随机变量X和Y的协方差的解释
离散型随机变量的协方差
离散型随机变量的协方差
在统计学中，离散型随机变量的协方差是两个离散型随机变量之间的相关性的一种度量。
它表示两个随机变量的变化是否同步进行。
协方差的公式为：Cov(X,Y) = ∑(X - EX)(Y - EY)p(X,Y)
其中，EX和EY分别是随机变量X和Y的期望值，p(X,Y)是随机变量X和Y的联合概率分布函数。
协方差的值可以是正数、负数或零。
如果协方差为正数，则表示两个随机变量正相关，即当一个变量增大时，另一个变量也增大；如果协方差为负数，则表示两个随机变量负相关，即当一个变量增大时，另一个变量减小；如果协方差为零，则表示两个随机变量之间没有相关性。
注意，协方差仅表示两个随机变量之间的线性相关性，并不能准确地表示两个随机变量之间的非线性相关性。
因此，在分析两个随机变量之间的相关性时，通常还需要使用其他指标，如皮尔逊相关系数。
概率论与数理统计 5.3 协方差与相关系数
概率论
均值 EX是X一阶原点矩，方差DX是X的二阶
中心矩。
四、课堂练习
概率论
1、设随机变量（X，Y）具有概率密度
f (x, y) 81(x y) 0 x 2,0 y 2
0
其它
求E(X ), E(Y ),Cov(X ,Y ), D(X Y )。
2、设X ~ N(, 2),Y ~ N(, 2)，且设X，Y相互独立 试求Z1 X Y和Z2 X Y的相关系数(其中，
Cov(aX b,cY d ) acCov( X ,Y ); Cov(aX bY ,cX dY ) acDX bdDY (ad bc)Cov( X ,Y ).
(6) D(XY) = DX+ D Y 2 Cov(X, Y) .
一般地， D(aXbY) =a 2DX + b2DY 2 abCov(X, Y).
1
1
dx
1 x 8xydy 8
0
x
15
EY
yf ( x, y)dxdy
o
1x
1
dx
1 y 8xydy 4
0
x
5
EXY
xyf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 xy 8xydy 4
x
9
Cov( X ,Y ) EXYEXEY 4
225
类似地，EX 2
1
X与Y不独立.
EX EY EXY 0, Cov( X ,Y ) 0, XY 0,
X与Y不相关.
例6 设 X 的分布律为
X 1 0 1 P 13 13 13
Y X 2, 求 XY , 并讨论 X 与Y 的独立性. 解 EX 0, EY EX 2 2 3, E( XY ) EX 3 0,
第四章方差与协方差
随机变量的数学期望(均值), 它体现了随机 变量取值的平均水平, 是随机变量的一个重要的 数字特征.
但是在很多场合, 仅仅知道平均值是不够的.
例如, 某零件的真实长度为a, 现在用甲、乙 两台仪器各测量10次, 并将测量结果 X 用坐标上的 点表示如图：
测量结果的 均值都是 a
为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量 随机变量在其中心 (即均值) 附近取值的离散程度 (或集中程度). 这个数字特征就是: 方差.
我们该用怎样的量去度量这种偏离程度呢?
X − E(X) ? E[ X − E(X) ] ? E{ [ X − E(X) ]2 }
E[ | X − E(X) | ] ?
若 X 的取值比较集中, 则方差较小； 若 X 的取值比较分散, 则方差较大 .
如: 据以往记录, 甲乙两射手命中环数 X、Y 的分布律为
X
6
7
8
9
10
0.1
P 0.1 0.2 0.4 0.2 可以算出:
及
Y
6
7
8
9
10
0.2
P 0.2 0.2 0.2 0.2
8.0, 6 0 . 1 7 0 . 2 8 0 . 4 9 0 . 2 10 0 . 1 E (X) E ( Y ) 8 . 0 , 两人命中环数的平均水平相同, 从中看不出两人射击技术的 高低; 2 1 )20 .2 ( 2 )20 .1( ( X ) E {[ X E ( X )] } 但 D
一、方差( variance )的定义
随机变量 X 的平方偏差 [ X − E(X) ]2 的均值
E { [ X E ( X ) ]}
随机变量的方差、协方差与相关系数4-2
Cov ( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
从而, 作为协方差的特例，方差也应有
D ( X ) C o v ( X , X ) E ( X X ) E ( X ) E ( X ) E ( X ) [ E ( X )] .
