2018中考数学专题复习——全等三角形
中考数学复习《全等三角形》专题(卷1)
《全等三角形》中考复习一. 选择题1. 如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≅△ACD的是( )A.BD=CEB.∠BDC=∠BECC.∠ACD=∠ABED.BE=CD2. 如下图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC于点D．则下列说法中正确的是（）①AD是∠BAC的角平分线；②∠ADC=60∘；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.A.①②③④B.②③④C.①②D.①②③3. 如图，若△MNP≅△MEQ，则点Q应是图中的()A.点AB.点BC.点CD.点D4. 全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A1B1C1是全等（合同）三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形如图①，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形如图②，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合如图①，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180∘如图②，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )A. B. C. D.5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理6. 如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画射线O′A′，以O′为圆心，OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′③以C′为圆心，CD的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′④过点D′画射线O′B′根据以上操作，可以判定△OCD≅ΔO′C′D′，其判定的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.HL7. 如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD//OA交OB于点D，点I是△OCD 的内心，连结OI，BI，∠AOB=β，则∠OIB等于()A.180∘−βB.180∘−12β C.90∘+12β D.90∘+β8. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带( )A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块二. 填空题三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上________根木条．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA=OB，再分别以点A、B 为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a,−a+8)，则a=________.如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠ABC=60∘，∠EAF=60∘，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF；②∠EAB=∠CEF；③△ABE∼△EFC；④若∠BAE=15∘，则点F到BC的距离为2√3−2.正确序号________.如图，△ABC中，点A的坐标为(0, 1)，点C的坐标为(4, 3)，如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是________．三. 解答题如图，小明用五根宽度相同的木条拼成了一个五边形，已知AE//CD，∠A=12∠C，∠B=120∘.(1)∠D+∠E=________度；(2)求∠A的度数；(3)要使这个五边形木架保持现在的稳定状态，小明至少还需钉上________根相同宽度的木条．根据要求完成下列各题．(1)如图1，在∠AOB的内部有一点P．①过点P画直线PC//OA交OB于点C；②过点P画直线PD⊥OA，垂足为D．(2)如图2，AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2，试说明∠3=∠E在下面解答中填空．解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠________=90∘（________），∴AB//CD（________）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（________），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（________）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF= BD，连接BF．(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．(3)当△ABC满足________条件时，四边形AFBD是正方形？（直接写出结论，不用说明理由）一条大河两岸的A、B处分别立着高压线铁塔，如图所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法．（要求，画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案）参考答案与试题解析一. 选择题1.【答案】D【解析】欲使△ABE≅△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．2.【答案】A【解析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≅△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30∘，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60∘；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30∘，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．3.【答案】D【解析】此题暂无解析4.【答案】B【解析】认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．5.【答案】B【解析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正确的选项即可．6.【答案】A【解析】此题暂无解析7.【答案】B 【解析】此题暂无解析8.【答案】B【解析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．二. 填空题【答案】3【解析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．【答案】2【解析】此题暂无解析【答案】①②【解析】①只要证明△BAE≅△CAF即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点F到BC的距离即可判断．【答案】(4, −1)或(−1, 3)或(−1, −1)【解析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．三. 解答题【答案】180(2)五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘，由(1)可知，∠D+∠E=180∘，又∠B=120∘，∠A=12∠C.设∠A=x，则∠C=2x，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540∘,即x+120∘+2x+180∘=540∘,解得x=80∘,∴∠A=80∘.2【解析】(1)根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补即可得到180∘.先由AE//CD，根据平行线的性质得出∠E+∠D=180∘．再根据∠B=120∘，∠A=12∠C，设∠A=x∘，则∠C=2x∘．利用五边形的内角和为540∘列出方程x+120+2x+180=540，求解即可.根据五边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性即可求解．【答案】解：（1）①如图，直线PC即为所求；②如图，直线PD即为所求；（2）解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠CDF=90∘（垂直的定义），∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（内错角相等，两直线平行），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（两直线平行，同位角相等）【解析】此题暂无解析【答案】解：(1)BD=CD．