2014数学建模A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略分析

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）日期： 2014 年 9 月 14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠降落伞着陆，只能靠变推力发动机，才能完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段等软着陆任务。

本文在着陆轨道设计的基本要求下，建立最优控制模型满足了每个阶段嫦娥三号在关键点所处的状态，以尽量减少软着陆过程燃料消耗的原则，完成了对三个问题的分析探究。

针对问题1，本文将嫦娥三号作为质点，根据椭圆公式求出半焦距的长度，采用适用于一切二体问题的开普勒第三定律模型，计算出近月点和远月点相应的速度大小，近月点速度为1.69204 KM/S，远月点速度为1.61390 KM/S，之后再通过给出的着陆点的方向反推出嫦娥三号相应的方向。

针对问题2，本文研究了一种应用参数化控制求解月球探测器精确定点软着陆最优控制问题的方法。

首先用约束变换技术将小等式约束进行了近似处理，而后利用若十个分段的常数去逼近最优解，再根据强化技术通过时间轴上的变换，将每一段参数的持续时间转变为一组新的参数，于是最优控制问题被转化为一系列参数优化问题。

最后应用经典的参数优化方法即可求得最优控制函数的一个近似解，通过增加参数个数，重复优化得到逼近连续最优解的参数化解。

同时在优化过程中考虑了制动初始点的选取对结果的影响。

运用matlab软件绘制着陆轨道的曲线，结果表明了所提设计方法足简单、有效的。

得到最优初始点坐标为X0=837．71 km，Y=1423.9 km，Z=586.26 km。

针对问题3，本文根据月球探测器向月飞行轨道动力学方程式得到了飞行轨道误差的迭代方程，采用协方差分析方法对轨道初始误差的误差源造成的轨道误差进行了分析，结合具体算例，给出了探测器初始轨道位置和速度误差引起的向月飞行轨道误差的时间历程和轨道终点误差。

计算结果表明，在发射嫦娥三号卫星过程中，必须进行多次中途轨道修正。

关键词：定点软着陆，最优控制，参数化控制，轨道误差，协方差分析方法1问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：问题一：确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

问题二：确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

问题三：对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

2模型假设1. 忽略太阳、地球对嫦娥三号卫星的引力2.将月球近视为一个质量均匀的标准球体3. 将嫦娥三号视为一个质点4.主减速忽略动作调整所产生的燃料消耗5.制动发动机推力可变6.图片所给数据真实可靠3符号说明v………………………………………………………………………………近月点速度.A v………………………………………………………………………………远月点速度.B o……………………………………………………………………………惯性坐标系.xyzO L L L………………………………………………………………………月固坐标系.x y z.F………………………………………………………………………………发动机推力.m………………………………………………………………………………探测器质量.C……………………………………………………………………………制动火箭的比冲r…………………………………………………………………………………月球半径.f.°G…………………………………………………………………………………约束函数.j ∧…………………………………………………………………………………指标函数 .u …………………………………………………………………………………控制变量 .τ…………………………………………………………………………………调节参数 .θ…………………………………………………………………P 与Ay1轴正向所成夹角 .ψ…………………………………………P 在x1Az1平面上的投影与Ax1轴负向所成夹角 .α…………………………………………Ax1在xOz 平面上的投影与Ox 轴正向所成夹角 .β…………………………………………………………………………Ay1与Oy 所成夹角 .γ……………………………………月球自转而产生的固坐标系相对惯性坐标系的转角4 模型的建立与求解4.1 问题一确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

4.1.1 问题一的分析开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的天体运动。

在宏观低速天体运动领域具有普遍意义。

对于高速的天体运动，开普勒定律提供了其回归低速状态的方程。

根据附件1和附件2中给出的数据资料，近月点和远月点的相对距离都是已知的。

本问题的模型解答可以根据椭圆公式求出半焦距的长度，然后利用适用于一切二体问题的开普勒第三定律计算出近月点和远月点相应的速度大小，之后再通过给出的着陆点的方向反推出嫦娥三号相应的方向。

