随机变量独立性
随机变量的独立性
P{ X = 0} = 1 p , P{ Z = 0} = 2 p(1 p) ,
P{ X = 0, Z = 0} = P{ X = 0, X + Y = 1}
= P{ X = 0, Y = 1} = P{ X = 0} P{Y = 1} = p(1 p ) .
2 p(1 p ) 2 = p(1 p ) , p = 0.5 . 令
1 ,若X + Y为偶数, Z= 0 ,若X + Y为奇数. 取何值时, 和 相互独立 相互独立? 问p取何值时,X和Z相互独立? 取何值时
解 首先求出Z的概率分布: 首先求出 的概率分布: 的概率分布
P{ Z = 0} = P{ X + Y = 1}
因为X和 因为 和Y 相互独立
= P{ X = 0, Y = 1} + P{ X = 1, Y = 0}
1 α= . 6
2 β = . 9
5
又由分布律的性质,有 又由分布律的性质 有
1 1 1 1 α + + + +β + =1 9 18 3 9
7 α+β = 18
假设随机变量X和 相互独立 相互独立, 例3 假设随机变量 和Y相互独立,都服从参数为 p(0<p<1)的0-1分布,随机变量 分布, ( ) 分布
f (x, y) = f X ( x) fY ( y) 成立,所以 相互独立.8 成立,所以X,Y相互独立 相互独立.
例5 设(X,Y )的联合密度函数为 ,
8 xy 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y) = , 其它 0
1
y
y= x
是否相互独立? 问X与Y是否相互独立? 与 是否相互独立 的边缘密度分别为 解 X,Y的边缘密度分别为
随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性
随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性是概率论和数理统计中的重要概念。
在实际问题中，我们经常需要判断随机变量之间是否相互独立或者相关。
本文将介绍如何判断随机变量的独立性和相关性。
一、什么是随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性描述了随机变量之间的关系。
独立性：若两个随机变量X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y独立。
相关性：若两个随机变量X和Y之间存在某种依赖关系，即它们的联合分布和边缘分布不相等，称X和Y相关。
二、判断随机变量的独立性和相关性的方法1. 统计方法利用样本数据进行统计分析，可以判断随机变量的独立性和相关性。
对于两个随机变量X和Y，如果它们的样本相关系数接近于0，可以认为X和Y近似独立；如果样本相关系数接近于1或-1，可以认为X和Y相关。
2. 图形方法通过绘制散点图可以直观地观察随机变量的相关性。
对于两个随机变量X和Y，如果它们的散点图呈现出线性关系，则可以认为X和Y相关；如果散点图呈现出无规律的分布，则可以认为X和Y近似独立。
3. 利用协方差和相关系数判断协方差和相关系数是判断随机变量相关性的重要指标。
协方差衡量了两个随机变量之间的线性相关性，若协方差为0，则可以认为两个随机变量不相关。
相关系数除了衡量两个随机变量的线性相关性，还可以衡量非线性相关性，相关系数的范围在-1至1之间，绝对值越接近1表示相关性越强，绝对值越接近0表示独立性越强。
三、应用举例1. 抛硬币问题假设一次抛硬币，X表示正面次数，Y表示反面次数。
在这个例子中，X和Y的取值只能是0或1，它们的联合分布如下：P(X=0, Y=0) = 1/2P(X=1, Y=0) = 1/2P(X=0, Y=1) = 1/2P(X=1, Y=1) = 1/2可以看出，X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，因此X和Y是独立的。
2-2-3随机变量的独立性,条件分布
x
FX Y ( x y) pX Y ( x y) d x
x
[ p(x, y)
pY ( y)]d x.
y
FY X ( y x) pY X ( y x) d y
y
[ p(x, y)
pX (x)]d y.
备份题
例1 设
(X,Y )
~
p( x,
y)
Cy(1 0,
x),
0 x 1,0 其 它.
