第12章真空中的静电场分解

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第12章-真空中的静电场

对由n个点电荷q1,q2,·qn组成的点电荷系，若以F01,F0２,·F0n · · · · 分别表示它们各自单独存在时对q0的作用力，则q0受到的静电力的合力为 n n 1 q0 qi e0 i F F01 F02 F0n F0 i 2 i 1 i 1 4 0 r i 0 电荷连续分布时,可把带电体分成很多无限小的电荷元dq，由库仑定律求出各电荷元dq对点电荷q0的作用力，再求合力即可。
l/2 r2 l2 / 4
1
E
P '
E
E x E x E x 2 E x 2 E cos
E y E y E y 0
E 2 E cos
r

ql 4 0(r 2 l 2 /4)3/2
q
定义：若 r>> l , 则称这种带电体系为电偶极子。延长线上
dF
1 dq1dq2 er 2 4π 0 r
1 4π 0 dq1dq2 r 2 er
则两个带电体之间的相互作用的静电力为
F
注：式中的积分遍及两个带电体。
例题12-2 两根相同的均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ，沿同一直线放臵两细线间的距离也是L,设棒上电荷不能自由移动，试求两棒间的静电相互作用力。 dx dx x x dx o 2 L x dx 3L
q1q2 库仑定律： F k 2 er r
r
q2
F
q1
Nm2/C2
er
在SI中，实验测得：k≈9 ×109
表示由施力者 q1 指向受力者 q2 方向上的单位矢量
1 4 k
为使库仑定律推出的其它公式中不含４π因子，令k=1/4πε０

