2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛(嫦娥3号软着陆)

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 19005007 所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期： 2014 年 9 月 14 日2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文主要研究在嫦娥三号高速飞行的情况下，准确降落在月球预定区域的软着陆轨道设计与控制策略问题：针对问题一，查资料可知嫦娥三号软着陆准备轨道是极月轨道，忽略月球自转公转的影响，则着陆准备轨道与软着陆轨道在一个平面上，近月点投影的经度为19.51W 。

然后根据问题二得出的结果求出水平位移X ，再列出微分方程方程并求其数值解，最终得到近月点投影的纬度，进而根据近月点投影的经纬度算出远月点投影的经纬度，至此便得到近月点与远月点的位置；对于二者的速度，应用开普勒定律和机械能守恒定律可求出。

最终得到近月点：59.07N , 19.51W , 距地高度15km ，31.69210m/s A V ≈⨯，方向为北极-虹湾-南极方向；远月点：59.07S , 160.49E ，距地高度100km ，31.61410/B V m s ≈⨯，方向为南极-北极-虹湾方向。

针对问题二，在安全着陆的前提下，确定着陆轨道和最优控制策略，即转化为燃料消耗最小，最终转化为飞行时间tf 最短，经计算最优时间为633s ，消耗燃料的最小值为645.9Kg 。

我们首先列出软着陆轨道动力学方程并做归一化处理，经过软着陆轨道的离散化，应用函数逼近方法拟合推力控制角β(t)，拟合结果为7342(t)7.4710 6.14100.026 1.72;x x x β--=-⨯+⨯-+。

从而将轨道优化问题转化为参数优化问题，最后利用MATLAB 随机寻优，进而得出轨道优化设计方案；。

针对问题三，我们着重对主减速阶段进行相应的误差分析和敏感性分析。

建立月球软着陆主减速阶段的初始状态误差模型，敏感性大小S 是由f P -里面的每一个元素除以iP -里面对应的元素得到的值的集合，六个值分别对应v 、r 、θ、w 、m 、β，f P -为主减速阶段末状态总误差向量，iP -为初始状态偏差向量。

得到结果为( 3.862015.92000.1540582.0000 1.000065.6890)S =--,由这六个值大小分析可知w 最敏感，即w 有误差时会导致结果误差最大；其次是β，r ，v ，m ，θ。

于是我们应该尽力避免w 初始值有误差的情况。

关键词：软着陆 动力学方程 微分方程 随机寻优 寻优变量1 问题重述嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析2 模型假设1、假设嫦娥3号主减速阶段完成时的速度为57m/s且垂直于地面，并且不存在水平速度；2、假设近月点投影到月面的地区与虹湾之间的月面弧线可以看作一条直线；3、假设日月引力摄动、月球旋转和实际月球为非标准球导致引力不均匀对嫦娥3号的运动无影响；4、假设推力F=3000N的大小保持恒定；5、假设收集到的数据准确无误。

3 符号说明::v r r θβ着陆器沿半径方向的速度;月心距;:极角;w:角速度;m:质量;:制动发动机的推力方向角4 问题分析2.1问题一：月球自转和公转周期皆为27天7小时43分11.559秒，而嫦娥三号软着陆过程只有几百秒，所以我们可以忽略由于自转和公转造成软着陆轨道平面与着陆准备轨道平面的偏差，即可认为软着陆轨道平面与着陆准备轨道平面是在同一个平面上的。

已知着陆准备轨道为极月轨道，则近月点经度就可确定，如果得到近月点投影与虹湾水平距离X ，就可算出两地夹角，那么近月点纬度便随之确定，而X 的值可由问题二得出的各物理量算得。

远月点与近月点关于月心对称，由此可算出远月点位置。

对于速度，使用开普勒定律和机械能守恒定律则很容易算出。

2.2问题二：确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略，对于着陆轨道我们可以得出月心距随时间变化的图像，对于最优控制策略，我们可以得到其他参数（径向速度，角速度等）随时间变化的图像。

优化的指标是在保证安全和可控条件下使得燃料消耗最少（也即着陆时间tf 最短），于是我们把问题简化为求解两点边值问题中的最优解。

因此我们采用随机寻优的思想对待优参数进行优化，得到了各参数的最优解，再进行拟合函数。

对于避障问题，我们可以对处理后的数据划分成网格，用网格体现所有数据的特征，在经过坡度pn 和平移指数A(i)判断平移方向和距离。

2.3问题三：对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析，易知在避障阶段及以后是无法进行误差和敏感性分析的，于是我们只需对主减速阶段分析。

参考资料可知误差源包括初始条件误差和导航与控制传感器误差等，为简化模型，我们只分析初始条件误差。

然后建立初始状态误差模型，通过将000000,,,,,v r w m θβ∆∆∆∆∆∆ 的值（其值均考虑为典型误差值）分别与00000,,,,v r w m θ和0β（即初始状态着陆器沿r 方向的速度、月心距、极角、角速度、质量和制动发电机推力方向角）相加，然后得到非标准末状态和标准末状态的差值f f f f f ,,,,,v r w m θβ∆∆∆∆∆∆，再让它们与000000,,,,,v r w m θβ∆∆∆∆∆∆对应相除得到S ，以S 中每个值的大小来描述其对应的变量初始状态对该变量的末状态的影响即敏感性分析与误差分析。

5 模型的建立与求解5.1问题一：求近月点与远月点的位置及嫦娥三号相应的速度大小和方向5.1.1、求近月点远月点位置：查资料可知嫦娥三号着陆准备轨道是极月轨道【3】，即通过月球南北极的轨道，其方向为北极-虹湾（着陆点）-南极，如图1所示：则我们可知近月点的经度和虹湾一样为19.51W ，近月点到虹湾的水平距离X 为（,,v x x r v a 分别是切向的速度、加速度和径向的速度，此处θ不是指极角）： 00tan (t)f f r x r r t x x t x a a dv a dt v a dtX v dt β⎧=⎪⎪⎪=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩⎰⎰ 00((cot ))f f t t r dv X dt dt dt β=⎰⎰ 解得54.51810X =⨯m 然后我们由余弦定理公式：222cosA 2b c a bc+-=，其中22222,b ,a A c R X θ====，（虹湾（着陆点）海拔虽然为-2641m ，但与月球半径相比数值很小，所以我们可以忽略它，认为R 取月球平均半径1.737013×106m ）可解得θ=14.95度，则得到近月点纬度Q=θ+44.12=59.07N ；远月点与近月点连线过月心，则其纬度大小与近月点纬度大小相等，但在南半球，所以其纬度为59.07S ，其经度与近日点经度相差180度，则可以算得为180-19.51=160.49E 。

5.1.2、求近月点A 距地15km 和远月点B 距地100km 的速度VA 和VB ：开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的天体运动，自然嫦娥三号在着陆准备轨道上的绕月运动也图1自转方向在此类，于是我们可以使用能量法[1]来计算V A 和V B ：如图2所示，由开普勒第一定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。

可知其中f 是月心即椭圆的焦距，月球质量M=7.3477×1022kg ，月球平均半径r=1.737013×106m ,A 到f 的距离L A =（1737.013+15）×103=1.752013×106（忽略虹湾与月平均半径的差2641m ），B 到f 的距离L B =1737.013+100=1.837013×106。

在A,B 两点分别取∆t →0,则嫦娥三号与月球的连线在这段时间内扫过的面积分别为： 11t ,t 22A A AB B B S V L S V L ∆=∆∆=∆ 根据开普勒第二定律：在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。