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求与应满足的条件;
(2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
(2,3)
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p• j P{Y yj } 1 2
2 1 9
1
9
3 pi• P{ X xi }
1
1
18
3
1
3
1
18
2
3
(1)由分布律的性质知
0,
0,
2
3
1,
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi• p• j , (i 1,2; j 1,2,3)
xe(x y)dy xe x
0
x>0
pY ( y) 0 xe( x y)dx e y
y >0
即：
3.4 随机变量的独立性
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
随机变量的独立性
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( 1,1 ) G 1
后一页
X
退 出
例4 已知二维随机变量( X , Y )的概率密度为：
8 xy, 0 y x 1; f ( x, y ) = 0 , 其他.
问 X , Y 是否相互独立？ 解： f X ( x ) =
f ( x, y ) dy
Y ( 1,1 ) G 1
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退 出
等价条件： 1. X与 Y 相互独立 F (x , y ) = F X (x )FY ( y ) 2. (离散型)X与Y相互独立 = X P{ = xi ,Y = y j } P{ = xi } P{ = y j } X Y
3. (连续型)X与Y相互独立 f (x , y ) = f X (x ) fY (y ) 在平面上除去“面积”为0 的集合外成 立。
0
X
退 出
fY ( y ) = f ( x, y )dx
1 6 xy 2dx ， y 1 0 0 = 0， 其他
3 y 2 , 0 y 1 = 0 , 其他
在区域G中，f X ( x) fY ( y ) = f ( x, y )
Y
X 与 Y 相互独立
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x 8 xydy ,0 x 1 0 = 0 , 其他 4 x 3 ,0 x 1 = , 其他 0
0
X
退 出
4 y(1 y 2 ),0 y 1 fY ( y )= , 其他 0
记 G＝{(x, y ) 0 y x 1}
6 xy 2 , 0 x 1,0 y 1; f ( x, y ) = 0 , 其他.
随机变量的独立性和相关性
随机变量的独立性和相关性随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机事件和随机现象的数值特征。
研究随机变量之间的关系对于深入理解概率和统计学的基本原理至关重要。
在这篇文章中，我们将探讨随机变量的独立性和相关性。
一、独立性独立性是指两个或多个随机变量之间的关系，即一个随机变量的取值对另一个随机变量的取值没有任何影响。
如果两个随机变量X和Y 是独立的，那么它们满足以下条件：P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)其中P(X=x, Y=y)表示X等于x，Y等于y的概率，P(X=x)和P(Y=y)分别表示X等于x的概率和Y等于y的概率。
换句话说，当两个随机变量独立时，它们的联合概率等于各自的边缘概率的乘积。
独立性的意义在于可以简化概率计算。
如果X和Y是独立的，那么我们可以通过独立事件的性质计算它们的联合概率。
此外，独立性还可以应用于贝叶斯定理、条件概率和协方差等相关概念的推导与计算。
二、相关性相关性是指两个随机变量之间存在某种程度的关联或依赖关系。
如果两个随机变量X和Y相关，那么它们的取值是彼此依赖的，即当X的取值发生变化时，Y的取值也会随之变化。
