BO ==，3NO NA AO =+= 又∵点C 在第二象限， ∴3d =-．（2）设反比例函数为ky x=，点C '和B '在该比例函数图像上， 设(,2)C m '，则(3,1)B m '+． 把点C '和B '的坐标分别代入ky x=，得2k m =；3k m =+， ∴23m m =+，3m =，则6k =， ∴反比例函数解析式为6y x=. ∴点(3,2)C '，(6,1)B '．∴直线B C ''的解析式为133y x =-+．（3）设点M 的坐标为(,0)m ，点P 的坐标为6(,)p p． 当以MP 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p +=+，解得215m =-； 当以MG 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p+=+，解得3m =； 当以MC 为平行四边形对角线时，30m p -=+，6023p+=+，解得3m =-． 综上所述，存在点121(,0)5M -，2(3,0)M ，3(3,0)M -，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形．N C'B'A'GBCAyOx北京四中初三上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为直线1x =．故选A ．2．【答案】D 【解析】∵反比例数k y x =的图象过点(2,1)，∴2k =，易知点1(4,)2在2y x =的图象上．故选D ．3．【答案】B【解析】∵半径OD 过AB 的中点C ，弦AB 的长为8，∴4BC =，90OCB ∠=︒，在Rt OCB △中，2222543OC OB BC =-=-=．故选B ．4．【答案】D【解析】根据“上加下减，左加右减”可得，所求二次函数的解析式为23(2)1y x =++．故选D ．5．【答案】D【解析】由圆周角定理可得，270AOC ABC ∠=∠=︒．故选D ．6．【答案】B【解析】由解析式可知，两个函数均过点(0,)c ；当0a >时，一次函数单调递增，二次函数开口向上；当0a <时，一次函数单调递减，二次函数开口向下．故选B ．7．【答案】D【解析】由k 得几何意义，可知142PAO S k ==△， 又∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴0k <， ∴8k =-，∴反比例函数的解析式为8y x=-．故选D ．8．【答案】B【解析】由二次函数的图象可知，开口向下，∴0a <；抛物线的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(5,0)，故另一个交点为(1,0)-，∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<；又∵抛物线经过点(1,0)-，∴0a b c -+=；当2x >时，y 随x 的增大而减小．故选B ．9．【答案】B【解析】抛物线的对称轴为直线2x =，开口向上，∵抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，∴当2x =时，48310y t t =-+-=--≤，当0x =时，30y t =->，∴13t -<≤．故选B ．10．【答案】B【解析】连接OE ，OF ．∵60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴90EOF ∠=︒． ∴222EF OE AD ==． ∵弦EF 的最小值为1， ∴AD 的最小值为2，即当AD BC ⊥时，2AD =．在Rt ABD △中，60B ∠=︒，∴26cos603AD AB ==︒．故选B ． 二、填空题11．【答案】<【解析】易得13b =-，232b =，∴12b b <．故答案为<．12．【答案】21y x =--【解析】抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，顶点由(0,1)变为(0,1)-，开口方向由向上变为向下，故旋转后抛物线的解析式为21y x =--．故答案为21y x =--．13．【答案】13x -<<【解析】由表格中数据已知，当函数值0y <时，x 的数值范围是13x -<<．故答案为13x -<<．14．【答案】2【解析】设AE x =，则AF x =，又∵CD CF =，BD BE =，∴22024x +=，解得2x =．故2cm AE =．故答案为2．15．【答案】213【解析】设半圆O 的半径为r ．∵AB 是半圆O 的直径，∴90C ∠=︒，∵E 为BC 弧中点，∴OE BC ⊥，∴OE AC ∥，∴22(2)AC OD r ==-，在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∴2224(2)84r r -+=，解得5r =．∴6AC =，142CD BC ==， F EO C D A B∴22213AD AC CD =+=．故答案 为213．16．【答案】②④【解析】由题意可知，二次函数的图象大致如图所示： 由图可知，0b <，①错误；240b ac ∆=->，∴214ac b <，②正确； ∵1122x b a +-=，121x -<<-， ∴1211222ba --<-<，即01ba <<，∵0a <，∴a b <，③错误． 又∵11c x a ⋅=，121x -<<-， ∴21ca -<<-，∵0a <，∴2a c a -<<-，④正确．故答案为②④．-1-21y x。
2021年北京市第四中学九年级上学期期中数学试题(含答案)(2021word版)
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数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．已知1sin 2A =，则锐角A 的度数是（） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒ 2．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB =1∶2，若DE =2，则BC 等于（）A ．4B ．6C ．12D ．184．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BC ＝6， AC ＝3，则CD 的长为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．526．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5，CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）A．512B．513C．1213D．1257. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将△BCE绕点C旋转得到△ACD，则cos∠ABC的值等于（）A.33 B.21C.31D.1010第7题第8题8.如图，二次函数2y ax bx c=++的图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论：①0,0,a b<<②20,a b->③0,a b c++>④0,a b c-+<⑤当1x>时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①③④9. 若抛物线1222-++-=mmmxxy（m是常数）的顶点是点M，直线2+=xy 与坐标轴分别交于点A、B两点，则△ABM的面积等于（）A．6B．3C．25D．2310．