高二上学期数学测试试题及其答案

合集下载

河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．直线的倾斜角为（） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误；对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时，取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。

2023-2024学年江苏省常州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 72−C 75=（）A ．63B ．10C ．21D ．02．用最小二乘法得到一组数据（x ，y ）（i ＝1，2，3，4，5，6）的线性回归方程为y =2x +3，若∑ 6i=1x i =30，则∑ 6i=1y i =（） A ．11B ．13C ．63D ．783．方程x 22+k +y 28−k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（）A ．k ＞﹣2B ．k ＜8C ．﹣2＜k ＜8D ．﹣2＜k ＜34．若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于（） A ．1B ．13C ．1或13D ．155．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（） A ．21B ．35C ．36D ．456．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝6，则8S 3+S 9的最小值为（） A ．18B ．24√2C ．30D ．337．已知圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，点P 是圆M 上任意一点，则|PA →+PB →|的取值范围是（） A ．[2√2，4+√2] B ．[4−√2，4+√2]C ．[4−√2，2√2]D ．[4−2√2，4+2√2]8．经过双曲线C ：x 212−y 2b2=1(b ＞0)的右焦点F 作该双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，且l 交另一条渐近线于点N ，若3FN →=5MF →，则b 的值为（） A ．2√6B ．4C ．2D ．√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．点A （﹣2，1），B （a ，1﹣a ），过A ，B 的直线为l ，下列说法正确的有（）A ．若a ＝1，则直线l 的方程为x +3y ﹣1＝0B ．若a ＝﹣1，则直线l 的倾斜角为π4C ．任意实数a ，都有|AB|≥√3D ．存在两个不同的实数a ，能使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数 10．甲、乙、丙等6人排成一列，下列说法正确的有（） A ．若甲和乙相邻，共有240种排法 B ．若甲不排第一个共有480种排法C ．若甲与丙不相邻，共有480种排法D ．若甲在乙的前面，共有360种排法11．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）交于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，且点T 的坐标为（3，0）．当m ＝1时，|AB|=√14，则（） A ．r ＝2B ．|AB |的最小值为2√3C ．存在点A ，使∠ATO ＝45°D ．存在m ，使QO →⋅QT →=−5412．在等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，T n 为数列{a n }的前n 项积，下列说法正确的有（） A ．﹣1＜q ＜0 B ．a 10+a 11＜0C ．若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则T n 的最大项为T 11D ．若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则T n 的最小项为T 10 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2﹣y ）6的展开式中，各项系数的绝对值之和为．14．已知等差数列{a n }的公差不为0，其前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 3+a 4a 1+a 2= ．15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上两个不同的点，F 为抛物线的焦点，若AF →=3FB →，则△OAB 的面积为． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，点T （b ，0），若椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等，则e 2的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的2，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的1．（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；（2）判断是否有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．18．（12分）设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S n +S n−1−2a n=0(n ∈N ∗，n ≥2)．（1）求证；数列{S n 2}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式． 19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为（1，0），点A(−1，32)在C 上．（1）求C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求点P 的横坐标的取值范围． 20．（12分）已知f(x)=(x 2+2x +3)8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16．（1）求a n （n ＝0，1，2，…，16）的最大值；（2）求f （5）﹣5被13除的余数．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，数列{b n }满足b 1＝3，且b n +1＝2b n ﹣n +1．（1）证明：{b n ﹣n }是等比数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）将数列{a n }和{b n }的公共项从小到大排成的数列记为{c n }，求{（﹣1）n c n }的前2n 项和S 2n ． 22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点Q （﹣1，0）的直线l （斜率为正数）与C 由左至右交于A ，B 两点，连结BF 并延长交C 于点D ．（1）证明：∠BQF ＝∠DQF ；（2）当△BDQ 的内切圆半径r ∈[12，23]时，求|QA |•|QB |的取值范围．2023-2024学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 72−C 75=（）A ．63B ．10C ．21D ．0解：A 72−C 75=A 72−C 72=7×6−7×62=21．故选：C ．2．用最小二乘法得到一组数据（x ，y ）（i ＝1，2，3，4，5，6）的线性回归方程为y =2x +3，若∑ 6i=1x i =30，则∑ 6i=1y i =（） A ．11B ．13C ．63D ．78解：∵∑ 6i=1x i =30，∴x =16×30=5， ∵线性回归方程y =2x +3一定过点（x ，y ）， ∴y =2x +3＝2×5+3＝13， ∴∑ 6i=1y i =6×13＝78．故选：D ．3．方程x 22+k +y 28−k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（）A ．k ＞﹣2B ．k ＜8C ．﹣2＜k ＜8D ．﹣2＜k ＜3解：∵方程x 22+k +y 28−k=1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴8﹣k ＞2+k ＞0， ∴﹣2＜k ＜3，∴实数k 的取值范围是（﹣2，3）．故选：D ．4．若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于（） A ．1B ．13C ．1或13D ．15解：双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，a ＝3，b ＝4，c ＝5．点P 在双曲线E 左支上．则|PF 2|＝2a +|PF 1|＝6+7＝13．故选：B ．5．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（） A ．21B ．35C ．36D ．45解：按百位数字分类讨论：①百位数字为1时，后两位相加为7，有8种； ②百位数字为2时，后两位相加为6，有7种； ③百位数字为3时，后两位相加为5，有6种； ④百位数字为4时，后两位相加为4，有5种； ⑤百位数字为5时，后两位相加为3，有4种； ⑥百位数字为6时，后两位相加为2，有3种； ⑦百位数字为7时，后两位相加为1，有2种； ⑧百位数字为8时，后两位相加为0，有1种，故共有8+7+6+5+4+3+2+1＝36种．故选：C ．6．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝6，则8S 3+S 9的最小值为（） A ．18B ．24√2C ．30D ．33解：正项等比数列{a n }中，S 6＝6，又S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等比数列，所以（6﹣S 3）2＝S 3（S 9﹣6），整理得，S 9=36S 3+S 3﹣6，S 3＞0，则8S 3+S 9=36S 3+9S 3﹣6≥2√36S 3⋅9S 3−6＝30，当且仅当36S 3=9S 3，即S 3＝2时取等号．故选：C ．7．已知圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，点P 是圆M 上任意一点，则|PA →+PB →|的取值范围是（） A ．[2√2，4+√2] B ．[4−√2，4+√2]C ．[4−√2，2√2]D ．[4−2√2，4+2√2]解：根据题意，圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，联立两圆的方程有{x 2+y 2+4x =0x 2+y 2−4y −12=0，两式相减可得：4x +4y +12＝0，变形可得x +y +3＝0，即AB 所在直线的方程为x +y +3＝0；设AB 的中点为C ，易得MC ⊥AB ，圆M ：x 2+y 2+4x ＝0，即（x +2）2+y 2＝4，其圆心M 为（﹣2，0），半径为2， M 到直线AB 的距离d ＝|MC |=|−2+3|√1+1=√22， C 为AB 的中点，由平行四边形法则，有PA →+PB →=2PC →，则有|PA →+PB →|＝2|PC →|， P 为圆M 上任意一点，则|PC →|的最小值为r ﹣|MC |＝2−√22，最大值为r +|MC |＝2+√22，故|PA →+PB →|的取值范围是[4−√2，4+√2]．故选：B ．8．经过双曲线C ：x 212−y 2b2=1(b ＞0)的右焦点F 作该双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，且l 交另一条渐近线于点N ，若3FN →=5MF →，则b 的值为（） A ．2√6B ．4C ．2D ．√3解：根据题意可得F （c ，0），点F （c ，0）到直线y =ba x 的距离|MF |=√b +(−a)=bcc=b ，因为3FN →=5MF →，所以|FN →|=53|MF →|=53b ，过点F 作FH ⊥ON ，垂足为H ，则|FH |＝b ，则tan ∠FNO =b√(53b)2−b2=34=ab+53b，从而b a =12=2√3，所以b =√3．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．点A （﹣2，1），B （a ，1﹣a ），过A ，B 的直线为l ，下列说法正确的有（） A ．若a ＝1，则直线l 的方程为x +3y ﹣1＝0B ．若a ＝﹣1，则直线l 的倾斜角为π4C ．任意实数a ，都有|AB|≥√3D ．存在两个不同的实数a ，能使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数解：当a ＝1时，点B 的坐标为（1，0），直线的斜率k =0−11+2=−13，所以直线方程为y =−13(x −1)即x +3y ﹣1＝0，所以A 正确；当a ＝﹣1时，点B 的坐标为（﹣1，2），直线的斜率k =2−1−1+2=1，所以直线倾斜角为π4，所以B 正确．|AB |=√(a +2)2+(1−a −1)2=√2a 2+4a +4，当a ＝﹣1时，|AB |取得最小值√2，所以任意实数a ，都有|AB|≥√2，所以C 错误；直线的方程为y−1x+2=1−a−1a+2，即y =−aa+2(x +2)+1，在x 轴上的截距为2−a a，在y 轴上的截距为2−a a+2，若2−a a+2−a a+2=0，则a ＝﹣1或a ＝2，所以存在两个不同的实数a 使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数，所以D 正确．故选：ABD ．10．甲、乙、丙等6人排成一列，下列说法正确的有（） A ．若甲和乙相邻，共有240种排法 B ．若甲不排第一个共有480种排法C ．若甲与丙不相邻，共有480种排法D ．若甲在乙的前面，共有360种排法解：对于A ，若甲和乙相邻，共有A 22⋅A 55=240种排法，故A 正确；对于B ，若甲不排第一个，共有A 51⋅A 55=600种排法，故B 错误；对于C ，若甲与丙不相邻，共有A 44⋅A 52=480种排法，故C 正确；对于D ，若甲在乙的前面，共有A 66A 22=360种排法，故D 正确．故选：ACD ．11．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）交于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，且点T 的坐标为（3，0）．当m ＝1时，|AB|=√14，则（） A ．r ＝2B ．|AB |的最小值为2√3C ．存在点A ，使∠ATO ＝45°D ．存在m ，使QO →⋅QT →=−54解：当m ＝1时，直线l ：x ﹣y ﹣1＝0，点O 到直线l 的距离为d =|−1|√1+(−1)2=√22，所以|AB |＝2√r 2−d 2=2√r 2−12=√14，解得r ＝2，故A 正确；直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0过定点（1，0），圆O 的方程为x 2+y 2＝4，当点（1，0）为AB 的中点时，|AB |最小，最小值为2√4−1=2√3，故B 正确；设∠ATO ＝α，当TA 与圆O 相切时，∠ATO 最大，此时sin α=23＜√22，所以∠ATO ＜45°，故C 错误；设Q （x ，y ），因为点Q 为线段AB 的中点，所以OQ ⊥AB ，所以Q 的轨迹是以（12，0）为圆心，12为半径的圆，所以点Q 的轨迹方程为（x −12）2+y 2=14，由QO →⋅QT →=−54，得x （x ﹣3）+y 2=54，即（x −32）2+y 2=72，而√142−1＜32−12＜√142+1，所以圆（x −12）2+y 2=14与圆（x −32）2+y 2=72相交，所以存在m ，使QO →⋅QT →=−54，故D 正确．故选：ABD ．12．在等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，T n 为数列{a n }的前n 项积，下列说法正确的有（） A ．﹣1＜q ＜0 B ．a 10+a 11＜0C ．若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则T n 的最大项为T 11D ．若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则T n 的最小项为T 10 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，即a 1＜﹣a 2＜0，变形可得0＜a 2＜﹣a 1，所以q =a 2a 1＞−1，且q ＜0，即﹣1＜q ＜0，A 正确；对于B ，由题意得，a 10+a 11＝a 10（1+q ）＞0，B 错误；对于C ，若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则0＜a 12＜1＜a 10，a 11＜0，则T 10＜0，T 11＞0，T 12＞0，T 12＝T 11•a 12＜T 11， T n 的最大项为T 11，C 正确；对于D ，若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则a 9＜﹣1＜a 11＜0，又由﹣1＜q ＜0，a 1＜0，则等比数列{a n }奇数项为负，偶数项为正，则有a 1＜a 3＜……a 9＜﹣1，则T 9＜0，T 10＜0，T 11＞0，但T 9﹣T 10＝T 9（1﹣a 10），不能确定1﹣a 10的符号，则T n 的最小项不一定是T 10，D 错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2﹣y ）6的展开式中，各项系数的绝对值之和为 64 ．解：二项式的展开式T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅x 12−2r ⋅y r ，令x ＝1，y ＝﹣1，故各项系数的绝对值之和26＝64．故答案为：64．14．已知等差数列{a n }的公差不为0，其前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 3+a 4a 1+a 2= 3 ．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 1，S 2，S 4成等比数列，且S 1＝a 1，S 2＝2a 1+d ，S 4＝4a 1+6d ，得(2a 1+d)2=a 1(4a 1+6d)， ∵d ≠0，∴d ＝2a 1， ∴a 3+a 4a 1+a 2=2a 1+5d 2a 1+d=6d 2d=3．故答案为：3．15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上两个不同的点，F 为抛物线的焦点，若AF →=3FB →，则△OAB 的面积为4√33．解：因为抛物线C ：y 2＝4x ，则F （1，0），又AF →=3FB →，可得A ，F ，B 三点的共线，设直线AB 为：x ＝my +1，代入y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），故y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，由AF →=3FB →，可得（1﹣x 1，﹣y 1）＝3（x 2﹣1，y 2），求得﹣y 1＝3y 2，故y 1＝6m ，y 2＝﹣2m ，可得﹣12m 2＝﹣4，求得m 2=13，故|y 1﹣y 2|＝|8m |=8√33．则△OAB 的面积为：12×|OF |×|y 1﹣y 2|=4√33．故答案为：4√33． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，点T （b ，0），若椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等，则e 2的取值范围为（√5−12，1）．解：由椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等，可得在直线x ＝b 的右侧有两个点满足题意，设P （x 0，y 0），则y 02=b 2−b 2a2x 02，则|TP |=√(x 0−b)2+y 02=√c2a2x 02−2bx 0+2b 2，﹣a ≤x 0≤a ，可得﹣a ＜−−2b2c 2a 2＜a ，化为﹣c 2＜ab ＜c 2，即为c 4＞a 2（a 2﹣c 2），化为e 4+e 2﹣1＞0，解得e 2＞√5−12，又e 2＜1，可得√5−12＜e 2＜1．故答案为：（√5−12，1）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的2，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的1．（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；（2）判断是否有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．解：（1）由题意可知，40岁以上（含40岁）的人数为200×12=100，40岁以下的人数为100，每日平均运动低于1万步的人数为200×25=80，所以2×2列联表如下：（2）由2×2列联表可得，K 2=200×(80×60−40×20)2120×80×100×100=1003＞10.828，所以有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 18．（12分）设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S n +S n−1−2a n=0(n ∈N ∗，n ≥2)．（1）求证；数列{S n 2}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式．（1）证明：因为S n +S n−1−2a n=0，所以S n 2−S n−12=(S n −S n−1)(S n +S n−1)=(S n −S n−1)2a n=2，所以S n 2−S n−12=2 （常数）．所以{S n 2} 是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）解：S n 2=1+2(n −1)=2n −1，且a n ＞0，所以S n =√2n −1，当n ≥2时，S n−1=√2n −3， a n =S n −S n−1=√2n −1−√2n −3． n ＝1时，a 1＝1不满足上式，所以a n ={1，n =1√2n −1−√2n −3，n ≥2．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为（1，0），点A(−1，32)在C 上．（1）求C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求点P 的横坐标的取值范围．解：（1）易知椭圆C 的左右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），因为点A(−1，32)在C 上，所以AF 1+AF 2＝2a ＝4，解得a ＝2，则b =√a 2−c 2=√3，故C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设直线l 的方程为y ＝x +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 0，y 0），联立{y =x +mx 24+y 23=1，消去y 并整理得7x 2+8mx +4m 2﹣12＝0，此时Δ＝（8m ）2﹣4×7×（4m 2﹣12）＝48（7﹣m 2）＞0，解得−√7＜m ＜√7，由韦达定理得x 1+x 2=−8m 7，x 1x 2=4m 2−127，因为线段MN 的中点为P ，所以x 0=x 1+x 22=−47m ，此时−47√7＜x 0＜47√7，故点P 的横坐标的取值范围为(−47√7，47√7)．20．（12分）已知f(x)=(x 2+2x +3)8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16．（1）求a n （n ＝0，1，2，…，16）的最大值；（2）求f （5）﹣5被13除的余数．解：（1）因为(x 2+2x +3)8=[2+(x +1)2]8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16，所以T r+1=C 8r 28−r [(x +1)2]r =C 8r 28−r(x +1)2r ，r =0，1，2，⋯，8，所以a 1＝a 3＝⋯＝a 15＝0，a 2n =C 8n 28−n ，n ＝0，1，2， (8)令 C 8n 28−n ≥C 8n+127−n，则2≤n ≤3，所以a n 的最大值为1792．（2）因为f(5)−5=388−5=(39−1)8−5=C 80398+C 81397(−1)+⋯+C 8739(−1)7+1−5，所以f （5）﹣5 被13除的余数，即为﹣4被13除的余数为9．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，数列{b n }满足b 1＝3，且b n +1＝2b n ﹣n +1．（1）证明：{b n ﹣n }是等比数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）将数列{a n }和{b n }的公共项从小到大排成的数列记为{c n }，求{（﹣1）n c n }的前2n 项和S 2n ．解：（1）由a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，可得{a 1+2d +a 1+3d =12a 1+4d +a 1+6d =22，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n ﹣1．根据b n +1＝2b n ﹣n +1，整理得b n +1﹣（n +1）＝2（b n ﹣n ），因为b 1﹣1＝2≠0，可知b n ﹣n ≠0，所以b n+1−(n+1)b n −n=2（常数），所以{b n ﹣n }是公比为2的等比数列，首项为b 1﹣1＝2，可得b n ﹣n ＝2×2n ﹣1＝2n ，即b n =2n +n ．（2）根据（1）的结论，可知：c n =b 2n−1=22n−1+(2n −1)，则S 2n ＝﹣c 1+c 2﹣c 3+c 4+⋯﹣c 2n ﹣1+c 2n ＝﹣（2+1）+（23+3）﹣（25+5）+⋯﹣（24n ﹣3+4n ﹣3）+（24n﹣1+4n ﹣1）＝（﹣2+23﹣25+27+…﹣24n ﹣3+24n ﹣1）+[﹣1+3﹣5+7+…﹣（4n ﹣3）+（4n ﹣1）] =−2−24n−1×(−4)1−(−4)+[(−1+3)+(−5+7)+⋯+(−4n +3+4n −1)]=24n+1−25+2n ．22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点Q （﹣1，0）的直线l （斜率为正数）与C 由左至右交于A ，B 两点，连结BF 并延长交C 于点D ．（1）证明：∠BQF ＝∠DQF ；（2）当△BDQ 的内切圆半径r ∈[12，23]时，求|QA |•|QB |的取值范围．（1）证明：设BF ：x ＝ny +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3），y 2＞y 1，由 {x =nyy 2=4x，得y 2﹣4ny ﹣4＝0，y 2+y 3＝4n ，k BQ +k DQ =y 2x 2+1+y 3x 3+1=y 2ny 2+2+y 3ny 3+2=2ny 2y 3+2(y 2+y 3)(ny 2+2)(ny 3+2)=2n(−4)+2(4n)(ny 2+2)(ny 3+2)=0，所以∠BQF ＝∠DQF ．（2）解：过B 作BB ′垂直抛物线的准线于B ′，设直线l 的倾斜角为θ，如图：由（1）可知：△BDQ 的内切圆圆心在x 轴上，所以设圆心M （a ，0），﹣1＜a ＜1，设直线l ：x ＝my ﹣1（m ＞0），由{x =my −1y 2=4x，得y 2﹣4my +4＝0，则Δ＞0⇒m 2＞1⇒m ＞1，y 2+y 1＝4m ，y 1y 2＝4，因为△BDQ 的内切圆为圆M ，所以|QM||FM|=|BQ||BF|=|BQ||BB′|=1cosθ=√1+m 2m，即a+11−a=√1+m 2m，又点M 到直线l 的距离为r =|a+1|√1+m ，所以√m 2+1=1−a m=r ，所以a =r 24，所以m =1−a r =1−r 24r =1r −r4，因为y =1r −r 4 在 r ∈[12，23] 上单调减，所以m ∈[43，158]，所以|QA|⋅|QB|=(√1+m 2⋅y 1)(√1+m 2⋅y 2)=(1+m 2)y 1y 2=4(1+m 2)∈[1009，28916|．。

