《有理数》全章复习与巩固(基础)知识讲解
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法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法
1. 科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a10n 的形式（其中1 a 10 ， n 是正整数），此
种记法叫做科学记数法.例如：200 000= 2105 .
【变式】(1) 1 的倒数是 ； 1 的相反数是 ； 1 的绝对值是 .
3 3 3
1
1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值 ；(4)平方；(5)立方，等于它本
身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）
________．
【答案】（1）0； (2)1 和-1；(3)正数和 0；(4)1 和 0；(5)-1、0 和 1
时，化简结果为负.
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0.
数 a 的绝对值记作 a .
（2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.
示
表示某种状态 00C 表示冰点
表示正数与负数的界点 0 非正非负，是一个中性数
3；
（5）万分，4；千，3；千，2 （6）3.4×105，3.40×105
2． 如果(x-2)2+|y-3|＝0，那么(2x-y)2005 的值为( )．
A．1 B．-1 C．22006 D．32005
【思路点拨】利用非负数的性质，求出 x, y 的值再代入计算．
-（-8）的相反数是 ； 的相反数的倒数是_____
2
(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8 元的意义是
_ ；如果这种油的原价是 76 元，那么现在的 卖价是 .
都得 0.
1
（4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.即 a÷b=a· (b≠0) .
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两
数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同 0 相
【答案】A
【解析】 因为(x-2)2，|y-3|都是非负数，且(x-2)2+|y-3|＝0， 所以由非负数的性质先求出
x=2，
3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4. 理解科学记数法，有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用；
5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.
【知识网络】
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两
点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ ”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“ ”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个
b
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次
幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0.
(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长 30km， 单程运行时间约为 8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学
记数法表示约为 m／min.
2
3 2 2
【答案】（1） ； 1 ； 1 ；-8；2 （2）降价 5.8 元，70.2 元；（3） 3 ；（4）
5 3 3 3.7510
源:学#科#网 Z#X#X#K]
【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1.有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
2.有效数字：从一个数的左边第一 个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效
数字.如：
0.000 27 有两个有效数字：2，7.
注意：万=104 ，亿=10 8
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
(4) 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 3cd (a b) ____ .
3
(5) 近似数 0.4062 精确到 位，有 个有效数字;
偶数，则幂为正，例如： (3)2 9 ， (3)3 27 .
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a; ②乘法交换律:ab=ba;
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
2．数轴：规定了原点、正方向和单位 长度的直线.
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，
如 .
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0.
近似数 5.47×105 精确到 位，有 个有效数字;
近似数 3.5 万精确到 位，有 个有效数字.
(6) 3.4030×105 保留两个有效数字是 ，精确到千位是 .
（2）有理数“0”的作用：
作用 举例
表示数的性质 0 是自然数、是有理数
表示没有 3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表
加，仍得这个数.
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即 a-b=a+(-b) .
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同 0 相乘，
《有理数》全章复习与巩固（基础）
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.
2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
(3)分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于 0，0 大于
负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较
－[+（－3）]=3.
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积
的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36.
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
要点诠释号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.
举一反三：
【高清课堂：有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】
2 2 2
要点四、科学记数法
1. 科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a10n 的形式（其中1 a 10 ， n 是正整数），此
种记法叫做科学记数法.例如：200 000= 2105 .
【变式】(1) 1 的倒数是 ； 1 的相反数是 ； 1 的绝对值是 .
3 3 3
1
1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值 ；(4)平方；(5)立方，等于它本
身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）
________．
【答案】（1）0； (2)1 和-1；(3)正数和 0；(4)1 和 0；(5)-1、0 和 1
时，化简结果为负.
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0.
数 a 的绝对值记作 a .
（2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.
示
表示某种状态 00C 表示冰点
表示正数与负数的界点 0 非正非负，是一个中性数
3；
（5）万分，4；千，3；千，2 （6）3.4×105，3.40×105
2． 如果(x-2)2+|y-3|＝0，那么(2x-y)2005 的值为( )．
A．1 B．-1 C．22006 D．32005
【思路点拨】利用非负数的性质，求出 x, y 的值再代入计算．
-（-8）的相反数是 ； 的相反数的倒数是_____
2
(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8 元的意义是
_ ；如果这种油的原价是 76 元，那么现在的 卖价是 .
都得 0.
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（4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.即 a÷b=a· (b≠0) .
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两
数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同 0 相
【答案】A
【解析】 因为(x-2)2，|y-3|都是非负数，且(x-2)2+|y-3|＝0， 所以由非负数的性质先求出
x=2，
3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4. 理解科学记数法，有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用；
5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.
【知识网络】
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两
点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ ”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“ ”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个
b
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次
幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0.
(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长 30km， 单程运行时间约为 8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学
记数法表示约为 m／min.
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【答案】（1） ； 1 ； 1 ；-8；2 （2）降价 5.8 元，70.2 元；（3） 3 ；（4）
5 3 3 3.7510
源:学#科#网 Z#X#X#K]
【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1.有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
2.有效数字：从一个数的左边第一 个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效
数字.如：
0.000 27 有两个有效数字：2，7.
注意：万=104 ，亿=10 8
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
(4) 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 3cd (a b) ____ .
3
(5) 近似数 0.4062 精确到 位，有 个有效数字;
偶数，则幂为正，例如： (3)2 9 ， (3)3 27 .
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a; ②乘法交换律:ab=ba;
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
2．数轴：规定了原点、正方向和单位 长度的直线.
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，
如 .
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0.
近似数 5.47×105 精确到 位，有 个有效数字;
近似数 3.5 万精确到 位，有 个有效数字.
(6) 3.4030×105 保留两个有效数字是 ，精确到千位是 .
（2）有理数“0”的作用：
作用 举例
表示数的性质 0 是自然数、是有理数
表示没有 3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表
加，仍得这个数.
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即 a-b=a+(-b) .
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同 0 相乘，
《有理数》全章复习与巩固（基础）
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.
2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
(3)分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于 0，0 大于
负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较
－[+（－3）]=3.
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积
的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36.
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
要点诠释号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.
举一反三：
【高清课堂：有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】
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