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点'P是点P关于BD的对称点，'PP交BD于点M，若BM=x，'OPP△的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）M OP'PDBACxyxyxyxyO OOO483333848448二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 如果23a b b =-，那么ab =________．12．已知抛物线522+-=x x y 经过两点A （-2，y 1）和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为m. 14．已知在△ABC 中，tan A =43，AB =5，BC =4，那么AC 的长等于. 15．若关于x 的一元二次方程0142=-+-t x x （t 为实数）在270<<x 的范围内有解，则t 的取值范围是__________．16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值等于；（2）当AE +AF 的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF .三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．18．如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠D =90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE ．AB =3，DE =2，BC =6．求CD 的长．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，， AC=3.（1）求∠B 的度数；（2）求AB 及BC 的长．20. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x 和y 满足下表：(1) 可求得m的值为；(2) 求出这个二次函数的解析式； (3) 当y >3时，x 的取值范围为.21．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)，在第一象限内，以原点为位似中心，画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点C 1坐标．ADC B EF图①图②CEADBDCBAxy1234567891012345678910CABo22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD．23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？24．已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°.（1）如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且kFCEFBCAB==时，若BE=1，AE=2，CE=3，则k的值等于.AF图1 图225．抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出△ABP 面积的最大值； (3)设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使m S ABQ =∆，则m 的值等于.26. 有这样一个问题：探究函数11-+=x x y 的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数11-+=x x y 的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数11-+=x x y 的自变量x 的取值范围是___________；(2)下表是y 与x 的几组对应值求m 的值； (3)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1+=x y 交于点A ，点A 关于直线1-=x 的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B .(1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象， 求a 的取值范围.28．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，点E，F分别是AC，BC的中点，线段AF，BE交于点P，将线段AF绕点A顺时针旋转α（0°≤α≤180°）得到线段AQ.（1）直接写出APPF的值为；（2）如图2，当α=180°时，延长BE到D使得ED=BE，连接QD，证明QD⊥BD；（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ交直线BE于点M，当△AMP为等腰三角形时，△AMP的底角正切值为.ED图1 图2图329．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，那么我们称抛物线C 1与C 2关联．（1）已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y 、抛物线③122++=x x y 与已知抛物线①是否关联；10-=x 上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案题号 1 2 3 45 6 7 8 9 10 答案 A A BCCBDCBD16．（Ⅰ）561+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭……………… 3分 1332=+-1.2= ……………… 5分18．解：∵在△ABC 中，∠B =90º，∴∠A +∠ACB = 90º． ∵AC ⊥CE ，∴∠ACB +∠ECD =90º． ∴∠A =∠ECD ． ……………………2分∵在△ABC 和△CDE 中，∠A =∠ECD ，∠B =∠D =90º， ∴△ABC ∽△CDE ．………………………3分 ∴DEBC CDAB =．……………………4分∵AB = 3，DE =2，BC =6，∴CD =1． ……………………5分题号11 12 13 1415 16答案 3512y y ＞ 2474±13<≤-t2615+19．解：（1）∵在△ACD中，90C∠=︒，CD=3，AC=3，∴tan3CDDACAC∠==．∴∠DAC =30º．………………………1分∵AD平分∠BAC，∴∠BAC =2∠DAC =60º．……………2分∴∠B =30º．…………………………………3分(2) ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=30º，AC=3，∴AB =2AC =6．………………………4分tan3ACBCB==……………………5分20．解：(1) m的值为 3 ；1分(2) 二次函数为y=a（x-2）2−1 2分∵过点（3，0）∴a=1 y=x2-4x+3 3分(3) 当y>3时，x的取值范围为x<0或x>4 . 5分21. C1坐标（8,6）．x22. 3160200+米23．设房价为（180+10x ）元利润y=(180+10x ）（50-x)-(50-x)20=-10x 2 +340x+8000当x=17即房间定价为180+170=350的时利润最大.24.（1）（i ）证明：∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形，，∴∠ACB=∠ECF=45°， ∴∠ACE=∠BCF ， ∴△CAE ∽△CBF ．（ii ）解：∵△CAE ∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF ，AE ：BF ＝AC：BC ，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°， ∴∠EBF=90°，又∵AE ：BF ＝AC ：BC ＝2，AE=2，25．（1）322++-=x x y （2）当=x ABP 面积的最大值是827.（3）827 26.27.（3）292<≤a .28．（1）2；（2）作AH ⊥BD 于D ，证明△APH ∽△QPD ，得证；（3） 43，13或3.29.（1）②1分（2）21781218122-+=-+=)x (y ,)x (y 5分 （3）),(),,(),,(C 2411024110310--+-- 8分教学反思1 、要主动学习、虚心请教 ，不得偷懒 。