2 2
又∵ X 与Y 相互独立时, 总有
D ( U ) 2 D ( X ) 3 D (Y ) 0
2 2
解 数学期望
E ( U ) 2 E ( X ) 3 E (Y ) 1
2 ( 5 ) 3 (1 1 ) 1 4 4 ;
E (V ) E (Y Z ) 4 E ( X ) E (Y ) E ( Z ) 4 E ( Z )
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2. 协方差的具体计算公式与实际计算步骤
⑴ 对离散型变量
E ( X ) xi pij (或 xi pi ) ,
i 1 j 1 i 1
E (Y ) E ( XY )
x
i 1 j 1
y
i 1 j 1
j
pij (或 y j p j ) ,
j 1
i
y j pij ,
Cov ( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) .
⑵ 对连续型变量
E( X ) E (Y ) E ( XY )
xf ( x , y )dxdy (或 yf ( x , y )dxdy (或
是 X 的方差. 是 X 与Y 的协方差.
返回
E[( X E ( X )(Y E (Y )]
协方差根号法则-概述说明以及解释
协方差根号法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分:协方差根号法则是概率论和统计学领域中一项重要的数学原则，用于描述两个随机变量的关系强度和方向性。
通过计算协方差，我们可以揭示变量之间的相关性，进而对数据进行分析和预测。
在本篇文章中，我们将介绍协方差的定义以及它的性质，为读者提供对协方差的理解和应用基础。
明确了协方差的概念后，我们将深入探讨协方差根号法则的原理，这一法则是通过对协方差进行数学运算，得出关于协方差的预测准确性的重要结论。
文章的正文部分将分为多个小节来介绍协方差的定义、性质以及协方差根号法则的原理。
首先，我们将详细解释协方差的定义，包括如何计算协方差以及协方差的含义和解释。
接着，我们将探讨协方差的性质，其中包括协方差的对称性、线性性和正定性等。
最后，我们将深入讨论协方差根号法则的原理，解释其背后的数学推导和应用场景。
在结论部分，我们将总结协方差根号法则的应用，强调其在数据分析和预测中的重要性。
同时，我们也会对协方差根号法则的局限性进行讨论，引导读者思考在实际问题中如何灵活运用该法则。
最后，我们还将探讨未来研究的方向，为读者展示协方差根号法则可能的发展和应用领域。
通过阅读本文，读者将能够全面了解协方差根号法则的基本原理和应用。
我们希望本文对读者进一步学习和研究概率论和统计学提供了一个良好的起点，并为读者在实际问题中应用协方差根号法则提供了一些启示。
1.2 文章结构本文将按照以下结构来进行讨论协方差根号法则的相关内容：第一部分是引言，主要包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，将简要介绍协方差根号法则的背景和应用领域。
文章结构部分将列举出整篇文章的目录，让读者了解本文的组织结构。
最后，目的部分将明确本文的主要目标。
第二部分是正文，将详细介绍协方差根号法则的相关知识。
首先，在2.1小节中，将对协方差的定义进行阐述，包括其计算公式和意义。
然后，在2.2小节中，将介绍协方差的性质，如对称性、非负性和线性变换的性质等。
协方差
1. 协方差与相关系数的定义 量 E{[ X E( X )][Y E(Y )]} 称为随机变量
X与Y的协方差, 记为 cov( X ,Y ),
covX ,Y EX EX Y EY
称ρXY
cov( X ,Y ) 为随机变量X与Y的 D( X ) D(Y )
相关系数.
2. 相关系数的意义 当 ρXY 接近1时,表明X ,Y的线性关系联系较紧密. 当 ρXY 接近0时, X ,Y线性相关的程度较差. ρXY 0, 则称X和Y不相关.
σ1n σ2n σnn
为n 维随机变量 ( X1, X2, , Xn ) 的协方差阵.