4.1.2 问题一的解答图1 开普勒第三定律模型在图1中，A ，B 分别为嫦娥三号运动的近月点和远月点，以 和 分别表示嫦娥三号在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见和的方向均与此椭圆的长轴垂直，则嫦娥三号在此两点时对应的面积速度分别为图2 嫦娥三号软着陆曲线模型由图2可知，NS平面为着陆的那个平面，A点为着陆点，A点在NS的平面坐标为19.51W，44.12N，B点为嫦娥三号的近月点，根据题意近月点到月球表面的距离为15km，又有着陆点的海拔为-2641m，所以有OB的距离为17641m,因此可以得出近月点的速度方向为（19.51W，44.12N，17641），根据近月点和远月点处在同一轨道，并且共线，所以远月点的方向和近月点刚好相反，高度都为17641m，因此可得出远月点的速度方向为（19.51E，44.12S，17641）。

近月点速度为1.69204 KM/S，远月点速度为1.61390 KM/S。

4.2 问题二确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

4.2.1问题二的分析探测器经过环月轨道的软着陆方式因其具有较长的软着陆准备时间、对着陆位置的限制比较小以及减少着陆舱部分的燃料消耗等优点故而被广泛采用。

该方式的关键环节就是从距离月面15 km的近月点至月面的动力下降过程。

在本问题的分析中，模型考虑了月球自转，针对三维空间精确定点软着陆问题，利用参数化控制解决了变推力软着陆最优控制问题，此外还针对仅知制动初始点到月心距离而具体位置未知的情况，对初始点的选取进行了研究。

4.2.2问题二的解答1. 动力学模型建立与控制律设计探月飞行器首先进行霍曼变轨，从圆形环月轨道进入一条近月点高度为15 km的椭圆轨道；当到达近月点时，制动发动机点火，探测器进人动力下降段，最终以很小的相对速度(小于6 m／s)降落到月面指定位置。

图3坐标示意图如图3坐标示意图所示，定义惯性坐标系Oxyz，原点在月心，参考平面是月球赤道面，Ox轴指的是月球赤道相对于白道的升交点，Oy轴指向月球自转角速度方向，Oz轴按右手坐标系确定。

再定义月固坐标系OxLyLzL, 以月球赤道面为参考面,OxL轴指向赤道面与起始子午面的交线方向，OyL指向月球自转角速度方向，OzL轴按右手坐标系确定。

Ax1y1z1为原点在探测器质心的轨道坐标系，Ay1指向从月心到着陆器的延伸线方向，Ax1垂直Ay1指向运动方向，Az1按右手坐标系确定。

制动发动机推力P的方向与探测器纵轴重合，θ为P与Ay1轴正向所成夹角，ψ为P再x1Az1平面上的投影与Ax1轴负向所成夹角。

β为Ay1与Oy所成夹角，α为Ax1在xOz平面上的投影与Ox轴正向所成夹角。

γ为月球自转而产生的固坐标系相对惯性坐标系的转角，不妨假设初始时刻月固坐标系与惯性坐标系重合。

显然有轨道坐标系到惯性坐标系转换矩阵1cos cos sin sin cos cos sin cos sin sin sin0cosTαββαβαββαβαα-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦惯性坐标系到月固坐标系的转换矩阵为2cos 0sin 010sin 0cos T γγγγ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据牛顿第二定律，结合科氏定律整理可以得到探测器在月固坐标系中的运动方程为..21.sin cos 2cos 02sin sin xL xL L zL yL yL L xL zL zL F m g V F T T g m V g F m V V V ωωϑψϑϑψ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦其中VxL,VyL 和VzL 为探测器速度矢量在月固坐标系各轴上的投影，F 为发动机推力，m 为探测器质量，gxL,gyL 和gzL 为该高度月球重力加速度在月固坐标系各轴上的投影，wL 为月球自转角速度。