第7章方差分析-2

a
b
n
b
ab
i j( )ij( )ij ( )ij 0
i 1
j 1
i 1
j 1
i 1j 1
Εijk 是随机误差，彼此独立且服从N
（0,σ2）。
试验的总次数为 abn 次。方差分析步 骤和前面介绍相似。只有 F 检验的方 法不同。
平方和与自由度的分解：
矫正数
C
x2 ...
T2
abn abn
2
5
4
11 3.67
40 43 44 127
8.0 8.6 8.8
8.47
(1)平方和计算:
T2 1227 C 107 .257
ab 53
SST
xi2j C 132 142 42 1075.27
295.73
1
SSA b
xi2.
C
(412
372 3
112 )
1075.27
289.06
SST SSASSBSSe
dfT dfAdfBdfe
各项平方和与自由度的计算公式为:
矫正数 Cx.2. /abT2ab
ab
ab
总平方和 STS (xijx..)2 xi2jC
i1j1
i1j1
A因素平方和 SA Sbi a1(xi.x..)2b1i a1xi2.C
B因素平方和
b
SS Ba (x.j
(二) 具有重复观测值的两因素方差分析
如果存在两因素的互作，方差分析就 不能用互作来估计误差，必须在有重 复观测值的情况下对试验误差进行估 计。
设A与B两因素分别具有 a与 b个水平， 共有 ab 个水平组合，每个水平组合有 n次重复，则全试验共有 abn 个观测值。 这类试验结果的数据模式如下表所示 （P98表）。
1 [2722(4)12(3)82]10.364953.9016 34
SSAB
1 n
TA2B C SSA SSB
1 [1882 442 (41)2 ] 4
1034.69 5367.03 5391.06
464.94
SSe SSTSSASSBSSAB 145.3216536.073539.01646.944330.235 dTfabn1334135 dAfBab13318
本例是了解激素和时间的效应，故 为２个固定因素，适用于固定模型。 方差分析如下：
激素处理对大豆干物重的影响
浓度A
M1 M2 M3 M4 M5
T.j x.j
时间B
总和 Ti. 平均数
H1
H2
H3
13 14 14
41 13.67
12 12 13 37 12.33
3
3
3
9 3.00
10
9 10
29 9.67
Tab
平均 x.j x.1 x.2 …x.j … x.b
x
表中
b
x i. x ij ,
j 1
xi.
1 b
b
xij ,
j 1
n
x. j xij , i 1
x. j
1 a
a i 1
xij ,
ab
x..
x ij
i1 j 1
ab
x..xij / ab i1 j1
两因素方差分析观测值的线性模型：
B 因素平方和与自由度
SSBan
(xj
x)2 1 an
x2 .j.
C，
dBf b1
组内平方和与自由度
SSe
(xijnxij)2
SST SSA SSB SSAB,
dfe ab(n1)
其中，SSAB、dfAB为A因素与B因素交
互作用平方和与自由度。
ST SSS ASB SSS ABSeS
dTfdAfdBfdAfBdef
各项方差为：
SA2
MSA
SSA dfA
SA2B
MSAB
SSAB dfAB
SB2
MSB
SSB dfB
Se2
MSe
SSe dfe
F检验：实际应用时多用固定模型
固定模型中，αi、βj及(αβ)ij均为固定 效应。F检验时，A因素、B因素和
A×B互作项均以s2e作为分母。
变异来源
固定模型
因素A 因素B A×B 误差
(3)列出方差分析表，进行F检验:
激素处理对大豆干物重影响的方差分析表
变异来源 df SS s2
F
F0.05 F0.01
浓度间(A) 4 289.06 72.27 116.56** 3.84 7.01 时间间(B) 2 1.73 0.87 1.40 4.46 8.65
误差 8 4.94 0.62
总变异 14 295.73
dfA a1312 dfB b1312 dfAB(a1)(b1) (31)(31) 4 dfe ab(n1) 33(41) 27
列出方差分析表，进行F检验表明， 不同温度和光照间的差异极显著，即
影响昆虫的滞育期长短的主要决定于 温度和光照，与二者互作关系不大。
变异来源 df SS
s2
F F0.05 F0.01
25 ℃
143 138 120 107
96 103
78 91 79 83 96 98
温度(B) 30℃
101 100 80 83 79 61 83 59 60 71 78 64