理由如下：依题意得AF // BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，{∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≅△DEC(AAS)，∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；(2)当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF // BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90∘，∴四边形AFBD是矩形．AB=AC，∠BAC=90∘【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90∘，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【答案】解：在河南岸AB的垂线BF上取两点C、E，使CE=BE，再定出BF的垂线CD，使A、E、D在同一条直线上，这时测得CD的长就是AB的长．如图所示：【解析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．。
(中考考点梳理)三角形及其全等-中考数学一遍过
考点14 三角形及其全等一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；学科-网（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例1 小芳有两根长度为6cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．A．2cm B．3cmC．12cm D．15cm【答案】C【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12cm的木条．故选C．1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cmC．3cm，4cm，5cm D．1cm，2cm，3cm考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例2 如图，下列有四个说法，正确的个数是①∠B ＞∠ACD ；②∠B +∠ACB =180°–∠A ；③∠A +∠B =∠ACD ；④∠HEC ＞∠ B ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①∠B <∠ACD ，故①错误； ②∠B +∠ACB =180°–∠A ，故②正确； ③∠A +∠B =∠ACD ，故③正确；④∠HEC =∠AED ＞∠ACD ＞∠B ，则∠HEC ＞∠B ，故④正确． 故选C ．2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．考向三 三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例3 在△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =2，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 中点，连接DF ，FE ，则四边形DBEF 的周长是A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】B典例4 如图，点G 为△ABC 的重心，则S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG 的值是A ．1∶2∶3B ．2∶1∶2C ．1∶1∶1D ．无法确定【答案】C【解析】如图，分别延长AG 、CG 、BG ，交BC 、AB 、AC 于点D 、F 、E ，根据三角形重心的定理得到AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形可得，ABD ACD BDG CDG S S S S ∆∆∆==，即可得ABG ACG S S ∆∆=，同理可得ABG BCG S S ∆∆=，所以=ABG BCG ACG S S S ∆∆∆=，即S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG =1∶1∶1，故选C ．4．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考向四 全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SAS HLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→ （2）已知一边、一角AAS SAS ASA AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→ （3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→ 2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例5 如图，已知∠ADB =∠CBD ，下列所给条件不能证明△ABD ≌△CDB 的是A ．∠A =∠CB ．AD =BC C ．∠ABD =∠CDB D ．AB =CD【答案】D【解析】A ．∵∠A =∠C ，∠ADB =∠CBD ，BD =BD ，∴△ABD ≌△CDB （AAS ），故正确；B ．∵AD =BC ，∠ADB =∠CBD ，BD =DB ，∴△ABD ≌△CDB （SAS ），故正确；C ．∵∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，BD =DB ，∴△ABD ≌△CDB （ASA ），故正确；D ．∵AB =CD ，BD =DB ，∠ADB =∠CBD，不符合全等三角形的判定方法，故不正确，故选D．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是A．0 B．1C．2 D．36．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．1．如图所示，其中三角形的个数是A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列图形不具有稳定性的是A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为A．45° B．55°C．65° D．50°4．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC__________的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线5．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠1=∠26．如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是A ．∠DAE =∠CBEB ．△DEA 不全等于△CEBC ．CE =DED ．△EAB 是等腰三角形7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．8．如图所示，AB ⊥BE 于点B ，DE ⊥BE 于点E .(1)若∠A =∠D ，AB =DE ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________； (2)若∠A =∠D ，BC =EF ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________； (3)若AB =DE ，BC =EF ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________； (4)若AB =DE ，AC =DF ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________.学-科网9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 是中线，AF ⊥BD ，F 为垂足，过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E .求证：(1)∠ABD =∠FAD ；(2)AB =2CE .10．如图，，，于D ，于E ，且．求证：．AB AC =90BAC ∠= BD AE ⊥CE AE ⊥BD CE >BD EC ED =+11．如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M 点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？1．（2018•柳州）如图，图中直角三角形共有A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2018•河北）下列图形具有稳定性的是A．B．C．D．3．（2017•河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是A．