《电磁场理论》3.1 唯一性定理
《电磁场理论》-ch3-20111013
对于体分布电流，则有
1 Wm J AdV 2 V
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4
2. 磁场能量密度
1 磁场能量密度： wm B H 积分区域为磁场 2 所在的整个空间 1 磁场的总能量： W m V B HdV 2 对于线性、各向同性介质，则有 1 1 1 wm B H H H H 2 2 2 2 1 1 1 Wm B HdV H HdV H 2dV 2 V 2 V 2 V
I 2
0 a
a
a b b c
b
c
I c2 2 2 c 2 b 2
c
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
6
三个区域单位长度内的磁场能量分别为
0 I 2 I 2 Wm1 0 ( 2 a 2 ) 2 d 16 2
a
0
0 I 2 b Wm 2 ( )2 2 d ln a 2 2 4 a
已知位函数的法向导数值，即
已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则
|S1 f1 ( S1 )、 |S 2 f 2 ( S 2 ) n
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
自然边界条件 （无界空间）
14
周期边界条件
( 2 )
lim r 有限值
2 SB0
Wm 若采用式 Fi I 不变 计算，由储存在系统中的磁场能量 xi 0 SN 2 I 2 1 Wm NISB0 2 2[(l1 l2 ) 0 2 x]
电磁场理论课件 2-2 唯一性定理
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2
2
n
S
1
1
n
S
导体表面上的边值关系
|s 常数
n s
唯一性定理： 必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一.
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 有限V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ， V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2 ' - 2″
则有，22 0 （在V2区内）
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0
n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n2 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;
而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值
根据唯一性定理，它是腔内的解，
n S
s
dS
s
n
dS
0
2 dV 0
V
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,
即Φ= C ,或 ' - '' =C，
以上说明 ' 和 ''顶多差一个常数,而电势的附加常数对 电场没有影响,这就证明了 ' 和 ''在物理上是同一个解,
于是,唯一性定理得证.
b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
唯一性定理
唯一性定理蒋文佼（080320124）宋宝璋（080320125）夏世宇 (080320126) 李宝平 (080320127) 章文显 (080320129) 常 悦 (080320130) 1、试用唯一性定理证明：封闭导体壳内部的电场不受壳外电荷（包括壳外表面）的影响。
证：导体壳无论是用电势还是用总电量给定，壳的内外一般存在着四部分电荷。
如图所示，壳内外的电荷分布分别为 ρ 和 ρe ，壳内、外表面1S 、2S 上各自的面电荷分布为σ 和 σe 。
壳内外的场是这四部分电荷共同激发的。
根据定理，首先写出壳内空间电势应满足的条件：（一） 2ρϕε∇=- ，ρ 为壳内电荷分布。
（二）壳内表面1S 上的边界条件是：2S 上的总电量 1s dS q σ=-⎰ （1）其中 Vq dV ρ=⎰ 是壳内的总电量，V 是壳内区域的体积。
在壳层内作一高斯面 0S 后（如图中虚线所示），用高斯定理很容易证明（1）成立。
因此在给定 ρ 布后， 1S 上边界条件也已经给定为 q - ，和导体壳本身是有电势还是用总电量给定无关。
根据唯一性定理，满足（一）、（二）的ϕ 就是解。
由于（一）e和（二）与壳外的ρe 和 σρ 的电势并不唯一，可以差一个常数。
当然当壳用电势 0φ 给定时，1S 上的边界条件就是10|S ϕφ= 。
所以壳内不但电场唯一，而且电势也是唯一。
2．如图，有一电势为0φ的导体球壳，球心有一点电荷q ，球壳内外半径分别为2R 和1R 。
试用唯一性定理： （一）判断0R φ是否球壳外空间的电势分布。
（二）求球壳内空间的电势分布解：（一）首先必须找出球内外电势应满足的条件，他们是：（a ）20∇ϕ=（b ）球壳外表面1S 上的边界条件，10s ϕ=φ （c ）无穷远边界条件,0R →∞ϕ→若R φ是解，根据唯一性定理，它必须满足以上三个条件。
下面来检验：220010R Rφ∇=φ∇= (0),R ≠ 方程已满足。
电磁场理论知识点总结
电磁场理论知识点总结电磁场与电磁波总结第1章场论初步⼀、⽮量代数A ?B =AB cos θA B ?=AB e AB sin θA ?(B ?C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) ⼆、三种正交坐标系 1. 直⾓坐标系⽮量线元 x y z =++l e e e d x y z⽮量⾯元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位⽮量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系⽮量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l ⽮量⾯元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位⽮量的关系 ?=?? =e e e e e =e e e e zz z ρ??ρρ?3. 球坐标系⽮量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? ⽮量⾯元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位⽮量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ?