电阻电路的等效变换分析
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第二章 电阻电路的等效变换分析
2. 1 电阻的串、并联等效变换
电阻电路 分析方法
仅由电源和线性电阻构成的电路
（1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分 析电阻电路的依据；
（2）等效变换的方法,也称化简的方法
1. 两端电路（网络）
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且从一
个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一
即 电流分配与电导成正比
对于两电阻并联
i
º i1
i2
R1
R2
º
i1
1/
1/ R1 R1 1/
R2
i
R2 R1 R2
i
i2
1/
1 / R2 R1 1 /
R2
i
R1 R1 R2
i
4. 功率关系 p1=G1u2， p2=G2u2，， pn=Gnu2 p1: p2 : : pn= G1 : G2 : :Gn
3. 串联电阻上电压的分配
显然 uk Rk i Rk Rk u Reqi Req Rk
即 电压与电阻成正比
故有
uk
Rk Rj
u
ºi +
+ u_1
R1
u+ _ u_n Rn º
例：两个电阻分压, 如下图
i º ++
u-1 R1
u1
R1 R1 R2
u
uu2 R2
_+
u2
R2 R1 R2
u
未变化的外电路A中的电 压、电流和功率
化简电路，方便计算
+ +
i
r
US _
1
R1
i1 i5
i3
R3
u
_ R2
i2
R4
i4
2
+ +
i
r
US _
1
uห้องสมุดไป่ตู้
Req
_
2
可以用Req替代的条件：端子1-2以右部分有相同的 伏安特性。 Req称为等效电阻。
用等效电阻替代电路的某部分以后，未被替代部 分的电压、电流应保持不变。即“对外等效”，对内不 一定等效。例如，要求解实际电路1-2右端的i1等，须用 原电路求。
电路为二端网络(或一端口网络)。
无
源
i
无
一
i
源
端 口
2. 两端电路等效的概念
两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则称 它们是等效的电路。
+
等效
i
B
u
-
+
i
C
u
-
对A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B
A
C
A
（1）电路等效变换的条件
明 确 （2）电路等效变换的对象
（3）电路等效变换的目的
两电路具有相同的VCR
总功率
p=ui=uuGeq=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ +Gnu2 =p1+ p2++ pn
故可以直接用等效电阻计算并联电路“内部”的总功率。
（对照前面：“对外等效”，对内不一定等效。）
2.1.3 电阻的串并联 要求：弄清楚串、并联的概念。
计算举例：
R12
– 1
u31 R31
– i2
i3 +
2 +
R23 u23
3 –
三角形连接
形
+ i1Y 1 –
u12Y
– i2Y R2 2
+
R1
u31Y
u23Y
R3 i3Y +
3–
星形连接 Y形
+i1 u12
R12
– 1
u31 R31
– i2
2 +
R23 u23
连接
i3 + 3
–
+ i1Y 1 –
u12Y
– i2Y R2 2
+
R1
u31Y
u23Y
R3 i3Y +
3–
Y连接
显然、Y连接方式，既非串联也非并联。特点： 都通过3个端子，与外部相连。
下面要证明：这两个电路，当它们的电阻满足一定的关系时， 是能够相互等效的。
等效的条件: i1 =i1Y , i2 =i2Y , i3 =i3Y ,
且 u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y
令 G =1 / R, 称为电导
Geq=G1+G2+…+Gk+…+Gn= Gk= 1/Rk
º Req=? 1.3 6.5 13
º
3. 并联电阻的电流分配
由
ik u / Rk Gk i u / Req Geq
故 ik Gk i Gk
Req=1.3∥6.5∥13 由 G =1/1.3+1/6.5+1/13 = 1 故 Req=1/G=1
º
( 注意方向 !)