中线B．角平分线C．高D．中位线4．（2018•百色）顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的A．重心B．外心C．内心D．中心5．（2018•毕节市）已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是A．4 B．6C．8 D．106．（2018•贵阳市）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是A．线段DE B．线段BEC．线段EF D．线段FG7．（2018•昆明）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为A．90°B．95°C．100°D．120°8．（2018•青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于A．150°B．180°C．210°D．270°9．（2018•广西）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于A．40°B．45°C．50°D．55°10．（2018•聊城市）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°–α–β11．（2018•黔西南州市）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙12．（2018•安顺市）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACDA．∠B=∠C B．AD=AEC．BD=CE D．BE=CD13．（2018•南京市）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥A D．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为A．a+c B．b+cC．a–b+c D．a+b–c14．（2018•辽阳市）如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为A．5 B．24 5C．4 D．12 515．（2018•绵阳市）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=__________．16．（2018•泰州）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为__________．17．（2018•陇南市）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a–7|+（b–1）2=0，c为奇数，则c=__________．18．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△ED C．19．（2018•云南）如图，已知AC平分∠BAD，AB=A D．求证：△ABC≌△ADC．4．【答案】3【解析】由勾股定理知AD3=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：3．5．【答案】D【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AOE =∠BOE ，∴点E 在∠O 的平分线上，故③正确， 故选D ．6．【解析】∵AC ⊥BE ，∴∠BAD =∠CAE =90°，在Rt △ABD 和Rt △ACE 中，BD CEAB AC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ），∴AD =AE ．1．【答案】D【解析】图中的三角形有：△ABC ，△BCD ，△BCE ，△ABE ，△CDE 共5个.故选D ． 2．【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A 不具有稳定性，故选A ． 3．【答案】B【解析】设两个锐角分别为x 、y ，由题意得，，解得，所以最大锐角为55°．故选B ． 4．【答案】A【解析】∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上， ∴这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A ． 5．【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE ≌△DBC 还需补充条件AB ，BE 与BC ，BD 的夹角相等，即∠ABE =∠CBD 或者∠1=∠2，故选D ． 6．【答案】B【解析】∵∠1+∠C +∠ABC =∠2+∠D +∠DAB =180°，且∠1=∠2，∠C =∠D ， ∴∠ABC =∠DAB ，∴∠ABC –∠2=∠DAB –∠1，∴∠DAE =∠CBE ．故A 正确；∵∠1=∠2，∴AE =BE .在△DEA 和△CEB 中DAE CBE C D AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEA ≌△CEB （AAS ），故B 错误；由△DEA ≌△CEB 可得CE =DE ．故C 正确．∵∠1=∠2，∴BE =AE ，∴△EAB 是等腰三角形故D 正确；故选B ．=90=20x y x y +︒-︒⎧⎨⎩=55=35x y ︒︒⎧⎨⎩7．【答案】135 【解析】如图所示：由题意可知△ABC ≌△EDC ，∴∠3=∠BAC ， 又∵∠1+∠BAC =90°，∴∠1+∠3=90°，∵DF =DC ，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度， 故答案是：135．8．【答案】ASA ，AAS ，SAS ，HL【解析】(1)在△ABC 和△DEF 中，因为∠B =∠E =90°， AB =DE ，∠A =∠D ，所以△ABC ≌△DEF (ASA)； (2)在△ABC 和△DEF 中，因为∠B =∠E =90°， ∠A =∠D ，BC =EF ，所以△ABC ≌△DEF (AAS)； (3)在△ABC 和△DEF 中，因为AB =DE ，∠B =∠E =90°， BC =EF ，所以△ABC ≌△DEF (SAS)；(4)在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，因为AC =DF ，AB =DE ， 所以Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL)． 故答案为：ASA ；AAS ；SAS ；HL.10．【解析】，，，，，， ，90BAC ∠= CE AE ⊥BD AE ⊥90ABD BAD ∠∠∴+= 90BAD DAC ∠∠+= 90ADB AEC ∠∠== ABD DAC ∠∠∴=在和中，，∴≌（AAS ），，， ，∴BD =EC +ED ．11．【解析】（1）如图，∵CM 和DM 的夹角为90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA =90°，∴∠2+∠D =90°，∴∠1=∠D ，在△CAM 和△MBD 中，，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM =DB ，AC =MB ， ∵AC =3m ，∴MB =3m ，∵AB =12m ，∴AM =9m ，∴DB =9m ； （2）9÷0.5=18（s ）．学_科网答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．1．【答案】CABD CAE ABD EAC BDA E AB AC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩ABD CAE BD AE ∴=EC AD =AE AD DE =+ 1A B D CM MD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选C．2．【答案】A【解析】三角形具有稳定性．故选A．3．【答案】A【解析】∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．4．【答案】A【解析】三角形三条中线的交点是三角形的重心，故选A．5．【答案】C【解析】设第三边长为x，则8–2<x<2+8，6<x<10，故选C．6．【答案】B【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，故选B．7．【答案】B【解析】∵CO=AO，∠AOC=130°，∴∠CAO=25°，又∵∠AOB=70°，∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°，故选B．8．【答案】C【解析】如图：∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°–∠C=30°+90°+180°–90°=210°，故选C ． 9．【答案】C【解析】∵∠A =60°，∠B =40°，∴∠ACD =∠A +∠B =100°， ∵CE 平分∠ACD ，∴∠ECD =12∠ACD =50°，故选C ． 10．【答案】A【解析】由折叠得：∠A =∠A '，∵∠BDA '=∠A +∠AFD ，∠AFD =∠A '+∠CEA '， ∵∠A =α，∠CEA ′=β，∠BDA '=γ，∴∠BDA '=γ=α+α+β=2α+β，故选．