[最新]贝塞尔公式
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[最新]贝塞尔公式
样本标准差的表示公式
数学表达式:
, S-标准偏差(%)
, n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个
, i-物料中某成分的各次测量值，1,n; [编辑]
标准偏差的使用方法
, 在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。
, 如果价格保持平稳，这个指标值不高。
, 在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。[编辑]
标准偏差的计算步骤
标准偏差的计算步骤是:
2 步骤一、(每个样本数据 , 样本全部数据之平均值)。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目)。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
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[1]六个计算标准偏差的公式 [编辑]
标准偏差的理论计算公式
设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l、l、……l。令12n测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ = l ? X 1i
σ = l ? X 22
……
σ = l ? X nn
我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
(1)
由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
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标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式
由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值
来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值l与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)V来代ii替真差σ , 即
设一组等精度测量值为l、l、……l 12n
则
……
通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
将上式代入式(1)有
(2)
式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，
,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为
(2')
在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有
于是, 式(2')可写为
(2")
按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
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标准偏差σ的无偏估计
2 数理统计中定义S为样本方差
222 数学上已经证明S是总体方差σ的无偏估计。即在大量重复试验中, S围2绕σ散布, 它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为
(3)
令
则
即S和S仅相差一个系数K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数, K1σσ值见表。σ
计算K时用到σ
Γ(n + 1) = nΓ(n)
Γ(1) = 1
由表1知, 当n>30时, 。因此, 当n>30时, 式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30,50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时, 由于K值的影响已不可忽略, 宜用式(3'), 求标准偏差。这时σ
再用贝塞尔公式显然是不妥的。
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标准偏差的最大似然估计
将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到
(4)
式(4)适用于n>50时的情况, 当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。
2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。
极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。
若对某量作次等精度测量测得l、，且它们服从正态分布, 则 1
R = l ? l maxmin
概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为
(5)
S称为标准偏差σ的无偏极差估计, d为与样本个数n(测得值个数)有关的32 无偏极差系数, 其值见表2
由表2知, 当n?15时,, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为
(5')
还可以看出, 当200?n?1000时，因而又有
(5")
显然, 不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计, 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。
应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低, 但当5?n?15时,式(5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。当n>10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R、, 再由各组极差求出极差平均值。 1
极差平均值和总体标准偏差的关系为
需指出, 此时d大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查2 表2。再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。
编辑][
标准偏差σ的平均误差估计
平均误差的定义为
误差理论给出
(A)
可以证明与的关系为
(证明从略)
于是 (B)
由式(A)和式(B)得
从而有
式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用该公式估计δ值, 由于
\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。
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[1]标准偏差的应用实例
对标称值R = 0.160 < math > μm < math > 的一块粗糙度样块进行检定, a 顺次测得以下15个数
据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64, 1
.74和1.63μm, 试求该样块R的平均值和标准偏差并判断其合格否。 n
解:1)先求平均值
2)再求标准偏差S