数学期末考试试卷及答案(高二上学期)

数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（共40分，每小题2分）1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线，下列说法正确的是（）。

A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案：C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4)，则a + b + c的值为（）。

A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B3. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，则点B的坐标为（）。

A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案：A4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 4，则f(g(2))的值为（）。

A. 3B. 7C. 9D. 11答案：C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线，下列说法正确的是（）。

A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案：A二、解答题（共60分）6. 解方程组：2x - y = 3x + y = 5解答：将第一式两边同时加上第二式得到：2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到：8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此，方程组的解为x = 8/3，y = 7/3。

7. 某商品原价为120元，现在打8折出售，求出售价格。

解答：打8折即为原价乘以0.8，所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。

8. 某数的5倍减去6等于30，求这个数。

解答：设这个数为x，则根据题意可以列出方程：5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此，这个数为36/5。

9. 已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项。

解答：第10项可以通过首项加上9倍公差来计算：第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此，第10项为39。

浙江省宁波市镇海2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷含答案

镇海2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（）A.11B.13C.15D.16【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列通项公式和前n 项和表达式即可得到方程，解出即可.【详解】设等差数列的公差为d ，则3111215S a a d a d =++++=，即6315d +=，解得3d =，则4132911a a d =+=+=.故选：A.2.若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（）A .1B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出关于m 的等式，即可得解.【详解】对于抛物线24y x =，24p =，可得2p =，12p=，故该抛物线的焦点为()10F ,，由题意可知，椭圆的右焦点为()10F ,，则22221c a b m =-=-=，解得3m =，故选：B.3.若点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，则点P 的轨迹方程为（）A.2x y =B.2y x= C.24x y= D.24y x=【答案】D 【解析】【分析】分析可知点P 的轨迹是以点()1,0为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，即可得解.【详解】因为点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，所以，点P 的轨迹是以点()1,0为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22y px =，则12p=，可得2p =，故点P 的轨迹方程为24y x =.故选：D.4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，则2024S =（）A.4720B.4722C.4723D.4725【答案】C 【解析】【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可【详解】1234561,4,2,1,4,2,a a a a a a ====== ,可知数列{}n a 是以3为周期的数列，因为202423674-=⨯，所以()2024674142144723S =⨯++++=，故选：C5.已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时，以下说法正确的是（）A.()()0f x g x ''+>B.()()0f xg x ''->C.()()0f x g x ''> D.()()0f x g x ''>【答案】B 【解析】【分析】通过函数的奇偶性与导函数的符号，判断当0x <时导函数的符号结合不等式性质即可判断各项.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以函数在对称区间上单调性相同，又当0x >时，()0f x '>；所以当0x <时，()0f x '>；因为函数()g x 是偶函数，所以函数在对称区间上单调性相反；又当0x >时，()0g x '>；所以当0x <时，()0g x '<；而当()()g x f x ''>时，()()0f x g x ''+<，故A 错；由()0g x '<，则()0g x '->，又()0f x '>，所以()()0f x g x ''->，故B 对；()(),f x g x ''异号，所以()()0f x g x ''<，()()0f x g x ''<，故CD 错；故选：B6.若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（）A.43k ≥-B.1k ≤- C.1k ≤ D.43k ≤-【答案】D 【解析】【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可【详解】由()211kx f x x +=+，得()()22221kx x k f x x --++'=，又()f x 在[)2,+∞上单调递增，所以′≥0在[)2,+∞上恒成立，即220kx x k +-≤在[)2,+∞上恒成立，即21k x x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需求出21x x-的最小值即可，又1t x x =-在[)2,+∞单调递减，所以32t ≤-，则2103t -≤<，所以4203t-≤<，故43k ≤-.故选：D7.已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（）A.a b c >>B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A【解析】【分析】构造函数()()ln 1ln x f x x+=，其中1x >，利用导数分析函数()f x 在()1,+∞上的单调性，可得出()2023a f =，()2024b f =，()2025c f =，结合函数()f x 的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()()ln 1ln x f x x+=，其中1x >，当1x >时，11x x +>>，()ln 1ln 0x x +>>，由不等式的性质可得()()1ln 1ln x x x x ++>，()()()()()()()22ln 1ln ln 1ln 110ln 1ln x x x x x x x x f x x x x x +--+++'==<+⋅，所以，函数()f x 在()1,+∞上为减函数，因为()2023ln 2024log 20242023ln 2023a f ===，()2024ln 2025log 20252024ln 2024b f ===，()2025ln 2026log 20262025ln 2025c f ===，所以，()()()202320242025f f f >>，即a b c >>，故选：A.8.已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P 、Q 、R ，且2π3PFQ QFR RFP ∠=∠=∠=，则123FP FQ FR ++的最小值为（）A.4336- B.4339- C.42339- D.4333-【答案】B 【解析】【分析】以F 为顶点，x 轴的正方向为θ始边的方向，FP 为角θ的终边，推导出92cos PF θ=-，同理可得出92π2cos 3FQ θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，94π2cos 3FR θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，然后利用三角恒等变换化简可得出123FP FQ FR++的最小值.【详解】在椭圆C 中，6a =，b =3c =，如下图所示：椭圆的左准线为212a x c=-=-，以F 为顶点，x 轴的正方向为θ始边的方向，FP 为角θ的终边，当π02θ<<时，过点P 作PN l ⊥，过点F 作FM PN ^，垂足分别为点N 、M ，易知四边形EFMN 为矩形，则21239a MN EF c c==-=-=，由椭圆第二定义可得12PF e PN==，则2PN PF =，又因为//PN x 轴，则FPN θ∠=，所以，cos PM PFθ=，所以，cos PM PF θ=，因为PN PM MN =+，即2cos 9PF PF θ=+，所以，92cos PF θ=-，同理可知，当θ为任意角时，等式92cos PF θ=-仍然成立，同理可得92π2cos 3FQ θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，94π2cos 3FR θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因此，2π4π42cos 63cos 1232cos 33999FP FQ FR θθθ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++=++412π4πcos 2cos 3cos 3933θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦413cos cos cos 3922θθθθθ⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭4134πsin cos 3922393θθθ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故123FP FQ FR ++的最小值为4339-.故选：B.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.1y x =，21y x'=- B.2x y =，2ln2x y '=C.ln y x =，1y x'=D.cos2y x =，sin2y x=-'【答案】ABC 【解析】【分析】对于ABC ，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D ，由复合函数的求导法则即可求出函数cos2y x =的导函数，从而得解.【详解】对于A ，1y x =，则21y x'=-，故A 正确；对于B ，2x y =，则2ln2x y '=，故B 正确；对于C ，ln y x =，则1y x'=，故C 正确；对于D ，cos2y x =，则()22sin 2sin2x x y =⨯=--'，故D 错误.故选：ABC.10.已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（）A.若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为()3,1，则AF AB +的最小值为3B.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =-相切C.若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅=D.设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关【答案】BCD 【解析】【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A 选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B 选项；求出M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可判断C 选项；利用点差法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，如下图所示：抛物线的焦点为()10F ,，准线为:1l x =-，设点A 在直线l 上的射影点为D ，由抛物线的定义可得AD AF =，则AB AF AB AD +=+，当且仅当A 、B 、D 三点共线时，即当BD l ⊥时，AB AF +取最小值314+=，A 错；对于B 选项，若直线l 过焦点F ，则122=++MN x x ，线段MN 的中点E 到直线l 的距离为1212x x d +=+，所以，2MN d =，因此，以MN 为直径的圆与1x =-相切，B 对；对于C 选项，当MN OF ⊥时，直线MN 的方程为1x =，联立214x y x =⎧⎨=⎩可得12x y =⎧⎨=±⎩，不妨取()1,2M 、()1,2N -，则OM ON ==，此时，5OM ON ⋅=，C 对；对于D 选项，线段MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，若MN x ⊥轴，则线段MN 的中点在x 轴上，不合乎题意，所以直线MN 的斜率存在，由题意可得12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩作差得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以，121212004422MN y y k x x y y y y -====-+，D 对.故选：BCD.11.数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（）A .1050a > B.20500a < C.10100a < D.20500a >【答案】AD 【解析】【分析】根据数列的递推关系可判断各项的取值范围.【详解】由题意得，数列{}n a 为递增数列.n *∀∈N ，21n n n a a a ++>+，11a =，22a =，所以，3213a a a >+=，4325a a a >+>，5438a a a >+>，65413a a a >+>，76521a a a >+>，87634a a a >+>，98755a a a >+>，109889a a a >+>，11109144a a a >+>，121110233a a a >+>，131211377a a a >+>，141312610a a a >+>，151413987a a a >+>，1615141597a a a >+>，1716152584a a a >+>，1817164181a a a >+>，1918176765a a a >+>，20191810946a a a >+>.故选：AD.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用递推公式逐项求解各项的范围即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知1n a +=，11a =，则100a =__________.【答案】110##0.1【解析】【分析】把递推公式变形并判断数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，然后求出通项即可求得【详解】由1n a +=，得221111n n a a +-=，又11a =，则2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列，所以21nn a =，又1n a +=可得10nn a a +>，又11a =，所以0n a >，得n a =，所以100110a ==，故答案为：11013.已知双曲线22221x y a b-=与直线1y x =-相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23-，则该双曲线的离心率为_____.【答案】2【解析】【分析】根据点差法可求,a b 的关系，从而可求离心率.【详解】设1,1,2,2，AB 中点为M ，则23M x =-，故53M y =-，因为2222112222221,1x y x y a b a b -=-=，故()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+-=，所以()()12122225330x x y y a a ⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，而1AB k =，故2225033a b -+=，故22222522b a c a ==-，故2c a =，故答案为：214.已知函数()()()5e ln 155xf x a x a x =++-+-，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为__________.【答案】5a ≤【解析】【分析】就0a >、0a ≤分类讨论，前者再就05,5a a ≤≤>分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围.【详解】当0a >时，()()15e 55e ,011x x a a f x a a x x x '=+--=+++-->，设()()5e ,011xa g x a x x =++-->，则()()25e 1x a g x x '=-+因为0a >，故()25e 1,xay x y =-+=均为()0,∞+上的增函数，故()g x '在()0,∞+上为增函数，若50a -≥即05a <≤，则()0g x '>在()0,∞+上恒成立，故()g x 在()0,∞+上为增函数，故()()00g x g >=恒成立，故()f x 为()0,∞+上为增函数，故()()00f x f >=恒成立，故05a <≤符合，若50a -<即5a >，此时()050g a '=-<，而)1110g '=->，故存在()01x ∈，使得()00g x '=，且()00,x x ∀∈，()0g x '<即()g x 在()00,x 上为减函数，故()00,x x ∀∈，()()00g x g <=即()f x 在()00,x 上为减函数，故()()00f x f <=，与题设矛盾，当0a ≤时，设()()ln 1,0s x x x x =-+>，则()01xs x x '=>+，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00sx s >=即ln(1)0,0x x x -+>>，设()e 1,0xt x x x =-->，则()e 10xt x '=->，()t x 在()0,∞+上为增函数，故()()00t x t >=即e 10,0x x x -->>，而0a ≤，故()()5e 1ln 10xx a x x ⎡⎤----+>⎣⎦，即()()5e ln 1550xa x a x ++-+->即()0f x >，故()0f x ≥也成立，综上，5a ≤，故答案为：5a ≤.【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()e xf x x =.（1）求()f x 的最小值；（2）求()f x 在点()1,e 处的切线方程.【答案】（1）()min 1ef x =-（2）2e e y x =-【解析】【分析】（1）求出函数的导数后讨论其符号，结合单调性可求最小值；（2）求出函数在1x =处的导数后可求切线方程.【小问1详解】()()1e x f x x '=+，当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>，故()f x 在(),1∞--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数，故()()min 11ef x f =-=-.【小问2详解】由（1）可得()12e f '=，而()1e f =，故切线方程为：()2e 1e 2e e y x x =-+=-，即切线方程为：2e e y x =-.16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，122n n n S S S ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）求数列()1nn n a ⎧⎫-⋅⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）()12n n a -=--（2）42219332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题设的递归关系可得212n n a a ++=-，故可得公比，从而可求通项；（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】因为122n n n S S S ++=+，所以12122n n n n S S S S +++-=-，所以212n n a a ++=-，而为等比数列，故公比2q =-，故()12n n a -=--.【小问2详解】()()()1111122nnn n nnn n a ---⋅-⋅⎛⎫==- ⎪⎝⎭--，故012111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以01213111111222222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2112211322332n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故42219332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.17.已知双曲线22:13y C x -=（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点()0,4P 、()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A 、B 两点，1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.【答案】（1）y =（2）83-【解析】【分析】（1）根据双曲线的方程可得出其渐近线方程；（2）设点1,1、2,2，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合韦达定理可求得12λλ+的值.【小问1详解】在双曲线22:13y C x -=中，1a =，b =，所以，该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.【小问2详解】由题意可知，直线PQ 的方程为124x y+=，即24y x =-+，且()2,4PQ =- ，设点1,1、2,2，联立222433y x x y =-+⎧⎨-=⎩，可得216190x x -+=，2164190∆=-⨯>，由韦达定理可得1216x x +=，1219x x =，()112,QA x y =- ，()222,QB x y =- ，且1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，则()()()1112222,42,2,x y x y λλ-=-=-，所以，()()1122222x x λλ-=-=，()()()()()12121212121212242422222224x x x x x x x x x x x x λλ+-+-+=+==-----++()216424819216493⨯-===--⨯+-.18.已知函数()()21ln f x mx x m x =+-∈R ，()21e 1x g x x x x=---，其中()f x 在1x =处取得极值（1）求m 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()()nx g x f x ≤-恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）1m =-（2）增区间为()0,1，减区间为()1,+∞（3）(],1-∞【解析】【分析】（1）由题意可得()10f '=，可求出m 的值，然后检验即可；（2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（3）由参变量分离法可得出ln 1e xx n x +≤-，利用导数求出函数()ln 1e xx h x x+=-在0,+∞上的最小值，即可得出实数n 的取值范围.【小问1详解】因为()()21ln f x mx x m x =+-∈R ，则()2112f x mx x x=++'，其中0x >，因为函数()f x 在1x =处取得极值，则()1220f m +'==，解得1m =-，经检验，合乎题意.因此，1m =-.【小问2详解】由（1）可知，()21ln f x x x x=-+-，其中0x >，则()()()23222122111212x x x x x f x x x x x x--++-++=-++=='，由()0f x '=，可得1x =，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为0,1，减区间为1,+∞.【小问3详解】()()2211e 1ln e ln 1x x g x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-----+-=-- ⎪⎝⎭，当0x >时，由()()e ln 1xnx g x f x x x ≤-=--，可得ln 1e xx n x+≤-，令()ln 1e xx h x x +=-，其中0x >，则()()22221ln 1ln e ln e e x x x x x x x x x h x x x x ⋅-++=-=+='，令()2e ln xp x x x =+，其中0x >，则′=2+2e +1>0，所以，函数()p x 在区间0,+∞上单调递增，因为1=e >0，11e2e21e 1e 10e ep -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，存在唯一的1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得2e ln 0t t t +=，即111e ln ln tt t t t t=-=，即11e ln e ln t ttt=，令()ln q x x x =，其中1x >，则′=1+ln >0，所以，函数()q x 在1,+∞上为增函数，因为1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则e 1t >，11t >，由11e ln e ln t tt t =，可得()1etq q t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1e tt =，所以，1ln ln tt t ==-，且当0x t <<时，()0p x <，即ℎ′<0，当x t >时，()0p x >，即ℎ′>0，所以，函数ℎ的减区间为()0,t ，增区间为(),t ∞+，所以，()()min ln 111e 1tt th x h t t t t+-==-=-=，则1n ≤，所以，实数n 的取值范围是(],1-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数=的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线=在点0,0处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线=在点1,1处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线=在点()()(),N n n x f x n ∈处的切线为1n l+，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =-的大于零的零点r 的近似值，取02x =.（1）求1x 和2x ；（2）求n x 和1n x -的关系并证明()*N n ∈；（3()1*1N i i n x n ∑=<<+∈.【答案】（1）132x =；21712x =（2）21122n n n x x x --+=，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题干中的1x 为r 的1次近似值和2x 为r 的2次近似值的定义即可求解；（2）求出直线n l 的方程，直接求横截距即可.（3）借助第（22n x <≤，后面再根据此不等式进行放缩得到()2211224n n x x --<-，再进行放缩得12n n x <+，利用不等式的性质和数列分组求和即可【小问1详解】()2f x x '=，()24f '=，()1:242l y x -=-，令0y =，得132x =，332f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以213:342l y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0y =，得21712x =，【小问2详解】由题意得，()()2111:22n n n n l y x x x x -----=-，令0y =，得21122n n n x x x --+=【小问3详解】由（2）知，2111121222n n n n n x x x x x ----⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，所以221211444n n n x x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由几何意义易知：2n x <≤，1iinx∑=<，由22nx>得，()222211121141414464424n n n nnx x x xx----⎛⎫⎛⎫=++<++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()221164n nx x-<+，所以()()22210112222444nn n nx x x-⎛⎫-<-<<-=⎪⎝⎭，所以12n nx<<，所以21111122111212nii nnx∑=⎛⎫-⎪⎝⎭<+=+-<+-，()1*1Niinx n∑=<<+∈【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是对新定义的理解，然后结合所学知识进行每一个的处理即可得出，第（2）问的关键是求出切线n l的方程即可得证，第（3）问的关键是由几何意义得到2nx<≤，从而可以放缩，放缩后的类比等比数列的构造，为不等式的证明提供了关键性的处理.。