11．【答案】B【解析】乙和△ABC 全等；理由如下：在△ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS ，所以乙和△ABC 全等； 在△ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS ，所以丙和△ABC 全等； 不能判定甲与△ABC 全等；故选B ．13．【答案】D【解析】∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠CED =90°，∠A +∠D =90°，∠C +∠D =90°，∴∠A =∠C ，∵AB =CD ，∴△ABF ≌△CDE ，∴AF =CE =a ，BF =DE =b ， ∵EF =c ，∴AD =AF +DF =a +（b –c ）=a +b –c ，故选D ． 14．【答案】B【解析】由题意可得，OC 为∠MON 的平分线， ∵OA =OB ，OC 平分∠AOB ，∴OC ⊥AB ， 设OC 与AB 交于点D ，作BE ⊥AC 于点E ，∵AB =6，OA =5，AC =OA ，OC ⊥AB ，∴AC =5，∠ADC =90°，AD =3， ∴CD =4，∵2AB CD ⋅=2AC BE ⋅，∴642⨯=52BE ⨯，解得，BE =245，故选B ． 15【解析】∵AD 、BE 为BC ，AC 边上的中线，∴BD =12BC =2，AE =12AC =32，点O 为△ABC 的重心，∴AO =2OD ，OB =2OE ， ∵BE ⊥AD ，∴BO 2+OD 2=BD 2=4，OE 2+AO 2=AE 2=94，∴BO 2+14AO 2=4，14BO 2+AO 2=94，∴54BO 2+54AO 2=254，∴BO 2+AO 2=5，∴AB． 16．【答案】5【解析】根据三角形的三边关系，得4<第三边<6． 又第三条边长为整数，则第三边是5．故答案为：5． 17．【答案】7【解析】∵a ，b 满足|a –7|+（b –1）2=0，∴a –7=0，b –1=0，解得a =7，b =1， ∵7–1=6，7+1=8，∴6<c <8，又∵c 为奇数，∴c =7，故答案是：7．18．【解析】∵在△ABC 和△EDC 中，，∴△ABC ≌△EDC （ASA ）．19．【解析】∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC =∠DAC ，在△ABC 和△ADC 中，，∴△ABC ≌△ADC ．A EAC EC ACB ECD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩AB AD BAC DAC AC AC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩。
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。
2018中考数学专题复习 全等三角形压轴题分类解析(无答案)
三角形综合题归类考点：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.BAC E FQPD A BCDEF图9ABCDE F4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长 线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用1. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由． MED CBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．l(1)A B(F) (E)C PABECFPQ (2) lABEC FP l(3)Q当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．FEDCBA图1AECF BD图2AECFBD图32. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。
全等三角形-中考数学总复习精品课件
三角形全等的条件
如何找边相等、 角相等
1.找“角”相等的途径主要有:对顶角相等;两直线平行,同位角、 内错角相等;余角等角代换;角平分线;平行四边形对角相等等.
2.找“边”相等主要借助中点、平行四边形对边相等来证明.
三角形全等的证明
如何找边相等、 角相等
3．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．
垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
3 A.2
B．2
C．2 2
D. 10
61．2如0° 图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB， ③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是_②_____(只填序号)．
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
平移加翻折型
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，且 BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，EC＝2，则下列结论中错误的是
( C)
A．BE＝3 B．∠F＝35° C．DF＝5 D．AB∥DE
平移型
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果
对称型
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，AABC＝ ＝AADC，，∴△ABC≌△ADC(SSS)， BC＝DC，
∴∠BAC＝∠DAC，即 AC 平分∠BAD (2) 由 (1) 得 ∠BAE ＝ ∠ DAE ， 在 △BAE 和 △DAE 中 ，
BA＝DA， ∠BAE＝∠DAE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE＝DE AE＝AE，
2018年全国用苏科版中考数学复习高频集训(6) 以全等三角形为背景的中档计算题与证明题
[高频集训(六) 以全等三角形为背景的中档计算题与证明题]类型一全等三角形开放探究1．【2016·怀化】如图G6－1，已知AD＝BC，AC＝BD．(1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．图G6－12．【2017·莱芜】己知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．(1)如图G6－2①所示，连接AE、DB．试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．图G6－23．【2015·潜江、天门】我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图G6－3，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD．请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．图G6－3类型二全等三角形图形变换探究性问题4．如图G6－4所示，在直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB(此时点P与点B重合)．(1)点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时(如图G6－4所示)，求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？(2)求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的表达式．图G6－45．【2017·赤峰】△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．(1)当∠AOB＝90°时，如图G6－5①，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；(2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时，如图②，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明；(3)仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形，如图③，求∠AOB的度数．图G6－56．一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图G6－6，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O．点P、D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E．求证：△BPO≌△PDE．(1)理清思路，完成解答．本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；(2)特殊位置，证明结论．