若用无偏极差估计公式式(5)计算, 首先将测得的, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。
表3
组号 l_1 l_5 R
1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.5
2 0.19
2 1.46 1.72 1.69 1.77 1.64 0.31
3 1.56 1.50 1.6
4 1.74 1.63 0.24
因每组为5个数据, 按n=5由表2查得
故
若按常用估计即贝塞尔公式式(2') , 则
若按无偏估计公式即式(3')计算, 因n=15，由表1查得K = 1.018, 则δ
若按最大似然估计公式即式(4')计算, 则
= 0.09296( < math > μm < math > )
若按平均误差估计公式即式(6), 则
现在用式(5')对以上计算进行校核
可见以上算得的S、S、S、S和S没有粗大误差。 1234
由以上计算结果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062
即 < < SS < S< SS 2143
可见, 最大似然估计值最小, 常用估计值S稍大, 无偏估计值S又大, 平1均误差估计值S再大, 极差估计值S最大。纵观这几个值, 它们相当接近, 最43 。从理论上讲, 用无偏估计值和常用估计比较合适, 在大差值仅为0.01324μm 本例中, 它们仅相差0.0017μ、、和之m。可以相信, 随着的增大, S、SSSS1234间的差别会越来越小。
就本例而言, 无偏极差估计值S和无偏估计值S仅相差0.0083μm, 这说明31 无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。
JJG102-89《表面粗糙度比较样块》规定R的平均值对其标称值的偏离不应a 超过+12%,17%, 标准偏差应在标称值的4%,12%之间。已得本样块二产,产均在规定范围之内, 故该样块合格。
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标准偏差与标准差的区别
标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 统计学名词。一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
贝塞尔函数
贝塞尔函数 当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 22222 2222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)() u x y t V x y T t =
代入方程（5.1）得 2 2 2 2 2 ( )V V VT a T x y ??'=+ ?? 或 2 2 2 2 2 (0)V V T x y a T V λλ??+'??= =-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程 2 0T a T λ'+= （5.4） 2 2 2 2 0V V V x y λ??+ +=?? （5.5） 从（5.4）得 2 ()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 2 2 2 0x y R V +== （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 22 222 110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤??????=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得 ()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9） 2 2 ()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）
贝塞尔函数
6-2 贝塞尔函数柱函数 在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程． 通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数． 贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．
6.1 贝塞尔方程及其解 6.1.1 贝塞尔方程 拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。 考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题 2 2 2 222200() (0,0)|0 (0)(,,)|(,)(,,)|(,) tt xx yy x y l t t t u a u u x y l t u t u x y t x y u x y t x y ?ψ+===?=+≤+<>? =≥?? =??=?（6.1.1 ）
其中l 为已知正数，(,),(,)x y x y ?ψ为已知函数．这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标） 设 (,,)(,,)()(,) u x y t u t T t U ρ?ρ?==）得 2 2 0a T =（6.1.2） 2 2100 U U k U ρ? ρ′′′++=（6.1.3）
再令 (,)()() U R ρ?ρ?=Φ，得到2 ν′′Φ+Φ=(6.1.4) 2 22 2 ()0 R R k R ρρρν′′++?=（6.1.5） 于是(6.1.5)得到 22 d ()0d y x x y x ν+?=（6.1.6）
边界条件为 ()|()0 l y k y kl ρρ===方程（6.1.6）称为 ν 阶贝塞尔微分方程．这里 ν x 和 可以为任意数．
贝塞尔函数
n阶第一类贝塞尔函数() J x n 第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数() Y x n 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)() H x n 第一类变形的贝塞尔函数() I x n 开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数 在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性
常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径 其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 用分离变量法解这个问题，先令
或 （5.4） （5.5） 从（5.4）得 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 再令
代入（5.7）并分离变量可得 （5.9） （5.10） 5.10）得 （5.11） 这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别， 若再作代换 并记
贝塞尔函数释疑
