几个分数单位之和等于一个分数单位

几个分数单位之和等于一个分数单位

几个定理：

1：n个互不相等的非零自然数之和大于其中最小的一个数的n倍；小于其中最大的一个数的n倍；

2：如果一个非零自然数大于另一个非零自然数，那么，这个数的倒数一定小于另一个数的倒数。

例如1／﹙﹚﹢1／﹙﹚﹢1／﹙﹚＝1／2

即1／X﹢1／Y﹢1／Z＝1／2(X,Y,Z为互不相等的非零自然数)写出满足条件的所有的值。

根据条件设：1／X＞1／Y＞1／Z

∴1／X﹢1／Y﹢1／Z＜3／X ﹙定理1﹚

∵1／X﹢1／Y﹢1／Z＝1／2

∴1／2＜3／X 即3／X＞1／2

得X＜6

∵X＝1或2不满足题意

所以X只能取3 ，4 ，5

一：当X＝3时1／Y﹢1／Z＝1／2－1／3＝1／6

∵1／Y﹢1／Z＜2／Y

1／Y﹢1／Z＝1／6

∴2／Y＞1／6 Y＜12

Y＝1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6不满足题意

∴Y只能取7，8，9,10,11

1：当Y＝7时

1／Z＝1／6－1/7＝1／42﹛X＝3 Y＝7 Z＝42 2：当Y＝8时

1／Z＝1／6－1/8＝1／24﹛X＝3 Y＝7 Z＝24 3：当Y＝9时

1／Z＝1／6－1/9＝1／18﹛X＝3 Y＝7 Z＝18 4：当Y＝10时

1／Z＝1／6－1/10＝1／15﹛X＝3 Y＝7 Z＝15 5：当Y＝11时

1／Z＝1／6－1/11＝5／66﹛无解

二：当X＝4时

1／Y﹢1／Z＝1／2－1／4＝1／2

∵1／Y﹢1／Z＜2／Y

1／Y﹢1／Z＝1／2

∴2／Y＞1／2 Y＜4

Y＝1 ，2 ，不满足题意

∴Y只能取3

1：当Y＝3时

1／Z＝1／2－1／3＝1／6﹛X＝4 Y＝3 Z＝6 三：当X＝5时

1／Y﹢1／Z＝1／2－1／5＝3／10﹛无解

∴满足条件的值有五组。