2012年山东高考数学文科试题及答案
2012全国高考山东卷数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i(2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B ð为(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}(3)函数1()ln(1)f x x =++ (A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差(5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真(6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2- (7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1(D)1-(9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离(10)函数cos622x xx y -=-的图象大致为(11)已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = (12)设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是(A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+<(C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+<第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.(15)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿.(16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为＿＿＿＿.三、解答题：本大题共6小题，共74分.(17)(本小题满分12分)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .(18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.(19) (本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .(20) (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .(21) (本小题满分13分)如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.(22) (本小题满分13分) 已知函数ln ()(e xx k f x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.参考答案：一、选择题：(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B(12)解：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =.不妨设12x x <，则223x b =.所以21()()()F x x x x =-，比较系数得1x -，故1x =120x x +=，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B. 二、填空题 (13)16 以△1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1，故111111326V =⋅⋅⋅⋅=. (14)9 最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9. (15)14 当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意. (16)(2sin 2,1cos2)--三、解答题(17)(I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，sin sin()sin sin B A C A C +=，2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =，所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==，则22b ac ==， ∴2223cos 24a cb B ac +-==，sin C =，∴△ABC的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =. (19)(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知，CO BD ⊥，又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线，所以BE DE =.(II)取AB 中点N ，连接,MN DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥， 所以ND ∥BC ，所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC .(20)(I)由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得17,7a d ==,所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=.(II)由277m n a n =≤，得217m n -≤，即217m m b -=. ∵211217497m k m k b b ++-==， ∴{}m b 是公比为49的等比数列， ∴7(149)7(491)14948m m m S -==--. (21)(I)22234c a b e a a -==⇒=……① 矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②由①②解得：2,1a b ==，∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=. (II)222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-=，由226420(44)0m m ∆=-->得m <.||PQ =当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.①当1m <-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，||||PQ ST =其中3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST .②由对称性，可知若1m <53m =时，||||PQ ST .③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST =，由此知，当0m =时，||||PQ ST .综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST (22)(I)1ln ()e xx k x f x --'=， 由已知，1(1)0ek f -'==，∴1k =. (II)由(I)知，1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x '=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数， 由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>， 当1x >时()0k x <，从而()0f x '<. 综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.(III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln e x x x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+， 当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<， 所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+. 所以2()()1e g x F x -<≤+.综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.。
2012年高考真题——文科数学(山东卷)解析版(1).pdf
Lesson 37 Touch the World Lead in 张海迪 郑智化 霍金 If you have a problem, what do you do first? Can disabled people live a happy life? Why or why not? Keep your face to the sunshine and you cannot see the shadow. Helen Keller (1880.6.27—1968.6.1) The water pump It’s Anne Sullivan who is teaching Helen Keller the word by touching. Presentation Helen was touching the branch of a tree. Helen was touching her teacher’s mouth. Helen Keller’s early writing1.Helen Keller, the well-known writer and educator, died yesterday at the age of 88. 海伦·凯勒,众所周知的作家、教育家,于昨日去世，享年88岁。
at the age of 在某人……岁时,后跟年龄数,相当于when引导的时间状语从句,即: when one was……years old. ●At the age of 22,he moved to Beijing. ● When he was 22 years old, he moved to Beijing. Language Points :2.She could feel them talk. 她能感觉到她们说话。
talk 是用来说明宾语them，作宾语补足语。
英语中一些感官动词,如: see; watch; hear; feel等接动词不定式作宾语补足语时,动词使用原形。
2012年山东卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学本试卷共22题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)若复数z 满足(2)117i(i z i −=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i (2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B ð为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}(3)函数21()4ln(1)f x x x =+−+的定义域为 (A)[2,0)(0,2]− (B)(1,0)(0,2]− (C)[2,2]− (D)(1,2]−(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 (5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真(6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪−≥−⎩则目标函数3z x y =−的取值范围是(A)3[,6]2− (B)3[,1]2−− (C)[1,6]− (D)3[6,]2−(7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=−≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为 (A)23− (B)0 (C)－1 (D)13−− (9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y −+−=的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离(10)函数cos622x xxy −=−的图象大致为(11)已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2833x y =(B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y =(12)设函数1()f x x=，2()g x x bx =−+ .若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是(A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+< (C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+<第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED −的体积为＿＿＿＿＿.(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.(15)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =−在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿.(16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为＿＿＿＿.三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)(本小题满分12分)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .(18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.(19) (本小题满分12分)如图，几何体E ABCD −是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .(20) (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .(21) (本小题满分13分)如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为32，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.(22) (本小题满分13分)已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x −><+.2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学(参考答案)1．A 【解析】()()117211715253 5.255i i i i z i i ++++====+−【考点定位】本题考查复数的基本运算之一除法，其中涉及分母实数化，这是复数运算中的常考点 2．C 【解析】 【分析】先根据全集U 求出集合A 的补集U A ð，再求U A ð与集合B 的并集()U A B ⋃ð． 【详解】 由题得，{}0,4,U A =ð{}{}{}()0,42,40,2,4.U A B ∴⋃=⋃=ð故选C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题． 3．B 【解析】x 满足2101140x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪−≥⎩，即1022x x x >−⎧⎪≠⎨⎪−≤≤⎩. 解得－1<x <0或0<x ≤，选B4．D【解析】 【分析】 【详解】试题分析：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A 错． 平均数86，88不相等，B 错．中位数分别为86，88，不相等，C 错 A 样本方差2S =4，标准差S=2，B 样本方差2S =4，标准差S=2，D 正确考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 5．C 【解析】试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C.考点：1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题. 6．A 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．7．B 【解析】：由程序框图可顺次得数据如下：，输出n 为3.【考点定位】本题考查程序框图的识别与运算，要注意控制变量在运算过程中的作用，题目中较之以前练习过的题目多出一步比较运算，使试题具有一定难度 8．A 【解析】 【分析】709,,sin()1,336263x x x ππππππ∴≤≤∴−≤−≤∴−≤−≤maxmin2,y y ∴==故选A【详解】请在此输入详解！ 9．B【解析】=，半径分别为2,3，3223∴−<<+，所以两圆相交 ．故选C ．考点：圆与圆的位置关系． 10．D【解析】容易判断函数为奇函数，首先可以否定选项A ；又函数有无数个零点，于是可以否定选项C ；当x 取一个较小的正数时，0,y >由此可以否定选项B.故选D 11．D 【解析】由e=c a =2得4=22c a =1+22b a ,∴22b a=3. ∴双曲线的渐近线方程为x,抛物线x 2=2py 的焦点是（0,2p ）, 它到直线x 的距离d=2=22p±=4p,∴p=8.∴抛物线方程为x 2=16y. 故选D. 12．B 【解析】 【分析】 【详解】设32()1F x x bx =−+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F=或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =不妨设12x x <，则223xb ==.所以21()()(F x x x x =−−，比较系数得1x −=，故1x =120x x +=>，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B13．16【解析】以△1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1， 故111111326V =⋅⋅⋅⋅= 14．9【解析】【思路点拨】本题考查频率分布直方图,关键是抓住纵轴表示的是.:解：最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9.15． 14【解析】当1a >时，有214,a a m −==，此时12,2a m ==，此时()g x = 不合题意.若01a <<，则124,a a m −==，故11,416a m ==，检验知符合题意16．(2sin 2,1cos 2)−−【解析】如图，由题意得2,2,PQ PMQ =∴∠=在PNM Rt ∆中，sin 1sin(2)cos 2,2PN PM PMN π=∠=⨯−=−cos 1cos(2)sin 2.2MN PM PMN π=∠=⨯−=所以，点P 的坐标为(2sin 2,1cos 2)−−17．(I)见解析 (II)11sin 1222S ac B ==⨯⨯=【解析】试题分析：（1）先根据同角三角函数基本关系式和“化切为弦”思想转化成2sin sin sin B A C =，再利用正弦定理将角角关系转化为边边关系，即证得成等比数列；（2）先利用等比中项求出边，利用余弦定理求出，再利用同角三角函数基本关系式求出，再利用三角形的面积公式求其面积． 试题解析：（1）由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=， sin sin()sin sin B A C A C +=，则2sin sin sin B A C =， 再由正弦定理可得：2b ac =，所以a ，b ，c 成等比数列． （2）若1,2a c ==，则22b ac ==，∴2223cos 24a cb B ac +−==，sinB ==∴ABC ∆的面积11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=． 考点：1．同角三角函数基本关系式；2．等比数列；3．正弦定理；4．余弦定理．18．(I) 310P =. (II) 815P =【解析】试题分析：解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种： 红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1， 红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故 所求的概率为310P =. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外， 多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况， 其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =.考点：古典概型点评：主要是考查了古典概型的运用，属于基础题． 19．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】 【详解】(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知，CO BD ⊥，又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE.所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线， 所以BE DE =.(II)取AB 中点N ，连接,MN DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥. 由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥， 所以ND ∥BC ，所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC20(I)由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得17,7a d ==, 所以通项公式为7(1)77n a n n =+−⋅=. (II)由277m n a n =≤，得217m n −≤， 即217m m b −=.∵211217497m k m k b b ++−==，∴{}m b 是公比为49的等比数列，∴7(149)7(491)14948m m m S −==−−.21．(I)2214x y +=(II)53m =±和0时，PQ ST【解析】(I)222324c a b e a a −==⇒=……① 矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②由①②解得：2,1a b ==，∴椭圆M 的标准方程是2214xy +=.(II)222244,{58440,x y x mx m y x m +=⇒++−==+， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,5m x x m x x −+=−=，由226420(44)0m m ∆=−−>得m <<PQ ==当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =−.①当1m <<−时，有(1,1),(2,2),)S m T m ST m −−−+=+，PQ ST ==，其中3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==−∈−时，PQ ST .②由对称性，可知若1m <<53m =时，PQ ST.③当11m −≤≤时，ST =PQ ST =，由此知，当0m =时，PQ ST.综上可知，当53m =±和0时，PQ ST 22．(I) 1k =.(II)见解析【解析】(I)1ln ()e xx k x f x −−'=，由已知，1(1)0ekf −'==，∴1k =.(II)由(I)知，1ln 1()e xx x f x −−'=.设1()ln 1k x x x =−−，则211()0k x x x'=−−<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>， 当1x >时()0k x <，从而()0f x '<.综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.(III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e −，故只需证明2()1e g x −<+在01x <<时成立.当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln e xx x xg x x x x −−=<−−.设()1ln F x x x x =−−，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=−+， 当2(0,e )x −∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x −∈时，()0F x '<， 所以当2e x −=时，()F x 取得最大值22()1e F e −−=+. 所以2()()1e g x F x −<≤+. 综上，对任意0x >，2()1e g x −<+。