θ??θcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ??=-sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A=--θ?θ?θ?θθ?θ?θ??sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A=-θ??θθθθ三、⽮量场的散度和旋度1. 通量与散度=??A S Sd Φ 0lim→?=??=??A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=??A l ?ld Γ maxnrot =lim→A l A e ?lS d S3. 计算公式=++A y x zA A A x y z11()=++A zA A A z ?ρρρρρ? 22111()(sin )sin sin =++A r A r A A r r r r ?θθθθθ?x y z ?=e e e A x y z x y z A A A=?e e e A z z z A A A ρ?ρρρ?ρ sin sin=?e e e A r r zr r r A r A r A ρθθθ?θ 4. ⽮量场的⾼斯定理与斯托克斯定理=A S A SVd dV ?=A l A S ?l四、标量场的梯度 1. ⽅向导数与梯度00()()lim→-?=??l P u M u M u llcos cos cos =++P uu u ulx y zαβγ cos ??=?e l u u θ grad = =+e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式=++???e e e xy zu u uu x y z1=++???e e e z u u u u z ρρρ? 11sin =++???e e e r u u u u r r r zθ?θθ五、⽆散场与⽆旋场1. ⽆散场 ()0=A =??F A2. ⽆旋场 ()0=u =?F u六、拉普拉斯运算算⼦ 1. 直⾓坐标系222222222222222222222222222222=++?=?+?+??=++?=++?=++A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212=++ =?--+?-++? ? ??????A e e e z z u u uu zA A A A A A A ?ρρρρρρρρρ?ρρ?ρρ?3. 球坐标系22222222111sin sin sin =++ ? ??????????u u uu r r r r r r θθθ?θ? ???+-??+?+???--??+?+???----=θθθ?θ?θθθθ?θθθθθθθ?θθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2 22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果⽮量场F 在⽆限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当⽮量场的散度、旋度和边界条件（即⽮量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该⽮量场F 唯⼀确定为()()()=-?+??F r r A r φ其中 1()()4''??'='-?F r r r r V dV φπ1()()4''??'='-?F r A r r r V dV π第2章电磁学基本规律⼀、麦克斯韦⽅程组 1. 静电场基本规律真空中⽅程： 0d ?=SE S ?qεd 0?=?lE l ? 0=E ρε 0??=E 场位关系：3''()(')'4'-=-?r r E r r r r V q dV ρπε =-?E φ 01()()d 4π''='-?r r |r r |V V ρφε介质中⽅程： d ?=?D S ?S qd 0?=?lE l ? ??=D ρ 0??=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε极化电荷：==?P e PS n n P ρ =-??P P ρ 2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0+=?J tρ传导电流： =J E σ与运流电流：ρ=J v恒定电场⽅程： d 0?=?J S ?Sd 0l=E l 0=J 0E =3. 恒定磁场基本规律真空中⽅程：0 d ?=?B l ?lI µd 0?=?SB S ? 0=B J µ 0=B场位关系：03()( )()d 4π ''?-'='-?J r r r B r r r VV µ =??B A 0 ()()d 4π'''='-?J r A r r r V V µ 介质中⽅程：d ?=?H l ?l Id 0?=?SB S ? ??=H J 0??=B磁化：0=-BH M µ m 00(1)=+B H =H =H r χµµµµ 磁化电流：m =??J M ms n =?J M e4. 电磁感应定律d d ?=-SE l B S ?lddt =-BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律：d ()d ??=+D H l J S ?lSt =+DH J t位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0=+?=-??==D H J S B E S D S B Sl S l S SV S l t l t V d ρ 0=+???=-?==?D H J B E D B t t ρ ()() ()()0=+???=-?==?E H E H E E H t t εσµερµ ⼆、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00=-??==+??=--?=?=?????=?=??B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ??=--?=+==B E J D H J D B tt ρρ三、边界条件 1. ⼀般形式12121212()0()()()0-=-=-=-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界⾯和理想介质界⾯111100?=??===e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0-=-=-=-=e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章静态场分析⼀、静电场分析1. 