高中数学专题复习：专题复习(六)——函数与导数
高中高考数学专题复习《函数与导数》
50．设奇函数 在 上是增函数，且 ，则不等式 的解集为.
51．函数 在定义域 内可导，其图
象如图，记 的导函数为 ，则不等式 的解集为_____________
52．由直线 ， ，曲线 及 轴所围成的图形的面积是．
53．曲线y＝ex在 处的切线方程是.
54．对于三次函数 给出定义：设 是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数 ，请你根据上面探究结果，计算
9．曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（）
A BLeabharlann C 和 D 和10．曲线 在点 处的切线方程是
A． B．
C． D．
11．若质点P的运动方程为S(t)=2t2+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（）
A 2米/秒B 3米/秒C 4米/秒D 5米/秒
12．函数 图象上关于原点对称点共有（ ）
高中高考数学专题复习<函数与导数>
1．下列函数中，在区间 上是增函数的是（）
A． B. C. D.
2．函数 的图象关于()
A．y轴对称B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称D．直线y＝x对称
3．下列四组函数中，表示同一函数的是()
A．y＝x－1与y＝ B．y＝ 与y＝
C．y＝4lgx与y＝2lgx2D．y＝lgx－2与y＝lg
A．“函数与方程”的上位B．“函数与方程”的下位
C．“函数模型及其应用”的上位D．“函数模型及其应用”的下位
29．已知 （）
A、 B、 C、 D、
(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结
高中导数与函数知识点总结归纳一、基本概念1.导数的定义：设x 0是函数y =f (x )定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；比值率；如果极限lim ∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)称为函数y =f (x )在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=∆x ∆xf (x 0+∆x )-f (x 0)∆y 存在，则称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x y =f (x )在x 0处的导数。
f (x )在点x处的导数记作y 'x =x=f '(x 0)=lim∆x →0f (x 0+∆x )-f (x 0)∆x2导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x ))处的切线的斜率，也就是说，曲'线y =f (x )在点P (x 0,f (x ))处的切线的斜率是f (x 0)，切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).'3．基本常见函数的导数:n①C '=0;（C 为常数）②x ()'=nx x x n -1;③(sin x )'=cos x ;④(cos x )'=-sin x ;⑤(e )'=e ;⑥(a )'=a ln a ;⑦(ln x )'=x x 11;⑧(l o g ax )'=logae .xx二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：⎡'⎣f (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：⎡'=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )f x ⋅g x ⎤()()⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cf (x ))'=Cf '(x ).(C为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )g (x )≠0)。
导数复习题(含答案)
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是 ，故选D.
6．函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，
图象关于原点对称，
又 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，设 则不等式 的解集为（）
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结高中数学导数知识点总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，他能够提升我们的书面表达能力，因此十分有必须要写一份总结哦。
那么你真的懂得怎么写总结吗？以下是小编帮大家整理的高中数学导数知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
（一）导数第一定义设函数y = f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x（x0 + △x也在该邻域内）时，相应地函数取得增量△y = f （x0 + △x）— f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y = f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y = f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第一定义（二）导数第二定义设函数y = f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有变化△x（x — x0也在该邻域内）时，相应地函数变化△y = f（x）—f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y = f （x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y = f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第二定义（三）导函数与导数如果函数y = f（x）在开区间I内每一点都可导，就称函数f（x）在区间I内可导。
这时函数y = f（x）对于区间I内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y = f（x）的导函数，记作y'，f'（x），dy/dx，df（x）/dx。
导函数简称导数。
（四）单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤（1）求f（x）（2）确定f（x）在（a，b）内符号（3）若f（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤（1）求f（x）（2）f（x）>0的解集与定义域的'交集的对应区间为增区间；f （x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。
高中数学导数知识点归纳总结
范围是（ ）
A．
3 2e
,1
B．
3 2e
,
3 4
【解析】方法一：分离函数---数形结合法
C．
3 2e
,
3 4
D．
3 2e
,1
-7-
巧辨“任意性问题”与“存在性问题” 一．方法综述
注意：当 x=x0 时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数
原函数
f '(x) 的符号
f (x) 单调性
f '(x) 与 x 轴的交点且交点两侧异号
（2）分离参数：将含参不等式转化为转化为 f (x) a; f (x) a ，进而研究直线 y a与y f (x) 图像位
置关系，寻找临界状态，求参数的范围。
（3）分离函数：通过变形将不等式转化为形如（ f (x) 或 g(x); f (x) 或 g(x) 的形式，参数通常
在直线形式的函数里），进而研究两个函数图像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围。 （4）特殊点法：根据图形从特殊点的值入手求参数范围。 【典例分析】
(3)下结论
① f '(x) 0 f (x) 该区间内为增函数； ② f '(x) 0 f (x) 该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数 y f (x) 单调区间的步骤为： （1）分析 y f (x) 的定义域； （2）求导数 y f (x) （3）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间
高三数学复习之函数与导数
高三数学复习之函数与导数1．若函数12)(22-=-+aax xx f 的定义域为R ，则实数a 的取值X 围是．2．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是．3．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =．则a ，b ，c 的大小关系是4．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数， 则m 的取值X 围是．5．已知函数y =f (x )的图象如图所示，则不等式21()1x f x +->0的解集为__(-2,1)__．6．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，对任意x ∈R ，都有(4)()(4)f x f x f +=+成立，则(2008)f =______．7．若f (x )=)42(log 2+-ax x a 在[,)a +∞上为增函数，则a 的取值X 围是_．8．f (x )=|log |3x 的定义域为[a,b ]，值域为[0,1]，若区间[a,b ]的长度为b-a ，则b-a 的最 小值为9．．当[12]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值X 围是______． 10．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是．11．已知函数f (x )=3231x ax ax -++在区间(,)-∞+∞内既有极大值,又有极小值,则实数a 的取值X 围是．12．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+＝． 13．设函数f (x)的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称f (x )为有界函数，下列函数：（1）f (x )=x 2；（2）f (x )=2x；（3）f (x )= 2sin x ；（4）f (x )=sin x +cos x ．其中是有界函数的序号是．14．已知函数f (x )是定义在(-3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如右图所示,则不等式f (x )cos x <0的解集 是15．已知函数()2213222f x x mx m m =++--，当(0,)x ∈+∞时，恒有()0f x >，求m 的取值X 围．（第5题图）16．．已知函数f (x )的定义域为(0,)+∞，且对任意的正实数x 、y 都有f (xy )=f (x )+f (y )，且当x＞1时，f (x )＞0，f (4)=1．（1）求证：f (1)=0；（2）求：1()16f ； （3）解不等式：f (x )+f (x -3)≤1．17．如图，已知矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C ，D 落在抛物线弧y = -x 2+2x (0＜x＜2) 上．设点C 的横坐标为x ．（1）将矩形ABCD 的面积S (x )表示为x（2）求S (x )的最大值．18．已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．高三数学复习之函数与导数1．若函数12)(22-=-+aax xx f 的定义域为R ，则实数a 的取值X 围是01≤≤-a ．2．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是3．3．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =．则a ，b ，c 的大小关系是a b c <<．4．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数， 则m 的取值X 围是 13m ≤≤．5．已知函数y =f (x )的图象如图所示，则不等式21()1x f x +->0的解集为__(-2,1)__． 6．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，对任意x ∈R ，都有(4)()(4)f x f x f +=+成立，则(2008)f =____0___．7．若f (x )=)42(log 2+-ax x a 在[,)a +∞上为增函数，则a 的取值X 围是_12a <<_．8．f (x )=|log |3x 的定义域为[a,b ]，值域为[0,1]，若区间[a,b ]的长度为b-a ，则b-a 的最小值为23．9．．当[12]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值X 围是___m >2___．10．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是1(,)e -+∞．11．已知函数f (x )=3231x ax ax -++在区间(,)-∞+∞内既有极大值,又有极小值,则实数a 的取值X 围是(,0)(3,)-∞⋃+∞．12．．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+ ＝ 3 ．13．设函数f (x)的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称f (x )为有界函数，下列函数：（1）f (x )=x 2；（2）f (x )=2x；（3）f (x )= 2sin x ；（4）f (x )=sin x +cos x ．其中是有界函数的序号是③，④． 14．已知函数f (x )是定义在(-3,3)上的奇函数，当0<x时，f (x )的图象如右图所示,则不等式f (x )cos x <0的解集是(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃．二、解答题：15．思路点拨:此题为动轴定区间问题,解:213()()22f x x m m =+--当0m -≤即0m ≥时,2133(0)00;222f m m m ≥⇒--≥∴≥ 当0m ->即0m <时,130322m m -->∴<-.综上得:3m <-或32m ≥. 点评:分类讨论要做到不漏掉任何情况,尤其是端点处的数值不可忽视.最后结果要取并集.变式训练:已知2()cos sin cos 1()R f x a x x x a =-+∈,当[0,]2x π∈ 时,)(x f 的最小值为2-,求a 的值.解: ()sin(2)162a f x a x π=-++，512[,],sin(2)[1,]66662x x ππππ-∈--∈-.当0a >时，min ()12,62a f x a a =-++=-∴=． 当0a <时，min ()12,322a a f x a =++=-∴=-． 16．解：（1）令x =4，y =1，则f (4)=f (4×1)=f (4)+f (1)，f (1)=0．（2）f (16)=f (4×4)=f (4)+f (4)=2，f (1)=1(16)16f ⨯=1()16f +f (16)=0，1()16f = -2． （3）设x 1、x 2＞0，且x 1＞x 2，于是12()x f x ＞0， 1112222()()()()x xf x f x f f x x x ==+＞2()f x ， ∴f (x )为(0,)+∞上的增函数．又f (x )+f (x -3)=f [x (x -3)]≤1=f (4)， ∴0,30,(3)4x x x x ⎧⎪-⇒⎨⎪-⎩＞＞≤3＜x ≤4． 17．解：因点C 的横坐标为x ，故C 的纵坐标为y = -x 2+2x ，B 的坐标(x ，0)，A (2-x ，0)． 矩形ABCD 的面积为()(22)S x x y =-2(22)(2)x x x =--+32264x x x =-+-（1＜x ＜2）．令 2()61240S x x x '=-+-=，得 1x =±． 由于11x =-，故舍去，于是1x =+． 当x ∈(1，2)时，()S x '的符号如下：所以，S S = 322(16(14(1-+++-+． 18．解：（Ⅰ）当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =，又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即032256=-+y x（Ⅱ）2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数． 函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．。
高中数学一轮复习之函数之导数求和之倒序相加与错位相减法
高中数学一轮复习之函数之导数求和之倒序相加与错位相减法引言在高中数学的研究中，函数是一个非常重要的概念，而导数则是函数中的一种重要工具。
本文将介绍函数的导数求和的两种方法，即倒序相加法和错位相减法。
函数的导数求和之倒序相加法倒序相加法是一种常用的方法，用于计算函数的导数的和。
具体步骤如下：1. 首先，找到函数的导数表达式，并按照x的幂次从高到低的顺序列出。
2. 然后，将每个导数的表达式从高到低的顺序相加，并化简。
3. 最后，得到函数的导数的和。