山东省德州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

高二数学试题（答案在最后）2024.11主考学校：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知直线l 320y --=，则l 的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A 【解析】【分析】由直线方程计算直线斜率，由斜率得到倾斜角.【详解】由题意得，直线斜率为3k =，即tan 3α=，又0180α≤< ，则30α=︒.故直线的倾斜角为30︒.故选：A.2.已知直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行，则m 的值为（）A.3-B.1- C.2D.3-或2【答案】A 【解析】【分析】由两直线平行公式计算m 的值，代入验证排除直线重合的情况即可得到结果.【详解】由两直线平行得：(1)230m m +-´=，解得2m =或3m =-.当2m =时，1:3210l x y ++=，2:3210l x y ++=，两直线重合，不合题意.当3m =-时，1:2210l x y -++=，即2210x y --=，23310:x y l -+=，两直线平行，符合题意.故m 的值为3-.故选：A.3.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>，若点()0,2到E的渐近线距离为3，则双曲线E 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出ba的值，即可求出该双曲线的离心率的值.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a=±，即0bx y a ±=，因为点()0,2到E 的渐近线距离为233，即233=，解得ba=，因此，该双曲线的离心率为c e a ====.故选：B.4.在四面体O ABC -中，点D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且2AE ED =，用向量OA ，OB ，OC 表示OE ，则OE =（）A.111333OA OB OC-++u u ur u u u r u u u r B.1133OA OB OC-+u u u r u u u r u u u rC.111333OA OB OC +-u u ur u u u r u u u r D.111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】如图，由题意得，()221332OE OA AE OA AD OA AB AC=+=+=+⋅+ ()11113333OA OB OA OC OA OA OB OC =+-+-=++ .故选：D.5.已知圆()()221x m y n -+-=不经过坐标原点，且与圆224x y +=相切，则mn 的最大值为（）A.1B.32C.92D.814【答案】C 【解析】【分析】根据两圆相切以及()()221x m y n -+-=不过原点先求解出,m n 的关系式，然后结合基本不等式求解出最大值.【详解】因为()()221x m y n -+-=与224x y +=相切，21=+21=-，所以229m n +=或221m n +=，因为()()221x m y n -+-=不经过原点，所以221m n +≠，所以229m n +=，又因为222m n mn +≥，所以22922m n mn +≤=，当且仅当2m n ==±时取等号，所以mn 的最大值为92，故选：C.6.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAC ∠=︒，现将ACD 沿AC 折起，当BD =时，二面角D AC B--平面角的大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B 【解析】【分析】设AC BD E = ，由菱形的性质得出BED ∠就是二面角D AC B --的平面角，求出BED 的边长可得答案.【详解】设AC BD E = ，菱形ABCD 满足2AB BC ==，60BAC ∠=︒，则ABC V 和ADC △都为等边三角形，所以2AC =，BE DE ==，又AC BD ⊥，则,BE AC DE AC ⊥⊥，所以BED ∠就是二面角D AC B --的平面角，由于BD =，所以BE DE BD ==，所以BED 是等边三角形，所以60BED ∠=︒，即二面角D AC B --平面角的大小为60︒.故选：B.7.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上存在两点M 、N 关于直线10x y --=对称.若椭圆离心率为33，则MN 的中点坐标为（）A.()5,4 B.()4,3 C.()3,2 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】设点1,1、2,2，线段MN 的中点为()00,E x y ，由已知条件可得出2223b a =，利用点差法以及点M 在直线10x y --=上，可得出关于0x 、0y 的值，解出这两个量的值，即可得出线段MN 的中点坐标.【详解】设点1,1、2,2，线段MN 的中点为()00,E x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意，椭圆的离心率为3c e a ===，可得2223b a =，因为M 、N 关于直线10x y --=对称，且直线10x y --=的斜率为1，则12121MN y y k x x -==--，将点M 、N 的坐标代入椭圆方程可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上述两个等式作差可得22221212220x x y y a b--+=，可得222121212222121212y y y y y y b x x x x x x a -+-=⋅=--+-，即()0022123y x ⋅-=-，即0023y x =，即0023x y =，①又因为点()00,E x y 在直线10x y --=上，则0010x y --=，②联立①②可得0032x y =⎧⎨=⎩，故线段MN 的中点为()3,2E .故选：C.8.已知四棱锥P ABCD -的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O 的球面上，满足4PA =，6AB AD ==，120BCD ∠=︒，则球O 的表面积为（）A.100πB.64πC.36πD.32π【答案】B 【解析】【分析】首先根据侧棱与底面所成角相等推出顶点在底面的射影是底面外接圆的圆心，然后利用底面四边形的条件求出底面外接圆的半径，再结合四棱锥的棱的长度求出该几何体外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出表面积即可.【详解】因为四棱锥P ABCD -的各侧棱与底面所成的角都相等，所以顶点P 在底面ABCD 的射影O '是底面四边形ABCD 外接圆的圆心.因为6AB AD ==，所以△ABD 为等腰三角形.因为120BCD ∠=︒，所以60BAD ∠=︒，故△ABD 为等边三角形，则6BD =.设底面四边形ABCD 外接圆半径为r ，则根据正弦定理得2sin BD r BAD =∠，即62sin60r =，解得r =.设线段BD 的中点E ,则AE BD ⊥，那么由勾股定理可知AE ===，所以32AE r =，故O '是等边三角形ABD 的中心，则2PO '===.设球O 的半径为R ，根据题意可知球心O 在射线PO '上，当球心O 在线段PO '上时，如图1所示，则222OA O A O O ''=+，即222(2)R r R =+-，解得4R =，此时220R -=-<，不符合题意舍去.当球心O 在射线PO '上且在平面ABD 的下方时，如图2所示，222OA O A O O ''=+，即222(2)R r R =+-，解得4R =，此时220R -=>符合题意，故球O 的半径4R =，所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为24π64πR =.故选：B.【点睛】求解几何体外接球问题的关键是通过找到球体球心的位置确定球体的半径.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知空间中四点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，()1,1,1D ，则（）A.3AB = B.AC BD⊥ C.BC 在AD上的投影数量为 D.,AB AD为锐角【答案】BCD 【解析】【分析】A ：表示出AB的坐标，利用模长公式计算；B ：表示出,AC BD 的坐标，然后根据数量积判断是否垂直；C ：计算出,BC AD AD ⋅ ，根据BC AD AD⋅可计算出投影数量；D ：根据AB AD ⋅的正负并结合是否共线作判断.【详解】A ：因为()2,1,0AB =，所以AB == ，故错误；B ：因为()()1,2,1,1,1,1AC BD =-=-- ，所以1210AC BD ⋅=-+= ，所以AC BD ⊥ ，故正确；C ：因为()()3,1,1,1,0,1BC AD =-= ，所以312BC AD ⋅=-+=-，AD == ，所以BC 在AD上的投影数量为BC AD AD ⋅==，故正确；D ：因为()()2,1,0,1,0,1AB AD == ，所以20AB AD ⋅=>，由坐标可知,AB AD不共线，所以,AB AD 为锐角，故正确；故选：BCD.10.已知直线:0-+=l kx y k ，圆22:430C x y x +-+=，()00,P x y 为圆C 上任意一点，则（）A.直线l 过定点()1,0B.若圆C 关于直线l 对称，则0k =C.00y x的最大值为3D.2200x y +的最大值为3【答案】BC 【解析】【分析】A ：将直线方程化为():10l k x y +-=，根据100x y +=⎧⎨=⎩可确定出定点坐标；B ：考虑直线经过圆心的情况；C ：根据0y x 的几何意义，考虑OP 与圆相切；D ：根据2200x y +的几何意义，先计算max OP ，然后可求结果.【详解】22:430C x y x +-+=化为标准方程为()22:21C x y -+=，圆心为2,0，半径为1；A ：因为():0:10l kx y k l k x y -+=⇔+-=，令100x y +=⎧⎨=⎩，可得10x y ⎧⎨⎩=-=，所以l 过定点()1,0-，故错误；B ：若圆C 关于l 对称，则l 过圆心2,0，所以200k k -+=，解得0k =，故正确；C ：0y x 表示OP 连线的斜率，设:OP y kx =，即:0OP kx y-=，如下图，当:0OP kx y -=与()22:21C x y -+=相切时，此时k 取最值，1=，解得3k =±，所以k的最大值为3，即00yx的最大值为3，故正确；D ：2200x y +表示2OP ，因为max 213OP OC r =+=+=，所以()2max9OP=，故错误；故选：BC.11.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，AB =，1AC =，12AA =，点M 为线段1CC 的中点，N 为线段1A M 上的动点，则（）A.1BM A M⊥B.存在点N 使得1C N 垂直于平面1A BM C.若1//C N 平面ABM ，则1A N NM =D.直线BN 与平面11ACC A 所成角的最大值为π4【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断即可.【详解】如图，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则())()()()()110,0,0,,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,1A BC A C M ，对于A，因为()()1,0,1,1BM A M ==-，所以()1011110BM A M ⋅=+⨯+⨯-=，则1BM A M ⊥，即1BM A M ⊥，故A 正确；对于B ，由A知，()()1,0,1,1BM A M ==-，设()1101A N A M λλ=≤≤ ，则()10,,A N λλ=-，即()0,,2N λλ-，所以()10,1,C N λλ=--，又1C N ⊥平面1A BM ，则1111010C N BM C N A M λλλλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，无解，所以不存在点N 使得1C N 垂直于平面1A BM ，故B 错误；对于C ，由B 知，设()1101A N A M λλ=≤≤ ，可得()10,1,C N λλ=--，又()(),0,1,1BM AM ==，设平面ABM 的一个法向量为 =1,1,1，则11111100m BM y z m A M y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11y =，得()0,1,1m =- ，因为1//C N 平面ABM ，所以1C N m ⊥，则110C m N λλ⋅=-+= ，解得12λ=，此时1A N NM =，故C 正确；对于D ，由B 知，设()1101A N A M λλ=≤≤，可得()0,,2N λλ-，所以(),2BN λλ=- ，易知平面11ACC A 的一个法向量为()1,0,0n =，设直线BN 与平面11ACC A 所成角为θ，则sin cos ,BN n BN n BN nθ⋅===⋅，所以当1λ=时，sin θ取得最大值2，即直线BN 与平面11ACC A 所成角的最大值为π4，故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知ABC V 的三个顶点()2,1A -，()2,13B ，()5,12C ，则AB 边上的高为________.【答案】10【解析】【分析】求出直线AB 的方程，再利用点到直线的距离公式即可.【详解】131322AB k -==+，则直线AB 的方程为()132y x -=+，即370x y -+=，则点()5,12C 到直线AB 351271010⨯-+=，则AB 10.10.13.在三棱锥P ABC -中，已知1AB AC AP ===，2BC =P 到AC ，AB 的距离均为32，那么点P 到平面ABC 的距离为________.【答案】22【解析】【分析】如图，取BC 中点为D ，连接PD ，AD ，过P 作AD 垂线，垂足为G ，可证PG 与平面ABC 垂直及D 和G 重合，即可得答案.【详解】过P 作AC ，AB 垂线，垂足为E ，F ，由题，则32PE PF ==.又π2PA PA PE PF PEA PFA ==∠=∠=，，，则PAE PAF ≅△△，又1AP =，32PE PF ==，则1212AE AF FB EC ==⇒==.则1212AE AF FB EC ==⇒==，又由勾股定理，可得1PB PC ==.取BC 中点为D ，连接PD ，AD .由以上分析可知PD BC AD BC ⊥⊥，.因PD AD D PD AD ⋂=⊂，，平面PAD ，则⊥BC 平面PAD .过P 作AD 垂线，垂足为G ，则PG AD ⊥，又PG ⊂平面PAD ，则PG BC ⊥.因BC AD D BC AD ⋂=⊂，，平面ABC ，则PG ⊥平面ABC ，即PG 为P 到平面ABC 的距离.在PBC △中，因1PB PC ==，2BC =，则22PD =.又在ABC V 中，12AB AC BC ===，，则22AD =；又1AP =，则APD △为以D 为直角顶点的直角三角形，则PD AD⊥即D 和G 重合，则22PD PG ==.故答案为：2214.已知直线24y x =-+与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则p =________；AOB V 的面积为________.【答案】①.1②.17【解析】【分析】设点1,1、2,2，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出0OA OB ⋅= ，结合韦达定理可求得p 的值，然后利用三角形的面积公式可求得AOB V 的面积.【详解】设点1,1、2,2，联立2242y x y px =-+⎧⎨=⎩可得240y py p +-=，2160p p ∆=+>，由韦达定理可得12y y p +=-，124y y p =-，所以，221212*********y y OA OB x x y y y y p p⋅=+=+=-= ，解得1p =，所以，121y y +=-，124y y =-，则()2121212411617y y y y y y -=+-=+=，直线24y x =-+交x 轴于点()2,0E ，所以，12112171722OAB S OE y y =⋅-=⨯= 故答案为：117.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点(3，()3,2，且圆关于x 轴对称.（1）求圆C 的标准方程；（2）已知直线l 经过点()0,1，与圆C 交于A ，B 两点，若2AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）()2234x y -+=（2）770x y -+=或10x y +-=【解析】【分析】（1）设出圆心并根据圆上的两点坐标，即可得出圆心和半径可得圆C 的标准方程；（2）利用弦长公式计算求得圆心到直线的距离，即可求得直线方程.【小问1详解】由圆关于x 轴对称可知圆心在x 轴上，设圆心(),0C a ，半径为r ；即可得()(()()2222203302a a -+-=-+-，解得3a =，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()2234x y -+=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，直线方程为0x =，显然不合题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为1y kx =+；易知圆心到直线1y kx =+的距离d =又AB ==可解得17k =或1k =-，即直线l 的方程为770x y -+=或10x y +-=.16.已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =.（1）求抛物线的方程及m ；（2）斜率为2的直线l 与抛物线的交点为A 、B （A 在第一象限内），与x 轴的交点为M （M 、F 不重合），若2AM MB =，求ABF △的周长.【答案】（1）抛物线方程为28y x =，4m =±（2）14+【解析】【分析】（1）由抛物线的定义结合4=PF 可求得p 的值，可得出抛物线的方程，再将点P 的坐标代入抛物线方程，即可求得m 的值；（2）设点(),0M n ，则2n ≠，可得直线l 的方程为12x y n =+，设点1,1、2,2，则10y >，由平面向量的坐标运算可得出122y y =-，将直线l 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出n 、1y 、2y 的值，进而可求得ABF △的周长.【小问1详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由抛物线的定义可得242p PF =+=，可得4p =，所以，抛物线的方程为28y x =，将点P 的坐标代入抛物线方程可得28216m =´=，解得4m =±.【小问2详解】设点(),0M n ，则2n ≠，因为直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为12x y n =+，设点1,1、2,2，则10y >，由2AM MB =，可得()()1122,2,n x y x n y --=-，则122y y -=，可得122y y =-，联立2128x y n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2480y y n --=，16320n ∆=+>，可得12n >-，由韦达定理可得124y y +=，128y y n =-，所以，1211111422y y y y y +=-==，可得18y =，24y =-，所以，12832n y y -==-，可得4n =，所以，12122AB y y =-=⨯=，()12121484284142AF BF x x y y +=++=+++=++=，所以，ABF △的周长为14AF BF AB ++=+.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，4PA =，60PAD ∠=︒，120PDC ∠=︒.（1）求证：AD PC ⊥；（2）求平面DPA 与平面BPA 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）1313【解析】【分析】（1）通过线面垂直的判定定理证明AD ⊥平面PCD 即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】在PAD △中，由余弦定理得222142cos cos 602242PD PAD +-∠===⨯⨯ ，解得23PD =所以222PD AD PA +=，故AD PD ⊥，又,,,AD CD CD PD D CD PD ⊥=⊂ 平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥；【小问2详解】以D 为坐标原点，,DA DC 分别为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,3,3)D A B P -，所以(2,0,0),(0,3,3),(0,2,0),(2,3,3)DA DP AB AP ====--，设平面DPA 的一个法向量为111(,,)m x y z = ，则11120330m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11z =，则110,3x y ==3,1)m = ，设平面BPA 的一个法向量为222(,,)n x y z = ，则222220230n AB y n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令23x =，则220,2y z ==，所以(3,0,2)n = ，故cos ,13m n m n m n ⋅=== ，所以平面DPA 与平面BPA所成角的余弦值为13.18.已知双曲线G22−22=1>0,>0过点2,30y -=.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若点P 为双曲线右支上一点，()(),00A t t >，求PA 的最小值；（3）过点()2,0F 的直线与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，求证：11||||MF NF +为定值.【答案】（1）2213y x -=（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案；（2）设()000,,1P x y x ≥，表示出PA ，结合二次函数性质，讨论即可得答案；（3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出11||||MF NF +的表达式，化简即可证明结论.【小问1详解】由题意知双曲线G 22−22=1>0,>0过点2,30y -=，则22491a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故双曲线C 的标准方程为2213y x -=；【小问2详解】点P 为双曲线右支上一点，设()000,,1P x y x ≥，()(),00A t t >，则PA ====当14t ≤，即04t <≤时，PA1t =-，当14t >，即4t >时，PA；【小问3详解】当过点()2,0F 的直线斜率不存在时，方程为2x =，此时不妨取(2,3),(2,3)M N -,则11112||||333MF NF +=+=；当当过点()2,0F 的直线斜率存在时，设直线方程为()()1122(2),,,,y k x M x y N x y =-，不妨令122,12x x ><<，联立22(2)13y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222234430k x k x k -+--=，由于直线过双曲线的右焦点，必有0∆>，直线与双曲线C 的右支交于M ，N两点，需满足k >k <则22121222443,33k k x x x x k k---+==--，则11MF NF +=()()121212112222x x x x x x ⎛⎫-=+=⎪----⎭()12121224x x x x x x -=+--1212=222433k k=-----⎪--⎝⎭293k=-26129933k --===--，综合以上可知11||||MF NF +为定值.【点睛】难点点睛：本题考查了直线和双曲线位置关系的综合应用，综合性强，计算量大，难点在于证明定值问题，解答时要注意计算的准确性，基本都是字母参数的运算，需要十分细心.19.已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为1F ，2F 1-，直线:l y x m =+与椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方），当AB 过1F 时，2ABF △的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12A F F '）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12B F F '）垂直.①当B 为椭圆的下顶点时，求折叠后直线1A F '与平面2A B F ''所成角的正弦值；②求三棱锥12A B F F ''-体积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）①15025；②1445【解析】【分析】（1）由题意列出方程组，解得,,a b c 的值，直接写出椭圆方程；（2）①求出平面中,A B 坐标，再建立空间直角坐标系得到,A B ''坐标，利用空间向量求得线面角的正弦值；②在平面内求出,A B 坐标的关系，再建立空间直角坐标系得到,A B ''坐标，从而列出三棱锥的体积的表达式，利用二次函数求得最大值.【小问1详解】由题意可得221442ABF a c C a ⎧-=⎪⎨==⎪⎩ 21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b =，∴椭圆的标准方程为：2212x y +=，【小问2详解】翻折后，如图：①当B 为椭圆的下顶点时，由题意知()0,1B -，直线:1l y x =-，联立方程组可得22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴41,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭令原来y 轴负半轴为z 轴，则41,,033A ⎛'⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1B '，()11,0,0F -，()21,0,0F ，∴171,,033A F ⎛⎫=--⎪⎝⎭' ，41,,133A B ''⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，211,,033A F ⎛⎫=--⎪⎝⎭' ，设 =s s 为平面2A B F ''的一个法向量，则24103311033A B n a b c A F n a b ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩'-''-= ，令1a =，所以111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即()1,1,1n =- ，设直线1A F '与平面2A B F ''的夹角为θ，则()1122212271015033sin cos ,257111133A F n A F n A F n θ-++⋅===⎛⎫⎛⎫-+-⨯+-+ '''⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，②联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2234220x mx m ++-=，()()222Δ443222480m m m =-⨯⨯-=->，∴33m -<<，设1,1，2,2，则1243m x x +=-，212223m x x -=，()()222212121212224542333m m m m y y x m x m x x x x m m ---=++=+++=-+=，()11,,0A x y '，()22,0,B x y -，∴()121212112111542233239A B F F B F F y y m m V y S y y ''-'-++==⨯⨯⨯-=-= ，令函数()(2542,f m m m m =-++<，由二次函数的对称轴：25m =，∴()21455f m f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以当25m =时，12A B F F ''-的体积最大，此时121445A B F F V ''-=.【点睛】方法点睛：本题由平面解析几何转变成立体几何，需要自己建立新的坐标系，并能通过平面直角坐标系的点坐标得到对应在空间直角坐标系的坐标，然后利用立体几何的知识来解得答案.。

高二上数学试题及答案

高二上数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = x^2 + 1 \)D. \( y = \frac{1}{x} \)答案：B2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于？A. {1,2,3}B. {2,3}C. {4}D. {1}答案：B3. 计算以下极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B4. 以下哪个不等式是正确的？A. \( 2^3 > 3^2 \)B. \( 2^3 < 3^2 \)C. \( 2^3 = 3^2 \)D. \( 2^3 \leq 3^2 \)答案：A5. 已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，且\( f(1) = 2 \)，\( f(-1) = 2 \)，\( f(0) = 1 \)，则a的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A6. 以下哪个选项是复数的共轭？A. \( 3 + 4i \)B. \( 3 - 4i \)C. \( -3 + 4i \)D. \( -3 - 4i \)答案：B7. 计算以下定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \]A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{6} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：A8. 已知向量\( \vec{a} = (2, -1) \)，\( \vec{b} = (1, 3) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为？A. 5B. -1C. 1D. 3答案：C9. 以下哪个选项是双曲线的标准方程？A. \( x^2 - y^2 = 1 \)B. \( x^2 + y^2 = 1 \)C. \( x^2 - y^2 = -1 \)D. \( x^2 + y^2 = -1 \)答案：A10. 计算以下二项式展开式中\( x^3 \)的系数：\[ (x + 1)^5 \]A. 5B. 10C. 15D. 20答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列的首项为2，公差为3，则第5项为________。

