中考数学圆的综合(大题培优)附答案解析

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边．以AC 为直径的⊙O ，交BC 于D ，过O 作OE ∥BC ，交OD 于E ，连接AD 、AE 、CE ．

（1）求证：∠ACE=∠DCE ；

（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO 的度数；

（3）若AC=4，

23

CDF COE S S ∆∆=，求CF 的长． 【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（343 【解析】

【分析】 （1）易证∠OEC =∠OCE ，∠OEC =∠ECD ，从而可知∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ，易证∠AGC =∠B +∠BAG =60°，由于OE ∥BC ，所以∠AEO =∠AGC =60°，所以∠EAO =∠AEO =60°； （3）易证12COE

CAE S S =，由于23CDF COE S S =，所以CDF

CAE S S =13

，由圆周角定理可知∠AEC =∠FDC =90°，从而可证明△CDF ∽△CEA ，利用三角形相似的性质即可求出答案．

【详解】

（1）∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ．

∵OE ∥BC ，∴∠OEC =∠ECD ，∴∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ；

（2）延长AE 交BC 于点G ．

∵∠AGC 是△ABG 的外角，∴∠AGC =∠B +∠BAG =60°．

∵OE ∥BC ，∴∠AEO =∠AGC =60°．

∵OA =OE ，∴∠EAO =∠AEO =60°．

（3）∵O 是AC 中点，∴12

COE

CAE S S =． 23CDF

COE S S =，∴CDF

CAE S S =13

． ∵AC 是直径，∴∠AEC =∠FDC =90°．

∵∠ACE =∠FCD ，∴△CDF ∽△CEA ，∴CF CA =33，∴CF =33CA =33

．

【点睛】

本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧BE的长．

【答案】（1）证明见解析（2）4 3

【解析】

分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；

（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.

详解：（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．

∵AB＝AC，∴BD＝CD，

又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF

即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；

（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，

∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，

∴＝·4π＝π．

点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．

3．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求CE的长；

（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．

【答案】（1）证明见解析（2）33）4π

【解析】

【分析】

（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；

（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=1

2

BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可

得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；

（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.

【详解】

（1）如图1，连接AD，OD；

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD ⊥BC ，

∵AB=AC ，

∴BD=DC ，

∵OA=OB ，

∴OD ∥AC ，

∵DE ⊥AC ，

∴DE ⊥OD ，

∴∠ODE=∠DEA=90°，

∴DE 为⊙O 的切线；

（2）如图2，连接BF ，

∵AB 为⊙O 的直径，

∴∠AFB=90°，

∴BF ∥DE ，

∵CD=BD ，

∴DE=

12

BF ，CE=EF ， ∵∠A=30°，AB=16，

∴BF=8，

∴DE=4，

∵DE 为⊙O 的切线，

∴ED 2=EF•AE ， ∴42=CE•（16﹣CE ），

∴CE=8

﹣

（3）如图3，连接OG ，连接AD ，

∵BG ∥DF ，

∴∠CBG=∠CDF=30°，

∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C=75°，

∴∠OBG=75°﹣30°=45°，

∵OG=OB ，

∴∠OGB=∠OBG=45°，

∴∠BOG=90°，

∴BG 的长度=908180

π⨯⨯=4π．