理论力学和材料力学

着接触面的公法线指向被约束物体，通常用FN表示，如图1-11所示。
(a)
图1-11
(b) 光滑接触面约束
(c)
3.链杆约束 两端各以铰链与其他物
体相连接且中间不受力(包括 物体本身的自重)的直杆称为 链杆，如图1-12 所示。链杆 可以受拉或者是受压，但不 能限制物体沿其他方向的运 动和转动，所以，链杆的约 束反力总是沿着链杆的轴线 方向，指向不定，常用符号 F表示。
一、轴向拉（压）杆的纵向、横向变形
a1 l l1 a
纵向变形: ⊿l = l1- l 横向变形: ⊿a = a - a1
杆件的纵向变形量 ⊿l 或横向变形量 ⊿a， 只能表示杆件在纵向或横向的总变形量，不能说 明杆件的变形程度。 单位长度的纵向变形
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l l
ε称为纵向线应变，简称线应变。ε的正负号 与⊿l 相同，拉伸时为正值，压缩时为负值；ε是 一个无量纲的量。
σmax≤[σ]
(c)
图1-12 链杆约束
(a)
(b)
4.光滑圆柱铰链约束（简称铰约束） 光滑圆柱铰链约束的约束性质是限制物体平面移动
（不限制转动），其约束反力是互相垂直的两个力（本质
上是一个力），指向任意假设。
FAX
FA 图1-13 圆柱铰链约束
FAY
5.固定铰支座 将构件或结构连接在支
承物上的装置称为支座。用 光滑圆柱铰链把构件或结构 与支承底板相连接，并将支 承底板固定在支承物上而构 成的支座，称为固定铰支座, 如图1-14所示。固定铰支座 的约束反力与圆柱铰链相同， 其约束反力也应通过铰链中 心，但方向待定。为方便起 见，常用两个相互垂直的分 力FAx,FAy表示。
Fcr
2 EI
(l ) 2
二、其他支承情况下细长压杆的临界力的欧 拉公式
EI Fcr 2 ( l )
2
长度系数μ 两端铰支 一端固定另端铰支 两端固定 一端固定另端自由
μ=1 μ0.7 μ=0.5 μ=2
二、轴向拉（压）杆的强度计算
轴向拉压杆的应力
N A
1. 强度条件 为了保证轴向拉（压）杆在承受外力作用时 能安全正常地使用，不发生破坏，必须使杆内的 最大工作应力不超过材料的许用应力，即
单位长度的横向变形
a a
'
ε′称为横向线应变。ε′的正负号与⊿a 相同， 压缩时为正值，拉伸时为负值；ε′也是一个无量 纲的量。 二、泊松比 ε与ε′正负相反。 通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不 超过材料的比例极限时，横向线应变ε′与纵向线 应变ε的比值的绝对值为一常数，通常将这一常 数称为泊松比或横向变形系数。用μ表示。
(a)
FAX FA (b) (c) 图1-14 固定铰支座
FAy
6.可动铰支座 如果在固定铰支座的底座与固定物体之间安装若 干辊轴，就构成可动铰支座，如图1-15所示。可动铰 支座的约束反力垂直于支承面，且通过铰链中心，但 指向不定，常用R(或F)表示。
(b)
(c)
(a)
(d)
图1-15 可动铰支座
M = ± Fd
力偶矩的单位与力矩单位相同，也是（N· m）或（kN· m）。
可以证明：力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长 短，与矩心位置无关。
力偶的基本性质
1. 力偶不能合成为一个合力，所以不能用一个力来代替。 2. 力偶对其作用平面内任一点矩恒等于力偶矩，而与矩 心位置无关。
3. 在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相 等，转向相同，则这两个力偶是等效的。
平面一般力系的平衡方程
平面一般力系平衡的必要与充分条件是:力系的主 矢和力系对平面内任一点的主矩都等于零。即 R 0
MO 0
平面一般力系平衡的充分必要条件也可以表述为：
力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和
都等于零，而且力系中所有各力对任一点力矩的
代数和也等于零。
§1-3
内力与内力图
间就产生相互作用力，这种由外力引起的杆件内部之间的 相互作用力，称为内力。
应力: 内力在一点处的分布集度
P
p lim
ΔP dP ΔA0 ΔA dA
τ
E
P
E
A
σ
应力p的方向与截面既不垂直也不相切。通常将应力p 分 解为与截面垂直的法向分量σ和与截面相切的切向分量 τ。垂直于截面的应力分量σ称为正应力或法向应力； 相切于截面的应力分量τ称为切应力或切向应 力(剪应力)。 注：内力与构件截面无关，应力与截面有关