2024年北京四中初三(上)期中数学试题及答案
数学试卷班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题 (共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．下面四个标志中是中心对称图形的是（ ）.A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（ ）. A ．0x =B ．2x =C ．0x =或2x =D ．0x =或2x =-3．若1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(3,)C y 为二次函数21y x =+（）图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）. A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数(5)(7)y x x =-+的图象的对称轴是（）. A ．直线1x =- B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为O 直径，点C 、D 在O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（ ）.A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（ ）. A ．21.058(1) 1.167x -= B ．1.058(12) 1.167x +=C ．21.058(1) 1.167x +=D ．21.167(1)1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时 的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，则表盘的半径长为（ ）.A ．3B． C ． D．A8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（ ）. A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A. B.C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ．10．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为BC 延长线上一点，50A ∠=︒，则DCE ∠的度数为 ．11．抛物线256y x x =-+与y 轴的交点的坐标是 ．12．如图，PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作O 的切线分别交PA 、PB 于M 、N 两点，若△PMN 的周长为10，则切线长PA 等于 ．第10题图 第12题图13．已知22310a a -+=，则代数式2(3)(3)a a a -++的值为 ．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度．．．．是 cm ．图1 图2 第15题图15．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-， 对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在(0,1)A 和(0,2)B 之间（不与A 、B 重合）．下列结论：①0abc >； ②93a c b +>； ③40a b +=； ④当0y >时，15x -<<； ⑤a 的取值范围为2155a -<<-． 其中正确结论有 ．（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，∠A =90°，D 是AC 上一点，BD =10， AB =CD ，则BC 的最大值为 ．三、解答题（共68分，第17题8分，第18、21、25题每题4分，第19、23、24题每题5分，第20、26题6分，第22、27、28题每题7分）17．解下列方程：（1）23610x x -+=； （2）2(3)3x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -．将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到△11A BC ， （1）请在图中画出△11A BC ； （2）线段BC 旋转过程中所扫过的面积是 （结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE ． （1）求证：△AEB ≌△ADC ； （2）连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数． 20．已知关于x 的一元二次方程22(8)40x k x k +--=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围． 21．已知：如图O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B ．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：A ，A 交O ，则直线PB 是 证明：如图1，连接OB ， A 直径，90PBO =︒．（ OB ． OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．请仔细阅读，并完成相应的任务．（1）“作法一”中的“依据”是指 ； （2）请写出“作法二”的证明过程．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过(0,2)A -，(2,0)B 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；（3）若一次函数y mx n =+的图象也 经过A ，B 两点，结合图象，直接写出 不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥． （1）求证：AC 是△BDE的外接圆的切线；（2）若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米，竖直距离为6米．若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． （1）求抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．25．如图1，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7AB =cm ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、Q 两点间的距离为1y cm ，P 、Q 两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y 、2y 的图象． 