平面的基本性质及三大公理
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平面的表示：希腊字母 、 、 用 平 行 四 边 形 的 两 个顶 对点 的 字 母
D
C
A
B
四、点、直线、平面的关系
把点作为基本元素，于是直线、平面都作为 “点的集合”，所以:
点与直线的关系： A l , B l 点与平面的关系： A , B 直线与平面的关系： l ,l
那么它们还有其他的公共点，且所有的 这些点的集合是一条过这个点的直线
P
l
P l , 且P l
关键词:一点,一线
例3、已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上的点，且EH 和 FG 交 于点 P，求证：点 B、D、P 共线.
（×）
练习 1、下列四个命题中，正确的是( D ) A、任何一个平面图形都是一个平面 B、平面就是平行四边形 C、平面图形可以看成是点的有限集 D、三角形可以确定一个平面
2、下列命题中，正确的是( ) A、四边形一定是平面图形 B、空间的三个点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 D、六边形一定是平面图形
证明： AB , AC
B ,C
BC
你骑车放学回家了,到家时如何才 能把自行车停稳?
Байду номын сангаас
B A
C
公理２经过不在同一直线上的 三点有且只有一个平面.
B α 。A C
表示为 : A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:过直线和直线外一点,有且只有 一个平面.
如果要把一根木条固定在墙 面上,至少需要几个钉子?
文 字 语 言
公理1:如果一条直线上的
两个点在平面内,那么这条
直线上所有的点都在这个 平面内. 符 B A 号 α 语 A l , B l , A , B 直AB 言
关键词: 两点,
图形语言
作用：用来证明或 判断直线在平面内
二、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部 分来表示直线,同样地,我们也可以画出平面的一 部分来表示平面. 通常用平行四边形来画平面
1、一个平面在不同的摆放状态下的画法
当平面水平放置的时候 ，通常把 平行四边形的锐角画成 45
2、两个平面在不同的位置关系下的画法
三、平面的表示
点的表示：大写的英文 字母 A、B、C 直线的表示：小写的英 文字母l、m、n
三角形、梯形是平面图形
②四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平 面图形吗？为什么？ 四条线段顺次首尾连接，所得的图形不一定是 平面图形
问题2： (1)两个平面可将空间分成 几部分？ (2)三个平面可将空间分成 几部分？
问题1 ： (1)不共面的四个点可确定 几个平面？ (2)四个点可确定几个平面 ？ (3)三条直线两两平行可确 定几个平面？
例题
一、平面的概念
平面和点、直线一样,它是构成空间图形的基 本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念. (1)数学中所说的平面在空间是无限伸展的（直 线是无限延伸的） (2)平时接触到的平面实例都只是平面的一部分
1.平面的基本概念:
几何里的平面的特征:
1.平 2.无限延展 3.不计厚薄
（不是凹凸不平） （没有边界） （没有质量）
推论2:过两条相交直线,有且只有一 个平面 .
推论3:过两条平行直线,有且只有 一个平面.
作用：作辅助平面；证明平面的唯一性
下列那些图形一定是平面图形?
三角形
梯形
四边形
你学习累了,抬头看看天花板,于是发 现……….
天花板α 墙面γ
墙面β
在空间确定两个平面的交 线, 可用来证三点共线， 公理３:如果两个平面有一个公共点， 三线共点
A
D1
(2)O、A1、M 平面A1 ACC1
A1
C1
B1
例4、已知a // b，a c A，b c B, 求证： a、b、c 三线共面
例3.判断下列命题是否正确： （ 1）经过三点确定一个平面。
（×）
（2）经过同一点的三条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A 直线a，点A 平面，则a . （×） (4) 平面 与平面 相交，它们只有有限个公共点。
所有
作用：证明点在平面内；证明直线在平面内
例1、求证：直线与平面相 交，交点只有一个 . 证明：假设直线 l 与平面 相交，有两个交点 ,
则 l ,
这与已知条件矛盾
所以，假设不成立
所以，直线与平面相交 ，交点只有一个 .
例2、已知直线 AB、AC 都在平面 内，求证： BC 也在平面 内.
(4)三条共点的直线可确定 几个平面？
(5)三条两两相交的直线可 确定几个平面？
问题5 : 如图，O是正方体ABCD A1 B1C1 D1上底面 ABCD的中心，M是正方体对角线 AC1和截面A1 BD 的交点，求证： O，A1，M共线。 D
C O
M B
分析： (1)O、A1、M 平面A1DB
C
讨论题：过空间一点、二点、 三点、四点可以有多少平面？
一点、两点：可确定无数个平面；
三点：可确定一个或无数个平面； A
D
C B
四点：可确定一个或无数个或不可以确定平面.
