3概率与概率分布
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教育与心理统计学第六章：概率分布
生活中有很多这样的事例
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布
3－15
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
概率及其分布与二项分布
概率的加法定理
? 若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生， 这样的两个事件为互不相容事件。
? 两互不相容事件 和的概率，等于这两个
事件概率之和，即
P ?P ?P
( A? B )
( A)
(B)
（6．3）
A
B
P( A1 ? A2 ?? An ) ? P?A1 ? ? P?A2 ? ? ? ? P?An ? （6．4）
例３：从男生占２/５的学校中随机抽取６ 个学生，问正好抽到４个男生的概率是多 少？最多抽到２个男生的概率是多少？
解：将n=6，p=2/5 ，q=3/5，X=4代入 （6．7）式，则恰好抽到 4个男生的概率为
P( 4 )
?
C64
?p4 ?q2
?
6!
?
??
2
4
? ?
?
??
3
2
? ?
4!? 2! ? 5 ? ? 5 ?
计算
? 抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题 的概率和抽到第二题的概率之和，即
P?A? B? ?
P?A ? ?
P?B? ?
1? 5
1 5
?
2 5
? 四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第
一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积，即
P?A1 ?A2 ?A3 ?A4 ??
1? 5
1? 5
1? 5
1 5
一、概率的定义
? 后验概率（或统计概率）
? 随机事件的频率
m W( A) ? n
? 当n无限增大时，随机事件 A的频率会稳定在
一个常数 P，这个常数就是随机事件 A的概率。
P?A? ?
Lim
n? ?
概率论第三章 多维随机变量及其分布
1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
《概率论》第3章§3条件分布
G
第三章 多维随机变量及其分布
§3
条件分布
12/17 12/17
设 ( X ,Y) 服从圆域 G : x2 + y 2 ≤ 1 上的均匀分布. 服从圆域 上的均匀分布. 求条件概率密度 f X|Y (x | y) f X |Y (x | y)表示固定 Y = y时 ( X ,Y)的密度及 Y的边缘密度分别为 y 2 , 1 y 2 ) ~ y 2 X y 2 U( 1 1/ π, x + ≤1 1 f (x, y) = y 其它 0,
p13 P{X =1| Y = 3 = p. = 0 = 0 } 3 7/ 48 p23 P{X = 2| Y = 3 = p. = 0 = 0 } 3 7/ 48 即在 Y = 3的条件下 ,Y = 3} = p33 = 1/12 = 4 P{ X = 3| X的条件分布律为 p.3 7/ 48 7 X=k 1 p43 2 3 4 1/163/ 73 P{{X=k | YY 3}3 = p.0 =4/ 7 = PX = 4| = = } 0 第三章 48 7 3 7/ 多维随机变量及其分布
P(B)
在形式上很相似! 在形式上很相似!
f (x, y) fY| X ( y | x) = f X (x)
(∞ < y < ∞)
F | X ( y | x) = ∫∞ fY| X (v | x)dv (∞< y < ∞) Y
x
第三章 多维随机变量及其分布
§3
f X |Y (x | y) ≥ 0
y
y=x
y {x>0.5,0.5<0.5 x y<
∫∫ f (x, y)dxdy
∫∫
x 1dxdy
袁卫《统计学》(第3版)课后习题-概率、概率分布与抽样分布(圣才出品)
5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有哪些不同？连续型随机变量
的概率密度与分布函数之间是什么关系？
答：（1）离散型随机变量 X 只取有限个可能的值 x1，x2，…， xn ，而且是以确定的概
率取这些值，即
P（X=xi）=pi（ i =1，2，…，n）。因此，可以列出 X 的所有可能取值 x1，x2，…， xn ，以 及取每个值的概率 p1，p2，…， pn ，将它们用表格的形式表现出来，就是离散型随机变量
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（3）主观概率
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古典概率和统计概率都属于客观概率，它们的确定完全取决于对客观条件的理论分析或
是大量重复试验的事实，不以个人的意志为转移。而有些事件，特别是未来的某一事件，既
不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来估计，但决策者又必须
，
对于连续型随机变量，其均值和方差分别为：
= E(X ) = xf (x)dx， 2 = E(X 2) − E2(X ) = − x2 f (x)dx
−
−
7．二项分布与超几何分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？
答：（1）从理论上讲，二项分布只适合于重复抽样（即从总体中抽出一个个体观察完后
对其进行估计从而作出相应的决策，那就需要应用主观概率。
主观概率需要人们根据经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素进行分析，
以此确定主观概率。
3．概率密度函数和分布函数的联系与区别表现在哪些方面？ 答：（1）区别 概率密度函数只是给出了连续型随机变量某一特定值的函数值，这一函数值不是真正意 义上的取值概率，连续型随机变量在给定区间内取值的概率对应的是概率密度函数 f（x）曲 线（或直线）在该区间上围成的面积，这一特征恰恰意味着连续型随机变量在某一点的概率 值为 0，因为它对应的面积为 0。而分布函数 F 在 x 处的取值，就是随机变量 X 的取值落在 区间（-∞，x）的概率。 （2）联系
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
第3章 常用概率分布(田间试验与统计分析 四川农业大学)
