椭圆双曲线焦点三角形问题

椭圆、双曲线的焦点三角形问题

一、有关面积的问题，方法：面积公式、余弦定理

例1. 如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是

直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；

(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝12.

y ＝－3(x －c)，

将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫

85

c ，－335c ，

所以|AB|＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165

c. 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB|·sin ∠F 1AB ＝12a·165c·32＝235a 2

＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.

方法二 设|AB|＝t.因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a. 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t)2＝a 2＋t 2－2atcos 60°可得，t ＝8

5a.

由S △AF 1B ＝12a·85a·32＝235a 2

＝40 3知，

a ＝10，

b ＝5 3.

例2如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F F 12、分别为左、右焦点，双

曲线的右支上有一点P ，∠F PF 123

=

π

，且△PF F 12的面积为2

3，双曲线的离心率

为2，求该双曲线的方程.

解析：设双曲线的方程为x a y b

a b 222

2100-=>>()，，F c F c 1200()()-，，，，

P x y ()00，.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得

||||||||||cos F F PF PF PF PF 12212221223

=+-··π=-+(||||)||||PF PF PF PF 122

12·，

即 4422

12c a PF PF =+||||·， 又因为S PF F △12

23=，所以

123

2312||||sin PF PF ·π

=， 所以||||PF PF 128·=，所以4482

2c

a =+即

b 22=，

又因为e c a

==2，所以a 2

23=. 故所求双曲线方程为322122x y

-=. 二、有关21PF F ∠的问题，方法： 正弦定理、等比定理

例3已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜

的等差中项． (1)求椭圆的方程；

(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tanF 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜

∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为3

42

2y

x +

＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ，椭圆的离心率2

1

=

e 则)60sin(2

3

sin )

60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o

o o ，

整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)

∴53cos 1sin =+θθ故532tan =θ，tanF 1PF 2＝tan θ＝

113525

3153

2=-⋅

． 三、有关内切圆的问题，方法：椭圆定义、切线长定理

例4椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()上一点P ，两个焦点

)0,()0,(21c F c F ，-， 12F PF ∆的内 切圆记为M ，求证：点P 到M 的切线长为定值.

证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、

|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知

|PF 1|＋|PF 2|=2a ，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a－2c 即 |PA|=a －c 为定值．

四、有关轨迹的问题，方法： 例

5

例6已知椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()上一动点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-，

12F PF ∆的内切圆记为⊙M ，试求圆心M 的轨迹方程 .

解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义

有

||s i n ||s i n ||

s i n [()]

PF PF F F 1212180βααβ==-+°，由等比定理有即1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a c

αβαβαβαβ+=⇒=++++，又由合分比定理知

tan tan 22a c a c αβ-⋅=+.由斜率公式知：12,(0),MF MF y y k k y x c x c

=

=≠+-由前述不难看出，不论

P

位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有

12tan

tan

,(0).2

2

MF MF y y a c

k k y x c x c a c

α

β

-⋅=-⋅∴

⋅=-≠+-+ 整理得(a －c)x 2

＋(a ＋c)y 2

=(a －c)c 2

(y≠0)证毕．

点评：由上获得的方程不难看出，△PF 1F 2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PF F 12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理.

五、开放性问题，方法：