等差数列前n项和PPT优秀课件
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等差数列前n项和公式课件
6
例1 如图,一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔,往 上每一层都比它下面一层多一支, 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔?
解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅
笔,且自下而上各层的铅笔数成等差数列,记
为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式,得
120 (1120)
S120
2
7 260
答:V形架上共放着 7 260支铅笔。
7
例2 等差数列 10,6,2,2,…前多少项的和是54?
解:设题中的等差数列为{an},前n项和是 Sn,
则a1= 10,d= 6(10) 4,设 Sn=54, 根据等差数列前 n项和公式,得
10n n(n 1) 4 54 n2 6n 27 0
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
这个问题,可看成是求等差数列 1,2,3,…, n,…的前100项的和。
3
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+..
(m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
2
问题1:1+2+3+…+100=?
4221等差数列的前n项和公式课件共45张PPT
知识点二 等差数列的前 n 项和公式 1.等差数列{an}的前 n 项和公式
已知量 首项 a1、末项 an 与项数 n
求和公式
na1+an Sn=___与项数 n
Sn=__n_a_1+__n__n_2-__1__d___
2.两个公式的关系:把 an=a1+(n-1)d 代入 Sn=na12+an中,就可以得到 Sn =____n_a_1_+__n__n_2-__1_d_______
1.已知 Sn 求 an 利用 an=SS1n, -nS= n-11,,n≥2, 可由数列的前 n 项和 Sn 求得数列的通项公式 an. 解题过程通常分为四步:第一步,令 n=1 得 a1;第二步,令 n≥2 得 an;第三步, 在第二步求得的 an 的表达式中取 n=1,判断其值是否等于 a1;第四步,写出数列 的通项公式(若第三步中 n=1 时,an 的表达式的值不等于 a1,则数列的通项公式一 定要分段表示).
解:(1)因为 Sn=2n2-30n,所以当 n=1 时, a1=S1=2×12-30×1=-28, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 验证当 n=1 时上式成立, 所以 an=4n-32. (2)由 an=4n-32,得 an-1=4(n-1)-32(n≥2), 所以 an-an-1=4n-32-[4(n-1)-32]=4(常数), 所以数列{an}是等差数列.
(3)方法一:设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 则 S5=5a1+5×25-1d=24, 得 5a1+10d=24,a1+2d=254. ∴a2+a4=a1+d+a1+3d=2(a1+2d)=2×254=458. 方法二:由 S5=5a12+a5=24,得 a1+a5=458. ∴a2+a4=a1+a5=458.
等差数列的前n项和ppt课件
02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
定义
等差数列的前n项和是指从第一项到第n项的所有项的和。
符号表示
记作Sn,其中S表示总和,n表示项数。
等差数列前n项和的公式推导
公式推导
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d),其中a1是第一项,d是公差。
推导过程
组合数学
等差数列的前n项和在组合数学中 也有广泛应用,例如计算组合数 的公式。
数学分析
在数学分析中,等差数列的前n项 和可用于研究函数的极限、积分 等概念。
在物理中的应用
力学
01
在研究匀加速直线运动时,等差数列的前n项和可用于计算位移、
速度和加速度等物理量。
波动
02
在波动现象中,等差数列的前n项和可用于描述波动方程的解。
等差数列的前n项和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列的前n项和的求解方法 • 等差数列的前n项和的应用 • 习题与解答
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列,其中任 意两个相邻项的差是一个常数,这个 常数被称为公差。
数学表达
对于等差数列 {a_n},如果每一项满 足 a_n = a_1 + (n-1)d,其中 d 是公 差,则该数列为等差数列。
详细描述
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1) * d,其中d是公差。通过通项公式,我们可以 推导出前n项和的表达式为Sn = n/2 * [2a1 + (n-1) * d],从而求出前n项和。
04
等差数列的前n项和的应用
等差数列前n项和的性质ppt课件
解析: 方法一:设 an=a1+(n-1)d,bn=b1+(n-1)e.
取 n=1,则ab11=TS11=12,所以 b1=2a1.所Βιβλιοθήκη 以Sn Tn=
na1+nn- 2 1d nb1+nn- 2 1e
=
a1+n-2 1d b1+n-2 1e
=
a1+n2d-d2 2a1+n2e-2e
=
3n2+n 1,
一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求 前110项之和.
