【人教A版】高中数学选修1-1课后习题答案[PDF版内有书签]
2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含
2.2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于()A.6B.8C.9D.10(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为()A.x2-y2=1B.x2-y2=2C.x2-y2=D.x2-y2=,设双曲线方程为=1(a>0),则c=a,一条渐近线为y=x,∴,∴a2=2.∴双曲线方程为x2-y2=2.3.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同,故选A.4.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是()A.=1B.=1C.=1D.=1项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0.5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为()A. B. C. D.a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D.6.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.双曲线x2-=1(b>0)过点(3,4),∴32-=1,解得b2=2,即b=或b=-(舍去).∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.±x7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为.=2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为=1.18.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3.设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,所以所求双曲线的方程为=1.19.椭圆与双曲线有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求椭圆的方程与双曲线的方程.F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1(a2>25),双曲线方程为=1(0<b<5),点P(3,4)在椭圆上,所以=1,得a2=40,双曲线过点P(3,4)的渐近线为y=x,即4=×3,所以b2=16,故椭圆方程为=1,双曲线方程为=1.10.已知双曲线=1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程;(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.∵双曲线的右焦点的坐标为(2,0),且双曲线的方程为=1,∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1,∴双曲线的方程为-y2=1.(2)∵a=,b=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.令x=-2,则y=±,设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,则|AB|=.记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=×2=.能力提升1.我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线C:=1,则下列双曲线中与C是“相近双曲线”的是()A.x2-y2=1B.x2-=1C.y2-2x2=1D.=1C的离心率为2,对于A,其离心率为,不符合题意;对于B,其离心率为,符合题意;对于C,其离心率为,不符合题意;对于D,其离心率为3,不符合题意.故选B.2.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上,到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.e>B.1<e<C.e>2D.1<e<2O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2,故选C.3.已知a>b>0,若椭圆=1与双曲线=1的离心率之积为,则双曲线的渐近线方程为.,得,解得,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.±y=04.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(8,-6),则其离心率等于.y=kx,由-6=8k,得k=-,所以渐近线方程为y=±x.若焦点在x轴上,则,于是离心率e=;若焦点在y轴上,则,于是离心率e=.5.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.6.已知椭圆C1的中心在原点,离心率为,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2:=1(a>0,b>0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C2的标准方程.设椭圆C1的标准方程为=1(a1>b1>0),根据题意得2a1=10,则a1=5.又e1=,∴c1=4,b1=3,∴椭圆C1的标准方程为=1.(2)设双曲线的右焦点F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±,∴|MN|=.∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,∴a+c=,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0.又e>1,∴e=2.又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,∴c=4,∴a2=4,b2=12,∴双曲线C2的标准方程为=1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
高中数学选修1-1（全册）习题（答案详细讲解）
高中数学选修1-1（全册）习题（答案详细讲解）目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ?不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。
人教A版高中数学选修1-1习题精选(含答案)
习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则=________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则 =________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
人教A版选修1-1教案：抛物线及其标准方程(含答案)
§2.3.1 拋物線及其標準方程【學情分析】：學生已經學習過橢圓和雙曲線，掌握了橢圓和雙曲線的定義。
經歷了根據橢圓和雙曲線的幾何特徵，建立適當的直角坐標系，求橢圓和雙曲線標準方程的過程。
【教學目標】：（1）知識與技能：掌握拋物線定義和拋物線標準方程的概念；能根據拋物線標準方程求焦距和焦點，初步掌握求拋物線標準方程的方法。
（2）過程與方法：在進一步培養學生類比、數形結合、分類討論和化歸的數學思想方法的過程中，提高學生學習能力。
（3）情感、態度與價值觀：培養學生科學探索精神、審美觀和理論聯繫實際思想。
【教學重點】：拋物線的定義和拋物線的標準方程。
【教學難點】：（1）拋物線標準方程的推導；（2）利用拋物線的定義及其標準方程的知識解決實際問題。
【課前準備】：Powerpoint或投影片【教學過程設計】：教學環節教學活動設計意圖一、復習引入拋物線的定義 1. 橢圓的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的和等於常數2a（122F F a<）的點的軌跡. 2．雙曲線的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等於常數2a（122F F a>）的點的軌跡.3．思考：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e>1 時是雙曲線．那麼，當e＝1時它是什麼曲線呢？拋物線的定義：平面內與一個定點和一條定直線l的距離相等的點的軌跡。
點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的准線．學生已經學過橢圓和雙曲線是如何形成的。
通過類似的方法，讓學生瞭解拋物線的形成，從而理解並掌握拋物線的定義。
二、建立拋物線的標準方程如圖，建立直角坐標系xOy，使x軸經過點F且垂直於直線l，垂足為K，並使原點與線段KF的中點重合．設(0)KF p p=>,則焦點F的座標為（2p，0），准線的方程為2px=-．設點M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是點的集合{}P M MF d==．∵MF=222px y⎛⎫-+⎪⎝⎭；d=2px+．∴2222p px y x⎛⎫-++⎪⎝⎭＝．化簡得：22(0)y px p=>．注：22(0)y px p=>叫做拋物線的標準方程．它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸，座標是2p⎛⎫⎪⎝⎭，，准線方程是2px=-．探究：拋物線的標準方程有哪些不同的形式？請探究之後填寫下表。
高中数学人教A版选修1-1第2章圆锥曲线与方程课后练习及解析
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
