2013学而思五升六暑假试题及详解

第一讲 分数裂项一、 裂差b⨯-a a b ＝b ⨯a b －b ⨯a a ＝a 1－b1二、 裂和b⨯+a b a ＝b⨯a a +b⨯a b ＝b 1+a 1三、 裂项必须满足的条件1、分母可以写成几个因数乘积的形式2、分子可以用分母中的因数表示 裂项第一类题目：①211⨯+321⨯+…+1091⨯②1×2+2×3+…+9×10＝(1×2×3-0×2×3)+(2×3×4-1×2×3)+…+(9×10×11-8×9×10) ＝9×10×11--0×2×3＝990 ③！21+！32+…+！98+！109＝！212-+！313-+…+！919-+！10110- ＝(！11-！21)+(！21-！31)+…+(！81-！91)+(！91-！101)＝！11-！101＝1-！101④1×1！+2×2！+…+10×10！＝(2！- 1！)+(3！- 2！)+…+(11！- 10！)＝11！- 1！＝11！- 1 裂项第二类题目：①3211⨯⨯+4321⨯⨯+…+10981⨯⨯②1×2×3+2×3×4+…+8×9×10 ③31!3⨯+232!4⨯+333!5⨯…+10310!12⨯ ④1!×3-2!×4+3!×5-…+9!×11-10!⑤2)1(+⨯n n ＝2)1()11(+⨯-+n n ＝3)1(+n -2)1(+n各例题仿照这些题目去求解即可。

第二讲 韩信点兵我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N 除以A 余a ，除以B 余b ，除以C 余c 这一类问题的时候，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。

绝招二：加同补。

绝招三：中国剩余定理。

绝招四：逐级满足法。

中国剩余定理，知道了，往里套公式即可，但是孩子不容易记住公式，在此不提倡。

常采用的方法是：逐级满足法。

余数的表示形式：①a ÷b ＝q …r ；②a ＝bq+；③a-r ＝bq 。

【第一单元】韩信点兵 201、【第5题】摩比去买文具，所有的文具价格都是整数元。

他发现自己带的钱只能买a 支钢笔，剩下的钱恰好等于一本记事本的价格；若全买记事本可以买b 本，剩下的钱恰好等于一块橡皮的价格；若全买橡皮，最多可以买c 块，剩下的钱能买一支铅笔。

若四者价格成等差数列，而且有a+b+c ＝10，那他至少带了多少钱？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】钢笔单价＝记事本单价+d ，记事本单价＝橡皮单价+d ，橡皮单价＝铅笔单价+d 。

假设带的钱为A ，则：A 可以买a 个钢笔+1本记事本，A+d 可以买a+1个钢笔； A 可以买b 本记事本+1块橡皮，A+d 可以买b+1本记事本； A 可以买c 个橡皮+1支铅笔， A+d 可以买c+1个橡皮。

a ＜b ＜c ，(a+1)+(b+1)+(c+1)＝a+b+c+3＝10+3＝13，但是13＝3+4+6，所以a+1＝3，b+1＝4，c+1＝6，[3,4,6]＝12，钢笔单价：记事本：单价橡皮单价＝312:412:612＝4:3:2。

求至少，让公差＝1，A+d ＝[3,4,6]＝12，A ＝12－d ＝12－1＝11。

【答案】11。

【第二单元】逐级满足法 202、【第2题】有一正整数除以7、8、9的余数分别为1、5、4，求这个数至少是多少？ 【难度级别】★★★☆☆【解题思路】体验一下“逐级满足法”。

A ÷7＝a …1，A-1＝7k ，A ＝7k+1。

A ÷8＝b …5，A ≡5(mod 8)，7k+1≡5(mod 8)，最小值k ＝4，7k+1＝29，A ＝56m+29。

A ÷9＝c …4，A ≡4(mod 9)，56m+29≡4(mod 9)，2m+2≡4(mod 9)，最小值m ＝1，A ＝56m+29＝85。

A 的下一个值由A ＝504n+85求解，504＝7×8×9。

【答案】85。

203、【第5题】摩比、大宽、金儿三人带了一样多的钱去买文具，文具的价格都是整数元。

摩比只买钢笔，大宽只买记事本，金儿只买自动铅笔。

摩比和金儿都发现，如果自己能再多6元就正好能再多买到一支需要的笔；大宽和摩比发现自己剩下的钱一样多，而且三人剩余的钱凑到一起正好买一支自动铅笔。

若三种商品价格成等差数列，那么三人至少各带了多少元。

【难度级别】★★★★☆【解题思路】此题分析比较难，分析后就是3个除数的余数问题，用逐级满足法求解。

求至少，每种文具的单价尽量低，每人剩下的钱尽量少，三人剩下的钱也是尽量少，因三人剩余的钱正好买一支自动铅笔，所以自动铅笔的单价是最低的。

金儿买自动铅笔，金儿剩下的钱加6元可以多买一支，求最少，金儿剩下1元，自动铅笔单价：1+6＝7元。

因为三人剩余的钱正好买一支自动铅笔，7－1＝6，大宽和摩比剩下的钱一样多，6÷2＝3，各剩下3元，摩比买钢笔，摩比剩下的钱加6元可以多买一支，钢笔单价：3+6＝9元。

