随机变量独立性的性质

议随机变量独立性及其应用作者：张利荣 指导老师：桂春燕摘要 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义,随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明.关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 独立性 联合分布1 引言概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视.随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明.2 随机变量独立性的定义定义]1[ 设),(Y X 为二维随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x X ≤与{}y Y ≤相互独立,即()()()y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤, ,)1(则称X 与Y 相互独立.若()y x F ,为X 与Y 的联合分布函数,()x F X 、()y F Y 分别是X 与Y 的边缘分布函数,则)1(式等价于()()()y F x F y x F Y X ⋅=,.3 随机变量独立性的性质及其判别方法3.1 离散型随机变量独立性的判定判别法一定理1 设二维离散型随机变量()Y X ,的联合分布列为()j i ij y Y x X P p ===,, () ,2,1;2,1==j i ,X 的边分缘布列是()i i x X P p ==⋅,() ,2,1=i ,Y 的边缘分布列是()j j y Y P p ==⋅,() ,2,1=j ,则X 和Y 相互独立的充要条件为:对所有的取值()j i y x ,有() ,2,1;,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .证明 充分性：若() ,2,1,,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij ,因为()Y X ,是二维离散型随机变量,所以对任意的y x ,有()(),,()()()()i j i j i j i j ij i j x x y yij i jx x y yx xy yi j x xy yp P X x Y y P X x Y y p p p P X x P Y y P X x P Y y ≤≤⋅⋅≤≤≤≤≤≤=≤≤=====⋅====≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑即X 和Y 相互独立.必要性：若X 和Y 相互独立,不妨设123123,i j x x x x y y y y <<<<<<<<<<,则对任意y x ,,有()()()y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,.当11,y y x x ==时,有()()()1111,y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,即()()()1111,y Y P x X P y Y x X P =⋅====,亦即1111⋅⋅⋅=p p p . )2(如此进行下去,最后可得() ,2,1,11=⋅=⋅⋅j p p p j j .如此下去,最后得出.() ,2,1,,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .由此定理得证.例1 设随机变量X 和Y 相互独立,并且有{}{}p Y P X P ====11,{}==0X P {}q p Y P =-==10,10<<p ,定义随机变量ζ为⎩⎨⎧++=.0,1为奇数若，为偶数；若Y X Y X ζ 问当p 取何值时,X 和ζ相互独立?解 由于{}{}{}0,01,11======Y X Y X ζ, {}{}{}0,11,00======Y X Y X ζ,所以{}{}{}{}2111,11,1p Y P X P Y X P X P ==⋅=======ζ,{}{}{}{}pq Y P X P Y X P X P ==⋅=======010,10,1ζ, {}{}{}{}2000,01,0q Y P X P Y X P X P ==⋅=======ζ,{}{}{}{}pq Y P X P Y X P X P ==⋅=======101,00,0ζ.由此得()ζ,X 的联合分布列及其边缘分布列如表1所示.表 11j p ⋅ 0pq 2q q 1pq2pp⋅i ppq 222q p +1为使X 和ζ相互独立,有ζX()()2222222,,2,.pqq pq p q q q pqp pq p q p p =⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪+=⎩ 由于10<<p ，故方程组的解为21=p ,即当21=p 时,X 和ζ相互独立.判别法二：设()Y X ,是二维离散型的随机变量,它的联合概率分布列为()j i ij y Y x X P p ===,, () ,2,1,=j i 可以用下表所示表 21y2yj y1x 11p12p j p 1 2x 21p22pj p 2i x 1i p2i pij p且∑∑=≥ijijij pp 1,0,矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ij i i j j p p p p p p p p p A 212222111211称为()Y X ,的联合概率分布矩阵,其行向量记为()() ,2,1,,,,,21==i p p p a ij i i i ,记()Y X ,的联合分布列()A Y X ~,.引理]7[ 设1α是非零向量,1α和2α线性相关,则2α可由1α线性表出.证明 因为1α和2α线性相关,所以存在不全为零的两个数1λ和2λ,使得YX02211=+ααλλ,又因为1α是非零向量,如果02=λ,则01=λ,则02≠λ,所以1212ααλλ-=, 即2α可由1α线性表出.定理2 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.证明 充分性：若A 中任意的两个行向量线性相关,由∑∑=≥ijijij pp 1,0,则A 中至少有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设1α是非零向量,由引理可知,2α,3α ,,i α都可以由1α线性表示,则() ,2,1,1==i k i i αα,11=k ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j i i i j jp k p k p k p k p k p k p k p k p k A 112111212211211121111, 这里() ,2,1,,1=⋅=j i p k p j i ij ,且111∑∑∑∑∑∑===ijijj i ji ijijp k p k p .