位函数⽅程与边界条件位函数⽅程： 220?=-电位的边界条件：121212=??-=-?s nn φφφφεερ 111=??=-?s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解⽅法：2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ连续分布： 12=?e V W dV φρ电场能量密度：12D E ω=?e⼆、恒定电场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件位函数微分⽅程：20?=φ边界条件：121212=??=?nn φφφφεε 12()0?-=e J J n 1212[]0?-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦⽿定律欧姆定律的微分形式： =J E σ焦⽿定律的微分形式： =??E J V3. 任意电阻的计算2211d d 1??====E l E l J SE SSSUR G Id d σ（L R =σS ）4. 静电⽐拟法：C —— G ，ε —— σ2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε 2211d d d ??===J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件⽮量位：2?=-A J µ 12121211A A e A A J n s µµ()=?-=标量位：20m φ?= 211221??==??m m m m n nφφφφµµ 2. 电感定义：d d ??===??B S A l ?SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ连续分布：m 1d 2A J =??V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=? 第4章静电场边值问题的解⼀、边值问题的类型●狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ●纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()?=?f s nφ●混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()?==?f s f s nφφ●⾃然边界：lim r r φ→∞=有限值⼆、唯⼀性定理静电场的惟⼀性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表⾯电荷分布）下，空间静电场被唯⼀确定。
《电磁场》第三版思考题目答案
一：1.7什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或0分别表示什么意义？矢量场F穿出闭合曲面S的通量为：当大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S内必有发出矢量线的源，称为正通量源。
当小于0时，小于有汇集矢量线的源，称为负通量源。
当等于0时等于、闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。
1.8什么是散度定理?它的意义是什么？矢量分析中的一个重要定理：称为散度定理。
意义：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。
1.9什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或0分别表示什么意义？矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分，称为矢量场F沿的环流。
大于0或小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。
等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。
1.10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲面吗？在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。
能用于闭合曲面.1,11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0,即F为无散场。
1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0即为无旋场1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？不对。
电力线可弯，但无旋。
1.14 无旋场与无散场的区别是什么？无旋场F的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即 =0无散场的散度处处为0，即，它是有旋涡源所产生的，它总可以表示为某一个旋涡，即。
二章：2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。
经典电磁场理论
达朗泊方程
1 2 2 2 c t 0 1 2 A 2 A 2 2 0 J c t 1 A c2 0 t
2
w S E J 洛仑兹力 t g f E J B 能量守恒 f T t 电磁场 麦克斯韦方程组 的基本 规律 A 2 E E t E 0 B 静电 E t D E W 1 dV 场 D 0E e D 2 D
洛仑兹力
w S E J t 动量守恒： g f T 能量守恒: t
第一章
D D H J t B 0
第二章
第二章 静电场（Electrostatic Field)
静电场的 性质和求 解静电场 问题的各 种方法。
泊松方程
静电场的理论基础
边值关系
唯一性定理
[例1]
有一半径为a的导体球，它的中心恰位 于两种均匀无限大介质的分界面上， 介质的介电常数分别是 1 与
2
。
若导体球总电荷为Q，求导体球表面 处自由电荷分布。
[例2]两同心导体球壳之间充 以两种介质，左半球介电常数 为 1 ，右半球介电常数为 2 。
1在均匀区域满足唯一性定理uniquenesstheorem给定区域v内每个导体上的电势或电荷总量以及导体外介质中的自由电荷分布对于一个满足唯一性条件的静电场问题它保证了不论用什么方法得到的问题的解都是真正的解泊松方程边值关系唯一性定理有一半径为a的导体球它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上介质的介电常数分别是若导体球总电荷为q求导体球表面处自由电荷分布
