高二上学期数学测试试题及其答案

禄劝一中342班数学选修2-1测试题
一、选择题【60】
1.“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为( )
A ．若x 2≠1，则x ＝1
B ．若x 2＝1，则x ≠1
C ．若x 2≠1，则x ≠1
D ．若x ≠1，则x 2≠1
[答案] C
[解析] “若p 则q ”的否命题形式为“若¬p 则¬q ”．
2.命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a 、b 、c ∈R )”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] B
[解析] 逆命题与否命题为真．
3.已知p ：x 2－x <0，那么命题p 的一个充分条件是( ) A ．1<x <3 B ．－1<x <1 C.13<x <34
D ．1
2<x <5
[答案] C
[解析] x 2－x <0，∴0<x <1， ∵13<x <3
4
⇒0<x <1 ∴p 的一个充分条件为13<x <34
4.设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当x ＝2，y ＝－1时，有2－1－1＝0成立，此时P (2，－1)在直线上，而点P (x ，y )在直线l 上，并不确定有“x ＝2且y ＝－1”．
5.已知命题p 、q ，则命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的导学号 33780164( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] p ∧q 为真⇒p 真且q 真⇒p ∨q 为真；
p ∨q 为真⇒p 真或q 真⇒/p ∧q 为真．所以，“p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的必要不充分条件．
6.下列命题中，真命题是( )
A ．∀x ∈R ，x 2≥x
B ．命题“若x ＝1，则x 2＝1”的逆命题
C ．∃x 0∈R ，x 20≥x 0
D ．命题“若x ≠y ，则sin x ≠sin y ”的逆否命题
[答案] C
[解析] ∵x 2－x ≥0的解为x ≤0或x ≥1，∴存在x 0∈{x |x ≤0或x ≥1}，使x 2
0≥x 0，故C
为真命题．
7.直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值为( )
A ．－1
B ．12
C ．－1或1
D ．－12或12
[答案] C
[解析] 椭圆方程化为标准形式为
x 2＋
y 2
10
＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.
8.正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝AB ＝2，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为( ) A.
36 B ．66 C.33 D ．63
[答案] C
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz
由题意得A (1，－1,0)、C (－1,1,0)、B (1,1,0)、S (0,0，2)． ∴CA →＝(2，－2,0)，BS →＝(－1，－1，2)，CS →
＝(1，－1，2)． 设平面SBC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BS →＝0n ·
CS →＝0，∴⎩⎨⎧
－x －y ＋2z ＝0x －y ＋2z ＝0，
令z ＝2，得x ＝0，y ＝2， ∴n ＝(0,2，2)．
设直线AC 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AC →
〉|＝
422×6＝3
3
.
9.点P 为椭圆x 25＋y 2
4＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的
坐标为( )
A ．(±
152，1) B ．(152，±1) C ．(152，1) D ．(±152
，±1) [答案] D
[解析] 设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1， ∴S △PF 1F 2＝1
2
|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，
∵x 205＋y 20
4
＝1，
∴x 0＝±
15
2
.故选D. 10.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )
A ．16
B ．18
C ．21
D ．26
[答案] D
[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，
∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，
∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5 ＝26.
11.直线l 经过P (1,1)且与双曲线x 2－
y 2
2
＝1交于A 、B 两点，如果点P 是线段AB 的中点，那么直线l 的方程为( )
A ．2x －y －1＝0
B ．2x ＋y －3＝0
C ．x －2y ＋1＝0
D ．不存在
[答案] D
[解析] 当斜率不存在时，方程为x ＝1，与双曲线相切不符合题意，当斜率存在时，设
A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，代入双曲线方程得⎩⎨⎧
x 2
1－y 212
＝1.
x 22
－y
22
2＝1，
两式相减的x 21－x 2
2＝12
(y 21－y 22)，整理求出k ＝2，则直线方程为y ＝2x －1，联立直线方程与双曲线方程后检验Δ<0，方程无解，所以不存在．
12.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →
|＋|FB →|＋|FC →
|等于( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
[答案] B
[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →
＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B. 二、填空题【20】
13. “1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m
＝1表示椭圆”的 条件
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] 必要
14.双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A (－5，6)，则双曲线的标准方程为________.
[答案] y 216－x 2
20
＝1
[解析] 解法一：由已知得，c ＝6，且焦点在y 轴上，则另一焦点坐标是(0,6)． 因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即 2a ＝|(－5)2＋(6＋6)2－(－5)2＋(6－6)2| ＝|13－5|＝8，
得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.
因此，所求的双曲线标准方程是y 216－x 2
20
＝1.
15.已知向量n ＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A (－1,2,1)在α内，则 P (1,2,2)到α的距离为
[解析] ∵P A →
＝(－2,0,3)，∴点P 到平面α的距离为d ＝|P A →·n ||n |＝|－4＋3|5＝55.
16.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________.
[答案]
6
4
[解析] 解法一：取AC 、A 1C 1的中点M 、M 1，连接MM 1、BM .过D 作DN ∥BM ，则容易证明DN ⊥平面AA 1C 1C .连接AN ，则∠DAN 就是AD 与平面AA 1C 1C 所成的角．
在Rt △DAN 中， sin ∠DAN ＝ND AD ＝3
22＝6
4
.
