随机变量独立性的性质

议随机变量独立性及其应用

作者：张利荣 指导老师：桂春燕

摘要 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义,

随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明.

关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 独立性 联合分布

1 引言

概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视.

随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明.

2 随机变量独立性的定义

定义]1[ 设),(Y X 为二维随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x X ≤与{}y Y ≤相互独立,即

()()()

y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤, ,

)1(

则称X 与Y 相互独立.

若()y x F ,为X 与Y 的联合分布函数,()x F X 、()y F Y 分别是X 与Y 的边缘分布函数,则

)1(式等价于

()()()y F x F y x F Y X ⋅=,.

3 随机变量独立性的性质及其判别方法

3.1 离散型随机变量独立性的判定

判别法一

定理1 设二维离散型随机变量()Y X ,的联合分布列为

()j i ij y Y x X P p ===,, () ,2,1;2,1==j i ,

X 的边分缘布列是

()i i x X P p ==⋅,() ,2,1=i ,

Y 的边缘分布列是

()j j y Y P p ==⋅,() ,2,1=j ,

则X 和Y 相互独立的充要条件为:对所有的取值()

j i y x ,有

() ,2,1;,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .

证明 充分性：若() ,2,1,,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij ,因为()Y X ,是二维离散型随机变量,所以对任意的y x ,有

()()

,,()()

()()

i j i j i j i j ij i j x x y y

ij i j

x x y y

x x

y y

i j x x

y y

p P X x Y y P X x Y y p p p P X x P Y y P X x P Y y ≤≤⋅⋅≤≤≤≤≤≤=≤≤=====⋅====≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑

即X 和Y 相互独立.

必要性：若X 和Y 相互独立,不妨设

123123,i j x x x x y y y y <<<

<<<<<<<

,

则对任意y x ,,有

()()()y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,.

当11,y y x x ==时,有

()()()1111,y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,

即

()()()1111,y Y P x X P y Y x X P =⋅====,

亦即

1111⋅⋅⋅=p p p . )2(

如此进行下去,最后可得

() ,2,1,11=⋅=⋅⋅j p p p j j .

如此下去,最后得出.

() ,2,1,,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .

由此定理得证.

例1 设随机变量X 和Y 相互独立,并且有

{}{}p Y P X P ====11,{}==0X P {}q p Y P =-==10,10<

定义随机变量ζ为

⎩⎨

⎧++=.

0,1为奇数若，为偶数；

若Y X Y X ζ 问当p 取何值时,X 和ζ相互独立?

解 由于

{}{}{}0,01,11======Y X Y X ζ, {}{}{}0,11,00======Y X Y X ζ

,

所以

{}{}{}{}2111,11,1p Y P X P Y X P X P ==⋅=======ζ,

{}{}{}{}pq Y P X P Y X P X P ==⋅=======010,10,1ζ, {}{}{}{}2000,01,0q Y P X P Y X P X P ==⋅=======ζ,

{}{}{}{}pq Y P X P Y X P X P ==⋅=======101,00,0ζ.

由此得()ζ,X 的联合分布列及其边缘分布列如表1所示.

表 1

1

j p ⋅ 0

pq 2q q 1

pq

2p

p

⋅i p

pq 2

22q p +

1

为使X 和ζ相互独立,有

ζ

X