在统计学中，相关性通过协方差和相关系数来度量。
协方差描述了两个随机变量之间的总体关系，定义为：cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]其中cov(X,Y)表示X和Y的协方差，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望（均值）。
协方差的数值可以为负、零或正，分别表示负相关、无相关或正相关。
相关系数是协方差的标准化形式，用于度量两个随机变量之间的线性相关程度。
相关系数的取值范围在-1和1之间，越接近-1或1表示相关性越强，越接近0表示相关性越弱或不存在。
三、独立性与相关性的区别独立性和相关性是两个不同的概念。
独立性是指两个或多个随机变量之间的独立关系，即一个变量的取值对另一个变量的取值没有影响。
相关性是指两个随机变量之间存在某种关联或依赖关系，即一个变量的取值会随着另一个变量的取值而变化。
独立性随机变量之间的独立性定义与判别
独立性随机变量之间的独立性定义与判别随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，在许多实际问题中起到了关键作用。
在随机变量的研究中，我们经常需要考虑多个随机变量的关系，其中独立性是一个重要的概念。
本文将探讨独立性随机变量之间的独立性的定义与判别方法。
一、独立性的定义在开始讨论独立性随机变量之间的独立性之前，我们先来了解一下独立性的定义。
设有两个随机变量X和Y，它们的联合概率分布函数为F(x, y)，如果对于任意的x和y，X=x与Y=y的概率等于X=x的概率乘以Y=y的概率，即：P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)上述等式成立时，我们称随机变量X与Y是独立的。
二、判别独立性的方法在实际问题中，我们需要判断随机变量之间是否独立。
下面介绍几种常见的判别独立性的方法。
1. 通过联合概率分布函数判断根据独立性的定义，我们可以通过联合概率分布函数来判断随机变量的独立性。
如果联合概率分布函数可以拆分成各个随机变量的边缘概率分布函数的乘积形式，即：F(x, y) = F_X(x) * F_Y(y)其中F_X(x)和F_Y(y)分别为X和Y的边缘概率分布函数，那么X与Y就是独立的。
2. 通过条件概率分布函数判断除了使用联合概率分布函数，我们还可以通过条件概率分布函数来判断随机变量的独立性。
如果对于任意的x和y，X=x给定条件下，Y=y的条件概率等于Y=y的边缘概率分布函数，即：P(Y=y|X=x) = P(Y=y)那么X与Y就是独立的。
3. 通过相关系数判断除了基于概率分布函数的判别方法，我们还可以使用相关系数来判断随机变量的独立性。
相关系数描述了两个随机变量之间的线性相关程度，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的相关系数为0。
因此，我们可以通过计算相关系数来判断随机变量之间是否独立。
4. 通过独立性检验判断除了上述方法，还可以使用独立性检验来判断随机变量之间是否独立。
独立性检验是一种统计检验方法，根据样本数据的观察值来推断总体数据的分布情况，进而判断随机变量之间是否独立。
2.3随机变量的独立性
问X和Y是否独立？
解：fX (x)
xe( x y)dy xe x ,
0
x>0
fY ( y)
xe( x y)dx e y ,
0
y >0
即：
xex , x 0
fX (x)
0,
其它
e y , y 0
fY
(
y)
0,
其它
若(X,Y)的概率密度为
2, 0 x y,0 y 1
f
f(x,y)= fX(x)fY(y)
特别,取 x=u1 , y=u2 代入上式有 f(u1,u2)= fX(u1)fY(u2)
即:
1
11
21 2 1 2
2 1 2 2
对比两边 ∴ =0
例3 设(X,Y)的概率密度为
xe( x y) , f (x, y)
0,
x其它0f,(对yx,一y故切)0Xx,,YfyX,独(均x立)有fY：( y)
如果两个随机变量不独立，讨论它们的 关系时，除了前面介绍的联合分布和边缘 分布外，有必要引入条件分布的概念，这 将在下一讲介绍.
