板桩码头的有限元解法及计算机处理

3 总刚度矩阵的形成
整体坐标系中单元刚度矩阵形成后，根据 位移编号对号入座，形成总刚度矩阵。
7 计算系统的前处理与后处理
作 为 一 个 采用竖向弹性地基梁法计算板 桩码头的计算系统，仅仅只能计算板桩作用效 应，其功能明显是不够的。在前处理方面，可 以增加土压力、波吸力、剩余水压力等荷载标 准值计算以及板桩墙踢脚稳定验算功能；在后 处理方面，可以增加作用效应组合、构件强度 验算及混凝土结构配筋的功能，以完善计算系 统的功能。 目前，计算面覆盖板桩码头结构设计全过 程的板桩计算系统，已由笔者所在单位即丰海 技术咨询服务（上海）有限公司完成开发，并 已通过交通部审定，软件被评价为处于国内同 类软件先进水平。
＊
x
L dx
i ki
j
dP
kj k=k i+x(k i-k j)/L
α3
1 T α4 ] ， 0 [C] = 1 0
2 3 L L L 1 2 L 3 L 2 。
0 1
0 0
0 0
图2
∴｛ｖ｝=[1 x x2 x3]｛α｝=[1 x x2 -1 x3][Ｃ] ｛δ｝=[Ｎ]｛δ｝ -1 形函数[Ｎ]= [1 x x2 x3][Ｃ] 由虚功原理，弹性体在外力作用下处于平衡 状态，弹性体产生任意虚位移，那么外力在虚位 移 上 所做 的 外 力 虚功 等 于内 力 在相 应 虚 应 变 上
L
Ｔ
2
2.4 整体坐标系中单元刚度矩阵 局 部 坐标 系中单元刚度矩阵 通 过 转换 矩 阵可转变为整体坐标系中单元刚度矩阵，即 T [Ｋe] =[Ｔ] [Ｋe][Ｔ]
5 线性方程组求解
当各节点的等效集中力｛P｝和整体刚度 矩阵[K]求得后，我们可以求解各节点的位移 ｛V｝ 。 [K]｛V｝=｛P｝ 上式实际是求解线性方程组的问题。对于 线性方程组的求解方法有很多种，一般使用三 种方法，GAUSS 法、LU 法、迭代法。GAUSS 法适合于求解中小型方程组，LU 法适合求解 系数矩阵为对称的方程组，迭代法适合求解大 型超大型线性方程组，由于板桩单元较少，这 里我们可选用 GAUSS 列主元素法进行求解。
板桩码头的有限元解法及计算机处理
张政生 （丰海技术咨询服务(上海)有限公司，上海，200011） 摘 要：介绍采用竖向弹性地基梁法计算板桩码头的要点。 关键词：板桩墙；单元；刚度矩阵；等效节点荷载；作用效应；计算系统 文献标识码：B
Finity Element Computing Method and Computer Treatment of Sheet Pile Wharf
1
2.2 局部坐标系中杆单元刚度矩阵 为方便形成总刚，将杆单元刚度矩阵扩充为 6×6 形式。
EA L 0 0 K2 = − E A L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 0 0 0 0 0 EA L 0 0 EA L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Zhang Zheng-sheng （Fenghai Technology Consultant (ShangHai)Limited Corporation，Shanghai 200011，China） Abstract：This paper introduces the main point of computing sheet pile wharf by considering the sheet pile as a vertical elestic fondation beam. Key words：sheet pile wall；element；rigidity matrax；equivalent node load；effect；computing system
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1 计算模型
整个结构可简化为平面杆系，考虑普通梁单 元、弹性地基梁单元、杆单元、弹簧单元等四种 单元进行计算。由于板桩与土体间存在摩擦力， 且板桩墙的竖向变形对结构的内力影响甚小，入 土段以下板桩可简化为底部无竖向位移、水平向 可发生位移的竖向弹性地基梁，入土段以上板桩 按普通梁单元计算。土体采用文克勒地基模型， 假设土体对板桩的地基反力与板桩位移成正比，
其中：
cos( α ) sin( α ) − sin( α ) cos( α ) 0 0 T= 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos( α ) sin( α ) 0 −sin( α ) cos( α ) 0 0 0
2 T
