第九章 真空中的静电场(答案)2015(1)

一． 选择题

[ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线

密度分别为＋ (x ＜0)和－ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E

为

(A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D)

()j i a

+π04ελ． 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E ＋、E －大小为：

E E +-==

矢量叠加后，合场强大小为：

02E a

λ

πε=

合，方向如图。

［ C ］ 2（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于：

(A) 06εq ． (B) 0

12εq ． (C)

024εq ． (D) 0

48εq

． 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通

量为

q

ε。再据对称性可知，通过侧面abcd 的电场强度通量等于

24εq

。 ［ D ］ 3（基础训练6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为

(A)

a q 04επ． (B) a

q

08επ．

(C)

a q 04επ-． (D) a

q

08επ-．

【提示】：2

20048P

a

M M

a

q q V E dl dr r

a

πεπε-=

==?

?

［ C ］ 4（自测提高4）如图9-34，设有一“无限大”均匀带正电荷的平面。取x 轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其周围空

间各点的电场强度E

随距离平面的位置坐标x 变

化的关系曲线为(规定场强方向沿x 轴正向为正、反之为负)：

【提示】：由于电场分布具有平面对称性，可根据高斯定理求得该带电平面周围的场强为：

(+0;0)

2E i x x σε=± > -< “”号对应“”号对应

［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷Q 1，外球面半径为R 2、带有电荷Q 2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为：

(A)

r

Q Q 0214επ+． (B) 202

10144R Q R Q εεπ+

π． (C) 0． (D)

1

01

4R Q επ．

【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。

［ C ］ 6（自测提高10）如图所示，在真空中半径分别为R 和2R 的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q 和－3q ．今将一电荷为+

Ｑ的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为： (A) R Qq 04πε． (B) R Qq 02πε． (C) 08Qq

R

πε． (D) R Qq

083πε．

【提示】：静电力做功()AB A B QU Q V V =-等于动能的增加。其中：

00034428A q

q q

V R R R

πεπεπε--=

+

=

?； 0003242428B q q q

V R R R

πεπεπε--=+=

?? 代上即得结果。

二．填空题

1．（基础训练13）两根互相平行的长直导线，相距为a ，其上均匀带电，

2

x

电荷线密度分别为λ1和λ2．则导线单位长度所受电场力的大小为F ＝

12

02a

λλπε． 【提示】：电荷线密度为电荷线密度分别为λ1在λ2处激发的场强为1

1202E a

λπε=，其单位长度所受电场力的大小212E λ。

2．（基础训练15）在“无限大”的均匀带电平板附近，有一点电荷q ，沿电力线方向移动距离d 时，电场力作的功为A ，由此知平板上的电荷面密度σ＝

02A

qd

ε． 【提示】：“无限大”的均匀带电平板附近为匀强电场：0

2E σ

ε=

；电场力作的功为A qEd =。

3 （基础训练16） 如图所示，一半径为R 的均匀带电细圆环，带有电荷Q ，水平放置。在圆环轴线的上方离圆心R 处，有一质量为m 、带电荷为q 的小球。当小球从静止下落到圆心位置时，它的速度为v ＝

1

2

0212Qq gR m R πε???-?? ??

?．

【提示】： 根据动能定理，2G 1

2

A A m υ+=

电，其中：G A mgR =；A 电为电场力做功，数值上等于电势能的减少，有：2212

004()

4Q Q A q R R R πεπε??

=- ?+??电。综上求解即可得本题结果。

4 （自测提高12）、一均匀带电直线长为d ，电荷线密度为＋λ，以导线中点O 为球心，R 为半径(R ＞d )作一球面，如图所示，则通过该球面的电场强度通量为0/ελd .带电直线的延长线与球面交点P 处的电场强度的大小为

()

2

2

04d

R d

-πελ，方向沿矢径O P ．

【提示】：电场强度通量的计算依据高斯定理；P 处的电场强度的大小为：22

024d R d R dx

E x λπε+

-=

?

，其

中x 为电荷元dx λ到P 点的距离。

5 （自测提高19）已知某区域的电势表达式为U ＝A ln(x 2+y 2)，式中A 为常量．该区域的场强的两个分量为：E x ＝22

2;0z Ax

E x y

-

+＝。

【提示】：222;0x z dU x dU

E A E dx x y dz

=-

=- =-=+

6 （自测提高21）如图所示，在半径为R 的球壳上均匀带有电荷Q ，将一个点电荷q (q<

?-π20

114r R Qq

ε．

【提示】：静电力做功()ab a b qU q V V =-。其中：04a Q V R ε=π，02

4b Q

V r ε=π。

三． 计算题

1.（基础训练20） 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0． 常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量．

【解】：通过x ＝a 处平面1的电场强度通量

Φ1 = -E 1 S 1= -b a 3

通过x = 2a 处平面2的电场强度通量

Φ2 = E 2 S 2 = 2b a 3

其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为

Φ = Φ1+ Φ2 = 2b a 3-b a 3 = b a 3 =1 N ·m 2/C

2 （基础训练23）如图所示，在电矩为p

的电偶极子的电场中，将一电荷为q 的点电荷从A 点沿半径为R 的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R >>电偶极子正负电荷之间距离)移到B 点，求此过程中电场力所作的功．

【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势

()304/r r p U επ=?