例如，对于函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求其导数的和的过程如下：1. 求导数：f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。
2. 将导数的表达式按照x的幂次从高到低的顺序相加：9x^2 + 4x - 5。
3. 化简得到函数的导数的和：9x^2 + 4x - 5。
函数的导数求和之错位相减法错位相减法是另一种常用的方法，用于计算函数的导数的和。
具体步骤如下：1. 首先，找到函数的导数表达式，并按照x的幂次从高到低的顺序列出。
2. 然后，将相邻导数的表达式相减。
3. 最后，得到函数的导数的和。
例如，对于函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求其导数的和的过程如下：1. 求导数：f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。
2. 将相邻导数的表达式相减：(9x^2 - 4x) + (4x - 5)。
3. 化简得到函数的导数的和：9x^2 - 5。
结论函数的导数求和是高中数学中的重要内容。
本文介绍了倒序相加法和错位相减法这两种常用的方法。
通过这些方法，我们可以得到函数的导数的和，进一步理解函数的性质和变化规律。
在数学一轮复中，掌握这些方法对于应对考试和解决实际问题都具有重要意义。
高中导数知识点总结大全
高中导数知识点总结大全追逐高考，我们向往成功，我们希望激发潜能，我们就需要在心中铸造一座高高矗立的、坚固无比的灯塔，它的名字叫信念。
那么接下来给大家分享一些关于高中导数知识点总结大全，希望对大家有所帮助。
高中导数知识点总结1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx 的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
函数导数专题分析课件-2025届高三数学一轮复习
深度和广度。思维量加大，灵活，与其他知识的交汇，比如在不等式，数列，解析几何中的应
用，这就要求我们在复习中注重基础知识的理解和思维能力的培养。
（二）深入考查直观想象素养。 （三）扎实考查数学运算素养。
二、创设自然真实情境 助力应用能力考查 2023高考试题评价
（一）创设现实生活情境（二）设置科学研究情境（三）设计劳动生产情境
三、落实“四翼”考查要求 助力“双减”政策落地
（一）突出基础性要求。 （二）彰显综合性要求。
如新课标Ⅱ卷第22题和全国甲卷理科第21题，将导数和三角函数巧妙地结合起来， 通过对导函数的分析，考查函数的单调性、极值等相关问题，通过对导数、函数不 等式等知识，深入考查分类讨论的思想、转化与化归的数学思想。
高考导数知识点梳理
2022全国乙卷理21（2）、2022全国乙卷文20 （2）、2021全国新高考Ⅱ22（2）、2020全国Ⅲ 理20（2）、2020全国Ⅲ文21（2）、2020全国Ⅰ 文20（2）、2019全国Ⅰ文20（1）、2019全国Ⅰ 理20（2）、2019全国Ⅱ文21（2）、2018全国 Ⅱ21（2）、2018全国Ⅱ理21（2）、2021全国甲 理 21（2）、2021全国甲文21（2）共13次
2021新高考Ⅱ22（1）、2021甲卷文20（1）、 2021全国乙卷文21（1）、2019全国Ⅰ文20 （1）、2019全国Ⅲ理（20）、2020全国Ⅲ文20 （1）、2018全国Ⅰ理21（1）、2020全国Ⅱ文 21（2）共8次
2022全国乙卷文20（1）、2019全国Ⅱ文 21（1）、2018全国Ⅲ理21（2）、2018 全国Ⅰ文21（1）、2019全国Ⅲ文20 （2）、2019全国理20（2）共6次
单调性、不等式、构造函数 构造函数或利用不等式比较大小
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结高中数学导数是微积分的重要内容，也是数学建模、物理学、经济学等学科的基础知识。
导数是函数在某一点上的局部变化率的极限，是研究函数性质和求解最优化问题的重要工具。
本文将对高中数学导数的相关知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握导数的概念和运算规则。
一、导数的定义和性质1. 导数的定义：设函数y=f(x)，如果函数在点x处的极限存在，那么称该极限为函数在点x处的导数，记作f'(x)或dy/dx。
2. 导数的几何意义：导数表示函数在某一点上的切线斜率，即函数图像在该点上的瞬时变化率。
3. 导数存在的条件：函数在某一点上导数存在的充分条件是它在该点连续。
连续函数在任意一点上导数必存在，但导数存在并不意味着函数连续。
4. 导数的性质：(1) 加法法则：(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)(2) 数乘法则：(cf)'(x) = cf'(x)，其中c为常数(3) 乘法法则：(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(4) 商法则：(f/g)'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/g^2(x)，其中g(x)≠0(5) 复合函数的导数：(f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)(6) 常用函数的导数公式：如常函数、幂函数、指数函数、对数函数等二、导数的计算方法1. 基本初等函数的导数计算方法：包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数计算方法，可以通过直接计算或使用求导公式求解。
2. 特殊函数的导数计算方法：包括三角函数、反三角函数、指数函数与对数函数的复合函数等的导数计算方法。
3. 隐函数求导法：对给定方程两边同时求导，将隐函数的导数表示为已知量和未知量的关系，再进行求解。
4. 参数方程求导法：将参数方程表示的函数化为自变量的函数，然后进行求导。
导数的运算法则及基本公式应用
题目高中数学复习专题讲座导数的运算法则及基本公式应用 高考要求导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导 重难点归纳1深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数xy∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′(x )=xyx ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式)()()(lim )()(lim000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆2求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键3对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误4 复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环 必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系 典型题例示范讲解例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω 命题意图本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型知识依托解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数错解分析本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错技巧与方法先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γγ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一设y =f (μ),μ=,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x=),1(122+'+x f x x解法二y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x=12+x x f ′(12+x )例2利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *) (2)S n =C+2C+3C+…+n C,(n ∈N *)命题意图培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力知识依托通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构错解分析本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想 技巧与方法第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导 解(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=xx x n --+11,两边都是关于x 的函数，求导得(x +x 2+x 3+…+x n)′=(xx x n --+11)′即S n =1+2x +3x 2+…+nxn －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ (2)∵(1+x )n =1+C x +C x 2+…+C x n ,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C+2C x +3C x 2+…+n C x n －1,令x =1得，n ·2n －1=C+2C+3C+…+n C,即S n =C+2C+…+n C=n ·2n －1例3 已知曲线Cy =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标解由l 过原点，知k =x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 又k =x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83 ∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 学生巩固练习1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A0 B1 C －1D22经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x+y =0C x +y =0或25x －y =0D x －y =0或25x－y =03若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________4设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程6求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx - 7有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 14 m 时，梯子上端下滑的速度8求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *) 参考答案1解析y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1 答案B2解析设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =x y ,另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x ,故y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0 得x 0(1)=－3, x 0 (2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53), 从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )=251)515(42-=+-- ,由于切线过原点，故得切线l A :y =－x 或l B :y =－25x 答案A3解析根据导数的定义 f ′(x 0)=k x f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f kx f k x f k x f k x f k k k答案－14解析设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！ 答案n !5解设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2) 对于C 1y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为 y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12①对于C 2y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为 y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4② ∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4, 解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0 ∴直线l 方程为y =0或y =4x －4 6解(1)注意到y ＞0,两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxxe x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得31)1(31)1(131)1(131)111(311xx x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7解设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -, 当下端移开14 m 时，t 0=157341=⋅, 又s ′=－21 (25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t-,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0875(m/s)8解(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1), 当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+, 两边同乘以x ,得x +2x 2+3x 2+…+nx n=221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n-1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++ 课前后备注。
高中数学复习教案：导数与函数的单调性
