《电磁场理论》3.1 唯一性定理

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例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
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即
0 常数

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我们在引入电位函数时就曾指出，电位 的绝对值无意 义， 和 C 代表的是同一电场，所以 和 实际上是 一个解，亦即解是唯一的。 2）在边界面S上，对于第二类边值问题有
即
0 n

2 ( ) dV dS n V S
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
1 r r a 2 r r a
1 2
r a
1 2 q q 1 2 , 即 1 2 2 a 21 2 a 2 2
1 2 Q q1 q2

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q1
q2
1
q1

1
2
(Q q1 )
Q
2

2
2
利用格林公式
2
( )dV dS n V S 令上式中
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2 2 [ ( ) ] dV dS n V S
4
因为 2 0，所以
2 2 [ ( ) ] dV dS n V S
a21 b22
所以：
2 0
利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为 较简单问题的组合，便于求解。 01:52 8
三、用唯一性定理解决实际问题
例1：有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀 无限大介质的分界面上，介质的介电常数分别是 1与 2 。 若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分布。 解：设导体球上下两半球各 自带电量为q1和q2 ，则
a
r
K cos (a, ) E0 a cos 0 2 a
由此可得
K E0a3
cos r2
总的电位函数为Leabharlann Baidu
(r , ) E0 r cos E0 a 3
显然，上式是满足拉普拉斯方程的一个解，根据唯一性 定理，它也一定是唯一的解。
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第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
1)在边界S上，对于第一类边值问题，由于两个解 和 都满足同样的边界条件，所以有 |S |S |S 0 代入（1）式得到
V 2 ( ) dV 0
2 ( ) dV dS n V S
(1)
2 ( ) 一定为正值，要使积分为零，必须有 因为被积函数
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
Q q1 q2
Q
a
1 2
导体球是等电位体，上下半球电 位相等，即 1 2 另外，总电荷Q一定，无限远处电位为0，故满足唯 一性定理条件。 01:52 9
根据唯一性定理，得到
Q
a
r a
1 1 D1n 1 r 1 2 D2n 2 r
0 n n n
2 ( ) dV dS n V S
(1)
由式(1)仍然可得出
同理，有 C
V
2 ( ) dV 0
解也是唯一的。
唯一性定理得证，说明满足泊松方程或拉普拉斯 01:52 7 方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。
二、唯一性定理
1.唯一性定理 内容：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部
边界条件的解是唯一的。
唯一性定理的意义： 1）指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；
满足方程2
在整个边界上满足所给定的边界条件（三类）。
或 0，这是必要条件;
2
2）为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为 结果正确性提供了判据。 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程） 01:52 3 的理论依据。
1 为原均匀场 E0 的电位， 2 为感应面电荷的电位。
l cos ( 2 ) 4 0 r q
若导体球心和球坐标原点重合，则虽然感应电荷密 度的大小是未知的，但它在球面上的分布一定对称于z=0 的平面，上半球面为正的面电荷，下半球面为负的面电 荷，相当于一些电偶极子对称地分布在z轴的两边。 cos 它们在r>a区域内的电位 2 正比于 2 ，故总电位为 r K cos E0 r cos K为一待定常数。 2 （1）r , S面上的电位分布为 E0 r cos 。由上面的 电位函数式可知它满足这一条件； （2）令r=a的导体球面上电位值为零，故有 K cos 01:52 13 (a, ) E0 a cos 0 2
第三章 静态场边值问题的解法
◇ 静电场边值问题可归结为在给定边界条件下求解 拉普拉斯方程或泊松方程。 解析法 ◇ 常用的方法 数值法 本章主要内容： 直接法 间接法
静电场的唯一性定理
直接求解法 间接求解法
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分离变量法(三种坐标系下)
镜像法
1
3.1 一、边值问题
唯一性定理
边值问题是指存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类：
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C

V
2 ( ) dV 0
和 代表的是同一电场，所以解也是唯一的。 01:52
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3）对于第三类边值问题，在一部分边界S1面上有
0
在另一部分边界S-S1面上有
2. 叠加定理 若 1和 2分别满足拉普拉斯方程，则 1和 2 的线性 组合 a1 b2 必然满足拉普拉斯方程。
证明：
已知 1和 2 满足拉普拉斯方程
21 22 0
(a1 b2 ) (a 1) (b2 )
2 2 2 2
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q1
1
q1

1
2
(Q q1 )
Q
2

2
q1
q1
电荷面密度为
1 2
1
Q , q2
1 2
2
Q
q1 1Q 1 2 2 a 2 a 2 (1 2 ) q2 2Q 2 2 2 a 2 a 2 (1 2 )