第12章静电场(共享)_0

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 20 第12章静电场(共享)第 12 章静电场 12.3 如图所示，在直角三角形 ABCD 的 A点处，有点电荷 q1 = 1.810-9C ，B 点处有点电荷 q2 = -4.810-9C ，AC = 3cm ， BC = 4cm ，试求 C 点的场强．解：根据点电荷的场强大小的公式点电荷 q1在 C 点产生的场强大小为点电荷 q2在 C 点产生的场强大小为处的总场强大小为，其中 1/(4 0) =k = 9.0109Nm2C-2． -，方向向下． -12 24.8 ，方向向右． -，总场强与分场强 E2的夹角为． 12.4 半径为 R 的一段圆弧，圆心角为 60，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+ 和-，求圆心处的场强．解：在带正电的圆弧上取一弧元 ds = Rd ，电荷元为 dq = ds ，在O 点产生的场强大小为场强的分量为 dEx= dEcos ， dEy = dEsin ．对于带负电的圆弧，同样可得在 O 点的场强的两个分量．由于弧形是对称的， x 方向的合场强为零，总场强沿着 y轴正方向，大小为， 2d．12.5 均匀带电细棒，棒长 a = 20cm，电荷线密度为= 310-8Cm-1，求：（1）棒的延长线上与棒的近端 d1 = 8cm 处的场强；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距 d2 = 8cm 处的场强．解：（1）建立坐标系，其中 L = a/2 = 0.1(m)， x = L+d1 = 0.18(m)．在细棒上取一线元 dl，所带的电量为 dq = dl，根据点电荷的场强公式，电荷元在 P1点产生的场强的大小为 ddd4(x 场强的方向沿 x 轴正向．因此 P1点的总场强大小通过积分得图 12.3 Ex x E R ds Ey O y ds Ex E R x Ey O y -将数值代入公式得 P1点的场强为 2 0.1 3 109 100.18（2）建立坐标系， y = d2．在细棒上取一线元 dl，所带的电量为 dq = dl，在棒的垂直平分---------- ①-1)，方向沿着 x 轴正向．线上的 P2点产生的场强的大小为，由于棒是对称的，x 方向的合场强为零，y 分量为dEy = dE2sin．由图可知：r = d2/sin，，所以 dl = -d2d/sin2，因此，总场强大小为-------------------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ② 将数值代入公式得 P2点的场强为 8922 1/22 0.1 3 100.08(0.089-1)．方向沿着 y 轴正向． [讨论]（1）由于 L = a/2， x = L+d1，代入①式，化简得，保持 d1不变，当 a时，可得---------- ③ 这就是半无限长带电直线在相距为 d1的延长线上产生的场强大小．（2）由②式得这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1．，当 a 时，得---------- ④ 12.6 一均匀带电无限长细棒被弯成如图所示的对称形状，试问为何值时，圆心 O 点处的场强为零．解：设电荷线密度为，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．在圆弧上取一弧元 ds =R d ，所带的电量为 dq = ds，在圆心处产生的场强的大小为， R O 图 12.6 o lxdl r -LL yP2 dEy dE2 dEx d2 由于弧是对称的，场强只剩 x 分量，取 x 轴方向为正，场强为 dEx = -dEcos．总场强为方向沿着 x 轴正向．再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上 O 点产生的场强大小为产生的合场强为，可得 tan/2 = 1，因此 /2 = /4，3 / 20所以= /2．，由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在 O 点，方向沿着 x 轴负向．当 O 点合场强为零时，必有12.7 一宽为 b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为，如图所示．试求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为 a 处的场强．（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为 d处的场强．解：（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为 dx 的带电直线，电荷的线密度为 d = d x，根据直线带电线的场强公式，得带电直线在 P 点产生的场强为由于每条无限长直线在 P 点的产生的场强方向相同，所以总场强为场强方向沿 x 轴正向．（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为 dx 的带电直线，电荷的线密度仍然为 d = d x，带电直线在 Q 点产生的场强为，其方向沿 x 轴正向．n( /-------- ① 22，沿z 轴方向的分量为22，设 x = dtan，则 dx = dd/cos2，因此积分得---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------5 / 20--------- ②, 场强方向沿 z 轴正向． [讨论]（1）薄板单位长度上电荷为 = b ， ①式的场强可化为， R O x d dE O E` E`xR P b a Q d 图 12.7 P b aO xdx yQ bd Ozdx xyr dE 当 b0 时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为这正是带电直线的场强公式．当b0 时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为这是无限大带电平面所产生的场强公式．-------- ③ （2） ②也可以化为，，这也是带电直线的场强公式．当 b 时，可得--------- ④ 12.8 （1）点电荷 q 位于一个边长为 a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？解：点电荷产生的电通量为 e = q/0．（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过 6 个面，通过每一面的电通量为 1 = e/6 =q/60．（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过 8 个卦限，立方体的 3 个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为 1 = e/24 =q/240；立方体的另外 3 个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零． 12.9 面电荷密度为的均匀无限大带电平板，以平板上的一点 O 为中心， R 为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量．解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为 q = R2，通过球面的电通量为 e = q/0，通过半球面的电通量为 `e = e/2 = R2/20． 12.10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1和 R2(R1 R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为和-，求（1） r R1；（2） R1 r R2；（3）r R2处各点的场强．解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以 E = 0，（r R1）．