解决问题：（1）在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；（2）结合函数图象，解决问题：当△APQ 中有一个角为30︒时，AP 的长度约为 cm ．图1图226．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224(0)y ax a x a =-≠． （1）当1a =时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知1(M x ，1)y 和2(N x ，2)y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =45°，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC =BE ，连接AE ，过C 作CF ⊥AE 于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ． （1）求证：∠AEB =∠ACF ；（2）用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”． 已知B （-1,0），C （2,0），（1）写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标________；（2）已知点1C （2,m ）（102m ），存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2l ：y =x+b 上，求b 的取值范围；（3）已知点H 是直线x =1上的一点，且点H 的纵坐标小于0，C （3,0），E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线x =6上的点F （6,h ），以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．备用图数学参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C二、填空题9． 231y x =+ 10. 50° 11．(0,6) 12．5 13．8 14．18 15．③④⑤16. 5+ 补充说明：T15只有一个正确答案得1分，有错误答案不得分。
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- 第一学期北京四中初三年级数学期中测试题一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．一元二次方程的解是（）A．B．C．或D．或2．如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的值为（）A．9B．6C．3D．43．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，则∠AOB的度数为（）A．60°B．120°C．30°D．90°4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．30°C．40°D．50°5．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．700m B．500m C．400m D．300m（5题）（6题）6．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．7．如图⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6则⊙O的半径为（）A．6B．13C．D．8．如图(甲)，扇形OAB的半径OA=6，圆心角∠AOB=90°，C是上不同于A、B 的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点H在线段DE上，且EH=DE．设EC的长为x，△CEH的面积为y，图(乙)中表示y与x的函数关系式的图象可能是（）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知⊙O的周长等于6cm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为_______cm．（9题）（10题）10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________．11．如图，圆A、圆B的半径分别为4、2，且AB=12．若作一圆C使得三圆的圆心在同一直线上，且圆C与另两个圆一个外切、一个内切，则圆C的半径长可能为__________．12．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．解关于x的方程：x2+4x-2=0．15．丁丁要制作一个形状如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE，CD的长度．（精确到个位，）图1图2 16．请利用直尺和圆规，过定点A作⊙O的切线，不写作法，保留尺规作图的痕迹．17．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，求tanC的值．18．如图，在平行四边形ABCD中过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点且∠AFE＝∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长．16．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系．设该圆弧所在圆的圆心为点D，连结AD、CD．请完成下列问题：①写出点D的坐标：D___________；②D的半径=_____（结果保留根号）；③若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为__________（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．20．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°,∠A=60°，AC=10，试求CD的长．21．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C.（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB，，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．22．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．（3）若把正方形放在直线上，让纸片ABCD按上述方法旋转，请直接写出经过多少次旋转，顶点A经过的路程是．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的方程（k为常数，且k＞0）．（1）证明：此方程总有两个不等的实数根、；（2）设此方程的两个实数根为、，若，求k的值．24．在△ABC中，点D在线段AC上，点E在BC上，且DE∥AB将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△（使＜180°），连接、，设直线与AC交于点O．（1）如图①，当AC=BC时，:的值为______；（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求:的值；（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值．25．