洛仑兹力
《电磁场与电磁波》 第3.2节
V
2dV
S
n
dS
在边界上的值
S
1
S
2
S
0
V 2dV 0
而 2 非负，故只有 0 即 常数
又 0 ，所以 0 S
，因而可以推得1 2 。
因此在第一类边界条件下拉普拉斯方程的解是唯一的。
唯一性定理也适合其它两类边界条件。
3. 唯一性定理的应用
唯一性定理给出了拉普拉斯方程（或泊松方 程）定解的充分必要条件。 这个定理启发我们，不管采用什么方法，只 要能找到一个既能满足给定的边界条件，又 能满足方程的电位函数，则这个解就是正确 的。 镜像法、分离变量法等求解方法就是唯一性 定理的具体应用。
3.2 唯一性定理
本节要点
唯一性定理描述 唯一性定理证明 唯一性定理应用
1. 唯一性定理描述
静电场问题通常都可以归结为：在给定边值条件下，求 解泊松方程或拉普拉斯方程的问题。即
2 V /
2 0
给定边界条件
给定边界条件
唯一性定理(uniq类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯 方程的解必定是唯一的。
2. 唯一性定理证明
在第一类边界条件下，来证明唯一性定理。
由格林第一定理
V
2
dV
S
n
dS
令 ，同时考虑20，则
V
2dV
S
n
dS
设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有两解1和2，
由于方程是线性的，两个解的差=12也满足方程，即
V
2dV
S
n
dS
唯一性定理的证明（续）
在边界上， 1 S 2 S S
《电磁场》复习题A
《电磁场》复习题A一、填空题1、描述电场对于电荷作用力的物理量叫做______________。
2、E线和等位面之间的关系是______________，和电场强度关系是______________。
3、静电场中的折射定律是______________。
4、静电场边界条件中的自然边界条件是______________。
5、静电场中，虚位移法求静电力的两个公式是______________、______________。
6、恒定磁场中的分界面衔接条件是______________、______________。
7、恒定磁场的泊松方程为______________。
8．材料能够安全承受的最大电场强度称为___________。
9．平板电容器的板面积增大时，电容量___________。
10．在均匀媒质中，电位函数满足的偏微分方程称为___________。
11．深埋于地下的球形导体接地体，其半径越大，接地电阻越___________。
12．多匝线圈交链磁通的总和，称为___________。
13．恒定磁场中的库仑规范就是选定矢量磁位A的散度为___________。
14．磁通连续性定理的微分形式是磁感应强度B的散度等于___________。
15．正弦电磁波在单位长度上相角的改变量称为___________。
16．电磁波的传播速度等于___________。
17．电场能量等于电场建立过程中外力所做的___________。
二、选择题1．两点电荷所带电量大小不等，则电量大者所受作用力（）A．更大B．更小C．与电量小者相等D．大小不定2．静电场中，场强大处，电位（）A．更高B．更低C．接近于零D．高低不定3．A 和B 为两个均匀带电球，S 为与A 同心的球面，B 在S 之外，则S 面的通量与B 的（ ）A ．电量及位置有关B ．电量及位置无关C ．电量有关、位置无关D ．电量无关、位置有关4．一中性导体球壳中放置一同心带电导体球，若用导线将导体球与中性导体球壳相联，则导体球的电位（ ）A ．会降低B ．会升高C ．保护不变D ．变为零5．相同场源条件下，均匀电介质中的电场强度值为真空中电场强度值的（） A ．ε倍 B ．εr 倍C ．倍ε1D ．倍r1ε6．导电媒质中的恒定电流场是（ ）A ．散度场B ．无散场C ．旋度场D ．无旋场7．在恒定电场中，电流密度的闭合面积分等于（ ）A ．电荷之和B ．电流之和C ．非零常数D ．零8．电流从良导体进入不良导体时，电流密度的切向分量（ ）A ．不变B ．不定C ．变小D ．变大9．磁感应强度B 的单位为（ ）A ．特斯拉B ．韦伯C ．库仑D ．安培10．如果在磁媒介中，M 和H 的关系处处相同，则称这种磁媒质为（ ）A ．线性媒质B ．均匀媒质C ．各向同性媒质D ．各向异性媒质三、名词解释1、非极性分子2、体电流密度3、恒定磁场4、时变场5、动生电动势四、简答题1、什么是唯一性定理？2、什么是传导电流、什么是运流电流，什么是位移电流。
静电场微分方程及唯一性定理
2 0
泊松方程和拉普拉斯方程统称为微分方程。 二、泊松方程与拉普拉斯方程适用条件 只适用于各向同性、线性的均匀媒质。(?)
§2.8.2
唯一性定理（Uniquness Theorem）
一、定理内容
在静电场中，满足给定边界条件的微分方程（泊松方程或
拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。
2 2 2 式中： ( ex ey ez ) ( ex ey ez ) 2 2 2 2 x y z x y z x y z
2
泊松方程（针对场源点）
拉普拉斯方程（针对场点,ρ=0）
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚 辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§2.8 静电场边值问题 唯一性定理
§2.8.1 泊松方程与拉普拉斯方程 一、静电场微分方程
D
E E E
E
E 0
常数
二、物理角度理解
场源相同、场分布相同，则场一定相同。
三、数学角度理解
方程相同、边界条件相同，则解一定相同。
四、唯一性定理的作用
1、确定何为相同场的判定条件；
2、可以采用等效方法进行问题的求解，只要保证满足唯一
性定理的条件，则解法不同，但解却一
电磁场理论课件 3-1 矢势及其微分方程
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质中 W 1 B HdV
磁场总能量为
2
1．在稳恒场中有
W
1 2
A
JdV
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
② 1 A J 不是能量密度。 2
14
③ 导出过程
B H ( A) H
( f g) ( f ) g f ( g)
( f ) g ( f g) f ( g)
Байду номын сангаас
Ay z
)ex
( Ax z
AZ x
)e y
( Ay x
Ax y
)ez
B0 e z
5
• 可选择 AZ AY 0 , AX B0 y ， 即 A B0 yex