4. 功率关系
p1=R1i2， p2=R2i2，， pn=Rni2
p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn
总功率
p=ui=Reqi i=Reqi2 =(R1+ R2+ …+Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ +Rni2 =p1+ p2++ pn
故可以直接用等效电阻计算串联电路“内部”的总功率。 （对照前面：“对外等效”，对内不一定等效。）
u R1 R2
Rk
Rn
u
Req
_
_
Ⅰ、 由KCL: i = i1+ i2+ …+ ik+ in 故有 i = u/R1 +u/R2 + …+u/Rn=u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)
Ⅱ、 设端口间只通过一个电阻连接，则
i = u / Req
Ⅲ、由等价条件得
1/Req= 1/R1+1/R2+…+1/Rn
2.1.2 电阻并联 (Parallel Connection)
i
+
i1 i2
ik
in
u R1 R2
Rk
Rn
_
1. 电路特点:
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)； (b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
2. 等效i 电阻Req
i
+
i1 i2
ik
in 等效 +
+ i1 u12 R12
– 1
u31 R31
– i2
i3 +
2 +
i
+
u
_
Ⅰ、KVL u= u1+ u2 +…+uk+…+un
由欧姆定律 uk = Rk i ( k=1, 2, …, n )
u= (R1+ R2 +…+Rk+…+ Rn) i
+
u
_
Ⅱ、设端口间只通过一个电阻连接，则
u= Reqi Ⅲ、 由等价条件得
Req=( R1+ R2 +…+Rn) = Rk
结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
2.1.1 电阻串联 (Resistors Series)
1. 电路特点:
R1
Rk
Rn
i
+ u1 _ + uk _ + un _
+
u
_
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)； (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
2. 等效电阻Req
R1
Rk
Rn
Req
i
+ u1 _ + uk _ + un _ 等效
例1. º
Req º
4 2
3 6
Req = 4∥(2+3∥6) = 2
例2.
40 º
Req
30
º
30
40 º
40
Req
30 30
º
Req = (40∥40)+(30∥30∥30) = 30
2.2 电阻的星形连接与三角形连接的等效变换
（ Y 形连接与形连接）
下图是电阻的两种连接方式：
+i1 u12
2. 1 电阻的串、并联等效变换
电阻电路 分析方法
仅由电源和线性电阻构成的电路
（1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分 析电阻电路的依据；
（2）等效变换的方法,也称化简的方法
1. 两端电路（网络）
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且从一
个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一
即 电流分配与电导成正比
对于两电阻并联
i
º i1
i2
R1
R2
º
i1
1/
1/ R1 R1 1/
R2
i
R2 R1 R2
i
i2
1/
1 / R2 R1 1 /
R2
i
R1 R1 R2
i
4. 功率关系 p1=G1u2， p2=G2u2，， pn=Gnu2 p1: p2 : : pn= G1 : G2 : :Gn
3. 串联电阻上电压的分配
显然 uk Rk i Rk Rk u Reqi Req Rk
即 电压与电阻成正比
故有
uk
Rk Rj
u
ºi +
+ u_1
R1
u+ _ u_n Rn º
例：两个电阻分压, 如下图
i º ++
u-1 R1
u1
R1 R1 R2
u
uu2 R2
_+
u2
R2 R1 R2
u
未变化的外电路A中的电 压、电流和功率
化简电路，方便计算
+ +
i
r
US _
1
R1
i1 i5
i3
R3
u
_ R2
i2
R4
i4
2
+ +
i
r
US _
1
uห้องสมุดไป่ตู้
Req
_
2
可以用Req替代的条件：端子1-2以右部分有相同的 伏安特性。 Req称为等效电阻。
用等效电阻替代电路的某部分以后，未被替代部 分的电压、电流应保持不变。即“对外等效”，对内不 一定等效。例如，要求解实际电路1-2右端的i1等，须用 原电路求。
电路为二端网络(或一端口网络)。
无
源
i
无
一
i
源
端 口
2. 两端电路等效的概念
两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则称 它们是等效的电路。