河南省信阳2024-2025学年高二上学期期中考试数学含答案

河南省信阳2024-2025学年高二上期期中测试数学试题（答案在最后）命题人：一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知直线l 经过点(1,0)P ，且方向向量(1,2)v =，则l 的方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=2.已知()()2,2,11,1,a b k ==-- ，，且2a b ⊥ ，则k 的值为（）A.5B.5- C.3D.43.“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A.22(1)(5)9x y +++=B.22(1)(5)16x y +++=C.22(1)(5)9x y -+-= D.22(1)(5)25x y +++=5.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，2,3OM OA = 点N 为BC 的中点，则MN = （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +-6.已知抛物线2:8C x y =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，OP =PF =（）A.4B.6C.8D.107.已知椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()12,,,0330F F -，上的顶点为P ，且1260F PF ∠=︒，则此椭圆长轴为（）A.B. C.6 D.128.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 在C 的右支上，2QF 与C的一条渐近线平行，交C 的另一条渐近线于点P ，若1OQ PF ∥，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()1,2,3c =-，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底10.下列说法正确的是（）A.330y +-=的倾斜角为150︒B.若直线0ax by c ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <C.点()1,2--在直线()()()212430x y λλλλ++-+-=∈R 上D.存在a 使得直线32x ay +=与直线20ax y +=垂直11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列选项中正确的有（）A.异面直线1B D 与1AA 的夹角的正弦值为63B.二面角1A BD A --C.四棱锥111A BB D D -的外接球体积为3π2a D.三棱锥1A BC D -与三棱锥111A B D D -体积相等12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB ，圆2228C :(x a )(y -+-=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B.1ABC 的面积最大值为1C.若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D.若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P 的轨迹长度为三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.两条平行直线1:3450l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是_______．14.已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为43，P 为双曲线上一点，4OP =（O 为坐标原点），则12PF F 的面积为______.15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 的面积为9，则b 的值为______．16.已知棱长为1的正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则BN DM ⋅=_______四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知等腰ABC V 的一个顶点C 在直线l ：240x y -+=上，底边AB 的两端点坐标分别为()1,3A -，()2,0B ．（1）求边AB 上的高CH 所在直线方程；（2）求点C 到直线AB 的距离．18.已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．（1）若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值；（2）过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．19.已知椭圆M ：22221(3x y a a a +=>-倍.（1）求M 的方程；（2）若倾斜角为π4的直线l 与M 交于A ，B 两点，线段AB 的中点坐标为1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭，求m .20.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值.21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()2,P n 是抛物线C 上位于第一象限的一点，且4=PF .（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值.22.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，1//,AB CD A A ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．河南省信阳2024-2025学年高二上期期中测试数学试题命题人：一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知直线l 经过点(1,0)P ，且方向向量(1,2)v =，则l 的方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=【答案】B 【解析】【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可；【详解】因为直线的方向向量(1,2)v =，所以直线的斜率为2，又直线l 经过点(1,0)P ，所以直线方程为()021y x -=-，即220x y --=，故选：B.2.已知()()2,2,11,1,a b k ==-- ，，且2a b ⊥ ，则k 的值为（）A.5B.5- C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由题意可得20⋅=a b ，代入坐标计算可得答案．【详解】由题意可得()22,2,2b k =-- ，则24420a b k ⋅=--+= ，解之可得4k =.故选：D ．3.“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线平行的条件，判断“3m =-”和“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当3m =-时，直线11:02l x y --=与21:03l x y -+=平行；当直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行时，有()1230m m +-⨯=且1210m ⨯-⋅≠，解得3m =-，故“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的充要条件.故选：A.4.以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A.22(1)(5)9x y +++=B.22(1)(5)16x y +++=C.22(1)(5)9x y -+-=D.22(1)(5)25x y +++=【答案】D 【解析】【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.【详解】解：由题意，圆心坐标为点()1,5C --，半径为5，则圆的方程为22(1)(5)25x y +++=．故选：D ．5.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，2,3OM OA = 点N 为BC 的中点，则MN = （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量．【详解】点N 为BC 的中点，则有()12ON OB OC =+，所以()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ .故选：B.6.已知抛物线2:8C x y =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，43OP =PF =（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设()(),0P m n m ≥，结合3OP =4n =，由焦半径公式得到答案.【详解】抛物线2:8C x y =的焦点为()0,2F ，准线方程为2y =-，设()(),0P m n m ≥，则2228,3,m n m n ⎧=⎪+=，解得4n =或12n =-（舍去），则26PF n =+=．故选：B ．7.已知椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()12,,,0330F F -，上的顶点为P ，且1260F PF ∠=︒，则此椭圆长轴为（）A.3B.23C.6D.12【答案】D 【解析】【分析】根据焦点坐标得到c ，再由1260F PF ∠=得到a ，c 的关系求解.【详解】因为椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()123,0,3,0F F -，则3c =，又上顶点为P ，且1260F PF ∠=，所以1sin 302c a =︒=，所以6a =，故长轴长为12.故选：D8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 在C 的右支上，2QF 与C的一条渐近线平行，交C 的另一条渐近线于点P ，若1OQ PF ∥，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】设出直线2PF 的方程，与渐近线的方程联立，求出P 的坐标，由O 为12F F 的中点，1OQ PF ∥，得Q 为2PF 的中点，求出Q 的坐标，代入双曲线的方程求解即可.【详解】令()2,0F c ，由对称性，不妨设直线2PF 的方程为()by x c a=-，由()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x c =，2bc y a =-，即点P 的坐标为,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由O 为12F F 的中点，1OQ PF ∥，得Q 为2PF 的中点，则点Q 的坐标为3,44c bc a ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线的方程，有222222911616c b c a a b -=，即222c a =，222c a=，解得e =，所以双曲线C．故选：A二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,3c =- ，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底【答案】BC 【解析】【分析】对A ：计算出a b ⋅ 即可得；对B ：由向量共线定理计算即可得；对C ：计算a c ⋅ 并判断a 与c是否共线即可得；对D ：借助空间向量基本定理即可得.【详解】对A ：132********a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+⨯+⨯-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭r r ，故a 与b 不垂直，故A 错误；对B ：由13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 、()1,2,3c =-，有12b c = ，故b 与c 共线，故B 正确；对C ：()21022380a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=> ，且a 与c不共线，故a 与c所成角为锐角，故C 正确；对D ：由b 与c 共线，故a ，b ，c不可作为空间向量的一组基底，故D 错误.故选：BC .10.下列说法正确的是（）A.330y +-=的倾斜角为150︒B.若直线0ax by c ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <C.点()1,2--在直线()()()212430x y λλλλ++-+-=∈R 上D.存在a 使得直线32x ay +=与直线20ax y +=垂直【答案】ACD 【解析】【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A ；利用特殊值判断B ；将点的坐标代入方程即可判断C ；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D.【详解】对于A：直线330y +-=的斜率33k =-，所以该直线的倾斜角为150︒，故A 正确；对于B ：当0a =，0bc >时，直线cy b=-经过第三象限，故B 错误；对于C ：将()1,2--代入方程，则()2212430y λλ----+-=，即点()1,2--在直线上，故C 正确；对于D ：若两直线垂直，则320a a +=，解得0a =，故D 正确.故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列选项中正确的有（）A.异面直线1B D 与1AA 的夹角的正弦值为63B.二面角1A BD A --C.四棱锥111A BB D D -的外接球体积为3π2a D.三棱锥1A BC D -与三棱锥111A B D D -体积相等【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A ：根据异面直线的夹角分析求解；对于B ：分析可知1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，运算求解即可；对于C ：四棱锥111A BB D D -的外接球即为正方体的外接球，求正方体的外接球即可；对于D ：根据锥体的体积公式分析判断即可.【详解】对于A ：因为11//AA BB ，在1Rt B BD 中，1BB D ∠就是异面直线所成的角，且1,BD B D ==，则1sin3BB D ∠==，故A 正确；对于B ：连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA ⊥BD ，又因为BD ⊥AO ，1AA AO A ⋂=，1,AA AO ⊂平面1AOA ，可得BD ⊥平面1AOA ，且1AO ⊂平面1AOA ，则BD ⊥1A O ，可知1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，在1Rt A AO △中，1tan 222A OA a∠==B 错误；对于C ，显然四棱锥111A BB D D -的外接球即为正方体的外接球，因为正方体外接球的半径32R a =，所以正方体的外接球体积为3343ππ32V R a ==，故C 正确；对于D ，因为111111A B D D D A B D V V --=，三棱锥1A ABD -的高1AA 与三棱锥111D A B D -的高1DD 相等，底面积111ABD A B D S S =△△，故三棱锥1A ABD -与三棱锥111A B D D -体积相等，故D 正确.故选：ACD .12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB ，圆22228C :(x a )(y -+-=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B.1ABC 的面积最大值为1C.若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D.若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P的轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数a 的范围判断A ，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B ，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C ，先根据矩形性质结合垂径定理得到点P 的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D .【详解】对于A ，圆221:(1)2C x y -+=的圆心为1,0圆2228C :(x a )(y -+-=的圆心为(a，半径为当圆1C 和圆2C存在公共点时，12C C ≤≤2(1)a ≤-+≤，解得35a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[3,5]-，正确；对于B ，1ABC的面积为1111sin sin 12ABC S AC B AC B =∠=∠≤ ，当1π2AC B ∠=时，1ABC 的面积有最大值为1，正确；对于C ，当弦AB 垂直x 轴时，()()0,1,0,1A B -，所以()0111OA OB ⋅=+⨯-=- ，当弦AB 不垂直x 轴时，设弦AB 所在直线为y kx =，与圆221:(1)2C x y -+=联立得，()221210k x x +--=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12211x x k -=+，()()2221212121212211111OA OB x x y y x x k x x k x x k k -⋅=+=+=+=+⨯=-+ ，综上1OA OB ⋅=- ，恒为定值，错误；对于D ，设0，OP 中点00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点也是AB 中点，且ABOP ==，又AB =，所以=，化简得()220013x y -+=，所以点P 的轨迹为以1,0的圆，其周长为长度为，正确.故选：ABD三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.两条平行直线1:3450l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是_______．【答案】12##0.5【解析】【分析】将直线1l 的方程可化为68100x y +-=，利用平行线间的距离公式可求得结果.【详解】直线1l 的方程可化为68100x y +-=，且直线2l 的方程为6850x y +-=，所以，平行直线1l 与2l之间的距离为12d ==.故答案为：12.14.已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为43，P 为双曲线上一点，4OP =（O 为坐标原点），则12PF F 的面积为______.【答案】7【解析】【分析】由双曲线的离心率可求得c 的值，可求得12F F 的值，推导出12F PF ∠为直角，利用勾股定理结合双曲线的定义可求出12PF PF ⋅的值，再利用三角形的面积公式可求得12PF F 的面积.【详解】如图所示：因为双曲线C 的离心率433c c e a ===，所以4c =，128F F =，设点P 在双曲线的右支上，由1212142OP F F OF OF ====，可得22OPF OF P ∠=∠，11OPF OF P ∠=∠，所以，()121212121π22F PF OPF OPF OPF OPF OF P OF P ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=，由双曲线定义可得126PF PF -=，由勾股定理可得222121264PF PF F F +==，所以()222121212236PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=，可得1214PF PF ⋅=，因此12PF F 的面积为12172S PF PF =⋅=.故答案为：7.15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 的面积为9，则b 的值为______．【答案】3【解析】【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可.【详解】122PF PF a += ，222121224PF PF PF PF a ∴++⋅=，①又12,PF PF ⊥222212124PF PF F F c ∴+==②∴①-②得：()22212244PF PF a c b ⋅=-=，2121,2PF PF b ∴⋅=12PF F △的面积为9，1221219,02PF F S PF PF b b ∴=⋅==> ，3.b ∴=故答案为：3.16.已知棱长为1的正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则BN DM ⋅=_______【答案】12-##0.5-【解析】【分析】由题意可得：111,222BN BA BD DM BC BD =+=- ，根据空间向量的数量积运算求解.【详解】由题意可知：1BA BC BD === ，且12BA BC BA BD BC BD ⋅=⋅=⋅= ，因为M 为BC 中点，N 为AD中点，则111,222BN BA BD DM BM BD BC BD =+=-=- ，所以111222BN DM BA BD BC BD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211114422BA BC BD BC BA BD BD =⋅+⋅-⋅-uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu u r uu u r 1111111142422222=⨯+⨯-⨯-=-.故答案为：12-四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知等腰ABC V 的一个顶点C 在直线l ：240x y -+=上，底边AB 的两端点坐标分别为()1,3A -，()2,0B ．（1）求边AB 上的高CH 所在直线方程；（2）求点C 到直线AB 的距离．【答案】（1）10x y -+=（2）722【解析】【分析】（1）求出AB 的中点H 的坐标，利用垂直关系得到高CH 所在直线的斜率，得到高CH 所在直线方程；（2）联立两直线得到点C 的坐标，利用点到直线距离公式求出答案.【小问1详解】由题意可知，H 为AB 的中点，()1,3A - ，()2,0B ，13,22H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．又30112AB k -==---，11CH ABk k ∴=-=．CH ∴所在直线方程为3122y x -=-，即10x y -+=．【小问2详解】由24010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =-⎧⎨=-⎩，所以()3,2C --．又直线AB 方程为()2y x =--，即20x y +-=．∴点C 到直线AB 的距离722d ==．18.已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．（1）若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值；（2）过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．【答案】（1）2a =-或6-；（2）1x =或512290x y +-=．【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解；（2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解．【小问1详解】圆C 的方程为：22(3)(1)4x y -++=，则圆C 的圆心为(3,1)-，半径为2，直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB ==，解得2a=-或6-；【小问2详解】当切线的斜率不存在时，直线1x=，与圆C相切，切线的斜率存在时，可设切线为2(1)y k x-=-，即20kx y k--+=，2=，解得512k=-，故切线方程为512290x y+-=，综上所述，切线方程为1x=或512290x y+-=．19.已知椭圆M：22221(3x y aa a+=>-倍.（1）求M的方程；（2）若倾斜角为π4的直线l与M交于A，B两点，线段AB的中点坐标为1,2m⎛⎫⎪⎝⎭，求m.【答案】（1）22163x y+=（2）1m=-【解析】【分析】（1）根据条件确定a的值，即得椭圆的标准方程；（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.【小问1详解】由题意可得2a=26a=，所以M的方程为22163x y+=.【小问2详解】由题意得πtan14ABk==.设()11,A x y，()22,B x y，依题意可得12x x≠，且12122,1212x x my y+=⎧⎪⎨+=⨯=⎪⎩，由22112222163163x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()()()()12121212063x x x x y y y y-+-++=，则12122121106363y y m m x x -+⨯=+⨯=-，解得1m =-.经检验，点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆M 内.所以1m =-为所求.20.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立；（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果；【小问1详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,0,1,1,1P C D M N ,()()0,2,2,2,0,0PD CD =-=- ，()0,1,1MN = ，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则22020n PD y z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1y =，得()0,1,1n = ，因为//MN n ，所以MN ⊥平面PCD ；【小问2详解】()()()0,0,2,2,2,0,1,0,0,P C M ()1,0,2PM =- ，()1,2,0MC = ，设平面PMC 的一个法向量为(),,m a b c =，则2020m PM a c m MC a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2a =，得()2,1,1m =- ，()0,2,2,PD =- 设直线PD 与平面PMC 所成角为θ，则直线PD 与平面PMC所成角的正弦值为：3sin 3PD m PD m θ⋅===⋅ ．21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()2,P n 是抛物线C 上位于第一象限的一点，且4=PF.（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）28y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求p ，即可求抛物线的标准方程；（2）首先根据（1）的结果求点P 的坐标，设直线PM 和PN 的直线方程与抛物线方程联立，求得点,M N 的坐标，并表示直线MN 的坐标，即可证明.【小问1详解】由抛物线的定义知422p PF ==+，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】因为点P 的横坐标为2，即282y =⨯，解得4y =±，故P 点的坐标为()2,4，由题意可知，直线PM ，PN 不与x 轴平行，设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线PM ：()42m y x -=-，即42x my m =-+，代入抛物线的方程得()2842y my m =-+，即2832160y my m -+-=，则148y m +=，故184y m =-，所以()211428442882x my m m m m m m =-+=--+=-+，即()2882,84M m m m -+-，设直线PN ：()42m y x --=-，即42x my m =-++，同理可得284y m =--，则()222428442882x my m m m m m m =-++=---++=++，即()2882,84N m m m ++--直线MN 的斜率121216116MN y y m k x x m-===---，所以直线MN 的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线PM 与PN 的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两根之和公式求点,M N 的坐标.22.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，1//,AB CD A A ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）22211（3）11【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质可得四边形1D MPN 是平行四边形，再利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理计算即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，求出平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量后结合空间向量夹角公式计算即可得；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1NP CC ∥，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11D M CC ∥，则有1D M NP ∥、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1D N MP ∥，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有0,0,0、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、1,1,0、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB = ，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为 =1,1,1、 =2,2,2，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =、20z =，即()1,3,1m = ，()1,1,0n =，则cos ,11m n m n m n ⋅===⋅ ，故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为11；【小问3详解】由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m = ，则有111BB m m ⋅== ，即点B 到平面1CB M 的距离为11．。