若BP平分∠ABO，其余条件不变，求证：AP＝CD；(3)知识迁移，探索新知．若P是一个动点，当点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．(不必写解答过程)图G6－6参考答案1．【解析】 (1)根据SSS 定理推出全等即可；(2)根据全等得出∠OAB＝∠OBA ，根据等角对等边即可得到结论． 解：(1)证明：在△ADB 和△BCA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AB ＝BA ，BD ＝AC ，∴△ADB ≌△BCA. (2)OA ＝OB.理由：∵△ADB≌△BCA， ∴∠ABD ＝∠BAC， ∴OA ＝OB.2．解：(1)AE ＝DB ，AE ⊥DB.理由：由题意可知，CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD＝90°， ∴Rt △ACE ≌Rt △BCD. ∴AE ＝DB.延长DB 交AE 于点M ，∵Rt △ACE ≌Rt △BCD ， ∴∠AEC ＝∠BDC.又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC ＋∠EAC＝90°， ∴在△AMD 中，∠AMD ＝180°－90°＝90°， ∴AE ⊥DB.(2)DE ＝AF ，DE ⊥AF.理由：设ED 与AF 相交于点N ，由题意可知，BE ＝AD. ∵∠EBD ＝∠C ＋∠BDC＝90°＋∠BDC， ∠ADF ＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC， ∴∠EBD ＝∠ADF，又∵DB＝DF ，∴△EBD≌△ADF. ∴DE ＝AF ，∠E ＝∠FAD， ∵∠E ＝45°，∠EDC ＝45°， ∴∠FAD ＝45°.∴∠AND ＝90°. ∴DE ⊥AF.3．解：(1)∠DAB＝∠DCB；(2)BD 平分∠ADC 和∠ABC；(3)DB⊥AC，DB 平分AC.结论(1)的证明：在△ABD 和△CBD 中， ∵AB ＝CB ，AD ＝CD ，DB ＝DB ，∴△ABD ≌△CBD ，∴∠DAB ＝∠DCB. 结论(2)的证明：同上△ABD≌△CBD， ∴∠ADB ＝∠CDB，∠ABD ＝∠CBD. 即BD 平分∠ADC 和∠ABC.结论(3)的证明：∵AD＝CD ，∴点D 在线段AC 的垂直平分线上．同理点B 在线段AC 的垂直平分线上，∴DB ⊥AC ，DB 平分AC.4．【解析】 (1)根据△AOB 与△ACP 都是等边三角形，得到AO ＝AB ，AC ＝AP ，∠CAP ＝∠OAB＝60°.∠CAP ＋∠PAO＝∠OAB＋∠PAO.从而∠CAO＝∠PAB.证明出△AOC≌△ABP.从这两个三角形的全等关系可以判断出点P 在过点B 且与AB 垂直的直线上；(2)由△AOB 是等边三角形，求出点A 和点B 的坐标，当点C 移动到使点P 在y 轴上时，得到点P 的坐标，根据待定系数法求出一次函数的表达式．解：(1)证明：∵△AOB 与△ACP 都是等边三角形， ∴AO ＝AB ，AC ＝AP ，∠CAP ＝∠OAB＝60°， ∴∠CAP ＋∠PAO＝∠OAB＋∠PAO， ∴∠CAO ＝∠PAB. ∴△AOC ≌△ABP.结论：点P 在过点B 且与AB 垂直的直线上或PB⊥AB 或∠ABP＝90°. (2)点P 所在函数图象是过点B 且与AB 垂直的直线．∵△AOB 是等边三角形，A(0，3)，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫3 32，32. 当点C 移动到使点P 在y 轴上时，得P(0，－3)．设点P 所在直线的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把P 、B 两点的坐标代入，得 ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，3 32k ＋b ＝32，解得⎩⎨⎧k ＝3，b ＝－3，所以点P 所在函数图象的表达式为y ＝3x －3.5．解：(1)EP ＝EQ.连接OE.∵∠AOB＝90°，E 是AB 的中点， ∴OE ＝AE.又∵OP＝AP ，∴PE 垂直平分OA ， ∵C 为OA 中点，∴点C 在PE 上． ∵∠OPA ＝90°，∴∠OPE ＝12∠OPA＝45°.同理可证∠OQE＝45°.∴EP ＝EQ.(2)成立．∵△OPA 是等腰直角三角形，点C 是OA 的中点， ∴OC ＝PC ，∠PCA ＝90°.∵点C 、D 、E 分别是OA 、OB 、AB 的中点， ∴CE ∥OD ，OC ∥DE.∴四边形ODEC 是平行四边形，∠ACE ＝∠AOD＝∠EDB. ∴OC ＝DE.∴PC ＝DE.同理可证CE ＝DQ ，∠BDQ ＝90°. ∴∠PCE ＝∠EDQ. ∴△PCE ≌△EDQ. ∴EP ＝EQ. (3)连接OG.∵△OPA 是等腰直角三角形，点C 是OA 的中点， ∴OC ＝PC ，∠PCA ＝90°.∴PC 垂直平分OA.∵点G 在PC 上，∴AG ＝OG.同理可证QD 垂直平分OB ，∴BG ＝OG. ∴∠GAO ＝∠GOA，∠GOB ＝∠GBO，∵△ABG 为等边三角形，∴∠AGB ＝60°.∵四边形AOBG 的内角和为360°，∠AOB ＝∠GOA＋∠GOB，∴∠AOB 的度数＝12(四边形的内角和－∠AGB 的度数)＝12(360°－60°)＝150°.6．【解析】 (1)先利用等腰三角形的性质与判定证∠3＝∠4，再根据AAS 证△BPO≌△PDE 即可； (2)先证∠ABP＝∠4，再根据AAS 证明△ABP≌△CPD，即可得出答案； (3)设OP ＝PC ＝x ，求出AP ＝3x ，CD ＝2x 即可得到答案． 解：(1)证明：∵PB＝PD ，∴∠PBD ＝∠2. ∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠C ＝45°.∵BO ⊥AC 于点O ，∴∠1＝45°，∴∠1＝∠C＝45°. ∵∠3＝∠PBD－∠1，∠4＝∠2－∠C， ∴∠3＝∠4.又∵BO⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BOP ＝∠PED＝90°. ∵PB ＝PD ，∴△BPO ≌△PDE.(2)证明：由(1)可得∠3＝∠4.∵BP 平分∠ABO， ∴∠ABP ＝∠3，∴∠ABP ＝∠4. 又∵∠A＝∠C，PB ＝PD ， ∴△ABP ≌△CPD ， ∴AP ＝CD.(3)CD′与AP′的数量关系是CD′＝23AP′. 理由如下：设OP ＝PC ＝x(如图)，则AO ＝OC ＝2x ＝BO ，AP ＝2x ＋x ＝3x ，由(1)知BO ＝PE ，∴PE ＝2x ，∴CE ＝2x －x ＝x.∵∠E＝90°，∠ECD ＝∠ACB＝45°，∴DE ＝x ，由勾股定理得CD ＝2x ，即AP ＝3x ，CD＝2x，∴CD′与AP′的数量关系是CD′＝23 AP′.。
专题02 全等三角形模型解题九年级数学中考复习专题训练模型解题高分攻略(教师版)
专题二全等三角形模型解题解题模型一平移模型针对训练1．（2018•桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．解题模型二对称模型针对训练2．（2018•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．3．（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．图示：图示：4．（2018•乐山）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．5．（2018•武汉）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．6．（2017•郴州）已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．7．（2018•泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．8．（2018•镇江）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=°．解题模型三旋转模型针对训练8．（2018•昆明）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．求证：BC=DE．10．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．11．（2017•常州）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．图示：12．（2017•恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．解题模型四平移+旋转模型针对训练13．（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．14．（2018•铜仁）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥FB．15．（2017•孝感）如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF=DE，求证：AB∥CD．图示：16．（2018•怀化）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．解题模型五角平分线模型针对训练17.