由题目可获取以下主要信息: ①S10=100,S100=10;②此数列为等差数列. 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答.
[解题过程] 方法一:设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则 Sn=na1+nn-2 1d.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9 =________.
解析: 由等差数列的性质S9=9a5=72,a5=8,a2+a4+a9 =a1+a5+a9=3a5=24,故填24.
答案: 24
4.(1)等差数列{an}中,a2+a7+a12=24,求 S13. (2)等差数列{an}的公差 d=12,且 S100=145, 求 a1+a3+a5+…+a99. 解析: (1)∵a2+a12=a1+a13=2a7, 又 a2+a7+a12=24,∴a7=8. ∴S13=13a12+a13=13×8=104. (2)∵S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100) =2(a1+a3+…+a99)+50d=145, 又 d=12,∴a1+a3+…+a99=60.
an=Sn-Sn-1=n2-3n+1-[(n-1)2-3(n-1)+1] =2n-4,
等差数列前n项求和ppt
公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等 差数列前n项的和,其中首项为 a1,公差为d,项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和 符号组成,反映了等差数列的特 性。
首项a1表示等差数列的第一项, 公差d表示相邻两项的差,项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列,其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合,其中任意两个相邻项的差都等于一个常数,这个常数被称为公差。等差数列的 一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d,其中 a_n 是第 n 项,a_1 是第一项,d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质,将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值,再利用等差数列的通项公式, 推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式,将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2,同样利用等差数列的通 项公式,推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时,等差数列求和公式可用于计算购 物清单中商品的总价,以便快速计算出总花 费。
工资计算
在工资计算中,等差数列求和公式可用于计算工资 总额,以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中,等差数列求和公式可用于计算定 期存款、基金定投等理财产品的收益。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中,解决一些组合 问题,如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法,可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中,等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题,如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用,如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列,使用前n 项和公式可以大大简化计算过程,提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案,确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如,一个等差数列1, 4, 7, 10... ,使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中,等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中,等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中,等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计,如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法,如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列,其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值,这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d,其中 a_n 是第 n 项,a_1 是首项 ,d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质,包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中,解决一些组合 问题,如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法,可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中,等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题,如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用,如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列,使用前n 项和公式可以大大简化计算过程,提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案,确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如,一个等差数列1, 4, 7, 10... ,使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中,等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中,等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中,等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计,如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法,如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列,其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值,这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d,其中 a_n 是第 n 项,a_1 是首项 ,d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质,包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
62等差数列及其前n项和课件共94张PPT
+b
2 2n
)=2d(a2+a4+…+a2n)=
2d·na2+2 a2n=2d2n(n+1).
n
所以∑
k=1
T1k=21d2k∑=n 1
1 kk+1
=21d2k∑=n1 1k-k+1 1 =21d2·1-n+1 1<21d2.
角度Ⅱ.等差中项法
试/题/调/研(题题精选,每题都代表一个方向)
2.[2021山东济南一中1月检测]各项均不为0的数列{an}满足
题型研究•重点突破
题型 等差数列的基本运算
角度Ⅰ.求特定项 试/题/调/研(题题精选,每题都代表一个方向)
1.[2020江苏卷]设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已 知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是___4_____.
4.[必修5·P39·练习T5改编]在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8=__1_8_0____.
易/错/问/题
1.等差数列的公差与概念的判断.
(1)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( C )
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
an=a1+n-1d, 由 Sn=na1+nn- 2 1d,
知等差数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个
量a1,an,d,n,Sn,所以已知其中三个可求另外两个. 2.公差d的求解技巧 若{an}是公差为d的等差数列,则d=an+1-an=ann--1a1=amm--akk(m,n,k∈N*).
题型 等差数列的判定与证明
A.100
B.99
等差数列的前n项求和公式ppt课件
则 2Sn nn 1
Sn
nn 1
2
4
推导
下面对等差数列前n项公式进行推导
设等差数列 a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+.. 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+..
高斯的问题,可以看成是求等差数列 1,2,3,…, n,…的前100项的和,求:1+2+3+4+…+n=?