P（“至少1粒种子出苗”） = P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=6) = C610.6710.335 C62 0.6720.334 C66 0.6760.330 = 0.0157＋0.0799＋0.2162 ＋0.3292＋0.2672＋0.0905 = 0.9987
二项分布的应用条件：
在统计学上，把小概率事件在一次试验中 看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件 实际不可能性原理，亦称为小概率原理(small probability principle)。
小概率事件实际不可能性原理是统计学上 进行假设检验（显著性检验）的基本依据。
第二节 概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的 可能性大小。
标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别 记作ψ(u)和Φ(u)。
(u)
1
u2
e2
2
(u) 1
u 1u2
e 2 du
2
u～N(0，1)
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随 机变量x，都可以通过标准化变换：
u x
将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。
一、正态分布的定义及其特征
（一） 正态分布的定义 若连续型随机变 量 x 的概率分布密度函数为
其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量 x 服从正 态分布(normal distribution) ， 记为x~N(μ, σ2)。
相应的概率分布函数为：
F(x) 1
e dx x
(
x) 2 2
对于样本是取自连续型随机变量的情况，这 条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和 测量的误差，完全反映了水稻行产量的变动规律。 这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概 率分布密度函数 。
概率与概率分布
第5章 概率与概率分布一、思考题5.1、频率与概率有什么关系？5.2、独立性与互斥性有什么关系？5.3、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。
5.4、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。
二、练习题5.1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录某班一次统计学测试的平均分数。
（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
5.2、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
5.3、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是31，A 发生且B 不发生的概率是91，求B 发现的概率。
5.4、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=31，P(A ｜B)= 61，求P(A ｜B ) 5.5、有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。
在两批种子中各随机取一粒，试求：（1）两粒都发芽的概率。
（2）至少有一粒发芽的概率。
（3）恰有一粒发芽的概率。
5.6、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少？5.7、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为43，用到10000小时未坏的概率为21。
现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少？5.8、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。
从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少？5.9、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。
概率论第三章
若二维随机变量（ 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 ） 1 1 x − µ1 2 f (x, y) = exp{− ) 2 [( 2 2(1− ρ ) σ1 2πσ1σ2 1− ρ x − µ1 y − µ2 y − µ2 2 )( ) +( ) ]} − 2ρ( 其中
µ1, µ2,σ1,σ2, ρ
3.1.2、二维随机变量的联合分布函数 、 维随机变量的联合 联合分布函数
二维随机变量（ 二维随机变量（X,Y） ） ( X , Y )的联合分布函数 )的联合分布函数
一维随机变量X 一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
F(x, y) = P(X≤ x,Y ≤ y) − ∞ < x, y < ∞
xi ≤3yj ≤2
求：F(3,2) = P(X≤ 3,Y ≤ 2) = ∑∑pij
1 1 1 1 = + 0+ 0+ + + 0 = 4 8 8 2
例２ 设随机变量 Y ~ E (1) ，随机变量
0 , 若Y ≤ k ( k = 1，） 2 Xk = 1 , 若Y > k 的联合概率分布列。 求 X 1 和 X 2 的联合概率分布列。
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止， 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来 描述还不够， 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述 在打靶时, 在打靶时,命中点的位置是由一 对随机变量(两个坐标)来确定的. 对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空 中的位置是由三个随 机变量(三个坐标） 机变量(三个坐标）来 确定的等等. 确定的等等.