山东省高考文科数学真题及答案之欧阳家百创编
2012年山东省高考数学试卷（文科）欧阳家百（2021.03.07）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z 为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i2．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}3．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣1，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2]4．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数 C．中位数 D．标准差5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（）A．2﹣B．0 C．﹣1 D．﹣1﹣9．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离10．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y12．（5分）设函数，g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B （x2，y2），则下列判断正确的是（）A．x1+x2＞0，y1+y2＞0 B．x1+x2＞0，y1+y2＜0C．x1+x2＜0，y1+y2＞0 D．x1+x2＜0，y1+y2＜0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A﹣DED1的体积为．14．（4分）如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5），[21.5，22.5），[22.5，23.5），[23.5，24.5），[24.5，25.5），[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为．15．（4分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．18．（12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．19．（12分）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．20．（12分）已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10=2a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m．求数列{b m}的前m项和S m．21．（13分）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．22．（13分）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．2012年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2012•山东）若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i【分析】等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．2．（5分）（2012•山东）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}【分析】由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选D．3．（5分）（2012•山东）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣1，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2]【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．4．（5分）（2012•山东）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数 C．中位数 D．标准差【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案．【解答】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确故选D．5．（5分）（2012•山东）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题．故选C．6．（5分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．（5分）（2012•山东）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的P，Q值，不满足条件P≤Q，程序终止即可得到结论．【解答】解：执行程序框图，有n=0，0≤1，P=1，Q=3，n=1；n=1，1≤3，P=1+4=5，Q=7，n=2；n=2，5≤7，P=5+16=21，Q=15，n=3；n=3，21≤15不成立，输出，n=3；故选：C8．（5分）（2012•山东）函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（）A．2﹣B．0 C．﹣1 D．﹣1﹣【分析】通过x的范围，求出的范围，然后求出函数的最值．【解答】解：因为函数，所以∈，所以，所以函数的最大值与最小值之和为．故选A．9．（5分）（2012•山东）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．10．（5分）（2012•山东）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．【解答】解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．11．（5分）（2012•山东）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b ＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．12．（5分）（2012•山东）设函数，g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．x1+x2＞0，y1+y2＞0 B．x1+x2＞0，y1+y2＜0C．x1+x2＜0，y1+y2＞0 D．x1+x2＜0，y1+y2＜0【分析】构造函数设F（x）=x3﹣bx2+1，则方程F（x）=0与f （x）=g（x）同解，可知其有且仅有两个不同零点x1，x2．利用函数与导数知识求解．【解答】解：设F（x）=x3﹣bx2+1，则方程F（x）=0与f（x）=g （x）同解，故其有且仅有两个不同零点x1，x2．由F'（x）=0得x=0或．这样，必须且只须F（0）=0或，因为F（0）=1，故必有由此得．不妨设x1＜x2，则．所以，比较系数得，故.，由此知，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A﹣DED1的体积为．【分析】将三棱锥A﹣DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，进行等体积转化V A﹣DED1=V E﹣ADD1后体积易求【解答】解：将三棱锥A﹣DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，则V A﹣DED1=V E﹣ADD1，其中S△ADD1=S A1D1DA=，E到底面ADD1的距离等于棱长1，故．故答案为：14．（4分）（2012•山东）如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5），[21.5，22.5），[22.5，23.5），[23.5，24.5），[24.5，25.5），[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为9．【分析】由频率分布直方图，先求出平均气温低于22.5℃的频率，不低于25.5℃的频率，利用频数=频率×样本容量求解．【解答】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，所以总城市数为11÷0.22=50，平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．故答案为：9．15．（4分）（2012•山东）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．【分析】根据指数函数的性质，需对a分a＞1与0＜a＜1讨论，结合指数函数的单调性可求得g（x），根据g（x）的性质即可求得a与m的值．【解答】解：当a＞1时，有a2=4，a﹣1=m，此时a=2，m=，此时g（x）=﹣为减函数，不合题意；若0＜a＜1，则a﹣1=4，a2=m，故a=，m=，g（x）=在[0，+∞）上是增函数，符合题意．故答案为：．16．（4分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．【分析】设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．【解答】解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2012•山东）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB （sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC∴sinB（）=∴sinB•=∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，∵A+B+C=π∴sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列．（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴，∵0＜B＜π∴sinB=∴△ABC的面积．18．（12分）（2012•山东）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【分析】（Ⅰ）由列举法可得从五张卡片中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（Ⅱ）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，由列举法可得从中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1、红1蓝2、红2蓝1，共3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，从六张卡片中任取两张，有红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共8种情况，所以概率为．19．（12分）（2012•山东）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．【分析】（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE ⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．【解答】证明：（I）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，EC∩CO=C，所以BD⊥平面OCE．所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE=DE．（II）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC，∵△ABD是等边三角形，∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∴ND∥BC，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，∴DM∥平面BEC证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，∵CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，∠ABC=90°，因此∠AFB=30°，∴AB=AF，又AB=AD，∴D为线段AF的中点，连接DM，DM∥EF，又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，∴DM∥平面BEC20．（12分）（2012•山东）已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10=2a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m．求数列{b m}的前m项和S m．【分析】（I）由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求a1，d，从而可求通项（II）由（I）及已知可得，则可得，可证{b m}是等比数列，代入等比数列的求和公式可求【解答】解：（I）由已知得：解得a1=7，d=7，所以通项公式为a n=7+（n﹣1）•7=7n．（II）由，得n≤72m﹣1，即．∵=49∴{b m}是公比为49的等比数列，∴．21．（13分）（2012•山东）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，取得最大值．求的最大值及取得最大值时m的值．【解答】解：（I）…①矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆M的标准方程是．（II），由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．①当时，有，，其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，，，由此知，当m=0时，取得最大值．综上可知，当或m=0时，取得最大值．22．（13分）（2012•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【分析】（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g （x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g （x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论．【解答】解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，e x＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数 学(供文科考生使用)锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.如果事件,A B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若复数z 满足()2117z i i -=+(i 为虚数单位),则z 为( )A.35i +B.35i -C.35i -+D.35i -- 2.已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则(C U A )B 为( )A.{}1,2,4B.{}2,3,4C.{}0,2,4D.{}0,2,3,43.函数()()1ln 1f x x =++( ) A.[)(]2,00,2- B.()(]1,00,2- C.[]2,2-D.(]1,2-4.在某次测量中得到的A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据.则,A B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.众数B.平均数C.中位数D.标准差5.设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为π2;命题:q 函数cos y x =的图象关于直线π2x =对称.则下列判断正确的是( )A.p 为真B.q ⌝为假C.p q ∧为假D.p q ∨为真 6.设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是( )A.3[,6]2-B.3[,1]2--C.[1,6]-D.3[6,]2-7.执行如图的程序框图,如果输入4a =,那么输出的n 的值为( )A.2B.3C.4D.58.函数ππ2sin()(09)63x y x =-≤≤的最大值与最小值之和为( )A.2B.0C.1-D.1-- 9.圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离10.函数cos622x xxy -=-的图象大致为( )11.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2,若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为( )A.2x y =B.2x y =C.28x y =D.216x y =12.设函数()()21,f x g x x bx x==-+,若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ,则下列判断正确的是( )A.12120,0x x y y +>+>B.12120,0x x y y +>+<C.12120,0x x y y +<+>D.12120,0x x y y +<+< 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 为线段1B C 上一点,则三棱锥1A DED -的体积为________14.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[]20.5,26.5.样本数据的分组为[)[)[)[)[)20.5,21.5,21.5,22.5,22.5,23.5,23.5,24.5,24.5,25.5,[]25.5,26.5.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________15.若函数()()0,1x f x a a a =>≠在[]1,2-上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-[)0,+∞上是增函数,则a =________16.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在()0,1,此时圆上一点P 的位置在()0,0,圆在x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于()2,1时,OP的坐标为________三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题12分)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()s i n t a n t a n t a n t a n B A CA C +=. (1)求证:,,a b c 成等比数列;(2)若1,2a c ==,求ABC ∆的面积S .18.(本小题12分)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.DCB A平均气温/︒CC 1D 1B 1A 1E D CBA19.(本小题12分)如图,几何体E ABCD -是四棱锥,ABD ∆为正三角形,,CB CD EC BD =⊥(1)求证:BE DE =;(2)若120,BCD M ∠=︒为线段AE 的中点,求证:DM 平面BEC .20.(本小题12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105,且1052a a =,(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)对任意m N *∈,将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b ,求数列{}n b 的前m 项和m S .21.(本小题13分)如图,椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程;(2)设直线():l y x m m R =+∈与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.22.(本小题13分)已知函数()ln xx kf x e +=(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲线()yf x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值;(2)求()f x 的单调区间;(3)设()()'g x xf x =,其中()'f x 为()f x 的导函数.证明:对任意()20,1x g x e -><+.E D C B A一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2012年高考文科数学山东卷-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)【提示】复数的除法运算，化简，直接求得答案。
【考点】复数代数形式的四则运算。
2.【答案】C【解析】{0,4}U A =ð，所以{0,2,4}U A B =U （）ð，选C 。
【提示】集合的补集(列举法)。
【考点】集合的含义和集合的基本运算。
3.【答案】B【解析】要使函数有意义则有210ln(1)040x x x ⎧+>⎪+≠⎨⎪-≥⎩，即1022x x x >-⎧⎪≠⎨⎪-≤≤⎩，即10x -<<或02x <≤，选B 。
【提示】分式定义、对数定义、根式定义，三者联立求解。
【考点】函数定义域的求法。
4.【答案】D【解析】设A 样本的数据为变量为X ，B 样本的数据为变量为Y ，则满足2Y X =+，根据方差公式可得(2)DY D X DX =+=，所以方差相同，标准差也相同，选D 。
【提示】根据题目，算出B 的样本数据，再与A 进行比较，算出结果。
【考点】统计中常见的数字特征。
【提示】根据约束条件，画出相应的封闭区域，通过平移找到最优解。
采用了数学中数形结合的思想。
【考点】二元线性规划求目标函数的最值。
7.【答案】B【解析】当4a =时，第一次04131P Q n ====，，，第二次14472P Q n ====，，，第三次2416153P Q n ====，，，此时P Q <不满足，输出3n =，选B 。
【提示】执行循环结构的流程图，直至结束。
【考点】三角函数的最值。
9.【答案】B【提示】画出两圆图象，确定位置关系，直接得到答案。
【考点】圆与圆的位置关系。
【提示】由点到直线的距离公式与双曲线方程联立求解抛物线方程。
【考点】双曲线的几何性质、点到直线的距离公式。
12.【答案】B【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C，则C点坐标为11()x y--，，由图象知1212x x y y-<->，即121200x x y y+>+<，，故答案选B。