如果令 Sn=1 + 2 + 3 + ... +(n-2)+(n-1)+ n
颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+ ... + 3 + 2 + 1
将两式相加 2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)
例2 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前
20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素
个数, 并求这些元素的和.
7
解:将题中的等差数列记为{an},Sn代表该数列的前n项
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案:16;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有4a + 6d = 12,解得a+d=2,所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
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习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案:42;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有5a + 10d = 25,解得a+d=5, 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案:25;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有5a + 20d = 80,解得a+4d=8,
第二题答案:18;解析:设等差数列的首项为a,公差为d,根据题意有3a + 3d = 15,解得a+d=5,所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案:30;解析:设等差数列的首项为a,公差为d,根据题意有5a + 45d = 200,解得a+d=5,所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式,而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁,而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系,可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案:16;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有4a + 6d = 12,解得a+d=2,所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
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01
输标02入题
第一题答案:42;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有5a + 10d = 25,解得a+d=5, 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案:25;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有5a + 20d = 80,解得a+4d=8,
第二题答案:18;解析:设等差数列的首项为a,公差为d,根据题意有3a + 3d = 15,解得a+d=5,所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案:30;解析:设等差数列的首项为a,公差为d,根据题意有5a + 45d = 200,解得a+d=5,所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式,而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁,而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系,可以用于求解某些特定 问题。
等差数列前n项和性质上课用ppt课件
等差数列的性质应用:
例、已知一个等差数列的总项数为奇数, 且奇数项之和为77,偶数项之和为 66,求中间项及总项数。
解:由 S奇 S偶 中间项
得中间项为11 又由 S奇 S偶 143 得 n 13
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例6.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n 1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
d
3
2d
∴Sn有最大值.
由上得 6 5 12 13 即 6 n 13
A.63 B.45 C.36 D.27
例3.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=A( )
A.85 B.145 C.110 D.90
等差数列的性质应用:
例4、已知等差数列an 的前10项之和
为140,其中奇数项之和为125 , 求第6项。
前n项的和分别为Sn和Tn,则
an bn
S2n1 T2 n 1
等差数列的性质应用:
例1、已知一个等差数列前n项和为25, 前2n项的和为100,求前3n项和。
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)
3.3等差数列前n项和公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
7,27, 37, 47, , 14 7,
即 7,14,21,28,…,98
这个数列是成等差数列,记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n(a1 2
an )
答:集合M共有14个元素,它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件,求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
第18页
第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …,an , …,前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n(a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5( 0 50 1)
Sn
na1
n(n 2
1)
d
S50 50 100
2
即 7,14,21,28,…,98
这个数列是成等差数列,记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n(a1 2
an )
答:集合M共有14个元素,它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件,求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
第18页
第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …,an , …,前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n(a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5( 0 50 1)
Sn
na1
n(n 2
1)
d
S50 50 100
2
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
成立。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ,通过一系列的推导和变换,证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点,利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0,公差小于0的情 况下,此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列:1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列:1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列:2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d),其 中a1是第一项,d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0,公差大于0的情 况下,此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数,即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2,即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中,等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ,例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值,例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ,通过一系列的推导和变换,证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点,利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0,公差小于0的情 况下,此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列:1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列:1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列:2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d),其 中a1是第一项,d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0,公差大于0的情 况下,此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数,即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2,即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中,等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ,例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值,例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
等差数列的前n项和课件
详细描述
当等差数列的公差d等于0时,数列中的每一项都相等,此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下,前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时,等差数列前n项和的公式简化
总结词:公式简化
详细描述:当公差d不等于0时,等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说,可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式,用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时,等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列,其 中任意两个相邻项的差是一个常 数,这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题,如求和、比较大小等。 此外,该公式还可以用于解决一些实 际问题,如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列
当等差数列的公差d等于0时,数列中的每一项都相等,此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下,前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时,等差数列前n项和的公式简化
总结词:公式简化
详细描述:当公差d不等于0时,等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说,可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式,用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时,等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列,其 中任意两个相邻项的差是一个常 数,这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题,如求和、比较大小等。 此外,该公式还可以用于解决一些实 际问题,如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列
等差数列的前n项和公式的性质省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
公式一:Sn
n(a1 2
an )
公
式
二:Sn
na1
n(n 2
1)
d
议(5分钟)
『知识探究(一)——等差数列与前n项和旳关系』
思索1:若数列{an}旳前n和
Sn
n(a1 2
an )
那么数列{an}是等差数列吗?