（2）在两个圆柱之间做一长度为 l，半径为 r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为q = l，穿过高斯面的电通量为根据高斯定理 e = q/0，所以（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以 E = 0，（r R2）．， (R1 r R2)． R O图 12.9 12.11 一厚度为 d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为，求板内外各点的场强．解：方法一：高斯定理法．（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`．在板内取一底面积为 S，高为 2r 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------，高斯面内的体积为 V = 2rS，包含的电量为 q =V = 2rS，根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = r/0，(0≦r≦d/2)--------① （ 2）穿过平板作一底面积为 S，高为 2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 e = 2ES，高斯面在板内的体积为 V = Sd，包含的电量为 q =V = Sd，根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = d/20，(r≧d/2)-------- ② 方法二：场强叠加法．（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r 为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层 dy，面电荷密度为 d = dy，产生的场强为dE1 = d/20，积分得--------③ 同理，上面板产生的场强为---------④ r 处的总场强为 E = E1-E2 = r/0．（2）在公式③和④中，令 r = d/2，得 E2 = 0、 E = E1 = d/20， E 就是平板表面的场强．平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式． 12.13 一半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为，若在球内挖去一块半径为 R`R 的小球体，如图所示，试求两球心 O 与 O`处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场．解：挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为- 的小7 / 20球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加．对于一个半径为 R，电荷体密度为的球体来说，当场点 P 在球内时，过 P 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程当场点 P 在球外时，过 P 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程点在大球体中心、小球体之外．大球体在 O 点产生的场强为零，小球在 O 点产生的，P 点场强大小为．，P 点场强大小为． ORaR` O`图 12.13 E2 dy r y o E1d场强大小为，方向由 O 指向 O`． O`点在小球体中心、大球体之内．小球体在 O`点产生的场强为零，大球在 O 点产生的证明]在小球内任一点 P，大球和小球产生的场强大小分别为设两场强之间的夹角为，合场强的平方为根据余弦定理得可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：场强的方向沿着 O 到 O`的方向．因此空腔内的电场为匀强电场．场强大小为，方向也由 O 指向 O`．，，方向如图所示．，，所以，12.14 如图所示，在 A、 B 两点处放有电量分别为+q 和-q 的点电荷， AB 间距离为 2R，现将另一正试验电荷 q 0从 O 点经过半圆弧路径移到 C 点，求移动过程中电场力所做的功．解：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------9 / 20正负电荷在 O 点的电势的和为零：UO = 0；在C 点产生的电势为，电场力将正电荷 q 0从 O 移到 C 所做的功为 W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/60R ． 12.15真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面 A 和 B ． A 平面的电荷面密度为 2， B 平面的电荷面密度为，两面间的距离为 d ．当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时，电场力做的功为多少？解：两平面产生的电场强度大小分别为 EA = 2/20 = /0， EB = /20，两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E =EA - EB = /20，方向由 A 平面指向 B 平面．两平面间的电势差为 U = Ed = d/20，当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时，电场力做的功为 W = qU = qd/20． 12.16 一半径为 R 的均匀带电球面，带电量为 Q ．若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？解：带电球面在外部产生的场强为，由于 ddRRRUUE，当 UR = 0 时，． 12.17 电荷 Q 均匀地分布在半径为 R 的球体内，试证明离球心 r （rR ）处的电势为 -q +qOB D C A 图 12.14 O a r` O` r ErEr`． [证明]球的体积为，电荷的体密度为．利用 12.10 题的方法可求球内外的电场强度大小为取无穷远处的电势为零，则 r处的电势为，（r≦R）；，（r≧R）．． 12.18 在 y = -b 和 y = b 两个无限大平面间均匀充满电荷，电荷体密度为，其他地方无电荷．（1）求此带电系统的电场分布，画 E-y 图；（2）以 y = 0 作为零电势面，求电势分布，画 E-y 图．解：平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`，但方向相反．（1）在板内取一底面积为 S，高为2y 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为．高斯面内的体积为 V = 2yS，包含的电量为 q = V = 2Sy，根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = y/0， (-b≦y≦b)．穿过平板作一底面积为 S，高为 2y 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为e = 2ES，高斯面在板内的体积为 V = S2b，包含的电量为 q = V = S2b，根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = b/0，(b≦y)；E = -b/0，(y≦-b )． E-y 图如左图所示．（2）对于平面之间的点，电势为，在 y = 0 处 U = 0，所以 C = 0，因此电势为0，(-b≦y≦b)．这是一条开口向下的抛物线．当y≧b 时，电势为---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------11 / 20，在 y = b 处 U= -b2/20，所以 C = b2/20，因此电势为， (b≦y)．当y≦-b 时，电势为，在 y = -b 处 U = -b2/20，所以 C = d2/20，因此电势为， o -bE`S2S2 E` yb E b b ES1 S0 S0 S1两个公式综合得， (|y|≧d)．