第8章 刚体的平面运动

安徽工程大学教师备课教案
本章节讲稿共6页教案8 第 1 页备课时间：2015年10月7日教师签名：汪太平
第8章刚体的平面运动 §8-1 刚体平面运动概述和运动分解
例：曲柄连杆机构中连杆的运动；行星齿轮机构中行星轮的运动。

1. 特点：在运动中，刚体上任意一点与某一固定平面的距离保持不变。

2. 平面图形：刚体在运动平面内的正投影。

是运动学的简化模型。

3. 平面图形的运动方程
平面图形在其平面内位置的确定方法：
在平面内任意选择线段O'M ，其位置可由以下参数确定： 1) 线段上任一点O'''(,)O O x y ； 2) 线段与x 轴夹角φ。

则平面图形的运动方程可分为两部分：
''()()()''O O x x t y y t O t O ϕϕ⎧=⎫
⎬⎪
=⎨⎭⎪
=⎩随点的平移绕点的转动
定义：O'为基点。

4. 刚体平面运动的分解
动系O'x'y'固连于基点O'，则动系仅作平移运动，所以 刚体的平面运动＝随基点的平移＋绕基点的转动
1) 随基点的平移为牵连运动。

（与基点的选择有关，因为平面运动刚体上各点
运动不同，基点不同，动系的平移运动不同，其速度和加速度不同。

） 2) 绕基点的转动是相对于动系的相对运动。

（与基点的选择无关，因为对于不
同的基点，刚体任一时刻的转角都相同、角速度相同、角加速度也相同。

）
§8-2 求平面图形内各点速度的基点法
1. 平面图形内任一点B 的绝对速度
等于基点A 的速度与B 点随图形绕基点转动速度的矢量和。

B A BA
v v v AB AB
ω=+
√√
⊥大小？方向？ 基点A 的平移速度A v 沿AB 处处相等，相对速度BA v 沿AB 线性分布。

作速度平行四边形，由三角关系求解。

共有六个要素，一般已知四个要素。

例8-1，p203，速度基点法解题步骤：p205
与点的速度合成定理不同，其区别为：
2. 速度投影定理
平面图形内（同一刚体上）任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。

由B A BA v v v =+向AB 连线投影得()()B A AB AB v v =
理由：因A 、B 是同一刚体上两点，它们间的距离应保持不变，所以两点的速度在AB 方向的分量必须相同，否则，线段AB 不是伸长，便是缩短。

因此，该定理不仅适用于刚体作平面运动，也适合于刚体作其他任意运动。

例8-5，p206
§8-3 求平面图形内各点速度的瞬心法
1. 速度瞬心
定义：运动刚体上瞬时绝对速度为零的点。

存在及唯一性定理：平面运动刚体上，在每一瞬时，总存在且仅存在一个速度瞬心。

证明：取基点A ，则由速度基点法有M A MA v v v =+
M A v v AM ω=-
C A v v AC ω=-总存在且仅存在一点C 使得
0A
C v
v AC ω=⇔= 在不同的瞬时，速度瞬心在图形内的位置不同。

2. 平面图形内各点的速度分布
取瞬心C 为基点，则0C v =，
,,i C iC i iC v v v i A B M v v Ci
ω=+===⨯ 由 得　
∴平面图形的运动可看成为绕速度瞬心C 的瞬时转动。

且角速度等于图形绕任一基点转动的角速度ω。

（因为平面图形绕任意点转动的角速度都相等） ∴平面图形内任一点A 的速度A v CA ω=⨯
方向：⊥CA 连线，指向图形转动方向；
大小：v A =ωCA ，与CA 成正比，沿CA 线性分布。

瞬心法只用来求解平面图形上点的速度问题。

3. 确定速度瞬心C 位置的方法
1) 己知：圆盘在一固定表面上纯滚动，只滚不滑。

方法：接触点即为C 。

2) 己知：图形内任两点速度,A B v v 方向。

方法：分别过A 和B 作,A B v v 的垂线，交点即为C 。

3) 已知：图形内任两点速度,A B v v 大小，且都⊥AB 连线。

方法：连接速度矢,A B v v 尾端，与AB 交点即为C 。

(1) ,A B v v 反向时，C 在A 、B 两点之间； (2) ,A B v v 同向时，C 在AB 的延长线上；
(3) A B v v =时，速度瞬心在无限远处。

该瞬时平面图形作瞬时平移。

注意：图形作瞬时平移时（如图），各点的速度虽然相同，但加速度不同。

§8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
∵刚体的平面运动＝随基点A 的平移＋绕基点A 的转动 基点A ；平面图形内任一点B 为动点
1. 点B 的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和；
2. 点B 的牵连加速度等于基点A 的加速度，由于牵连运动为平移；
3. 点B 的相对加速度是B 点随图形绕基点A 转动的加速度，可分为切向加速度BA a τ
与
A
B
v AC BC v
=
法向加速度n
BA a 两部分。

由点的加速度合成定理得：
n
B e r r n A BA BA
A a a a a a a a a A
B AB τταωω=++=++=+⨯+⨯⨯（）
式中,ωα为平面图形的角速度和角加速度。

加速度基点法矢量式为：
2??n B A
BA BA a a a a AB AB AB BA
ταω=+
+√√
⊥
大小方向
结论：平面图形内各点加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。

例8-10p213已知：在椭圆规机构中，曲柄OD 以匀角速度ω绕O 轴转动，OD=AD=BD=l 。

求：当φ=60º时，尺AB 的角加速度和点A 的加速度。

解：1）运动分析
曲柄OD ：绕O 轴转动，角速度ω，D v l ω=
尺AB ：平面运动，瞬心为C ，D AB v l
CD l ωωω==
= 2）基点：取AB 上D 点，则由加速度基点法得：
22??n
A D AD AD
a a a a l l OA DO AD AD
τωω=++⊥ 大小方向
式中有八个要素，己知六个，问题可解。

3）取ξ轴与AD 重合，将矢量式向ξ轴投影得
()cos cos 2n
A D AD
a a a ϕπϕ=-- 取η轴垂直于A a ，将矢量式向η轴投影得
0sin cos sin n
D AD AD a a a τϕϕϕ=-++
解得：2()00AD A AD AB
a a l a AD
τ
τ
ωα=-===与图示反向，， 总结：基点法求加速度与求速度的步骤相同。

由例8-11可知，当车轮在地面上只滚不滑时，速度瞬心C 的加速度不为零，指向轮心O 。

*§8-5 运动学综合应用
机构的运动分析时，首先，从已知运动构件开始，确定各构件都作什么运动（平移、定轴转动和平面运动，一般的，两端铰链连接的构件作平面运动），并简单计算出相关连接点的速度和加速度；
若能确定连接点位置与时间的函数关系，则可直接建立运动方程，用解析法求其运动全过程的速度和加速度；
若难以建立运动方程，或只研究机构某瞬时的运动，则根据刚体不同的运动形式，通过已知连接点的运动，确定其上另一点的运动，常用点的运动合成法、平面图形运动的基点法；
平面运动理论用基点法来分析：同一刚体在平面运动时，其上两个点间的速度关系或加速度关系；
若两刚体相接触而有相对滑动时，则应用合成运动理论来分析这两个不同刚体上重合点的运动；两物体有相对运动，虽不接触，其重合点的运动也符合合成运动关系。