所做的内力虚功。设虚位移为｛δ ｝ ，外力Ｐ作 用下杆端力为｛Ｒ｝ ，外力Ｐ作用点相应虚位移 ＊ 为｛ｖ ｝ ，则 ＊ Ｔ ＊ Ｔ ｛δ ｝ ｛Ｒ｝=｛ｖ ｝ Ｐ ＊ Ｔ ＊ Ｔ Ｔ ｛δ ｝ ｛Ｒ｝=｛δ ｝ [Ｎ] Ｐ ＊ ∵｛δ ｝为任意虚位移 Ｔ ∴｛Ｒ｝=[Ｎ] Ｐ 当外力Ｐ为地基反力作用时，ｄP=［ｋi+ｘ （ｋj－ｋi）/Ｌ］[Ｎ]｛δ｝ｄx，式中ｋi、ｋj 分别 i 节点、j 节点水平向弹性地基反力系数， 见图 2。
地基弹性系数采用 m 法或张有龄法确定。 对于单 锚板桩结构，如锚碇结构为锚碇板或锚碇墙，可 将锚碇板（墙）及其前面填料假定为弹性体，只 有水平方向的位移，无竖向位移，简化为弹簧结 构计算；当锚碇结构为锚碇叉桩时，将叉桩结构 近似为底部铰支、顶部与拉杆铰接的杆件结构； 当锚碇结构为锚碇桩（板桩）时，将锚碇桩（板 桩）结构简化为底部无竖向位移、水平向可发生 位移的竖向弹性地基梁。 板桩系统计算图式见图 1。
6 作用效应计算
各节点位移求得后， 我们可以利用单元的 节点 位移 求 解 单元 端 部 力 和 单元上 各 点的 位 移与内力。例如已知单元ｎ的位移｛δ｝ ，单 元在整体坐标系下的刚度矩阵为[Ke]，则可以 利用下式来计算杆端力。 ｛Fe｝=[Ke]｛δ｝ 单元 杆端 力求 得 后，利 用结构力 学 的 知 识，可以方便的求解单元上任意一点的弯矩、 剪力和位移。
4 等效节点荷载
由于作用在板桩系统的荷载，除系船力和 叉 桩 顶 部为 集 中力， 且 集 中力 都 作用 在 节点 上，不需进行转换，其余荷载均为分布力，故 在此只需进行分布力的等效节点荷载转换。在 分布力作用下，i 节点、j 节点上等效节点荷 载如下： Ｐi=7ｑiＬ/20+3ｑjＬ/20 Ｐj=3ｑiＬ/20+7ｑjＬ/20 ｍi= -（ｑiＬ2/20+ｑjＬ2/30） ｍj=ｑiＬ2/30+ｑjＬ2/20 式中ｑi、 ｑj 分别 i 节点、j 节点水平分布力大 小。
0 0 0 0 0 0
2.5 锚碇板（墙）结构水平向刚性系数Ｋs 锚碇板（墙）结构水平向弹性系数Ｋs，按 下面公式计算： Ｋs=ｈaｂkｋH 其中，ｋa 为锚锭板（墙）的高度，ｂk 为锚锭 板（墙）的计算宽度，ｋH 为锚锭板（墙）的 水平抗力系数。对于连续的锚锭墙，ｂk 取拉 杆间距；对于锚锭板（不连续的锚锭墙） ，ｂk 取Ｋbｂ，ｂ为锚锭板宽度，Ｋb 为考虑锚锭板 位移带动两侧土体使被动土压力增大的系数， 按板桩规范公式计算。
2.3 局部坐标系中弹性地基梁单元刚度矩阵 假设位移模式为 2 3 ｖ（ｘ）=α1+α2 ｘ+α3 ｘ +α4ｘ ， 代入边界条件ｖi =ｖ｜x=0 ，θi =ｖ ｜x=0 ，ｖj = ， ｖ｜x=L ，θj =ｖ ｜x=L 得 ｛δ｝=[Ｃ]｛α｝ -1 ｛α｝=[Ｃ] ｛δ｝ 式中 ｛δ｝ =[ｖi θi ｖj θj] ， ｛α｝ =[α1 α
∴｛Ｒ｝=∫o [Ｎ] ［ｋi+ｘ（ｋj －ｋi ）/ Ｌ］[Ｎ]｛δ｝ｄx=｛G｝ ｛δ｝ L Ｔ 弹性地基梁附加刚度矩阵 ｛G｝ =∫o [Ｎ] ［ｋ i+ｘ（ｋj－ｋi）/Ｌ］[Ｎ]ｄx，经积分即可得到 附加刚度矩阵｛G｝ 。将附加刚度矩阵｛G｝扩充 为 6×6 形式，并与普通梁单元刚度矩阵叠加后 得到局部坐标系中弹性地基梁单元刚度矩阵。
板桩码头是港口工程中比较常用的一种码 头结构形式，过去常采用墙后以主动土压力、墙 前以被动土压力采用力矢多边行作图的弹性线 法设计板桩墙。这种方法的缺点烦琐、费工、精 度差，并且被动土压力的产生是需要土体发生较 大的位移作为前提的。事实上，板桩墙随着入土 深度的增大位移越来越小，当板桩达到一定深度 后，其水平位移可能是 0，甚至朝墙后移动。也 就是说，被动土压力并不是随入土深度的增加而 呈直线增加的。由此可见，在这种不合理的边界 条件下是很难以得到理想的解。随着计算机技术 及有限元计算方法的发展，采用竖向弹性地基梁 法计算板桩墙已成为可能，并已经在一些工程实 践中得到了应用。这种方法假定土体抗力同板桩 墙入土部分各点的水平位移大小有关，无论板桩 墙入土部分各点的水平位移是向前还是向后，土 体对板桩都会产生与位移方向相反的反力，使得 该种方法的受力假定比较合理。目前计算板桩的 程序一般只单独考虑板桩结构，为使计算模型更 趋于合理，将板桩墙与锚碇系统作为一个整体来 计算板桩系统，具有现实意义。
无 锚结构
单 锚+锚锭 板(墙 )结构
单
图1
计算简图
2 单元刚度矩阵
2.1 局部坐标系中梁单元刚度矩阵 由结构力学知识，很容易求得梁单元刚度矩 阵。
EA L 0 0 K1 = EA − L 0 0 0 12 EI L3 EI 6 2 L 0 −12 EI L3 EI 6 2 L 6 0 EI L2 EI 4 L 0 −6 EI L2 EI 2 L − EA L 0 0 EA L 0 0 0 −12 EI L3 EI −6 2 L 0 EI L3 EI −6 2 L 12 0 EI 6 2 L EI 2 L 0 EI −6 2 L EI 4 L