2012年山东高考数学文科试卷(带答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足(2i)117i(i z -=+为虚数单位)，则z 为 （ ）. A.3+5i B.3－5i C.－3+5i D.－3－5i 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】复数的除法运算，化简，直接求得答案. 【参考答案】A【试题解析】由题目可知，()()()()117i 2i 117i 1525i35i 2i 2i 2i 5z +⋅+++====+--⋅+，故答案选A.2. 已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B ð为 （ ）. A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 【测量目标】集合的含义和集合的基本运算. 【考查方式】集合的补集(列举法). 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，{}0,4U A =ð,故而，{}0,2,4U A B = ð故而选择答案选C. 3.函数1()ln(1)f x x =++ （ ）.A.[2,0)(0,2]-B.(1,0)(0,2]-C.[2,2]-D.(1,2]- 【测量目标】函数定义域的.【考查方式】分式定义、对数定义、根式定义，三者联立求解. 【参考答案】B【试题解析】要使得函数有意义,应满足210111040x x x x ⎧+>⎪+≠⇒-<<⎨⎪-⎩…或02x <….4. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则,A B 两样本的下列数字特征对应相同是 （ ）. A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 【测量目标】统计中常见的数字特征.【考查方式】根据题目,算出B 的样本数据,再与A 进行比较，算出结果. 【参考答案】D【试题解析】根据特征数的定义和特征是公式已知标准差始终没有改变. 5. 设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为π2；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x =π对称.则下列判断正确的是 ( ). A.p 为真 B.q ⌝为假 C.p q ∧为假 D.p q ∨为真 【测量目标】简单逻辑连接词，判断命题的真假判断.【考查方式】分别判断命题是否为真命题,对A 、B 、C 、D 四个选项依次进行判断. 【参考答案】C【试题解析】命题p 中,函数sin 2y x =最小正周期应为2ππ2T ==,故而命题p 是假命题, 命题q ：函数cos y x =的图象关于直线0x =对称,关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,故而命题q 也是假命题.所以q ⌝为真,p q ∨为假,p q ∧为假,故而正确选项为C.6. 设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩………则目标函数3z x y =-的取值范围是 （ ）.A.3[,6]2-B.3[,1]2--C.[1,6]-D.3[6,]2-【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】根据约束条件,画出相应的封闭区域,通过平移找到最优解.采用了数学中数形结合的思想. 【参考答案】A【试题解析】由所给的不等式组可知所表示的可行域如图所示，而目标函数可以看做3y x z =-，截距最小时z 值最大，当截距最大时z 值最小，(步骤1)根据条件242220x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，(步骤2)故当目标函数过()2,0时，取到z 的最大，max 6z =，（步骤3）由1412243x y x x y y ⎧-=-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎩，当目标函数经过1,32⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取到最小值， min 32z =-，故而答案为A.（步骤4）7. 执行右面的程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为 （ ）. A.2 B.3 C.4 D.5【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】执行循环结构的流程图，直至结束，求解. 【参考答案】B【试题解析】由题意可知，当第一次执行循环体时，1,3P Q ==，这时，1n =；（步骤1） 当第二次执行循环体时，145,2317,P Q =+==⨯+=这时，2n =；（步骤2） 当第三次执行循环体时，214421,27115P Q =++==⨯+=，这时，3n =.（步骤3） 而此时Q P <,故而程序结束，这时3n =，故答案选B.（步骤4） 8. 函数ππ2sin (09)63x y x⎛⎫=- ⎪⎝⎭剟的最大值与最小值之和为 （ ）.A.2B.0C.－1D.1--【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】将函数进行，由定义域限制直接求得结果. 【参考答案】A【试题解析】 09x剟,πππ7π3636x ∴--剟，（步骤1）结合函数图象易知ππsin 163x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,（步骤2）即2y , 故最大值为2,而最小值为所以最大值与最小值之和为2（步骤3）9. 圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ）. A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 【测量目标】圆与圆的位置关系.【考查方式】画出两圆图象,确定位置关系，直接得到答案. 【参考答案】B【试题解析】由题意可知,两个圆的圆心分别为()122,0,(2,1)O O -, 对应的半径为122,3r r ==, （步骤1）两个圆圆心距为12O O ==，所以211212r r OO r r -<<+， 故而两个圆相交.（步骤2） 10. 函数cos622x xxy -=-的图象大致为 ( ).A BC D【测量目标】函数图象的判断. 【考查方式】根据函数cos622x xxy -=-，代入特殊点，观察图像的大致走向.【参考答案】D【试题解析】根据条件cos(6)cos 6()()2222x x x xx xf x f x ----==-=---， 所以函数为奇函数，排除选项A,（步骤1）又因为，当x 取很小的正数时有cos60,220,x x x ->->故而()0f x >，故而排除B,（步骤2）当x 取很大的正数时，分母为非常大的正数，而分子始终[]1,1-之间，故而排除C,所以选D. （步骤3）11. 已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 ( ).A. 2x y =B.2x y =C.28x y =D.216x y = 【测量目标】双曲线的几何性质、点到直线的距离公式.【考查方式】由点到直线的距离公式与双曲线方程联立求解抛物线方程. 【参考答案】D【试题解析】双曲线的一条渐近线为by x a=， 即0bx ay -=，（步骤1） 抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线焦点到渐近线距离：22a pd c ==⋅=，（步骤2） 48p e ⇒==故而抛物线方程为216x y =.（步骤3） 12. 设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是 （ ）. A.12120,0x x y y +>+>. B.12120,0x x y y +>+<. C.12120,0x x y y +<+>. D.12120,0x x y y +<+<. 【测量目标】函数零点的求解和判断.【考查方式】求出函数零点，比较系数，直接得出结果. 【参考答案】B【试题解析】设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12x x 、.（步骤1）由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，（步骤2）因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =（步骤3）不妨设12x x <，则223x b ==所以21()()(F x x x x =-，比较系数得1x -=，故1x =120x x +>，（步骤4） 由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B.（步骤5）第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为.【测量目标】多面体体积公式.【考查方式】转换三棱锥顶点，求解三棱锥体积. 【参考答案】16【试题解析】由题意可知，11111111113326A DED E DD A D DA V V DC S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.14. 如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.【测量目标】茎叶图、频率分布直方图.【考查方式】统计中的茎叶图，是解答本题的关键. 【参考答案】9【试题解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.15.若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿. 【测量目标】利用函数单调性研究最值. 【考查方式】函数单调性与最值问题. 【参考答案】14【试题解析】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =. 若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为 .【测量目标】三角函数与向量知识的综合运用.【考查方式】由参数方程，求解点坐标，典型的数形结合法思想. 【参考答案】()2sin 2,1cos2--【试题解析】方法一：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P 旋转 了221=弧度，（步骤1） 此时点P 的坐标为：π2cos 22sin 22p x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，π1sin 21cos 22p y ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，（步骤2）()2sin 2,1cos 2OP =--.（步骤3）方法二：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为2cos 1sin x y y θθ=+⎧=⎨=+⎩，且2,PCD θ∠==3π22-，则点P 的坐标为3π2cos 22sin 223π1sin 21cos 22x y ⎧⎛⎫=+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+-=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 即()2sin 2,1cos 2OP =--.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.(本小题满分12分)在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .【测量目标】等比数列、三角恒等变换、余弦定理.【考查方式】根据题设，化简，求解三边之间的等式关系；由Ⅰ中的三边关系和余弦定理进一步求解三角形面积.【试题解析】(Ⅰ)由已知得，sin sin sin sin sin cos cos cos cos A C A CB AC A C⎛⎫+=⎪⎝⎭, sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C ⇒+=， sin sin()sin sin B A C A C +=， 2sin sin sin B A C =，（步骤1）再由正弦定理可得：2b ac =，（步骤2） 所以,,a b c 成等比数列. （步骤3） (Ⅱ)若1,2a c ==，则22b ac ==，∴2223cos 24a cb B ac +-==，（步骤4）sin B ==，（步骤5）∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=（步骤6）18.(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率. 【测量目标】古典概型的应用. 【考查方式】根据取卡次数，分类列举.【试题解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =.19.(本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 【测量目标】空间几何中量的关系，线面平行的判定.【考查方式】用已知线线关系推出未知结果，利用线线平行推出线面平行.【试题解析】(Ⅰ)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知，CO BD ⊥，（步骤1）又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE .（步骤2） 所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线，（步骤3） 所以BE DE =.（步骤4）(Ⅱ)取AB 中点N ，连接,MN DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，（步骤5） ∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥.（步骤6）由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°， 即BC AB ⊥，所以ND ∥BC ，（步骤7）所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC .（步骤8）20.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a = (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .【测量目标】等差、等比数列的通项公式；等比数列的前n 项求和.【考查方式】根据题设，算出1,a d ，直接求出通项公式.再根据,n m a b 关系列式求出m S .【试题解析】Ⅰ.由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得17,7a d ==,（步骤1） 所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=.（步骤2）Ⅱ.由277m n a n =…，得217m n -…，即217m m b -=. ∵211217497m k m k b b ++-==，∴{}m b 是公比为49的等比数列，(步骤3) ∴7(149)7(491)14948m m m S -==--.（步骤4）21.(本小题满分13分) 如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ)设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值. 【测量目标】椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】椭圆的基本性质求解标准方程和最值问题.【试题解析】(Ⅰ)22234c a b e a a -===……①（步骤1） 矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②(步骤2)由①②解得：2,1a b ==，∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=.（步骤3） (Ⅱ)222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩，（步骤4）设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-=，由226420(44)0m m ∆=-->得m <.（步骤5）||PQ .（步骤6）当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.①当1m <-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，（步骤7）||||PQ ST 3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST .（步骤8）②由对称性，可知若1m <<53m =时，||||PQ ST （步骤9）③当11m -剟时，||ST =||||PQ ST =，由此知，当0m =时，||||PQ ST .（步骤10）综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST .（步骤11）22.(本小题满分13分) 已知函数ln ()(e xx k f x k +=为常数，e =2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.【测量目标】利用导数求函数的单调区间、解决不等式问题.【考查方式】利用导数求单调区间，证明不等式.【试题解析】(Ⅰ)1ln ()e x x k x f x --'=，由已知，1(1)0ek f -'==，∴1k =.（步骤1） (Ⅱ)由(Ⅰ)知，1ln 1()e xx x f x --'=.设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x'=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，（步骤2） 由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，（步骤3） 当1x >时()0k x <，从而()0f x '<.（步骤4） 综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.（步骤5） (Ⅲ)由Ⅱ可知，当1x …时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x << 时成立.（步骤6）当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >， ∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--.（步骤7） 设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+，（步骤8） 当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<， ∴当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F --=+e .（步骤9） ∴2()()1e g x F x -<+….综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.（步骤10）。
山东高考文科数学试题及答案
（D） 0,2,3,4
（3）设 a>0 且 a≠1, 则“函数 f (x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g (x)=(2－a)x3 在 R 上是增函
数”的
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（4） 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,…960,分 组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间
（1）若复数 z 满足 z(2－i)=11+7i(i 为虚数单位)，则 z 为
（A）3+5i
（B）3－5i
（C）－3+5i
（D）－3－5i
（2） 已知全集 =0,1,2,3,4，集合 A=1,2,3, B=2,4,则 CUA B 为
（A）1,2,4 （B）2,3,4 （C）0,2,4
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后将本 试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1.答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
(A)[ 3 ,6] 2
(C)[ 1,6 ]
(6)执行右面的程序框图，如果输入 a=4.那么输出的 n 的值为
(A) 2
(C) 4
(7)若 θ∈[ , ],sin 2θ= ,则 sin θ=
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷)(Word版 含解析)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【解析】i i i i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 【答案】A(2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B A C U ）（为(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C.【答案】C(3)函数1()ln(1)f x x =++ (A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-【解析】要使函数有意义则有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠+>+040)1ln(012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠->2201x x x ，即01<<-x 或20≤<x ，选B.【答案】B(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差【解析】设A 样本的数据为变量为X ，B 样本的数据为变量为Y ，则满足2+=X Y ，根据方差公式可得DX X D DY =+=)2(，所以方差相同，标准差也相同，选D.【答案】D(5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真【解析】函数x y 2sin =的周期为ππ=22，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为Z k k x ∈=,π,所以命题q 为假，所以q p ∧为假，选C.【答案】C(6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是 (A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截距最小，此时z 最大为63=-=y x z ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ，此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-，选A. 【答案】A(7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析】当4=a 时，第一次1,3,140====n Q P ，第二次2,7,441====n Q P ，第三次3,15,1642====n Q P ，此时Q P <不满足，输出3=n ，选B.【答案】B(8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1-【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3sin(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin 2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.【答案】A(9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，选B.【答案】B(10)函数cos622x xx y -=-的图象大致为【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令0=y 得06cos =x ，所以ππk x +=26，ππ612k x +=，函数零点有无穷多个，排除C,且y 轴右侧第一个零点为)0,12(π，又函数x x y --=22为增函数，当120π<<x 时，022>-=-x x y ，06cos >x ，所以函数0226cos >-=-x x x y ，排除B ，选D. 【答案】D(11)已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y =。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(山东卷)【word精析版】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)【试卷总评】本试题在承袭了山东自行命题风格的同时，积极进行创新与突破，呈现出诸多亮点。