1/ 4 x 1 1 解: (3)P( X < ,Y < ) = ∫0 [∫0 3xdy]dx 4 2
第三章 概率分布
第二节 概率分布
概率:一次试验某一个结果发生的可能性大小 概率分布:试验的全部可能结果及各种可能结果发生 的概率
一、随机变量 随机试验的所有可能结果中，若对于每一种可能结果 都有唯一的实数x与之对应，则称x为随机试验的随 机变量。
【例4.3】 对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能 结果是“0头治愈”、 “1头治愈”、“2头治愈”、 “…”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的 取值为0、1、2、…、100。
【例4.4】 孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“ 孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。 若用变量x表示试验 的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表 示“孵出小鸡”。
【例4.5】 测定某品种猪初生重，表示测定结果的 变量x所取的值为一个特定范围(a,b)，如0.5―1.5kg，x 值可以是这个范围内的任何实数。
但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结
果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定
性，通常称之为随机现象的统计规律性
概率
论与数理统计
（二）随机试验与随机事件
1、随机试验 通常我们把根据某一研究目的 ，在一定条件下对 自然现象所进行的观察或试验统称为随机试验。
随机试验满足下述三个特性
（1）可重复性：试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）结果多样性：每次试验的可能结果不止一个，并且事先 知道会有哪些可能的结果； （3）未知性：每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
一类随机现象或不确定性现象：事前不可预言其 结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行观察， 其结果未必相同。即在个别试验中其结果呈现偶然性、 不确定性现象。例
随机现象特点：
概率论 第二章 随机变量与概率分布
(2)P{0 X 2}, P{0 X 2}.
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类 通常分为两类：
所有取值可以逐 个一一列举
离散型随机变量
随 机 变 量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量 非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类 通常分为两类：
所有取值可以逐 个一一列举
离散型随机变量
随 机 变 量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量 非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
经管类概率论与数理统计第三章多维随机变量及概率分布
3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。
例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。
又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。
定义3.12个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。
定义3.2（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。
记作（X，Y）～F（x,y）。
（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。
因为X<+∞，Y<+∞即-∞<X<+∞，-∞<Y<+∞，分别表示必然事件，所以有X～F x（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y<+∞）=F（x,+∞）Y～F Y（y）=P（Y≤y）=P（x<+∞，Y≤y）=F（+∞，y）公式可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。
3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（x i，y j），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。
设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x i，y j）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…），称P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。
（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性质：（1）p ij≥0（i，j=1，2，…）；（2）反之，若数集{P ij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
5.1 第三章 常用概率分布10.14
相等。
设有一个总体 ，总体平均数为 μ,方差为σ2，总 体中各变数为 x， 将 此总体称为原总体。现从这个 总体中随机抽取含量为n的样本，样本平均数记为 。 可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个 x 含量为n的样本。由这些样本算得的平均数有大有小， 不尽相同，与原总体平均数μ相比往往表现出不同程 度的差异。这种差异是由随机抽样造成的 ，称为 抽 样误差(sampling error)。 显然，样本平均数也是一个随机变量，其概率分 布叫做样本平均数的抽样分布。由样本平均数构成的 总体称为样本平均数的抽样总体。
由(4-11) 式及正态分布的对称性可推出 下列关系式， 再借助附表1 ， 便能很方便地 计算有关概率：
P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5
P(u≥u1) =Φ(-u1)
P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)
P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)
P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
【例4.6】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05
P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
（二）一般正态分布的概率计算
正 态 分 布 密度曲线和横轴围成的一个区
域，其面积为1，这实际上表明了“随机变量x
取值在-∞与+∞之间”是一个必然事件，其概
率为1。
若随机变量 x服从正态分布N(μ,σ2)，则x
即大数定理
x2 2. 若随机变量x服从平均数是 μ，方差是 σ2的分布(不是正态分布)； x1， x 2 ，…， x n 是 x 由此总体得来的随机样本，则 统 计 量 x =Σx／n的概率分布，当n相当大时逼近正态分 布N(μ,σ2／n)。这就是中心极限定理。
第三章 概率与概率分布 华中农业大学生物统计学讲义
该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10，而事 件A所包含的基本事件有3个，即抽得编号为1、2、3中的任何一 个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3