45 x5
[
1
dy]dx
15 x5 1800
10
0 15 y 45
x
=1/6
60
xy
P(X<Y)
45 60
[
1
dy]dx
15 x 1800
40
=1/2
10
0 15 45
x
y
解二：P(| X-Y| 5)
60
1 dxdy
40
1
|xy|5 1800
[60 30 2(10 30 30 30 / 2)]
随机变量的独立性与相关性
随机变量的独立性与相关性随机变量是概率论和统计学中非常重要的概念，它描述了一种具有不确定性的数值变化过程。
在实际应用中，我们经常需要分析随机变量之间的关系，以便更好地理解和应对不确定性。
一、独立性的概念与性质独立性是指两个或多个随机变量之间的关系，在给定其他随机变量的取值时并不影响彼此的概率分布。
具体来说，对于随机变量X 和Y，如果其联合概率分布可以拆解为 X 和 Y 的边缘概率分布的乘积形式，即 P(X,Y) = P(X) * P(Y)，则称 X 和 Y 是独立的。
独立性具有以下性质：1. 互斥事件的独立性：如果事件 A 和事件 B 是互斥的，即同时发生的概率为零，那么 A 和 B 是独立的。
这可以通过检验P(A∩B) = P(A) * P(B) 来判断。
2. 集合独立性：对于任意多个事件，如果它们两两独立，那么它们是集合独立的。
也就是说，对于事件集合 {A1, A2, ..., An}，如果对于任意的i ≠ j，有P(Ai∩Aj) = P(Ai) * P(Aj)，则它们是集合独立的。
3. 独立性的性质传递：如果事件 A 和事件 B 是独立的，事件 B 和事件 C 也是独立的，则事件 A 和事件 C 是独立的。
这可以通过检验P(A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C) 来判断。
二、相关性的概念与性质相关性描述了两个随机变量之间的线性关系。
具体来说，对于随机变量 X 和 Y，它们之间的相关性可以通过协方差和相关系数来度量。
1. 协方差：协方差用于度量两个随机变量的总体误差。
设 X 和 Y是两个随机变量，它们的期望分别为μx 和μy，协方差定义为 Cov(X,Y) = E[(X-μx)(Y-μy)]。
2. 相关系数：相关系数是协方差的标准化形式，它的取值范围在 -1 到 1 之间。
设 X 和 Y 是两个随机变量，它们的标准差分别为σx 和σy，则相关系数定义为Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (σx * σy)。
概率与统计中的随机变量独立性
概率与统计中的随机变量独立性概率和统计是数学中重要的分支，用于描述和分析事件发生的概率以及对观测数据进行统计推断。
在概率与统计中，随机变量是一个核心概念，用于描述随机试验的结果。
而随机变量独立性则是指两个或多个随机变量之间的相互关系，它在概率与统计中具有重要的地位。
随机变量独立性的概念首先，我们来讨论随机变量的概念。
随机变量是表示随机试验的结果的数值型变量，它可以是离散型的也可以是连续型的。
离散型随机变量可以取到有限个或者可数个数值，如掷骰子的点数。
而连续型随机变量则可以取到无限个数值，如某商品的销售额。
随机变量独立性是指两个或多个随机变量之间的相互关系。
当两个随机变量之间存在独立性时，它们的取值之间没有任何关联，即一个随机变量的取值不会对另一个随机变量的取值产生任何影响。
换句话说，知道一个随机变量的取值并不能提供任何关于另一个随机变量取值的信息。
随机变量独立性的判定在概率与统计中，我们常常需要判定两个或多个随机变量之间是否存在独立性。
判定随机变量独立性的方法主要有两种：通过概率定义和通过联合分布函数。
通过概率定义判定独立性是指判断两个随机变量的联合概率与各自的边缘概率之间的关系。
假设我们有两个随机变量X和Y，它们的边缘概率分别为P(X)和P(Y)，而它们的联合概率为P(X,Y)。
如果满足以下条件，即P(X,Y) = P(X) * P(Y)，则可以认为随机变量X和Y是独立的。
另一种判定随机变量独立性的方法是通过联合分布函数。
如果两个随机变量X和Y的联合分布函数可以表示为各自边缘分布函数的乘积形式，即F(X,Y) = F(X)* F(Y)，则可以认为X和Y是独立的。
需要注意的是，在连续型随机变量的情况下，联合概率密度函数的乘积等于联合概率密度函数，而在离散型随机变量的情况下，联合概率质量函数的乘积等于联合概率质量函数。