（2016•咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，.求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．图示：解题模型六三垂直模型针对训练18.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．19.如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．图示：解题模型一平移模型针对训练1．（2018•桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．【分析】（1）求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等．解题模型二对称模型图示：针对训练2．（2018•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．图示：3．（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用S AS证明△ADE≌△CBE即可．【解答】证明：在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（SAS）.∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．4．（2018•乐山）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．【分析】由∠3=∠4可以得出∠ABD=∠ABC，再利用ASA就可以得出△ADB≌△ACB，就可以得出结论．【点睛】本题考查了等角的补角相等的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5．（2017•郴州）已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．【分析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．6．（2018•武汉）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF.∴BF=CE.在△ABF和△DCE中，[来源:]∴△ABF≌△DCE（SAS）.∴∠GEF=∠GFE.∴EG=FG．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．7．（2018•泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO 与△CDO全等，所以有OB=OC．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．8．（2018•镇江）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=75°．【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB=AC，∠B=∠ACF，BE=CF，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．￥解题模型三旋转模型针对训练9．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断．【解答】证明：∵在△ABC和△EDC中，图示：，∴△ABC≌△EDC（ASA）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．10．（2018•昆明）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．求证：BC=DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等.11．（2017•常州）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论；（2）根据∠ACD=90°，AC=CD，得到∠2=∠D=45°，根据等腰三角形的性质得到∠4=∠6=67.5°，由平角的定义得到∠DEC=180°﹣∠6=112.5°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．12．（2017•恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．【分析】利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，可得可得∠CAE=∠CBD，根据“八字型”证明∠AOP=∠PCB=60°即可．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．解题模型四平移+旋转模型针对训练13．（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可；【解答】解：结论：DF=AE．理由：∵AB∥CD，∴∠C=∠B.∵CE=BF，图示：∴CF=BE.又∵CD=AB，∴△CDF≌△BAE（SAS）.∴DF=AE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．14．（2017•孝感）如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF=DE，求证：AB∥CD．[来源:Z|xx|]【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠B=∠D，根据平行线的判定，可得答案．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用等式的性质得出BE=DF是解题关键，又利用了全等三角形的判定与性质．15．（2018•铜仁）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥FB．【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是SSS证明△ACE≌△BDF．16．（2018•怀化）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥DC，∴∠A=∠C.在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）.（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD.∵EG=5，∴CD=10.∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．解题模型五角平分线模型针对训练17.（2016•咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，.求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的性质及判定，利用图形写出已知条件和求证是解图示：答此题的关键．解题模型六三垂直模型针对训练18.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．【分析】先证明∠BCE=∠CAD，再证明△ADC≌△CEB，可得到AD=CE，DC=EB，等量代换，可得出DE=AD+BE．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．证明两线段的和等于一条线段常常借助三角形全等来证明，要注意运用这种方法图示：19.如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．【分析】分析图可知，全等三角形为：△ACD≌△CBE．根据这两个三角形中的数量关系选择ASA证明全等．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．。
2018年中考数学专题复习《全等三角形》模拟演练含答案