这是两条直线． U-y 图如右图所示． U-y 图的斜率就形成 E-y 图，在 y = b 点，电场强度是连续的，因此，在 U-y 图中两条直线与抛物线在 y = b 点相切． [注意]根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量．根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即这是因为积分的起点位置是积分下限． 12.19 两块无限大平行带电板如图所示， A 板带正电， B 板带负电并接地（地的电势为零），设A 和 B 两板相隔 5.0cm ，板上各带电荷 =3.310-6Cm-2，求：（1）在两板之间离 A 板 1.0cm 处 P 点的电势；（2） A 板的电势．解：两板之间的电场强度为 E=/0，方向从 A 指向 B ．以 B 板为原点建立坐标系，则 rB = 0， rP = -0.04m ， rA = -0.05m ．（1） P 点和 B 板间的电势差为（2），由于 UB = 0，所以 P 点的电势为6．同理可得 A 板的电势为． 12． 20 电量 q 均匀分布在长为 2L 的细直线上，试求：（1）带电直线延长线上离中点为 r 处的电势；（2）带电直线中垂线上离中点为 r 处的电势；（3）由电势梯度算出上述两点的场强．解：电荷的线密度为 = q/2L．（1）建立坐标系，在细线上取一线元 dl，所带的电量为 dq = dl，根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为（2）建立坐标系，在细线上取一线元 dl，所带的电量为 dq = dl，在线的垂直平分线上的 P2点产生的电势为总电势为．，积分得222 1A B P 图 12.19 A B o P ro xdl l yL r -LP1 图 12.10 o lxdl -L L yr P2 oyE-bbo yU-b b．（3）P1点的场强大小为点的场强为方向沿着 y 轴正向． [讨论]习题 12． 3 的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为（2）习题 12． 3 的解答还计算了中垂线上的场强为由此可见，电场强度可用场强叠加原理计---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------13/ 20算，也可以用电势的关系计算．-------- ① , 方向沿着 x 轴正向．--------，由于 2L = q ，取 x = r ，就得公式①．取 d2 = r ，可得公式②． 12.21 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为 R1和 R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为，试计算：（1） A ， B 两点的电势；（2）利用电势梯度求 A ， B 两点的场强．解：（1） A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此 A 点的电势就等于球心 O 点的电势．在半径为 r 的球壳处取一厚度为 dr 的薄壳，其体积为 dV = 4r2dr ，包含的电量为 dq = dV = 4r2dr ，在球心处产生的电势为球心处的总电势为过 B 点作一球面， B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的．球面外的电荷在 B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得球面内的电荷在 B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在 B 点产生的电势．球壳在球面内的体积为， 1d()ROUr ，这就是 A 点的电势 UA ．．，包含的电量为 Q = V ，这些电荷集中在球心时在 B 点产生的电势为． B 点的电势为 UB = U1 +． rA R1 A O B R2 rB 图 12.21 O R1 R2 r dr O R1 R2 rB B （2） A 点的场强为． B 点的场强为． [讨论] 过空腔中 A 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空腔中 A 点场强为 E = 0，(r≦R1)．过球壳中 B 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为，包含的电量为 q = V，根据高斯定理得方程4r2E = q/0，可得 B 点的场强为在球壳外面作一半径为 r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为，(R1≦r≦R2)．这两个结果与上面计算的结果相同．，包含的电量为 q = V，根据高斯定理得可得球壳外的场强为，(R2≦r)． A 点的电势为ddAAAr点的电势为． A 和 B 点的电势与前面计算的结果相同． 12.21 （1）设地球表面附近的场强约为 200Vm-1，方向指向地球中心，试求地球所带有的总电量．（2）在离地面1400m 高处，场强降为 20Vm-1，方向仍指向地球中心，试计算在---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------15 / 201400m 下大气层里的平均电荷密度．解：地球的平均半径为 R =6.371106m ．（1）将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量．根据公式 E = -/0，电荷面密度为 = -0E ；地球表面积为 S = 4R2，地球所带有的总电量为 Q = S = -40R2E = -R2E/k ， (6.371是静电力常量，因此电量为-9.02105(C)．（2）在离地面高为 h = 1400m 的球面内的电量为-0.9105(C)，大气层中的电荷为 q = Q - Q` = 8.12105(C)．由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体积约为 V = 4R2h = 0.7141018(m3)，平均电荷密度为 = q/V =1.13710-12(Cm-3)． e-Ns6VAf%In1QvaY Di(Lq5Tyd!Gl0Ot8WBg* Jo3 Rwb#Ej-Mr6Vze%Hm1Pu9YCh(Kp4Txc!Fk+Os7WAfJn2RvaZEi)Mq5Uzd$Hl 0Pt8XCg*Ko3 Sxb#Fj -Ns6VAe%In1Qv9YDi(Lq4Tyd!Gl+Ot8WBgJo2Rw bZEj)Mr6Uze$Hm1Pu9XCh(Kp4Sxc!Fk+Ns7WAfIn2QvaZDi)Lq5Uyd$Gl0P t8XBg*Ko3Swb#Fj-Nr6VAe%Im1Qv9YDh(Lp4Tyc!Gk+Ot7WBfJo2RwaZEj)Mr5Uze$Hm0P u9XCh*Kp3Sxc#Fk-Ns7VAf%In2QvaYDi)Lq5Tyd$Gl0Ot8XBg*Jo3Rwb#Ej-Mr6Vze%Hm1Qu9YCh(Lp4Txc!Gk+Os7WBfJn2RwaZEi)Mq5Uzd$Hl0Pu8XC g*Kp3Sxb#Fk-Ns6VAf%In1QvaYDi(Lq4Tyd!Gl+Ot8WBg Jo3RwbZEj-Mr6Uze%Hm1Pu9YCh(Kp4Txc!Fk+Ns7WAfIn2RvaZDi)Mq5Uyd$Hl0Pt8XC g*Ko3Sxb#Fj-Nr6VAe%Im1Qv9YDh(Lq4Tyc!Gl+Ot7WBgJo2RwbZEj )Mr6Uze$Hm0Pu9X Ch*Kp4Sxc#Fk+Ns7VAfIn2QvaZDi)Lq5Uyd$Gl0Ot8XBg*Jo3Swb#Ej-Nr6 Vze%Im1Qu9YDh(Lp4Tyc!Gk+Ot7WBfJn2RwaZEi)Mr5Uzd$Hm0Pu8XCh*Kp3Sxc#Fk-Ns7VAf%In1QvaYDi(Lq 5Tyd!Gl0Ot8W Bg*Jo3Rwb#Ej -Mr6Vze%Hm1Pu9YCh(Kp4Txc!Fk+Os7WAfJn2RvaZEi)Mq5Uzd$Hl0Pu8XC g*Ko3Sxb#Fj-Ns6VAe%In1Qv9YDi(Lq4Tyd!Gl+Ot8WBgJo2RwbZEj )Mr6 Uze$Hm1Pu9XCh(Kp4Sxc!Fk+Ns7WAfIn2RvaZDi)Lq5Uyd$Gl0Pt8XBg*Ko 