随机变量独立性的意义随机变量独立性在概率与统计中具有重要的意义。
首先，随机变量独立性简化了概率计算和统计推断的过程。
随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法
随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法随机变量是统计学中一个重要的概念，指的是随机试验中可能取到的数值。
对于多个随机变量之间的关系，独立性和联合分布是常用的概念和方法。
本文将依次介绍随机变量独立性的定义和判定方法、随机变量的联合分布的定义和常见计算方法。
一、随机变量的独立性随机变量的独立性是指在给定条件下，多个随机变量之间不存在相关性，即一个随机变量的取值不会对其他随机变量的取值产生影响。
常用的判定方法包括：1. 互不影响如果两个随机变量之间互不影响，则这两个变量是独立的。
例如，投掷两个骰子，其中一个骰子的点数不会影响另一个骰子的点数，因此两个骰子的点数是独立的随机变量。
2. 相互独立如果多个随机变量之间的任意两个变量都是独立的，则这些随机变量是相互独立的。
例如，投掷三个骰子，每个骰子的点数都是独立的随机变量，因此三个骰子的点数是相互独立的随机变量。
3. 独立性定义下的概率乘法公式对于两个独立的随机变量X和Y，它们同时取到某个值的概率等于它们各自取到这个值的概率的乘积。
即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)。
该公式也适用于多个独立的随机变量。
二、随机变量的联合分布多个随机变量的联合分布是指这些随机变量取值组合所对应的概率分布函数。
常用的计算方法包括：1. 联合分布函数对于两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数定义为F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)。
该函数可以用来计算任意两个随机变量的联合分布。
对于多个随机变量，联合分布函数的定义相应地拓展。
2. 联合概率密度函数对于连续型随机变量，它们的联合概率密度函数可以通过对应的联合分布函数求导得到。
即f(x,y)=∂^2 F(x,y)/∂x∂y。
该函数可以用来计算任意两个连续型随机变量的联合分布。
对于多个连续型随机变量，联合概率密度函数的定义相应地拓展。
3. 边缘分布和条件分布对于联合分布中的任意一个随机变量，我们都可以将它的概率分布函数单独计算出来，称为边缘分布。
随机变量的独立性与相关性
随机变量的独立性与相关性随机变量的独立性与相关性是概率论和数理统计中重要的概念。
独立性是指两个或多个随机变量的取值之间没有相互影响的关系，而相关性则描述了随机变量之间的线性关系程度。
本文将分别介绍随机变量的独立性和相关性的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
一、随机变量的独立性在概率论中，独立性是指两个或多个随机变量在任意条件下都是互相独立的。
具体而言，对于随机变量X和Y，如果对于任意的实数a 和b，满足以下等式：P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a) · P(Y ≤ b)，则称X和Y是独立的。
其中，P(X ≤ a, Y ≤ b)表示事件{X ≤ a}和{Y ≤ b}同时发生的概率。
独立性是一种极为重要的性质，它使得概率计算更加简化。
在实际问题中，我们可以利用独立性假设来简化分析，提高计算的效率。
例如，在投掷硬币的实验中，每一次投掷的结果都是独立的，因此可以通过简单的概率计算来确定投掷n次后获得正面朝上的次数。
二、随机变量的相关性相关性是指随机变量之间的线性关系程度。
对于两个随机变量X和Y，其相关性可以通过协方差或相关系数来衡量。
1. 协方差随机变量X和Y的协方差定义为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]，其中，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望值。
协方差可以看作是X与Y共同变动的程度。