2. 二维随机变量的协方差矩阵
设X1, X2 为二维随机变量 , 其协方差矩阵为
σ11 σ12 , σ21 σ22 其中
σ11 E[ X1 E( X1)]2 DX1 ,
σ21 E{[ X2 E( X2 )][ X1 E( X1)]} σ12,
1
2πσ1σ 2 1 ρ2
( x μ1)( y μ2 )
e
x μ1 2σ12
2
e
2
1 1 ρ2
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
2
dydx
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 , u x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
σ1
cov(X ,Y )
1
2π (σ1σ 2
σ12 E{[ X1 E( X1)][ X2 E( X2 )]},
σ22 E[ X2 E( X2 )]2 DX2 .
注10 由于cij = cji i, j 1,2, n,所以
协方差矩阵为对称的非负定矩阵. 注20 协方差矩阵的应用.
随机变量和常数的协方差
随机变量和常数的协方差摘要：1.随机变量与协方差的定义2.协方差的性质与应用3.随机变量与常数的协方差4.实例分析与计算正文：在概率论和统计学中，协方差是一个重要的概念，它用来衡量两个随机变量之间的线性相关程度。
本文将介绍随机变量与常数的协方差，并通过对实例进行分析，来加深对这一概念的理解。
一、随机变量与协方差的定义设随机变量X和Y，其概率分布分别为FX（x）和FY（y），则协方差Cov （X，Y）定义为：Cov（X，Y）= ∫[x * fX(x) * dy]其中，fX（x）表示X的概率密度函数。
类似地，我们也可以定义随机变量X与常数a的协方差：Cov（X，a）= ∫[x * fX(x) * da]二、协方差的性质与应用1.性质（1）协方差具有线性性质：Cov（aX + b，Y）= a * Cov（X，Y）+ b * Cov（X，Y）（2）协方差具有可交换性：Cov（X，Y）= Cov（Y，X）（3）协方差与期望的关系：Cov（X，Y）= E[XY] - E[X] * E[Y]2.应用（1）判断两随机变量之间的线性相关程度：协方差绝对值越大，相关程度越高。
（2）衡量一组数据的离散程度：协方差矩阵的迹（trace）表示数据的离散程度，迹越大，数据越分散。
三、随机变量与常数的协方差假设随机变量X的期望为μ，常数为a，则X与常数a的协方差Cov （X，a）为：Cov（X，a）= E[Xa] - a * E[X]其中，E[Xa]表示X与a的乘积的期望。
四、实例分析与计算例：设随机变量X服从正态分布N（μ1，σ1^2），随机变量Y服从正态分布N（μ2，σ2^2），且μ1 = μ2，σ1 = σ2。
计算X与Y的协方差。
解：由正态分布的性质可知，E[X] = μ1，E[Y] = μ2，Var（X）=σ1^2，Var（Y）= σ2^2。
又因为X和Y相互独立，所以Cov（X，Y）= E[XY] - E[X] * E[Y] = 0。
(课件)概率论与数理统计：协方差的定义与性质
协方差的性质：
性质 1 Cov(X ,Y ) Cov(Y, X ) .
性质 2 Cov( X , X ) E{[ X E( X )]2} D( X ) .
性质 3 Cov(aX ,bY ) abCov(X ,Y ) ,其中 a,b 为任意 常数.
性质 4 Cov(c, X ) 0 , c 为任意常数.
性质 5 Cov(X Y，Z) Cov(X , Z) Cov(Y, Z) .
性质 6 D(X Y ) D(X ) D(Y ) 2Cov(X ,Y ) .
【引言】
随机变量还有两个重要的数字特征 ——协方差和相关系数
协方差的定义与性质
定 义 4.4 设 (X ,Y ) 是 二 维 随 机 变 量 . 若 E{[X E(X )][Y E(Y )]} 存在,则称它为随机变量 X 与 Y , Y ) E{[X E(X )][Y E(Y )]}.
于是 Cov(X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y )
0.15 0.95(0.1) 0.245 .