•即也A可 选B择0 xAeZy Ax 0， AY B0 x ，
• 还可有多种选择，即有多种 ，而描述同一 磁场
6
7
dz ↑I z oR P
19
例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和 磁感应强度。
解：设P点到导线的垂直距离 为R,电流元Idz到P点的距离为
R2 z2
A(x) J (x' )dV '
4 r
dz ↑I z oR P
Az
I 4
dz I ln z R2 z2 4
M
z2 R2
M
A=0
A1n A2n
S A dS AdV 0
n
2
1
A2t A1t
A1 A2
12
（b） n (H2 H1)
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
时变电磁场唯一性定理
时变电磁场唯一性定理下面我们讨论由多种媒质所组成的场域V 。
为叙述方便，先引入内边界面和外边界面的概念。
内边界面是指边界面两侧区域都是场域的边界面，内边界面位于场域V 内。
外边界面是指边界面两侧区域中有一侧属于场域V 而另一侧不属于场域V 的边界面，外边界面是场域最外侧的边界面。
内边界面的两侧区域都是未知的待求场域；而外边界面的两侧区域中有一侧是待求场域而另一侧是常量为已知的场域。
唯一性定理 假设：1)形状不随时间t 变化的场域V 是由m 个线性媒质1V , 2V ,...,m V 所组成，i V 的边界面i Γ是由分片光滑曲面所组成的闭曲面，V 的外表面是Γ，1,2,...,i m =。
2）外部电流源s J 和K 分布在有限区域内，矢量,,,,,s e h e h J K G G F F 和标量ρ是不全为零的有界的已知量。
3）媒质i V 的介电常量0i ε>，磁导率0i μ>，电导率0i γ≥，1,2,...i m =。
4) i V 中的电场强度i E 和磁场强度H i 在闭如果区间i i V +Γ上存在连续偏导数，1,2,...,i m =。
在上述条件下，如果由以下初边值（2.79）—（2.90）所确定的场量E 和H 存在，那么它们分别有唯一的有界非零解。
1. 约束方程()()()(),(),,s M t M M M t M t t γε∂⎛⎫∇⨯-+= ⎪∂⎝⎭H E J (2.79)()()(),,0M t M M t tμ∂∇⨯+=∂E H (2.80) M V ∈, 0t >2．初始条件 ()()0,|t e M t M ==E G , M V ∈ (2.81)()()0,|t h M t M ==H G , M V ∈ (2.82)()0,|0t M t μ=∇=⎡⎤⎣⎦H ， M V ∈ (2.83)()()0,|t M t M ερ=∇=⎡⎤⎣⎦E , M V ∈ (2.84)3.内边界面上得边界条件在内边界面ij Γ上场量应同时满足以下两式：()()(),,0ij j i p p t p t ⎡⎤⨯-=⎣⎦n E E (2.85)()()()(),,,ij j i ij p p t p t p t ⎡⎤⨯-=⎣⎦n H H K (2.86)以上两式中，各个场量的含义为()(),,lim j j j p p p t p t →=E E ， ()(),,lim i i i p pp t p t →=E E()(),,lim j j j p p p t p t →=H H ，()(),,lim i i i p pp t p t →=H Hi i p V ∈，j j p V ∈， ij p ∈Γ, i j <, 0t >1,2,...,1i m =-;2,3,...,j m =4.外边界面上的边界条件在外变截面out Γ上，场量仅需满足以下两式的其中之一：()()(),,e Q Q t Q t ⨯=n E F (2.87)或()()(),,h Q Q t Q t ⨯=n H F (2.88)以上两式中，场量的含义为()(),,lim M Q Q t M t →=E E ，()(),,lim M QQ t M t →=H HM V ∈, out Q ∈Γ， t o >5. 无限远条件当场域是无界区域时，在无限远处场量应同时满足以下两式: lim er r →∞=E D (2.89) lim h r r →∞=H D(2.90)符号说明：ij Γ是i V 和j V 的公共变截面，由于ij Γ位于V 内，所以ij Γ为内边界面；Γ是整个区域V 的外表面，当V 是有界区域时Γ就是外边界面out Γ，当V 是无界区域时out in Γ=Γ+Γ，这里in Γ是无界区域中无限假想的光滑曲面；ij n 是ij Γ上从i V 指向j V 的单位法向矢量；s J 和ij K 分别是外源的电流密度和电流面密度；n 是外边界面out Γ上得单位法向矢量；e G ，h G ，e F ，h F 均为已知的矢量函数；ρ是分布在有限区域内的外源电荷密度；r 是坐标原点o 到场点p 之间的距离；e D 和h D 分别是与坐标无关的有界常矢量。
电磁场 边值问题 唯一性定理(完美解析)
f2 (s)
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
（＋
) n S
f3(s)
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实验法 边 值 问 题
计算法
实测法 模拟法 解析法
数值法
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
••••••
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法
••••••
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例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。
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得到
1 (r )
6 0
(3a 2
r2)
0ra
2
(r)
a3 3 0 r
ar
电场强度（球坐标梯度＝公式r）e：r
1 r
e
1
rsin
e
E1(r) 1
1
r
er
r 3 0
er
0 r a 图1.4.3 ，E 随r变
化曲线
E2 (r )
2
2
r
er
a2 30r 2
er
ar
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返回 上ueness Theorem)
惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。
例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
图1.4.4 平板电容器外加电源 U0
A.
1
U0 d
x2
B.
2
U0 d
x
U0
C.
