第九章 应力状态与强度理论

第九章 应力状态与强度理论
§9–1 引言 §9–2 二向应力状态分析——解析法 §9–3 二向应力状态分析——图解法 §9–4 三向应力状态简介 §9–5 广义虎克定律 §9–6 复杂应力状态的应变能密度 §9–7 四种常用的强度理论 §9–8 莫尔强度理论
§9–１ 引 言
一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
sx B sx
tzx
txz
sx
sx
A
§9–2 二向应力状态分析——解析法
y
sy
sy
txy sx
等价 y
c
os2
对上述方程消去参数（2），得：
s
sx
s
2
y
2
t
2
s x
s
2
y
2
t
2 xy
n 此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆)
t
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
sy
n 二、应力圆的画法
s
sx
t txy
y
Ox
t n D( s , t
x
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
得：
sx
y
txy
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2
t xy sin 2
同理, 由分离体平衡：
Ft 0
得：
n
t
sx
s y
2
sin 2
t xy cos2
t ∴任意斜截面应力s, t可求, 随而变.
二、极值应力
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2
t xy sin 2
s 随而变.
ds
d
sx s y
sin 2 2t xy cos2
0时,s有最大最小值。
s取得极值时,t 0极值正应力就是主应力！
主平面法线与X轴夹角:
tg20
2t xy sx s y
可求出相差90º的两个0 ,定两个互相垂直 平面,分别对应最大、最小主应力:
ssmm
ax in
s
x
s y
±
s
（x
2
长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。
1
u
sb
E
; (1 0)
1
1 E
s 1
s 2
s 3
sb
E
1、破坏判据：s 1 s 2 s 3 s b
2、强度准则：s 1 s 2 s 3 s
3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。
同时考虑了s1、s2、s3，适用于脆性材料（一般非金属）。 不适用于两向拉、压。
由分离体平衡得：
Fn 0
s Ss xScos2t xyScossin s ySsin 2t yxSsincos0
图1
考虑切应力互等和三角变换：
s
sx
y
sy
ttxy
n
Ox
t
图2
t xy t yx;
cos2 1 cos2 ;
2
sin2 1 cos2 ;
2
2sin cos sin 2
sy
y
面的法线 应力圆的半径
Ox
t n D( s , t
2
C
x
两面夹角 两半径夹角2 ；
A(sx ,txy) s
且转向一致。
O
B(sy ,tyx)
点面对应,转向相同,转角二倍
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
x
21
A(sx ,txy)
OC
s3 s2
20 s1 s
B(sy ,tyx)
t m in
s s
（二）、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说 。 找到原因后，利用简单应力状态的实验结果，建立复杂应力
状态的强度条件。
（三）、材料的破坏形式：⑴ 屈服 （多为塑性材料）； ⑵ 断裂 （多为脆性材料）。
1、伽利略播下了第一强度理论的种子； 2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的
实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。
拉力
s3 s1
两组曲线正交.
压力
y
1234
i
a
b
c
d
n
主应力迹线的画法： x
1234
i
n
截面截面截面截面 截面 截面
q
s1 s3
§9–4 三向应力状态简介
1、空间应力状态
y
s1
t
s2
s3
z
x
s3
s2
s
s1
2、三向应力分析
t
y
s1
t max
s2
s3
s3
tg21s2xtsxy y
sy
s 2
主 单元体
sx
txy s1
x
ttmmainx
± （sx
sy
2
）2 tx2y
1
0
4
, 即极值剪应力面与主平 面成450
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C
y Ox
M
txy tyx
解：确定危险点并画其原
t yx
始单元体
t C xy
s x s y 0
t
xy
t
Mn WP
求极值应力
灰口铸铁:s Lb 98~280MPa s yb640~960MPa;tb198~300MPa
低碳钢 铸铁
§9–3 二向应力状态分析——图解法
sy
sx
y
txy
Ox
sx
y
sy
s
ttxy
Ox
一、应力圆（ Stress Circle）
s
s
x
s
2
y
s
x
s
2
y
c
os2
t
xys
in2
t
s
x
s
2
y
sin2
t
xy
1、破坏判据： s 1 s b ;(s 1 0)
2、强度准则：s 1 s ; (s 1 0)
3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的承受拉应力的构件。 （一般是金属材料，如铸铁的单向拉、扭。 不适用单向、两向压。）
三、最大伸长线应变（第二强度）理论：
认为构件的断裂破坏是由最大伸长线应变引起的。当最大伸
1
1 E
s
1
s
2
s
3
2
1 E
s
2
s
3
s
1
3
1 E
s
3
s
2
s
1
方向一致
tg2
0
xy x y
2t xy s x s
y
tg2
0
四、平面状态下的应力---应变关系:
s
x
E
1
2
x
y
s z t yzt zx 0
s
y
E
1
2
y x
t xyG xy
主应力与主应变方向一致?