第十一节导数与函数的单调性[考纲传真]了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导,则(1)若f′(x)＞0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)＜0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若f′(x)＝0,则f(x)在这个区间内是常数函数．[常用结论]1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f′(x)>0. ()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0,则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()(4)若函数f(x)在区间(a,b)上满足f′(x)≤0,则函数f(x)在区间(a,b)上是减函数．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4,＋∞) D．(－∞,0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4),由f′(x)<0,得0<x<4,∴递减区间为(0,4)．]3．(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象,则下列判断中正确的是()A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(1,3)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(3,4)上是增函数A [当x ∈(－3,0)时,f ′(x )＜0,则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 4．(教材改编)函数f (x )＝cos x －x 在(0,π)上的单调性是( ) A ．先增后减B ．先减后增C ．增函数D ．减函数D [f ′(x )＝－sin x －1,又x ∈(0,π),所以f ′(x )＜0,因此f (x )在(0,π)上是减函数,故选D.] 5．已知f (x )＝x 3－ax 在[1,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________． (－∞,3] [f ′(x )＝3x 2－a ,由题意知f ′(x )≥0,即a ≤3x 2对x ∈[1,＋∞)恒成立． 又当x ∈[1,＋∞)时,3x 2≥3,所以a ≤3.]不含参数的函数的单调性1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(1,＋∞)D ．(0,＋∞)B [函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0,＋∞), y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x ,令y ′＜0,得0＜x ＜1,所以单调递减区间为(0,1),故选B.] 2．已知函数f (x )＝x ln x ,则f (x )( ) A ．在(0,＋∞)上递增 B ．在(0,＋∞)上递减 C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减D [因为函数f (x )＝x ln x ,定义域为(0,＋∞),所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0), 当f ′(x )＞0时,解得x ＞1e ,即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞;当f ′(x )＜0时,解得0＜x ＜1e ,即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ,故选D.]3．已知定义在区间(－π,π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ,则f (x )的单调递增区间是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x , 令f ′(x )＝x cos x ＞0,则其在区间(－π,π)上的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2, 即f (x )的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.] [规律方法] 求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域; (2)求f ′(x );(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0,得单调递增区间; (4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0,得单调递减区间.易错警示：(1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如函数f (x )＝x 3,f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时,f ′(x )＝0),但f (x )＝x 3在R 上是增函数.含参数的函数的单调性【例1】 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． [解] f (x )的定义域为(0,＋∞), f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时,f ′(x )＞0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递增;②当a ≤0时,f ′(x )＜0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递减; ③当0＜a ＜1时,令f ′(x )＝0,解得x ＝1－a 2a ,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时,f ′(x )＜0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时,f ′(x )＞0,故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．[规律方法] 解决含参数的函数单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(1)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R ),求函数f (x )的单调区间．[解] f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上,Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0,即a ≥1时,f ′(x )≥0恒成立, f (x )在R 上单调递增．②当1－a ＞0,即a ＜1时,令f ′(x )＝0,解得x 1＝－1－1－a ,x 2＝－1＋1－a ,令f ′(x )＞0,解得x ＜－1－1－a 或x ＞－1＋1－a ;令f ′(x )＜0,解得－1－1－a ＜x ＜－1＋1－a ,所以f (x )的单调递增区间为(－∞,－1－1－a )和(－1＋1－a ,＋∞); f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ,－1＋1－a )． 综上所述：当a ≥1时,f (x )在R 上单调递增;当a ＜1时,f (x )的单调递增区间为(－∞,－1－1－a )和(－1＋1－a ,＋∞), f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ,－1＋1－a )．(2)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a ＞0)．求f (x )的单调区间． [解] 由题意得f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a ＞0), 令f ′(x )＝0,解得x 1＝0,x 2＝2－2a a .①当0＜a ＜1时,f (x )的单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞,单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ;②当a ＝1时,f (x )在(－∞,＋∞)内单调递增;③当a ＞1时,f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0,＋∞),单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 函数单调性的应用►考法1 【例2】 (2019·莆田模拟)设函数f ′(x )是定义在(0,2π)上的函数f (x )的导函数,f (x )＝f (2π－x ),当0＜x ＜π时,若f (x )sin x －f ′(x )cos x ＜0,a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,b ＝0,c ＝－32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6,则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜bA [由f (x )＝f (2π－x ),得函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称,令g (x )＝f (x )cos x ,则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )·sin x ＞0,所以当0＜x ＜π时,g (x )在(0,π)内递增,所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6,即a ＜b ＜c ,故选A.]►考法2 根据函数的单调性求参数【例3】 (1)(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ,其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x ), 所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0,所以f (2a 2)≤－f (a －1),即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0, 所以f (x )在R 上单调递增, 所以2a 2≤1－a ,即2a 2＋a －1≤0, 所以－1≤a ≤12.](2)已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．①若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围;②若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．[解] ①h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2,由于h (x )在(0,＋∞)上存在单调递减区间,所以当x ∈(0,＋∞)时,1x －ax －2＜0有解, 即a ＞1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ,所以只要a ＞G (x )min 即可． 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,所以G (x )min ＝－1,所以a ＞－1,即a 的取值范围为(－1,＋∞)． ②由h (x )在[1,4]上单调递减得,当x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立, 即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )ma x ,而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )ma x ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716,即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.[规律方法] 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集. (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.(1)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＞0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数),则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4B.2f⎝⎛⎭⎪⎫π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫π4C．f(0)＞2f ⎝⎛⎭⎪⎫π3D．f(0)＞2f⎝⎛⎭⎪⎫π4(2)已知a≥0,函数f(x)＝(x2－2ax)e x,若f(x)在[－1,1]上是减函数,则a的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12(1)A(2)C[(1)令g(x)＝f(x)cos x,则g′(x)＝f′(x)cos x＋f(x)sin xcos2x＞0,即g(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数,则有g⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜g⎝⎛⎭⎪⎫－π4,即f⎝⎛⎭⎪⎫－π3cos⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫－π4cos⎝⎛⎭⎪⎫－π4,即2f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜2f⎝⎛⎭⎪⎫－π4.即2f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫－π4,故选A.(2)f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x＝[x2＋(2－2a)x－2a]e x,由题意知当x∈[－1,1]时,f′(x)≤0恒成立,即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a,则有⎩⎨⎧g(－1)≤0，g(1)≤0，即⎩⎨⎧(－1)2＋(2－2a)·(－1)－2a≤0，12＋2－2a－2a≤0，解得a≥34,故选C.]1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin 2x＋a sin x在(－∞,＋∞)单调递增,则a的取值范围是()A．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 C [取a ＝－1,则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ,f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ,但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0,不具备在(－∞,＋∞)单调递增的条件,故排除A,B,D.故选C.]2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1. 设x ＝2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间． [解] f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝a e x －1x . 由题设知,f ′(2)＝0,所以a ＝12e 2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1,f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时,f ′(x )<0; 当x >2时,f ′(x )>0.所以f (x )在(0,2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增．3．(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x .讨论f (x )的单调性． [解] 函数f (x )的定义域为(－∞,＋∞), f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0,则f (x )＝e 2x 在(－∞,＋∞)上单调递增． ②若a ＞0,则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞,ln a )时,f ′(x )＜0; 当x ∈(ln a ,＋∞)时,f ′(x )＞0. 故f (x )在(－∞,ln a )上单调递减, 在(ln a ,＋∞)上单调递增．③若a <0,则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时,f ′(x )＜0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时,f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．综上所述,若a ＝0时,f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增．若a ＞0时,f (x )在(－∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,＋∞)上单调递增．若a ＜0时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．。
【高中数学】导数知识点梳理(附题型答题技巧)
高中数学导数知识点梳理一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=图片处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点图片趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点图片趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=图片处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，图片便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作图片，即二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四.推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
宁夏石嘴山市第三中学人教版高三数学复习组课件：函数与导数(共18张PPT)
石嘴山市第三中学高三数学组 张海玲 2019年3月
一、知识背景
函数内容是高中数学的核心内容。函数类问题的解决最终
归结为对函数性质、函数思想的应用,而函数与导数中的恒成立 问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思 想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜 。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数 与对数函数等函数的性质、图象，同时与数列、方程、几何有机 结合起来，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等数学思 想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵 活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此，恒成立问题也成 为历年高考的一个热点.