3
U0 d
x U0
答案:（C ）
1
1
n
2
2
n
li有m限值r r
l有im限值 r 0 返回 上页
唯一性定理与静电屏蔽
当且仅当导体空腔既不接地又不与外界绝缘（例如，有绝缘包皮的导线穿过空腔 与外界相连），且导体空腔内的电荷总电量变化，此时外表面的感应电荷总电量 会作相同的改变，腔外区域的第二类边界条件改变，腔外电场也改变四、结 语 对于导体空腔来说，当且仅当导体空腔不接地、腔内与外界不绝缘并引起导体空 腔内的电荷总电量变化时，腔外电场会受到腔内电场变化的影响，其它情况下导 体空腔对腔内腔外静电场是互相屏蔽的。 唯一性定理在电动力学和电磁场理论课程中是个重点，也是难点。用唯一性定理 分析导体的静电屏蔽，可以作为了解性内容在大学物理电磁学的教学中介绍，有 助于学生较全面的理解静电屏蔽，并且为电动力学或者电磁场理论课程的学习做 准）［M］. 北京：高等教育出版社，1997：59～61 2 贾起民、郑永令、陈暨耀. 电磁学（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社， 2001：78～79
大学物理中处理的是均匀无限远边界或面对称、球对称、轴对称的理想情况，而实际的电 磁场要复杂得多，处理的多是有限区域、边界形状也不规则的边值问题。处理这类问题时， 利用唯一性定理有时是非常方便的。在大学物理的电磁学部分利用唯一性定理可以较全面 的分析静电屏蔽，对理解唯一性定理和后续的电动力学或者电磁场理论课程的学习也是很 有意义的。 一、唯一性定理 设区域V的边界S为导体，V内电荷分布 及介质分布确定，V的边界S满足下列条件之一时， 则V内电场唯一确定：第一类边界条件是导体的电势 已知；第二类是各导体表面上的电量 Q已知。［1］ 二、导体空腔内的电场 由于静电感应，静电平衡时导体空腔内表面上的电量由腔内电荷决定，总代数和为零。当 腔内电荷分布 给定时，腔内表面电量Q确定，腔内区域的边界条件由腔内电荷总量确定的 第二类边界条件，与腔外电场无关。由唯一性定理，腔内电场由腔内电荷分布唯一确定， 与腔外电场无关，与导体是否接地无关，导体空腔对腔外的电场是完全屏蔽的。［2］ 三、导体空腔外的电场 若导体空腔接地，空腔的电势始终为零，腔内、腔外区域均属于第一类边界条件。由唯一 性定理，腔外电场由腔外电荷及介质分布决定，不受腔内影响。［2］ 当导体空腔与外界绝缘时，腔内电荷电量守恒，总量不变。腔内电荷如果只是空间分布改 变，导体空腔内的电场改变，对外表面总电量无影响，腔外区域属于不变的第二类边界条 件。由唯一性定理，此时腔外电场不受腔内电场变化的影响，所以绝缘导体空腔对腔内腔 外的电场也是相互屏蔽的（见图1）。
《电磁场与电磁波》试题
《电磁场与电磁波》试题《电磁场与电磁波》试题.txt 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。
3．时变电磁场中，数学表达式称为。
4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。
5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。
6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。
7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。
8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。
9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。
10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。
二、简述题（每小题5分，共20分）11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。
12．试简述唯一性定理，并说明其意义。
13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。
14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？三、计算题（每小题10分，共30分）15．按要求完成下列题目（1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？（2）如果是，求相应的电流分布。
16．矢量，，求（1）（2）17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为（1）试写出其时间表达式；（2）说明电磁波的传播方向；四、应用题（每小题10分，共30分）18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。
试求（1）球内任一点的电场强度（2）球外任一点的电位移矢量。
19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示），（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。
20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程；（2）求槽内的电位分布五、综合题（10 分）21．设沿方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图3所示，该电磁波电场只有分量即(1) 求出入射波磁场表达式；(2) 画出区域1中反射波电、磁场的方向。
唯一性定理+镜像法课件
b2
a22 d2
q2
a2 d2
q2
➢ 球壳外区域任一点电位为
外
q
4π0
(r
2
2d2r
1
cos
d22 )1/ 2
(d22 r 2
a2
2d2ra22 cos
a24 )1/ 2
球壳中：
➢ 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
✓用反证法可以证明。
➢ 惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论 根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。
3.5、镜像法
镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于 待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上 感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变， 则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有 等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜 像电荷，这种求解方法称为镜像法。