如图，已知点A（0，6），B（4，－2），C（7，），过点B作x轴的垂线，交直线AC于点E，点F与点E关于点B对称．（1）求证：∠CFE=∠AFE；（2）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FBC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．25．【参考答案】一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. C2. B提示：.3. B提示：四边形AOBP中，∠OAP=∠OBP=90°，∠P＝60°，∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°4. D提示：∠A=∠BOC.5. B提示：易证图中的两个三角形全等.6. D7. C提示：延长AO交BC于点D. ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD⊥BC，且BD=CD=3，AD=BC=3，∴OD=3-1=2，在Rt△BOD中，勾股定理得OB=.8. A提示：连接OC，∵四边形ODCE是矩形，∴DE=OC=6，∴EH=4，再定性分析即可.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 3 .10.11. 5或7.提示：圆C可能与圆A内切，与圆B外切；也可能与圆B内切，与圆A 外切.12. ≤CP′≤提示：如图，连接CP、BP′，易证△APC≌△AP′B则PC=P′B=1，在等腰Rt△ABC 中，AC=2，∴BC=2在△BCP′中，有＜CP′＜，当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.14. 提示：用配方法解得：15. 解：在Rt△BEC中，∠BCE=30º,EC=51，∴BE=≈30，AE=64=CF,在Rt△AFD中，∠FAD=45º,FD=FA=51，∴CD=64—51≈13，∴CD=13cm，BE=30cm.16. 如图：17．提示：连接BD，则EF是△ABD的中位线，所以BD=4，在△BCD中，∵，∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形，∴tanC=.18.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED ，∠B+∠C=180°，∵∠AFE+∠AFD=180，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC.（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=4，又∵AE⊥BC ，∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=，∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴AF=.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.①D（2，0）②.③.设圆锥的底面半径为r，则，∴r=，∴圆锥的底面面积为④相切.理由：∵CD=，CE=，DE=5∴CD2+CE2=25=DE2∴∠DCE=90°即CE⊥CD∴CE与⊙D相切。
北京四中九年级(上)期中数学试卷
二、填空题（本题共 8 分，每小题 2 分）
9．（2 分）抛物线 y=（x﹣2）2+1 的顶点坐标是
．
10．（2 分）反比例函数 y= 在第一象限的图象如图，请写出一个满足条件的 k
值，k=
．
11．（2 分）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，
问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩
立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）
（1）在图 1 中画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1；
（2）在图 2 中，以点 O 为位似中心，将△ABC 放大，使放大后的△A2B2C2 与△
ABC 的对应边的比为 2：1（画出一种即可）．直接写出点 A 的对应点 A2 的坐
4．（3 分）若 A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数 y= 的图象上，则 y1
与 y2 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2
B．y1=y2
C．y1＞y2
D．无法确定
5．（3 分）如图，D，E 为△ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC，若 AD：DB=1：3，
AE=2，则 AC 的长是（ ）
标．
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19．（5 分）如图，一次函数 y=x+2 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A、B 两 点，且点 A 的坐标
为（1，m）． （1）求反比例函数 y= 的表达式； （2）点 C（n，1）在反比例函数 y= 的图象上，求△AOC 的面积．
20．（5 分）已知抛物线 y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线 y=x﹣3m+3 的一个交点在 y 轴上，求 m 的值． 21．（5 分）青青书店购进了一批单价为 20 元的中华传统文化丛书．在销售的过
北京四中学度初三上期中考试数学试卷含答案
数学试卷（时间： 120 分钟总分： 120 分）姓名：班级：一、选择题 (本题共 30 分，每题 3 分)1．剪纸是国家级非物质文化遗产，以下剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在 Rt△ABC中，∠ C＝°，若 BC＝，AC＝，则sinA的值为（）9012A ．5B．2 5C．1D．2 5523．将抛物线y4x2向右平移1个单位，再向上平移 3 个单位，获取的抛物线是（）．4x 1 23B． y 4 x 123A yC． y 4 x 1 23D． y 4 x 1 234．如图，长 4m 的楼梯 AB 的倾斜角∠ ABD 为 60°，为了改进楼梯的安全性能，准备重新建筑楼梯，使其倾斜角∠ACD为 45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A． 2 m B． 2 m C．（ 2﹣ 2 ） m D．（ 2﹣ 2 ） m5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1x 2经y2过平移获取抛物线 y 1 x22x ，其对称轴与两段抛2物线所围成的暗影部分的面积是()O x A．2 B.4C. 8D.166．如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ ABC的正切值是（）A．2B．2 5C．5D．15527．如图，将线段 AB绕点 O顺时针旋转 90°获取线段 A′B′，则 A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（ 5，﹣2）8．某抛物线的极点为（ 2，﹣ 1），与 x 轴相交于 P、 Q 两点，若此抛物线通过（ 1， a ）、（ 3， b）、（﹣ 1， c ）、（﹣ 3， d ）四点，则 a、b、 c、 d 中最大值是（）A． a B ． b C ． c D ． d9.