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(答案)

长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z 34A x x x =∈+<，{}1,2,5B =-，则A B 中元素的个数为（）A.1B.4C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据并集的定义，即可求解.【详解】因为{}()(){}{}{}2Z 34Z 140Z 413,2,1,0A x x x x x x x x =∈+<=∈-+<=∈-<<=---，{}1,2,5B =-，所以{}3,2,1,0,2,5A B =--- ，有6个元素.故选：C.2.命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是（）A.x ∀∈Q ，2tan x ∉QB.x ∀∈Q ，2tan x ∈QC.x ∃∈Q ，2tan x ∈QD.x ∀∉Q ，2tan x ∈Q【答案】A 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得否定命题.【详解】命题“x ∃∈Q ，2tan x ∈Q ”的否定是x ∀∈Q ，2tan x ∉Q .故选：A.3.已知i 是虚数单位，则复数12i1i--的虚部是（）A.12-B.12C.32-D.32【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算得出结果.【详解】()()()()12i 1i 12i 3i 31i 1i 1i 1i 222-+--===---+，所以复数12i1i --的虚部为12-，故选：A.4.函数()ln e exxx f x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的定义域，排除CD 选项，再由函数()f x 的为偶函数，排除A 选项，即可求解.【详解】由函数()ln e exxx f x -=+，可得其定义域为{}0x x ≠，可排除C 、D 选项，又由()()ln ln e ee exxxxx x f x f x ----===++，所以函数()f x 为偶函数，排除A 选项.故选：B.5.已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则13x y+的最小值是（）A.8B.12C.16D.10+【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得.【详解】解：lg 2lg8lg 2x y +=()lg 28lg 2x y ∴⋅=322x y +∴=31x y ∴+=0x >，0y >()1313333101016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当14x y ==时取等号.故选：C【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.6.已知随机事件A ，B ，C 中，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.3P A =，()0.6P C =，则()P A B = （）A.0.4B.0.58C.0.7D.0.72【答案】B 【解析】【分析】由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 可知只需求出()(),P B P AB 即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解.【详解】()1()0.4P B P C =-=，()()()0.30.40.12P AB P A P B ==⨯=，所以()()()()0.30.40.120.58P A B P A P B P AB =+-=+-= .故选：B.7.甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.【详解】甲乙丙丁甲得奖乙得奖丙没得奖丁没得奖由上表知：若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.故选：D8.设5log 2a =，0.60.5b =，0.50.6c =，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.b a c>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性分别求出12a <，12b >，即可判断出b a >，再利用作差法比较,c b 的大小关系即可求解．【详解】解：551log 2log 2a =<=，10.620.150.5b ==>，b a ∴>，350.610.52b ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，120.530.65c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，10351011264b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∴==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，101210324353125c ⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，10102431124270312564200000c b -=-=> ，c b ∴>，c b a ∴>>，故选：A ．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象B.直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴C.()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】CD 【解析】【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可.【详解】对于A ，由()f x 的图象向左平移π6个单位得：ππππsin 2=sin 26362f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与得到函数()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不相同，故A 错误；对于B ，将π3x =代入得：πππ5πsin 2=sin 3366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时既不是最高点，也不是最低点，所以直线π3x =不是()f x 图象的一条对称轴，故B 错误；对于C ，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由于sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而2π7ππ3π,,3622⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ，将5π12x =代入得：5π5ππsin 2=sinπ012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时是函数零点，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确；故选：CD ．10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s ．记样本平均数为ω，样本方差为2s ，2222212[()][()]m n s s x s y m n m nωω=+-++-++．A.男生样本容量为50 B.每个女生被抽到的概率110C.抽取的样本的均值为165D.抽取的样本的方差为43【答案】ABD 【解析】【分析】根据抽样比即可求解人数判断A ，根据概率公式即可求解B ，根据平均数以及方差的计算公式即可求解CD.【详解】对于A ，男生被抽的人数为5009050900⨯=，故A 正确，对于B ，每个女生被抽到的概率为40090190040010⨯=，故B 正确，对于C166=，故C 错误，对于D ，样本的方差为22254[19(170166)][28(161166)]4399s =+-++-=，故D 正确，故选：ABD11.如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为4，M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且||1PC '=，则下列结论正确的有（）A.沿正方体的表面从点A 到点PB.保持PM 与BD '垂直时，点M的运动轨迹长度为C.若保持||PM =，则点M 的运动轨迹长度4π3D.平面AD P '截正方体ABCD A B C D -''''所得截面为等腰梯形【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面展开即可判断A ；过P 做平面//PEF 平面ACB '，即可判断B ；根据点M 的轨迹是圆弧，即可判断C ；作出正方体ABCD A B C D -''''被平面AD P '所截的截面即可判断D ．【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则AP ==<A 错误；对于B ，如图：DD ' 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DD AC '⊥，又AC BD ⊥，DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，AC ∴⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B ',AC BD '∴⊥，同理可得BD AB ''⊥，AC AC A '= ，AC ，AB '⊂平面ACB '．BD '∴⊥平面ACB '．∴过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊂/平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，//PG ∴平面ACB '，同理可得//GF平面ACB '，,,PG GF G PG GF ⋂=⊂平面PGF ，则平面//PGF 平面ACB '．设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且||1PC '=，可得||||1DG DF ==，//EF B C'∴34EF AD ==，故B 正确；对于C ，如图：若||PM =，则M 在以P 为球心，为半径的球面上，过点P 作PQ ⊥平面ADD A ''，则||1D Q '=，此时||2QM =．∴点M 在以Q 为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．点M 的运动轨迹长度2π4π×2=33，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，∴平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '．~PCH D DH ' ，∴||||||3||||||4PH PC HC D H DD DH ===''，~ICH ADH ，∴||||||3||||||4CI HC IH DA DH AH ===，∴||||||3||||||4PH IH PI D H AH AD ===''，//PI AD '∴，且||||PI AD '≠，∴截面AIPD '为梯形，||||AI PD '===，∴截面AIPD '为等腰梯形，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，若a b a b ⋅=-⋅ ，则m 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，得到向量,a b的夹角为πθ=，设(0)b a λλ=< ，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.【详解】设向量,a b的夹角为θ，因为a b a b ⋅=-⋅ ，可得cos 1θ=-，因为[0,π]θ∈，所以πθ=，即向量a 与向量b反向，又因为向量(1,1)a m =- ，(,3)b m m =+，设(0)b a λλ=< ，可得)((,13),1m m m λ-+=，可得3m m m λλλ=⎧⎨+=-⎩且0λ<解得1,1m λ=-=-.故答案为：1-.13.如图60°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB ，6AC BD ==，8AB =，则CD =__________．【答案】10【解析】【分析】过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，先证明BDE V 为等边三角形，从而得到DE ，再证明CE DE ⊥，进而利用勾股定理即可求解．【详解】如图，过点B 作BE AC ∥，且6BE AC ==，连接CE ，DE ，则60DBE ∠=︒，又6BD BE ==，所以BDE V 为等边三角形，所以6DE =，则四边形ABEC 为矩形，即CE AB =，由AC AB ⊥，则EB AB ⊥，又BD AB ⊥，且BD EB B = ，所以AB ⊥平面BDE ，所以CE ⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，所以CE DE ⊥，则由勾股定理得10CD ==．故答案为：10．14.若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t ，其中*N t ∈，则t 的一个取值可以为______．【答案】25（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据*N t ∈求解.【详解】如图所示的三棱锥中，5,21,23,29,8AB AC BC BD CD =====,在,ABC BCD 中，三边关系符合三角形的边角关系，设AD t =，则1329AC CD AD AC CD AD -<<+⇒<<且2434BD AC AD BD AC AD -<<+⇒<<，因此2429AD <<，由于*N t ∈，故可取25t =，故答案为：25（答案不唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设锐角ABC V 的内角、、A B C 的对边分别为,2sin a b c c A =,,，（1）求角C ；（2）若边7c =，面积为，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3；（2）20.【解析】【分析】（1）由正弦定理得到sin 2C =，求出π3C =；（2）由三角形面积得到40ab =，根据余弦定理得到13a b +=，从而得到周长.【小问1详解】由2sin c A 及正弦定理，得2sin sin C A A =，又π02A <<，得sin 0A >，所以3sin 2C =，又C 为锐角，所以π3C =；【小问2详解】由（1）得13sin 24ABC S ab C ab ===△40ab =，由余弦定理，得()()222222cos 22cos 3c a b ab C a b ab ab C a b ab =+-=+--=+-，所以()223169a b c ab +=+=，所以13a b +=，所以ABC V 的周长为13720l a b c =++=+=．16.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[)180,184，得到如下频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；（2）求这50名男生中身高在176cm 以上（含176cm ）的人数；（3）从这50名男生身高在176cm 以上（含176cm ）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率．【答案】（1）0.05；169.5（2）6（3）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解a 的值，再结合百分位数的定义即可求解结果；（2）根据图表先求出相应的频率，再求出频数即可；（3）根据图表先求出相应区间的人数，再根据古典概型求解概率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，()0.010.020.020.080.0741a +++++⨯=，解得0.05a =.因为()0.050.0740.48+⨯=，0.0840.32⨯=，所以第60百分位数落在[)168,172区间内，设第60百分位数为x ，则()1680.080.12x -⨯=，解得169.5x =，即第60百分位数为169.5.【小问2详解】由图知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数频率为0.0340.12⨯=，则身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为500.126⨯=.【小问3详解】由（2）知，身高在176cm 以上（含176cm ）的人数为6，则身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为1623⨯=，男生中身高在[)176,180内的人数为4，令身高在[)176,180内编号为1,2,3,4，身高在[)180,184内编号为5,6，则样本空间为()()()()(){()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()}3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，所以该2人中身高恰有1人在180cm 以上（含180cm ）的概率为815.17.如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，点E ，F 分别为棱BC ，PD 的中点，Q 是线段PC 上的一点．（1）若Q 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定PQ PC 的值；（2）若三棱锥C EQA -的体积为6，求直线AQ 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）23（2）14【解析】【分析】（1）根据线线平行可得平面BNMK //平面AEF ,即可根据中点关系，结合面面平行的性质，即可求解AQH ∠的余弦值，根据AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角即可求解.（2）根据体积公式可得Q 是PC 中点，进而根据线线垂直证明PD ⊥平面AEF ，即可根据三角形的边角关系，以及余弦定理求解【小问1详解】取PA 中点为K ，取PF 中点M ，过M 作//MN PQ ,连接BN ，由于1//,,2KF AD KF AD =且1//,2BE AD BE AD =，故//,KF BE BE KF =,故四边形BEFK 为平行四边形，故//BK EF ，BK ⊄平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,故//BK 平面AEF又//KM AF ,KM ⊄平面AEF ,AF ⊂平面AEF ,故//KM 平面AEF ,,,KM BK K KM BK ⋂=⊂平面BNMK ，故平面BNMK //平面AEF ,由于平面PBC 与平面BNMK 相交于BN ,于平面AEF 相交于EQ ，故//EQ BN ，又//MN PQ ，M 是PF 的中点，N 是BC 的中点，所以,NQ QC NQ PN ==,故Q 是PC 靠近于C 处的三等分点，故23PQ PC =【小问2详解】由于三棱锥C EQA -36，由于60,2ABC AB BC ∠=︒==,故ABC V 为等边三角形，故,3,AE BC AE ⊥=则11111331332326C EQA Q ECA ACE Q Q Q V V S h AE EC h h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⋅= ,故1Q h =，即Q 到平面ABCD 的距离为1，由于2PA =,故Q 是PC 中点，由于PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,故PA AE ⊥,又,//AE BC AD BC ⊥,则AE AD ⊥，,,PA AD A PA AD ⋂=⊂平面PAD ，故AE ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故AE PD ⊥,又,PA AD F =为中点，故AF PD ⊥,,,AF AE A AF AE ⋂=⊂平面AEF ，故PD ⊥平面AEF ，取CD 的中点H ，连接HQ ,则//HQ PD ,故HQ ⊥平面AEF ，22221111222,2222222AQ PC QH PD ==+===+=,223AH AD DH =-=,则2222231cos 24222AQ QH AH AQH AQ QH +-+-∠===⋅⨯⨯,由于AQH ∠为锐角，且AQ 与平面AEF 所成角与AQH ∠互为余角，因此AQ 与平面AEF 所成角的正弦值为1418.已知函数()sin cos f x a x b x =+，称非零向量(),p a b = 为()f x 的“特征向量”，()f x 为p 的“特征函数”．（1）设函数()ππ2sin cos 36h x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的“特征向量”；（2）若函数()f x 的“特征向量”为(3p = ，求当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）若)3,1p = 的“特征函数”为()f x ，11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦且方程()()()2230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（2433-（3）(]()1,34,5 ．【解析】【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可；（2）由已知可得π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求解；（3）由定义得()f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程()()()2230f x a f x a +-+-=得()1f x =或()3f x a =-且31a -≠，()1f x =求得两根，然后作出函数()f x ，11π[0,]6x ∈的图象，由图象可得()3f x a =-且31a -≠有两根的的范围．【小问1详解】因为()3131312cos sin cos sin cos sin 222222h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ℎ的“特征向量”为13,22p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意知()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由()85f x =得π82sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【小问3详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ,2π66x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．由()()()2230f x a f x a +-+-=得()()()()()130f x f x a ---=，所以()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0x =或2π3x =，即()1f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个根，因为方程()()()2230f x a f x a +-+-=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在4个不相等的实数根，所以当且仅当()3f x a =-且31a -≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3y a =-，因为方程()()34f x a a =-≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即当且仅当函数=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线()34y a a =-≠有两个公共点，由图像可知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a <£或45a <<，所以实数G 的取值范围是(]()1,34,5⋃．个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题.19.在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(,,)u a b c = ，点0000(,,)P x y z ．若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为000()()()0a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1α：210x y --=，平面1β：3210y z -+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的一个方向向量；（2）已知集合{(,,)|||1,||1,||1}P x y z x y z =≤≤≤，{(,,)|||||||2}Q x y z x y z =++≤，{(,,)|||||2,||||2,||||2}T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤．记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积为2V ，集合T 中所有点构成的几何体为W ．（ⅰ）求1V 和2V 的值；（ⅱ）求几何体W 的体积3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．【答案】（1）()1,2,3（2）（ⅰ）1323V =；2203V =；（ⅱ）316V =，12-【解析】【分析】（1）根据直线l 满足方程，对y 进行合理取值两次，求出,x z 即可求解；（2）（ⅰ）根据分析得到P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，然后用割补法求解体积即可；（ⅱ）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可．【小问1详解】直线l 是两个平面210x y --=与3210y z -+=的交线，所以直线l 上的点满足2103210x y y z --=⎧⎨-+=⎩，不妨设1y =，则1,2x z ==，不妨设3y =，则2,5x z ==，∴直线l 的一个方向向量为：()()21,31,521,2,3---=；【小问2详解】（ⅰ）记集合Q ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积分别为1V ，2V ，考虑集合Q 的子集{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，即为三个坐标平面与2x y z ++=转成的四面体，四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，此四面体的体积为1142(22)323Q V '=⨯⨯⨯⨯=，由对称性知13283Q V V '==，考虑到P 的子集P '构成的几何体为棱长为1的正方体，即{(,,)|01,01,01}P x y z x y z '=≤≤≤≤≤≤，{(,,)|2,0,0,0}Q x y z x y z x y z '=++≤≥≥≥，P Q ''∴ 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分，P '的体积1111P V '=⨯⨯=，三棱锥4123Q Q Q Q -的体积为41231111(11)326Q Q Q Q V -=⨯⨯⨯⨯=，P Q ''∴ 的体积为412315166P Q P Q Q Q Q V V V '''-=-=-= ，∴由对称性知22083P Q V V ''== ．（ⅱ）①记集合T 中所有点构成的几何体为W，如图，其中，正方体ABCD LIJM -即为集合P 所构成的区域，E ABCD -构成了一个正四棱锥，其中E 到面ABCD 的距离为2，1412233E ABCD V -=⨯⨯⨯=，W ∴的体积34686163P E ABCD V V V -=+=+⨯=．②由题意面EBC 的方程为20x z +-=，由题干定义知其法向量为1(1,0,1)n = ，面ECD 方程为20y z +-=，由题干定义知其法向量为2(0,1,1)n = ，1212121cos ,2||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅ ，由图知两个相邻面所成的角为钝角，∴所成二面角的余弦值为：12-．【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决．。