P(B)=5/10=0.5
12 3 4 5
6
7
8 9 10
一、概率基本概念
A＝“一次取一个球，取得红球的概率”
10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件（即每个球 被取到的可能性是相等的），即n=10 事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件，即m=3
P(A)=3/10=0.3
12 3 4 5
6
7
8
9 10
一、概率基本概念
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率” 10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件，即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
2、在一定条件下可能发生也可能不 发生。
（二）频率（frequency）
一、概率基本概念
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
0≤W(A) ≤1
例：
一、概率基本概念
设样本空间有n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包 含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P(A)=m/n。
古典概率(classical probability) 先验概率(prior probability)
一、概率基本概念
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
随机抽取一个球，求下列事件的概率; （1)事件A＝抽得一个编号< 4 （2)事件B =抽得一个编号是2的倍数
概率与概率分布
故乘客候车小于5min的概率为
1 P(0 5) dx 0.5 0 10
5
2、正态分布 一、 概念和公式的引出 正态分布 如果随机变量 的密度函数为
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
( x (,))
其中 , ( 0) 为参数，则称随机变量 服从参数为
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率 分布为
k P( k ) Cn p k (1 p) nk (k 1,2,, n)
则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球]
练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件 中一级品的只数为 ，求 的概率分布．
“出现正面”这一随机事件．
3.2.1 离散型随机变量及其分布
一、案例 二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [取球]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的
结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按 一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用 取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出 离散型随机变量
k 10 k
的概率分布为
10 k
P( k ) C (0.2) (0.8)
(k 1,2, ...)
3．泊松分布 二、 概念和公式的引出 泊松分布 如果随机变量 的概率分布为
P( k )
k
k!
e
( 0, k 0,1,2,, n)
则称 服从参数为 的泊松分布，记作
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4. 经验概率
求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联 系的事件A，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件A 是否发生了。假如做了 n 次试验，而记录到事件A发生了 m 次 （即成功 m 次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件A 发生的频率
显然，频率具有双重性质：随机性和规律性. 当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极 限值就是用频率法所定义的概率，即
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18
[例] 根据上海市职业代际流动的统计，向下流动 的概率是0.07，静止不动的概率是0.6，求向上流动的 概率是多少？ [例] 为了研究父代文化程度对子代文化程度的影 响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占 30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而双方都具 有文化程度的占有10％，问从学生中任抽一名，父代 至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？
用回置法从一幅普通 扑克牌抽取两次，计算 得到两张爱司的概率。
用不回置法从一幅普 通扑克牌抽取两次，计算 得到两张爱司的概率。
2019/2/7
24
4. 排列和样本点的计数
要正确解决概率问题，往往光考虑乘法规则还不够，还要同时 考虑使用加法规则。一般最简单的做法是：首先确定一种符合要求 的排列方式并计算它们发生的概率，然后再考虑还有没有其他同样 符合要求的排列方式。如果存在着其他实现方式，并且都具有相同 的概率，就可以简单地把排列方式数与以某一给定的排列方式计算 的概率相乘。注意，后一步相当于使用了加法规则。
国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。
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4
1. 随机现象和随机事件
概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随 机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即 将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是 朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的 特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止 一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规 律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生 后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的 可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。 随机现象具有一定 条件呈现多种可能结 果的特性。
加法规则可推广到对两个以上的事件，若事 件A，B，C…K都互斥，那么有 P (A或B或C…或K)＝P(A)+P(B)+P(C)… +P(K)
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3.乘法规则
式中符号
和
代表条件概率。
应理
解为，“在B已经发生条件下A发生的概率”。条件概率的意思是， A发生的概率可能与B是否发生有关系。换言之，B已经发生时A发生 的概率可能有别于B没有发生时A发生的概率。
理解统计独立的概念，对于灵活运用概率的乘法规则 很重要。现在用条件概率来加以表达，统计独立是指