2．椭圆1x62 ＋y72＝1 的左右焦点为 F1，F2，一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点，则△ABF2 的
周长为( )
A．32
B．16
C．8
D．4
3．椭圆 2x2＋3y2＝1 的焦点坐标是( )
A.0，±
6 6
B．(0，±1)
C．(±1,0)
D.± 66，0
4．方程|a|x－2 1＋a＋y2 3＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是(
)
A．(－3，－1) C．(1，＋∞)
B．(－3，－2) D．(－3,1)
5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点25，－32，则该椭圆的方程是( )
A.y82＋x42＝1
B.1y02 ＋x62＝1
C.y42＋x82＝1
D.y62＋1x02 ＝1
6．设 F1、F2 是椭圆1x62 ＋1y22 ＝1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 P 到两个焦点的距离之
11．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
高中数学第二章2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义(含解析)新人教A版选修1_1
2．2.2 双曲线的简单几何性质预习课本P49～53，思考并完成以下问题1．双曲线有哪些几何性质？2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？[新知初探]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 轴实轴：线段A1A2，长：2a；2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 24＝1的焦点在y 轴上( )(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 答案：B4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案：5双曲线的几何性质[典例] 22虚轴长、离心率和渐近线方程．[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值；(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质． [注意] 求性质时一定要注意焦点的位置． 1．已知双曲线x 29－y 216＝1与y 216－x 29＝1，下列说法正确的是( )A ．两个双曲线有公共顶点B ．两个双曲线有公共焦点C ．两个双曲线有公共渐近线D ．两个双曲线的离心率相等解析：选C 双曲线x 29－y 216＝1的焦点和顶点都在x 轴上，而双曲线y 216－x 29＝1的焦点和顶点都在y 轴上，因此可排除选项A 、B ；双曲线x 29－y 216＝1的离心率e 1＝9＋169＝53，而双曲线y 216－x 29＝1的离心率e 2＝16＋916＝54，因此可排除选项D ；易得C 正确． 2．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋m ＝3，解得m ＝2. 答案：2由双曲线的几何性质求标准方程[典例] (1)(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1(2)过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．[解析] (1)由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线的方程为x 28－y 28＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22. 故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，代入点(2，－2)得b 2＝－2(舍去)； 当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a2＝1，代入点(2，－2)得a 2＝2. 所以所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1. [答案] (1)B (2)y 22－x 24＝1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝c a列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2. 又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)．把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.双曲线的离心率[典例] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[解析] 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a2a 2－y 2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.[答案] 2＋ 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c a求解，若已知a ，b ，可利用e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝c a，转化为关于e 的n 次方程求解．[活学活用]1．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为AO ＝AF ，F (c,0)，所以x A ＝c 2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝ca >2.答案：(2，＋∞)2．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×(4a )×(2c )×cos 30°，整理得(e －3)2＝0，所以e ＝ 3.答案： 3层级一 学业水平达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选C 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1.3．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.4．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32， 则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23， 从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.5．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：选D 由双曲线方程为x 2a2－y 2＝1，知b 2＝1，c 2＝a 2＋1，∴2b ＝2,2c ＝2a 2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，∴2a ＋2c ＝4b ＝4，∴2a ＋2a 2＋1＝4，解得a ＝34.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a 2－9b2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，所以e ＝c a＝2. 答案：27．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1. 答案：x 216－y 24＝18．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝19．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.层级二 应试能力达标1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－b a×4，即a ＝2b .设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D. 3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2.答案：[2，＋∞)6．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：32157．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3.所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m2，y 0＝x 0＋m ＝3m2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ>0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝ 2.综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。
人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词 1.3.1 且(and)》赛课课件_2
(2) p：35是15的倍数， q：35是7的倍数。
解：(2) pq： 35是15的倍数且35是7的倍数。 由于p假、q真，从而pq假。
将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假； (1)p：菱形的对角线相等，
q：菱形的对角线互相平分 (2) p：35是5的倍数，
q：35是7的倍数。
解：(1) pq：菱形的对角线相等且互相平分。 由于p假、q真，从而pq假。
口诀：全假为假,有真即真.