试卷全面考查了基本知识与方法，注重对数学能力及数学素养的考查。
并进一步对分值结构进行调整，淡化压轴题的概念，后面几道题难度较大，都有一定的思维量，梯度设置科学合理，体现了高考的选拔作用.1.若复数满足（为虚数单位），则为（A）（B）（C）（D）2.已知全集，集合，，则为(A) (B) (C) (D)3.函数的定义域为(A) (B) (C) (D)3.【答案】：B【解析】：4.在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差5.设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是(A)p为真(B)为假(C)为假(D)为真6.已知变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（A）（B）（C）（D）7.执行下面的程序图，如果输入，那么输出的的值为（A）（B）（C）（D）8.函数的最大值与最小值之和为(A)(B) (C)(D)8.【答案】：A【解析】：由可知，可知，则，则最大值与最小值之和为，答案应选A。
【考点定位】9.圆与圆的位置关系为(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离10.函数的图像大致为11.已知双曲线：的离心率为.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为(A) (B)(C)(D)12.设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是(A)(B)(C)(D)【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度很大，不易入手,具有很强的区分度.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则14.右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃) 数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于的城市个数为11，则样本中平均气温不低于的城市个数为＿.15.若函数在［－1，2］上的最大值为，最小值为，且函数在上是增函数，则＿.16.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。
2012年高考文科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共30页）数学试卷 第2页（共30页） 数学试卷 第3页（共30页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前,考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足(2i)117i z -=+（i 为虚数单位）,则z 为（ ）A . 35i +B . 35i -C . 35i -+D . 35i --2. 已知全集{0,1,2,3,4}U =,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则()U A B ð为 （ ）A . {1,2,4}B . {2,3,4}C . {0,2,4}D . {0,2,3,4}3.函数1()ln(1)f x x =+（ ） A . [2,0)(0,2]-B . (1,0)(0,2]-C . [2,2]-D . (1,2]-4. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A . 众数B . 平均数C . 中位数D . 标准差5. 设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为π2；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线π2x =对称.则下列判断正确的是（ ）A . p 为真B . q ⌝为假C . p q ∧为假D . p q ∨为真6. 设变量x ,y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≥则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）A . 3[,6]2- B . 3[,1]2--C . [1,6]-D . 3[6,]2-7. 执行下面的程序图,如果输入4a =,那么输出的n 的值为（ ）A . 2B . 3C . 4D . 58. 函数ππ2sin()(09)63x y x =-≤≤的最大值与最小值之和为 （ ）A .2B . 0C . 1-D .1-9. 圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ）A . 内切B . 相交C . 外切D . 相离 10. 函数cos622x xxy -=-的图象大致为（ ）A .B .C .D .11. 已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为（ ）A .2x y =B .2x y =C . 28x y =D . 216x y =12. 设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ,22(,)B x y ,则下列判断正确的是 （ ）A . 120x x +>,120y y +>B . 120x x +>,120y y +<C . 120x x +<,120y y +>D . 120x x +<,120y y +<姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共30页）数学试卷 第5页（共30页） 数学试卷 第6页（共30页）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.13. 如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 为线段1B C 上的一点,则三棱锥1A DED -的体积为_________.14. 下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图.其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.,[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃ 的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为_________.15. 若函数()(0,1)xf x a a a =>≠在[1,2]-上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(1g x =-[0,)+∞上是增函数,则a =_________. 16. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP 的坐标为_________.三、解答题：本大题共6小题,共74分. 17.（本小题满分12分）在ABC △中,内角A ,B ,C所对的边分别为a ,b ,c ,已知s i n (t a n t a n B A C A C+=. （Ⅰ）求证：a ,b ,c 成等比数列； （Ⅱ）若1a =,2c =,求ABC △的面积S .18.（本小题满分12分）袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张,标号分别为1,2.（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； （Ⅱ）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.19.（本小题满分12分）如图,几何体E ABCD -是四棱锥,ABD △为正三角形,CB CD =,EC BD ⊥. （Ⅰ）求证：BE DE =；（Ⅱ）若120BCD ∠=,M 为线段AE 的中点,求证：DM ∥平面BEC .20.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前5项和为105,且1052a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ,将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b ,求数列{}m b 的前m 项和m S .21.（本小题满分13分）如图,椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>,直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8. （Ⅰ）求椭圆M 的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点P ,Q .l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ,T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.22.（本小题满分13分）已知函数ln ()ex x kf x +=（k 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意0x >,2()1e g x -<+.- 3 - / 10【提示】复数的除法运算，化简，直接求得答案。
山东省高考文科数学真题及答案之欧阳术创编
2012年山东省高考数学试卷（文科）时间：2021.02.02 创作：欧阳术一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i2．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}3．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣1，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2]4．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（）A．2﹣ B．0 C．﹣1 D．﹣1﹣9．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离10．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y 12．（5分）设函数，g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．x1+x2＞0，y1+y2＞0 B．x1+x2＞0，y1+y2＜0C．x1+x2＜0，y1+y2＞0 D．x1+x2＜0，y1+y2＜0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A﹣DED1的体积为．14．（4分）如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5），[21.5，22.5），[22.5，23.5），[23.5，24.5），[24.5，25.5），[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为．15．（4分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．18．（12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．19．（12分）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM ∥平面BEC．20．（12分）已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10=2a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m．求数列{b m}的前m项和S m．21．（13分）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．22．（13分）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．2012年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2012•山东）若复数z满足z（2﹣i）=11+7i （i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i【分析】等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．2．（5分）（2012•山东）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}【分析】由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选D．3．（5分）（2012•山东）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣1，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2]【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．4．（5分）（2012•山东）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案．【解答】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确故选D．5．（5分）（2012•山东）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题．故选C．6．（5分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．（5分）（2012•山东）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的P，Q 值，不满足条件P≤Q，程序终止即可得到结论．【解答】解：执行程序框图，有n=0，0≤1，P=1，Q=3，n=1；n=1，1≤3，P=1+4=5，Q=7，n=2；n=2，5≤7，P=5+16=21，Q=15，n=3；n=3，21≤15不成立，输出，n=3；故选：C8．（5分）（2012•山东）函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（）A．2﹣ B．0 C．﹣1 D．﹣1﹣【分析】通过x的范围，求出的范围，然后求出函数的最值．【解答】解：因为函数，所以∈，所以，所以函数的最大值与最小值之和为．故选A．9．（5分）（2012•山东）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．10．（5分）（2012•山东）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．【解答】解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．11．（5分）（2012•山东）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C 1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．12．（5分）（2012•山东）设函数，g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．x1+x2＞0，y1+y2＞0 B．x1+x2＞0，y1+y2＜0C．x1+x2＜0，y1+y2＞0 D．x1+x2＜0，y1+y2＜0【分析】构造函数设F（x）=x3﹣bx2+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，可知其有且仅有两个不同零点x1，x2．利用函数与导数知识求解．【解答】解：设F（x）=x3﹣bx2+1，则方程F（x）=0与f （x）=g（x）同解，故其有且仅有两个不同零点x1，x2．由F'（x）=0得x=0或．这样，必须且只须F（0）=0或，因为F（0）=1，故必有由此得．不妨设x1＜x 2，则．所以，比较系数得，故.，由此知，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．（4分）（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A ﹣DED 1的体积为．【分析】将三棱锥A﹣DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，进行等体积转化V A=V E﹣ADD1后体积易求﹣DED1【解答】解：将三棱锥A﹣DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，则V A=V E﹣ADD1，﹣DED1其中S△ADD1=S A1D1DA=，E到底面ADD1的距离等于棱长1，故．故答案为：14．（4分）（2012•山东）如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5），[21.5，22.5），[22.5，23.5），[23.5，24.5），[24.5，25.5），[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为9．【分析】由频率分布直方图，先求出平均气温低于22.5℃的频率，不低于25.5℃的频率，利用频数=频率×样本容量求解．【解答】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，所以总城市数为11÷0.22=50，平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．故答案为：9．15．（4分）（2012•山东）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．【分析】根据指数函数的性质，需对a分a＞1与0＜a＜1讨论，结合指数函数的单调性可求得g（x），根据g（x）的性质即可求得a与m的值．【解答】解：当a＞1时，有a2=4，a﹣1=m，此时a=2，m=，此时g（x）=﹣为减函数，不合题意；若0＜a＜1，则a﹣1=4，a2=m，故a=，m=，g（x）=在[0，+∞）上是增函数，符合题意．故答案为：．16．（4分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．【分析】设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．【解答】解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2012•山东）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC∴sinB（）=∴sinB•=∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，∵A+B+C=π∴sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列．（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴，∵0＜B＜π∴sinB=∴△ABC的面积．18．（12分）（2012•山东）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【分析】（Ⅰ）由列举法可得从五张卡片中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（Ⅱ）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，由列举法可得从中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1、红1蓝2、红2蓝1，共3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，从六张卡片中任取两张，有红1红2，红1红3，红1蓝1，红蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共1有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1，红1蓝2，红蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共28种情况，所以概率为．19．（12分）（2012•山东）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM ∥平面BEC．【分析】（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．【解答】证明：（I）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，EC∩CO=C，所以BD⊥平面OCE．所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE=DE．（II）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC，∵△ABD是等边三角形，∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∴ND∥BC，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，∴DM∥平面BEC证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，∵CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，∠ABC=90°，因此∠AFB=30°，∴AB=AF，又AB=AD，∴D为线段AF的中点，连接DM，DM∥EF，又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，∴DM∥平面BEC20．（12分）（2012•山东）已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10=2a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m．求数列{b m}的前m项和S m．【分析】（I）由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求a1，d，从而可求通项（II）由（I）及已知可得，则可得，可证{b m}是等比数列，代入等比数列的求和公式可求【解答】解：（I）由已知得：解得a1=7，d=7，所以通项公式为a n=7+（n﹣1）•7=7n．（II）由，得n≤72m﹣1，即．∵=49∴{b m}是公比为49的等比数列，∴．21．（13分）（2012•山东）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，取得最大值．求的最大值及取得最大值时m的值．【解答】解：（I）…①矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆M的标准方程是．（II），由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．①当时，有，，其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，，，由此知，当m=0时，取得最大值．综上可知，当或m=0时，取得最大值．22．（13分）（2012•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【分析】（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论．【解答】解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，e x＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．时间：2021.02.02 创作：欧阳术。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷,含答案)
2
，则
2
b
ac
2，
2
2
2
∴ cos B a c b
2ac
3 ，
4
sin C
2
1 cos C
7 ，
4
∴△ ABC 的面积 S
1 ac sin B
1 12
7
7 .