如果Cov(X, Y) = 0，则称X和Y是不相关的。
如果Cov(X, Y) > 0，则X和Y是正相关的；如果Cov(X, Y) < 0，则X和Y是负相关的。
2. 相关系数相关系数是协方差的归一化形式，可以消除量纲的影响。
随机变量X和Y的相关系数定义为：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X)σ(Y))，其中，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间，且满足如下性质：若ρ(X, Y) = 0，则X和Y不相关；若ρ(X, Y) > 0，则X和Y正相关；若ρ(X, Y) < 0，则X和Y负相关。
随机变量的独立性
1
1 2
P (U 0 , V 1) P ( X Y , X 2 Y ) 0
G
O 1 2 x
(U,V)的联合分布律和边缘分布律为 V
U
0 1/4 1/4
1/2
1 0 1/2
1/2
pi• 1/4 3/4
0 1
p•j
经检验， pij≠pi• •p•j
所以，U和V不是相互独立的。
随机变量X与Y是相互独立的充要条件是事件(X≤x)与 事件(Y≤y)相互独立。
• 定理1 随机变量X，Y相互独立的充分必要条件 是X所生成的任何事件与Y所生成的任何事件相 互独立。即，对任意的实数集A，B有：
P { X A , Y B } P { X A } P { X B}
定理2 如果随机变量X，Y相互独立， 则对任意函数g1(x), g2(y)有 g1(X), g2(Y)相互独立
例3.17 设二维随机变量(X,Y) f ( x, y ) 具有概率密度函数 (1)求X,Y的边缘概率密度；
15 x 2 y 0
y
0 x y 1 其它
(2)问X与Y是否相互独立？
1
解
f X (x)
f ( x , y ) dy
15 2 4 (x x ) 2 0 0 x 1 其它
P (U 0 , V 0 ) P ( X Y , X 2 Y ) P ( X Y )
1 1
( x, y ) G ( x, y ) G
0
x y
f ( x , y ) dxdy
dx 2 dy
0 x
1
随机变量的独立性和相关性
随机变量的独立性和相关性引言在概率论和统计学中，随机变量的独立性和相关性是两个重要的概念。
随机变量是指具有随机特性的变量，独立性和相关性描述了随机变量之间的关系。
本文将介绍随机变量的独立性和相关性的概念以及它们的性质和重要性。
独立性随机变量的独立性是指当一个随机变量的取值不受另一个随机变量的取值影响时，两个随机变量是独立的。
具体来说，对于两个随机变量X和Y，如果它们的联合概率分布可以分解为它们各自的边缘概率分布的乘积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，那么X和Y是独立的。
独立性的性质：- 独立性是对称的，即如果X和Y独立，则Y和X也独立。
- 独立性是传递的，即如果X和Y独立，Y和Z独立，则X和Z独立。
独立性的重要性：独立性在概率论和统计学中具有重要的应用，例如：- 在概率计算和推导中，独立性假设可以简化问题的复杂性。
- 在统计推断中，独立性假设可以用来进行参数估计和假设检验。
相关性随机变量的相关性是指随机变量之间的线性关系程度。
具体来说，对于两个随机变量X和Y，它们的相关性可以通过协方差和相关系数来度量。
协方差（covariance）是衡量两个随机变量之间的相关性的统计量，定义为两个随机变量的乘积的期望与两个随机变量各自的期望的乘积的差值。
协方差的值可以为正、负或零，分别表示正相关、负相关或无相关。
相关系数（correlation coefficient）是协方差标准化后的值，用于度量两个随机变量之间的线性关系程度。
相关系数的取值范围为-1到1，取得负值表示负相关，取得正值表示正相关，取得0表示无相关。
相关性的性质：- 相关性也是对称的，即X和Y的相关系数等于Y和X的相关系数。
- 相关性不一定表示因果关系，只是表示两个随机变量之间的线性关系程度。
相关性的重要性：相关性在统计分析和模型建立中具有重要的应用，例如：- 可以用相关系数判断两个随机变量之间是否存在线性关系。
- 可以用相关分析来探索随机变量之间的相互作用和影响程度。
随机变量的独立性
在区域 G 中 f x, y fX x fY y
故 X ,Y不相互独立.