又由于X ,Y 的边缘分布分别为:()∑∑===jj i jij i p k p x X P 1,()∑∑∑⋅====ii j ij i iij j k p p k p y Y P 11,因此()()),,(1111j i jiij j i iij jj i iij jij j i y Y x X P k p p k k p p k p p y Y P x X P ===⋅=⋅===⋅=∑∑∑∑∑∑即X 与Y 相互独立.必要性：若X 与Y 相互独立,由j i ij p p p ⋅⋅=,则A 中的任意两个行向量可写为()() ,,,,,,,,2121j m j m m m m p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,()() ,,,,,,,,2121j n j n n n n p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,显然m α与n α线性相关.推论1 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素成比例.推论2 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两个行向量(或列向量)线性无关.推论3 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素不成比例.推论4 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的秩为1. 推论5 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是矩阵A 的秩大于1. 推论6 若()A Y X ~,中有某个0=ij P ,但元素ij P 所在的行与列的所有元素不全为零,则X 与Y 不相互独立.例2 从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设⎩⎨⎧=.,1;,0第一次取出黑球第一次取出白球X ⎩⎨⎧=.,1;,0第二次取出黑球第二次取出白球Y分别在放回抽样和不放回抽样的试验条件下写出二维随机变量()Y X ,的联合分布列,并判别X 与Y 的相互独立性.解 1)放回抽样：二维随机变量()Y X ,的联合分布列为:表 31254 256 1256 259 且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00329664259256256254A , 因此()1=A r ,故X 与Y 相互独立.2)不放回抽样：二维随机变量()Y X ,的联合分布列为:YX表 41202 206 1206 206 且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10316662206206206202A , 因此()12>=A r , 所以X 与X 不相互独立.3.2 连续型随机变量独立性的判定判别法一：定理3 设()Y X ,是二维连续型随机变量,若它们的联合密度函数和边缘分布函数分别为()()()y f x f y x f Y X ,,,，并且都是除面积为零的区域外的连续函数,则X 和Y 相互独立的充要条件为:除面积为零的区域外,恒有()()()y f x f y x f Y X ⋅=,.证明 充分性：设()()()y f x f y x f Y X ⋅=,,则对任意的实数y x ,,有()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-==xy x yY X u v v f u f u v v u f y x f d d d d ,,()()()()y f x f v v f u u f Y X y Y xX ==⎰⎰∞-∞-d d .所以,X 和Y 相互独立.必要性：设X 和Y 相互独立,则有()()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-∞==yY X YXx y v v f u u f y f x f u v v u f d d d d ,x--()()⎰⎰∞-∞-=x yY X u v u f u f d d .因为上式对任意的y x ,都成立,于是有()()()y f x f y x f Y X ⋅=,,综上,定理得证.例3]1[ 若()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，,0;10,0,8,y y x xy y x f问X 和Y 是否相互独立?解 先分别求X 和Y 的边缘密度函数:YX当0<x 或1>x 时,()0=x f X .当10≤≤x 时,有()3144d 8x x y xy x f xX -==⎰.因此()⎩⎨⎧≤≤-=.,0;10,443其他x x x x f X 当0<y 或1>y 时,()0=y f Y .当10≤≤y 时,()3048y dx xy y f yY ==⎰.因此()⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,43其他y y y f Y很明显,()()()y f x f y x f Y X ≠,,所以X 和Y 不相互独立.判别法二定理]2[4 设),(Y X 是连续型随机变量, 其联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0;,),,(),(其他d y c b x a y x f y x F 则随机变量相互独立的充要条件为(i) 存在连续函数)(),(y g x h 使)()(),(y g x h y x f =. (ii)d c b a 、、、 是分别与y x 、 无关的常数.证明 充分性: 首先分别求随机变量),(Y X 对y x 、 的边缘密度函数.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-======b abaY d cdcX dx x h y g dx y g x h dx y x F y f dy y g x h dy y g x h dy y x F x f .)