2023-2024学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列1,53,52，…的通项公式可能是a n =( )A. n 2+1n +1B. n +1n 2+1C. n 22n−1D. n 2+12n−12.圆(x +1)2+y 2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )A. 12B. 30C. 34D. 604.已知F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，点A(1,14)在C 上，则|AF|=( )A. 38B. 58C. 54D. 945.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=6，S 8=18，则S 16=( )A. 48B. 90C. 96D. 1626.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l 经过点T(1,12)与C 交于A ，B 两点.若T 是线段AB 的中点，则l 的方程为( )A. 4x−6y−1=0 B. 3x−2y−1=0 C. 4x +6y−7=0 D. 3x +2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，BD =4，AD 1⋅DC−AB 1⋅BC =5，则cos <AA 1，BD >=( )A. 512B. −512C. 415D. −4158.已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线y = 52b 与C 交于A ，B 两点.若△ABF 的周长为7a ，则C 的离心率为( )A. 43 B. 65 C. 2 105二、多选题：本题共4小题，共20分。

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。

A。

2π/3 B。

π/3 C。

π D。

3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。

答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。

A。

充要条件B。

充分不必要条件C。

必要不充分条件D。

既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。

答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。

A。

9 B。

27 C。

54 D。

72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。

答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。

A。

n^2/(n-1) B。

n(n+1)/(2n+1) C。

3(2n+3)/(2n+1) D。

3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。

答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。

A。

10 B。

8 C。

5 D。

2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。

答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。

其中真命题的个数为（）。

A。

0个 B。

1个 C。

2个 D。

3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。

答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。

2024年浙教新版高二数学上册阶段测试试卷含答案

2024年浙教新版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、如果a＞1，b＜-1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、二、四象限2、函数y=2sinx+2 的最大值和最小值分别为（）A. 4；0B. 2；-2C. 2；0D. 4；-43、已知数列中满足则的最小值为（）A. 7B.C. 9D.4、【题文】已知全集集合或则集合=（）A.B.C.D.5、关于函数f（x）=x2-2x+1的零点，下列说法正确的是（）A. 因为f（0）⋅f（2）＞0，所以f（x）在（0，2）内没有零点B. 因为1是f（x）的一个零点，所以f（0）⋅f（2）＜0C. 由于f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，所以f（x）在（-∞，0）内有唯一的一个零点D. 以上说法都不对6、已知直线l1:(a+1)x+y-2=0与直线l2:ax+(2a+2)y+1=0互相垂直,则实数a的值为（）A. 1或2B. 1或-2C. -1或2D. -1或-27、已知函数的一条对称轴方程为则函数f（x）的单调递增区间为（）A. （k∈Z）B. （k∈Z）C. （k∈Z）D. （k∈Z）8、若幂函数y=f(x)的图象经过点(−2,4)则在定义域内()A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、已知经过A（-1，a），B（a，8）两点的直线与直线2x-y+1=0平行，则实数a的值为____．10、设函数f（x）=若f（-4）=f（0），则函数y=f（x）-ln（x+2）的零点个数有____个．11、等于_______________．12、【题文】的算术平方根为__________．13、【题文】已知定义域为的函数满足：（1）对任意恒有成立；（2）当时，给出如下结论：①对任意有②函数的值域为③存在使得④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在使得”.其中所有正确结论的序号是____.14、【题文】曲线与轴的交点的切线方程为_______________。

高二上册数学试题及答案

高二上册数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，是一次函数的是：A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = sin(x)2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3}B. {2, 3, 4}C. {1, 2, 3, 4}D. {1, 4}3. 如果a，b是方程x^2 + 4x + 1 = 0的两个根，那么a+b的值是：A. -2B. -4C. 2D. 44. 已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA = 1/3，那么sinA的值是：A. 2√2/3B. √2/3C. √5/3D. 4√2/95. 函数f(x) = |x-1| + |x+2|的最小值是：A. 3B. 1C. 2D. 46. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，那么第5项a5的值是：A. 14B. 17C. 20D. 237. 根据二项式定理，(3+x)^5的展开式中x^3的系数是：A. 90B. 120C. 150D. 1808. 已知向量a=(3, 4)，b=(-1, 2)，那么向量a与向量b的点积是：A. 10B. 2C. -2D. 89. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标是：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 4)10. 抛物线y^2 = 4x的准线方程是：A. x = -1B. x = 1C. y = -1D. y = 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的导数是________。

12. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=1/2，那么第4项b4的值是________。

13. 已知三角形ABC的三边长分别为a=5，b=7，c=8，那么三角形ABC的面积是________。

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程；（2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0．（1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ．奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=．（1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分（3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5，解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分（2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0，则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）．所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。