若A和B在统计上相互独立(无关) ，这时乘法规则可以简化为
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20
[例]假定有下列3000个社区的数据，如果随机地从这 个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率 低的社区的概率是多少? 属性 高犯罪率 低犯罪率 总和 大 600 600 1200 中 300 900 1200 小 100 500 600 总和 1000 2000 3000
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用古典 法求出 的概率
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这样对于含有m个样本点的事件A，其出现 的概率为
m P ( A) n
用古典法求算概 率，在应用上有两个 缺点：①它只适用于 有限样本点的情况； ②它假设机会均等， 但这些条件实际上往 往不能得到满足。
[例] 掷两枚均匀的硬币， ① 求“两枚都朝上”的概率； ②求 “一枚朝上，一枚朝下”的概率。
1.样本点 2.样本空间
Hale Waihona Puke 随机试验的每一个可能 的结果，称为基本事件 （或称样本点）
所有样本点的全体称作样本空 间(Sample space)，记作Ω
[例] 掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。
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6
随 机 事 件
简单事件：仅含样本空间中 一个样本点的事件。 复合事件：含样本空间中一 个样本点以上的的事件。 不可能事件：从样本空间来看 ， 不含任何基本事件，记作Φ 。 必然事件：从样本空间来看 ， 该事件事件是由其全部基本事件 所组成，记作S 。
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2. 事件之间的关系 （1）事件和（Or conjunction)——事件A与 事件B至少有一个事件发生所构成的事件C称为A 与B的事件和，记作 （2）事件积(As-well-as conjunction)——事 件A与事件B同时发生所构成的事件C称为A与B 的事件积，记作
2019/2/7
第一节 基础概率
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险 等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需 要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和为 9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？ 例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子 连掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚 掷24次，出现一次双6 的机会却很少。
（6）相互独立事件——事件A的发生与事 件B是否发生毫无关系，称A与B为相互独立事 件，记作
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两之 随间 机的 事关 件系
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3. 先验概率
在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古 典法和频率法。 由普拉斯1814年提出。以 想象总体为对象，利用模型本 身所具有的对称性来事先求得 概率，故被称为先验概率 。 条件： （1）在一样本空间中，各样本 点出现的机会均等； （2）该样本空间只有有限（n) 个样本点。
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频率稳定到概率这个事实，给了“机会大小”即概率一个浅显 而 说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的 统计学派也就被称为频率学派。
15
比如： 法国统计学家蒲丰（Buffon）把铜板抛了4040次， 正面的次数是2048，比例是0.5069 。 1900年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次， 正面的次数是12012，比例是0.5005 南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了10000次， 正面的次数是5067，比例是0.5067 。 再如： 保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研 究表明20－24岁的男性中明年死亡的概率是 0.0015，同龄的女性是0.0005，保险公司对男性的 保费就多收一些。
[例]假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区， 得 到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率又是多少 属性 大 中 小 ? 总和 高犯罪率 低犯罪率 100 500 300 900 600 600 1000 2000
总和
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600
1200
1200
3000
21
[例] 根据统计结果，男婴出生的概率是 22/43，女婴出生的概率是21/43，某单位有两 名 孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？都 生女婴的概率是多少？其中一男一女的概率是 多少？ [例] 某居民楼共20户，其中核心家庭为2 户，问访问两户都是核心家庭的概率是多少？ 问访问第二户才是核心家庭的概率是多少？
次序为AKK的样本点实现的概率是 次序为AAK的样本点实现的概率是 再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式 (AKK)含有3！／2!＝3种排列方式 (AAK)含有3！／2!＝3种排列方式 （AKO)含有3！＝6种排列方式 所以，在三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是
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[例] 假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现 其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌 曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流 行歌曲的，剩下来的学生两种歌曲都不喜欢。如果我们 随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A为该学生喜 欢民族歌曲，事件B为该学生喜欢流行歌曲。 ①用数字证明P(A且B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) ②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是 多少？ ③随机地选取一个由3个学生组成的样本，要求这三 个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是 多少？
9
（3）事件的包含与相等——事件A发生必然 导致事件B发生，则称为B包含A记作
如果
则
（4）互斥事件——事件A和事件B不能同时 发生，则称B和A是互斥事件，或互不相容事 件，记作
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10