例 4.21 设二维随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为
f
(x,
y)
x
y， 0，
0
x
1,0 其他,
y
1,
求 Cov(X ,Y ) .
解 因为
11
E(X )
x f (x, y)dxdy x (x y)dxdy
3 12 12 144
思考题:
协方差与方差有什么关系呢？
谢谢聆听！
例 4.20 已知二维随机变量 (X ,Y ) 的分布律为
协方差名词解释
协方差名词解释
协方差是用来衡量两个随机变量之间相关性或者线性关系的统
计量。
它表示了两个变量的变化趋势是否一致，即当一个变量的值偏离其均值时，另一个变量的值是否也偏离其均值。
具体而言，协方差是两个随机变量之间的期望值，表示为Cov(X, Y)，其中X和Y分别是两个随机变量。
协方差的数值可以为正、负或者零，分别表示正相关、负相关或者无相关。
如果协方差为正，意味着当一个变量偏离均值时，另一个变量也会偏离均值；如果协方差为负，意味着当一个变量偏离均值时，另一个变量会朝相反的方向偏离均值；如果协方差为零，意味着两个变量之间没有线性关系。
协方差的数值大小不仅取决于两个变量之间的关系强度，还取决于变量本身的变化幅度。
为了消除变量本身变化幅度的影响，可以使用相关系数来标准化协方差，即将协方差除以两个变量的标准差。
协方差在统计学、金融学、经济学等领域都有广泛的应用，可用于研究变量之间的关系、量化风险以及构建投资组合等。
随机变量的方差、协方差与相关系数4-2讲解学习
⑵ 两随机变量X 与Y 对各自均值的偏差以差之乘积的形 式给出的平均波动，称为二者的协方差，记为 Cov(X,Y) ,
亦即 C o v ( X , Y ) E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] } .
⑶ 两随机变量X 与Y 的协方差与该二变量标准差乘积的
比值，称为二者的相关系数，记为 X ,Y , 亦即
D (X Y ) D (X ) D (Y ).
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方差与协方差（含相关系数）重要性质选证三 证
C o v ( X , Y ) C o v [ X E ( X ) , Y E ( Y ) ]
D (X ) D (Y)C ov[XE (X ),YE (Y)]D (X ) D (Y )C ov(X *,Y *) D (X ) D (Y)
XY
Cov(X,Y) .
D(X) D(Y)
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2. 方差与协方差的理论计算公式
⑴ 对离散型变量
D(X) [xi E(X)]2pi 或 D(X) [xi E(X)]2pij ;
i1
j1i1
C o v(X ,Y ) [x iE (X )][yjE (Y )]p ij
i 1j 1
⑵ 对连续型变量
2) D(C) 0
DXCD(X)
2) Cov(C1,C2)0
Cov(C1,Y)0, Cov(X,C2)0
3) D(CX)C2D(X)
3) C o v (C 1 X ,C 2 Y ) C 1 C 2 C o v (X ,Y )
C o v(C X ,C Y ) C 2 C o v(X ,Y )
4) D (X Y ) D (X )D (Y )
Cov(X,Y) E (X Y )E (X )E (Y ) 从而, 作为协方差的特例，方差也应有
随机变量的协方差和相关系数
cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY
1) 当(X,Y)是离散型随机变量时,
cov( X , Y ) ( xi EX )( y j EY ) pij量时,
cov( X , Y )
( x EX )( y EY ) f ( x, y)dxdy.
存在，称它为X的k阶中心矩. 注：均值 E(X)是X一阶原点矩, 方差D(X)是X的二阶中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量，若
E( X Y )
k
l
k,l=1,2,… 存在，
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩.
若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l } 存在， 称它为X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. 注:协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
4. 若 XY 0 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存 在，且均不为零，则下列四个命题等价： （1） XY 0 ； （2）cov(X ,Y) = 0；
（3）E(XY)=EXEY；
（4）D(X ±Y)=DX+DY。
n2
为(X1,X2, …,Xn) 的相关系数矩阵。
由于 i i
cov( X i , X i ) 1, D( X i ) D( X i )
故相关系数矩阵的主对角元素均为1.