q″=－q′
(r, ,)
为荷q″应位于球心处 。
a
r2
q
球外任一点电位：
q q b d
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d 2 )1/ 2
(d 2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
a dr
球面上任一点电位： q q 4π0a 4π0d
例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各
谢谢观看！ 2020
16π d
2
avz
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
Z
l h
x
Z
电磁场与电磁波复习资料
电磁场与电磁波复习资料⼀、名词解释1. 通量、散度、⾼斯散度定理通量：⽮量穿过曲⾯的⽮量线总数。
（⽮量线也叫通量线，穿出的为正，穿⼊的为负）散度：⽮量场中任意⼀点处通量对体积的变化率。
⾼斯散度定理：任意⽮量函数A的散度在场中任意⼀个体积内的体积分，等于该⽮量函在限定该体积的闭合⾯的法线分量沿闭合⾯的⾯积分。
2. 环量、旋度、斯托克斯定理环量：⽮量A沿空间有向闭合曲线C的线积分称为⽮量A沿闭合曲线l的环量。
其物理意义随A所代表的场⽽定，当A为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重⼒场中，环量是重⼒所做的功。
旋度：⾯元与所指⽮量场f之⽮量积对⼀个闭合⾯S的积分除以该闭合⾯所包容的体积之商，当该体积所有尺⼨趋于⽆穷⼩时极限的⼀个⽮量。
斯托克斯定理：⼀个⽮量函数的环量等于该⽮量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲⾯的积分。
3. 亥姆霍兹定理在有限区域V内的任⼀⽮量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域V的闭合⾯S上⽮量场的分布）唯⼀的确定。
说明的问题是要确定⼀个⽮量或⼀个⽮量描述的场，须同时确定其散度和旋度4. 电场⼒、磁场⼒、洛仑兹⼒电场⼒：电场⼒：电场对电荷的作⽤称为电⼒。
磁场⼒：运动的电荷，即电流之间的作⽤⼒，称为磁场⼒。
洛伦兹⼒：电场⼒与磁场⼒的合⼒称为洛伦兹⼒。
5. 电偶极⼦、磁偶极⼦电偶极⼦：⼀对极性相反但⾮常靠近的等量电荷称为电偶极⼦。
磁偶极⼦：尺⼨远远⼩于回路与场点之间距离的⼩电流回路（电流环）称为磁偶极⼦。
6. 传导电流、位移电流传导电流：⾃由电荷在导电媒质中作有规则运动⽽形成的电流。
位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化⽽产⽣的电流。
7. 全电流定律、电流连续性⽅程全电流定律（电流连续性原理）：任意⼀个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的⾯内穿过的全部电流的代数和O8. 电介质的极化、极化⽮量电介质的极化：把⼀块电介质放⼊电场中，它会受到电场的作⽤，其分⼦或原⼦内的正，负电荷将在电场⼒的作⽤下产⽣微⼩的弹性位移或偏转，形成⼀个个⼩电偶极⼦，这种现象称为电介质的极化。
唯一性定理+镜像法课件
例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。 求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
a2
o
r
q2
b2
r2
r1
q2
d1
d2
球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 (a2 , , ) 0
球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 球壳内：边界为r = a1的导体球面， 边界条件为 (a , , ) 0 1 q1 a1 q1 根据球面镜像原理，镜像电 荷 q1 的位置和大小分别为 d1 b1 2 a1 a1 q1 q1 b1 d1 d1 1 球壳内区域任一点电位为 q
r
p
a
q
r2
r1
q
b
q
d
球外任一点电位：
q 1 a a 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra cos a ) dr
q q 球面上任一点电位： 4π 0 a 4π 0 d
当n=3时：
q
π 3
q
q
π 3
q
q
q
q
角域外有5个镜像电荷， 大小和位置如图所示。 所有镜像电荷都正、负 交替地分布在同一个圆 周上，该圆的圆心位于 角域的顶点，半径为点 电荷到顶点的距离。
角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边界 的夹角分别为
7相明(电磁场边值关系--唯一性定理).
5ξ电磁场的边值关系一．引言当介质分布均匀时，出现了界面，→D ,→B 有跃变，界面两侧场值的关系 1.边值关系：描述介质界面两侧的场矢量与界面上电荷，电流的关系 2.麦氏方程组的微分形式要求→E ,→D ,→B ,→H 在介质中连续麦氏方程组的积分形式在场量不连续时不成立。
故不能用微分形式导出边值关系，而用积分形式讨论边值关系。
⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∙=∙⎰⎰⎰→→→→s s v S d B dv S d D 0ρ⇒导出法向关系⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∙∂∂+∙=∙∙∂∂-=∙⎰⎰⎰⎰⎰→→→→→→→→→→s s l l S d t DS d j l d H S d tB l d E ⇒导出切向关系二．边值关系（法向关系证明从略,切向关系讲一例后推论） 1.→D 的法向有跃变⎰⎰=∙→→vsdv S d D ρ⇒σfD D n =-∙→→→)(12 （1）推论：εσσρρε0120)()(1pf v pf sE E n dv S d E +=-∙⇒+=∙→→→→→⎰⎰ （2）dv S d P ps⎰⎰-=∙→→ρ→⇒n )(12→→-∙P P =-σP（3）2．→B 的法向连续0)(0)(0112212=-∙−−−−→−=-∙⇒=∙→→→→→→→→⎰H u H u B B n n S d B s线性各向同性(4) 3.