2
2
44
-5-
(18) (I) 从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下
10 种：红 1 红 2，红 1 红 3，红 1 蓝 1，红
1 蓝 2，红 2 红 3，红 2 蓝 1，红 2 蓝 2，红 3 蓝 1，红 3 蓝 2，蓝 1 蓝 2. 其中两张卡片的颜色不同且
1 3 2 . x1 x2 1 3 2 0 ，由此知
2
2
y1 y2 1 1 x1 x2 0 ，故答案为 B.
x1 x2
x1 x2
二、填空题
(13) 1 以△ ADD1 为底面，则易知三棱锥的高为 6
1，故 V
11 1 11
1 .
32
6
(14) 9 最左边两个矩形面积之和为 0.10 × 1+0.12 × 1＝ 0.22 ，总城市数为 11÷ 0.22 ＝ 50，最
x 2 y 2, 2x y 4, 则目标函数 z 3x y 的取值范围是 4x y 1,
(A)
3 [ ,6]
2
3 (B) [ , 1]
2
(7) 执行右面的程序框图，如果输入
(A)2
(B)3
(C)4
(C) [ 1,6]
3 (D) [ 6, ]
2
a ＝ 4，那么输出的 n 的值为
(D)5
(8) 函数 y 2sin x
山东卷高考文科数学
2012 年一般高等学校招生全国一致考试( 山东卷 ) 文科数学第Ⅰ卷 (共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .(1)若复数 z 知足z(2i )117 i(i 为虚数单位)，则 z 为(A)3+5i(B)3－ 5i(C)－ 3+5i(D)－ 3－ 5i(2) 已知全集U{0,1,2, 3, 4} ，会合 A{1, 2,3} ， B{2, 4} ，则 (e U A) B 为(A){1,2,4}(B){2,3,4}(C){0,2,4}(D){0,2,3,4}(3)函数 f ( x)11)4x 2的定义域为ln( x(A) [2, 0)(0, 2](B) (1, 0)(0, 2](C)[2, 2](D) (1, 2](4)在某次丈量中获得的 A 样本数据以下：82， 84， 84， 86， 86， 86，88， 88，88， 88. 若 B样本数据恰巧是 A 样本数据都加 2 后所得数据，则A， B 两样本的以下数字特点对应相同的是(A)众数(B)均匀数(C)中位数(D)标准差(5)设命题 p：函数y sin2 x 的最小正周期为2；命题 q：函数y cos x 的图象对于直线x2对称 .则以下判断正确的选项是(A)p 为真(B)q 为假(C) p q 为假(D) p q 为真x 2 y2,(6)设变量x , y知足拘束条件 2 x y4, 则目标函数 z 3 x y 的取值范围是4 x y1,(A) [331](C)[1, 6](D)[6,3 , 6](B)[ ,] 222(7)履行右边的程序框图，假如输入 a ＝4，那么输出的n 的值为(A)2(B)3(C)4(D)5(8)函数y xx9) 的最大值与最小值之和为2 sin3(06(A) 23(B)0(C)－ 1(D) 13224与圆 ( x2)229的地点关系为(9)圆( x 2)y( y 1)(A)内切(B)订交(C)外切(D)相离cos 6 x的图象大概为(10)函数y x x222 2(11)已知双曲线 C 1 ：xy 1( a 0, b 0) 的离心率为 2.若抛物线 C 2 : x 2 2 py ( p 0) 的焦a 2b 2点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C 2 的方程为(A) x 28 3 y(B) x 216 3 y (C) x 28 y(D) x 2 16 y [根源:Z xx_ k Com]33(12)设函数 f ( x )1 ， g ( x) x2bx .若 yf ( x ) 的图象与 yg ( x) 的图象有且仅有两个不x同的公共点 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则以下判断正确的选项是1122(A) x 1x 2 0, y 1 y 2 0 (B) x 1 x 2 0, y 1 y 2 0 (C) x 1 x 20, y 1y 2(D) x 1x 2 0, y 1y 2第Ⅱ卷 (共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分.(13)如图，正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，E 为线段 B 1 C 上的一点，则三棱锥A DED 1的体积为＿＿＿＿＿ .(14)右图是依据部分城市某年 6 月份的均匀气温 (单位： ℃ )数据得到的样本频次散布直方图，此中均匀气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为 [20.5, 21.5) ，[21.5, 22.5) ，[22.5, 23.5) ，[23.5, 24.5) ， [24.5, 25.5) ， [25.5, 26.5] .已知样本中均匀气温低于22.5℃的城市个数为 11，则样本中均匀气温不低于 25.5℃ 的城市个数为＿＿＿＿ .(15)若函数x1)在［－ 1 ， 2 ］上的 最大值为 4 ，最小值 为 m ，且函数f ( x) a ( a 0 , ag ( x)(1 4m ) x 在 [0,) 上是增函数，则 a ＝＿＿＿＿ . (16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0，1)，此时圆上一点P 的地点在 (0，0)，圆在 x 轴上沿正向转动 .当圆转动到圆心位于(2， 1) 时， OP 的坐标为＿＿＿＿ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.(17)( 本小题满分 12 分 )在△ ABC中，内角 A , B , C所对的边分别为a, b , c ，已知 sin B (tan A tan C ) tan A tan C .(Ⅰ)求证： a , b , c成等比数列；(Ⅱ)若a 1,c 2，求△ABC的面积 S.(18)( 本小题满分12 分 )袋中有五张卡片，此中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为 1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不一样且标号之和小于 4 的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不一样且标号之和小于4 的概率.(19)( 本小题满分 12 分 )如图，几何体 E ABC D 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB CD, EC B D.(Ⅰ)求证：BE DE ；(Ⅱ)若∠BC D120 ，M为线段AE的中点，求证： D M ∥平面BEC.(20) ( 本小题满分12 分)已知等差数列 { a n } 的前5项和为105，且 a 20 2a5.(Ⅰ)求数列{ a n}的通项公式；(Ⅱ)对随意m N *，将数列{ a n}中不大于7 2 m 的项的个数记为b m.求数列 { b m } 的前m项和S m.(21) ( 本小分13 分)如，M :x2y23，直 x221( a b 0) 的离心率 a 和 y b 所成的矩a b2形 ABCD 的面 8.(Ⅰ)求 M 的准方程；(Ⅱ) 直l : y x m( m R )与M有两个不一样的交点P , Q , l与矩形 ABCD 有两个不一样的交点S,T .求|PQ|的|ST|最大及获得最大m 的 .(22)( 本小分 13 分 )ln x k)，曲y f ( x ) 在点已知函数 f ( x)x ( k 常数，e=2.71828⋯是自然数的底数e(1, f (1)) 的切与x 平行 .(Ⅰ)求 k 的；(Ⅱ)求 f ( x )的区；(Ⅲ)g ( x ) xf ( x ) ，此中 f ( x ) f ( x ) 的函数.明：随意x 0, g ( x ) 1 e 2.[根源ZXX K]参照答案：一、选择题：(1)A(2) C(3)B (4)D(5)C(6)A (7)B(8)A(9)B(10)D(11)D(12)B(12)解：设F ( x )321 ，则方程 F ( x)0 与 f ( x )g ( x )同解，故其有且仅有两个不一样x bx零点 x1 , x2.由 F( x )0 得x2b.这样，一定且只须2b )0 ，由于0 或x F(0) 0或F(33F (0)1，故必有 F (20 由此得b 3 3 2 .不妨设 x1x 2，则 x 22b3b )232 .因此3F ( x)( x 1x ) ( x 322 )，比较系数得x1 3 4 1 ，故 x113 2 . x1x2 1 320，由此22知 y111x1x 20 ，故答案为B. y2x 2x1 x2x1二、填空题(13) 1以△ ADD 1为底面，则易知三棱锥的高为1，故V11 1 1 11.[根源:Zxxk .Com] 6326(14)9 最左侧两个矩形面积之和为 0.10× 1+0.12 × 1＝ 0.22 ，总城市数为 11÷0.22 ＝50，最右边矩形面积为 0.18× 1＝ 0.18， 50× 0.18＝ 9.(15)1当a1 时，有a24, a 1m ，此时 a2, m1，此时 g ( x )x 为减函数，不合42题意.若014, a21, m1，查验知切合题意 .a 1，则 a m ，故 a416(16) (2sin 2,1cos 2)三、解答题(17)(I)由已知得：sin B (sin A cos C cos A sin C )sin A sin C ，sin B sin( A C )sin A sin C ，2sin A sin C，sin B2ac ，再由正弦定理可得：b因此a, b , c成等比数列 .(II)若a1, c22ac 2 ，，则 b∴ cos B a 2 c 2 b 2 3 ，2 ac4sin C1cos2C7 ，4∴△ ABC的面S1ac sin B1 1 277 .2244(18)(I)从五卡片中任取两的全部可能状况有以下10 种： 1 2， 1 3， 1 1，12， 23， 21， 22， 31， 32， 12.此中两卡片的色不同且号之和小于4的有 3种状况，故所求的概率P 3 .10(II)加入一号0 的色卡片后，从六卡片中任取两，除上边的10 种状况外，多出 5 种状况：10， 2 0， 3 0， 1 0， 2 0，即共有15 种状况，其中色不一样且号之和小于 4 的有 8 种状况，因此概率P8 .15(19)(I)BD中点O，接OC，OE，由B C CD 知，CO BD，又已知 CE BD ，因此BD平面 OCE.因此 BD OE 因此 BE DE ，即 OE 是 BD 的垂直均分，.(II)取 AB中点 N，接M N , DN，∵M 是 AE的中点，∴MN∥BE，∵△ ABD 是等三角形，∴ D N AB .由∠ BCD＝ 120°知，∠ CBD＝ 30°，因此∠ ABC＝ 60° +30°＝ 90°，即BCAB ，因此 ND∥BC，因此平面 MND ∥平面 BEC，故 DM ∥平面 BEC.(20)(I)由已知得：5a110 d105,a19d2( a1 4 d ),解得 a17, d7 ,因此通公式a n7( n1)77n .(II)由a n7 n72 m，得 n72 m1 ，即 b m72 m 1 .b k 2 m11749，∵2 m1b k7∴ { b m } 是公比49 的等比数列，∴ S m7(149 m )7(49 m1).14948(21)(I)e c3 a 22b 23⋯⋯①a2a4矩形 ABCD 面 8，即2 a 2 b8⋯⋯②由①②解得： a2, b1 ，∴椭圆 M 的标准方程是x 224y1 .(II) x 2 4 y 24, 5 x 2 8 m x 4 m 24 0 ，y x m,设 P ( x , y ), Q ( x , y 2 ) ，则 x 1x 28m , x 1 x 24m 24 ，1 1255由220(4 m2得5 m5 .64 m 4) 08 m 24 4 m 24 4 2|PQ|2 5 m 2 .55 5当 l 过 A 点时， m 1 ，当 l 过 C 点时， m1 .①当5 m 1 时，有 S( m 1, 1), T (2, 2m),| ST |2 (3m ) ， [ 根源]|PQ |45 24 46m|ST|5 (3m) 25t 21 ，t此中 tm 3 ，由此知当 13，即 t 4 , m5 ( 5 , 1) 时，| PQ | 获得最大值 25 .t 433|ST | 5 ②由对称性，可知若 1m5 ，则当 m5时，|PQ |获得最大值 25 .3|ST |5③当 1 m 1 时， | ST | 22，|PQ | 25 m 2 ，| ST | 5由此知，当 m0时，|PQ|获得最大值25 .|ST |5综上可知，当 m5和 0 时，|PQ |获得最大值25 . 3 |ST |51 ln xk(22)(I) fx( x )ex，由已知， f (1) 1 k0 ，∴ k1.e1ln x1x(II)由 (I)知， f ( x ).e x设 k ( x ) 1ln x1 ，则 k ( x)1 1 0 ，即 k ( x) 在 (0,) 上是减函数，x x 2x由 k (1) 0知，当 0x1 时 k ( x ) 0 ，进而 f ( x ) 0 ，当 x1时 k ( x ) 0 ，进而 f ( x )0 .综上可知， f ( x ) 的单一递加区间是(0,1)，单一递减区间是(1,).(III) 由 (II)可知，当x 1 时，g ( x)xf ( x ) ≤0＜1+ e 2 ，故只要证明g ( x) 1 e2在 0 x 1时建立 .当 0 x 1 时，e x＞1，且g ( x )0，∴g ( x ) 1 x ln x x 1 x ln x x.e x设 F ( x )1x ln x x ， x(0,1)，则 F( x)(ln x2)，当 x (0, e2)时， F( x )0 ，当 x(e2,1) 时， F( x)0 ，因此当x e2时， F ( x) 获得最大值 F (e2) 1e 2 .因此 g ( x ) F ( x ) 1 e 2.综上，对随意x 0， g ( x ) 1e 2 .[根源]更多出色内容：（在文字上按住ctrl即可查察试题）2012 高考全国各省市高考作文题目汇总2012 年全国高考试题及答案2012 高考分数线展望及历年分数线汇总2012 年北京高考作文试题第一时间分析2012 高考现场报导：北京高考现场直击( 图 )。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷)解析版(1)2