思想转化为函数图象的关系再处理,或者转
化为 f(x)g(x)0用最值法求解。
（二）恒成立问题的求解策略 1.判别式法
主要是使用于二次函数型或可转化为二次函数 型的恒成立问题的求解 2.最值法 主要是使用于可以通过直接求最值能解决的恒 成立问题，有些复杂一点的函数的恒成立问题 的求解要借助于导数来完成。
巩固练习
1.如果对任意实数 x，不等式 k2x2kx(k2)0
恒成立，则实数 k的取值范围是 --1--k---0--
2.证明：当时 x0时 lnx ， xex
3.已知函数
f(x)1xlnx(a0) ax
，若函数f
(x)
在 [1,) 上是增函数，求实数 a的取值范围.
a 1
课时小结：
1.一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
[2,2]
-----（3）若不等式对 a[任 2,2意 ]恒成立，x则 的实 取值范围
(-,)
------
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解06 函数图像辨析
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解 第6讲 函数图像识别辨析专项突破高考定位函数图象作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已经成为各省市高考命题的一个热点。
在高考中经常以几类初等函数的图象为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。
考点解析（1）知图选式的方法 （2）知式选图的方法（3）同一坐标系中辨析不同函数图像的方法（4）解决需要我们利用图像所提供的信息来分析解决问题这类题目的常用方法 定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题;定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题;函数模型法，也就是由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题. 题型解析类型一、由解析式判定图像例1-1（含参型）．（2022·全国·高三专题练习）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3loga f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠， 即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =，当x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间⎛⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间⎛ ⎝⎭上为减函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为增函数，0g =，则()g x 存在极小值3g a =-=⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B. 知式选图的方法（1）从函数的定义域，判断图像左右的位置;从函数的值域，判断图像上下的位置; （2）从函数的单调性（有时可借助导数判断），判断图像的变化趋势; （3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性; （4）从函数的周期性，判断图像的循环往复; （5）从函数的极值点判断函数图像的拐点.练．（2021•重庆模拟）函数()(kx f x e lnx k =⋅为常数）的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：令()0kx f x e lnx =⋅=，解得1x =，即函数()f x 有且只有一个零点，故D 不可能，()(1)kxe f x kxlnx x'=+，令y xlnx =，则1y lnx '=+，令0y '>，则1x e>，即函数y 在1(e，)+∞上单调递增，令0y '<，则1x e<，即函数y 在1(0,)e上单调递减，∴当1x e =时，y 取得最小值，为1e -，即1[xlnx e∈-，)+∞，且0x →时，0xlnx →，x →+∞时，xlnx →+∞，故当0k e 剟时，()0f x '…，()f x 单调递增，选项A 可能，当k e >时，()f x '存在两个零点1x ，2x ，且12101x x e<<<<，()f x ∴在1(0,)x 和2(x ，)+∞上单调递增，在1(x ，2)x 上单调递减，选项B 可能，当0k <时，()f x '存在唯一零点0x ，且01x >，()f x ∴在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减，选项C 可能，故选：ABC ． 练．函数()mf x x x=-（其中m ∈R ）的图像不可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】易见,0(),0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，① 当0m =时()=f x x ()0x ≠，图像如A 选项；②当0m >时，0x >时()m f x x x =-，易见,my x y x==-在()0,+?递增，得()f x 在()0,+?递增； 0x <时()m f x x x =--，令x t -=，得(),0mf t t t t=+>为对勾函数， 所以()f t在)+∞递增，(递减，所以根据复合函数单调性得()f x在(,-∞递减，()递增，图像为D ； ③当0m <时，0x <时()m f x x x =--，易见,my x y x=-=-在(),0-?递减，故()f x 在(),0-?递减；0x >时()m m f x x x x x-=-=+为对勾函数， 所以()f x在(递减，)+∞递增，图像为B. 因此，图像不可能是C. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用对勾函数单调性来判断函数的图像，属于中档题.例1-2（原导混合型）（2021·重庆市南坪中学校高二月考）函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误，故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. .同一坐标系中辨析不同函数图像的方法解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图像是正确的，然后再验证另一个函数图像是否符合要求，逐项进行验证排查.练．函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+． 由①②中函数()g x 的图象得0ac bc >⎧⎨<⎩， 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求； 若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．类型二、由图像判定解析式例2-1（2019·甘肃·兰州五十一中高一期中）若函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可以为（）A ．21()xf x x+=B ．()2ln 2()x f x x+=C ．33()xf x x+= D ．ln ()x f x x=【答案】A 【分析】根据函数图象的基本特征，利用函数定义域、值域、奇偶性等排除可得答案． 【详解】选项B 根据图象可知：函数是非奇非偶函数，B 排除； 选项C 根据图象x 趋向于-∞，函数值为负，与C 矛盾故排除； 选项D 函数图象在第三象限，0x <，与D 的定义域矛盾，故排除； 由此可得只有选项A 正确； 故选:A. 【点睛】本题考查函数图象判断解析式，此类问题主要利用排除法，排除的依据为函数的基本要素和基本性质，如定义域、值域、零点、特殊点、奇偶性、单调性等，属于中等题. 例2-2．函数y =f (x )的图象如图所示，则函数y =f (x )的解析式可能为（）A ．ln 1xy x =+ B ．cos 1xy x =+ C ．1xe y x =+D ．1x y x =+【答案】C【分析】结合函数的图象，从函数的定义域，0x =和0x >时判断.【详解】由()y f x =图象得函数的定义域为{}1,x x x ≠-∈R ∣，排除A ；由()00f >，排除D ；由0x >时,()0f x >，排除B ．故选：C.例2-3（2020·浙江·台州市黄岩中学高三月考）某函数的部分图像如下图，则下列函数中可作为该函数的解析式的是（）A ．sin 2sin 2xxy e =B ．cos2cos 2xxy e =C ．cos2cos 2xx y e =D ．cos cos xxy e =【答案】C 【分析】利用函数值恒大于等于0，排除选项A 、B 、D ，则答案可得.【详解】当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而A 选项中，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 2sin 20xxy e=<，故排除A ；当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而B 选项中，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2cos20x xy e =<，故排除B ；当x ∈R 时，函数值恒大于等于0，而D 选项中，当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos cos 0x xy e =<，故排除D ； 因此，C 选项正确； 故选：C . 【点睛】本题考查由函数图象判断函数的解析式，考查运算求解能力、数形结合思想，体现了数学运算的核心素养，破解此类问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点排除不适合的选项，从而得出合适的选项.本题属于中等题.例2-4（2019·全国·高三月考（理））已知函数()y f x =图象如下，则函数解析式可以为（）A ．()()()sin 2ln 1f x x x π=+B ．()()2sin 222xxx x f x π-=-C ．()()()sin 222x x f x x π-=-D ．()()()sin 222x x f x x π-=+【答案】C 【分析】根据图象可知函数()y f x =为偶函数，且定义域为R ，然后分析各选项中各函数的定义域与奇偶性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的定义域为R ，且为偶函数.对于A 选项，()()()sin 2ln 1f x x x π=+的定义域为{|0}x x ≠，不合乎题意； 对于B 选项，令220xx--≠，得0x ≠，则函数()()2sin 222xxx x f x π-=-的定义域不为R ，不合乎题意；对于C 选项，函数()()()sin 222x x f x x π-=-的定义域为R ，且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=--=-=，该函数为偶函数，合乎题意； 对于D 选项，函数()()()sin 222x x f x x π-=+的定义域为R ，且()()()()()()sin 222sin 222x x x x f x x x f x ππ---=-+=-+=-，该函数为奇函数，不合乎题意. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法求解，考查推理能力，属于中等题. 总结：知图选式的方法（1）从图像的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域 （2）从图像的变化趋势，观察函数的单调性;（3）从图像的对称性方面，观察函数的奇偶性; （4）从图像的循环往复，观察函数的周期性.类型三、读图提取性质求参例3-1．若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B 【分析】 令()0f x =得到1ln x n m=，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断. 【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m =，由图象知1l 0n x mn =>， 当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C ，故选：B练．已知常数a 、b 、R c ∈，函数()2bx cf x x a+=-的图象如图所示，则a 、b 、c 的大小关系用“<”可以表示为_______.【答案】b c a <<【解析】若0a <，则函数()f x 的定义域为R ，不合乎题意， 若0a =，则函数()2bx cf x x +=的定义域为{}0x x ≠，不合乎题意，若0a >，则函数()2bx cf x x+=的定义域为{x x ≠，合乎题意. 由图可知()00c f a==-，可得0c =，则()2bx f x x a =-，当0x <<20x a -<，则20x x a <-，则()20bxf x x a=>-，所以0b <. 因此，b c a <<. 故答案为：b c a <<.例3-2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()()4cos xx f ex ωϕ+=（0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则ωϕ=（）A ．12B ．1C ．2D ．