课后练习 课后习题
课后练习
将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：
（1）p： 5是10的约数，q：5是15的约数
p且q: 5是10的约数且是15的约数
真
（2）p： 矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相垂直
p且q：矩形对角线相等且互相垂直
假
（3）p：π是有理数，q:π是自然数
(2) pq： 35是5的倍数且35是7的倍数。 由于p真、q真，从而pq真。
例2、用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假；
(1) 1既是奇数，又是素数； (1)可改写为：1是奇数且1是素数。 由于p真q假， 所以这个命题是假命题。
(2)2和3都是素数。
(2)可为：2是素数且3是素数。 “2是素数”与“3是素数”都是真命题， 所以这个命题是真命题。
即 pq 。
因为p真、q假， 所以命题pq 是真命题。
(2) 集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集； 解：命题“集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集” 是用“或”联结构成的命题： p:集合A是A∩B的子集； q:集合A是A∪B的子集；
用“或”联结后构成新命题，即 pq 因为p假q真，所以命题pq是真命题。
如果pq 为真命题， 那么pq一定是真命题吗？
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
新编人教A高中数学选修1-1全册教案导学案含答案
人教版高中数学选修1-1全册教案基因详解目录1.1.1命题及其关系1.1.2双曲线的几何性质1.1.3双曲线及其标准方程1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1.3.1且1.3.2或1.3.3非2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的简单几何性质2.3.1抛物线及其标准方程2.3.2抛物线的简单几何性质3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念教案3.1.3导数的几何意义3.2.1几个常用函数导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3.1函数的单调性与导数3.3.2函数的极值与导数3.3.3函数的最值与导数3.4生活中的优化问题举例1. 1.1命题及其关系一、课前小练：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）312>；（3）312>吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.二、新课内容：1.命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）.上述6个语句中，哪些是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true p roposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，哪些为真命题？哪些为假命题？③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）215x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：三、练习：教材P41、2、3四、作业：1、教材P8第1题2、作业本1-10五、课后反思命题教案课题 1.1.1命题及其关系(一) 课型新授课教学目标1）知识方法目标了解命题的概念，2）能力目标会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.教学重点难点1）重点：命题的改写2）难点：命题概念的理解，命题的条件与结论区分教法与学法教法：教学过程备注1.课题引入（创设情景）阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）312>；（3）312>吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.2.问题探究1）难点突破2）探究方式3）探究步骤4）高潮设计1.命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）.上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）215x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式.③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.引导学生归纳出命题的概念，强调判断一个语句是不是命题的两个关键点：是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”。
人教a版数学【选修1-1】3.2.1-3.2.2(含答案)
§3.2导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 课时目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．函数y ＝f (x )＝c 的导数为____________，它表示函数y ＝c 图象上每一点处，切线的斜率为0.若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y ＝f (x )＝x 的导数为__________，它表示函数y ＝x 图象上每一点处切线的斜率为1.若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．2．常见基本初等函数的导数公式：(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝______；(2)若f (x )＝x α (α∈Q *)，则f ′(x )＝________；(3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________；(4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________；(5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝________ (a >0)；(6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝________；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝________ (a >0，且a ≠1)；(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________.一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 5．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－18 6．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A ．12523B ．110523C ．25523D ．110523 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________________． 8．已知f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝________________________________________________________________________.9．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．能力提升12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．13．求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§3.2 导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)知识梳理1．y ′＝0 瞬时速度 静止 y ′＝1 瞬时速度 匀速直线2．(1)0 (2)αx α－1 (3)cos x (4)－sin x(5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x.] 2．B [直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′|x ＝3＝－227， 所以③正确．]3．D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ，得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.] 4．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 5．B [y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]6．B [s ′＝15t －45. 当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.] 7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 8．