2023-2024学年山东省青岛市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省青岛市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 的一方向向量为(1，√3)，则直线l 的倾斜角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为（） A ．112B ．16C ．14D ．123．已知双曲线C ：x 25−y 2b2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（）A ．√3B ．2C ．4D ．√314．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取60名组成亚运会志愿者，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性（） A ．都相等且为602023 B ．都相等且为3100C ．不完全相等D ．都不相等5．点P 在椭圆C ：x 23+y 24=1上，F （0，1），点P 到直线y ＝4的距离为d ，则（）A ．|PF |与d 无关B ．|PF |＝dC ．|PF|=d2D ．|PF |＝2d6．过三点A （1，2），B （3，2），C （1，﹣6）的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝（） A ．√3B ．2√3C ．√13D ．2√137．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p 满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p 按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +a n +7n的最小值为（）A ．172B ．192C ．10D ．118．已知抛物线C ：y 2＝4x 与过焦点F 的一条直线相交于A ，B 两点，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线l 于点M ，则下列结论正确的是（） A ．准线l 的方程是x ＝﹣2B ．以AB 为直径的圆与y 轴相切C．|AB||MF|的最小值为2D．△ABM的面积最小值为2二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则（）A．这组数据的极差为39B．这组数据的众数为33C．这组数据的中位数为31或33D．这组数据的第60百分位数为3310．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．方程kx﹣y+3k+1＝0表示的直线必过点（﹣3，1）B．过点（2，5）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣7＝0C．圆C1：(x−1)2+y2=1和圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0的公共弦所在的直线方程为x+2y﹣2＝0D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则b=−1±√211．在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则（）A．{a n a n+1}的公比为9B．{log3a n+1}的前20项和为210C．{a n}的前20项积为3200D．∑n k=1(a k+a k+1)=2(3n−1−1)12．已知双曲线C：x2﹣y2＝4，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则（）A．双曲线的离心率为2B．存在点M，使得四边形OAMB为正方形C．四边形OAMB的面积为2D．四边形OAMB的周长最小值为2√2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设A，B，C为三个随机事件，若A与B是互斥事件，B与C是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，则P（A∪B）＝．14．已知抛物线C的准线与圆M：（x﹣1）2+（y+1）2＝4相切，请写出一个抛物线C的标准方程为．15．已知P（x0，y0）是圆C：（x﹣1）2+y2＝1上任意一点，则y0+1x0+1的取值范围为．16．（3分）已知数列{a n}的通项公式a n＝2n+1，记b m为{a n}在区间[m+2，2m+2）（m∈N*）内项的个数，则b4＝；使得不等式b m+1﹣b m＞1048成立的m的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知点A（﹣2，1），B（2，4），C（2，1）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上．（1）求E的标准方程；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣4，证明：直线MN过定点．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1log2a n⋅log2a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，证明T n＜34．19．（12分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足2|MA|＝|MB|．（1）求动点M的轨迹方程；（2）一条光线从点C（2，1）射出，经x轴反射与动点M的轨迹交于E，F两点，其中|EF|=2√3，求反射光线所在直线的方程．20．（12分）现从某校高二年级的等级考物理成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求这100名学生的原始成绩的中位数；（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，再从这7人中选取2人，求这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率；（3）若在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．求在[50，70）内的平均成绩z，并估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差s2．21．（12分）在通信技术中由0和1组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个0﹣1序列的长度．如010*******是一个长度为10的0﹣1序列．长为n的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列个数设为a n，长度为1的0﹣1序列为：0，1，都满足数列{a n}，a1＝2；长度为2且满足数列{a n}的0﹣1序列为：00，01，10，a2＝3．（1）求a3，a4；（2）求数列{a n}中a n+2，a n+1，a n的递推关系；（3）记S n是数列{a n}的前n项和，证明：a n+2﹣S n为定值．22．（12分）已知双曲线W：2x2﹣2y2＝1与椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点相同，点P是W和C在第一象限的公共点，记W的左，右焦点依次为F1，F2，|PF2|=√22．（1）求C的标准方程；（2）设点Q在C上且在第一象限，QF1，QF2的延长线分别交C于点E1，E2，设r1，r2分别为△QF1E2，△QF2E1的内切圆半径，求r1﹣r2的最大值．2023-2024学年山东省青岛市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 的一方向向量为(1，√3)，则直线l 的倾斜角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），则tan θ=√3，∴θ＝60°．故选：B ．2．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为（） A ．112B ．16C ．14D ．12解：甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为P =34×23=12．故选：D ．3．已知双曲线C ：x 25−y 2b2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（）A ．√3B ．2C ．4D ．√31解：根据题意可得2√5+b 2=6，∴b 2＝4，∴双曲线的虚半轴长b ＝2， ∴根据双曲线的几何性质可得：双曲线C 的焦点到渐近线的距离为b ＝2．故选：B ．4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取60名组成亚运会志愿者，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性（） A ．都相等且为602023 B ．都相等且为3100C ．不完全相等D ．都不相等解：先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除20名，每个个体被抽取的概率相等，再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性为602023．故选：A ． 5．点P 在椭圆C ：x 23+y 24=1上，F （0，1），点P 到直线y ＝4的距离为d ，则（）A．|PF|与d无关B．|PF|＝d C．|PF|=d2D．|PF|＝2d解：∵在椭圆C：x23+y24=1中，a＝2，b=√3，c＝1，∴椭圆的上准线方程为y=a2c=4，e=ca=12∴|PF|d=e=12，∴|PF|=12d．故选：C．6．过三点A（1，2），B（3，2），C（1，﹣6）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（）A．√3B．2√3C．√13D．2√13解：过三点A（1，2），B（3，2），C（1，﹣6）的圆，圆心分别在直线x＝2，y＝﹣2的直线上，故圆心坐标为E（2，﹣2），故半径r=|AE|=√17，故圆的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝17，令x＝0，解得y1=√13−2，y2=−√13−2，故|MN|＝|y1﹣y2|=2√13．故选：D．7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，记数列{a n}的前n项和为S n，则S n+a n+7n的最小值为（）A．172B．192C．10D．11解：由题意，可知a n＝2+3•（n﹣1）＝3n﹣1，n∈N*，故数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴S n＝2n+n(n−1)2•3=32n2+12n，∴S n+a n+7n=32n2+12n+3n−1+7n=32n2+72n+6n=32n+6n+72≥2√3n2⋅6n+72＝2×3+72=192，当且仅当32n=6n，即n＝2时，等号成立，∴当n＝2时，S n+a n+7n取得最小值为192．故选：B．8．已知抛物线C：y2＝4x与过焦点F的一条直线相交于A，B两点，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线l于点M，则下列结论正确的是（）A．准线l的方程是x＝﹣2B．以AB为直径的圆与y轴相切C．|AB||MF|的最小值为2D．△ABM的面积最小值为2解：由题意知，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，即选项A错误；设直线AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{x=ty+1y2=4x，得y2﹣4ty﹣4＝0，所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以x1+x2＝t（y1+y2）+2＝4t2+2，x1x2=y12⋅y224⋅4=1，所以|AB|＝x1+x2+p＝4t2+2+2＝4t2+4，线段AB的中点为（x1+x22，y1+y22），即（2t2+1，2t），其到y轴的距离为2t2+1，而以线段AB为直径的圆的半径为12|AB|＝2t2+2≠2t2+1，因此以AB为直径的圆不与y轴相切，即选项B错误；选项C，因为MF与AB垂直，所以直线MF的斜率为﹣t，其方程为y＝﹣t（x﹣1），联立{y=−t(x−1)x=−1，解得{x=−1y=2t，即M（﹣1，2t），所以点M到直线AB的距离|MF|=2√t+1=2√t2+1，所以|AB||MF|=22√t2+1=2√t2+1≥2，当且仅当t＝0时，等号成立，所以|AB||MF|的最小值为2，即选项C正确；选项D，△ABM的面积S=12|AB|•|MF|=12×（4t2+4）×2√t2+1=4(t2+1)32≥4，当且仅当t＝0时，等号成立，所以△ABM的面积最小值为4，即选项D错误．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则（）A．这组数据的极差为39B．这组数据的众数为33C．这组数据的中位数为31或33D．这组数据的第60百分位数为33解：连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值从小到大为：17，23，26，30，31，33，33，35，41，56，对于A，这组数据的极差为56﹣17＝39，故A正确；对于B，这组数据的众数为33，故B正确；对于C，这组数据的中位数为31+332=32，故C错误；对于D，10×60%＝6，∴这组数据的第60百分位数为33，故D正确．故选：ABD．10．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．方程kx﹣y+3k+1＝0表示的直线必过点（﹣3，1）B．过点（2，5）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣7＝0C．圆C1：(x−1)2+y2=1和圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0的公共弦所在的直线方程为x+2y﹣2＝0D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则b=−1±√2解：对于A：因为kx﹣y+3k+1＝0，所以y﹣1＝k（x+3），即直线过点（﹣3，1），故A正确；对于B：设直线y＝kx+b，代入点（2，5）得2k+b＝5，令x＝0，则y＝b＝5﹣2k，令y＝0，则x=−bk=−5−2kk，由5﹣2k=−5−2kk，得（5﹣2k）（k+1）＝0，所以5﹣2k＝0或k+1＝0，解得k=52或k＝﹣1，当k＝﹣1时，b＝7，所以y＝﹣x+7，b=−1±√2当k=52时，b＝0，所以y=52x，故B不正确；对于C：已知圆C1：(x−1)2+y2=1，即x2+y2﹣2x＝0，圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0，两式相减得：2x+4y﹣4＝0，即x+2y﹣2＝0，故C正确；对于D；因为圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，所以圆心（1，0）到直线的距离等于半径的一半，即√2=1，解得b=−1±√2，故D正确．故选：ACD．11．在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则（）A．{a n a n+1}的公比为9B．{log3a n+1}的前20项和为210C．{a n}的前20项积为3200D．∑n k=1(a k+a k+1)=2(3n−1−1)解：等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则q3=a4a1=27，即q＝3，所以a n＝3n﹣1，A ：a n a n+1a n−1a n=a n+1a n−1=9，A 正确；B ：log 3a n +1＝lo g 33n =n ，故前20项和为1+2+ (20)20(1+20)2=210，B 正确； C ：{a n }的前20项积为1×3×32×…×319＝3190，C 错误； D ：∑ n k=1（a k +a k +1）＝a 1+a 2+…+a n +（a 2+a 3+…+a n +1）=1−3n1−3+3(1−3n)1−3＝2（3n ﹣1），D 错误；故选：AB ．12．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝4，点M 为双曲线右支上的一个动点，过点M 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B 两点，则（） A ．双曲线的离心率为2B ．存在点M ，使得四边形OAMB 为正方形C ．四边形OAMB 的面积为2D ．四边形OAMB 的周长最小值为2√2解：对于A ，易知双曲线C 为等轴双曲线，a ＝b ＝2，c =√a 2+b 2=2√2，则离心率为e =ca=√2，故A 错误；对于B ，双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的渐近线为y ＝±x ，则四边形OAMB 为矩形，又双曲线右顶点为(√2，0)， (√2，0) 到直线y ＝±x 的距离均为√2√2=1，故矩形OAMB 为正方形，即存在点M ，即M 为双曲线右顶点时，使得四边形OAMB 为正方形，故B 正确；对于C ，设M （x 0，y 0），则x 02−y 02=4，由点到直线的距离得|MA |=00√2，|MB |=00√2，四边形OAMB 的面积为|MA |•|MB |=00√2•00√2=x 02−y 022=2，故C 正确；对于D ，根据双曲线的对称性，不妨设M 在第一象限，B 在第四象限，则x 0＞y 0，x 0≥2，因为|MA |=002，|MB |=002，所以|MA |+|MB |=√2x 0≥2√2，四边形OAMB 的周长为2（|MA |+|MB |）≥4√2，周长最小值为4√2，故D 错误．