嫦娥三号着陆轨道

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2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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一．问题重述
2013 年 12 月 2 日凌晨，承载了 13 亿国人登月梦想的“嫦娥三号”搭乘长 征三号乙增强型火箭于 1 时 30 分在西昌卫星发射中心成功发射，标志着嫦娥三 号朝“登月”迈出重要一步。但是成功发射只能说是完成了登月的第一小步， 根 据计划， 嫦娥三号将在北京时间 12 月 14 号在月球表面实施软着陆，嫦娥三号如 何实现软着陆是这次嫦娥三号是否能成功登月的关键。 而嫦娥三号在高速飞行的 情况下， 要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控 制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 15km，远 月点 100km 的椭圆形轨道； 着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料 消耗。嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性， 最终“落月”地点的选择仍存在一定难度。 根据这些要求，本文需要解决以下几个问题： （1）确定嫦娥三号着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及此时嫦娥三 号相应速度的大小和方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道，确定嫦娥三号在着陆准备轨道、主减速段、 快速调整段、粗避障段、精避障段、缓速下降阶段等六个阶段的最优控制策略， 减少软着陆过程的燃料消耗，避开月面障碍物确保嫦娥三号的成功登月。 （3）根据我们设计的着陆轨道和控制策略做出相应的误差分析和敏感性分 析。
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模 竞赛参赛规则》 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模 竞赛网站下载） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的 成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表 述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺， 严格遵守竞赛章程和参赛规则， 以保证竞赛的公正、 公平性。 如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行 公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表 等） 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以 上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取 消评奖资格。） 日期： 年 日 A
w --比冲
r0 --近月点处的月心距 v0 --近月点处的轨道速度 m0 --着陆器动力下降前初始质量 rf --月球半径
--飞行轨道倾角 --飞行器系统所用推进剂的特征参数 i --月球自转角速率
T --姿控执行机构所产生的控制力矩 J --探测器的转动惯量 H--飞行高度
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D--飞机受到的阻力 L--升力 --迎角
关于嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的研究
摘要：本文以动力学模型、无量纲状态方程、Pontryagin 极大值原理、最优控
制算法等方法为主要理论基础，结合对附件进行数据挖掘与分析所得到的数据， 探究了嫦娥三号软着陆的轨道设计与控制策略问题。 针对问题一, 我们首先建立二维坐标系，利用开普勒公式建立状态方程、 描 述月面着陆器的软着陆飞行过程，算出近月点、远月点的位置以及嫦娥三号的速 度和方向。 针对问题二，首先，利用动力学模型与牛顿第二定律，结合科氏定律整理可 以得到探测器在月固坐标系中的运动方程。 探测器按照在月固坐标系中的运动方 程的运动轨迹，在满足耗燃最优性的基础上，进入着陆准备轨道。其次，对软着 陆过程的各阶段进行分别讨论。 针对软着陆第一阶段，以着陆过程燃料最小为目 标函数，建立着陆轨道的控制的优化模型，利用无量纲化进行优化，使着陆过程 燃料最小，即使性能指标函数取最小值；针对第二阶段，运用最优控制算法把发 动机高压转子转速 X NHC 和高压涡轮前温度 T41C 同时作为寻优目标函数，保证嫦 娥三号在过渡态安全工作的同时，获得最优的调节时间，从而达到了提高发动机 的减速性能；针对第三阶段，运用 Pontryagin 极大值原理将嫦娥三号快速调整 段优化问题转化为终端距离的速度问题；针对第四阶段，运用 SIFT 算法进行特 征点检测和跟踪； 针对第五阶段，运用三维地形特征匹配结合迭代卡尔曼滤波的 自适应滤波算法来解决； 针对第六阶段， 用能量守恒原理可求得最少燃油消耗量， 从而达到了最优控制策略。 针对问题三，定义初始状态偏差，根据不确定性因素每次变动数目的多少， 在月球软着陆主制动段， 影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始 条件误差和导航与控制传感器误差对我们设计的轨道做误差分析和敏感性分析。 关键词：软着陆轨道设计；最优控制策略；动力学模型；无量纲状态方程； Pontryagin 极大值原理；最优控制算法
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快速调整段优化问题转化为终端距离的速度问题， 然后再对此阶段的速度问题进 行求解从而获得最优控制策略；第四阶段主要运用 SIFT 算法进行特征点检测和 跟踪， 来确定安全着陆区域及其坡度估计的问题；第五阶段基于三维地形特征匹 配结合迭代卡尔曼滤波的自适应滤波算法有效地减小了线性化误差、 提高了位姿 估计精度， 实现了使嫦娥三号避开较大的陨石坑；第六阶段基于能量守恒原理解 决问题。 问题三： 问题三要求根据我们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析 和敏感性分析。 定义初始状态偏差、根据不确定性因素每次变动数目的多少来解 决。