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.9．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .10．解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2. (4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.11．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．－2解析 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝n n ＋1. a n ＝lg x n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg(n ＋1)， 则a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.13．解 ∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e ，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k ＝－1e， ∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)， 即x ＋e y －e 2－1＝0.。
高二数学人教A版选修1-1第三章3.3.2函数的极值与导数导学案(含答案)
内 容 标 准学 科素 养 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用． 2.掌握函数极值的判定及求法． 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.利用直观想象 提升逻辑推理 及数学运算[基础认识]知识点一 极值点与极值的概念 预习教材P 93－95，思考并完成以下问题 (1)观察函数f (x )＝13x 3－2x 的图象．f ′(－2)的值是多少？在x ＝－2左、右两侧的f ′(x )有什么变化？ f ′(2)的值是多少，在x ＝2左、右两侧的f ′(x )又有什么变化？提示：f ′(－2)＝0，在x ＝－2的左侧f ′(x )>0，在x ＝－2的右侧f ′(x )<0；f ′(2)＝0，在x ＝2的左侧f ′(x )<0，在x ＝2的右侧f ′(x )>0.(2)如图，函数f (x )在a ，b 点的函数值与它附近的函数值有什么关系？y ＝f (x )在a ，b 点的导数值是多少？在a ，b 附近，y ＝f (x )的导数的符号是什么？提示：可以发现，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0.类似地，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.知识梳理 极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 知识梳理 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是________． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是________． 提示：(1)极大值 (2)极小值[自我检测]1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 答案：C2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，则f (x )( )A ．有极大值2，极小值－2B ．有极大值－2，极小值2C ．无极大值，但有极小值－2D ．有极大值2，无极小值 答案：B探究一极值与极值点的判断与求解[教材P98习题3.3A组4题]如图是导函数y＝f′(x)的图象，在标记的点中，在哪一点处：(1)导函数y＝f′(x)有极大值？(2)导函数y＝f′(x)有极小值？(3)函数y＝f(x)有极大值？(4)函数y＝f(x)有极小值？解析：(1)点x2处f′(x)有极大值．(2)点x1、x4处f′(x)有极小值．(3)点x3处f(x)有极大值．(4)点x5处f(x)有极小值．[例1](1)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值[解析]由导函数的图象可知：当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C.[答案] C(2)求下列函数的极值：①f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；②f(x)＝x2－2ln x.[解析]①函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值21极小值－6所以当x 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.②函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，解方程2(x ＋1)(x －1)x ＝0，得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值1因此当x ＝1时，f (方法技巧 1.通过导函数值的正负确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x 轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．2．求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )． (2)求f (x )的拐点，即求方程f ′(x )＝0的根．(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f ′(x )的符号时，借助图象也可判断f ′(x )各因式的符号，还可用特殊值法判断． 跟踪探究 1．如图为y ＝f (x )的导函数的图象，则下列判断正确的是( )①f (x )在(－3，－1)上为增函数；②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x ＝2是f (x )的极小值点．A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①③④解析：由f ′(x )的图象知，－3<x <－1时，f ′(x )<0；f ′(－1)＝0； －1<x <2时，f ′(x )>0；f ′(2)＝0；2<x <4时，f ′(x )<0故f (x )在(－3，－1)和(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数，f (－1)是极小值，f (2)是极大值，所以②③正确，故选B.答案：B2．判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由． (1)y ＝13x 3＋4；(2)y ＝e xx (x >0)．解析：(1)f ′(x )＝x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 ＋ f (x )单调递增无极值单调递增(2)y ′＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，令y ′＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减极小值单调递增探究二 利用函数极值确定参数的值[教材P 110复习参考题A 组7题]已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，求c 的值．解析：∵f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ， ∴f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2.∴f ′(2)＝0，即3×4－8c ＋c 2＝0，得c ＝2，或c ＝6. 但c ＝2时，f (2)是极小值，不合题意，舍去，所以c ＝6.[例2] (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________. (2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则a 的取值范围为________．[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0， 此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0， 此时f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0， 此时f (x )为增函数．故f (x )在x ＝－1处取得极小值， ∴a ＝2，b ＝9.(2)∵f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a >0，解得a <1. [答案] (1)2 9 (2)(－∞，1)方法技巧 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪探究 3.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解析：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. 探究三 函数极值的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．