高一数学：对数函数及其性质测试题

高一数学：对数函数及其性质测试题

1．(2019年高考天津卷)设a＝log54，b＝(log53)2，c ＝log45，则()

A．a＜c＜bB．b＜c＜a

C．a＜b＜cD．b＜a＜c

解析：选D.a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.

2．已知f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上递减，那么f(x)在(1，＋∞)上()

A．递增无最大值B．递减无最小值

C．递增有最大值D．递减有最小值

解析：选A.设y＝logau，u＝|x－1|.

x∈(0,1)时，u＝|x－1|为减函数，∴a1.

∴x∈(1，＋∞)时，u＝x－1为增函数，无最大值．

∴f(x)＝loga(x－1)为增函数，无最大值．

3．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()

A.12

B.14

C．2D．4

解析：选C.由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解

得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.

4．函数y＝log13(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是

________．

解析：y＝log13u，u＝－x2＋4x＋12.

令u＝－x2＋4x＋120，得－26.

∴x∈(－2,2]时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，

∴y＝log13(－x2＋4x＋12)为减函数．

答案：(－2,2]

1．若loga2＜1，则实数a的取值范围是()

A．(1,2)B．(0,1)∪(2，＋∞)

C．(0,1)∪(1,2)D．(0，12)

解析：选B.当a＞1时，loga2＜logaa，∴a＞2；当0＜a＜1时，loga2＜0成立，故选B.

2．若loga2logb20，则下列结论正确的是()

A．0b1B．0a1

C．a1D．b1

解析：选B.∵loga2logb20，如图所示，

∴0a1.

3．已知函数f(x)＝2log12x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是()

A．[22，2]B．[－1,1]

C．[12，2]D．(－∞，22]∪[2，＋∞)

解析：选A.函数f(x)＝2log12x在(0，＋∞)上为减函数，则－1≤2log12x≤1，可得－12≤log12x≤12

解得22≤x≤2.

4．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为()

A.14

B.12

C．2D．4

解析：选B.当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a

＝12，与a＞1矛盾；

当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，

loga2＝－1，a＝12.

5．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上()

A．是增函数B．是减函数

C．先增后减D．先减后增

解析：选A.当a＞1时，y＝logat为增函数，t＝(a－1)x＋1为增函数，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数；当0＜a ＜1时，y＝logat为减函数，t＝(a－1)x＋1为减函数，

∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数．

6．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，则()

A．acB．ab

C．cbD．ca

解析：选B.∵13，则1e10，

∴01.则lge＝12lgelge，即ca.

∵01，∴(lge)2lge，即ba.

又c－b＝12lge－(lge)2＝12lge(1－2lge)

＝12lge?lg10e20，∴cb，故选B.

7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，如果alogb(x－3)＜1，则x的取值范围是________．

解析：∵0＜a＜1，alogb(x－3)＜1，∴logb(x－3)＞0. 又∵0＜b＜1，∴0＜x－3＜1，即3＜x＜4.

答案：3＜x＜4

8．f(x)＝log21＋xa－x的图象关于原点对称，则实数a的值为________．

解析：由图象关于原点对称可知函数为奇函数，

所以f(－x)＋f(x)＝0，即

log21－xa＋x＋log21＋xa－x＝0?log21－x2a2－x2＝0＝log21，

所以1－x2a2－x2＝1?a＝1(负根舍去)．

答案：1

9．函数y＝logax在[2，＋∞)上恒有|y|＞1，则a取值范围是________．

解析：若a＞1，x∈[2，＋∞)，|y|＝logax≥loga2，即loga2＞1，∴1＜a＜2；若0＜a＜1，x∈[2，＋∞)，|y|＝－logax≥

－loga2，即－loga2＞1，∴a＞12，∴12＜a＜1.

答案：12＜a＜1或1＜a＜2

10．已知f(x)＝?6－a?x－4a?x1?logax?x≥1?是R上的增函数，求a的取值范围．

解：f(x)是R上的增函数，

则当x≥1时，y＝logax是增函数，

∴a1.

又当x1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数．

∴6－a0，∴a6.

又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥65.

∴65≤a6.

综上所述，65≤a＜6.

11．解下列不等式．

(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；

(2)logx12＞1.

解：(1)原不等式等价于2x＋3＞05x－6＞02x＋3＞5x－6，解得65＜x＜3，

所以原不等式的解集为(65，3)．

(2)∵logx12＞1?log212log2x＞1?1＋1log2x＜0

?log2x＋1log2x＜0?－1＜log2x＜0

?2－1＜x＜20x＞0?12＜x＜1.

∴原不等式的解集为(12，1)．