3 Swb#Fj -Nr6VAe%Im1Qv9YDh(Lp4Tyc!Gk+Ot7WBfJo2RwaZEj )Mr5Uze$Hm0Pu9X Ch*Kp4Sxc#Fk-Ns7VAf%In2QvaYDi)Lq5Tyd$Gl0O t8XBg*Jo3 Swb#Ej -Mr6Vze%Hm1Qu9YCh(Lp4Txc!Gk+Os7WBfJn2RwaZEi)Mr5Uzd$Hl0Pu8XCg*Kp3 Sxb#Fk-Ns6VAf%In1QvaYDi(Lq5 Tyd!Gl+Ot8WBgJo3RwbZEj -Mr6Uze%Hm1Pu9YCh(Kp4Txc!Fk+Os7WAfIn2RvaZDi)Mq5Uyd$Hl0Pt8XC g*Ko3Sxb#Fj-Ns6VAe%Im1Qv9YDh(Lq4Tyc!Gl+Ot7WBgJo2RwbZEj)Mr6U ze$Hm0Pu9XCh*Kp4Sxc#Fk+Ns7VAfIn2QvaZDi)Lq5Uyd$Gl0Pt8XBg*Jo3 Swb#Ej-Nr6Vze%Im1Qu9YDh(Lp4Tyc!Gk+Ot7WBfJn2RwaZEi)Mr5Uzd$Hm0Pu8XC h* Kp3Sxc#Fk-Ns7VAf%In2QvaYD i(Lq5Tyd!Gl0Ot8WBg*Jo3Rwb#Ej---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ -Mr6Vze%Hm1Qu9YCh(Kp4Txc!Fk+Os7WAfJn2RvaZEi)Mq5Uzd$Hl0Pu8XCg*Kp3Sxb#Fj-Ns6VAe%In1Qv9 YDi(Lq4Tyd!Gl+Ot8WBgJo3RwbZEj)Mr6Uze$Hm1Pu9XCh(Kp4Sxc!Fk+Ns 7WAfIn2RvaZDi) Mq5Uyd$Gl0Pt8XBg*Ko3 Swb#Fj -Nr6VAe%Im1Qv9YDh(Lq4Tyc!Gk+Ot7WBfJo2RwaZEj )Mr5Uze$Hm0Pu9X Ch*Kp4Sxc#Fk+Ns7VAf%In2QvaYDi)Lq5Tyd$Gl0O t8XBg*Jo3 Swb#Ej -Nr6Vze%Hm1Qu9YCh(Lp4Txc!Gk+Os7WBfJn2RwaZEi)Mr5Uzd$Hl0Pu8XC g*Kp3Sxb#Fk-Ns6VAf%In1QvaYDi(Lq5Tyd!Gl0Ot8WBgJo3RwbZEj-Mr6U ze%Hm1Pu9YCh(Kp4Txc!Fk+Os7WAfIn2RvaZDi)Mq5Uyd$Hl0Pt8XCg*Ko3Sxb#Fj-NWBg*Jo3Rwb#Ej-Mr6Uze%Hm1Pu9YCh(Kp4Txc!Fk+Os7WAfJn2RvaZEi)Mq5Uyd$Hl0Pt8XC g*Ko3 Sxb#Fj -Ns6VAe%In1Qv9YDi(Lq4Tyd!Gl+Ot7WBgJo2RwbZEj)Mr6Uze$Hm1Pu9XC h(Kp4Sxc!Fk+Ns7VAfIn2QvaZDi)Lq5Uyd$Gl0Pt8XBg*Ko3Swb#Fj-Nr6V Ae%Im1Qu9YDh(Lp4Tyc!Gk+Ot7WBfJo2RwaZEj)Mr5Uze$Hm0Pu8XCh*Kp3 Sxc#Fk-Ns7VAf%In2QvaYDi)Lq5Tyd$Gl0Ot8XBg*Jo3Rwb#Ej-Mr6Vze%Hm1Qu9YCh(Lp4Txc!Gk+Os7WBfJn2RvaZEi)Mq5Uzd$Hl0Pu8XC g*Kp3Sxb#Fk-Ns6VAf%In1QvaYDi(Lq4Tyd!Gl+Ot8WBgJo3 RwbZEj -Mr6Uze%Hm1Pu9YCh(Kp4Sxc!Fk+Ns7WAfIn2RvaZDi)Mq5Uyd$Hl0Pt8XCg*Ko3 Sxb#Fj -Nr6VAe%Im1Qv9YDh(Lq4Tyc!Gl+Ot7WBgJo2RwbZEj )Mr5Uze$Hm0Pu9X17 / 20Ch*Kp4Sxc#Fk+Ns7VAfIn2QvaZDi)Lq5Tyd$Gl0Ot8XBg*Jo3Swb#Ej-Nr6 Vze%Im1Qu9YDh(Lp4Tyc!Gk+Os7WBfJn2RwaZEi)Mr5Uzd$Hm0Pu8XCh*Kp 3 Sxc#Fk-Ns6VAf%In1QvaYDi(Lq5Tyd!Gl0Ot8W Bg*Jo3Rwb#Ej-Mr6Vze%Hm1Pu9YCh(Kp4Txc!Fk+Os7WAfJn2RvaZEi)Mq5Uzd$Hl0Pt8XCg*Ko3 Sxb#Fj-Ns6VAe%In1Qv9YDi(Lq4Tyd!Gl+Ot8WBgJo2RwbZEj)Mr6Uze$Hm1Pu9XC h(Kp4Sxc!Fk+Ns7WAfIn2QvaZDi)Lq5Uyd$Gl0Pt8XBg*Ko3Swb#Fj-Nr6VAe%Im1Qv9YDh(Lp4Tyc!Gk+Ot7WBfJo2RwaZEj)Mr5Uze$Hm0P u9XCh*Kp3 Sxc#Fk-Ns7VAf%In2QvaYDi)Lq5 Tyd$Gl0Ot8XBg* Jo3Sw b#Ej-Mr6Vze%Hm1Qu9YCh(Lp4Txc!Gk+Os7WBfJn2RwaZEi)Mq5Uzd$Hl0Pu8XC g*Kp3Sxb#Fk-Ns6VAf%In1QvaYDi(Lq4Tyd!Gl+Ot8WBgJo3 RwbZEj -Mr6Uze%Hm1Pu9YCh(Kp4Txc!Fk+Ns7WAfIn2RvaZDi)Mq5Uyd$Hl0Pt8XC g*Ko3 Sxb#Fj -Nr6VAe%Im1Qv9YDh(Lq4Tyc!Gl+Ot7WBgJo2RwbZEj )Mr6Uze$Hm0Pu9X Ch*Kp4Sxc#Fk+Ns7VAfIn2QvaZDi)Lq5Uyd$Gl0Ot8XBg*Jo3Swb#Ej-Nr6 Vze%Im1Qu9YDh(Lp4Tyc!Gk+Ot7WBfJn2RwaZEi)Mr4Txc!Fk+Os7WAfJn2 RvaZEi) Mq5Uzd$Hl0Pt8XCg*Ko3Sxb#Fj -Ns6VAe%In1Qv9YDi(Lq4Tyd!Gl+Ot8WBgJo2RwbZEj )Mr6Uze$Hm1Pu9X Ch(Kp4Sxc!Fk+Ns7WAfIn2QvaZDi)Lq5Uyd$Gl0Pt8XBg*Ko3Swb#Fj-Nr6 VAe%Im1Qv9YDh(Lp4Tyc!Gk+Ot7WBfJo2RwaZEj)Mr5Uze$Hm0Pu9XCh*Kp---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------3 Sxc#Fk-Ns7VAf%In2QvaYDi)Lq5Tyd$Gl0Ot8XBg*Jo3Rwb#Ej -Mr6Vze%Hm1Qu9YCh(Lp4Txc!Gk+Os7WBfJn2RwaZEi)Mq5Uzd$Hl0Pu8XC g*Kp3Sxb#Fk-Ns6VAf%In1QvaYDi(Lq4Tyd!Gl+Ot8WBgJo3RwbZEj-Mr6U ze%Hm1Pu9YCh(Kp4Txc!Fk+Ns7WAfIn2RvaZDi)Mq5Uyd$Hl0Pt8XCg*Ko3Sxb#Fj-Nr6VAe%Im1Qv9 YDh(Lq4Tyc!Gl+Ot7WBgJo2RwbZEj)Mr6Uze$Hm0Pu9XCh*Kp4Sxc#Fk+Ns 7VAfIn2QvaZDi)Lq5Uyd$Gl0Ot8XBg*Jo3Swb#Ej-Nr6Vze%Im1Qu9YDh(Lp4Tyc!Gk+Ot7WBfJn2RwaZEi)Mr5Uzd$Hm0Pu8XC h*Kp3Sxc#Fk-Ns7VAf%In1QvaYDi(Lq5Tyd!Gl0Ot8WBg*Jo3Rwb#Ej-Mr6Vze%Hm1Qu9YCh(Kp4Txc!Fk+Os7WAfJn2RvaZEi)Mq5Uzd$Hl0Pu8XCg*Ko3Sxb#Fj-Ns6VAe%In1Qv9 YDi(Lq4Tyd!Gl+Ot8WBgJo2RwbZEj)Mr6Uze$Hm1Pu9XCh(Kp4Sxc!Fk+Ns 7WAfIn2RvaZDi)Lq5Uyd$Gl0Pt8XBg*Ko3 Swb#Fj -Nr6VAe%Im1Qv9YDh(Lp4Tyc!Gk+Ot7WBfJo2RwaZEj)Mr5Uze$Hm0Pu9XC h*Kp4Sxc#Fk-Ns7VAf%In2QvaYDi)Lq5 Tyd$Gl0Ot8XBg*Jo3Swb#Ej 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《大学物理学》习题解答(第12章静电场中的导体和电介质)(1)