[解析] 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， 所以a ＝1，所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)， f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示．因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)． 方法技巧 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．延伸探究 若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”，结果如何？改为“一个交点”呢？ 解析：由本例解析可知当m ＝－3或m ＝1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点；当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象只有一个交点．跟踪探究 4.已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解析：由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8 ＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m . ∵由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0， 解得－16<m <6827.即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－16，6827.[课后小结](1)在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值． (2)函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．(3)利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．[素养培优]1．误把导函数的零点当作函数的极值点求函数f (x )＝x 4－x 3的极值，并说明是极小值还是极大值．易错分析 本题易错将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值．事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值．考查逻辑推理及数学运算．自我纠正 f ′(x )＝4x 3－3x 2，令f ′(x )＝0, 即4x 3－3x 2＝0时，得x 1＝0，x 2＝34.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：由上表可知函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间⎝⎛⎭⎫0，34上还是减函数，所以x ＝0不是函数的极值点，而函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，34上是减函数，在区间⎝⎛⎭⎫34，＋∞上是增函数，所以函数f (x )在x ＝34处取得极小值，极小值为－27256.2．误把切点当作函数的极值点已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2，求f (x )的解析式． 易错分析 本题错在将切点当做极值点，得到f ′(1)＝0的错误结论．其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈．考查逻辑推理及数学运算的学科素养．自我纠正 f ′(1)表示函数f (x )的图象在点(1，－1)处的切线斜率，应有f ′(1)＝1，再联立f (0)＝1，f (1)＝－1便可得到正确答案：a ＝52，b ＝－92，c ＝1，因此f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。
【人教A版】高中数学选修1-2课后习题答案[PDF版内有书签]
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人教版 A版高中数学选修 1-2 课后习题答案
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人教A版高中数学选修1-1 教师用书
第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．1.1命题目标导学1．了解命题的有关概念．2．会判断命题的真假．3．理解若p，则q形式的命题的条件和结论．能指出此类命题的条件和结论．‖知识梳理‖1．命题的概念一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．命题的分类判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．3．命题的结构命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是条件，q是结论．1．对于命题概念的理解(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：①该语句是陈述句；②能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是命题；若不能判断真假，则不是命题．2．命题的结构形式(1)在数学中，一般用小写字母p，q，r，…等表示命题．如命题p：2是无理数；命题q：π是有理数．(2)常见的命题形式为：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，为了找出命题的条件和结论，可以对命题改写为“若p，则q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．题型一命题及其真假的判断判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？(2)x2＋4x＋5>0(x∈R)；(3)x2＋3x－2＝0；(4)一个数不是正数就是负数；(5)4是集合{1,2,3,4}中的元素；(6)求证y＝sin 2x的最小正周期为π.【思路探索】解答本题，首先要根据命题的概念，判断是否是命题，若是，再根据条件和结论的逻辑关系判断真假．【解】(1)是疑问句，不是命题．(2)是命题．因为当x∈R时，x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，可判断真假，所以是命题，而且是真命题．(3)不是命题．因为语句中含有变量x，在没给定x的值之前，无法判断语句的真假，所以不是命题．(4)是命题．因为数0既不是正数也不是负数，所以是假命题．(5)是命题．因为4∈{1,2,3,4}，且是真命题．(6)是祈使句，不是命题．[名师点拨]判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假．一般地，陈述句“π是无理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都是命题；而祈使句“求证2是无理数”，疑问句“你是高一的学生吗？”，感叹句等都不是命题.(2019·陆良八中月考)下面命题中是真命题的是() A．函数y＝sin2x的最小正周期是2πB．等差数列一定是单调数列C．直线y＝ax＋a过定点(－1,0)D ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则角B 为锐角解析：A 中，y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，周期T ＝π，A 为假命题；B 中，当公差为0时，等差数列为常数列，B 为假命题；D 中，若AB→·BC →>0，则AB →与BC →的夹角为锐角，角B 为钝角，D 为假命题，故C 正确．答案：C题型二 命题的结构形式把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－1或x ＝3；(3)有两个内角之和大于90°的三角形是锐角三角形；(4)实数的平方是非负数；(5)平行于同一平面的两条直线互相平行．【思路探索】 本例所给的命题都不具备“若p ，则q ”的形式，解决这类题型既要找准命题的条件和结论，还要注意表述的完整性．【解】 (1)若ac >bc ，则a >b ，是假命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－1或x ＝3，是真命题．(3)若一个三角形中，有两个内角之和大于90°，则这个三角形是锐角三角形，是假命题．(4)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．(5)若两条直线平行于同一个平面，则它们互相平行，是假命题．[名 师 点 拨](1)把命题改写成“若p ，则q ”(或“如果p ，那么q ”)的形式，其中p 为命题的条件，q 为命题的结论，要注意条件及结论的完整性，将条件写在前面，结论写在后面．“若p ，则q ”是原来命题的另一种叙述形式，它的真假性等同于原来的命题．(2)不要认为假命题没有条件和结论，对于一个命题无论是真命题还是假命题，它必须由条件和结论两个部分组成，只是有些命题的条件或结论不十分明显．(3)判断一个命题的真假．“若p ，则q ”为真命题，则需要由p 经过严格推理得出q.“若p，则q”为假命题，只需举出一个反例说明即可.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)能被9整除的数是偶数；(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；(3)如果a>1, 那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数，是假命题．