实际问题与反比例函数知识讲解

实际问题与反比例函数

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

●

能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解. ● 根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应

用意识.

学习策略：

●

通过函数应用举例，学会数学建模思想； ●

反比例函数的图像和性质是分析实际问题的关键.

二、学习与应用

1.

一般地，形如 (k 为常数，0k

≠)的函数称为反比例函数，其中x 是 ，y 是 ，自变量x 的取值范围是 .

2. k

y x = ()还可以写成 、 的形式.

3.某农业大学计划修建一块面积为2×106m 3的长方形试验田.试验田的长y （单位：m ）与宽x （单位：m ）的函数解析式是

要点一、反比例函数的定义

1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象

和性质等知识解决问题.

2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待

定的系数用字母表示.

（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.

（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.

（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.

要点二、确定反比例函数的关系式

1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；

2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；

3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 要点梳理——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听

课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏

知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

类型一、反比例函数实际问题与图象

一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E

”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为x y

，，剪去部分的面积为20，若210

x

≤≤，则y与x的函数图象是（）

【总结升华】

举一反三：

【变式】设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是t（小时），汽车的平均速度为v（千米/时），则下面大致能反映v与t的函数关系的图象是（）

A. B.

C. D.

类型二、利用反比例函数解决实际问题

例2.为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，

室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧完后，y与

x成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为

6毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题：

典型例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．

①药物燃烧时y关于x的函数关系式为__________ ___，自变量x的取值范围是

____________ ___；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________.

②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从

消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；

③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟

时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

类型三、反比例函数的图象和性质

例3、南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批

葡萄，原计划总产量要达到36万斤．

（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划

的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改

良后的平均每亩产量各是多少万斤？

【总结升华】

例4、心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x(分)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)；

(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时比较，何时学生的注意力更集中?

(3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最

低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?并说明理由．

【总结升华】

三、测评与总结

1.如图,科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m.设AD的长为xm，DC的长为ym.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案。

2.我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种。如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象,其中BC段是双曲线y=kx的一部分。请根据图中信息解答下列问题：

(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?

(2)求k的值；

(3)当x=16时，大棚内的温度约为多少度?

学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________