二次函数 y=ax2+bx+c（ a，b，c 为常数，且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值以下表：x﹣1013y﹣1353以下结论：（ 1）ac＜0；（ 2）抛物线极点坐标为（ 1，5）；2（4）当﹣ 1＜x＜3 时， ax2+（b﹣1）x+c＞0．此中正确的个数为（）A．4个B．3 个C．2 个D．1 个10. 二次函数y22x8 x m满足以下条件：当 2 x 1时，它的图象位于x轴的下方；当6x7时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m的值为（）A．8 B．10 C．42 D．24二、填空题（本题共18 分，每题 3 分）11．若090 , tan 1, 则sin. 212．已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与 x 轴的一个交点为（— 1，0），则它与 x 轴的另一个交点为．13．长方体底面周长为50cm，高为 10cm．则长方体体积 y（cm3）关于底面的一条边长 x（cm）的函数分析式是 . 此中 x 的取值范围是 .14．将含有 30°角的直角三角板 OAB如图搁置在平面直角坐标系中， OB 在 x 轴上，若 OA=2，将三角板绕原点 O 顺时针旋转 75°，则点 A 的对应点 A′的坐标为______.EAFDC B第14题第15题15．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的地址，将此中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方向旋转至△ DCE的地址，使点 A 恰好落在边 DE上， AB与 CE订交于点 F．已知∠ ACB=∠DCE=90°，∠ B=30°， AB=8cm，则 CF=_______ cm．16．定义：直线 y=ax+b(a ≠0) 称作抛物线 y=ax2+bx(a ≠0) 的关系直线 .依据定义回答以下问题：(1)已知抛物线 y=ax2+bx(a ≠0) 的关系直线为 y=x+2, 则该抛物线的极点坐标为 _________；(2)当 a=1 时 , 请写出抛物线 y=ax2+bx 与其关系直线所共有的特色（写出一条即可）： ___________________________________.三、解答题（本题共72分，第 23题 6分，第 26题 4分，第 27题 7分，第 28题 7 分，第 29 题 8 分，其他每题 5 分）1102sin°+tan17．计算: 2016 +-°．2456018．如图，在△ ABC中， AB=12，BC=15， AD⊥BC于点 D，∠ BAD=30°．求 tan C 的值．19 ．如图，为丈量一座山岳CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长 AB=800米，BC=200米，坡角∠ BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求 AB段山坡的高度 EF；（2）求山岳的高度 CF．（1.414 ，CF结果精确到米）20．已知：二次函数y x2bx 3 的图象经过点A(2，5) ．（1）求二次函数的分析式；（2）求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标；（3）将（ 1）中求得的函数分析式用配方法化成y (x h)2k的形式．21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1 个单位长度，△ABC的三个极点的坐标分别为 A（﹣ 1，3）， B（﹣ 4，0）， C（ 0， 0）（1）画出将△ ABC向上平移 1 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度后获取的△A1B1C1；（2）画出将△ ABC绕原点 O顺时针方向旋转 90°获取△A2B2O；（3）在 x 轴上存在一点 P，满足点 P 到 A1与点 A2距离之和最小，请直接写出 P 点的坐标．22．已知：如图，四边形 ABCD中，∠ A＝∠ C＝90°，∠ D＝60°，AD 53，AB＝3，求 BC的长．23.某商店经营小孩益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元. 检查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少10 件，但每件玩具售价不可以高于40 元 .设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x为正整数），月销售利润为y 元 .（ 1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520 元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24.设二次函数y1x2 4 x 3 的图象为C1．二次函数y2ax2bx c( a 0) 的图象与 C1关于 y 轴对称．2（ 1）求二次函数y2ax bx c 的分析式；（ 2）当 3 x ≤0时，直接写出 y2的取值范围；（ 3）设二次函数y2ax2bx c(a 0) 图象的顶点为点 A，与 y 轴的交点为点B，一次函数 y3kx m ( k，m为常数，k≠0)的图象经过A，B两点，当 y2y3时，直接写出 x 的取值范围．．如图，设△ ABC和△ CDE都是正三角形，且∠ EBD＝o，2570A求∠ AEB的度数。
2020~2021学年度第一学期北京四中初三数学期中试题
初三数学试卷班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________ 考生须知 1．本试卷共8页，共26道题，满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。
3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。
一、选择题（每题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22-的最小值是 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．2521y x =-+（） B ．25+21y x =+（） C ．2521y x =--（） D ．25+21y x =-（） 4. 如图， AB 为⊙O 的弦， 点C 为AB 的中点，AB =8，OC =3， 则⊙O 的半径长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7第2题图第4题图5．已知A（12-，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y=-(x-2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1＜y2＜y3B. y1＜y3＜y2C. y3＜y1＜y2D. y3＜y2＜y16．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论①∠A=∠E，②∠ADB=90°，③FB=FD中正确的个数为( )A．0B．1C．2D．37．已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…2-1-0123…y…4-02204-…下列结论：①抛物线开口向下；②当−1<x<2时，y>0；③抛物线的对称轴是直线12x=；④函数2(0)y ax bx c a=++≠的最大值为2.其中所有正确的结论为( )A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④8.