(完整版)实变函数(复习资料_带答案)

《实变函数》试卷一

一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）

（A ）1lim n k n n k n A A ∞

∞

→∞

===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞

∞

==→∞

=⋂⋃;

（C ）1lim n k n n k n

A A ∞

∞

→∞

===⋂⋃; （D ）1lim n k n k n

n A A ∞

∞

==→∞

=⋂⋂;

2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）

（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο

3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B)

{}sup ()n n

f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n

f x 是可测函数;（D ）若

()()n f x f x ⇒,则()f x 可测

5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数

（C ）)('

x f 在],[b a 上L 可积 (D)

⎰

-=b a

a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则

'

E =______,o

E =______,E =______.

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的

4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为

[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反

例说明.(5分×4=20分)

1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则

()0E

f x >⎰

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数

为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -

可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求0

ln()lim cos x

n

x n e xdx n

∞

-+⎰

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c

2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则

lim 0n n

n me ⋅=.

5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理

试卷一 （参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1．∅ 2、[]0,1； ∅ ； []0,1 3、

*

*

*

()()m T m T E m T CE =⋂+⋂

4、充要

5、11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫

-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集。

三、1．错误2分例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密5分

2．错误2分例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 5分 3．错误例如：设E 是[],a b 上的不可测集，

[],;

(),,;

x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数…

4．错误0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =⎰

四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处

连续，即不连续点为正测度集……..3分因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2

x ..a e 相等，进一步，[]

1

20,101

()3

f x dx x dx ==⎰⎰ (8)

分

2．解：设ln()()cos x

n x n f x e x n

-+=

，则易知当n →∞时，()0n f x → 2分

又因'

2ln 1ln 0t t

t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭

，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，

ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++……4分 从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+………………………6分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

n

f x dx f x dx ∞

∞

==⎰⎰…………………8分

五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =⋂=⋂

B M B ∴∃⊂Q 是无限集，可数子集 ..................2分 .A A M M ∴⋃Q :是可数集， . (3)

分