式中r

为从电偶极子中心到场点的矢径．

于是知： A 、B 两点电势分别为

()2

04/R p U A επ-=

()2

04/R p U B επ=

Q

y

()p p =

q 从A 移到B 电场力作功(与路径无关)为

()()202/R qp U U q A B A επ-=-=

3 （基础训练25） 图中所示为一沿x 轴放置的长度为l 的不均

匀带电细棒，其电荷线密度为λ＝λ0 (x -a )，λ0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势．

【解】：在任意位置x 处取长度元d x ，其上带有电荷d q =λ0 (x －a )d x ，它在O 点产生的电势

()x

x

a x U 004d d ελπ-=

O 点总电势

??????-π=

=???++l a a l

a a x x a x dU U d d 400ελ?????

?

+-π=a l a a l ln 40

0ελ

4 （自测提高22）如图9-46所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。

【解】：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：

()

2

04d d x d L q E -+π=

ε()

2

04d x d L L x q -+π=

ε

总场强为 ?+π=L

x d L x L q E 02

0)

(d 4－ε()d L d q

+π=04ε 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．

5 （自测提高26）电荷以相同的面密度σ分布在半径为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为U 0＝300 V 。(1) 求电荷面密度σ。(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？ 【解】：（1）根据电势叠加原理，知球心处的电势为：

121201

02

22

12010212

00

4444;

44o r r Q Q V V V r r r r r r r r πεπεσπσππεπεσσεε=+=

+

?? =+?? =+

x

故：920

12

8.8510(/m )o V C r r εσ-=

=? + （2）假设放掉电荷后，外球面上的电荷为'

2Q ，则由：

12'

12

01

02

044o r r Q Q V V V r r πεπε=+=

+

=

有：'

2

211

r Q Q r =-

外球面上放掉的电荷为：

'

2222222212111

22

9021221212

4444()4() 6.6710)o r r

Q Q r Q r r r r V r r r r r r C r r σπσπσπεπσπ

--=?+

=?+? =?+=+=? (+

6. （自测提高28）一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布． 【解】：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为

r r Ar V q d 4d d 2π?==ρ

在半径为r 的球面内包含的总电荷为

40

3d 4Ar r Ar dV q r

V

π=π==??ρ (r ≤R)

以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/4εAr r E π=π? 得到

()0214/εAr E =， (r ≤R )

方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里．

在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有 0422/4εAR r E π=π? 得到 ()

20424/r AR E ε=， (r >R )

方向沿径向，A >0时向外，A <0时向里．

附加题：

1. （基础训练26） 一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r 的一个小球体,球心为O ',两球心间距离d O O =',如图所示. 求:在球形空腔内,球心O '处的电场强度0E

.

在球体内P 点处的电场强度E

.设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =。

【解】：挖去电荷体密度为ρ 的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场1E

，而另

在挖去处放上电荷体密度为－ρ的同样大小的球体，求出电场2E

，并令任意点的场强为此二者

的叠加，即可得：

210E E E +=

在图(a)中，以O 点为球心，d 为半径作球面为高斯面S ，可求出O '与P 处场强的大小。

ρε302

11

3414d d d E S E S π?=π?=?? 有： E 1O’＝E 1P =d E 0

13ερ

=

方向分别如图所示。

在图(b)中，以O '点为小球体的球心，可知在O '点E 2=0. 又以O ' 为心，2d 为半径作球面为高斯面S ' 可求得P 点场强E 2P

()032223/)(4)(24d ερ-π=π?='??

'

r d E S E S

2

03212d

r E P

ερ

-= (1) 求O '点的场强'O E

. 由图(a)、(b)可得

E O ’ = E 1O’ =

3ερd

方向如图(c)所示。

(2)求P 点的场强P E

.由图(a)、(b)可得

???

? ??-=+=230

2143d r d E E E P

P P ερ 方向如(d)图所示.

2. （自测提高31）两根相同的均匀带电细棒，长为l ，电荷线密度为λ，沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也为l ，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用力．

图(d) 图(c)

2O’=0 图(b)

【解】：选左棒的左端为坐标原点O ，x 轴沿棒方向向右，在左棒上x 处取线元d x ，其电荷为d q ＝

λd x ，它在右棒的x '处产生的场强为： ()

2

04d d x x x

E -'π=

ελ

整个左棒在x '处产生的场强为：

()

?

-'π=l

x x x

E 0

2

04d ελ??

?

??'--'π=

x l x 1140ελ 右棒x '处的电荷元λd x '在电场中受力为：

x x l x x E F '??

?

??'--'π='=d 114d d 02ελλ 整个右棒在电场中受力为：

???'??

? ??'--'π=l

l x x l x F 3202d 114ελ34

ln 402ελπ=，方向沿x 轴正向． 左棒受力

F F -='