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学一、 (1) (A)3+5i (2) (C){0,2,4} (3) (B)(1,0)(0,2]- (4) (D)标准差 (5) (C)p q ∧为假 (6) (A)3[,6]2- (7) (B)3(8) (A)2-相交(10)选D.(11) (D)216x y =(12) (B)12120,0x x y y +>+< 二、(13)61 (14)9 (15)14（16) )2cos 1,2sin 2(--三、(17)(I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，sin sin()sin sin B A C A C +=， 2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =，所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==，则22b ac ==，∴2223cos 24a c bB ac +-==，sin 4C ==ABC 的面积11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=.(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =. (19)(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由B CC D=知 ，C O B D⊥，又已知C E BD⊥，所以BD ⊥平面OCE .所以BDO E⊥，即OE 是BD 的垂直平分线，所以BE DE =.(II)取AB 中点N ，连接,M N D N ， ∵M 是AE 的中点，∴M N ∥BE ， ∵△ABD 是等边三角形，∴D NAB⊥.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB⊥，所以ND ∥BC ，所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC .(20) (I)由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得17,7a d ==,所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=. (II)由277mn a n =≤，得217m n -≤，即217m m b -=.∵211217497m k m k b b ++-==，∴{}m b 是公比为49的等比数列，∴7(149)7(491)14948mmm S -==--.(21)(I)222324c a b e a a-==⇒=……①矩形ABCD 面积为8，即228a b⋅=……②由①②解得：2,1a b ==，∴椭圆M 的标准方程是2214xy +=.(II)222244,58440,x y x m x m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-=，由226420(44)0m m ∆=-->得m <<||PQ ==.当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.①当1m <-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，||||PQ ST ==其中3tm =+，由此知当134t=，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||P Q ST.②由对称性，可知若1m <<53m =时，||||P Q ST.③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST =，由此知，当0m =时，||||P Q ST 取得最大.综上可知，当53m =±和0时，||||P Q ST.(22) (I)1ln ()exx k xf x --'=，由已知，1(1)0ek f -'==，∴1k =.(II)由(I)知，1ln 1()exx xf x --'=.设1()ln 1k x x x=--，则211()0k x xx'=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，当1x>时()0k x <，从而()0f x '<.综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.(III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立. 当01x <<时，ex＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln exx x xg x x x x--=<--.设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+， 当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<， 所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+. 所以2()()1e g x F x -<≤+. 综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(山东卷)
12山东(文)1.(2012山东,文1)若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位),则z 为( ). A .3+5iB .3-5iC .-3+5iD .-3-5iA 设z =a +b i ,a ,b ∈R ,则z (2-i )=(a +b i )(2-i )=(2a +b )+(2b -a )i ,所以211,27,a b b a +=⎧⎨-=⎩解得3,5,a b =⎧⎨=⎩ 所以z =3+5i ,故选A .2.(2012山东,文2)已知全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},B ={2,4},则(∁U A )∪B 为( ).A .{1,2,4}B .{2,3,4}C .{0,2,4}D .{0,2,3,4}C 易知∁U A ={0,4},所以(∁U A )∪B ={0,2,4},故选C .3.(2012山东,文3)函数f (x )=1ln(1)x +( ). A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2]B 由2ln(1)0,10,40x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≥⎩得0,1,22,x x x ≠⎧⎪>-⎨⎪-≤≤⎩所以定义域为(-1,0)∪(0,2].4.(2012山东,文4)在某次测量中得到的A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ). A .众数 B .平均数 C .中位数D .标准差D 由s可知B 样本数据每个变量增加2,平均数也增加2,但(x n -x )2不变,故选D .5.(2012山东,文5)设命题p :函数y =sin 2x 的最小正周期为π2;命题q :函数y =cos x 的图象关于直线x =π2对称.则下列判断正确的是( ). A .p 为真 B .q 为假 C .p ∧q 为假D .p ∨q 为真C 因周期T =2π2=π,故p 为假命题.因cos x 的对称轴为x =k π(k ∈Z ),故q 也为假命题.所以p ∧q 为假.6.(2012山东,文6)设变量x ,y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数z =3x -y 的取值范围是( ).A .3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .3,-12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[-1,6]D .36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A 作出可行域如图所示.目标函数z =3x -y 可转化为y =3x -z ,作l 0:3x -y =0,在可行域内平移l 0,可知在A 点处z 取最小值为-32,在B 点处z 取最大值为6,故选A .7.(2012山东,文7)执行下面的程序框图,如果输入a =4,那么输出的n 的值为( ).A .2B .3C .4D .5B 由程序框图知,当n =0时,P =1,Q =3;当n =1时,P =5,Q =7;当n =2时,P =21,Q =15,此时n 增加1变为3,满足P >Q ,循环结束,输出n =3,故选B .8.(2012山东,文8)函数y =2sin ππ63x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ).A .2-3B .0C .-1D .-1-3A 由0≤x ≤9可得,-ππ36≤x -π7π36≤,所以-3≤2sin ππx 63⎛⎫- ⎪⎝⎭≤2,所以最大值为2,最小值为-3,最大值与最小值之差为2-3.9.(2012山东,文9)圆(x +2)2+y 2=4与圆(x -2)2+(y -1)2=9的位置关系为( ). A .内切 B .相交 C .外切 D .相离 B 圆O 1的圆心为(-2,0),r 1=2,圆O 2的圆心为(2,1),r 2=3,|O 1O 2|=2241+=17, 因为r 2-r 1<|O 1O 2|<r 1+r 2, 所以两圆相交.10.(2012山东,文10)函数y =cos622x xx --的图象大致为( ).D 令f (x )=cos622x x x --,则f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而f (-x )=cos(-6)22x x x --=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为当x ∈10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭时,cos 6x >0,2x -2-x >0,即f (x )>0,而f (x )=0有无数个根,所以D 正确.11.(2012山东,文11)已知双曲线C 1:22x a -22y b =1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( ). A .x 2B .x 2C .x 2=8yD .x 2=16yD 由于e =c a=2,∴c =2a ,即c 2=4a 2.又有c 2=a 2+b 2,∴b 2=3a 2,即b.∴双曲线的渐近线方程y =±b a x 即为y,+y =0.又抛物线的焦点坐标为F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,F 到渐近线的距离为2,即022p+=2,解得p =8.∴抛物线C 2的方程为x 2=16y .12.(2012山东,文12)设函数f (x )=1x,g (x )=-x 2+bx ,若y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则下列判断正确的是( ). A .x 1+x 2>0,y 1+y 2>0 B .x 1+x 2>0,y 1+y 2<0C .x 1+x 2<0,y 1+y 2>0D .x 1+x 2<0,y 1+y 2<0B 由题意知,函数f (x )=1x ,g (x )=-x 2+bx 的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),等价于方程1x =-x 2+bx 有两个不同的根x 1,x 2,即方程x 3-bx 2+1=0有两个不同的实根x 1,x 2,因而可设x 3-bx 2+1=(x -x 1)2(x -x 2),即x 3-bx 2+1=x 3-(2x 1+x 2)x 2+(21x +2x 1x 2)x -21x x 2,∴b =2x 1+x 2,21x +2x 1x 2=0,21x x 2=-1.从而x 1≠0,x 2<0.由x 1(x 1+2x 2)=0得x 1+2x 2=0, ∴x 1+x 2=-x 2>0,x 1=-2x 2>0, ∴y 1+y 2=11x +21x =1212x x x x +<0,即x 1+x 2>0,y 1+y 2<0.13.(2012山东,文13)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 为线段B 1C 上的一点,则三棱锥A -DED 1的体积为 .16由正方体的性质知B 1C ∥平面AA 1D 1D ,∴E 到平面AA 1D 1D 的距离等于C 到平面AA 1D 1D 的距离,于是三棱锥A -DED 1的体积即为三棱锥E -AD 1D 的体积,也是三棱锥C -AD 1D 的体积.∵1D AD S =12,∴1D C AD V -=1D 13AD S ·CD =13×12×1=16.14.(2012山东,文14)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为 .9 由于组距为1,则样本中平均气温低于22.5 ℃的城市频率为0.10+0.12=0.22.平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11, 所以样本容量为110.22=50.而平均气温高于25.5 ℃的城市频率为0.18,所以,样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18=9.15.(2012山东,文15)若函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g (x )=(1-4m x [0,+∞)上是增函数,则a = .14 当0<a <1时,f (x )=a x 在[-1,2]上的最大值为a -1=4,即a =14,最小值为a 2=m ,从而m =116,这时g (x )=11416x ⎛-⨯ ⎝即g (x 34x [0,+∞)上是增函数.当a >1时,f (x )=a x 在[-1,2]上的最大值a 2=4得a =2,最小值a -1=m 即m =12,这时g (x )=(1-4m x x [0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去.所以a =14.16.(2012山东,文16)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为 .(2-sin 2,1-cos 2)因为圆心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此过程中P 点所经过的弧长为2,其所对圆心角为2.如图所示,过P 点作x 轴的垂线,垂足为A ,圆心为C ,与x 轴相切于点B ,过C 作PA 的垂线,垂足为D ,则∠PCD =2-π2,|PD |=sin π22⎛⎫- ⎪⎝⎭=-cos 2,|CD |=cos π22⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 2,所以P 点坐标为(2-sin 2,1-cos 2),即OP的坐标为(2-sin 2,1-cos2).17.(2012山东,文17)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin B (tan A +tan C )=tan A tan C . (1)求证:a ,b ,c 成等比数列;(2)若a =1,c =2,求△ABC 的面积S .(1)证明:在△ABC 中,由于sin B (tan A +tan C )=tan A tan C ,所以sin B sin sin cos cos A C A C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin cos A A ·sin cos C C,因此sin B (sin A cos C +cos A sin C )=sin A sin C , 所以sin B sin (A +C )=sin A sin C , 又A +B +C =π, 所以sin (A +C )=sin B , 因此sin 2B =sin A sin C .由正弦定理得b 2=ac , 即a ,b ,c 成等比数列.(2)解:因为a =1,c =2,所以b 由余弦定理得cos B =2222a c b ac +-34,因为0<B <π,所以sin B故△ABC 的面积S =12ac sin B =12×1×218.(2012山东,文18)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.解:(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ,B ,C ,标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ,E ,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共10种.由于每一张卡片被取到的机会均等, 因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:(A ,D ),(A ,E ),(B ,D ),共3种. 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F 为标号为0的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共15种.由于每一张卡片被取到的机会均等, 因此这些基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:(A ,D ),(A ,E ),(B ,D ),(A ,F ),(B ,F ),(C ,F ),(D ,F ),(E ,F ),共8种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.19.(2012山东,文19)如图,几何体E -ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB =CD ,EC ⊥BD .(1)求证:BE =DE ;(2)若∠BCD =120°,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 证明:(1)取BD 的中点O ,连接CO ,EO .由于CB =CD ,所以CO ⊥BD .又EC ⊥BD ,EC ∩CO =C ,CO ,EC ⊂平面EOC , 所以BD ⊥平面EOC , 因此BD ⊥EO . 