(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1，是真命题．(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数，是假命题．1．下列语句为命题的个数有()①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①④是命题，故选B.答案：B2．(2019·莆田月考)下列命题中是假命题的是()A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．5>3解析：B中两个向量模相等，方向不一定相同，故B为假命题．答案：B3．(2019·杭高期末)已知α，β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，l⊥m，则l⊥αC．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nD．若l⊥α且l⊥β，则α∥β解析：A中，α与β有可能平行，A错；B中，m与n不一定相交，B错；C 中，m与n的关系不确定，C错；D中，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确．故选D.答案：D4．指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．解：(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数．(2)条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分．5．把下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)函数y＝x3是奇函数；(2)奇数不能被2整除；(3)与同一直线平行的两个平面平行；(4)已知x，y是正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.解：(1)若一个函数是y＝x3，则它是奇函数，它是真命题．(2)若一个数是奇数，则它不能被2整除，它是真命题．(3)若两个平面都与同一直线平行，则这两个平面平行，它是假命题．(4)已知x，y是正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，它是假命题．一、选择题1．下列语句中命题的个数是()①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．A．0 B．1C．2 D．3解析：①③④是命题，②不是命题．答案：D2．下面的命题中是真命题的是()A．y＝sin2x的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB→·BC →>0，则△ABC 是锐角三角形 解析：B 正确，由韦达定理知，x 1x 2＝c a >0.答案：B3．(2019·商丘联考)给出下列命题：①若直线l ⊥平面α，直线m ⊥平面α，则l ⊥m ；②若a ，b 都是正实数，则a ＋b ≥2ab ；③若x 2>x ，则x >1；④函数y ＝x 3是指数函数．其中假命题为( )A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①④解析：①中，l ∥m ，①错；②为真命题；③中，由x 2>x ，得x >1或x <0，③错；④中，y ＝x 3是幂函数，④错．故选C.答案：C4．(2019·海林月考)已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么下列命题：①M 中的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有P 的元素；④M 中的元素不都是P 的元素．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：“非空集合M 中的元素都是集合P 的元素”是假命题，则集合M 中有不属于P 的元素，故②④正确，故选B.答案：B5．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“相等”和“直角”B ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题解析：D 中，当a >4时，判别式Δ＝16－4a <0，此方程无实根，故是假命题． 答案：D6．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：对于①，设球的半径为R ，则43π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，故①正确；对于②，可举例1,3,5和3,3,3两组数据的平均数相等，但它们的标准差不同，故②错；对于③，圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|0＋0＋1|2＝22，等于圆x 2＋y 2＝12的半径，所以直线与圆相切，故③正确．答案：C二、填空题7．下列语句是命题的有________．①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗；③x ，y 都是无理数，则x ＋y 是无理数；④若直线l 不在平面α内，则直线l 与平面α平行；⑤60x ＋9>4；⑥求证3是无理数．解析：根据命题的定义进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题；因为⑤中自变量x 的值不确定，所以无法判断其真假，所以⑤不是命题；因为⑥是祈使句，所以不是命题．①③④是命题．答案：①③④8．(2019·长春月考)下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π2，k ∈Z ； ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到y ＝3sin 2x 的图象； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数． 其中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：由y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，得T ＝2π2＝π，①为真命题；终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π2＋k π，k ∈Z ，②为假命题；在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和y ＝x 的图象只有一个公共点，③为假命题；把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x 的图象，④为真命题；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数，⑤为假命题，故真命题有①④. 答案：①④9．若命题“ax 2－2ax ＋3>2”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝ax 2－2ax ＋1，当a ＝0时，f (x )＝1>0成立；当a ≠0时，要使f (x )>0恒成立，只要Δ＝(－2a )2－4a ＝4a (a －1)<0，且a >0，即0<a <1.综上知，a 的取值范围是[0,1)．答案：[0,1)三、解答题10．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0；(2)等腰三角形的两个底角相等；(3)末位数字是0或5的整数，能被5整除；(4)方程x 2＋x ＋1＝0有两个实数根．解：(1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，是真命题．(2)若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，是真命题．(3)若一个整数的末位数字是0或5，则能被5整除，是真命题．(4)若一个方程为x 2＋x ＋1＝0，则它有两个实数根，是假命题．11．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由x 2－2x －2≥1，得x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，即命题p ：x ≤－1或x ≥3.而命题q ：0<x <4，由命题p 是真命题，命题q 是假命题，得⎩⎨⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.故实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞)．12．已知命题A ：2x －1>a ；命题B ：x >3.试确定实数a 的一个值，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若A 为条件，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 2，则x >3”，由命题为真命题，得1＋a 2≥3，即a ≥5.若B 为条件，则命题“若p ，则q ”为“若x >3，则x >1＋a 2”，由命题是真命题，得1＋a 2≤3，即a ≤5.由以上分析知，取a ＝5，符合题意．13．(2019·上海七宝月考)已知函数f (x )＝cos x －|sin x |，那么下列命题中假命题是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在[－π，0]上恰有一个零点C ．