故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设A ，B ，C 为三个随机事件，若A 与B 是互斥事件，B 与C 是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，则P （A ∪B ）＝12．解：设A ，B ，C 为三个随机事件，A 与B 是互斥事件， B 与C 是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，∴P （B ）＝1﹣P （C ）＝1−23=13，则P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）=16+13=12．故答案为：12．14．已知抛物线C 的准线与圆M ：（x ﹣1）2+（y +1）2＝4相切，请写出一个抛物线C 的标准方程为 y 2＝4x （答案不唯一）．解：因为抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 的准线与圆M ：（x ﹣1）2+（y +1）2＝4相切，当焦点在x 轴正半轴时，可得准线方程为x ＝﹣1，可得抛物线方程为：y 2＝4x （本题答案不唯一）．（y 2＝4x ，y 2＝﹣12x ，x 2＝﹣4y ，x 2＝12y ，中任意一个即可）．故答案为：y 2＝4x （答案不唯一）．15．已知P （x 0，y 0）是圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1上任意一点，则y 0+1x 0+1的取值范围为 [0，43] ．解：设k =y 0+1x 0+1，变形可得k （x 0+1）﹣y 0﹣1＝0，则k =y 0+1x 0+1的几何意义为直线k （x +1）﹣y ﹣1＝0的斜率， P （x 0，y 0）是圆C ：x 2+y 2﹣2x ＝0上任意一点，则√1+k 2≤1，解得0≤k ≤43，即k =y 0+1x 0+1的取值范围为[0，43]．故答案为：[0，43]．16．（3分）已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n +1，记b m 为{a n }在区间[m +2，2m +2）（m ∈N *）内项的个数，则b 4＝ 6 ；使得不等式b m +1﹣b m ＞1048成立的m 的最小值为 12 ．解：∵a n ＝2n +1，b m 为{a n }在区间[m +2，2m +2）（m ∈N *）内项的个数， ∴22n ﹣1+1＝2n +1+2（b 2n ﹣1﹣1）⇒b 2n−1=22n−2−n +1=22n−1−1−2n−12+12， 22n +1＝2n +3+2（b 2n ﹣1）⇒b 2n =22n−1−n =22n−1−2n2，∴b n=2n−1−n2+1−(−1)n4，b4＝6，b m+1﹣b m＞1048⇒2m−m+12+1−(−1)m+14−2m−1+m2−1−(−1)m4＞1048⇒2m+（﹣1）m＞2097，∴m的最小值为12．故答案为：6，12．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知点A（﹣2，1），B（2，4），C（2，1）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上．（1）求E的标准方程；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣4，证明：直线MN过定点．（1）解：由抛物线的对称性可知点A（﹣2，1），C（2，1）在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上，所以4＝2p，即p＝2，故抛物线E的标准方程为x2＝4y．（2）证明：设直线MN为y＝kx+b，联立{y=kx+bx2=4y，得x2﹣4kx﹣4b＝0，因为M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1x2＝﹣4b＝﹣4，即b＝1，所以直线MN为y＝kx+1，过定点（0，1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1log2a n⋅log2a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，证明T n＜34．解：（1）∵a n+1＝S n+2，∴当n≥2时，a n＝S n﹣1+2，两式相减，得a n+1﹣a n＝a n，即a n+1＝2a n，又∵a1＝2，∴a2＝S1+2＝2+2＝4，满足上式，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n=2n；证明：（2）∵b n=1log2a n⋅log2a n+2=1log22n⋅log22n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n＝b1+b2+⋯+b n=12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12（1+12−1n+1−1n+2）=34−12(1n+1+1n+2)＜34．19．（12分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足2|MA|＝|MB|．（1）求动点M的轨迹方程；（2）一条光线从点C（2，1）射出，经x轴反射与动点M的轨迹交于E，F两点，其中|EF|=2√3，求反射光线所在直线的方程．解：（1）设M（x，y），又A（﹣1，0），B（2，0），且2|MA|＝|MB|，∴2√(x+1)2+y2=√(x−2)2+y2，两边平方化简可得（x+2）2+y2＝4，∴点M的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4；（2）设点C（2，1）关于x轴的对称点为P，则P（2，﹣1），根据对称性设反射光线所在直线l的方程为y+1＝k（x﹣2），k＜0，由（1）知点M的轨迹为圆E：（x+2）2+y2＝4，圆心E（﹣2，0），半径r＝2，又反射光线所在直线l：kx﹣y﹣1﹣2k＝0被圆E所截弦|EF|=2√3，∴圆心E（﹣2，0）到直线l：kx﹣y﹣1﹣2k＝0的距离d=√r2−(|EF|2)2=√4−3=1，又d=|4k+1|√k+1=1，k＜0，解得k=−815，∴反射光线所在直线l的方程为y+1=−815（x﹣2），即8x+15y﹣1＝0．20．（12分）现从某校高二年级的等级考物理成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求这100名学生的原始成绩的中位数；（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，再从这7人中选取2人，求这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率；（3）若在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．求在[50，70）内的平均成绩z，并估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差s2．解：（1）由频率分布直方图得：[40，70）的频率为（0.005+0.010+0.020）×10＝0.35，[40，80）的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030）×10＝0.65，∴这100名学生的原始成绩的中位数为：70+0.5−0.350.30×10=75．（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，则[80，90）内抽取7×0.0250.025+0.010=5人，[90，100]内抽取7×0.0100.025+0.010=2人，再从这7人中选取2人，基本事件总数n=C72=21，这2人的原始成绩都在[80，90）内包含的基本事件个数m=C52=10，∴这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率为P=mn=1021；（3）在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．在[50，60）内有100×0.010×10＝10人，在[60，70）内有100×0.020×10＝20人，∴在[50，70）内的平均成绩z=57×10+63×2030=61，估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差为：s2=130{10×[8+（61﹣57）2]+20×[11+（61﹣63）2]}＝8．21．（12分）在通信技术中由0和1组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个0﹣1序列的长度．如010*******是一个长度为10的0﹣1序列．长为n的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列个数设为a n，长度为1的0﹣1序列为：0，1，都满足数列{a n}，a1＝2；长度为2且满足数列{a n}的0﹣1序列为：00，01，10，a2＝3．（1）求a3，a4；（2）求数列{a n}中a n+2，a n+1，a n的递推关系；（3）记S n是数列{a n}的前n项和，证明：a n+2﹣S n为定值．解：（1）由题意知：a3＝5，设长为4的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列有a4个，考虑最后一个数：若最后一位是0，则只要前3位任何两个1不相邻，则满足要求的序列有a3个，若最后一位是1，则倒数第二位是0，只要前2位任何两个1不相邻即可，满足要求的序列有a2个，所以a4＝a3+a2＝8；（2）考虑长度为n+2的0﹣1序列最后一个数：如果最后一位是0，则只要前n+1位任何两个1不相邻，则满足要求的序列有a n+1个；若最后一位是1，则倒数第二位是0，于是只要前n位任何两个1不相邻即可，则满足要求的序列有a n个，所以a n+2＝a n+1+a n；证明：（3）因为a n +2＝a n +1+a n ，所以（a n +3﹣S n +1）﹣（a n +2﹣S n ）＝a n +3﹣a n +2﹣（S n +1﹣S n ）＝a n +1﹣a n +1＝0，所以数列{a n +2﹣S n }是常数列，所以a n +2﹣S n ＝a 3﹣S 1＝3为定值．22．（12分）已知双曲线W ：2x 2﹣2y 2＝1与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦点相同，点P 是W 和C 在第一象限的公共点，记W 的左，右焦点依次为F 1，F 2，|PF 2|=√22．（1）求C 的标准方程；（2）设点Q 在C 上且在第一象限，QF 1，QF 2的延长线分别交C 于点E 1，E 2，设r 1，r 2分别为△QF 1E 2，△QF 2E 1的内切圆半径，求r 1﹣r 2的最大值．解：（1）由题意知：{|PF 1|−|PF 2|=√2|PF 1+|PF 2|=2a |PF 2|=√22，所以a =√2，又因为√a 2−b 2=1，所以b ＝1，则椭圆的标准方程为x 22+y 2=1；（2）设Q （x 0，y 0），E 1（x 1，y 1），E 2（x 2，y 2），显然x 0＞0，y 0＞0，y 1＜0，y 2＜0，由椭圆定义知：△QF 1E 2，△QF 2E 1的周长均为l =4√2，所以r 1=2S △QF1E 2l =|F 1F 2|(y 0−y 2)l =0222，同理r 2=0122，所以r 1−r 2=1222，设直线QF 1：x ＝my ﹣1，m =x 0+1y 0，将直线QF 1方程代入椭圆C 的方程x 22+y 2=1得：（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0，所以y 0y 1=−1m 2+2=−1(x 0+1y 0)2+2=−y 02x 02+2x 0+1+2y 02=−y 023+2x 0，即y 1=−y 03+2x 0，同理y 2=−y 03−2x 0，所以r 1−r 2=1222=√2x 0y 09−4x 02=√2x 0y 0x 022+9y 02≤√2x 002√x 02×9y 02=13，当且仅当x 0=3√55，y 0=√1010时等号成立，所以r 1﹣r 2的最大值为13．。

2023-2024学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．经过两点P(0，−3)，Q(−√3，0)的直线的倾斜角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．圆（x +1）2+（y +1）2＝2的圆心坐标和半径分别为（） A ．（1，1），2 B ．(1，1)，√2 C ．（﹣1，﹣1），2D ．(−1，−1)，√23．已知{a n }是等差数列，a 6＝8，a 8＝6，则a 14＝（） A ．﹣14B ．﹣6C ．0D ．144．已知函数f （x ）的定义域为（a ，b ），导函数f ′（x ）的图象如图所示，则函数f （x ）的极小值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．若椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则C 的离心率为（） A ．2√19−110B ．4√13−217 C ．45D ．356．若函数y =a+cosxx在区间（0，π）上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．[−π2，+∞)B ．(−∞，−π2]C ．（﹣∞，﹣1]D ．[﹣1，+∞）7．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=3a n +2，n ∈N ∗．记数列{a n +1(a n +3)(a n+1+3)}的前n 项和为T n ．若对任意的n ∈N *，都有k ＞T n ，则实数k 的取值范围为（） A ．[110，+∞)B ．(110，+∞) C ．[15，+∞)D ．(15，+∞)8．已知a =ln1311，b =213，c =sin 1311−1113，则（） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．b ＞c ＞a D ．a ＞c ＞b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

高二上学期数学测试试题及其答案

河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2023-2024学年江苏省常州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

数学期末考试试卷及答案(高二上学期)

浙江省宁波市镇海2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷含答案

山东省德州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

高二上数学试题及答案

河南省信阳2024-2025学年高二上学期期中考试数学含答案

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(答案)

2023-2024学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

2024年浙教新版高二数学上册阶段测试试卷含答案

最新高二(上)数学试卷附带参考答案

高二上册数学试题及答案

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

2023-2024学年山东省青岛市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

最新高二(上)考试数学试卷附带参考答案

高二上学期数学测试试题及其答案

河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2023-2024学年江苏省常州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

数学期末考试试卷及答案(高二上学期)

浙江省宁波市镇海2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷含答案

山东省德州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

高二上数学试题及答案

河南省信阳2024-2025学年高二上学期期中考试 数学含答案

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(答案)

2023-2024学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

2024年浙教新版高二数学上册阶段测试试卷含答案

最新高二(上)数学试卷 附带参考答案

高二上册数学试题及答案

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

2023-2024学年山东省青岛市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

最新高二(上)考试 数学试卷附带参考答案

河南省信阳2024-2025学年高二上学期期中考试数学含答案

最新高二(上)数学试卷附带参考答案

最新高二(上)考试数学试卷附带参考答案