d R
（2）两输电线的电势差为 U
xR

E dl

R
Ed x
d R ln 0 R
（3）输电线单位长度的电容 C

U
0 / ln
d R d 0 / ln 4.86 1012 F R R
【12.9】半径为 R1 的导体球被围在内半径为 R2 、外半径为 R3 、相对电容率为 r 的介质球壳内，它们是同球心的。若导体带电为 Q ，则导体内球表面上的电势为多少？【12.9 解】先求各区域电场（1）
Q 4 0 R3
( R3 r )
B 球壳为等势体，其电势为
V
R3
E dr
Q 4 0
R3
r
dr
2
【12.2】一导体球半径为 R1,外罩一半径为 R2 的同心薄导体球壳,外球壳所带总电荷为 Q,而内球的电势为 V0.求此系统的电势和电场分布。【12.2 解】已知内球电势为 V0 ，外球壳带电 Q 。（1）先求各区域的电场强度：设内球带电荷 q 。由高斯定理，有

E
U

z
2R
（ 1 ）一根带电的输电线在两线之间、距其轴心 x 处 p 点的场强为
x
dx
p
E i 2 0 x
另一根带电的输电线在 p 点产生的电场强度为
x
E

2 0 ( d x )
i
p 点的总电场强度为
E E E
d R
1 1 ( )i 2 0 x d x
E1 0
(r R1 ) ( R1 r R2 ) 4 r 2 D Q ， D 0 r E3

第12章电容器和介电质

解： P cos
+
dE
dq
4 0 R 2
dE
z
dE
cos
P + dE +
dq
4 0 R 2
cos
z
dEz
(2RSin )( 4 0 R 2
Rd
)
cos
Ez
dEz
P
3 0
12.3 介质中旳静电场
一、介质中旳场强
E E0 E
--
+ +
-+
E E0
q 0
源电荷
q 极化电荷
二、介质中旳静电场
Q2 C
四、静电场能电场能量密度
能量储存于场中以平行板电容器为例：
U Ed Q S ES
We
1 QU 2
1 E 2 Sd
2
1 2
DEV
电场能密度：
we
dWe dV
1 DE 2
We
wedV
1 2
DEdV
V
V
S
d
EV
[例12-6] 计算均匀带电导体球旳静电能。
R
Q
解一：
we
1 2
0E2
解：设电荷线密度l
D l E= l
2r
2r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
q
q a
l
W b 1 l 2 2rldr l2l ln b
2
a
2r
4 a
W Q2
Q2 2l
C
2C
2W ln b
a
二、电介质极化旳微观图象
正电荷中心
有极分子
+

真空中的静电场

r x R

dq( xi R) dE 4 0 ( x 2 R2 )3 / 2
R R(cos j sin k )
x E i 2 2 3/ 2 4 0 ( x R )
•若
Q
y
o
x R
Q E 2 4 0 x Q 2 4 0r
x
x
z
qi
fi q
f E q

i 1
n
fi
E Ei
E
i 1
q

i 1
n
ir
q
i n
或：
4 0ri
qi
3
ri
—场强叠加原理！
3. 任意带电体的场强
若为电荷连续分布的带电体，如图示
可以把带电体切割成无穷多个电荷元，每个电荷元可看
在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。讨论
q const.
i i
•电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律 •电荷可以成对产生或湮灭，保持代数和不变

-e +e
-e
+e
•电中性-物体带等量的正负电荷 •物质的原子构成与带电 —原子的电中性、离子等
1. 点电荷的场强
根据库仑定律和场强的定义
q
Q r
er
Qq f e 2 r 4 0r
球对称
f E q E
Q 4 0r
e 2 r
E( x, y, z) E(r )
E(r)
const. r c
2. 点电荷系的场强如果带电体由 n 个点电荷组成，如图由电力叠加原理：