{an}是等差数列
Sn
n(a1 2
an )
思索2:将等差数列前n项和公式
Sn
讨论二次函数旳性质
措施2:讨论数列{an} 旳通项,找出正负临界项。 (1)若a1>0,d<0,则Sn有大值,且Sn最大时旳n
满足an≥0且an+1<0; (2)若a1<0,d>0,则Sn有小值,且Sn最小时旳n
满足an≤0且an+1>0;
『变式探究』
1.首项为正数旳等差数列{an},它旳前3项和与前11项 和相等,则此数列前___7_____项和最大?
na1
n(n 1) 2
d
看作是一种有关n旳函数,这个函数有什么特点?
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
当d≠0时,Sn是常数项为零旳二次函数.
思索3:一般地,若数列{an}旳前n和Sn=An2+Bn,那 么数列{an}是等差数列吗?若Sn=An2+Bn+C 呢? (1)数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn (2)数列{an} 旳前n项和是Sn=An2+Bn+C ,则:
解析:当n=1时,a1=S1=12-12=11;当n≥2时, an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12(n-1)-(n-1)2]=13-2n. ∵n=1时适合上式,∴{an}旳通项公式为an=13-2n. 由an=13-2n≥0,得n≤ ,
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列,其中首项a=1,公差d=1;负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列,其中首项a=-1,公差d=-1;斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列,其中首项a=0,公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列,其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”,其 中a是首项,n是项数,d是公差 (任意两个相邻项的差)。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等,即a_n=a_(n+2m),其中 m是整数;递增性是指如果公差d>0,则数列是递增的;递减性是指如果公差 d<0,则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
4.2.2等差数列的前n项和公式PPT课件(人教版)
解:由已知可得:a1= -10,d=4
n(n 1)
S n 10n
4
2
2n 12n
2
令 2n 12 n 54
2
解得:n 9 或 n (舍)
3
所以数列前9项的和是54.
课堂小结
等差数列前n项和公式
n(a1 an )
Sn
2
n(n 1)
S n na1
101
算法过程:
由①+②,得
1
( + )
=
=
设 =1+2+3+…+100+101
①,则
=101+100+99+…+2+1 ②
2 = (+)
合作探究
思考2:已知数列{an}是等差数列,如何求
= 1 + 2 + 3 +··· +−1 + 的值?
S n na1
d
2
名师点析:(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d
五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也
是等差数列的基本问题情势之一.
( + )
(2)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=
.用此公式时,有时要
A.230
B.420
C.450
D.540
20×19
解:S20=20a1+ 2 d=20×2+20×19=420.
B
)
典型例题
例1 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7,a50=101,求S50;
(3)若a1= ,d=- ,
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n 个 2 S ( a a ) ( a a ) ( a a ) n 1 n 1 n 1 n
n ( a a ) 1 n
n ( a 1 a n) S n 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
n ( a 1 a n) S n 2 n ( n 1 ) S na d n 1 2
解: 由题意 , m 是 7 的倍数 , 且 0 m 100 .
练习1.
课 堂 小 练
1. 根据下列条件,求相应的等差数列
a n 的 S
( 1 ) a 5 , a 95 , n 10 ; 1 n
( 2 ) a 100 , d 2 , n 50 ; 1
n
练习2.
解得: n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2
M m |m 7 n ,n N , 且 m 100 例3. 求集合
的元素个数 , 并求这些元素的和 .
将它们从小到大排列得 : ,7 7 0,7 1, 7 2, 7 , 14 , 21 , , 98 . 14 .即 共有 15 个元素 , 构成一个等差数列 ,记为 a , n 15 ( 0 98 ) a 0 , a 98 S 1 15 735 15 2 答 : 集合 M 共有 15 个元素 , 和等于 735 .
= 7260 120 = (1 + 120 ) · 2
120 (a1 a120) · 2
(三)构建数学:猜测
问题 1: 问题 2: S120=1+2+ · · · · · ·+12 0 120
(a1 a120 )· 2
S100 = 1+2+ · · · · · ·+100
100 (a1 a100)· 2
问题 1: 1+2+3+· · · · · · +100=?