（5）对立事件——事件A与事件B是互斥事 件，且在一次试验中必有其一发生，称A与B为 对立事件（逆事件），记作
所有N个元
N个元素中，若其中第一组中有r1个不能
素都不相同的 情况下，排列 方式数为
区分的元素，第2组中有r2个不能区分的元 素，…，第k组中有rk个不能区分的元素， 且各组彼此是可以区分的，则总的排列数为
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[例] 从一幅洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置 法，求至少得到1张A和一张K的概率是多少? [解]按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1 张A和1张K，另l张非A非K，用符号(AKO)表示(其中“O”表示其 他)；抽到1张A和2张K，用符号(4KK)表示；抽到2张A和1张K，用 符号（AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不 同，必须对它们加以区别。 次序为AKO的样本点实现的概率是
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极端的
随机事件
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[例 ] 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下 事件：①A为“点数是3”；②B为“出现奇数 点”； ③C为“出现点数不超过6”；④D为“点数是7”。 [解] 因为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，所以
4. 经验概率
求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联 系的事件A，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件A 是否发生了。假如做了 n 次试验，而记录到事件A发生了 m 次 （即成功 m 次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件A 发生的频率
显然，频率具有双重性质：随机性和规律性. 当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极 限值就是用频率法所定义的概率，即
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[例] 根据上海市职业代际流动的统计，向下流动 的概率是0.07，静止不动的概率是0.6，求向上流动的 概率是多少？ [例] 为了研究父代文化程度对子代文化程度的影 响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占 30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而双方都具 有文化程度的占有10％，问从学生中任抽一名，父代 至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？
用回置法从一幅普通 扑克牌抽取两次，计算 得到两张爱司的概率。
用不回置法从一幅普 通扑克牌抽取两次，计算 得到两张爱司的概率。
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4. 排列和样本点的计数
要正确解决概率问题，往往光考虑乘法规则还不够，还要同时 考虑使用加法规则。一般最简单的做法是：首先确定一种符合要求 的排列方式并计算它们发生的概率，然后再考虑还有没有其他同样 符合要求的排列方式。如果存在着其他实现方式，并且都具有相同 的概率，就可以简单地把排列方式数与以某一给定的排列方式计算 的概率相乘。注意，后一步相当于使用了加法规则。
国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。
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1. 随机现象和随机事件
概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随 机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即 将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是 朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的 特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止 一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规 律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生 后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的 可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。 随机现象具有一定 条件呈现多种可能结 果的特性。
加法规则可推广到对两个以上的事件，若事 件A，B，C…K都互斥，那么有 P (A或B或C…或K)＝P(A)+P(B)+P(C)… +P(K)
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3.乘法规则
式中符号
和
代表条件概率。
应理
解为，“在B已经发生条件下A发生的概率”。条件概率的意思是， A发生的概率可能与B是否发生有关系。换言之，B已经发生时A发生 的概率可能有别于B没有发生时A发生的概率。
理解统计独立的概念，对于灵活运用概率的乘法规则 很重要。现在用条件概率来加以表达，统计独立是指
若A和B在统计上相互独立(无关) ，这时乘法规则可以简化为
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[例]假定有下列3000个社区的数据，如果随机地从这 个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率 低的社区的概率是多少? 属性 高犯罪率 低犯罪率 总和 大 600 600 1200 中 300 900 1200 小 100 500 600 总和 1000 2000 3000
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用古典 法求出 的概率
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这样对于含有m个样本点的事件A，其出现 的概率为
m P ( A) n
用古典法求算概 率，在应用上有两个 缺点：①它只适用于 有限样本点的情况； ②它假设机会均等， 但这些条件实际上往 往不能得到满足。
[例] 掷两枚均匀的硬币， ① 求“两枚都朝上”的概率； ②求 “一枚朝上，一枚朝下”的概率。
1.样本点 2.样本空间
Hale Waihona Puke 随机试验的每一个可能 的结果，称为基本事件 （或称样本点）
所有样本点的全体称作样本空 间(Sample space)，记作Ω
[例] 掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。
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随 机 事 件
简单事件：仅含样本空间中 一个样本点的事件。 复合事件：含样本空间中一 个样本点以上的的事件。 不可能事件：从样本空间来看 ， 不含任何基本事件，记作Φ 。 必然事件：从样本空间来看 ， 该事件事件是由其全部基本事件 所组成，记作S 。
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2. 事件之间的关系 （1）事件和（Or conjunction)——事件A与 事件B至少有一个事件发生所构成的事件C称为A 与B的事件和，记作 （2）事件积(As-well-as conjunction)——事 件A与事件B同时发生所构成的事件C称为A与B 的事件积，记作
