多维随机变量及其分布,随机变量的相互独立性,条件概率

d y. pX (x)
请同学们思考
为什么不能用条件概率的定义来直接定义条
件分布函数 FX Y ( x y)? 答 条件分布是指在一个随机变量取某个确定值
的条件下,另一个随机变量的分布, 即 FX Y ( x y) P{ X x Y y} . 由于P{Y y}可能为零(连续型时一定为零).故直接 用条件概率来定义时, 会出现分母为零. 因此,在条件分布中,作为条件的随机变量的取值是 确定的数.
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P(X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3

(1) 求与应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
P{X x Y y} 或 FX Y ( x y),
即
x p(x, y)
FX Y ( x y) P{X x Y y}

d x. pY ( y)
同理定义在 X x 的条件下Y 的条件概率密度为
y p( x, y)
FY X ( y x) P{ X x Y y}
0,
其它.
于是当 1 y 1时,有
1
pX
Y
(x
y)

(2

)
1 y2
2
1 , 1 y2
1 y2 x
1 y2 ,
0,
其 它.
例4 设数 X 在区间(0,1) 上随机地取值,当观察到
X x (0 x 1) 时,数 Y 在区间( x, 1) 上随机地取
现在如果限制Y 取值从1.5米到1.6米, 在这个限制下求X 的 分布.
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量,对于固定
的 j, 若 P{Y y j } 0, 则称
P{ X

xi Y

yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yj}
pij , p j
为在Y y j条件下随机变量 X 的条件分布律. 对于固定的 i, 若 P{ X xi } 0, 则称
目,以Y表示由机器人焊接的不良焊点的数目.据积累 的资料知( X ,Y )具有分布律 :
YX 0
0 0.840
1 0.060
2 0.010
P{X i} 0.910
1
0.030 0.010 0.005 0.045
2
0.020 0.008 0.004 0.032
3
0.010 0.002 0.001 0.013
(2,3)

解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p j P{Y yj } 1 2
2 1 9
1
9
3 pi P{ X xi }
1
1
18
3

1
3
1
18
2
3
(1)由分布律的性质知


0,


0,
2 3
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1,
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
P{Y

yj
X

xi }
P{X xi ,Y P{X xi }
yj}
pij , pi
为在X xi条件下随机变量Y 的条件分布律. 其中i, j 1,2,.
例1 在一汽车工厂中,一辆汽车有两道工序是由机
器人完成的. 其一是紧固3 只螺栓 , 其二是焊接2 处
焊点.以X表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
pX
(
x)

0,
其它
e y ,
pY
(
y)

0,
y0 其它
例3 设随机变量X 和Y 相互独立,并且 X 服从 N (a,σ 2 ),Y 在 [b,b] 上服从均匀分布,求 ( X ,Y ) 的联合概率密度.
解 由于X 与Y 相互独立,
所以 p(x, y) pX (x) pY ( y)
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X1
3
PX 0.3 0.7
Y2
4
PY 0.6 0.4
求随机变量 (X,Y) 的分布律.
解 因为X与Y 相互独立, 所以
P{X xi ,Y yj } P{X xi } P{Y yj } 于是
P{X 1,Y 2} P{X 1} P{Y 2}
P{Y j}
0.900 0.080 0.020 1.000
(1) 求在 X 1的条件下,Y 的条件分布律; (2) 求在 Y 0 的条件下, X 的条件分布律.
解Y X 0
0 0.840
1 0.060
2 0.010 P{X i} 0.910
1 0.030 0.010 0.005 0.045
0,
其它.
四、小结
独立性 1. 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1,2,.
X 和Y 相互独立
P{X xi ,Y yj } P{X xi }P{Y yj }. 2. 设连续型随机变量(X ,Y )的联合概率密度为
pY ( y)