()()()(),()(,)()()()(),()(d c b a 、、、是分别与y x 、 无关的常数, 所以上式积分中的结果⎰d c dy y g )( 与⎰ba dx x h )(是分别与y x 、 无关的常数, 分别记为B A 、 进一步由联合密度函数的性质,有(,)()()()()()()()()()()(,)b dbdacacX Y bdacf x y dxdy h xg y dxdyf x f y h xg y ABh x g y h x dx g y dyf x y =====⎰⎰⎰⎰⎰⎰即)()(),(y f x f y x f Y X = 故Y X ,相互独立.必要性: 若Y X , 相互独立, 有)()(),(y f x f y x f Y X =, ,,d y c b x a ≤≤≤≤取)()(),()(y g y f x h x f Y X ==, 则有)()(),(y g x h y x f =, 所以定理中的条件1) 成立. 以下用反证法证明,若d c b a 、、、中至少有一个是与x 或y 有关的函数,不妨设)(y a a =,由于)()(x h x f X = 是关于x 的边缘密度函数, 必有1)(=⎰dx x f b aX , 而)()(y Ag dx x f baX =⎰是一个与y 有关的不恒为1的y 的函数, 与前述结果矛盾.因此必有a 与y 无关,进一步可得d c b a 、、、都应与y 无关, 从而必要性得以证明.推论1 定理4 的条件中如果c a 、 有一个或两个都趋于d b 、,∞- 中有一个或两个都趋于∞+,则定理的结果也成立.推论2 若上述定理的条件成立, 则)(x h 与)(x f X 呈正比例关系,)(y g 与)(y f Y 呈正比例关系.在n 维连续型随机变量场合, 我们有定理5 设),,,(21n X X X 是连续型随机变量, 其联合密度函数为),,,(21n x x x f , 满足n i b x a x x x f i i i n ,,2,1,,0),,,(21 =≤≤> 则随机变量n X X X ,,,21 相互独立的充要条件为(i) 存在连续函数n i x h i i ,,2,1),( =, 满足∏==ni iin x h x x x f 121)(),,,( .(ii))1(,n i b a i i ≤≤ 均为与n x x x ,,,21 无关的实常数.证明 充分性: 设),,,(21n x x x f 满足条件(i)与(ii) , 则可求得)1(n i X i ≤≤ 的边缘分布函数为1112121111()(,,,)()()()(),,i n nj jX i n nb b n n na ab i i j j j i i i a j i nf x f x x x dx dx dx h x h x dx dx h x h x dx a x b +∞+∞-∞-∞≤≠≤===≤≤⎰⎰⎰⎰∏⎰而当[]i i i b a x ,∉时, n i x f i X i ,,2,1,0)( ==. 又因其中)1(,n i b a i i ≤≤均为与n x x x ,,,21 无关的实常数, 故上述积分j j b a j dx x h jj)(⎰，n j ,,2,1 = 分别是与n x x x ,,,21 无关的实常数, 故记为,,,2,1,)(n j dx x h A j j b a j j jj==⎰则当)1(n i b x a i i i ≤≤≤≤ 时, 有112111221121))(,,,())(()()()()()(21-=-=∏∏==n ni i n n ni i n n n X X X A x x x f A x h x h x h x f x f x f n其中n n b a n b a b a ni i dx x h dx x h dx x h A nn)()()(22211112211⎰⎰⎰∏== ,而n n b b a a ,,,,,11 与n x x x ,,,21 无关, 故(1) 式可合并为n 重积分, 即1),,,()()(212121111111122===⎰⎰⎰⎰⎰∏=nb a b a n nn n b a b a b a ni i dx dx dx x x x f dx dx dx x h x h A n nnn故),,,()()()(212121n n X X X x x x f x f x f x f n =,即n X X X ,,,21 相互独立.必要性: 设n X X X ,,,21 相互独立, 则有)()()(),,,(212121n X X X n x f x f x f x x x f n =成立.此时只须取n i x f x h i X i i i ,,2,1),()( ==, 故条件(i) 成立.现假定条件(ii) 不成立, 则)1(,n i b a i i ≤≤中至少有一个是与n x x x ,,,21 有关的函数, 不妨设),,,(2111n x x x a a =, 由于)()(1111x h x f X = 是关于1X 的边缘密度函数, 则必有.1)()(1111111111==⎰⎰b a X b a dx x f dx x h而此时),,,()(21),,,(1112111n b x x x a X x x x Ag dx x f n =⎰是关于n x x x ,,,21 的函数, 并非恒等于1. 这于上式相矛盾, 因而必有1a 与n x x x ,,,21 无关. 同理证得)1(,n i b a i i ≤≤均与n x x x ,,,21 无关. 从而条件(ii) 满足. 必要性得证. 由上述连续型随机变量的定理4及其对应的推论进行判别X 与Y 的独立性，该定理的方便之处在于不需要求边缘分布函数，故用此方法判别连续型随机变量的独立性比较容易. 例4 设()Y X ,的联合密度函数为()2222122,,0;,220,.x ny n n n y e x y f x y n π+--⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪-∞<<+∞<<+∞=⎨⎛⎫Γ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎩其他 讨论Y X ,的独立性.解 令()()2222122222x nny n n h x e g y y e n π---⎛⎫ ⎪⎝⎭==⋅⎛⎫Γ ⎪⎝⎭，, 则有()()()y g x h y x f ⋅=,,又因为∞→=∞→∞→d c b a ,0,,,由推论7可知Y X ,相互独立.4 随机变量独立性的应用 应用一 由离散型随机变量的独立性及其边缘分布列，求其联合分布列.例5 n 重贝努里试验中，若令i X 表示第i 次试验中事件A 出现的次数).,,2,1(n i =请写出),,,(21n X X X 的联合分布列.解 ),,2,1(.,0,1n i A i A i X i =⎩⎨⎧=不出现次试验第出现；次试验第令 其分布列为 ).,,2,1)(1,0()(1n i x q p x X P i x x i i i i ====-由试验的独立性知，n X X X ,,,21 相互独立，得出),,,(21n X X X 的联合分布列为).1,0(),,,(112211=∑∑======-i x n x n n x q p x X x X x X P n i in i i应用二 利用离散型随机变量的独立性确定分布中的参数.