首项与末项的和: 1+100=101, 第2项与倒数第2项的和: 2+99=101,
····· 第50项与倒数第50项的和:50+51=101, · 于是所求的和是: 101×50=5050。
问题 1:
1+2+3+· · · · · · +100=?
课 堂 小 练
2. (1) 求正整数列中前n个数的和.
(2) 求正整数列中前n个偶数的和.
n ( 2 2 n ) S n ( n 1 ). n 2
n ( 1 n ) n ( n 1 ) S . n 2 2
3. 等差数列 5,4,3,2, · · ·前多少项和是30?
85.每一年,我都更加相信生命的浪费是在于:我们没有献出爱,我们没有使用力量,我们表现出自私的谨慎,不去冒险,避开痛苦,也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑,昂首阔步,作深呼吸,嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌,吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来,你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时,我看着切石工人在他的石头上,敲击了上百次,而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时,石头被劈成两半。我体会到,并非那一击,而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行,然而一切恶行都围绕虚荣心而生,都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石,我们的心灵正在失去自由,成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想,因为梦想一死,生命就如一只羽翼受创的小鸟,无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术,而较不像跳舞的艺术;最重要的是:站稳脚步,为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里,确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言,快乐来自于工作,有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了,因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣,就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己;而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳,只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔;恨我的人教我谨慎;对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来,根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色,也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物,然而能看到这些美好事物的人,事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情,而且对人的理智也发生巨大的作用,在这种令人愉快的影响之下,我觉得更加聪明了,各种想法,以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化,向前跨进,就看到与初始不同的景观,再上前去,又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利,如果一个人和他的同伴保持不一样的速度,或许他耳中听到的是不同的旋律,让他随他所听到的旋律走,无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间,而我们应该最担心的也是时间;因为没有时间的话,我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧,就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词,被屏蔽】,而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事,夏日炎炎时躺在树底下的草地,听着潺潺的水声,看着飘过的白云,亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老,我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化,而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于:自认最快乐的人实际上就是最快乐的,但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁,在千钧一发之际,往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息,感觉它,感觉你自己,并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫,在公司或任何领域里往上攀爬,却在抵达最高处的同时,发现自己爬错了墙头。--[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可;生活中微小之处,照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二:先是获得你想要的;然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习,才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望,也不肯学习的人,没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由,完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票,明天是张信用卡,只有今天才是现金;要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事,浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地,努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验,但适度的休息绝不可少,否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程,而是螺旋形的路径,时而前进,时而折回,停滞后又前进,有失有得,有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代,能量之所以能够带来奇迹,主要源于一股活力,而活力的核心元素乃是意志。无论何处,活力皆是所谓“人格力量”的原动力,也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的:一种人无法做被
a a (n 1 ) d n 1
d 2 d ( a n S n n 1 ) 2 2
(五)数学运用
例1:等差数列-10,-6,2,· · · · · · · 前 多少项和是54 ?
n ( n 1 ) n ( n 1 ) na d 分析 : 10 n · 4 54 S n 1 2 2
得 n2-6n-27=0 得 n1=9, n2=-3(舍去)。
例 题 解 析
例2:等差数列{an}中, d=4, an=18, Sn=48,求a1的值。
解: 由
an= a1+(n-1)d n ( n 1 ) S n na 1 d 2 得: 18= a1+(n-1)4 n ( n 1 ) 4 8 na 1 4 2
S100 = 1+2+3+ · · · · · ·+100 = 101×50 = 5050 100 =(1+100) ·
2
100 (a1 a100)· 2
怎么计算呢?
怎么计算呢?
想:探求三角形面积情景
先补后分
S120 =1+2+3+ · · · · · ·+120
120 = 121 · 2
(六)回顾小结1.等差数列 Nhomakorabean项和Sn公式的推导;
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与运用.
n (a 1 a n) Sn 2
n ( n 1 ) S na d n 1 2
d 2 d S ( a n n n 1 ) 2 2
Sn Sn1 n2 a n n1 1 S
等差数列前n项和
项和 案例1 等差数列前 n (一)问题情景
问题 1:
1+2+3+· · · · · · +100=?