真空中的静电场电子教案

场强度通量
dΨe E d S
q
40r2
rˆ
d
S
q
4 0r 2
cos
d
S
q d S
锥体的顶角
4 0
r2
dS dS cos
d
dS
E
是dS在垂直于电场方向的投影。
dS对电荷所在点的立体角为
d
d S r2
dΨ e
q
40
d
Ψe
q
40
d
S
q
40
4
q
0
q+
S
半径为单位长度的球面S''
S
d
S
d S R
dq dS
体密度面密度
dE P
r
dq
dq dl
lim
l 0
q l
dq dl
线密度
14
例：计算均匀带电荷直线(棒)在任意一点 p的场强。
(已知L, > 0, a) 解: dq = dl
y
2
d
E
1
4
0
d
r2
l
l actg( )
d l acsc2 d.
r2 a2csc2.
dl r
l
L
Fe 2.26 1039 Fg
由此,在处理电子和质子之间的相互作用时,只需考虑静电力,万有引力可以略去不计. 在原子结合成分子,原子或分子组成液体或固体时,它们的结合力在本质上也都属于电性力.
7
§2 电场与电场强度电场： 1. 电场概念的引入
电荷
电场
电荷
2. 场的物质性体现在：
a. 力的作用, b. 电场具有能量, c. 电场具有动量。

大学物理课件-真空中的静电场

8.1
静电场中的导体
导体（Conductor）导体中存在大量的可自由移动的电荷
例如：各种金属、电解质溶液。
绝缘体也称电介质（Dielectric）理论上认为电介质中一个自由移动的电荷也没有。例如：云母、胶木等。
半导体（Semiconductor）带电性质介于上述两者之间。
在静电场中总是存在导体或电介质。静电场与静电场中导体或电介质之间有相互作用。它们的相互作用体现在：任何物质（实物）都是由带正电的原子核和带负电的电子组成，它们在电场中受到电场力的作用而重新分布。电荷的重新分布的结果反过来又将影响电场的分布。这两种过程相互制约，直到达到某种新的平衡。这一部分只限于讨论各向同性均匀金属导体与电场的相互作用。
q1
+ q1
3、导体表面的电荷面密度与邻近表面处场强的关系
S , E dS
S
为表面电荷面密度
E表 n
0
S E S 0
作钱币形高斯面 S
0
, E ; E
结论：导体外邻近表面处的电场强度大小与该表面处电荷面密度成正比。 + +
一、导体的静电平衡及条件 1、静电感应导体的静电平衡 ( Electrostatic Equilibrium ) 静电感应：在静电场力作用下，导体中电荷重新分布的现象。
+
++ + ++ +
+
+
感应电荷
E0
＇ E
E 0
E0 ＇ E
+ + + + + + + +

电磁学_01_真空中的静电场

第一讲真空中的静电场本讲主要介绍真空中相对于观察者静止的电荷产生的电场和电场的性质从电荷受力的角度，引出描写电场特性的物理量 —— 电场强度从电场力做功的角度，引出描述电场特性的势能函数 —— 电势01 电荷库仑定律1 电荷的量子性自然界存在两种基本电荷：电子和质子，分别带电：19191.62101.6210e p q Cq C--⎧=-⨯⎪⎨=+⨯⎪⎩ 基本电量：191.6210e C -=⨯物体带电：,2,3,4,,q e e e e ne =±±±±± 这一特性称为电荷的量子性。

夸克模型：强子（中子和质子）由若干种夸克或反夸克组成夸克的电量：13e ±或23e ±电子的电量分布：负电荷集中分布在18~10m -范围，可以将电子看作是无内部结构的电荷点质子的电量分布：正电荷集中分布在15~10m -范围，一般问题中可看作无内部结构的电荷点，如图XCH003_001所示。

中子的电量分布：正负电荷集中分布在15~10m -范围，正负电量相等，对外呈现中性，如图XCH003_001所示。

宏观物体的电量：q>>e ，带电为准连续的2 电荷守恒定律 —— 一个封闭的带电系统，系统正负电荷的代数和保持不变重核的裂变：238234492902U Th He →+ —— 重核裂变前后，电荷代数和不变，电荷守恒γ光子与重核的碰撞：e e γ+-→+ —— 光子转化为一个正电子和一个负电子高速运动的正负电子对作用：e e γ+-+⇒ —— 正负电子对湮灭产生γ光子 3 电荷的相对性不变性实验研究表明：电荷的电量与带电体的运动状态无关；电荷的测量与参照系无关。