35℃
89 93 101 76 80 76 61 67 67 58 71 83
本例中，由于温度和光照条件都是人 为控制的，为固定因素，可依据固定 模型分析。将表数减去80，并整理如 下表。
F的检F验值表未明达到: 浓显度著间水的平F，值表大明于不F0.同01 ，浓时度间对间大 豆干物重有极显著差异。
(4)进行多重比较(用SSR法)：由于只有 浓度间达到了极显著水平，只需对5种 浓度进行多重比较，浓度间的平均标 准误均为( b=3为每一浓度的观测值数)：
sx
se2 b
0.620.455 3
光照间 2 5367.03 2683.52 21.94** 3.35 5.49
温度间 2 5391.06 2695.53 22.03 ** 3.35 5.49
光照×温度 4 464.94 116.24 0.95 2.73 4.11
误差 27 3303.25 122.34
总变异 35 295.73
各种光照和温度对滞育期的影响进行 多重比较： 平均数标准误的计算 光照间平均数标准误
查附表8，当 df=8，M=2,3,4,5时的SSR 值及LSR值列表：
大豆干物重多重比较的SSR值 及LSR值列表
M
2
3
4
5
SSR0.05 3.26 3.40 3.48 3.52 SSR0.01 4.75 4.94 5.06 5.14 LSR0.05 1.48 1.55 1.58 1.60 LSR0.01 2.16 2.25 2.30 2.34
SxSe 2/b n12 .3/2 4 3 (4)1.1 09
温度间平均数标准误
SxSe 2/a n12 .3/2 4 3 (4)1.1 09
检验方法同前例。
第五节 数据转换
前面介绍的几种试验资料的方差分 析法，尽管其数学模型的具体表达 式有所不同，但以下三点却是共同 的。
1、效应的可加性 我们据以进行方差 分析的模型均为 线 性可加模型。这个
xijij ij
(i1,2,,a; j1,2,,b)
上式中，αi和βj分别为Ai和Bj的效应: 值αi=总μi体-μ,平βj均=μ数j-μ，,μ且i和μj分别为Ai和Bj观测
Σαi=Σβj=0; NΕi(j0为,σ随2)。机误差，相互独立，且服从
交叉分组两因素无重复观测值的试 验，全部 ab 个观测值的总变异可以 分解为 A 因素水平间变异、B 因素 水平间变异及试验误差三部分；自 由度也相应分解。平方和与自由度 的分解式如下：
F s2A／s2e s2B／s2e s2AB／s2e
期望方差
σ2+bnη2α σ2+anη2β σ2+nη2αβ
σ2
【例】为了研究某种昆虫滞育期长短 与环境的关系，在给定的温度和光照 下在实验室培养，每一处理记录4只 昆虫的滞育天数，结果如下表，试对 该资料进行方差分析。
光照(A)
5h/d 10h/d 15h/d
25 ℃
63 58 40 27 188 16 23 -2 11 48 -1 3 16 18 36 272
温度(B)
30℃
21 20 0 3 44 -1 -19 3 -21 -38 -20 -9 -2 -16 -47 -41
35℃
9 13 21 -4 39 0 -4 -19 -13 -36 -13 -22 -9 3 -41 -38
模型明确提出了处理效应与误差效应 应该是“可加的”，正是由于这一 “可加性”，才有了样本平方和的 “可加性”，亦即有了试验观测值总 平方和的“可剖分”性。如果试验资 料不具备这一性质，那么变量的总变 异依据变异原因的剖分将失去根据， 方差分析不能正确进行。
大豆干物重平均数间差异显著性检验
地区 平均数
差异显著性
α=0.05
α=0.01
M1
13.67
a
M2
12.33
a
M4
9.67
b
M5
3.67
c
M3
3.00
c
A A
B C C
多重比较后表明：5种激素浓度对大豆干物 重的影响有着极显著的差异，除 M1与 M2， M5 与 M3 无显著差异外，均达到显著水平。
SSB
1 a
x.2j
C
1 5
(402
432
442
)
1075.27
1.73
S e S S T S S A S S B 2 S . 7 9 2 3 . 0 5 8 1 . 7 6 9 4 . 9 3
(2)自由度的计算
df T ab 1 5 3 1 14 df A a 1 5 1 4 df B b 1 3 1 2 df e df T df A df B 14 4 2 8
两因素单独观测值试验数据模式
处理
A1 A2
因素B
总和 Ti. 平均数
B1 B2 … Bj …Bb
x11 x12 …x1b …x1b
T1.