数理方程中与贝塞尔函数有关的问题 据百度百科介绍： 贝塞尔（1784——1846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。（图片来自维基百科） 一、 贝塞尔方程与贝塞尔函数 二、 贝塞尔方程与欧拉方程比较 三、 贝塞尔函数与伽马函数 四、 贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 右图来自网页“维基百科——自由的百科全书”中贝塞尔 函数介绍。贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加 一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程 0)(222 22 =-++y v x dx dy x dx y d x 其中，v 是常数，称为Bessel 方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。该方程 的解无法用初等函数表现。数理方程教科书采用第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。通常所说的贝塞尔函数是指第一类Bessel 函数 m v m m v x m v m x J 20)2 ()1(!)1()(+∞ =∑++-=Γ 贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。如在信号处理中的调频合成（FM synthesis ）或凯泽窗（Kaiser window ）的定义中，都要用到贝塞尔函数。 在教科书中Bessel 方程来源 1． 在圆柱坐标系下解二维热传导方程； ?? ? ????=+=<+=><++=2222 222222,0),,()0,,(0,),(R y x u R y x y x y x u t R y x u u a u yy xx t ? 用分离变量法，令u (x ，y ，t ) = V (x ，y )T (t )，代入方程整得
[最新]贝塞尔公式
[最新]贝塞尔公式 样本标准差的表示公式 数学表达式: , S-标准偏差(%) , n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 , i-物料中某成分的各次测量值，1,n; [编辑] 标准偏差的使用方法 , 在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。 , 如果价格保持平稳，这个指标值不高。 , 在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。[编辑] 标准偏差的计算步骤
标准偏差的计算步骤是: 2 步骤一、(每个样本数据 , 样本全部数据之平均值)。 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目)。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。 [编辑] [1]六个计算标准偏差的公式 [编辑] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l、l、……l。令12n测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ = l ? X 1i σ = l ? X 22 …… σ = l ? X nn 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 (1) 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 [编辑] 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值
来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)V来代ii替真差σ , 即 设一组等精度测量值为l、l、……l 12n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时， ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为
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样本标准差的表示公式 数学表达式： ?S—标准偏差（％） ?n—试样总数或测量次数，一般n值不应少于20—30个?i—物料中某成分的各次测量值，1～n； [编辑］ 标准偏差的使用方法 ?在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。 ?如果价格保持平稳,这个指标值不高。 ?在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低. [编辑] 标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是： 步骤一、（每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n — 1)（“n”指样本数目）。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。［编辑］ 六个计算标准偏差的公式[1] [编辑] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、 l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ，则有σl i?X.。.。。。文档交流 1 = σ2 = l2?X …… σn = l n?X 我们定义标准偏差（也称标准差）σ为 （1）
由于真值X都是不可知的，因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 ［编辑] 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的，在实际应用中, 我们常用n次测量的算术 平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。。.。。。.文档交流 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差）V i来代替真差σ，即 设一组等精度测量值为l1、l2、……l n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
贝塞尔公式word精品
样本标准差的表示公式 数学表达式: ?S-标准偏差（% ?n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 ?i-物料中某成分的各次测量值，1?n；［编辑］ 标准偏差的使用方法 *在价格变化剧烈时，该指标值通常很高 *如果价格保持平稳，这个指标值不高。 i 1 1M3D 1 8100 19000 TT?I me I 77*0 I 77J0 17TOQ i ran 1 TWO 1 W3 &??co ii w 2900 oen oeao irw MW ?OQ总如WOO n W US ?RO woo t?? woo （①1 —x）2+ @ _ 础2 -- I （叭—X）2
(1) ?在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。 ［编辑］ 标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是： 步骤一、（每个样本数据-样本全部数据之平均值） 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差 ［编辑］ 六个计算标准偏差的公式⑴ ［编辑］ 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X 的某量进行一组等精度测量，其测得值为11、丨2、 测得值I 与该量真值X 之差为真差占CT ,则有 （T 1 = 1 i - X （T 2 = I 2 - X (T n = |n - X 我们定义标准偏差（也称标准差）C 为 步骤三、把步骤二的结果除以（n - 1） （“ n ”指样本数目） a = 1 n 朽(H i=l