氦原子中两个质子能量为氢分子中两个质子的能量100万倍，实验研究表明氦原子和氢分子精确地为电中性。

说明氦原子和氢分子质子的电量和运动状态无关，即电荷相对论不变性。

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0
q
dq d
dq dl
如果计算第一个电荷连续分布的带电体对第二个电荷连续分布的带电体的作用力，把每个带电体分成无限多个可以看成点电荷的电荷元。
其第一、二个带电体的电荷元分别用dq1和dq2表示，同样由
库仑定律和静电力叠加原理，可得两电荷元之间的静电力为
dF
1
4π 0
dq1dq2 r2
er
两力之比为
Fe Fm
1
4π 0G0
q2 m2
3.11035
四、静电力的叠加原理(superposition principle of electrostatic field)
静电力的独立作用原理：两个静止点电荷之间的作用力并不因其他静止电荷的
存在而有所改变。
1.静电力的叠加原理：
两个以上静止点电荷对一个静止点电荷的作用
二、电荷的守恒性（1843年）
电荷守恒定律：在一个孤立系统（与外界没有电荷交换）内发生的任何的变化过程中，系统电荷总数 (正、负电荷的代数和)保持不变。
三、库仑定律（Coulomb’s Law)
1.点电荷（Point charge) 带电体的几何线度比起它到其它带电体的距离小得多，这时带电体的形状和电荷在其中的分布已无关紧要，可以抽象成一个几何点，称为点电荷。
2）库仑定律适用于真空中的点电荷
3）两电荷距离范围10-15m ~107m内库仑定律都是有效的。
4）库仑力满足牛顿第三定律
5）一般电荷之间库仑力远远大于万有引力
例题12-1 α粒子（即氦原子核）的质量m=6.68×10-27kg、带电 q=3.2×10-19c，试比较两α粒子间的静电斥力与万有引力。
第 5 篇电磁学
研究内容：
一、静电场及基本性质二、稳恒电流的磁场及基本性质三、电磁感应现象及规律四、麦克斯韦电磁理论
电磁场的统一性
第12章真空中的静电场
静电场 — 静止电荷在空间所产生的电场本章着重研究真空中的静电场相关性质及规律
本章内容：描述静电场的两个基本物理量：电场强度和电势。
电荷电场电荷
场是物质存在的一种形式。使人类认识了一类新的物质。场是物理学中最重要的基本概念之一。
两条基本实验定律：库仑定律和场叠加原理。
两条基本定理：高斯定理和环路定理。
§12 .1 电荷库仑定律
一．电荷: 1、两种电荷（正负性）
物体有了吸引轻小物体的性质就说它带了电或有了电荷。使物体带电称为起电，有摩擦起电；感应起电；光照起电等。
归纳出： ① 电荷只有两种：正电荷和负电荷； ② 同性电荷相斥，异性电荷相吸。
可见电量是不连续的。即电荷是量子化的，最小量子是e.
说明
1）当 q ＞＞ e 时，电量可以认为是连续变化的。
2）夸克模型：“夸克”的电量为：
1 e或 2 e
3
3
未从实验中直接发现单独存在的夸克或反夸克
3．电荷的运动不变性
事实证明，一个电荷的电荷量与它的运动状态无关。即电荷具有运动不变性。即电荷具有相对论不变性。
指q1向受力者方q向2 上的单位矢量
F
在 SI 单位制中，k = 9×10 9 N ·m 2 / C 2 k 1
0
1
4 k
8.85 1012 C2/N m2
4 0
称
0
为真空
电
容率
库仑定律的矢量形式为：
F
1ห้องสมุดไป่ตู้
4 0
q1q2 r2
er
讨论：
1)
F
q1q2
4 0r 2
F 的方向：同性相斥，异性相吸
dq dV
若电荷分布于某物体的表面层时，该电荷称为表面电荷，单位面积上的电荷称为电荷面密度(surface charge density)
lim
S 0
q S
dq dS
dq dS
若电荷分布于某曲线上，该电荷称为线电荷，单位长度上
的电荷称为电荷线密度(linear charge density)
lim
电荷元d q,dF
1
4 0
q0d q r2
er
整个带电体
F
dF
q0
4 0
dq r2
er
dq
z
F
r
•q0
dF
O
y
x
矢量积分！
若电荷分布于空间某一体积内，该电荷称为体电荷，单位体积内的电荷称为电荷体密度(volume charge density)
lim q dq V 0 V dV
物体带电是中性物体获得或失去电荷而造成的。
电量：物体所带电（荷）的多少叫电量。换句话说电量是物体带电多少的量度。常用Q 或 q 表示。单位：库仑(C).
电量的最小单元 ( 基本电量 )：
e 1.602177331019 C
2、电荷的量子性
一切带电体的电量是 e 的整数倍：
q ne
—— 电荷的量子化
① 点电荷具有相对意义；
l
②任何带电体都可看成点电荷的组合。
D
D l
2、库仑定律
真空中两个静止点电荷之间的相互作用力大小，与两个点电荷
的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。作用力的方
向沿两点电荷的连线，同号相互排斥，异号相互吸引。
F
F
k
q1q2 r2
er
r
er表示由施力者
q1
er
q2
解：选取坐标系，在两细棒上分别选取线元dx,dx’,其坐标
分别为x,x’,带电量分别为λdx，λdx’,由库仑定律得
dF
dx dx 4 0 ( x x)2
F方向为x正向，左棒受右棒库仑力 F ' F
§12.2 电场电场强度
一、电场（ electric field ）
1、历史上的两种典型观点： a、超距作用：电荷之间的作用力可超越距离、瞬时传递。 b、近距作用：电荷之间的作用力必须通过中间介质（弹性媒质以太）的传递。 2、电场：任何电荷在周围空间都要激发电场，而电场的基本性质就是对处在电场中的其它电荷施加力的作用
力，等于各个点电荷单独存在时对该点电荷作
用力的矢量和。
即F F1 F2 Fn
F
i
Fi
i
1
4 0
q0qi r02i
er 0i
q1
q2
F2
F
q0
F1
2、一般带电体对点电荷 q0 的作用力：
电荷连续分布时,可把带电体分成很多无限小的电荷元dq，由库仑定律求出各电荷元dq对点电荷q0的作用力，再求合力即可。
则两个带电体之间的相互作用的静电力为
F 1
4π 0
dq1dq2 r2
er
注：式中的积分遍及两个带电体。
例题12-2 两根相同的均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ，沿同一直线放置两细线间的距离也是L,设棒上电荷不能自由移动，试求两棒间的静电相互作用力。
dx
o x dx L
dx
x
2L xdx 3L

第12章 真空中的静电场分解