x1.
x21 x22 … x2b …x2b
T2.
x2.
Ai
xi1 xi2 … xij … xib
Ti.
xi.
Aa
xa1 xa2 … xij …xab
Ta.
xa.
总和 T.j T.1 T.2 … T.j… T.b
第三节 两因素方差分析
两因素方差分析是指对试验指标同时 受到两个试验因素作用的方差分析。
若试验考察因素 A和 B，A因素分 a 个水平，B因素分 b 个水平。两者交 叉搭配形成 a×b 个水平组合即处理。 试验分为无重复观测值和有重复观测 值两种类型。
一、无重复观测值的二因素方差分析
对于 A和 B两个试验因素的全部 a×b 个水平组合，每个水平组合只有一个 观测值， 全试验共有 a×b 个观测值， 其数据模式如=193
平方和与自由度的分解
CT2 1923103 .649 abn334
STS x2C
(623 52832)10.63 94 14.5 52 6
SS Ab1n Ti.2C
1 [2721(2)62(5)22]10.364953.6073 34
SB Sa1n T.2j C
两因素有重复观测值试验数据模式
见P98表6-23具有重复观测值的二因 素分组资料。方差分析可用线性模 型描述：
xij ki j ()ijij k
(i1,2,,a; j1,2,,b; k1,2,,n)
其中，μ为总平均数；αi为Ai的效应； βj为Bj的效应；(αβ) ij为Ai与Bj的交 互作用，且有
A因素含量分3个水平，即a=3；B因素 含 量 分 3 个 水 平 ， 即 b=3 ； 共 有 ab=3×3=9个水平组合；每个水平组合 重复数n=4；全试验共有=3×3×4=36 个观测值。
光照(A)
1 5h/d 2
3 4 Tij 1 10h/d 2 3 4 Tij 1 15h/d 2 3 4 TAB T.j
总平方和与自由度
S T S x i 2 j l C ， d T f a b 1
水平组合平方和与自由度
SA S B1 n x i2 .j C ， dAf B(a 1 )b ( 1 )
A 因素平方和与自由度
SA S bn (x i x )2 b 1n x i2 . .C ， dA fa 1
无重复观测值的二因素方差分析表
变异
df
SS s2 F 期望方差
来源
固 随混 定 机合
A因素 a-1
SSA
B因素 b-1
SSB
误差 (a-1)(b-1) SSe
sA2 sA2/se2 sB2 sB2/se2 se2
总变异 ab-1 SST
例:将一种生长激素配成 M1, M2, M3, M4, M5五种浓度，并用 H1, H2, H3三 种时间浸渍某大豆的种子，出苗 45天 后得各处理每株的平均干物重(g)如下 表。试作方差分析与多重比较。
j1
x..)2a 1jb1x.2j C
总自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 误差自由度 dfe=dfT-dfA–dfB=(a-1)(b-1) 各项方差分别为：
sA2 MSA SSA / dfA,
sB2 MSB SSB / dfB ,
se2 MSe SSe / dfe