五、 原点矩和中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k 1,2, 存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
随机变量的方差、协方差与相关系数
目 录
• 随机变量的方差 • 随机变量的方差 • 随机变量的协方差 • 相关系数 • 方差、协方差与相关系数的关系 • 实例分析
01
CATALOGUE
随机变量的方差
协方差的定义
协方差是衡量两个随机变量同时偏离其各自期望值程度的量，表示两个随机变量 之间的线性相关程度。
03
当两个随机变量的尺度相差很大时，直接计算协方差可能 得出不准确的结果，此时归一化的相关系数更为适用。
方差、协方差与相关系数的应用场景
方差在统计学中广泛应用于衡量数据的离散程度，例如在计算平均值、中位数等统计量时需要考虑数 据的离散程度。
协方差在回归分析、时间序列分析等领域中有着广泛的应用，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
3
当只考虑一个随机变量时，方差即为该随机变量 与自身期望值之差的平方的期望值，因此方差是 协方差的一种特例。
协方差与相关系数的关系
01
相关系数是协方差的一种归一化形式，用于消除两个随机变量 尺度上的差异，计算公式为 $r = frac{Cov(X,Y)}{sigma_X sigma_Y}$。
02
相关系数的取值范围是 [-1,1]，其中 1 表示完全正相关，1 表示完全负相关，0 表示不相关。
详细描述
对称性是指如果随机变量X和Y的相关系数是r，那么随机变量Y和X的相关系数也是r。有界性是指相关 系数的绝对值不超过1，即|r|≤1。非负性是指相关系数的值总是非负的，即r≥0。
相关系数的计算
总结词
相关系数的计算方法有多种，包括皮尔 逊相关系数、斯皮尔曼秩相关系数等。
VS
详细描述
皮尔逊相关系数是最常用的一种，其计算 公式为r=∑[(xi-x̄)(yi-ȳ)]/[(n-1)sxy]，其 中xi和yi分别是随机变量X和Y的第i个观测 值，x̄和ȳ分别是X和Y的均值，sxy是X和 Y的协方差。斯皮尔曼秩相关系数适用于 有序分类变量，其计算方法是根据变量的 秩次进行计算。
随机变量协方差
随机变量协方差随机变量协方差是概率论和数理统计中的一个重要概念。
它描述了两个随机变量之间的相关性，即它们如何一起变化。
在实际应用中，协方差被广泛用于金融、经济学、工程学和自然科学等领域。
1. 定义随机变量协方差是指两个随机变量之间的关系度量。
对于两个随机变量X和Y，它们的协方差定义为：Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]其中E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望值。
2. 解释协方差可以解释为两个随机变量之间的线性关系度量。
如果Cov(X,Y)>0，则X和Y呈正相关；如果Cov(X,Y)<0，则X和Y呈负相关；如果Cov(X,Y)=0，则X和Y不相关。
例如，在金融领域中，股票A和股票B的收益率可以看作是两个随机变量。
如果它们的协方差为正值，则表明它们之间存在正相关关系，即当股票A上涨时，股票B也有可能上涨；反之亦然。
而如果它们的协方差为负值，则表明它们之间存在负相关关系，即当股票A上涨时，股票B有可能下跌；反之亦然。
3. 计算计算随机变量协方差需要先求出两个随机变量的期望值。
然后，将每个随机变量的观测值减去其期望值，得到它们的离差（即偏离期望值的距离）。
最后，将两个随机变量的离差相乘，并对所有观测数据求和。
这就是协方差的计算公式。
例如，假设有以下数据：X: 1, 2, 3, 4, 5Y: 2, 4, 6, 8, 10首先求出X和Y的期望值：E(X) = (1+2+3+4+5)/5 = 3E(Y) = (2+4+6+8+10)/5 = 6然后计算每个观测值与其对应的期望值之间的离差：X: -2, -1, 0, 1, 2Y: -4, -2, 0, 2, 4接下来将两个随机变量的离差相乘，并对所有观测数据求和：Cov(X,Y) = ((-2)*(-4))+((-1)*(-2))+(0*0)+(1*2)+(2*4) = 20/5 = 4因此，X和Y的协方差为4。
4. 性质随机变量协方差具有以下性质：（1）Cov(X,X) = Var(X)，即一个随机变量与自身的协方差等于其方差。
协方差和相关系数的计算公式
协方差和相关系数的计算公式协方差和相关系数是统计学中常用的两个概念，用于描述变量之间的关系程度。
在概率论和统计学中，协方差表示两个变量的总体协同变动的方向和程度。