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第一节 基础概率
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险 等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需 要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和为 9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？ 例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子 连掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚 掷24次，出现一次双6 的机会却很少。
（6）相互独立事件——事件A的发生与事 件B是否发生毫无关系，称A与B为相互独立事 件，记作
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两之 随间 机的 事关 件系
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3. 先验概率
在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古 典法和频率法。 由普拉斯1814年提出。以 想象总体为对象，利用模型本 身所具有的对称性来事先求得 概率，故被称为先验概率 。 条件： （1）在一样本空间中，各样本 点出现的机会均等； （2）该样本空间只有有限（n) 个样本点。
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频率稳定到概率这个事实，给了“机会大小”即概率一个浅显 而 说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的 统计学派也就被称为频率学派。
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比如： 法国统计学家蒲丰（Buffon）把铜板抛了4040次， 正面的次数是2048，比例是0.5069 。 1900年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次， 正面的次数是12012，比例是0.5005 南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了10000次， 正面的次数是5067，比例是0.5067 。 再如： 保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研 究表明20－24岁的男性中明年死亡的概率是 0.0015，同龄的女性是0.0005，保险公司对男性的 保费就多收一些。
[例]假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区， 得 到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率又是多少 属性 大 中 小 ? 总和 高犯罪率 低犯罪率 100 500 300 900 600 600 1000 2000
总和
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600
1200
1200
3000
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[例] 根据统计结果，男婴出生的概率是 22/43，女婴出生的概率是21/43，某单位有两 名 孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？都 生女婴的概率是多少？其中一男一女的概率是 多少？ [例] 某居民楼共20户，其中核心家庭为2 户，问访问两户都是核心家庭的概率是多少？ 问访问第二户才是核心家庭的概率是多少？
次序为AKK的样本点实现的概率是 次序为AAK的样本点实现的概率是 再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式 (AKK)含有3！／2!＝3种排列方式 (AAK)含有3！／2!＝3种排列方式 （AKO)含有3！＝6种排列方式 所以，在三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是
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[例] 假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现 其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌 曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流 行歌曲的，剩下来的学生两种歌曲都不喜欢。如果我们 随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A为该学生喜 欢民族歌曲，事件B为该学生喜欢流行歌曲。 ①用数字证明P(A且B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) ②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是 多少？ ③随机地选取一个由3个学生组成的样本，要求这三 个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是 多少？
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（3）事件的包含与相等——事件A发生必然 导致事件B发生，则称为B包含A记作
如果
则
（4）互斥事件——事件A和事件B不能同时 发生，则称B和A是互斥事件，或互不相容事 件，记作
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（5）对立事件——事件A与事件B是互斥事 件，且在一次试验中必有其一发生，称A与B为 对立事件（逆事件），记作
所有N个元
N个元素中，若其中第一组中有r1个不能
素都不相同的 情况下，排列 方式数为
区分的元素，第2组中有r2个不能区分的元 素，…，第k组中有rk个不能区分的元素， 且各组彼此是可以区分的，则总的排列数为
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[例] 从一幅洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置 法，求至少得到1张A和一张K的概率是多少? [解]按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1 张A和1张K，另l张非A非K，用符号(AKO)表示(其中“O”表示其 他)；抽到1张A和2张K，用符号(4KK)表示；抽到2张A和1张K，用 符号（AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不 同，必须对它们加以区别。 次序为AKO的样本点实现的概率是
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极端的
随机事件
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[例 ] 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下 事件：①A为“点数是3”；②B为“出现奇数 点”； ③C为“出现点数不超过6”；④D为“点数是7”。 [解] 因为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，所以