又O 为BD 的中点,所以BE =DE .(2)证法一:取AB 的中点N ,连接DM ,DN ,MN .因为M 是AE 的中点, 所以MN ∥BE .又MN ⊄平面BEC ,BE ⊂平面BEC , 所以MN ∥平面BEC . 又因为△ABD 为正三角形, 所以∠BDN =30°. 又CB =CD ,∠BCD =120°, 因此∠CBD =30°, 所以DN ∥BC .又DN ⊄平面BEC ,BC ⊂平面BEC , 所以DN ∥平面BEC . 又MN ∩DN =N ,故平面DMN ∥平面BEC , 又DM ⊂平面DMN ,所以DM ∥平面BEC .证法二:延长AD ,BC 交于点F ,连接EF.因为CB =CD ,∠BCD =120°, 所以∠CBD =30°. 因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD =60°,∠ABC =90°, 因此∠AFB =30°, 所以AB =12AF .又AB =AD ,所以D 为线段AF 的中点.连接DM ,由点M 是线段AE 的中点, 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ,EF ⊂平面BEC ,所以DM ∥平面BEC .20.(2012山东,文20)已知等差数列{a n }的前5项和为105,且a 10=2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意m ∈N *,将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 解:(1)设数列{a n }的公差为d ,前n 项和为T n .由T 5=105,a 10=2a 5,得到1115(51)5d 105,29d 2(4d),a a a ⨯-⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得a 1=7,d =7.因此a n =a 1+(n -1)d =7+7(n -1)=7n (n ∈N *). (2)对m ∈N *,若a m =7n ≤72m ,则n ≤72m -1. 因此b m =72m -1,所以数列{b m }是首项为7公比为49的等比数列,故S m =1(1)1mb q q--=7(149)149m ⨯--=27(71)48m ⨯-=217748m +-.21.(2012山东,文21)如图,椭圆M :22x a +22y b =1(a >b >0)的离心率为3,直线x =±a 和y =±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程;(2)设直线l :y =x +m (m ∈R )与椭圆M 有两个不同的交点P ,Q ,l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ,T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值. 解:(1)设椭圆M 的半焦距为c ,由题意知222,3,48,a b c c a ab ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以a =2,b =1.因此椭圆M 的方程为24x +y 2=1.(2)由221,4x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得5x 2+8mx +4m 2-4=0,由Δ=64m 2-80(m 2-1)=80-16m 2>0, 得-5<m <5.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=-85m ,x 1x 2=24(1)5m -.所以|PQ |=221212()()x x y y -+- =212122[()4]x x x x +-=242(5)5m -(-5<m <5).线段CD 的方程为y =1(-2≤x ≤2),线段AD 的方程为x =-2(-1≤y ≤1). ①不妨设点S 在AD 边上,T 在CD 边上,可知1≤m <5,S (-2,m -2),D (-2,1), 所以|ST |=2|SD |=2[1-(m -2)]=2(3-m ), 因此||||PQ ST =22455(3)m m --, 令t =3-m (1≤m <5), 则m =3-t ,t ∈(3-5,2],所以||||PQ ST =2245-(3)5t t -=244615t t -+-=241354544t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,由于t ∈(352],所以112t ⎡∈⎢⎣⎭,因此当1t =34即t =43时,||||PQ ST 此时m =53. ②不妨设点S 在AB 边上,T 在CD 边上, 此时-1≤m ≤1,因此|ST AD |=此时||||PQ ST所以当m =0时,||||PQ ST(3)不妨设点S 在AB 边上,T 在BC 边上m ≤-1,由椭圆和矩形的对称性知||||PQ ST 此时m =-53.综上所述m =±53或m =0时,||||PQ ST 22.(2012山东,文22)已知函数f (x )=ln e x x k +(k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数),曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行. (1)求k 的值; (2)求f (x )的单调区间;(3)设g (x )=xf '(x ),其中f '(x )为f (x )的导函数.证明:对任意x >0,g (x )<1+e -2. (1)解:由f (x )=ln e xx k +,得f '(x )=1ln e xkx x x x --,x ∈(0,+∞).由于曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f '(1)=0,因此k =1.(2)解:由(1)得f '(x )=1e xx (1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞).令h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞),当x ∈(0,1)时,h (x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0. 又e x >0,所以x ∈(0,1)时,f '(x )>0;x ∈(1,+∞)时,f '(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)证明:因为g (x )=xf '(x ),所以g (x )=1e x(1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞).由(2)h (x )=1-x -x ln x ,求导得h '(x )=-ln x -2=-(ln x -ln e -2),所以当x ∈(0,e -2)时,h '(x )>0,函数h (x )单调递增;当x ∈(e -2,+∞)时,h '(x )<0,函数h (x )单调递减. 所以当x ∈(0,+∞)时,h (x )≤h (e -2)=1+e -2. 又当x ∈(0,+∞)时,0<1e x<1,所以当x ∈(0,+∞)时,1e xh (x )<1+e -2,即g (x )<1+e -2. 综上所述结论成立.。
山东省高考文科数学真题及答案之欧阳光明创编
2012年山东省高考数学试卷（文科）欧阳光明（2021.03.07）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z 为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i2．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}3．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣1，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2]4．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数 C．中位数 D．标准差5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（）A．2﹣B．0 C．﹣1 D．﹣1﹣9．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离10．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y12．（5分）设函数，g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B （x2，y2），则下列判断正确的是（）A．x1+x2＞0，y1+y2＞0 B．x1+x2＞0，y1+y2＜0C．x1+x2＜0，y1+y2＞0 D．x1+x2＜0，y1+y2＜0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A﹣DED1的体积为．14．（4分）如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5），[21.5，22.5），[22.5，23.5），[23.5，24.5），[24.5，25.5），[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为．15．（4分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．18．（12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．19．（12分）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．20．（12分）已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10=2a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m．求数列{b m}的前m项和S m．21．（13分）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．22．（13分）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．2012年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2012•山东）若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i【分析】等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．2．（5分）（2012•山东）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}【分析】由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选D．3．（5分）（2012•山东）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣1，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2]【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．4．（5分）（2012•山东）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数 C．中位数 D．标准差【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案．【解答】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确故选D．5．（5分）（2012•山东）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题．故选C．6．（5分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．（5分）（2012•山东）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的P，Q值，不满足条件P≤Q，程序终止即可得到结论．【解答】解：执行程序框图，有n=0，0≤1，P=1，Q=3，n=1；n=1，1≤3，P=1+4=5，Q=7，n=2；n=2，5≤7，P=5+16=21，Q=15，n=3；n=3，21≤15不成立，输出，n=3；故选：C8．（5分）（2012•山东）函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（）A．2﹣B．0 C．﹣1 D．﹣1﹣【分析】通过x的范围，求出的范围，然后求出函数的最值．【解答】解：因为函数，所以∈，所以，所以函数的最大值与最小值之和为．故选A．9．（5分）（2012•山东）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．10．（5分）（2012•山东）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．【解答】解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．11．（5分）（2012•山东）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．12．（5分）（2012•山东）设函数，g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．x1+x2＞0，y1+y2＞0 B．x1+x2＞0，y1+y2＜0C．x1+x2＜0，y1+y2＞0 D．x1+x2＜0，y1+y2＜0【分析】构造函数设F（x）=x3﹣bx2+1，则方程F（x）=0与f （x）=g（x）同解，可知其有且仅有两个不同零点x1，x2．利用函数与导数知识求解．【解答】解：设F（x）=x3﹣bx2+1，则方程F（x）=0与f（x）=g （x）同解，故其有且仅有两个不同零点x1，x2．由F'（x）=0得x=0或．这样，必须且只须F（0）=0或，因为F（0）=1，故必有由此得．不妨设x1＜x2，则．所以，比较系数得，故.，由此知，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A﹣DED1的体积为．【分析】将三棱锥A﹣DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，进行等体积转化V A﹣DED1=V E﹣ADD1后体积易求【解答】解：将三棱锥A﹣DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，则V A﹣DED1=V E﹣ADD1，其中S△ADD1=S A1D1DA=，E到底面ADD1的距离等于棱长1，故．故答案为：14．（4分）（2012•山东）如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5），[21.5，22.5），[22.5，23.5），[23.5，24.5），[24.5，25.5），[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为9．【分析】由频率分布直方图，先求出平均气温低于22.5℃的频率，不低于25.5℃的频率，利用频数=频率×样本容量求解．【解答】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，所以总城市数为11÷0.22=50，平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．故答案为：9．15．（4分）（2012•山东）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．【分析】根据指数函数的性质，需对a分a＞1与0＜a＜1讨论，结合指数函数的单调性可求得g（x），根据g（x）的性质即可求得a 与m的值．【解答】解：当a＞1时，有a2=4，a﹣1=m，此时a=2，m=，此时g（x）=﹣为减函数，不合题意；若0＜a＜1，则a﹣1=4，a2=m，故a=，m=，g（x）=在[0，+∞）上是增函数，符合题意．