解法二：取AC 、A 1C 1中点O 、E ，则OB ⊥AC ，OE ⊥平面ABC ，以O 为原点OA 、OB 、OE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
在正三角形ABC 中，BM ＝
32AB ＝3
2
， ∴A ⎝⎛⎭⎫12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，32，0，D ⎝⎛⎭⎫0，3
2，1， ∴AD →
＝⎝⎛⎭
⎫－12，32，1，
又平面AA 1C 1C 的法向量为e ＝(0,1,0)， 设直线AD 与平面AA 1C 1C 所成角为θ，则
sin θ＝|cos 〈AD →
，e 〉|＝|AD →·e ||AD →
|·|e |＝64.
解法三：设BA →＝b ，BC →＝a ，BD →
＝c ， 由条件知a ·b ＝1
2，a ·c ＝0，b ·c ＝0，
又AD →＝BD →－BA →
＝c －b ，
平面AA 1C 1C 的法向量BM →＝1
2(a ＋b )．
设直线AD 与平面AA 1C 1C 成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AD →，BM →
〉|＝|AD →·BM →||AD →|·|BM →|，
∵AD →·BM →
＝(c －b )·12(a ＋b )
＝12a ·c －12a ·b ＋12b ·c －12|b |2＝－34. |AD →
|2＝(c －b )2＝|c |2＋|b |2－2b ·c ＝2， ∴|AD →
|＝2，
|BM →|2＝14(a ＋b )2＝14(|a |2＋|b |2＋2a ·b )＝34，∴|BM →
|＝32，∴sin θ＝64.
三、解答题【70】
17.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点.
(1)求证：B 1E ⊥AD 1；
(2)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．
[解析] (1)以A 为原点，AB →、AD →、AA 1→
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．
设AB ＝a ，则A (0,0,0)、D (0,1,0)、D 1(0,1,1)、E (a 2，1,0)、B 1(a,0,1)，故AD 1→
＝(0,1,1)，
B 1E →＝(－a 2，1，－1)，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝(a
2，1,0)．
∵AD 1→·B 1E →
＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B 1E ⊥ AD 1.
(3)连接A 1D 、B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D .
∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，
∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→
＝(0,1,1)．
设AD 1→
与n 所成的角为θ，则 cos θ＝n ·AD 1
→|n |·|AD 1→|＝－a 2－a 21＋a 24＋a
2 .
∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，
∴|cos θ|＝cos30°，即
3a
22
1＋
5a 24
＝
32
. 解得a ＝2，即AB 的长为2. 18.设F 1、F 2分别是椭圆
E ：x 2＋
y 2
b 2
＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列.
(1)求|AB |；
(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．
[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4
3
.
(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2，
设A (x 1，y 1)、B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ＋c x 2＋y 2b 2＝1，
消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 2
1＋b 2
.
因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即4
3＝2|x 2－x 1|. 则8
9
＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 41＋b 2
， 解得b ＝22.
19.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1.
(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．
[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z
轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、D 1(0,0,5)、E (0,0,1)、F (2,2,4)．
∴AC →＝(－2,2,0)、AF →＝(0,2,4)、BE →＝(－2，－2,1)、AE →
＝(－2，0,1)． ∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，
∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF .
(2)解：由(1)知，BE →
为平面ACF 的一个法向量， ∴点E 到平面ACF 的距离d ＝|AE →·BE →||BE →
|＝5
3.
故点E 到平面ACF 的距离为5
3
.
20.已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点. (1)求证：OA ⊥OB ；
(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．
[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝－x
y ＝k (x ＋1)
，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1
k .
∵A 、B 在抛物线y 2＝－x 上，
∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2.
∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .
(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN
＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝1
2|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2
＝12
(－1
k
)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝
1
2
1k 2＋4，解得k ＝±16
. 21.已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)
(1)求双曲线方程；
(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →
|，求直线l 的方程．
[解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为
x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝c
a ＝2，c ＝2，∴a ＝1，则
b ＝3，∴所求的双曲线方程为x 2－
y 2
3
＝1. (2)∵直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)， ∴l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)． 令x ＝0得M (0,2k )，
∵|MQ →|＝2|QF →
|且M 、Q 、F 共线于l ， ∴MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →， 当MQ →＝2QF →
时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，
∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，2
3k ， ∵Q 在双曲线
x 2－
y 2
3
＝1上， ∴169－4k 227＝1，∴k ＝±212
， 当MQ →＝－2QF →
时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，∴k ＝±3
25，
则所求的直线l 的方程为： y ＝±
212(x ＋2)或y ＝±35
2
(x ＋2)． 22.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右焦
点2F 的直线l 交双曲线于A 、B 两点,1F 为左焦点． (1) 求双曲线的方程；
(2) 若AB F 1∆的面积等于62,求直线l 的方程．
【答案】(1) 13
2
2
=-y x ；(2) )2(-±=x y .
∴所以直线l 的方程为)2(-±=x y。