的→E 切向连续→→→→∙-=∙⎰⎰S d B dt d l d E s l 0)(12=-⨯⇒→→→E E n E Et t12= (5)4.的切向跃变→H→→→→→→→→→→=-⨯⇒∙∂∂+∙=∙⎰⎰⎰αf sflH H jn s d t DS d l d H )(12 （6）0)(012=-⨯=→→→→H H n f时，αH Ht t12= (7)线性各向同性：uB uBtt 1122=（8）推论：→→→→→→→→=-⨯⇒∙=∙⎰⎰αm s Ml M M jn S d l d M )(12 (9)5.→jf的法向跃变⎰⎰-=∙→→dv dt dS d sfjρtn f f f jj ∂∂-=-∙⇒→→→σ)(12 （10）0=∂∂t时，0)(12=-∙→→→jj f f n （11）三．说明1.上述关系在介质界面静止时导出，运动时，D ,B 法向关系仍成立，但E ,H 切向改变2.规定：界面法向n 从介质1指向介质2，否则差一负号3.具普遍意义：对任意矢量场，只要场方程与麦式方程组形式相同，其边值关系亦相同。
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第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
01:52 11
例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C
V
2 ( ) dV 0
和 代表的是同一电场，所以解也是唯一的。 01:52
6
3）对于第三类边值问题，在一部分边界S1面上有
0
在另一部分边界S-S1面上有
a
r
K cos (a, ) E0 a cos 0 2 a
由此可得
K E0a3
cos r2
总的电位函数为
(r , ) E0 r cos E0 a 3
显然，上式是满足拉普拉斯方程的一个解，根据唯一性 定理，它也一定是唯一的解。
01:52
14
1)在边界S上，对于第一类边值问题，由于两个解 和 都满足同样的边界条件，所以有 |S |S |S 0 代入（1）式得到
V 2 ( ) dV 0
2 ( ) dV dS n V S
(1)
2 ( ) 一定为正值，要使积分为零，必须有 因为被积函数
Q q1 q2
Q
a
1 2
导体球是等电位体，上下半球电 位相等，即 1 2 另外，总电荷Q一定，无限远处电位为0，故满足唯 一性定理条件。 01:52 9
根据唯一性定理，得到
Q
a
r a
1 1 D1n 1 r 1 2 D2n 2 r
0 n n n
2 ( ) dV dS n V S
(1)
由式(1)仍然可得出
同理，有 C
V
2 ( ) dV 0
解也是唯一的。
唯一性定理得证，说明满足泊松方程或拉普拉斯 01:52 7 方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。
1 r r a 2 r r a
1 2
r a
1 2 q q 1 2 , 即 1 2 2 a 21 2 a 2 2
1 2 Q q1 q2
01:52
q1
q2
1
q1
1
2
(Q q1 )
Q
2
2
01:52
即
0 常数
5
我们在引入电位函数时就曾指出，电位 的绝对值无意 义， 和 C 代表的是同一电场，所以 和 实际上是 一个解，亦即解是唯一的。 2）在边界面S上，对于第二类边值问题有
即
0 n
2 ( ) dV dS n V S
1 为原均匀场 E0 的电位， 2 为感应面电荷的电位。
l cos ( 2 ) 4 0 r q
若导体球心和球坐标原点重合，则虽然感应电荷密 度的大小是未知的，但它在球面上的分布一定对称于z=0 的平面，上半球面为正的面电荷，下半球面为负的面电 荷，相当于一些电偶极子对称地分布在z轴的两边。 cos 它们在r>a区域内的电位 2 正比于 2 ，故总电位为 r K cos E0 r cos K为一待定常数。 2 （1）r , S面上的电位分布为 E0 r cos 。由上面的 电位函数式可知它满足这一条件； （2）令r=a的导体球面上电位值为零，故有 K cos 01:52 13 (a, ) E0 a cos 0 2
a21 b22
所以：
2 0
利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为 较简单问题的组合，便于求解。 01:52 8
三、用唯一性定理解决实际问题
例1：有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀 无限大介质的分界面上，介质的介电常数分别是 1与 2 。 若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分布。 解：设导体球上下两半球各 自带电量为q1和q2 ，则
第三章 静态场边值问题的解法
◇ 静电场边值问题可归结为在给定边界条件下求解 拉普拉斯方程或泊松方程。 解析法 ◇ 常用的方法 数值法 本章主要内容： 直接法 间接法
静电场的唯一性定理
直接求解法 间接求解法
01:52
分离变量法(三种坐标系下)
镜像法
1
3.1 一、边值问题
唯一性定理
边值问题是指存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类：
2. 叠加定理 若 1和 2分别满足拉普拉斯方程，则 1和 2 的线性 组合 a1 b2 必然满足拉普拉斯方程。
证明：
已知 1和 2 满足拉普拉斯方程
21 22 0
(a1 b2 ) (a 1) (b2 )
2 2 2 2
10
q1
1
q1
1
2
(Q q1 )
Q
电荷面密度为
1 2
1
Q , q2
1 2
2
Q
q1 1Q 1 2 2 a 2 a 2 (1 2 ) q2 2Q 2 2 2 a 2 a 2 (1 2 )
二、唯一性定理
1.唯一性定理 内容：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部
边界条件的解是唯一的。
唯一性定理的意义： 1）指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；
满足方程2
在整个边界上满足所给定的边界条件（三类）。
或 0，这是必要条件;
2
2）为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为 结果正确性提供了判据。 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程） 01:52 3 的理论依据。
2
利用格林公式
2
( )dV dS n V S 令上式中
01:52
2 2 [ ( ) ] dV dS n V S
4
因为 2 0，所以
2 2 [ ( ) ] dV dS n V S