中考专题复习模拟演练:全等三角形一、选择题1.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A. 带（1）去B. 带（2）去C. 带（3）去D. 带（1）（2）去2.已知：△ABC≌△DEF，AB=DE，∠A=70°，∠E=30°，则∠F的度数为（）A. 80°B. 70°C. 30°D. 100°3.如图,在△ABC中,∠C=90°,ED⊥AB于点D,BD=BC,若AC=6 cm,则AE+DE等于( )A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 7 cm4.如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝3，则EC的长为（）A. 2B. 3C. 5D. 2.55.如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G．则旋转后的图中，全等三角形共有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对6.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE 交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：①CE=BD=2；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，图中的全等三角形的对数（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对8.如图已知△ABE≌△ACD, AB=AC, BE=CD，∠B=40°,∠AEC=120°则∠DAC的度数为（）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°9.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°10.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是( )A. B. C. D.二、填空题11.用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是________12.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2 ．以上结论中，你认为正确的有________．（填序号）13.如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）________ ．14.如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于________15.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有________（填序号）．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E 离开点A后，运动________秒时，△DEB与△BCA全等．17.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图7，则∠EAB是多少度？请你说出∠EAB= ________度18.如图（1）所示，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面的一点，连接BD、CD；如图（2）已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面的三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次规律，第N个图形中有全等三角形的对数是________．三、解答题19.已知，如图：AE⊥AB，BC⊥AB，AE=AB，ED=AC．求证：ED⊥AC．20.如图，两根旗杆AC与BD相距12m，某人从B点沿AB走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线夹角为90°，且CM=DM．已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为0.5m/s，求这个人走了多长时间？21.如图1，等边△ABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．（1）求证：AE∥BC；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．22.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）证明：BE=CF；（2）如果AB=16，AC=10，求AE的长．23.将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放．（1）如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到图2，则∠GBM=________；（2）将△BEF绕点B旋转．①当M，N分别在AD，CD上（不与A，D，C重合）时，线段AM，MN，NC之间有一个不变的相等关系式，请你写出这个关系式：________；（不用证明）②当点M在AD的延长线上，点N在DC的延长线时（如图3），①中的关系式是否仍然成立？若成立，写出你的结论，并说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．24.已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．参考答案一、选择题C A C B C CD A B C二、填空题11.SSS12.①③④13.2114.60°或120°15.①②③16.0，2，6，817.3518.n（n+1）三、解答题19.证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAD=∠CBA=90°，在Rt△ADE和中Rt△ABC中，，∴Rt△ADE≌Rt△ABC（HL），∴∠EDA=∠C，又∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠CAB+∠C=90°∴∠CAB+∠EDA=90°，∴∠AFD=90°，∴ED⊥AC20.解：∵∠CMD=90°，∴∠CMA+∠DMB=90°，又∵∠CAM=90°，∴∠CMA+∠ACM=90°，∴∠ACM=∠DMB，在△ACM和△BMD中，，∴△ACM≌△BMD（AAS），∴AC=BM=3m，∴他到达点M时，运动时间为3÷0.5=6（s），答：这个人从B点到M点运动了6s．21.（1）证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，在△BDC与△ACE中，，∴△DBC≌△ACE（SAS），∴∠B=∠CAE，∴∠B=∠CAE=∠BAC=60°，∴∠CAE+∠BAC=∠BAE=120°，∴∠B+∠BAE=180，∴AE∥BC（2）成立，证明如下：∵△DBC≌△ACE，∴∠BDC=∠AEC，在△DMC和△AME中，∵∠BDC=∠AEC（已证），∴∠DMC=∠EMA，∴△DMC∽△EMA，∴∠EAM=∠DCM=60°，∴∠EAC=120°，又∵∠DCA+∠CAE=∠DCE+∠ECA+CEA=180°+∠ECA，∴AE∥BC22.（1）证明：如图，连接BD、CD．∵DG⊥BC，BG=GC，∴DB=DC，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴△DEB≌△DFC，∴BE=CF．（2）解：在Rt△ADE和rT△ADF中，，∴△ADE≌△ADF，∴AE=AF，∴AB﹣BE=AC+CF，∴2AE=AB﹣AC=16﹣10，∴AE=323.（1）45°（2）MN=AM+CN24.（1）解：全等．∵四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，所以∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，所以∠A1DE=∠CDF，所以△EDA1≌△FDC（ASA）（2）解：△B1DG和△EA1G全等．与△B1DG相似，设FC= ，则B1F=BF= ，B1C= DC=1，△FCB所以，所以，所以△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3（3）解：△FCB1与△B1DG全等．设，则有，，在直角中，可得，整理得，解得 (另一解舍去)，所以，当B1C= 时，△FCB1与△B1DG全等．。
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中考数学专题复习——全等三角形一、选择题1. （2018年山东省潍坊市）如图, Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC ,平分∠ABC ，交A D 于E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ）A.AB =BFB.AE =EDC.AD =DCD.∠ABE =∠DFE ，AB C D EF2.(2018年成都市)如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF3．（08绵阳市）如图，O 是边长为1的正△ABC 的中心，将△ABC 绕点O 逆时针方向旋转180°，得△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）．A ．33 B ．43 C ．63 D ．834.(2018 台湾)如图，有两个三角锥ABCD 、EFGH ，其中甲、乙、丙、丁分别表示❒ABC 、❒ACD 、 ❒EFG 、❒EGH 。
若∠ACB =∠CAD =∠EFG =∠EGH =70︒，∠BAC =∠ACD =∠EGF =∠EHG =50︒，则下列叙述何者正确？ ( )(A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B) 甲、乙全等，丙、丁不全等(C) 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等5.（2018年湖南省邵阳市）如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠6.（2018年江苏省无锡市）如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置，已知45AOB ∠= ，则AOD ∠等于（ ）Ａ．55Ｂ．45Ｃ．40Ｄ．35二、填空题1、（2018年山东省滨州市）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。