例5、
V U
0
1
0 1/3 1/3 2/3
1 0 1/3
1/3
1/3 2/3
U、V不相互独立。
例4 .设（X，Y）服从N（μ1，σ12；μ2，σ22；ρ ），
求边缘密度。
f (x, y)
1
exp{ 1 (( x 1 )2 2 x 1 y 2 ( y 2 )2 )}
有 P{X = xi，Y= yj}= P{X= xi}·P{Y= yi}
(X,Y)的联合分布律可用下列形式的联合分布表表示：
Y X
y1
x1
p11
x2
p21
：
：
y2 … yj
p12 … p 1j
p22 … p 2j
：
：
yj+1 … p 1j+1 … p 2j+1 …
：
xi
pi1
pi2 … pij
pij+1 …
例题1 (167 NO1)
设随机变量
X i～
1 1/4
0 1/2
1
1/4
且满足P{X1 X 2 0} 1, 则P{X1＝X2 }＝（
）
i 1, 2
（A）0；（B）1/4 (C) 1/2 (D) 1
例题 2 (P167 2)设两个随机变量X,Y 独立同分布， P{X＝－1}＝P{Y＝－1）}=1/2 ， P(X=1)=P(Y=1)=1/2,则下列各式中成立的是（ ）
依次类推可得
Y X
1
2
3
1 1/6 1/9 1/18
2 2/6 2/9 2/18
证明随机变量相互独立
证明随机变量相互独立要证明随机变量相互独立，可以通过验证它们的联合分布函数和边缘分布函数，或者联合概率密度和边缘概率密度之间的关系来进行判断。
以下是证明随机变量X和Y相互独立的一般步骤：1. 定义独立性：如果两个随机变量X和Y满足对于所有可能的事件A和B，它们的联合概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B) = P(A)P(B)，那么称X和Y是相互独立的。
2. 使用分布函数：对于连续型随机变量，如果X和Y相互独立，则它们的联合分布函数F(x, y)等于边缘分布函数的乘积，即F(x, y) = F_X(x) * F_Y(y)。
类似地，对于离散型随机变量，它们的联合概率质量函数等于边缘概率质量函数的乘积。
3. 使用概率密度函数：对于具有概率密度函数的随机变量，如果X和Y相互独立，则它们的联合概率密度函数f(x, y)等于边缘概率密度函数的乘积，即f(x, y) = f_X(x) * f_Y(y)。
4. 检验条件独立性：随机变量X和Y相互独立还意味着给定任何其他随机变量Z的条件下，X和Y仍然是独立的。
这可以用条件概率来表示，即P(X|Z)和P(Y|Z)的乘积应该等于P(X, Y|Z)。
5. 数学期望的性质：如果X和Y相互独立，那么它们的乘积的期望值等于各自期望值的乘积，即E(XY) = E(X)E(Y)。
这是独立性的一个结果，但不能用来作为独立性的判定标准，因为不线性相关并不意味着独立。
6. 实证检验：在实际应用中，可以通过收集数据并计算这些概率或期望值来检验随机变量是否独立。
如果实证数据与独立性的定义相符合，则可以认为它们是独立的。
7. 理论推导：在某些情况下，可以通过理论推导来证明独立性。
例如，如果已知随机变量是由某些独立的实验或过程生成的，那么这些随机变量可能是独立的。
8. 测度论方法：在更高级的数学框架下，如测度论，可以使用σ-代数和概率测度的概念来定义和证明独立性。
这通常涉及到对事件集合的操作和概率的公理化定义。
随机变量的独立性
定义3. 7 设X 和Y 为两个随机变量，若对于任意的x 和y 有 P{X x，Y y} P{X x}P{Y y}，
则称X 和Y 是相互独立的( Mutually independent )。
若二维随机变量( X , Y )的分布函数为 F (x，y) ，其边缘分
布函数分别为FX (x)和FY (y)，则上述独立性条件等价于对所有x 和y 有
fY
(
y)
e y，y
0，
0， 其他。
求X 和Y 的联合概率密
度 f (x，y) 。
解 由X 和Y 相互独立可知
f (x，y) fX (x) fY ( y)
e(xy)，x 0，y 0，
0，其他。
概率学与数理统计
F (x，y) FX (x)FY ( y) 。
(3.13)
1. 对于二维离散型随机变量，上述独立性条件等价于对于
( X , Y )的任何可能取的值 (xi，y j ) 有
P{X x，Y y} P{X xi}P{Y y j}。
(3.14)
2. 对于二维连续型随机变量，独立性条件的等价形式是对
一切x 和y 有
f (x，y) fX (x) fY ( y) ，
(3.15)
这里， f (x，y)为( X , Y )的概率密度函数，而 fX (x) 和 fY ( y)
分别是边缘概率密度函数。
如在例3.7中，(1)有放回摸球时，X 与Y 是相互独立的；而
(2)无放回摸球时，X 与Y 不是相互独立的。
π
1 y2，1 0，
y 1， 其他。
可见在圆域 x2 y2 1 上，f (x，y) fX (x) fY ( y) ，故X 和Y 不相
互独立。
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一、随机变量的相互独立性 二、离散型随机变量的条件分布 三、连续型随机变量的条件分布 四、小结
一、随机变量的相互独立性
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
1.定义2.6 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P ( X x ,Y y ) P ( X x ) P ( Y y )
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件 (2若 ) X与 Y相互,求 独 与 立 的.值
条件分布函数与条件密度函数的关系
x
x
F X Y ( x y ) p X Y ( x y ) d x [ p ( x ,y )p Y ( y ) ] d x .