f (x )是周期函数D ．f (x )在[－π，0]上是单调函数解析：∵f (－x )＝cos(－x )－|sin(－x )|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A正确；由f (x )＝cos x －|sin x |＝0，x ∈[－π，0]时，可得cos x ＝－sin x ，∴x ＝－π4，即f (x )在[－π，0]上恰有一个零点，B 正确；∵f (x ＋2π)＝cos(x ＋2π)－|sin(x ＋2π)|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为周期函数，C 正确；当x ∈[－π，0]f (x )＝cos x ＋sinx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f (x )在[－π，0]上不单调，D 为假命题，故选D. 答案：D1．1.2 四种命题1．1.3 四种命题间的相互关系目 标 导 学1．了解四种命题的概念．2．认识四种命题的结构形式，会写某命题的逆命题、否命题和逆否命题．3．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．4．能利用命题的等价性解决简单问题．‖知识梳理‖1．四种命题的概念名称栏目内容定义 表示形式 互逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题原命题为“若p ，则q ”；逆命题为“若q ，则p ” 互否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p ，则q ”；否命题为“若﹁p ，则﹁q ” 互为逆否对于两个命题，其中一个命题的条原命题为“若p ，则2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1．四种命题的表示形式一般地，用p 和q 分别表示一个命题的条件和结论，用﹁p 和﹁q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式为：原命题：若p ，则q (p ⇒q )；逆命题：若q ，则p (q ⇒p )；否命题：若﹁p，则﹁q (﹁p ⇒﹁q )；逆否命题：若﹁q ，则﹁p (﹁q ⇒﹁p )．注：命题的四种形式中，哪一个为原命题是相对的，而不是绝对的．2．命题的真假判断一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．判断一个命题为真命题，需要逻辑推理(证明)，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．在四种命题中，互为逆否的两个命题同真或同假，称为等价命题．原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．因此，四种命题中真假命题的个数一定为偶数个．题型一四种命题的概念写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若a<1，则方程x2＋2x＋a＝0有实根；(2)若ab是正整数，则a，b都是正整数；(3)若a＋5是有理数，则a是无理数．【思路探索】首先弄清楚原命题的条件和结论，再写出其逆命题、否命题、逆否命题．【解】(1)原命题的逆命题为：若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1.否命题为：若a≥1，则方程x2＋2x＋a＝0没有实根．逆否命题为：若方程x2＋2x＋a＝0没有实根，则a≥1.(2)原命题的逆命题为：若a，b都是正整数，则ab是正整数；否命题为：若ab不是正整数，则a，b不都是正整数；逆否命题为：若a，b不都是正整数，则ab不是正整数．(3)原命题的逆命题为：若a是无理数，则a＋5是有理数．否命题为：若a＋ 5 不是有理数，则a不是无理数．逆否命题为：若a不是无理数，则a＋5不是有理数．[名师点拨]若一个命题不是“若p，则q”的形式，则先改写为“若p，则q”的形式，然后再按定义写出其逆命题、否命题和逆否命题.(2019·江门月考)“若a≥2，则a2≥4”的否命题是() A．若a≤2，则a2≤4B．若a≥2，则a2≤4C．若a<2，则a2<4D．若a≥2，则a2<4解析：否命题既否定条件，又否定结论，所以“若a≥2，则a2≥4”的否命题为“若a<2，则a2<4”，故选C.答案：C题型二四种命题的相互关系下列说法中，不正确的是()A．“若p，则q”与“若q，则p”互为逆命题B．“若﹁p，则﹁q”与“若q，则p”互为逆否命题C．“若﹁p，则﹁q”是“若p，则q”的逆否命题D．“若﹁p，则﹁q”与“若p，则q”互为否命题【思路探索】题目中每个选项都给了两个命题，应从四种命题的概念入手进行判断．【解析】根据四种命题的概念知，A、B、D正确；C错误．【答案】C[名师点拨]原命题：若p，则q，逆命题：若q，则p，否命题：若﹁p，则﹁q，逆否命题：若﹁q，则﹁p，熟记四种命题的形式，是解决此类问题的关键.若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：设命题A为：“若p，则q”，依题意得，命题B为：“若﹁p，则﹁q”，命题C为：“若﹁q，则﹁p”，所以B与C为互逆命题．答案：A题型三四种命题的真假判断有下列四个命题：①“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的否命题；②“若m＝2，则直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行”的逆命题；③“已知a，b是非零向量，若a·b>0，则a与b方向相同”的逆否命题；④“若x≤3，则x2－x－6>0”的逆否命题．其中为真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【思路探索】先正确的写出相对应的命题，再判断真假．也可以根据互为逆否命题同真同假直接进行判断．【解析】命题“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的逆命题为：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题．因为逆命题与否命题等价，所以①正确；因为②中原命题的逆命题为：“若直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行，则m＝2”，是真命题，故②正确；对于③可考虑原命题．设a＝(0,1)，b＝(1,1)，则a·b＝1>0，但a与b不同向，所以原命题为假命题，故③为假命题；④中命题“若x≤3，则x2－x＋6>0”的逆否命题为：“若x2－x＋6≤0，则x>3”，是假命题，故④为假命题．【答案】B[名师点拨](1)判断四种命题的真假，可以通过逻辑证明或举反例进行判断．(2)判断四种命题的真假可以利用真假性关系：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，它们同真同假，在只要求判断真假的题目中，可以不一一写出逐个判断，利用等价性判断更为方便简捷.(2019·铜陵一中期中)下列命题中为真命题的是() A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析：A中，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，为真命题；B中，命题“若x>1，则x2>1”的逆命题为“若x2>1，则x>1”，为假命题，所以其否命题为假命题；C中，命题的逆命题为“若x2＋x－2＝0，则x＝1”，为假命题，所以其否命题为假命题；D中，命题“若x2>1，则x>1”为假命题，则逆否命题为假命题，故选A.答案：A题型四等价命题的应用判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．【思路探索】解法一：由已知命题，写出逆否命题，再判断真假；解法二：判断原命题的真假，即得逆否命题的真假．【解】解法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x 的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.若a<1，则4a－7<0.所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题．解法二：判断原命题的真假．已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，得a≥74，从而a≥1成立．所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题．[名师点拨]由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题是：若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<0.∵a＋b<0，∴a<－b.又∵f(x)在R上为增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)．∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.∴原命题的逆否命题为真命题．故原命题成立．1．(2019·分宜中学月考)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是() A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1解析：否命题应同时否定条件和结论．答案：C2．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是() A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确解析：由于原命题的逆命题与否命题互为等价命题，故D正确．