QPO BEDC ACADP B图（四）2. （2018年山东省滨州市）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则a n =________________（用含n 的代数式表示）.3..（2018年江苏省南通市）已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.4．（08厦门市）如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，4cm GC =，3cm GB =，将A D G △绕点D 旋转180 得到B D E △，则DE =cm ，ABC △的面积= cm 2．5．（08莆田市）在正三角形，正四边形，正五边形和正六边形中不能单独密铺的是__________. 6..（2018佳木斯市3）如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD =（只添一个即可）．A BEG CDO ABDE7. (2018山东济宁)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明A OB AOB '''∠=∠的依据是 ．三、简答题1、（2018年四川省宜宾市）已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OCBA2、（2018年浙江省衢州市）如图，AB ∥CD(1)用直尺和圆规作C ∠的平分线CP ，CP 交AB 于点E(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)中作出的线段CE 上取一点F ，连结AF 。
要使△ACF ≌△AEF ，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。
3.（2018浙江金华）如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，AC 与BD 相交于点。
， AB = DC ，AC = BD. (1)求证: ΔABC ≌ΔDCB ；(2) Δ0BC 的形状是 。
(直接写出结论，不需证明) 。
ABC DDO CBA4.（2018山东威海）（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求证：AF ⊥BE ．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置， 点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ． 问AF 与BE 是否垂直？并说明理由．5. （2018年山东省临沂市）已知∠MAN ，AC 平分∠MAN 。
⑴在图1中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：AB ＋AD ＝AC;⑵在图2中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;图 1ACEACE图 2⑶在图3中：①若∠MAN ＝60°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC;②若∠MAN ＝α（0°＜α＜180°），∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC （用含α的三角函数表示），并给出证明。
6.(2018年浙江省绍兴市)学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题： 如图，点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上， 且BM CN =，AM BN ，交于点Q ．求证：60BQM = ∠．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出 了许多问题，如：①若将题中“BM CN =”与“60BQM =∠”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M N ，分别移动到BC CA ，的延长线上，是否仍能得到60BQM =∠？ ③若将题中的条件“点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上”改为“点M N ，分别在正方形ABCD 的BC CD ，边上”，是否仍能得到60BQM =∠？……请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．7.(2018年天津市)已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ． （Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=； 思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．ACNQMBA MN DB C A M N DB C A MN D B C请你完成证明过程：（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．8.(2018年沈阳市)已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AMN △是等腰三角形．（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：PBD AMN △∽△．9.(2018年乐山市)如图（10），AC ∥DE ， BC ∥EF ，AC ＝DE 求证：AF ＝BDCABE F MN 图②CABEF M N 图①C E ND A BM图① C A EM B D N图②10．（2018年陕西省）已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，ACD B ∠=∠．求证：ABC CDE △≌△．11.（2018年江苏省无锡市）已知一个三角形的两条边长分别是1cm 和2cm ，一个内角为40． （1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm 和4cm ，一个内角为40”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．图1ADBC EAFA EDBC12.（2018年江苏省苏州市）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠．求证：（1）ABC ADC △≌△； （2）BO DO =．13.(2018 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证： CG AE =；14.(2018 重庆)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。
求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE15.(2018 湖北 荆门)将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．DCBA O1 23 4(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； (2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数=______；(3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．．16.(2018 四川 广安)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点，连接AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：CF =AD ；（2）若AD =2，AB =8，当BC 为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，为什么？17.(2018 河北)如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且A C B C =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜AEBCFD(2)A CBE D EA CB EDl(3) l D ’F A C BED(4)A CB E D l E ’C ’想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．18.（2018 四川 泸州）如图4，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ， 求证：DE=BFF ED CB A19.(2018 河南)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 中内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连结BQ 、CP 则BQ ＝CP 。