如图，在平面直角坐标系xOy中，以0)(3，为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C2)(0，，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作第8题图第6题图PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，yPFPE=+22．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分．．图象是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若抛物线26y x x m=++与x轴只有一个公共点，则m的值为 .10．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为 .11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y=x2+bx+c(a≠0)上的两个点，则b= ．12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5 m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为m．yBCAO第10题图13．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上， 过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ．14. 已知关于x 的二次函数42++=bx ax y 的图象如右图所示， 则关于x 的方程02=+bx ax 的根为_____________. 15.元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为（2，0），点D 在⊙A 上，且∠ODB ＝30°，求⊙A 的半径. 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.解：如图2，连接BC.yx41-4O第14题图图2图1第15题图∵∠BOC ＝90°，∴BC 是⊙A 的直径． （依据是___________________________________________） ∵∠ODB ＝30°，∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°．（依据是_________________________________________） ∴BC OB 21=． ∵OB=2,∴BC ＝4．即⊙A 的半径为2．16．抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ⊥abc ＜0； ⊥20a b +=； ⊥4a −2b +c >0； ⊥若，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是 .三、解答题 (本题共68分,第17题每小题5分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分) 17. 解关于x 的方程.（1）0232=++x x ； （2）01222=--x x .18. 已知抛物线的顶点为（-2,2），且过坐标原点，求抛物线的解析式.0m n >>第16题图19.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA .若AB = 4，CD =1，求⊙O 半径的长.20. 已知抛物线y=-x 2+2x +3，回答下列问题： (1)画出该函数图象(要求列表、2B 铅笔画图)；(2)当−3<x <3时，y 的取值范围是__________．21. 如图，⊥ABC 中AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE AC 于点E .x … ... y …...C D OAB求证：（1）BD=DC;（2）DE是⊙O的切线.22. 学生会要组织“四中杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？23.在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数22||y x x =-的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数22||y x x =-的自变量x 的取值范围是________． （2）化简：当x >0时函数y =_________，当x <0时函数y =________.（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点， 画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+232y mx mx m =-+. （1） 求抛物线的对称轴；（2） 过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .求点M ，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内(不包括边界)恰有3个整点，求m 的取值范围．25. （1）已知等边三角形ABC，请作出△ABC的外接圆⊙O.在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连结P A、PB、PC.①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②请判断P A、PB、PC的关系，并给出证明.B（2）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C=90°.在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连结P A、PB、PC.①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②请判断P A、PB、PC的关系，并给出证明.26.在平面直角坐标系xOy 中，对于△ABC ，点P 在BC 边的垂直平分线上，若以点P 为圆心，PB 为半径的⨀P 与△ABC 三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P 为△ABC 关于边BC 的“Math 点”.右图所示，点P 即为△ABC 关于边BC 的“Math 点”已知点P （0, 4），Q （ a , 0）（1）如图1，a =4，在点A （1, 0）、B ( 2, 2)、C ( 2√3, 2√3) 、D ( 5, 5)中，△POQ 关于边PQ 的“Math 点”为 .（2）如图2，a =4√3，①已知D (0 , 8)，点E 为△POQ 关于边PQ 的“Math 点”，请直接写出线段DE 的长度的取值范围;②将△POQ 绕原点O 旋转一周，直线y =−√3x +b 交x 轴、y 轴于点M 、N ，若线段MN 上存在△POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求b 的取值范围.图1 图2。
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北京四中2021~2021学年度九年级上期中考试数学试卷
（时刻：120分钟 满分：120分）
姓名： 班级： 成绩: ____________
一．选择题（每题4分，共32分） 1.抛物线y =(x +1)2
-4的顶点坐标是（ ）
A ．（1,4） B.(-1,4) C.(1,-4) D.(-1,-4) 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=
5
4
，则cosB 的值等于（ ） A ．53 B.