y
y
F Y X ( y x ) p Y X ( y x ) d y [ p ( x ,y )p X ( x ) ] d y .
pij p•j
,
为在Y yj条件下随机变X量 的条件分布. 律
对于固定i, 的 若P{X xi }0, 则称
P{Y
yj
X
xi
}
P{X xi ,Y P{X xi }
yj
}
pij , pi•
为在 X xi条件下随机Y变的量条件分.布律
其i,中 j1,2,.
例1.设 （X,Y)的 分 布 律 为
若 (X,Y)是连续型r.v ,则x ,y )p X (x )p Y(y )
成立，则称X,Y相互独立 .
其中 p(x, y) 是X,Y的联合密度， pX(x),pY(y)分别是X
和Y 的边缘密度 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于：
特别有
p12 p1•p•2111
9 39
2, 9
又 1, 得 1.
3
9
例2 设(X,Y)的概率密度为
x e(xy), p(x,y)
0,
对一切x, y, 均有：
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其 它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)0xe(xy)dy xex
条件下, X的条件分布函,记数为
P{X xY y}或FXY(x y),
即
FXY(x y) P{X xY y}
x p(x, y) d x.
pY (y)
同理定 X义 x的在 条Y件 的下 条件分 为布函
y p (x ,y)
F YX (yx )P {Y y|X x } p X (x )d y.
解 将(X,Y)的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p•j P{Yyj}1 2
2 1 9
1 9
3 pi•P {Xxi}
1
1
18
3
1
3
1 18
2
3
(1)由分布律的性质知
0,0,2
3
1,
故 与 应满足 : 的 0 , 条 0且 件 1 是 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
p i j p i • p • j,( i 1 , 2 ; j 1 , 2 , 3 )
P {X1 } 0.045
即在 X1的条,件 Y的 下条件分布律为
Yk
012
P{YkX1} 6 2 1 999
同理可 Y0 得 的在 条,X 件 的下 条件分布
Xk 0 1 2 3 P {XkY0}84 3 2 1
90 90 90 90
三、连续型随机变量的条件分布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020
P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 211.3 000
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律 (2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 由上述分布律的表格可得 P {Y0X1 }P {X1 ,Y0} 0.030 ,
P {X1 } 0.045 P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 ,
P {X1 } 0.045 P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 ,
ab
2
a
0,
1 x2 a2 , x a x a
这里u b
1
x2 a2
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
p(x, y),(X,Y) 关于Y 的边缘概率密度为pY ( y).若
对于固定的y,
pY
( y)
0,
则称
p(x, y) pY ( y)
为在Y
y
的条件下X 的条件概率密度,记为
p(x, y)
p (x y)
.
XY
pY ( y)
称
x
pXY (x y)dx
x
p(x, y) dx为在Y y的 pY (y)
说明
联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下
联合分布
边缘分布 条件分布
联合分布
例2*设（x,y）在椭圆 x2
a2
y2 b2
1上服从均匀
分布，求条件分布密度函数p(x|y). 解 由题假设知
1
x2
y2
p( x,
y)
ab
0,
, a2 x2 a2
b2 y2 b2
1
1
则pX
( x)
u
u
dy
x>0
pY(y)0x e(xy)dx ey
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
二、离散型随机变量的条件分布
定义
设(X,Y)是二维离散型随机,对变于量固定
的j, 若P{Y yj}0, 则称
P{ X
xi
Y
yj }
P{X xi ,Y P{Y yj }
yj }