相关系数则度量两个变量之间线性相关的强度和方向。
接下来我们会分别介绍协方差和相关系数的计算公式及其详细解释。
1. 协方差（Covariance）：协方差是用来衡量两个随机变量关系的一种统计量。
它表示两个随机变量在同一时间（或同一试验中）波动的程度。
总体协方差的计算公式如下：Cov(X, Y) = Σ[ (Xᵢ - μₓ) * (Yᵢ - μᵧ) ] / N其中-X和Y分别是随机变量X和Y的取值；-μₓ和μᵧ分别是随机变量X和Y的总体均值；-N是样本个数；-Σ表示对所有样本求和。
样本协方差的计算公式如下：Cov(X, Y) = Σ[ (Xᵢ - X̄) * (Yᵢ - Ȳ) ] / (n - 1)其中-X̄和Ȳ分别是X和Y的样本均值；-n是样本个数；-Σ表示对所有样本求和。
解释：协方差的计算公式可以通过观察上面的公式看出，它是两个变量之间差值的乘积的平均值。
如果协方差为正，表示两个变量呈正相关，当一个变量上升时，另一个变量也上升；如果协方差为负，表示两个变量呈负相关，当一个变量上升时，另一个变量下降；如果协方差为零，则表示两个变量之间不存在线性关系。
2. 相关系数（Correlation coefficient）：相关系数是用于度量两个变量之间线性相关程度的一种统计量。
它的值介于-1和1之间。
总体相关系数的计算公式如下：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σₓ * σᵧ)其中- Cov(X, Y)是协方差；-σₓ是X的总体标准差；-σᵧ是Y的总体标准差。
样本相关系数的计算公式如下：r(X, Y) = Cov(X, Y) / (sₓ * sᵧ)其中- Cov(X, Y)是协方差；-sₓ是X的样本标准差；-sᵧ是Y的样本标准差。
解释：相关系数是通过协方差来度量两个变量之间的线性关系程度，其值介于-1和1之间。
两个随机变量协方差为零但不独立的例子
随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象可能的不确定性，并且可以用来分析和解释许多现实世界中的问题。
协方差和独立性是描述随机变量之间关系的重要概念，它们在概率论和统计学中有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论两个随机变量协方差为零但不独立的例子，以帮助读者更好地理解这些概念之间的关系。
二、协方差和独立性的概念1. 协方差的定义和性质在概率论和统计学中，协方差是用来衡量两个随机变量之间相关性的一种方法。
它的定义如下：设X和Y是两个随机变量，E(X)和E(Y)分别是它们的数学期望，那么X和Y的协方差定义为：Cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))当协方差大于0时，表示X和Y正相关；当协方差小于0时，表示X和Y负相关；当协方差等于0时，表示X和Y不相关。
2. 独立性的定义和性质在概率论中，独立性是指两个随机变量的取值之间没有相互关联，即一个随机变量的取值不会对另一个随机变量的取值产生影响。
形式化地，随机变量X和Y独立的定义为：P(X∩Y) = P(X) * P(Y)对于独立的随机变量，它们的联合分布可以拆分成各自的边缘分三、协方差为零但不独立的例子1. 例子一：X和Y服从正态分布但不独立假设X和Y分别服从均值为0，方差为1的标准正态分布，且它们之间存在如下的关系：Y = X + 2很明显，X和Y的协方差为零：Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(X(X+2)) - 0 = E(X^2 + 2X) = E(X^2) + 2E(X) = Var(X) + 0 = 1 + 0 = 1 - 1 = 0但是X和Y却不独立，因为它们的联合分布并不等于各自的边缘分布的乘积：P(X=0, Y=2) = P(X=0) * P(Y=2) = 0但是P(X=0, Y=2)却不等于0，因此X和Y不是独立的。
2. 例子二：X和Y服从正态分布但不独立假设X和Y分别服从均值为0，方差为1的标准正态分布，且它们之间存在如下的关系：Y = -X同样地，X和Y的协方差为零：Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(-X^2) - 0 = -1 - 0 = -1 + 1 = 0但是X和Y却不独立，因为它们的联合分布并不等于各自的边缘P(X=1, Y=-1) = P(X=1) * P(Y=-1) = 0.5 * 0.5 = 0.25 但是P(X=1, Y=-1)却不等于0.25，因此X和Y不是独立的。