故答案为：．16．（4分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．【分析】设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．【解答】解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2012•山东）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB （sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC∴sinB（）=∴sinB•=∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，∵A+B+C=π∴sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列．（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴，∵0＜B＜π∴sinB=∴△ABC的面积．18．（12分）（2012•山东）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【分析】（Ⅰ）由列举法可得从五张卡片中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（Ⅱ）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，由列举法可得从中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1、红1蓝2、红2蓝1，共3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，从六张卡片中任取两张，有红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共8种情况，所以概率为．19．（12分）（2012•山东）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．【分析】（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE ⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．【解答】证明：（I）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，EC∩CO=C，所以BD⊥平面OCE．所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE=DE．（II）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC，∵△ABD是等边三角形，∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∴ND∥BC，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，∴DM∥平面BEC证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，∵CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，∠ABC=90°，因此∠AFB=30°，∴AB=AF，又AB=AD，∴D为线段AF的中点，连接DM，DM∥EF，又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，∴DM∥平面BEC20．（12分）（2012•山东）已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10=2a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m．求数列{b m}的前m项和S m．【分析】（I）由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求a1，d，从而可求通项（II）由（I）及已知可得，则可得，可证{b m}是等比数列，代入等比数列的求和公式可求【解答】解：（I）由已知得：解得a1=7，d=7，所以通项公式为a n=7+（n﹣1）•7=7n．（II）由，得n≤72m﹣1，即．∵=49∴{b m}是公比为49的等比数列，∴．21．（13分）（2012•山东）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，取得最大值．求的最大值及取得最大值时m的值．【解答】解：（I）…①矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆M的标准方程是．（II），由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．①当时，有，，其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，，，由此知，当m=0时，取得最大值．综上可知，当或m=0时，取得最大值．22．（13分）（2012•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【分析】（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g （x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g （x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论．【解答】解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，e x＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（ e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．。
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20XX 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文 科 数 学 一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合{}{}2|60,|13,M x x x N x x =+-<=≤≤则MN =(A) [1,2) (B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3] 2、复数2()2iz i i-=+为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3、若点a （,9）在函数3x y =的图象上，则tan6a π的值为 (A) 0 (B)33(C) 1 (D) 34、曲线311y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是 (A) -9 (B) -3 (C) 9 (D) 155、已知,,a b c R ∈，命题“2223,3a b c a b c ++=++≥若则”的否命题是 (A) 2223,3a b c a b c ++≠++<若则 (B)2223,3a b c a b c ++=++<若则(C) 2223,3a b c a b c ++≠++≥若则 (D)2223,3a b c a b c ++≥++=若则6、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=(A) 3 (B) 2 (C)32 (D) 237、设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为(A) 11 (B) 10 (C) 9 (D) 8.5 8、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归的b 为9.4，据此方程y bx a =+中模型预报广告费用为6万元时销售额为(A) 63.6万元 (B) 65.5万元 (C) 67.7万元 (D) 72.0万元9、设00(,)M x y 为抛物线2:8C x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是(A) ()0,2 (B) []0,2 (C) ()2,+∞ (D)[)2,+∞10、函数2sin 2x y x =-的图象大致是(A) (B)广告费用x （万元）4235销售额y （万元）49263954(C) (D)11、右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； ②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； ③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。
其中真命题的个数是(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 012、设1234A ,A ,A ,A 是平面直角坐标系中两两不相同的四点，若1312A A =A A R λλ∈（），1412A A =A A R μμ∈（），且11+=2λμ，则称34A ,A 调和分割12A ,A 。
已知平面上的点C ,D 调和分割点A ,B ，则下面说法正确的是(A) C 可能是线段AB 的中点 (B) D 可能是线段AB 的中点 (C) C ,D 可能同时在线段AB 上 (D) C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13、某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、 300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样 的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查， 应在丙专业抽取的学生人数为___________ 14、执行右图所示的程序框图，输入2,3,5l m n ===，俯视图正（主）视图则输出的y 的值是_______.15、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________.16、已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),x n n n N ∈+∈，则n =__________.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.（Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若1cos ,24B b ==，求ABC 的面积S .18、（本小题满分12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率..19、（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ABCD ⊥平面，底面ABCD 是平行四边形，0112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；D B 1D 1 C 1 CBAA 1（Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. 20、（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-求数列{}n b 的前n 项和n S . 21、（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >千元.设该容器的建造费用为y 千元。
（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小值时的r .22、（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=. 如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为DAG-3lyxE ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2OG OD OE =（1）求证：直线l 过定点；（2）试问点,B G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG ∆的外接圆方程；若不能，请说明理由.20XX 年山东高考数学（文）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则N M ⋂= （A ）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]【解析】因为{}|32M x x =-<<，所以{}|12M N x x ⋂=≤<，故选A. 考查集合的概念和运算，容易题。
2.复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【解析】因为22(2)34255i i iz i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D.考查复数的运算及几何意义，容易题。
3.若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为 （A ）0 (B)33(C) 1 (D) 3【解析】由题意知:9=3a ,解得a =2,所以2tantan tan 3663a πππ===,故选D.考查函数的概念，三角函数的计算，容易题。
4.曲线113+=x y 在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15【解析】因为23x y ='，切点为P(1,2),所以切线的斜率为3，故切线的方程为093=+-y x ，令0=x 得9=y ，故选C 。
考查函数的导数的几何意义，切线的求法，容易题。
5.已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 (A)若a+b+c≠3，则222a b c ++<3 (B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3 (C)若a+b+c≠3，则222a b c ++≥3 (D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3【解析】命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ⌝,则q ⌝”,故选A.考查四种命题的结构关系，容易题。
6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=(A)23(B)32(C) 2 (D)3【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选B.考查三角函数的性质，容易题。
7.设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线231z x y =++平移至点A(3,1)时, 目标函数231z x y =++取得最大值为10,故选B.考查线性规划的相关概念及计算，容易题。
8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x(万元)4 2 3 5销售额y （万元） 49 26 39 54根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元【解析】由表可计算4235742x +++==,49263954424y +++==,因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆybx a =+上,且ˆb 为9.4，所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1yx =+, 令x=6得ˆy =65.5,选B.考查线性回归的概念和回归直线的计算等，容易题。