求最少，公差为1，大宽记事本的单价为8元。

摩比买钢笔， 钢笔单价为9元， 摩比剩下3元； 大宽买记事本， 记事本单价为8元， 大宽剩下3元； 金儿买自动铅笔， 自动铅笔单价为9元， 金儿剩下1元；以上各数据正好满足题目的各个条件；如果不满足，说明假设的金儿剩下1元和公差为1不合适，可以做适当调整，直到满足题目条件为止。

设三人至少带的钱为A ，则 A ÷9＝…3，A ÷8＝…3，A ÷7＝…1 8×9|A －3，A －3＝72k ，A ＝72k+3。

A ≡1(mod 7)，72k+3≡1(mod 7)，72k+3＝7×10k+2k ，72k+3≡2k+3≡1(mod 7)，2k+2≡0(mod 7)，2k ≡5(mod 7)，最小值k ＝6，此时，A ＝72k+3＝72×6+3＝435。

【答案】435。

【第三单元】复杂同余204、【第1题】求3030除以7的余数。

【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】30＝7×4+2，12≡2(mod 7)，22≡4(mod 7)，32≡1(mod 7)，i2除以7的余数3个一周期循环，30÷3＝10。

3030≡302≡32≡1(mod 7)。

【答案】1。

205、【第5题】一个正整数除以5、7、15、20都不能整除，而且四个余数成等差数列，求这个数至少是多少？【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】用逐级满足法。

求至少，A 除以5余1，则A 除以15余11，A 除以20余16，1、11、16显然公差为5，A 除以7余6。

A ÷5＝…1，A ÷7＝…6，A ÷15＝…11，A ÷20＝…16。

A ÷5＝…-4，A ÷7＝…6，A ÷15＝…-4，A ÷20＝…-4。

[5,15,20]＝60，60|A+4，A+4＝60k ，A ＝60k-4。

A ≡6(mod 7)，60k-4≡4k-4≡6(mod 7)，4k ≡3(mod 7)，最小值k ＝6，A ＝60×6-4＝356。

【答案】356。

206、【补充1】已知A-41|41A ，求A 。

【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】体会一下解题方法：41A ＝41(A-41)+241，A-41|241，41是质数，A-41＝1或41或241，A ＝42、82、1722。

【答案】42、82、1722。

207、【补充2】铺地面能用正几边形的瓷砖？ 【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】体会一下与上道题异曲同工的解题方法。

正n 边形的一个内角＝nn o180)2(⨯-，nn o180)2(⨯-|o360，nn )2(-|2，n-2|2n 。

2n ＝2(n-2)+4，n-2|4，4＝(n-2)k 。

k ＝1、2、4时有解，对应n ＝6、4、3。

所以，瓷砖可以是等边三角形、正方形、正六边形3种。

【答案】3、4、6。

208、【补充3】口口11101+=，有几种填法。

【难度级别】★★★☆☆【解题思路】体会一下解题方法，学会如何将一个分数（分子为1）拆分成2个分数，本题的方法比求解具体的题目更重要。

101＝)(10b a b a ++＝)(10b a a++)(10b a b+，a 和b 是10的约数，对10标准分解质因数。

10＝1152⨯，10有(1+1)×(1+1)=4个约数：1、2、5、10，a 和b 从这4个约数中取值。

(a,b)＝(1,1)、(1,2)、(1,5)、(1,10)、(2,5)共5组。

(2,10)与(1,5)重复，(5,10)与(1,2)重复，(2,2)、(5,5)、(10,10)都与(1,1)重复。

将(a,b)的5组取值代入得到：101＝201+201＝301+151＝601+121＝1101+111＝351+141。

【答案】5种。

第三讲 归纳与递推汉诺塔递推关系：n a ＝21-n a +1，n a ＝n2-1。

兔子数列递推关系：n a ＝1-n a +2-n a 。

本讲，要学会递推的思想，找到递推关系，通过求出第1项、第2项等前面几项，就可以根据递推公式求出后面各项。

当项数比较多时，还要推导出n a 的通项公式。

【第一单元】汉诺塔型递推问题301、【第1题】汉诺塔问题：若游戏的目标都是把长方块移至最右边的柱子上，且移动过程要遵守“大块在下小块在上”的规则，那么(3)若左边柱子上有n 层木块，至少需要挪几步？为什么？(4)汉诺塔被盛盛弄乱了，从下图所示的混乱状态直至完成，至少还需要挪几步？（移到过程不能违反规则）(5)从下图所示状态直至完成，至少需要挪几步？【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】(3) 12-n。

先将n-1块移到中间柱子上，将最大的那块移到右边柱子，再将那n-1块从中间移到右边，所以，n a ＝1-n a +1+1-n a ＝21-n a +1。

1a ＝1，2a ＝3，3a ＝7，4a ＝15，…1a +1＝2，2a +1＝4，3a +1＝8，4a +1＝16，…，n a +1＝n2。

所以，n a ＝n2-1，这是归纳出来的。

其实，从n a ＝21-n a +1，可以猜测前后两项存在大约2倍关系，通项必然与n2有关系。

用递推法可以证明：1a ＝12-1＝1成立，假设n a ＝n2-1成立，则 1+n a ＝2n a +1＝2×(n2-1)+1＝2×n2-2+1＝12+n －1，得证。