已知空间四点，如果其中 任何三点都不共线，则经 过其中三点有多少平面？ 可确定一个或四个.
①三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？
D
C
A
B
四、点、直线、平面的关系
把点作为基本元素，于是直线、平面都作为 “点的集合”，所以:
点与直线的关系： A l , B l 点与平面的关系： A , B 直线与平面的关系： l ,l
那么它们还有其他的公共点，且所有的 这些点的集合是一条过这个点的直线
P
l
P l , 且P l
关键词:一点,一线
例3、已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上的点，且EH 和 FG 交 于点 P，求证：点 B、D、P 共线.
（×）
练习 1、下列四个命题中，正确的是( D ) A、任何一个平面图形都是一个平面 B、平面就是平行四边形 C、平面图形可以看成是点的有限集 D、三角形可以确定一个平面
2、下列命题中，正确的是( ) A、四边形一定是平面图形 B、空间的三个点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 D、六边形一定是平面图形
证明： AB , AC
B ,C
BC
你骑车放学回家了,到家时如何才 能把自行车停稳?
Байду номын сангаас
B A
C
公理２经过不在同一直线上的 三点有且只有一个平面.
B α 。A C
表示为 : A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:过直线和直线外一点,有且只有 一个平面.
如果要把一根木条固定在墙 面上,至少需要几个钉子?
文 字 语 言
公理1:如果一条直线上的
两个点在平面内,那么这条
直线上所有的点都在这个 平面内. 符 B A 号 α 语 A l , B l , A , B 直AB 言
关键词: 两点,
图形语言
作用：用来证明或 判断直线在平面内
二、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部 分来表示直线,同样地,我们也可以画出平面的一 部分来表示平面. 通常用平行四边形来画平面
1、一个平面在不同的摆放状态下的画法
当平面水平放置的时候 ，通常把 平行四边形的锐角画成 45
2、两个平面在不同的位置关系下的画法
三、平面的表示
点的表示：大写的英文 字母 A、B、C 直线的表示：小写的英 文字母l、m、n
三角形、梯形是平面图形
②四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平 面图形吗？为什么？ 四条线段顺次首尾连接，所得的图形不一定是 平面图形
问题2： (1)两个平面可将空间分成 几部分？ (2)三个平面可将空间分成 几部分？
问题1 ： (1)不共面的四个点可确定 几个平面？ (2)四个点可确定几个平面 ？ (3)三条直线两两平行可确 定几个平面？
例题
一、平面的概念
平面和点、直线一样,它是构成空间图形的基 本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念. (1)数学中所说的平面在空间是无限伸展的（直 线是无限延伸的） (2)平时接触到的平面实例都只是平面的一部分
1.平面的基本概念:
几何里的平面的特征:
1.平 2.无限延展 3.不计厚薄
（不是凹凸不平） （没有边界） （没有质量）
推论2:过两条相交直线,有且只有一 个平面 .
推论3:过两条平行直线,有且只有 一个平面.
作用：作辅助平面；证明平面的唯一性
下列那些图形一定是平面图形?
三角形
梯形
四边形
你学习累了,抬头看看天花板,于是发 现……….
天花板α 墙面γ
墙面β
在空间确定两个平面的交 线, 可用来证三点共线， 公理３:如果两个平面有一个公共点， 三线共点
A
D1
(2)O、A1、M 平面A1 ACC1
A1
C1
B1
例4、已知a // b，a c A，b c B, 求证： a、b、c 三线共面
例3.判断下列命题是否正确： （ 1）经过三点确定一个平面。
（×）
（2）经过同一点的三条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A 直线a，点A 平面，则a . （×） (4) 平面 与平面 相交，它们只有有限个公共点。
所有
作用：证明点在平面内；证明直线在平面内
例1、求证：直线与平面相 交，交点只有一个 . 证明：假设直线 l 与平面 相交，有两个交点 ,
则 l ,
这与已知条件矛盾
所以，假设不成立
所以，直线与平面相交 ，交点只有一个 .
例2、已知直线 AB、AC 都在平面 内，求证： BC 也在平面 内.
(4)三条共点的直线可确定 几个平面？
(5)三条两两相交的直线可 确定几个平面？
问题5 : 如图，O是正方体ABCD A1 B1C1 D1上底面 ABCD的中心，M是正方体对角线 AC1和截面A1 BD 的交点，求证： O，A1，M共线。 D
C O
M B
分析： (1)O、A1、M 平面A1DB
C
讨论题：过空间一点、二点、 三点、四点可以有多少平面？
一点、两点：可确定无数个平面；
三点：可确定一个或无数个平面； A
D
C B
四点：可确定一个或无数个或不可以确定平面.
已知空间四点，如果其中 任何三点都不共线，则经 过其中三点有多少平面？ 可确定一个或四个.
①三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？