2π【答案】C 【分析】由函数零点代入解析式待定系数ϕ、ω. 【详解】由图象可知，由(0)0f =得cos 0ϕ=，又0ϕπ<<，解得2ϕπ=.则()4cos 4sin 2x xx x ee f x πωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-， 法一：由(1)0f =得sin 0ω=，解得()k k Z ωπ=∈， 又当(0,1)x ∈，(0,)x ωω∈时，恒有()0f x <， 即sin 0x ω>恒成立，故0ωπ<≤，1k ∴=，即ωπ=，则2ωϕ=. 法二：由sin 0x ω=，解得()k x k Z πω=∈，故两相邻零点的距离为πω，由图象可知1πω=，则ωπ=，则2ωϕ=. 故选：C. 【点睛】已知函数图象待定解析式，一是从函数的特征点入手，代入点的坐标从而待定系数，如函数的零点、极值点、与纵轴的交点、已知横纵坐标的点等等；二是从函数的特征量入手，找到等量(不等量)关系待定系数(范围)，如函数的周期、对称轴、切线斜率、图象上两点间的距离、相关直线所成角等等. 练．已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则a ω可取A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而x y a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈． 因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．类型四、实际情景提取图像例4-1．如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，12l l //，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于点E 、D ，设弧FG 的长为x (0)x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】依题意，正ABC 的高为1，则其边长BC =，如图，连接OF ，OG ，过O 作ON ⊥l 1于N ，交l 于点M ，过E 作EH ⊥l 1于H ，因OF =1，弧FG 的长为x (0)x π<<，则F O G x ∠=，又12////l l l ，即有1122FON FOG x ∠=∠=，于是得cos cos 2xOM OF FON =⋅∠=，1cos 2x EH MN ON OM ==-=-，2cos )sin 6032EH xEB ==-，因此，2cos )22x xy EB BC CD EB BC =++=+=-=，即()2xf x=，0πx<<，显然()f x在(0,)π上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，而2312432fππ⎛⎫==<=⎪⎝⎭⎭，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数()y f x=的图像大致是选项D.故选：D练．已知P是圆22(1)1x y-+=上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为θ，若||OP d=，则函数()d fθ=的大致图象是A．B．C．D．【答案】D【解析】π2cos,[0,)2π2cos,(,π)2dθθθθ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩，所以对应图象是D练。
专题06 导数 6.4导数与函数的零点 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)
专题六《导数》讲义6.4导数与函数的零点知识梳理.函数的零点1.判断、证明或讨论函数零点个数的方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.2.已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.题型一.讨论零点个数1．函数f（x）=13x3+2x2+3x+43的零点个数为．2．设函数f（x）=13x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（）A．在区间（1，1），（1，e）内均有零点B．在区间（1，1），（1，e）内均无零点C．在区间（1，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点D．在区间（1，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点3．已知定义在R上的奇函数f（x），满足当x＞0时f（x）=12x2﹣xlnx，则关于x的方程f（x）＝a满足（）A．对任意a∈R，恰有一解B．对任意a∈R，恰有两个不同解C．存在a∈R，有三个不同解D．存在a∈R，无解题型二.已知零点求参考点1.参变分离1．已知函数f（x）＝（x2﹣4x+1）e x﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2e3，0）B．（−6，0）C．（−6，2e3）D．（0，6）2．已知函数op=3+4l−−在区间（0，2）上至少有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．[2，4ln3﹣2）C．(2，4l2−12)D．[2，+∞）考点2.转化成两个函数的交点问题3．已知函数f（x）=12ax2+cos x﹣1（a∈R），若函数f（x）有唯一零点，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）4．已知函数f（x）＝e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）＝0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（e2﹣3，e2+1）B．（e2﹣3，+∞）C．（﹣∞，2e2+2）D．（2e2﹣6，2e2+2）考点3.讨论参数——单调性+极值、最值5．若函数f（x）＝e x（x3﹣3ax﹣a）有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，+∞）C．（0，14）D．（14，+∞）6．已知函数f（x）＝2e2x﹣2ax+a﹣2e﹣1，其中a∈R，e为自然对数的底数．若函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（2，2e﹣1）B．（2，2e2）C．（2e2﹣2e﹣1，2e2）D．（2e﹣1，2e2﹣2e﹣1）7．（2020·全国1）已知函数f（x）＝e x﹣a（x+2）．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．题型三.隐零点问题——设而不求，虚设零点1．已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是．2．若函数f（x）＝x2+2−alnx（a＞0）有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1B．3C．5D．73．已知函数f（x）＝lnx+1B（a∈R且a≠0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，若关于x的方程f（x）＝m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．课后作业.零点1．已知函数f（x）＝（x2+a）e x有最小值，则函数y＝f'（x）的零点个数为（）A．0．B．1C．2D．不确定2．若函数f（x）=33−x2﹣3x﹣m在区间[﹣2，6]有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣9，18）B．[−23，53）C．（﹣9，53）D．[−23，18）3．设函数f（x）＝（x﹣1）e x，若关于x的不等式f（x）＜ax﹣1有且仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，e2]B．(1，22] C．(1，2+12]D．(2+12，23+13]4．函数f（x）＝ae x+2x在R上有两个零点x1，x2，且21≥2，则实数a的最小值为（）A．−l22B．﹣ln2C．−2D．ln25．已知函数f（x）＝e x﹣ax2．（1）若=12，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a的值．6．（2019·全国1）已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，2）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．。
高中数学总复习函数与导数专题练习
一、选择题1.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩(B)等于（ ）A.{2}B.{2，3}C.{3}D.{1，3}2.设有三个命题，甲：相交直线l 、m 都在平面α内,并且都不在平面β内；乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交.那么，当甲成立时（ ） A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 C.乙是丙的充分且必要条件D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件3.已知命题p ：“|x -1|＞2”，命题q ：“x ∈Z ”，如果“p 且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为（ ）A.{x|x≥3或x≤-1,x ∉Z }B.{x|-1≤x≤3,x Z }C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2}4.有限集合 S 中元素的个数记作card(S)，设 A,B 都为有限集合，给出下列命题,其中真命题的序号是（ ）①A∩B=φ的充要条件是card(A ∪B)=card(A)+card(B) ②A ⊆B 的必要条件是card(A)≤ card(B) ③A ⊄B 的充分条件是card(A)≤card(B) ④A=B 的充要条件是card(A)=card(B)A.③④B.①②C.①④D.②③5.（理）已知集合A={t|使{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R }，B={t|使{x|x 2+2tx-2t=0}≠φ}，其中x ，t ∈R ，则A∩B 等于（ ）A.[-3，-2]B.（-3，-2）C.（-3，-2）D.（-∞，0）∪[2，-∞)（文）已知集合M={（x,y ）|y-1=k(x-1),x 、y ∈R }，集合N={(x,y)|x 2+y 2-2y=0,x 、y ∈R }，那么M∩N 中（ ）A.恰有两个元素B.恰有一个元素C.没有元素D.至多有一个元素6.已知f(x)=-24x -在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是（ ） A.[-2，2] B.[-2，0] C.[0，2] D.(-2，2)7.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++.0,2,0,2x x c bx x 若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.48.（理）已知x ∈(-∞,1)时，不等式1+2x +(a-a 2)4x >0恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(-1,14) B.(-12,32) C.(-∞,14] D.(-∞,6］ （文）函数f(x)=ax 2-(3a-1)x+a 2在区间（1，+∞）上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )A.[0,1]B.(-∞,-1)C.{-1}D.(-∞,5］ 9.若x<0，则函数y=x 2+21x-x-x1的最小值是（ ）A.-94B.0C.2D.410.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x 2+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.7个 11.已知函数f(x)=log 2x,F(x,y)=x+y 2，则F （f(41),1）等于（ ）A.-1B.5C.-8D.312.(理)指数函数f(x)=a x （a ＞0，且a≠1）的图象如图所示，那么方程［f -1(x)］2-2f -1(x)-3=0的解集为（ ）A.｛-1，3｝B.｛271，3｝C.｛271｝ D.｛31，27｝（文）已知函数f(x)=3x-1，则它的反函数y=f -1(x)的图象是（ ）13.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x ∈［0,2π］时，f(x)=sinx ，则f(35π)的值为( )A.-21 B.21 C.-23 D. 2314.函数y=(21)x与函数y=-162x的图象关于（ ）A.直线x=2对称B.点（4，0）对称C.直线x=4对称D.点（2，0）对称15.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥<,1x,log 1,x 1),-0.5)(x -(a a x 在(-∞,+∞)内是减函数，则a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，0.5）C.（-∞，0.5）D.（0.5，1） 16.