=lun
由于真值X都是不可知的，因此真差C占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值。 ［编辑］ 标准偏差b的常用估计一贝塞尔公式 由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。 于是我们用测得值li与算术平均值…之差一一剩余误差（也叫残差）V来代替真差（T , 即 Vi = Li-L 设一组等精度测量值为丨1、丨2、，， In 贝U —- .1 - L 14 = b - E J J V n= l n~ L 通过数学推导可得真差c与剩余误差v的关系为 (1)
贝塞尔函数
贝塞尔函数 基本概念编辑 是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数： 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 基本内容编辑 贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。 这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来
好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。 历史 几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。 现实背景和应用范围 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； * 圆柱体中的热传导定律|热传导问题；
极差法和贝塞尔公式的比较
标准不确定度的A类评定定义为:“用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度”。国家计量技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》中介绍了两种A类评定的方法，贝塞尔法和极差法。 1.贝塞尔法 当在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立观测。若得到的测量结果分别为x1，x2，……，x n，n次测量的平均值为。于是用贝塞尔公式可以求出单次测量结果x i的实验方差s2(x i)和实验标准差s(x i)。 2.极差法 当在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立观测。若n个测量结果中最大值和最小值之差为R(称为极差)，在可以估计X接近正态分布的条件下，单次测量结果的实验标准差s(x i v)可近似地表示为: s(x i)=R/C=u(x i) 式中系数C为极差系数。极差系数之值与测量次数n的大小有关。表1给出极差法的极差系数和自由度与测量次数的关系。 既然随机变量X的标准偏差可以用两种方法得到，就不可避免地会提出两种方法孰优孰劣的问题。无疑，极差法具有计算简单的优点。但在计算机应用已经十分普及的今天，用贝塞尔公式计
算也已变得相当容易。因此关键问题还在于用何种方法估算得到的不确定度更为准确。 表面上看来，用贝塞尔公式进行计算时使用了全部n个测量结果，而极差法只用了一个极大值和一个极小值，其余数据均弃之不用，因此用贝塞尔法得到的实验标准差应该比极差法更为可靠。比较两种方法的自由度也可以看出，极差法的自由度比贝塞尔法小(贝塞尔法的自由度为n-1，而极差法的自由度
数学物理方法——贝塞尔函数
贝赛尔函数 摘要：在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 关键词：贝塞尔函数，通解，递推关系，正交完全性。 在圆形区域或圆柱形区域内求解定解问题时，就会出现下列形势的二阶线性常微分方程 ()22 2220y dy d x y x x n d dx x ++-= 其中n 为常数，这个方程就称为n 阶贝塞尔方程，它有什么特点呢？首先它是一个变系数的二阶线性常微分方程，其次是y ′ 与y ″ 的系数在0x =处为零，即在0x =处方程退化了，如果用2x 除方程两端，则y 与y ′前的系数在0x =时有奇偶性。正因为如此，所以在用幂级数法求解时，要设解为 0c n n n y x a x ==∑∞ . 方程的解就称为n 阶贝赛尔函数。利用级数解法可得它的两个特解 ()()()2201!12n m m n n m m x x J m n m ++==-∑++∞Γ， ()()()2201!12n m m n n m m x x J m n m -+--+==-∑-++∞Γ， 其中()x Γ是Γ-函数。为了和其他类型的贝塞尔函数相区分，我们称
()n x J ，()n x J -是第一类贝塞尔函数。 对于贝塞尔方程和贝塞尔函数，应该强调以下几点： （1） 贝塞尔方程的通解 当n 不是整数且0n ≠时，可以看出()n x J 与()n x J -是线性无关的，这是因为()00n J =，()0n J -=∞。所以贝塞尔方程的通解为 ()()12n n y x x C J C J -=+， 其中1C ,2C 是任意常数。当0x =时，我们只得到了一个特解()0x J ，要想得到通解还必须找到一个与()0x J 线性无关的特解。当n 为整数时，容易说明()n x J 与()n x J -是线性相关的，所以它们也不能构成通解。总之，当n 为零及整数时还要找一个与()n x J 线性无关的特解，这个解就是第二类贝塞尔函数，它的定义为 ()()()()()cos ,sin cos ,lim sin n n n a n x n x J J n z n x Y x x J J n z αααα--→-????=?-?∈??ππππ 因此，不论n 是否为整数及零，贝塞尔方程的通解均可表示为 ()()11n n y x x C J C Y =+. 特别应该强调的是：()n x J 表示一个在整个数轴上都收敛的幂级数的和，所以它在每个指定的点都取有限值，特别是在0x =处的值()0n J 是有限的，而()n x Y 在0x =处的值为无穷大。这个事实对于利用贝塞尔函数求解定解问题非常重要。 （2） 贝塞尔的递推关系 当n 取不同值时就得到不同阶的贝塞尔函数，而这些不同阶的
贝塞尔函数
第五章 贝塞尔函数 在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 2222 22222 22 222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)??? ??? ???
用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)()u x y t V x y T t = 代入方程（5.1）得 222 22()V V VT a T x y ??'=+?? 或 222 22 (0)V V T x y a T V λλ??+'??==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程 20T a T λ'+= （5.4） 2222 0V V V x y λ??++=?? （5.5） 从（5.4）得 2()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 222 0x y R V +== （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 22222110,,02, (5.7) 0,02, (5.8) R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤????? ?=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得