随机变量的相关系数和相关性
1 XY 1， 即得 | XY | 1 .
性质2 若 Y a bX ，则 XY 1 (b 0) 证 E(Y ) a bE( X ) , D(Y ) b2D( X ) ,
E( XY ) E[X (a bX )] aE( X ) bE( X 2 ) ,
19
二维正态分布
(X
,
Y
)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
.
f (x, y)
1
1
2(1
2
)
(
x 1
2 1
)2
2
(
x 1 )( y 2 2 1 2
)
(
y2
2 2
)2
e 2 1 2 1 2
前面已证: X,Y 相互独立 0 .
可以计算得 XY .
于是，对二维正态随机变量(X,Y )来说, X和Y 不相关与X和Y 相互独立是等价的.
20
例4 设( X,Y )的分布律为
X Y
2
1
1
2
E( X ) 0 ,
1 0 1/ 4 1/ 4 0 1/ 2 E(Y ) 5 / 2 ,
4 1/ 4 0 0 1/ 4 1/ 2 E( XY ) 0 ,
1/4 1/4 1/4 1/4
所以 Cov( X , Y ) 0 , 于是 XY 0 .
i
j
E( X 2 )
x
2 i
pi
•
3.1，
i
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 3.1 1.12 1.89，
E(Y 2 )
y
2 j
协方差与期望的关系公式推导
协方差与期望的关系公式推导首先，我们先引入几个需要用到的概念和定义。
定义1：随机变量X的数学期望（或均值）E(X)定义为亏。
E(X)=∑xP(X=x)，其中x表示随机变量X的不同取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
定义2：定义随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)为E((X-E(X))(Y-E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为X和Y的期望。
用X和Y表示两个随机变量的协方差，它们的关系可以表示为Cov(X, Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y)))。
然后，我们将协方差展开，并对相关项进行重新排列。
Cov(X, Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y))=E(XY)-E(XE(Y))-E(YE(X))+E(X)E(Y)在公式的第一项中，我们考虑E(XY)。
我们可以将Y表示为Y=E(Y)+(Y-E(Y))，然后展开并使用期望的线性性质。
E(XY)=E(X(E(Y)+(Y-E(Y))))=E(XE(Y))+E(X(Y-E(Y)))=E(XE(Y))+E(XY)-E(XE(Y))=E(XY)因此，我们得到E(XY)=E(XY)，可以将其代回协方差公式。
Cov(X, Y) = E(XY) - E(XE(Y)) - E(YE(X)) + E(X)E(Y)在公式的第二项和第三项中，我们可以使用期望的线性性质重新排列。
E(XE(Y))=E(E(X)Y)=E(X)E(Y)E(YE(X))=E(E(Y)X)=E(X)E(Y)将上述结果代回协方差公式，我们得到：Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) - E(X)E(Y) + E(X)E(Y)化简可得：Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)这就是协方差与期望的关系公式。
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E[g( X ,Y )]
g( xi , y j ) pij
ij
连续型 联合概率密度为 f (x, y)
E[g(X ,Y )]
g( x, y) f ( x, y)dxdy
例：设相互独立的随机变量X, Y的密度函数分别
为：
2x, f1( x) 0,
i
例：已知随机变量X的分布律：
X
45
6
P 1/4 1/2 1/4
求数学期望E(X)
解：
E( X ) p1 x1 p2 x2 p3 x3
E(X) 4 1 5 1 6 1 5 424
2. 连续型随机变量的数学期望E(X)
定义：设连续型随机变量X的概率密度为
f (x)，则随机变量X的数学期望为：
2
(2) x [0,1] 时
13
fX ( x)
f ( x, y)dy 2
xydy 2x
1
所以
2x
fX
(x)
0
x [0,1] 其它
y [1, 3] 时
fY ( y)
1
f ( x, y)dx
2
1
1
xydx y
0
4
y
所以
f
y
(
y)
4
0
y [1, 3] 其它
(3)
E(X )
xf X ( x)dx
1
x 2 xdx
0
3y
13
E(Y )
yfY ( y)dy
y dy 14
6
另解 无需求边缘分布密度函数
E( X )
xf ( x, y)dxdy
1
0
3. 数学期望的意义
数学期望E(X)反映了随机变量X取值的 “概率平均”，是X的可能值以其相应概 率的加权平均.