函数f(x)=32x 3-2x+1在区间[0,1]上是（ ）A.单调递增的函数B.单调递减的函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 17.曲线y=31x 3-x 2+5在x=1处的切线的倾斜角是（ ）A.6πB.3πC.4πD.34π18.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0,3］上的最大值和最小值分别是( ) A.5,-15 B.5,4 C.-4,-15 D.5,-16 19.下列图象中，有一个是函数f(x)=31x 3+ax 2+(a 2-1)x+1(a ∈R ，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(-1)等于（ ）A.31 B.-31 C.37 D.-31或3520.点P 的曲线y=x 3-x+32上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）A.［0,2π］ B.［0,2π］∪［43π,π］C.［43π,π］ D.(2π,43π］21.已知f(x)=-x 3-x,x ∈［m,n ］且f(m)·f(n)<0，则方程f(x)=0在区间［m,n ］上( )A.至少有三个实数根B.至少有两个实根C.有且只有一个实数根D.无实根22.函数f(x)的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与y=log 21x 的图象重合，则f(x)是（ ）A.y=2-xB.y=2log 4xC.y=log 2(x+1)D.y=21·4x23.已知函数 f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞，1)上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在间(1，+∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数24.已知函数f(x)=x 2(ax+b)(a,b ∈R )在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ） A.（-∞，0） B.（0，2） C.（2，+∞） D.（-∞，+∞）25.设点P 是曲线：y=x 3-3x+b(b 为实常数)上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A.［32π,π］B.(2π,65π) C.［0,2π］∪［65π,π］ D.［0,2π)∪［32π,π)二、填空题26.下列判断：（1）命题“若q 则p”与命题“若」p 则」q”互为逆否命题；（2）“am 2<bm 2”是“a<b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；（4）命题“⊂φ{1，2}”为真.则正确说法的序号为_________________.27.（理）已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0，要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③，则实数m 的取值范围是___________.（文）已知二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1,若在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_______________.28.已知定义在区间[0，1]上的函数y=f(x)，图象如图所示.对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f(x 1)-f(x 2)＞x 1-x 2； ②x 2f(x 1)＞x 1f(x 2)； ③2)()(21x f x f +＜f(221x x +).其中正确结论的序号是________________（把所有正确结论的序号都填上）.29.若函数y=f(x)=ax 3-bx 2＋cx 的图象过点A(1，4)，且当x=2时，y 有极值0，则f(-1)=_______. 30.写出一个函数的解析式f(x)=_________,使它同时满足下列条件：①定义域为R ，②是偶函数，③值域是（0，1］，④不是周期函数.（只写出满足条件的一个答案即可）三、解答题31.在M={x||x-1|>4}，P={x|x 2+(a-8)x-8a≤0}的前提下：（1）求a 的一个值，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件；（2）求a 的取值范围，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分条件.32.在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ,S m+2,S m+1成等差数列，则a m ,a m+2,a m+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真，并给出证明.33.已知函数f(x)=4x 2-4ax+a 2-2a+2在[0，2]上有最小值3，求a 的值.34.已知对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x 2-4ax+2a+12(a ∈R)的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x =|a-1|+2的根的取值范围.35.已知函数y=f(x)是R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=193x+x-21.（1）判断并证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性； （2）求y=f(x)的值域； （3）求不等式f(x)>31的解集.36.定义在（-1，1）上的函数f(x)，①对任意x ，y ∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(xyy x ++1)；②当x ∈（-1，0）时，f(x)>0，回答下列问题:（1）判断f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由; （2）判断函数f(x)在（0，1）上的单调性，并说明理由; （3）（理）若f(51)=21，试求f(21)-f(111)-f(191)的值．37.已知函数f(x)=x 3+3ax 2-3b ，g(x)=-2x 2+2x+3(a≠0)(1)若f(x)的图象与g(x)的图象在x=2处的切线互相平行，求a 的值；(2)若函数y=f(x)的两个极值点x=x 1,x=x 2恰是方程f(x)=g(x)的两个根，求a 、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．38.一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB 宽2m ，渠OC 深为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m.（1）求截面图中水面宽度；（2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？ 39.已知平面向量a=(23,-21),b=(21,23).(1)证明:a ⊥b;(2)若存在不为零的实数t,x,y ,使得c=a+2xb,d=-ya+(t-2x 2)b,且c ⊥d,试求函数y=f(x)的表达式； (3)若t ∈［6,+∞］,当f(x)在区间［0,1］上的最大值为12时,求此时t 的值. 40.(理)已知函数f(x)=bx ax +2，在x=1处取得极值为2.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间（m ，2m ＋1）上为增函数，求实数m 的取值范围； （3）若P （x 0，y 0）为f(x)=bx ax +2图象上的任意一点，直线l 与f(x)=bx ax +2的图象相切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围.（文）已知三次函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(1)=0,f′(2)=3,f′(3)=12. （1）求f(x)-f(0)的表达式； （2）若对任意的x ∈［-1,4］,都有f(x)>f′(x)成立，求f(0)的取值范围.高中总复习数学函数与导数专题练习参考答案一、选择题 1. D解析：∵B={1,3,4}，∴A∩(B)={1,3}.2. C解析：乙成立时，平面α、β有交点，即丙成立；当丙成立时，若直线l 、m 均不相交，则l 、m 与平面α、β的交线平行，此时l ∥m ，与甲矛盾，故乙也成立，即乙是丙的充要条件. 3. C解析：∵“p 且q”与“非q”同时为假命题⇒p 为假，q 为真，又|x-1|＞2⇔x<-1或x>3， ∴满足条件的x 为-1≤x≤3,x ∈Z ，即x=-1,0,1,2,3. 4. B解析：令A={1},B={2}，则card(A)=card(B)，故④为假，排除A 、C ；又令A={1},B={1,2}，则card(A)≤card(B),A ⊆B ，排除③，故选B. 5.（理）B解析：{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R 等价于方程x 2+2tx-4t-3=0无解， 故Δ1=(2t)2+4(4t+3)<0,-3<t<-1,∴A={t|-3<t<-1}. {x|x 2+2tx-2t=0}≠φ等价于方程x 2+2tx-2t=0有解， 故Δ2=4t 2+8t≥0,t≤-2或t≥0， ∴B={t|t≤-2或t≥0}，A∩B=(-3,-2]. （文）A解析：直线y-1=k(x-1)过圆x 2+y 2-2y=0上的点（1,1）且斜率存在，故直线与圆相交（不相切），即选A.6. B解析：∵-4-x 2∈［-2,0］,∴M ⊆［-2,0］,故选B. 7. C 解析：⎩⎨⎧-=-=-2)2()0()4(f f f ⇒f(x)=x 2+4x+2(x≤0)，f(x)=x ⇒x=2,-1,-2.8.（理）B解析：设t=2x,t ∈(0,2］，则1+2x+(a-a 2)4x>0⇔a 2-a<21tt +=(t1+21)2-41.∵t ∈(0,2)，t 1∈［21,+∞］, ∴(t 1+21)2-41∈［43,+∞］，∴ a 2-a<43⇔-21<a<23.（文）A解析：令a=-1，则f(x)=-x 2+4x+1，易知不满足题意，排除B 、C 、D ，选A. 9. D 解析：y=(x+x 1)2-(x+x1)-2=(x+x1-21)2-49，令t=x+x1，因x<0，故t≤-2. 又y=(t-21)2-49在（-∞,-2）递减，∴ y min =(-2-21)2-49=4.10. B解析：令2x 2+1=5，则x=±2；令2x 2+1=19，则 x=±3.则集合A={-2,2},B={-3,3}中各至少有一个元素为定义域中的元素，故定义域有)()(22122212C C C C +⨯+×=9种，即“孪生函数”有9个. 11. A 解析：f(41)=log 241=-2,F(f(41),1)=F(-2,1)=-2+1=-1.12.(理) B 解析：f(x)=(31)x ,f -1(x)=31log x ，由原方程得 f -1(x)=-1或3，故x=3或271.（文）D解析：根据 f -1(x)=log 3x+1的定义域及值域观察可得. 13. D 解析：f(535π)=f(32π)=f(-32π)=f(3π)=sin3π=23.14. D解析：设点(x 0,y 0)是y=(21)x图象上的点，关于点（2，0）对称点为（x,y ），则x 0=4-x,y 0=-y,又y 0=(21)x0，故-y=(21)4-x,即y=-2x-4=-162x,故选D.15. B解析：⎩⎨⎧<<<-1005.0a a ⇒0<a<0.5.16. B解析：f′(x)=2x 2-2，当 x ∈［0,1］时，f′(x)<0， 故函数f(x)在区间[0,1]上单调递减.17. D 解析：∵y′|x=1=（x 2-2x ）|x=1=1-2=-1,由导数的几何意义知,曲线在该点的切线斜率为-1,∴倾斜角为43π.18. A解析：y′=6x 2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令y ′=0,得x=2或x=-1（舍）.∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,∴y max =5,y min =-15. 19. B 解析：∵f′(x)=x 2+2ax+a 2-1=(x+a)2-1，又a≠0, ∴f′(x)的图象为第三个，知f′(0)=0，故a=-1，f(-1)=-31+a+1=-31.20. B解析：设点P(x 0,y 0)，在点P 处的切线的斜率为k=tanα=(x 3-x+32)′|x=x0=3x 02-1≥-1,又∵0≤α≤π，∴α∈［0,2π］∪［43π,π］.21. C解析：f′(x)=-3x 2-1<0,故f(x)在［m,n ］单调递减，又f(m)·f(n)<0,故f(m)>0,f(n)<0, ∴f(x)=0在区间［m,n ］上有且只有一个实数根. 22. D解析：y=2-x 与y=21logx 的图象关于直线y=x 对称；y=2log 4x=log 2x 与y=21log x 的图象关于x 轴对称；y=log 2(x+1)的图象向右平移一个单位即为y=21logx 的图象，故排除A 、B 、C ，选D.23. C解析：f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞，1)上有最小值，故a<1， 而g(x)=x+xa -2a ，g′(x)=1-2xa .