例6 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为 1x 2x 3x1ya 91 cY X2y 91 b 31 若X 与Y 相互独立，求参数c b a 、、的值.解 由随机变量的独立性及联合分布律的基本性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⨯====≥⋅⋅∑∑),2,1;,2,1(;1),2,1;,2,1(0 j i p p p p j i p j i ij i j ij ij 得出X 与Y 的边缘分布律： 1x 2x 3x j P ⋅1y a 91 c 911++=⋅c a p 2y 91 b 31 31912++=⋅b p ⋅i p 911+=⋅a p 912+=⋅b p 313+=⋅c p ∑∑===31311i j ij p从而解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===6192181c b a 注意 求出c b a 、、后，要验证它们对任意j i ,是否均满足.j i ij p p p ⋅⋅⨯=若不满足，则所求参数不符合要求，舍去.通过验证上面所求得的c b a 、、的值均满足条件，故上面c b a 、、的值为所求.应用三 利用连续型随机变量的独立性求常用分布函数的联合概率密度.例7 设随机变量X 和Y 相互独立，并且X 服从),(2σμN ，Y 在],[b b -上服从均匀分布，求),(Y X 的联合概率密度函数.解 因为X 和Y 相互独立，所以 )()(),(y f x f y x f Y X =.又);(,21)(222)(+∞<<-∞=--x e x f x X σμσπYX⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0,,21)(其他b y b b y f Y 得：,2121),(222)(σμσπ--⋅=x e b y x f其中.,b y b x ≤≤-∞<<∞-当b y >时，.0),(=y x f应用四 随机变量的独立性与实际生活相结合例8 一负责人到达办公室的时间均匀分布在12~8时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在9~7时，设他们到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解 如图所示，设负责人和他秘书到达办公室的时间分别记为X 和Y ，则X 和Y 的概率密度分别为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;97,21)(.,0;128,41)(其他其他y y f x x f Y X由于X 和Y 相互独立，得),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==.,0;97,128,81)()(),(其他y x y f x f y x f Y XG G S dxdy y x f Y X P ⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-⎰⎰81),(121 而61'=-=∆∆C AB ABC G S S S . 于是 48181121=⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-G S Y X P1所以他们到达办公室的时间之差不超过5分钟的概率是.48结束语本论文在随机变量独立性定义的基础上讨论了随机变量独立性的性质，并分别对离散型随机变量和连续型随机变量用多种方法进行判定，最后通过随机变量独立性的相关应用说明其在生活中的重要性，从而让人们更深入的认识概率论的思想和方法，更好的解决我们身边的实际问题.除此之外，随机变量的独立性还可以和其他数学分支紧密结合，以便很好地解决数学问题.参考文献[1] 缪铨生.概率论与数理统计[M].上海:华东师范大学出版社,2006.[2]毛纲源.概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社.1999.[3]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983.[4]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京：科学出版社，1997.[5]严士健等.概率论与数理统计[M].北京：北京师范大学出版社，1998.[6]钟开莱著.吴让泉译.概率论教程[M].上海：上海科技出版社.[7]明杰秀等.二维随机变量独立性的判定及其应用[J].高等函授学报（自然科学版),2011.[8] Rick Durrett.Probability Theory and Examples[M].S pringer-verlag Berlin Heidelberg,New Y ork,2005.About independent random variables and its applicationAuthor: Zhang Lirong Supervisor: Gui ChunyanAbstract The independence of the random variables is an important concept in probability theory.The paper first introduces the definition and the nature of independent random variables,then it gives different discriminant methods of the independence of the discrete random variable and continuous random variable,according to the different problems using the method to determine the corresponding discriminant,in addition ,it also gets some relevant inference by the nature and the determination of the independence of random variables,at last it gives some examples of its application.Keywords Discrete random variables Continuous random variables Independence Joint distribution。