+
等效
i
B
u
-
+
i
C
u
-
对A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B
A
C
A
（1）电路等效变换的条件
明 确 （2）电路等效变换的对象
（3）电路等效变换的目的
两电路具有相同的VCR
总功率
p=ui=uuGeq=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ +Gnu2 =p1+ p2++ pn
故可以直接用等效电阻计算并联电路“内部”的总功率。
（对照前面：“对外等效”，对内不一定等效。）
2.1.3 电阻的串并联 要求：弄清楚串、并联的概念。
计算举例：
R12
– 1
u31 R31
– i2
i3 +
2 +
R23 u23
3 –
三角形连接
形
+ i1Y 1 –
u12Y
– i2Y R2 2
+
R1
u31Y
u23Y
R3 i3Y +
3–
星形连接 Y形
+i1 u12
R12
– 1
u31 R31
– i2
2 +
R23 u23
连接
i3 + 3
–
+ i1Y 1 –
u12Y
– i2Y R2 2
+
R1
u31Y
u23Y
R3 i3Y +
3–
Y连接
显然、Y连接方式，既非串联也非并联。特点： 都通过3个端子，与外部相连。
下面要证明：这两个电路，当它们的电阻满足一定的关系时， 是能够相互等效的。
等效的条件: i1 =i1Y , i2 =i2Y , i3 =i3Y ,
且 u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y
令 G =1 / R, 称为电导
Geq=G1+G2+…+Gk+…+Gn= Gk= 1/Rk
º Req=? 1.3 6.5 13
º
3. 并联电阻的电流分配
由
ik u / Rk Gk i u / Req Geq
故 ik Gk i Gk
Req=1.3∥6.5∥13 由 G =1/1.3+1/6.5+1/13 = 1 故 Req=1/G=1
º
( 注意方向 !)
4. 功率关系
p1=R1i2， p2=R2i2，， pn=Rni2
p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn
总功率
p=ui=Reqi i=Reqi2 =(R1+ R2+ …+Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ +Rni2 =p1+ p2++ pn
故可以直接用等效电阻计算串联电路“内部”的总功率。 （对照前面：“对外等效”，对内不一定等效。）
u R1 R2
Rk
Rn
u
Req
_
_
Ⅰ、 由KCL: i = i1+ i2+ …+ ik+ in 故有 i = u/R1 +u/R2 + …+u/Rn=u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)
Ⅱ、 设端口间只通过一个电阻连接，则
i = u / Req
Ⅲ、由等价条件得
1/Req= 1/R1+1/R2+…+1/Rn
2.1.2 电阻并联 (Parallel Connection)
i
+
i1 i2
ik
in
u R1 R2
Rk
Rn
_
1. 电路特点:
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)； (b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
2. 等效i 电阻Req
i
+
i1 i2
ik
in 等效 +
+ i1 u12 R12
– 1
u31 R31
– i2
i3 +
2 +
i
+
u
_
Ⅰ、KVL u= u1+ u2 +…+uk+…+un
由欧姆定律 uk = Rk i ( k=1, 2, …, n )
u= (R1+ R2 +…+Rk+…+ Rn) i
+
u
_
Ⅱ、设端口间只通过一个电阻连接，则
u= Reqi Ⅲ、 由等价条件得
Req=( R1+ R2 +…+Rn) = Rk
结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
2.1.1 电阻串联 (Resistors Series)
1. 电路特点:
R1
Rk
Rn
i
+ u1 _ + uk _ + un _
+
u
_
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)； (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
2. 等效电阻Req
R1
Rk
Rn
Req
i
+ u1 _ + uk _ + un _ 等效
例1. º
Req º
4 2
3 6
Req = 4∥(2+3∥6) = 2
例2.
40 º
Req
30
º
30
40 º
40
Req
30 30
º
Req = (40∥40)+(30∥30∥30) = 30
2.2 电阻的星形连接与三角形连接的等效变换
（ Y 形连接与形连接）
下图是电阻的两种连接方式：
+i1 u12