(1)
式中，m 为质量; uL 为月心引力常数;w 为比冲。设初始状态为环月停泊轨 道近月点［3］，终端状态为着陆月面。设初始时刻 t0 0 ，终端时刻 t f 可变， 边
r 0 r0
0 0
界条件数学表述如下: v 0 v 0 (2)
m 0 m0 r t f rf vr t f 0 v t f 0
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图 1 月球软着陆示意图 着陆器的运动可由二维极坐标系下的位置速度摄动方程［5］来描述，并将 着陆器质量作为状态变量加入状态方程中，其形式如式(1)所示:
. r vr . v / r . 2 2 vr uL / r v / r Ft / m.sin u . v vr v / r Ft / m.cos u . m Ft /
--倾斜角
C f --燃油系数
f 是燃油消耗率
t f --终端时间
五、模型的建立与求解
嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性， 最 终 “落月” 地点的选择仍存在一定难度。 整个过程嫦娥三号在高速飞行的情况下， 要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆， 关键问题是着陆轨道与控制策略的 设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道； 着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段概 需要十几分钟的时间。探测器系统副总指挥谭梅将其称为“黑色 750 秒”。下面 就嫦娥三号的着陆过程， 确定嫦娥三号的着陆轨道且建立 6 个阶段的最优控制策 略的模型。
三．模型假设
1.着陆器在软着陆过程中只受月球引力 F月引 和制动发动机推力 F推 的作 用． 2.着陆器呈抛物线下降至预定着陆点上方 3000m,水平方向速度可以忽略不 计，只考虑竖直降落 3.假设初始时刻月固坐标系与惯性坐标系重合 4.假设日月引力摄动等影响因素均可忽略不计
四、符号说明
uL --月心引力常数
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式中， r0 为近月点处的月心距; v0 为近月点处的轨道速度; m0 为着陆器动力 下降前初始质量; rf 为月球半径。 通过上式（1）、 （2），可以确定嫦娥三号的软着陆轨迹。在下面的过程中， 将由软着陆轨迹线逆推近月点和远月点的位置， 并确定嫦娥三号相应速度的大小 与方向。 5.1.2 软着陆轨迹线逆推近月点和远月点的位置 设着陆器在着陆准备轨道近月点的合速度 v=1.7km/s,水平速度为 v0 ,竖直 速度为 v y ， 经过时间 t =750s， 呈抛物线下降至预定着陆点上方 3000m,水平方向 速度可以忽略不计，只考虑竖直降落。建立如下公式：
5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1 月球软着陆问题 如图 1 所示，着陆器的动力下降段一般从 15 km 左右的轨道高度开始,下降 到月球表面的时间比较短,在几百秒范围内,所以可以不考虑月球引力摄动。 月球 自转速度比较小,也可忽略。 因此,可以利用二体模型描述系统的运动。忽略动力 下降段末段的不共面影响， 将动力下降段近似为在同一个平面内飞行，建立如图 1 所示二维坐标系描述月面着陆器的软着陆飞行过程。 该坐标系原点 O 为月心， 极轴 Ox 指向动力下降起始位置。考虑动力下降飞行时间较短，忽略太阳和地球 的第 3 天体引力摄动、月球非球形摄动和月球自转速度。着陆器在软着陆过程中 只受月球引力 F月引 和制动发动机推力 F推 的作用。
二、问题分析
问题一： 问题要求确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，即确定近月点 和远月点的经纬度和海拔高度。 以及此时嫦娥三号相应速度的大小和方向。为了 确定近月点和远月点的位置， 我们应该建立二维坐标系描述月面着陆器的软着陆 飞行过程， 然后根据软着陆轨迹线逆推近月点的位置，远月点的经纬度通过近月 点经纬度转换而得。 问题二：问题二要求确定嫦娥三号的着陆轨道和在六个阶段的最优控制策 略。如何确定嫦娥三号的着陆轨道？探月飞行器首先进行霍曼变轨，从圆形环月 轨道进入一条近月点高度为 15km 的椭圆轨道；当到达近月点时，制动发动机点 火，探测器进入动力下降段，最终以很小的相对速度降落至月面指定位置。建立 定义惯性坐标系 oxyz ，假设初始时刻月固坐标系与惯性坐标系重合，通过计算 得知探测器按照在月固坐标系中的运动方程的运动轨迹， 采取耗燃最优的性能指 标，进入着陆轨道。接下来进入软着陆六阶段，第一阶段主要运用无量纲状态方 程将原终端时间自由最优控制问题转化为终端积分变量固定最优控制问题； 第二 阶段主要运用最优控制算法把发动机高压转子转速 X NHC 和高压涡轮前温度 T41C 同时作为寻优目标函数；第三阶段主要运用 Pontryagin 极大值原理将嫦娥三号
v v 2 v 2 0 y x v0 t F合 2 t y v y t 2m F合 F月引 -F推 F G M 月m 月引 rf2
(3)
已知 y =15000m，根据上式可求得 x 。根据已知着陆地点经纬度 19.51W， 44.12N，海拔为-2641m，换算成近月点的经度: 19.0464°W, 纬度 28.9989°N, 海拔高度 14.8 km,速度 1695.7 m/s，俯仰姿态角 85°远月点的经纬度通过近 月点经纬度转换而得：远月点经纬度 160.49E，44.12S 距地表 100km。通过开普 勒公式计算远月点的线速度：1732.5m/s 5.2 问题二模型建立与求解 5.2.1 动力学模型建立确定嫦娥三号整个阶段的着陆轨道 探月飞行器首先进行霍曼变轨，从圆形环月轨道进入一条近月点高度为 15km 的椭圆轨道；当到达近月点时，制动发动机点火，探测器进入动力下降段， 最终以很小的相对速度降落至月面指定位置。 如图一所示，定义惯性坐标系 oxyz,原点在月心，参考平面是月球赤道面， ox 轴指向月球赤道相对于白道的升交点，oy 轴指向月球自转角速度方向，oz 轴