概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)

积为零的集合，在其上等式 f ( x, y) fX ( x) fY ( y) 不成立.
3.4 随机变量的相互独立性
【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为
Y X
y1
y2
y3
x1
a
1/9
c
x2
1/9
b
1/3
若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值． 解： 首先写出两个边缘边缘分布律
Y X
y1
y2
总寿命为 X1 X2 ，求 P{ X1 X 2 1}.
3.4 随机变量的相互独立性
解(1)Ｘ１概率密度为
f
X1
(
x1
)
1 3
e
x1
3
,
0,
x1 0 其 它.
Ｘ２概率密度为
fX2
(
x2
)
1 3
x2
e
3
,
0,
x2 0 其 它.
因两只保险丝的寿命 X1, X2 , 相互独立，故 X1, X 2
解：将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y X
1
2
3
1
1
1
1
6
9
18
1
2
3
P{Y y j }
1 2
1 1
9
18
P{X xi}
1 3
1
3
2
3
(1)由分布律的性质知 故与应满足的条件是
0, 0, 2
3
: 0, 0 且
1,
1
.
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
1
1
2 1 2 1 2 2 1 2
从而 0.
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
3.4 随机变量的相互独立性
【补充例】种保险丝的寿命(以一百小时计) X 服从指数
分布,其概率密度为
f
(
x
)
1 3
e
x
3
,
x0
0, 其它.
(1) 有两只这种保险丝，其寿命分别为 X1, X2, 设 X1, X2 相互独立，求 X1 , X 2 的联合概率密度.
(2) 在(1)中，一只是原装的，另一只是备用的，备用的 只在原装的熔断时自动投入工作，于是两只保险丝的
因此，若ρ=0，则对所有x,y有 f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
即X与Y独立．
3.4 随机变量的相互独立性
反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是 连续函数，故对所有的x,y，有
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
特别，令 x 1, y 2，可以得到
则称X1，X2，…，Xn相互独立．
3.4 随机变量的相互独立性
易知，在离散型随机变量的情形，如果对于任意n
个取值x1，x2，…，xn，有 n P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn } P{ X i xi } i 1
则X1，X2，…，Xn相互独立．
在连续型随机变量的情形，如果下式几乎处处成
x2
1
x1 x2 1 DO1源自1 01 x2 0
1 9
e ( x1 x2 )/ 3
d
x1
d
x2
1 9
1 ex2 / 3 (
0
1 0
x2
e
x1
/
3
d
x1
)dx2
x1
1 9
e ( 1 x2 / 3
0
1
4
e
1 3
3
3e
x2 1 3
)dx2
3
3.4 随机变量的相互独立性
【例3.19】设服从二维正态分布，则X与Y相互独立 的充要条件是ρ=0.
解法二：
1 e0.5 x e0.5 y e , 0.5( x y) x 0, y 0;
F(x, y)
0,
其它
由分布函数与概率密度的关系知
2F ( x, y) 0.25e0.5( x y) , x 0, y 0
f (x, y)
xy
0, 其它
f X ( x)
f (x,
y)dy
Pij Pi.P. j
3.4 随机变量的相互独立性
3) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为
f ( x, y),边缘概率密度分别为fX ( x), fY ( y),则有
X 和 Y 相互独立
f ( x, y) f X ( x) fY ( y).
在平面上几乎处处成立。
在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面
（i，j= 0，1），
所以X与Z独立．
3.4 随机变量的相互独立性
【例3.18】某电子仪器由两部件构成，以X和Y分别表示两部
件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为
F(x, y) 问X与Y是否独立？
1
e0.5 x 0,
e 0.5 y
e0.5( x y) , x 0，, y 其它
的联合概率密度为 f ( x1 , x2 ) f X1 ( x1 ) f X2 ( x2 )
(
1 3
e
x1
3
)(
1 3
e
x2
3
),
x1 0, x2 0,
0,
其 它.
3.4 随机变量的相互独立性
即
f
( x1,
x2 )
1 9
（x1 x2）
e
3
0,
x1 0, x2 0, 其 它.
(2) P{ X1 X2 1} D f ( x1, x2 )dx1d x2
pij
0.25 0.25 0.25 0.25
(X，Y) (0，0) (0，1) (1，0) (1，1)
Z
1
0
0
1
(X，Z) (0，1) (0，0) (1，0) (1，1)
(X，Z)的分布律及边缘分布律为：
X
Z
0
1
pi.
0
0.25 0.25 0.5
1
0.25 0.25 0.5
p.j
0.5
0.5 1
由于P{X = i，Z = j} = 0.25 = 0.50.5 = P{X = i}P{Z = j}
pij P{ X xi } P{Y y j }, (i 1,2; j 1,2,3)
特别有
p12
1 9
1 3
1 9
2,
9
又 1, 得 1.
3
9
第3章 多维随机变量及其分布
3.4 随机变量的相互独立性
定义3.9 设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分 布函数为F(x1，x2，…，xn)，FXi (xi)为Xi的边缘分布 函数，如果对任意n个实数x1，x2，…，xn，有
n
P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn } P{ X i xi } i 1 n 即 F ( x1, x2, , xn ) FXi ( xi ) i 1
y3
pi.
x1
a
1/9
c
a+c+1/9
x2
1/9
b
1/3 b+4/9
p.j
a+1/9 b+1/9 c+1/3 a+b+c+5/9=1
3.4 随机变量的相互独立性
Y X
y1
y2
y3
pi.
x1
a
1/9
c
a+c+1/9
x2
1/9
b
1/3 b+4/9
p.j
a+1/9 b+1/9 c+1/3 a+b+c+5/9=1
0;
解法一：由边缘分布函数的定义知
1 e0.5x , x 0
FX
(x)
lim F( x,
y
y)
0,
x0
1 e0.5 y , y 0
FY
(
y)
lim
x
F ( x,
y)
0,
y0
显然，对任意实数，均有F( x, y) FX ( x)FY ( y) ，
故X与Y独立．
3.4 随机变量的相互独立性
利用X与Y相互独立的条件，
由 p22 p2 p2, 即 b (b 4 )(b 1 ), 解之得 b 2 / 9. 99
再由 p23 p2 p3 ,
即 1 (b 4)(c 1 ),
3
93
将 b 2 代入解得c 1 ,
9
6
最后利用a b c 5 1得a 1 .
9
18
3.4 随机变量的相互独立性
立
n
f ( x1, x2 , , xn ) fXi ( xi )
i 1
则X1，X2，…，Xn相互独立． 这里“几乎处处成立”是指除去测度为零的点集
外处处成立．
3.4 随机变量的相互独立性
特别地，二维的情形
1) 设随机变量( X ,Y )的联合分布函数为F( x, y), 边缘分布函数分别为FX ( x),FY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 F(x, y) FX (x)FY ( y).
2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为