∵x>1，a<1,∴g′(x)<0,即g(x)在（1，+∞）递减. 24. B解析：∵f(x)=ax 3+bx 2,f′(x)=3ax 2+2bx, ∴⎩⎨⎧-=+=⨯+⨯,323,022232b a b a即⎩⎨⎧-==.3,1b a令f′(x)=3x 2-6x<0,则0<x<2,即选B. 25. D解析：∵y′=3x 2-3≥-3，∴tanα≥-3， 又α∈［0,π］，∴α∈［0,2π］∪［32π,π］.二、填空题26.（1）（3）（4） 解析：（2）错在当m=0时不成立，其他根据概念即可判断. 27.（理）m≤9解析：同时满足①②的x 的范围为2<x<3，要令f(x)=2x 2-9x+m<0在(2,3)上恒成立，则f(x)=0的两根x 1、x 2(x 1≤x 2)应满足x 1≤2且x 2≥3.则f(2)≤0且f(3)≤0，解得m≤9. （文）(-3，23)解析：只需f(1)=-2p 2-3p+9>0或f(-1)=-2p 2+p+1>0 即-3＜p ＜23或21-＜p ＜1,∴p ∈(-3,23).28.②③解析：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)由图象知k PQ ∈(0,+∞),k OP >k OQ ，故①错，②对，又直线x=221x x +与函数f(x)的图象的交点在线段PQ 的中点上方，故③正确. 29. -4解析：∵f′(x)=3ax 2-2bx+c,∴f′(2)=12a -4b+c=0. 又f(1)=a-b+c=4, ∴b=5411+a ,c=51616a-.所以f(-1)=-(a+b+c)=-(a+5411+a +51616a-)=-4.30.（21）|x|等解析：f(x)=(21)|x|或y=(31)|x|或y=a |x|(0<a<1).三、解答题31.解：由题意，M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x+a)(x-8)≤0}.则 M∩P={x|5<x≤8}⇔-3≤-a≤5⇔-5≤a≤3.（1）只要是满足-5≤a≤3的一个数即可作为答案.（2）只要使集合{x|-5≤a≤3}成为所得范围集合的真子集即可作为答案. 32.解：（1）逆命题：在等比数列 {a n }中，前n 项和为S n ，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m ,S m+2,S m+1成等差数列；（2）设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则2a m+2=a m +a m+1，于是2a 1q m+1=a 1q m-1+a 1q m . 由a 1≠0,q≠0，化简上式得2q 2-q-1=0， 解得q=1或q=-21,当q=1时，∵S m =ma 1,S m+2=(m+2)a 1,S (m+1)=（m+1）a 1, ∴S m +S m+1≠2S m+2,即S m ,S m+2,S m+1不成等差数列；当q=-21时,∵S m +S m+1=])21(1[34211])21(1[211])21(1[21111++--=+--++--m m ma a a而2S m+2=])21[(34211])21(1[2221212+++-=+--=m m m a a S ，∴S m +S m+1=2S m+2，即S m ,S m+2,S m+1成等差数列；综上得，当公比q=1时，逆命题为假，当q=-21时，逆命题为真.33.解：函数图象的对称轴为x=2a ，①当2a <0即a<0时，f(0)=3,即a 2-2a+2=3,∴a=1-2或a=1+2（舍），②当0≤2a ≤2即0≤a≤4时，f(2a )=3,∴a=-21（舍），③当2a >2即a>4时，f(x)min =f(2)=3即a 2-10a+18=3，∴a=5+10或5-10（舍），综上可知a=1-2或a=5+10.34.解析:由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴-23≤a≤2,(1)当-23≤a ＜1时，原方程化为x=-a 2+a+6,∵-a 2+a+6=-(a-21)2+425, ∴当a=-23时，x min =49,当a=21时,x max =425.∴49≤x≤425.(2)当1≤a≤2时，x=a 2+3a+2=(a+23)2-41,∴当a=1时，x min =6,当a=2时，x max =12,∴6≤x≤12. 综上所述，49≤x≤12.35.解：（1）设 x 1<x 2<0，则31x <32x ,321x x +<1，∵f(x 1)-f(x 2)=19311+x x -19311+x x =)1)(1(3993332122112122++-+-++x x x x x x x x =)1)(1()1)((99333112121++--+x x x x x x <0,∴f(x 1)<f(x 2)，即y=f(x)在(-∞,0)上是增函数. （2）∵0<193+xx =xx3131+≤21，∴当x≤0时， f(x)=193+x x-21∈(-21,0]；当x>0时，f(x)=21-193+xx+1∈(0,21).综上得y=f(x)的值域为(-21,21).（3）∵f(x)=(-21,21)，又∵f(x)>31，∴f(x)∈(31,21)，此时f(x)=21-193+xx(x>0)，令21-193+xx>31，即193+xx<61⇒32x-6·3x +1>0⇒3x>3+22⇒x>log 3(3+22)， ∴不等式 f(x)>31的解集是(log 3(3+22),+∞).36.解：（1）令x=y=0⇒f(0)=0，令y=-x ，则f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x)⇒f(x)在（-1,1）上是奇函数.(2)设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --)，而x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1⇒-1<21211x x x x --<0⇒f(21211x x x x --)>0.即当x 1<x 2时，f(x 1)>f(x 2)． ∴f （x ）在（0，1）上单调递减．（3）（理）由于f(21)-f(51)=f(21)+f(-51)=f(52115121⨯--)=f(31)，f(31)-f(111)=f(41),f(41)-f(191)=f(51)，∴f(21)-f(111)-f(191)=2f(51)=2×21=1．37.解：f′(x)=3x 2+6ax,g′(x)=-4x+2. （1）f′(2)=12+12a,g′(2)=-6. ∵12+12a=-6,∴a=-23.（2）令f′(x)=0得x 1=0或x 2=-2a,分别代入g(x)=-2x 2+2x+3得g(0)=3或g(-2a)=-8a 2-4a+3, ∴⎩⎨⎧-+-=+---=.3128348,33332b a a a a b ∴⎩⎨⎧-=-=.1,1a b此时f′(x)=3x 2-6x=0,得x=0或x=2,∴f(x)的单调递减区间是［0，2］，递增区间是（-∞,0）,［2,+∞］. 38.解：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x 2=32(y+23)，当y=-0.5时，x=±36，∴水面宽EF=362m.（2）如上图，设抛物线一点M(t,23t 2-23)（t>0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土.由y=23x 2-23,求导得y′=3x ，∴过点M 的切线斜率为3t ，切线方程为y-(23t 2-23)=3t(x-t).令y=0，则x 1=tt 212+,令y=-23,则x 2=2t ,故截面梯形面积为S=21(2x 1+2x 2)·23=23(t21+t)≥223,当且仅当t=22时所挖土最少，此时下底宽22m.答：故截面梯形的下底边长为0.707米宽时，才能使所挖的土最少. 39.(1)证明：∵a·b=23⨯21-21⨯23=0，∴a ⊥b.(2)解：c·d=-y+2x(t-2x 2)=0⇒f(x)=2tx-4x 3.(3)解：若存在t 满足条件，则f′(x)=2t -12x 2(t≥0),由f′(x)=0⇒x=6t ,当0≤x<6t ,f′(x)>0,f(x)在［0，6t ］上递增;当x>6t时，f′(x)<0,f(x)在（6t ,+∞）上递减.∴t≥6时，f(x)在［0，1］递增，f(x)max =f(1)=2t-4=12,∴t=8∈［6,+∞).综上，存在常数t=8，使f(x)有最大值为12. 40.(理)解：（1）已知函数f(x)=bx ax +2，∴f′(x)=222)()2()(b x x ax b x a +-+,又函数f(x)在x=1处取得极值2，∴⎩⎨⎧==',2)1(,0)1(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ⇒⎩⎨⎧==.1,4b a ∴f(x)=142+x x .（2）∵f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x =222)1(44+-x x.由f′(x)>0，得4-4x 2>0，即-1<x<1, 所以f(x)=142+x x 的单调增区间为（-1，1）.因函数f(x)在（m ，2m ＋1）上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥,12,112,1m m m m 解得-1<m≤0，即m ∈(-1,0)时，函数f(x)在（m ，2m ＋1）上为增函数. （3）f(x)=142+x x ,∴f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x ,直线l 的斜率为k=f′(x 0)=220220)1(8)1(4+-+x x x =4［11)1(220220+-+x x ］.令1120+x =t ，t ∈(0,1),则直线l 的斜率k=4(2t 2-t),t ∈(0,1)∴k ∈［-21,4］，即直线l 的斜率k 的取值范围是［-21,4］［或者由k=f′(x 0)转化为关于x 02的方程，根据该方程有非负根求解］. （文）解：（1）设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f′(x)=3ax 2+2bx+c. ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,12627,3412,023c b a c b a c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-==.3,3,1c b a ∴f(x)-f(0)=x 3-3x 2+3x.（2）f′(x)=3x2-6x+3.对任意的x∈［-1,4］,f(x)>f′(x)⇔f(x)-f′(x)=x3-6x2+9x+f(0)-3>0⇔f(0)>F(x)=-x3+6x2-9x+3.∵F′(x)=-3x2+12x-9,当x∈［-1,1)时，F′(x)<0;当x=1或3时，F′(x)=0,当x∈(1,3)时，F′(x)>0;当x∈(3,4］时，F′(x)<0,又F（-1）>F(3),F(-1)>F(1),F(-1)>F(4).∴F(x)在［-1，4］上的最大值为F（-1）=19，f(0)的取值范围是（19，+∞）.。
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专题复习（六）—— 函数与导数（一）知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率． (3)函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．函数的单调性与导数的关系 已知函数f (x )在某个区间内可导，则(1)如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增； (2)如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0恒成立，则f (x )在这个区间内是常数函数． 5．理清导数与函数单调性的关系(1)f ′(x )>0(或<0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的充分不必要条件； (2)f ′(x )≥0(或≤0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的必要不充分条件 (f ′(x )＝0不恒成立)．注意：由函数f (x )在区间[a ，b ]内单调递增(或递减)，可得f ′(x )≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f ′(x )>0(或<0)恒成立，“＝”不能少． 6．函数极值的概念函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． 7．函数的最值（1）在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．（2）若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 8．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 9．定积分的运算性质(1)⎠⎛a b kf (x ) d x ＝k ⎠⎛ab f (x ) d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )] d x ＝⎠⎛a b f 1(x ) d x ±⎠⎛ab f 2(x ) d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (a ＜c ＜b )．10．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x ) d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为()baF x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝()b aF x ＝F (b )－F (a )．