随机变量X和Y的协方差的解释

0
5
1 2x2dx ye( y5)dy 4
0
5
三、数学期望的性质
1. E(C ) C
2. E(CX ) CE( X )
3. E( X Y ) E( X ) E(Y )
4. 当随机变量X, Y相互独立时，
E( XY ) E( X )E(Y )
例：设(X, Y)在由4个点(0, 0), (3, 0), (3, 2), (0, 2) 决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y), E(X2), E(Y2), E(XY).

E( X ) x f ( x)dx

1
例：已知X的密度函数为 f ( x) 1 x2
x 1
求数学期望.

0
x 1
解：E( X )

x f ( x)dx

1
1
x 0dx x
1

dx x 0dx

1 1 x2
(0 x 1)
e( y5),
其它
f2( y)
0,
( y 5) 其它
求E(XY).
解：E[XY )]


xyf ( x, y)dxdy


xyf1( x) f2( y)dxdy

1
dx
xy 2x e( y5)dy
1
31
dx x xydy

0
12
1
2
0 x 2 x d x 3

3
11
E(Y )
yf ( x, y)dxdy dy y xydx

1
02

3
y
y dy
13
14
6
二、随机变量的函数的数学期望
定理1：一维情形 设Y = g(X)是随机变量X的函数，
E[g( X ,Y )]
g( xi , y j ) pij
ij
ຫໍສະໝຸດ Baidu连续型 联合概率密度为 f (x, y)

E[g(X ,Y )]
g( x, y) f ( x, y)dxdy

例：设相互独立的随机变量X, Y的密度函数分别
为：
2x, f1( x) 0,
2
(2) x [0,1] 时

13
fX ( x)

f ( x, y)dy 2
xydy 2x
1
所以
2x
fX
(x)


0
x [0,1] 其它
y [1, 3] 时
fY ( y)

1
f ( x, y)dx

2
1
1
xydx y
0
4
y
所以
f
y
(
y)
i
例：已知随机变量X的分布律：
X
45
6
P 1/4 1/2 1/4
求数学期望E(X)
解：
E( X ) p1 x1 p2 x2 p3 x3
E(X) 4 1 5 1 6 1 5 424
2. 连续型随机变量的数学期望E(X)
定义：设连续型随机变量X的概率密度为
f (x)，则随机变量X的数学期望为：
离散型 P( X xi ) pi (i 1, 2, )

E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk k 1
连续型 概率密度为 f ( x)

E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
例：已知X服从[0, 2π]上的均匀分布，求 Y = sin X的数学期望.


4
0
y [1, 3] 其它
(3)
E(X )

xf X ( x)dx
1
x 2 xdx
0

3y
13
E(Y )
yfY ( y)dy
y dy 14
6
另解 无需求边缘分布密度函数
E( X )


xf ( x, y)dxdy
4. 二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E( X ,Y ) (E( X ), E(Y ))
(1) (X, Y)为二维离散型随机变量
E( X ) xi P(X xi ) xi pi.
xi pij
i
i
ij
E(Y ) yj P(Y yj ) yj p. j
1
0
3. 数学期望的意义
数学期望E(X)反映了随机变量X取值的 “概率平均”，是X的可能值以其相应概 率的加权平均.
试验次数较大时，X的观测值的算术平 均值在E(X)附近摆动
算术平均值 x E( X ) 数学期望
试验次数较大
数学期望又可以称为期望值(Expected Value)，均值(Mean)
y j pij
j
j
ji
(2) (X, Y)为二维连续型随机变量


E( X )
xf X ( x)dx

xf ( x, y)dxdy



E(Y )
yfY ( y)dy

yf ( x, y)dxdy

例：设(X, Y)的联合密度为
解：E(Y
)

E
sin
X



sin
x
f

x
dx
因为
f

x

1

2
,
0 x 2；
0,
其它。
所以
E
sin
X



2
0
1
2
sin
xdx

0
定理2： 二维情形
设Z = g(X, Y)是随机变量 X, Y的函数，
离散型 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,
f
(
x,
y)

kxy

0
x [0,1], y [1, 3] 其它
(1) 求k
(2) 求X和Y的边缘密度
(3) 求E(X), E(Y).
解：(1)
规范性


f ( x, y)dxdy 1

得：k
3
ydy
1
xdx
k4 1
2k 1
1
0
2
所以 k 1
§7.1 数学期望
一、数学期望E(X) Mathematical Expectation
1. 离散型随机变量的数学期望 定义：设离散型随机变量的概率分布律为
P( X xi ) pi (i 1, 2, )
即
X
x1 x2
xi
概率 p1 p2
pi
则随机变量X的数学期望为：
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xi pi
答案：E( X
Y
)