54 C. 4
3
D. 55
3.如图，在 ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ， 且AE 、BD 交于点F ，DE ：EC=2:3，则S △DEF :S △ABF =（ ） A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：25
4.在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似 中心，相似比为2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E′的坐标是（ ） A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)
5.二次函数y=ax 2
+bx +c （a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y
12
5
﹣3
﹣4
﹣3
5
12
给出了结论：
（1）二次函数y=ax 2
+bx +c 有最小值，最小值为﹣3； （2）当
时，y ＜0；
（3）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ． 3个
D ．0个 6.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=2． ∠DAC=∠B，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ） A ．a B ．
12a C ．13a D ．2
3
a
7.若定义变换：(,)(,)f a b a b =-，(,)(,)g m n m n =-，如：(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-， 则((2,3))g f -=（ ）
A ．(2,3)-
B ．(2,3)-
C ．(2,3)
D ．(2,3)--
8.小明从如图所示的二次函数y=ax 2
+bx +c （a ≠0）的图象中， 观看得出了下面五条信息：
①ab ＞0；②a +b +c ＜0；③b +2c ＞0；④a ﹣2b +4c ＞0；⑤．
你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二．填空题（每题4分共16分） 9.在△ABC 中，∠C =90°，3
cos ,32
B a =
= ，则b= ． 10.已知(-3，m ）、(1，m )是抛物线y=2x 2
+bx +3的两点，则b =____. 11.如图，是二次函数y 1＝ax 2
＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，
观看图象写出y 2>y 1时，x 的取值范畴__________．
12. 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象的一部分如图，则a 的取值范畴是____ __． 三．解答题（本题共30分） 13.运算：.
14.如图，正△ABC 中，∠ADE=60°，
(1)求证：△ABD ∽△DCE ；（2）若BD=2，CD=4，求AE 的长．
x
y
O
15.如图，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进（9m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，求该建筑物AB 的高度
16. 已知抛物线y ＝x 2
－2kx ＋3k ＋4．
(1)顶点在y 轴上时，k 的值为_________. (2)顶点在x 轴上时，k 的值为_________. (3)抛物线通过原点时，k 的值为_______.
17.已知二次函数y =- 12x 2 - x + 3
2
.
（1）在给定的直角坐标系中，画出那个函数的图象； （2）依照图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值范畴； （3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，
请写出平移后图象所对应的函数关系式．
18.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，⋅=5
4sin B 求：(1)线段DC 的长；
(2)tan ∠EDC 的值．
四、解答题（本题共20分，19、20每小题5分21题6分22题4分） 19.如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =5
sin B =
，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ．
（1）求AC 、BC 的长；
（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大并求出最大值．
20.如图，直线y ＝3x 和y ＝2x 分别与直线x ＝2相交于点A 、B ，将抛物线y ＝x 2
沿线段OB 移动，使其顶点始终在线段OB 上，抛物线与直线x ＝2相交于点C ，设△AOC 的面积为S ，求S 的取值范畴．
21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；假如每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．
设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直截了当写出自变量x的取值范畴；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？依照以上结论，请你直截了当写出售价在什么范畴时，每个月的利润不低于2200元？
22、当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化. 例如：
由抛物线y=x2－2mx+m2+2m－1①有y=(x－m)2+2m－1②，
因此抛物线顶点坐标为（m，2m－1），即x = m③, y = 2m－1④.
当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因而y的值也随x值的变化而变化.
将③代入④，得y=2x－1⑤. 可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：y=2x－1；
(1)依照上述阅读材料提供的方法，确定点（－2m, m－1）满足的函数关系式
为_______.
(2)依照阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.
五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题7分，第25题9分） 23. 已知二次函数22
-++=a ax x y
（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．
（2）设a <0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式．
（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB 的面积为2
13
3，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由。
24. 已知：∠ACD=90°，MN 是过点A 的直线，AC=DC ，D B⊥MN 于点B ，如图（1）． 易证BD+AB=
CB ，过程如下：
过点C 作CE⊥CB 于点C ，与MN 交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE． ∵四边形ACDB 内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°． ∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB ，∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE=CB ．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=
CB ．
(1)当MN 绕A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变，则BD 、AB 、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明． (2)MN 在绕点A 旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=
时，则CB=__________．
25.如图，抛物线y=ax2+bx+c通过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出现在P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）
2020—2020学年度第一学期期中考试初三数学答题卡班级学号姓名分数
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题（请把各题的答案写在相应题号的横线上！）
9、. 10、.
11、. 12、.
三、解答题（请在各题的答题区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！）
13. 运算：.
14.
15.
四、解答题（请在各题的答题区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！）
五、解答题（请在各题的答题区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！）
24.
（1）猜想：图（2）中_____________;图（3）中_______________; 证明：
（2）_____________________.
25.解：。