（二）考点剖析考点一：导数的运算例1：求下列函数的导数： (1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝ln－x x；(3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)；(5)y ＝sin 2xcos x. 解: (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ； (2)y ′＝1－x ·(－1)x －ln (－x )x 2＝1－ln (－x )x 2；(3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋23π. 设y ＝12－12cos u ，u ＝4x ＋23π，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12sin u ·4＝2sin u ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋23π； (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5； (5)y ＝sin 2x cos x ＝2sin x cos xcos x＝2sin x ，∴y ′＝(2sin x )′＝2cos x . 考点释疑：(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后再进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导．考点二：导数的几何意义例2：(1)[曲线在某点处的切线方程]设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝___________．(2)[过某点的曲线的切线方程]过点(0，－1)且与曲线y ＝x 2相切的切线方程为___________． (3)[两条曲线的公切线]已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解：(1)令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1. 由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3. (2)设切点为(x 0，x 20)，由y ＝x 2得y ′＝2x . ∴2x 0＝x 20＋1x 0①当x 0＝1时，切点为(1,1)，斜率k ＝y ′|x ＝1＝2. 所求切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.②当x 0＝－1时，切点为(－1,1)，斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－2. 所求切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，即y ＝－2x －1. 综上所述，所求切线方程为y ＝2x －1或y ＝－2x －1.(3)因为y ＝x ＋ln x ，所以y ′＝1＋1x ，1|2x y ='∴=所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.因为 y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 所以a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 考点释疑：(1)求曲线切线方程的步骤：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数， 即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线切线方程需注意两点：①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0； ②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再利用两点连线的斜率等于切点的导数值求解． (3)求两条曲线的公切线的方法：方法1：利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． 方法2：利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f (x 1)－g (x 2)x 1－x 2.考点三：利用导数求函数的单调区间例3：已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 考点释疑：利用导数求函数单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域； ②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； ④根据③的结果确定函数f (x )的单调区间． 考点四：导数在证明函数单调性中的应用例4： 已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x .讨论f (x )的单调性．解： f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－(2x ＋1)(ax －1)x.①若a ≤0, f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＞0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，当x ＞1a时，f ′(x )＜0. 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 考点释疑：利用导数证明(或判断)函数在区间上单调性的步骤： ①正确求出函数的导数，并注意函数的定义域； ②利用等价转化思想，转化成关于导函数的不等式；③解导函数的不等式．考点五：利用函数的单调性求参数范围例5：若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是 .解：由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k ≥1x ，而0<1x <1，所以k ≥1，即k 的取值范围为[1，＋∞)． 考点释疑：利用函数的单调性求参数范围的方法： ①利用集合间的包含关系处理，即y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集； ②转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”．考点六：函数的极值点与极值 例6： 已知函数f (x )＝e xx . (1)求函数f (x )的极值；(2)设g (x )＝xf (x )－ax ＋1，若g (x )在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝e xx ，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f ′(x )＝e x (x －1)x 2.当f ′(x )＝0时，x ＝1.f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表：(2)g (x )＝e x －ax ＋1，x ∈(0，＋∞)，∴g ′(x )＝e x －a ， ①当a ≤1时，g ′(x )＝e x －a >0，即g (x )在(0，＋∞)上递增，此时g (x )在(0，＋∞)上无极值点． ②当a >1时，令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ； 令g ′(x )＝e x －a >0，得x ∈(ln a ，＋∞)； 令g ′(x )＝e x －a <0，得x ∈(0，ln a )．故g (x )在(0，ln a )上递减，在(ln a ，＋∞)上递增，∴g (x )在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x ＝ln a . 故实数a 的取值范围是a >1. 考点释疑：(1)运用导数求可导函数y ＝f (x )极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，则此根处不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同． (3)利用x ＝x 0是极值点可得f ′(x 0)＝0，求解相关问题． 考点七：函数在给定区间上的最值问题例7：设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．解：(1)f ′(x )＝a x －2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12. (2)f (x )＝ln x －12x 2，f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1；令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.考点释疑：求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： ①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 考点八：定积分的计算例8：(1)[直接计算]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于 .(2)[利用几何意义计算] ⎠⎛-11(1－x 2＋x )dx 的值为 .解：(1) ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛1x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56 . (2) ⎠⎛-11 (1－x 2＋x ) d x ＝⎠⎛-111－x 2 d x ＋⎠⎛-11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛-111－x 2 d x 等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛-111－x 2d x ＝π2，⎠⎛-11x d x ＝12x 2⎪⎪⎪1－1＝0，∴⎠⎛-11 (1－x 2＋x) d x ＝π2.考点释疑：(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解．(2)对函数图象和与圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解．考点九：定积分求平面图形面积及几何概型例9：(1) [平面图形面积]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．(2)[几何概型]如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 解：(1)如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)．故所求面积为1223100111()()236S x x dx x x =-=-=⎰. (2)由题意知，阴影部分的面积22321115(4)(4)33S x dx x x =-=-=⎰∴所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.考点释疑：(1)对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，确定积分区间．(2)对于求几何概型的问题，应首先利用定积分求出相应图形的面积，再用相应概率公式进行计算． 考点十：定积分在物理学中的应用例10：(1) [求变速运动的路程]一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________m.(2)[求变力做功]设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1的方向和x 轴正向相同，则变力F(x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．解：(1)由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ， 0≤t ≤1，2， 1＜t ≤3，13t ＋1， 3＜t ≤6.因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为:61362132611113132221149()22(1)2()()364s v t dt tdt dt t dt t t t t m ==+++=+++=⎰⎰⎰⎰.(2)由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为102310111(1)()342()3W x dx x x J =+=+=⎰.考点释疑：定积分在物理学中的两个应用：①变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛abv (t )d t. ②变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )dx .（三）历年高考真题训练1、（2011年高考全国卷Ⅰ）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。