'
泊松比μ是一个无量纲的量。它的值与材料 有关，可由实验测出。 泊松比建立了某种材料的横向线应变与纵向 线应变之间的关系。 由于杆的横向线应变ε′与纵向线应变ε总是正、 负号相反，所以 ε′= -με
三、胡克定律 实验表明：工程中使用的大部分材料都有一 个弹性范围。 在弹性范围内， 杆的纵向变形量 ⊿ l 与杆所受的轴力FN，杆的原长 l 成正比，而 与杆的横截面积 A 成反比 引进比例常数 E 后，得
力矩
一个力作用在具有固定的物体上，若力的作用线不通过
固定轴时，物体就会产生转动效果。 如图所示，力F使扳手 绕螺母中心O转动的效应， 不仅与力F的大小有关；而 且还与该力F的作用线到螺 母中心O的垂直距离d有关。 可用两者的乘积来量度力F O 对扳手的转动效应。转动中 心O称为力矩中心，简称矩 心。矩心到力作用线的垂直 距离d，称为力臂。
FA(RA)
(e)
7.固定端支座 如果构件或结构的一端牢牢地插入到支承物里面，就 形成固定端支座，如图1-16(a)所示。约束的特点是连接处 有很大的刚性，不允许被约束物体与约束物体之间发生任 何相对的移动和转动，约束反力一般用三个反力分量来表 示，两个相互垂直的分力FAx（XA）、FAy（YA）和反力偶 MA，如图1-16(b)所示，力学计算简图可用图1-16(c)表示。
作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于该点的一个合 力，合力的大小和方向由以原来的两个力为邻边所构成的平行四边形
的对角线矢量来表示。
力的平行四边形法则
力的三角形法则
4、三力平衡汇交定理
一刚体受共面不平行的三力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交 于一点。
证明：
A
F1
F1 F2 A2
A1
=
F3
约束种类
1.柔体约束 由柔软且不计
(a)
自重的绳索、胶带、链条等构 成的约束统称为柔体约束。柔 体约束的约束反力为拉力，沿 着柔体的中心线背离被约束的 物体，用符号FT表示，如图110所示。
(b)
(c)
图1-10 柔体约束
2.光滑接触面约束
物体之间光滑接触，只限制物体沿接触面的公法线方向并指向 物体的运动。光滑接触面约束的反力为压力，通过接触点，方向沿

S
kS

b
kb
KS与Kb都为大于1的系数，称为安全系数。
第二章、轴向拉压受力分析
轴拉或轴压将主要产生沿杆轴线方向的伸长 或缩短变形，这种沿轴向同时也是纵向的变形称 之为纵向变形。 同时，与杆轴线相垂直的方向 （横向）也随之产生缩小或增大的变形，习惯将 与杆轴线相垂直方向的变形称为横向变形。 从生产及生活中我们知道，杆的变形量与所 受外力、杆所选用材料等因素有关。 本节将讨论轴向拉（压）杆的变形计算。
件（简称为二力杆）或二力构件。
二力杆
2、加减平衡力系公理
在作用于刚体上的任意力系中，加上或去掉任何平衡力系， 并不改变原力系对刚体的作用效果。力的可传性原理 作用于刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内任意一点， 而不会改变该力对刚体的作用效应。
F A
=
B F A F2
F1
=
A
B
F1
3、力的平行四边形法则
A
A3
F2
A3 F3
作用与反作用定律
两个相互作用物体之间的作用力与反作用力大小相等，方向相反， 沿同一直线且分别作用在这两个物体上。
5、力的平移定理
F F’ F d F’ O A M=Fd
O
A F’’
O
A
由图可见：作用于物体上某点的力可以平移到此物 体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原 力对新作用点的矩，这就是力的平移定理。此定理只适 用于刚体。
许用应力、安全系数和强度计算
一、许用应力与安全系数 任何一种材料都存在一个能承受应力的上限， 这个上限称为极限应力，常用符号σo表示。
对于塑性材料取屈服极限为极限应力，即 σo =σS ；
对于脆性材料取强度极限为极限应力，即 σo =σb ；
为保证绝对安全，必须考虑到有许多无法预 计的因素： 材料的不均匀性 工程设计时荷载值的偏差 安全储备 塑性材料： 脆性材料：
FN l l EA
胡克定律
对于长度相同，轴力相同的杆件， 分母EA越大，杆的纵向变形⊿ l 就越小。
可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能 力，称为杆件的抗拉（压）刚度。
FN l 及 l A