试验次数较大时，X的观测值的算术平 均值在E(X)附近摆动
算术平均值 x E( X ) 数学期望
试验次数较大
数学期望又可以称为期望值(Expected Value)，均值(Mean)
离散型 P( X xi ) pi (i 1, 2, )
E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk k 1
连续型 概率密度为 f ( x)
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
例：已知X服从[0, 2π]上的均匀分布，求 Y = sin X的数学期望.
1
31
dx x xydy
0
12
1
2
0 x 2 x d x 3
3
11
E(Y )
yf ( x, y)dxdy dy y xydx
1
02
3
y
y dy
13
14
6
二、随机变量的函数的数学期望
定理1：一维情形 设Y = g(X)是随机变量X的函数，
解：E(Y
)
E
sin
X
sin
x
f
x
dx
因为
f
x
1
2
,
0 x 2；
0,
其它。
所以
E
sin
X
2
0
1
2
sin
xdx
0
定理2： 二维情形
设Z = g(X, Y)是随机变量 X, Y的函数，
离散型 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,
答案：E( X
Y
)
f
(
x,
y)
kxy
0
x [0,1], y [1, 3] 其它
(1) 求k
(2) 求X和Y的边缘密度
(3) 求E(X), E(Y).
解：(1)
规范性
f ( x, y)dxdy 1
得：k
3
ydy
1
xdx
k4 1
2k 1
1
0
2
所以 k 1
4. 二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E( X ,Y ) (E( X ), E(Y ))
(1) (X, Y)为二维离散型随机变量
E( X ) xi P(X xi ) xi pi.
xi pij
i
i
ij
E(Y ) yj P(Y yj ) yj p. j
(0 x 1)
e( y5),
其它
f2( y)
0,
( y 5) 其它
求E(XY).
解：E[XY )]
xyf ( x, y)dxdy
xyf1( x) f2( y)dxdy
1
dx
xy 2x e( y5)dy
0
5
1 2x2dx ye( y5)dy 4
0
5
三、数学期望的性质
1. E(C ) C
2. E(CX ) CE( X )
3. E( X Y ) E( X ) E(Y )
4. 当随机变量X, Y相互独立时，
E( XY ) E( X )E(Y )
例：设(X, Y)在由4个点(0, 0), (3, 0), (3, 2), (0, 2) 决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y), E(X2), E(Y2), E(XY).
E( X ) x f ( x)dx
1
例：已知X的密度函数为 f ( x) 1 x2
x 1
求数学期望.
0
x 1
解：E( X )
x f ( x)dx
1
1
x 0dx x
1
dx x 0dx
1 1 x2
y j pij
j
j
ji
(2) (X, Y)为二维连续型随机变量
E( X ) Fra bibliotekf X ( x)dx
xf ( x, y)dxdy
E(Y )
yfY ( y)dy
yf ( x, y)dxdy
例：设(X, Y)的联合密度为
§7.1 数学期望
一、数学期望E(X) Mathematical Expectation
1. 离散型随机变量的数学期望 定义：设离散型随机变量的概率分布律为
P( X xi ) pi (i 1, 2, )
即
X
x1 x2
xi
概率 p1 p2
pi
则随机变量X的数学期望为：
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xi pi