tg2
0
2t xy s x s y
s2
x
z 图a
s
s1
图b
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
整个单元体内的最大切应力为：
t
max
s
1s
2
3
例4 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）
y
B AC
40 50
t（MPa ）
B
t max
建立应力坐标系如 图，画应力圆和
点s1′,得:
萌芽； 3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大切应力理论； 4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximum distortion
energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。
二、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂破坏是由最大拉应力引起的。当最大拉应力
达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。
sx
txy
x z
Ox
sy
一、任意斜截面上的应力
sx 已知：sx, sy 拉正压负；
y
txy
t xy 绕研究对象顺时针转为正；
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
规定：s 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
n
设：斜截面面积为S，
t
Scos
S
Ssin
S Scos
Ssin
在坐标系内画出点A(s x，txy)和 B(sy，tyx)
AB与s 轴的交点C便是圆心。
2
C
A(sx ,txy) s
以C为圆心，以AC为半径画
O
圆——应力圆；
B(sy ,tyx)
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
sy
n 三、单元体与应力圆的对应关系
s
sx
t txy
面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
1 3
OCR半径
s
x源自文库
s
2
y
（s
x
s
2
y ）2 t
2 xy
t t
m m
ax
in
R半径
s
m
axs
2
m
in
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)
解：主应力坐标系如图
在坐标系内画出点
A(95,25 3)
E
1
2
2 xyG [( x y )(1
)] (
xy x
y
)
tg2
0
一、概述： §9–7 四种常用的强度理论
（一）、简单变形时强度条件的建立：
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
P M
低碳钢
铸铁
确定破坏（极限）应力，得许P用应力，建立相应的强度条件， P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
s y
2
）2
t2 xy
y O
sy
sx
txy
x
s1 s max s1(smax)在切应力相对的象限内，
s 2 s min
且偏向于sx 及sy大的一侧。
由:t
sx
s y
2
sin 2
t xy cos 2
y
令 : dt
d
sx s y
cos2 2t xy sin 2 0
O
极值切应力所在面 (法线与X轴夹角):
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
t (MPa)
B
s3
O
s2
A
2s0
C
20MPa
s1
s
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
25 3
45 95
60°
150° 25 3
s s
1 2
s
x
s
2
y
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
s y 45MPa
t yx25 3MPat xy
y Ox
s x ?
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢
铸铁
P
P
2、组合变形杆将怎样破坏？
M
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究
点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
四、最大切应力（第三强度）理论：
认为构件的屈服破坏是由最大切应力引起的。当最大切应
力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就破坏了。
t max
tu
ss
2
t
max
s1
s
2
3
30 x
z
解：由单元
s3
体图知：y
z面为主面
s150
s2
A
10
s
s1 (MPa)
s 1 58 s 2 50 s 327 t max44
§9–5 广义虎克定律
一、单拉下的应力--应变关系
y
sx
x
s x
E
y
s
E
x
z
s
E
x
ij 0 (i,jx,y,z )
z
x
y
二、纯剪的应力--应变关系
x
y
t
xy
G
i 0 (ix,y,z)
s 6095MPa t 6025 3MPa
t
s
x
s
2
y
sin2
t
xy
cos2
五、梁的主应力及主应力迹线
P1
P2
q
1
2 3 4
5
如图，已知梁发生剪切弯 曲（横力弯曲），其上M、 Q>0，试确定截面上各点主 应力大小及主平面位置。
单元体：
s
x
My Iz
t
xy
QS bI
z
z
s s
1 3
s x
2
（s x）2t
25 3
s2
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
B(45,25 3)
AB的垂直平分线与
s 轴的交点C便是
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画 圆——应力圆
t (MPa)
B
s3
O
s2
A
20
C
20MPa
s1
s
(MPa)
主应力及主平面如图
s 1 120 s 220 s 30 0 30
25 3
s2
y
sz
z
单元体的性质——a、各侧面上，应力均布；
sy
b、平行面上，应力相等,
txy sx
x
方向相反。 四、普遍状态下的应力表示
五、原始单元体（已知单元体）： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
A
P sx
sx
A
y
B
C z
P
sx B sx
Mx
tzx
txz
t yx t C xy
六、主单元体、主面、主应力：
2
2 xy
1
s3 s3
0 s1
s3
3 –45°
s1s3
0 s1 5 s1
t
D1 A2
A1 D2
CO
s
D1
t
A2
20
A1
CO
s
D1 t
D2
D1
CO
20= –90°
s
D2
t
D2 A2
A1 D1
OC
s
t
A2
20
O
D1 A1
C
s
D2
主应力迹线（Stress Trajectories)：
主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。
yz zx 0
txy
z
x
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
sy
x
1 E
s
x
s
y
s
z
y
sx
sz
txy
z
x
依叠加原理,得:
x
s x
E
sy
E
sz
E
y
1 E
s
y
s
z
s
x
z
1 E
s
z
s
x s
y
x
y
t
xy
G
y
z
t
yz
G
zx
t zx
G
1 E
s
x
s
y
s
z
主应力 --- 主应变关系
s max
s min
sx sy
2
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
t
2 xy
t
s1 t ; s 2 0;
tg20
2t xy sx s y
s 3 t
0 45
t t
m m
ax in
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t
tg21
sx s y 2t xy
0
破坏分析
1 0
低碳钢:s s 240 MPa;t s 200 MPa
sy
y
主单元体(Principal body)：
sx
各侧面上切应力均为零的单元体。
sz
z
s2
s3
主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s 1s 2 s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。