答案：D3．(2019·贵阳月考)下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”B．“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题为真命题C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题解析：C中，原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题．答案：C4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有____________．解析：命题③可以改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；命题④可以改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补；命题⑤可以改写为：若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆．其中②和④，③和⑥互为逆命题；①和⑥，②和⑤互为否命题；①和③，④和⑤互为逆否命题．答案：②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤5．写出命题“如果|x－2|＋(y－1)2＝0，则x＝2且y＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x＝2且y＝1，则|x－2|＋(y－1)2＝0.真命题．否命题：如果|x－2|＋(y－1)2≠0，则x≠2或y≠1.真命题．逆否命题：如果x≠2或y≠1，则|x－2|＋(y－1)2≠0.真命题．一、选择题1．下列说法中正确的是()A．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．若一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真解析：一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假．答案：D2．与命题“若实数a>1，则函数y＝a x是增函数”互为逆否命题的是() A．若实数a<1，则函数y＝a x不是增函数B．若实数a≤1，则函数y＝a x不是增函数C．若函数y＝a x是增函数，则实数a>1D．若函数y＝a x不是增函数，则实数a≤1解析：写逆否命题否定并交换条件和结论即可．答案：D3．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B ＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：①②③显然正确；若A∩B＝B，则B⊆A，原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题．答案：D4．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假解析：∵a n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列，∴原命题与其逆命题都是真命题，所以逆否命题与否命题也是真命题，故选A.答案：A5．下列有关命题的说法正确的是()A．“若x>1，则2x>1”的否命题为真命题B．“若cos β＝1，则sin β＝0”的逆命题是真命题C．“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题D．命题“若x>1，则x>a”的逆命题为真命题，则a>0解析：在A中，“若x≤1，则2x≤1”，是假命题，故A不正确；在B中，“若sin β＝0，则cos β＝1”，是假命题，故B不正确；在C中，原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题，故C正确；在D中，由x>a⇒x>1，则a>1，故D不正确．答案：C6．下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题C ．“已知a ，b ，m ∈R ，若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题D ．“若x ∈N *，则(x －1)2>0”是假命题解析：A 中原命题为真，故其逆否命题为真；B 中否命题为“若四边形不是矩形，则对角线不相等”为假命题；C 中逆命题为“已知a ，b ，m ∈R ，若a <b ，则am 2<bm 2”为假命题；D 中当x ＝1时，(x －1)2＝0，是假命题．答案：C二、填空题7．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：当m ＝3，n ＝4时，m >－n ，但m 2<n 2，故原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题；当m ＝－4，n ＝3时，m 2>n 2，但m <－n ，故逆命题为假命题，所以其否命题为假命题，所以假命题的个数是3.答案：38．设有两个命题：p ：关于x 的不等式mx 2＋1≥0的解集是R ；q ：函数f (x )＝log m x 是减函数(m >0，且m ＝0，m ≥1)．若这两个命题中有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________． 解析：若p 为真，则m ≥0，若q 为真，则0<m <1，若p 与q 中一真一假，则实数m 的取值范围是m ＝0或m ≥1.答案：[1，＋∞)∪{0}9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．解析：由题意得⎩⎨⎧1＋2－m ≤0，4＋4－m >0，∴3≤m <8. 答案：[3,8)三、解答题10．判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m >0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．11．设M是一个命题，它的结论是q：x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，M的逆否命题的结论是﹁p：x1＋x2≠－2，或x1x2≠－3.(1)写出M；(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题．解：(1)设命题M表述为：若p，则q，那么由题意知，其中的结论q为：x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．而条件p的否定形式﹁p为：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，故﹁p的否定形式，即p为：x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.所以命题M为：若x1＋x2＝－2且x1x2＝－3，则x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．(2)M的逆命题为：若x1或x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.否命题为：若x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，则x1或x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根．逆否命题为：若x1或x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.12．设p：m－2m－3≥2，q：关于x的不等式x2－6x＋m2≤0的解集为空集，试确定m的值，使p与q同时成立．解：由m－2m－3≥2，得m－2m－3－2≥0，即m－4m－3≤0，∴3<m≤4，∴当3<m≤4时，p成立．∵关于x的不等式x2－6x＋m2≤0的解集为空集．∴Δ＝(－6)2－4m2<0，即m2>9，∴m<－3或m>3.∴当m<－3或m>3时，q成立．若p与q同时成立，则3<m≤4.即当3<m≤4时，使p与q同时成立．13．设△ABC的三边分别为a，b，c，在命题“若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”及其逆命题中()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．两个命题都真D．两个命题都假解析：原命题“若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”是假命题，而逆命题“若△ABC不是直角三角形，则a2＋b2≠c2”是真命题．故选B.答案：B1．2充分条件与必要条件1．2.1充分条件与必要条件1．2.2充要条件目标导学1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会判断所给条件是充分条件、必要条件还是充要条件．3．会求或证明命题的充要条件．‖知识梳理‖1．推出关系一般地，命题“若p，则q”为真，可记作“p⇒q”；“若p，则q”为假，可记作p q.2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．3．充要条件如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.同时q也是p的充要条件．1．对充分条件，必要条件的理解若p⇒q，则说p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，。
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