0, 则 称
p( x, y) pY ( y)
为 在Y

y
的 条 件 下X 的 条 件 概 率 密 度,记 为
p( x, y)
p (x y)
.
XY
pY ( y)
称
x
pX Y (x y)d x
x p(x, y) d x 为在Y y 的 pY ( y)
条件下, X 的条件分布函数,记为
0.3 0.6 0.18,
P{X 1,Y 2} P{X 1}P{Y 2} 0.3 0.6 0.18,
P{X 1,Y 4} P{X 1}P{Y 4} 0.3 0.4 0.12,
P{X 3,Y 2} P{X 3}P{Y 2} 0.7 0.6 0.42,
0,
对一切x, y, 均有：
x p0(,x,yy) 0 pX (x) pY ( y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX (x)
xe(x y)dy xe x
0
x>0
pY ( y) 0 xe( x y)dx e y
y >0
即：
xe x , x 0
P{X 3,Y 4} P{X 3}P{Y 4} 0.7 0.4 0.28.
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为
Y X
2
4
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
二、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人,从其中随机挑选一个人,分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高,则X 和 Y 都是随 机变量,他们都有自己的分布.
p(x, y),边缘概率密度分别为pX (x), pY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 p(x, y) pX (x) pY ( y)
3. X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
条件分布
1. 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量, pij (i, j 1,2) 为其联合分布律,在给定Y y j 条件下随机变量 X 的条件分布律为
X k
01 2 3
P{ X k Y 0} 84 3
2
1
90 90 90 90
三、连续型随机变量的条件分布
定义 设 二 维 随 机 变 量( X ,Y ) 的 概 率 密 度 为
p( x, y),( X ,Y ) 关 于Y 的 边 缘 概 率 密 度 为pY ( y).若
对 于 固 定 的y,
条件分布函数与条件密度函数的关系
x
x
FX Y (x y)
pX Y (x y)d x
[ p(x, y)

pY ( y)]d x.
y
y
FY X ( y x)
pY X ( y x) d y
[ p(x, y)

pX (x)]d y.
说明
联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下
值.求 Y 的概率密度 pY ( y). 解 由题意知 X 具有概率密度
1, 0 x 1, pX (x) 0, 其它.
对于任意给定的值 x(0 x 1), 在X x的条件下,
Y 的条件概率密度为
pY
X
(
y
x)

1 1
x
,
0,
0 x y 1, 其它.
2 0.020 0.008 0.004 0.032
3 0.010 0.002 0.001 0.013
P{Y j}
0.900 0.080 0.020 1.000
P{Y 0 X 1} P{ X 1,Y 0} 0.030 , P{ X 1} 0.045
P{Y 1 X 1} P{ X 1,Y 1} 0.010 ,
解 由题意知随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x2 y2 1,
p(x, y) 0,
其它,
又知边缘概率密度为

pY ( y)
p(x, y) d x



1
1 y2 d x 2
1 y2

1 y2 , 1 y 1,
因此 X 和 Y 的联合概率密度为
p(x, y) pY X ( y x) pX (x)

1
1
x
,
0,
0 x y 1, 其它.
故得 Y 的边缘概率密度

pY ( y)
p(x, y) d x



y1 0 1
d x
x

ln(1
y),0

y

1,
P{ X 1}
0.045
P{Y 2 X 1} P{ X 1,Y 2} 0.005 , P{ X 1} 0.045
即在 X 1的条件下,Y 的条件分布律为
Y k
012
P{Y k X 1} 6 2 1 999
同理可得在 Y 0 的条件下, X 的条件分布律为
第二节 多维随机变量 及其分布(3)
一、随机变量的相互独立性
二、离散型随机变量的条件分布
三、连续型随机变量的条件分布
四、小结
一、随机变量的相互独立性
联合分布
边缘分布
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
1.定义2.6 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
联合分布
边缘分布 条件分布
联合分布
例3 设 G 是平面上的有界区域,其面积为 A. 若二 维随机变量(X,Y ) 具有概率密度
p( x,
y)


1 A
,
(x, y)G,
0, 其它.
设 ( X ,Y ) 在圆域 x2 y2 1上服从均匀分布,求条
件概率密度 pX Y (x y).
又 pX (x)
1
e ,
(
xa)2 2σ 2
x ;
2 σ
pY
(
y)


1 2b
,
b y b,
0, 其它.
得
p(x, y) 1
1
e ,
(
xa)2 2σ2
2b 2 σ
其中 x , b y b.
当 y b 时, p( x, y) 0.
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi p j , (i 1,2; j 1,2,3)
特别有
p12

p1
p2

1 9

1 3

1 9





2, 9
又 1, 得 1.
3
9
例2 设(X,Y)的概率密度为
xe(x y) , p(x, y)
若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于：
若对任意的 x, y, 有
p(x, y) pX (x) pY ( y)
成立，则称X,Y相互独立 .
其中 p(x, y) 是X,Y的联合密度， pX (x), pY ( y)分别是X的
边缘密度和Y 的边缘密度 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于：