人教中考数学专题复习锐角三角函数的综合题附详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10

cos B =

. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.

(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.

【答案】(1) 10AB

；(2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析.

【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；

（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13

，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，

∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=

12

BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10

BF B == （2）连接DG ，

∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，

又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ，

∴AD•AE=AF•AG ，

连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ，

∵22AB BF -=3， ∴FG=13

，

∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×10

=10；

3

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，

∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，

∴∠ADC=∠ADN，

∵AD=AD，CD=ND，

∴△ADC≌△ADN，

∴AC=AN，

∵AB=AC，∴AB=AN，

∵AH⊥BN，

∴BH=HN=HD+CD.

【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

2．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；

（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D处成功拦截.

【解析】

【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出

AC 即可；

（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．

【详解】

（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=.

在Rt ABC 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155AC AB ︒=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.

（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4sin 15125

CM AC CAM =⋅∠=⨯=，3cos 1595

AM AC CAM =⋅∠=⨯=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM

∠=， 所以tan 7636MD AM ︒=⋅=.

所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=，.

设缉私艇的速度为v 海里/小时，则有

2491716=，解得617v =. 经检验，617v =是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D 处成功拦截.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

3．如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上一点，点F 在射线CM 上,∠AEF=90°，AE=EF ，过点F 作射线BC 的垂线，垂足为H ，连接AC ．

(1) 试判断BE 与FH 的数量关系，并说明理由；

(2) 求证：∠ACF=90°；

(3) 连接AF ，过A ，E ，F 三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.