E
或 E
在弹性范围内，正应力与线应变成正比。 比例系数即为材料的弹性模量E。
特别的要注意 压杆稳定

一、稳定问题的提出
工程中有些构件 具有足够的强度、 刚 度， 却不一定能安全可 靠地工作。
二、压杆稳定概念
1.稳定平衡 2.不稳定平衡 3.压杆失稳 4.临界力 临界状态时的轴向压 力称为临界力
三 细长压杆的临界力
一、两端铰支压杆的临界力
临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，且杆将 绕惯性矩最小的轴弯曲
平面平行力系：各力作用线平行的力系 平面一般力系：各力作用线既不汇交又不平行的平面力系
平面汇交力系
平面力偶系
平面平行力系
平面一般力系
图1-2 平面力系的分类
等效力系—指两个力(系)对物体的作用效果完全相同。 平衡力系—力系作用下使物体平衡的力系。 合力与分力—若一个力与一个力系等效。则该力称为 此力系的合力，而力系中的各个力称为该合力的一个 分力。 刚体—在力作用下不产生变形或变形可以忽略的物体。 绝对的刚体实际并不存在。 平衡— 一般是指物体相对于地球保持静止或作匀速直 线运动的状态。
力学相关知识
目录
第一章、静力学基本概念及相关理论
第二章、轴向拉压受力分析
第三章、剪切受力分析
第四章、弯曲受力分析
第五章、扭转受力分析
第一章、静力学基本概念及相关理论
§1-1、静力学基本概念
平面汇交力系：各力作用线都汇交于同一点的力系
平面力系 的分类 (图1-2所示)
平面力偶系：若干个力偶组成的力系
一、杆件变形的基本形式
所谓杆件，是指长度远大于其他两个方向尺寸的构件。
横截面是与杆长方向垂直的截面，而轴线是各截面形心的 连线。各截面相同、且轴线为直线的杆，称为等截面直杆。
杆件的基本 变形形式 轴向拉伸 和压缩 剪切 扭转 弯曲
(a) 轴向拉伸
P P
(b)剪切
P
P
(c) 扭转
m
m
(d)弯曲
m
m
二、内力和应力 内力： 杆件在外力作用下产生变形，从而杆件内部各部分之
由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力 系，称为力偶。 F’ d F
用符号（F、F'）表示，如图所示
力偶的两个力之间的距离d称为力偶臂 力偶所在的平面称为力偶的作用面,力偶不能再简化成更简 单的形式，所以力偶与力都是组成力系的两个基本元素。
力偶三要素：即力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用平面； 力与力偶臂的乘积称为力偶矩，用符号M(F、F’)来表示，可 简记为M ；力偶在平面内的转向不同，作用效应也不相同。 符号规定：力偶使物体作逆时针转动时，力偶矩为正号；反 之为负。在平面力系中，力偶矩为代数量。表达式为：
d
.
F
M
显然，力F对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：
(1)力F的大小与力臂的乘积。 (2)力F使物体绕O点的转动方向。
力矩公式： MO(F) = ± Fd
力矩符号规定：使物体绕矩心产生逆时针方向转动的力矩 为正，反之为负。 单位:是力与长度的单位的乘积。 常用(N· m)或(kN· m)。
力偶
FAx MA (a) FAy (b) 图1-16 固定端支座 (c)
§1-2、静力学相关理论
1、二力平衡公理 作用在同一刚体上的两个力，使刚体平衡的 必要和充分条件是，这两个力大小相等，方向相 反，作用在同一条直线上。
F1
(a)
F2
F2
(b)
F1
图1-3 二力平衡公理
受二力作用而处于平衡的杆件或构件称为二力杆
三、约束与约束反力
约束—阻碍物体运动的限制条件，约束总是通过物体间的直
接接触而形成。 约束对物体必然作用一定的力，这种力称为约束反力或约束 力，简称反力。约束反力的方向总是与物体的运动或运动趋 势的方向相反，它的作用点就在约束与被约束物体的接触点。
运用这个准则，可确定约束反力的方向和作用点的位置。